3.2.1 双曲线及其标准方程（第2课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 第 2 课时：焦点换轴与轨迹边界 上一课推的是 ，如果把 、 两个字对调，它还是标准方程吗？ 焦点从 轴搬到 轴，形状没变，方程里到底哪些位置要跟着动？ 只给一个“距离之差为 ”，它的轨迹一定是一条双曲线吗？ 高二 · 上学期 ｜ 第 2 课时 ｜ 课型：新授课 人教A版（2019） 选择性必修 第一册 第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 第 2 课时 开课我先把上节的横轴方程抄在黑板上，再当众擦掉 、 两个字母互换位置，问“还能不能叫标准方程”。学生争论了两分钟，我才给答案。这个“先猜后证”的开场，让换轴不再是记号的搬运，而是一次真正的判断。 先看清整章的地图 第三章 圆锥曲线的方程 · 章首 三种曲线，其实是同一个问题的三种答案。 x y O 椭圆 到两定点距离之和为定值 x y O 双曲线 到两定点距离之差的绝对值为定值 x y O 抛物线 到定点与到定直线距离相等 01 同一条主线 把“距离条件”翻译成含 的方程 02 同一套方法 建系—设点—列式—化简—检验 03 同一种眼光 方程看形状，图形看参数 第三章 圆锥曲线的方程 · 章首 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 2 这一页我不写任何推导，只把横轴与纵轴的双曲线并排放着。我要学生先看出“形状一样、方向不同”，再引出“正项决定焦点”。整章的地图在这里第二次出现，学生的位置感会稳一些。 这一节要拿下三件事 3.2.1 双曲线及其标准方程 第 2 课时不重复推导，重点在两个“换”和一个“辨”。 01 分得清 能区分焦点在 轴与 轴的双曲线标准方程，说清 、 各写在谁下面，以及 为什么成立。 02 算得准 能用待定系数法，由焦点位置、“共焦点”或过点条件，求出双曲线的标准方程。 03 辨得明 能由 中 与 的大小关系，判断轨迹是双曲线、两条射线、中垂线还是不存在。 判断是否“学会了”：能独立写出方程，能在图上指认参数，能用方程判断焦点位置。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 3 目标我写成“分得清、算得准、辨得明”，这一课时真正的难点在第三个。前两个目标靠对比和练习就能达成，第三个目标必须让学生自己动手比 与 。所以我在课上留了足足八分钟做轨迹辨析，宁可少讲一道例题。 先动手，再动笔 3.2.1 双曲线及其标准方程 先动手改方程，再回头验证，最后把“换轴”讲成一句规则。 我手里有一张画好的双曲线，把它转 度，形状没有变，可方程必须重写。到底哪些地方要跟着动？ 焦点从 轴搬到 轴， 该写在 下面，还是写在 下面？ 先想 1 把上节方程里的 、 互换，能不能直接拿来用？ 先想 2 互换之后，、、 的关系会不会跟着变？ 先想 3 如果只给“距离之差为 ”，没有别的条件，轨迹唯一吗？ 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 4 我让学生真的在草稿纸上做“互换 、”这个动作，两分钟后收几份上来投影：有人只换了字母，有人顺手把分母也换了。投影对比比我说“注意这里”有效得多。然后我提醒：猜想可以大胆，但必须回到定义去验证。 问题出在哪里 3.2.1 双曲线及其标准方程 把图形语言翻译成代数语言，第一步是“设点”。 已知 、，动点 满足 （）。求点 的轨迹方程。 猜想 1 把椭圆那套“和”的推导搬过来，只把加号改成减号。 猜想 2 先移项，让一边只剩一个根号，再平方。 猜想 3 焦点在 轴上，直接把 、 互换就行。 先别急着算——把“动点满足的条件”用一句话说清楚。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 5 这道题我把焦点放在 轴上，学生第一反应是“和上节课一模一样”。我故意不纠正，让他们先写两行，再问一句：你写的正项是 还是 ？问题当场就浮出来了。 三种尝试，三种卡点 3.2.1 双曲线及其标准方程 三种思路都能走通吗？走不通的那一步，卡在哪里？ 学生甲 照搬换轴 把 里的 、 互换，得 。这一步只能算猜想，必须回到定义验证。 学生乙 移项平方 由 移项后再平方，根号只剩一个。 学生丙 再平方整理 第二次平方后整理，得 ，这里出现的是 ，不是 。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 6 三位同学的板书我并排留着。第一位“照搬换轴”写得最快，也最先被自己推翻；第二位卡在 的符号；第三位第二次平方后忘了整理。三个卡点正好是本节课的三个难点，我按顺序逐个讲。 把共同点提炼出来 3.2.1 双曲线及其标准方程 三个动作，和上一课时一样，只是符号要盯紧。 1 换轴不是换字母：先看焦点在哪条轴，再把 放到对应变量下面。 2 推导仍走“设点—列式—化简”，只是减号让平方两次的顺序更讲究。 3 化简后令 ，双曲线里 最大，这是与椭圆最根本的差别。 关键一步：令 ，方程化为 。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 7 归纳时我没有直接给结论，而是把椭圆与双曲线的化简结果并排：一个得 ，一个得 。我问“为什么符号反了”，学生答“因为 和 谁大”。这句话说出口， 就不用背了。 给出定义，写出方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 实验给出直觉，推导给出方程，现在把两者合成一条定义。 平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数（小于 且大于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 （，，焦点在 轴上，、，） 必须 ： 时轨迹是两条射线， 时轨迹不存在， 时轨迹是线段 的垂直平分线。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 8 定义里的两个括号我写得很慢：“绝对值”圈一次，“小于且大于 ”圈一次。然后我拿一根绳子现场演示极限：当绳差恰好等于两钉距离时，曲线“断”成两条射线，学生“哦”了一声。这一声比我把条件讲十遍都值钱。 从几何条件到标准方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 推导不背结论，还是三步：设点、列式、化简，只是这次焦点在 轴上。 建系设点 以 所在直线为 轴，线段 的中点为原点，则 、，设 。 ， 列式 由双曲线定义，把两个距离相减并取绝对值： 化简 移项、平方两次，整理得 。 令 ，得 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 9 这三步我让学生对照上节自己填，只留第三步的空。巡视时发现很多人把 写成 ，我没有马上打断，而是等他们算完，再让他们看 、 时 是正还是负。负数一出现，全班自己就改了。 图上认一认：正项决定开口方向 3.2.1 双曲线及其标准方程 先看熟悉的横开口，再让学生自己在脑子里把它转 度。 x y O F₁ F₂ A₁ A₂ 渐近线 准线 准线 焦点在 轴的双曲线（对照） ：实半轴长，图中是原点到 的距离； ：虚半轴长，由 得到，注意是 减 ； 本图是 轴情形；焦点换到 轴，只需把 、 互换，图旋转 度。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 10 图我特意用横轴双曲线，因为画图函数只画左右两支。我先让学生看这张“对照图”，再让他们在纸上把 、 两个标签对调，自己画一遍竖开口的草图。caption 里写明“对照”，就是不让他们误以为本课焦点在 轴。 两张面孔，一套写法 3.2.1 双曲线及其标准方程 焦点在哪条轴上，正项就写在哪一项，方程的形式跟着换。 焦点在 轴上 焦点 、； 这一项取正。 焦点在 轴上 焦点 、； 这一项取正。 判据：看哪一项前面是正号，焦点就在哪条轴上； 在两种情形下都不变。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 11 这一页我要求全班齐读判据三遍：正项在哪，焦点在哪。然后我遮住右边那一栏，只给方程让他们指焦点。有人还在找“分母大的”，我提醒：双曲线没有“大分母”这回事， 完全可以比 小。 例 1：焦点在 y 轴，先定位再算 3.2.1 双曲线及其标准方程 焦点位置一给，方程的形式就定了，剩下只是求 。 已知双曲线的两个焦点分别为 、，且 ，求它的标准方程。 问 1 焦点在哪条轴上？ 问 2 正项应该写在谁下面？ 问 3 用 减 还是加？ 焦点在 轴，正项是 ；，，。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 12 例 1 我没有给图。学生习惯性先画，我拦住：焦点和 都给了，画图只会增加出错的机会。我要他们先回答“正项是谁”，这个问题答对，方程就成了一半。 例 1：定位、定 a、求 b 3.2.1 双曲线及其标准方程 先把正项写对，剩下的就是一次减法。 分析： 由焦点 、 知焦点在 轴上，且 。 正项为 ，设方程为 。 由 ，得 。 1. 由焦点 、 知 ，焦点在 轴上。 2. 设标准方程为 （，）。 3. 已知 ，故 。 4. 由 。 5. 所求方程为 。 答案： 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 13 板书我只写三行：定位、、。然后我用红笔框出答案里的 和 ，问：如果焦点在 轴，这两个数该怎么放？学生齐答“反过来”，说明换轴这条规则已经立住了。 一题多解： 3.2.1 双曲线及其标准方程 同一道题，不同的思路，看看哪种最顺。 已知双曲线的两个焦点分别为 、，且 ，求它的标准方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 14 停下来想一想 3.2.1 双曲线及其标准方程 三个最容易丢分的地方，现在标出来。 易错 1 焦点在 轴上，却把 写在 下面。 先看正项在哪，正项的分母才是 。 易错 2 判断轨迹时只看等式，不比较 与 。 先算 ，再和 比大小，四种情形逐一对号。 易错 3 把 得到的“两条射线”也叫双曲线。 射线不是双曲线，必须单独说明它的形状和范围。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 15 这三条都是我在批上一届时反复见到的错。我让学生把第一条抄在定义旁边，第二条抄在定义的括号里，第三条抄本子最后一页。错题要贴着知识点放，复习时才看得见，也才改得动。 例 2：共焦点，先找 c 再定轴 3.2.1 双曲线及其标准方程 “共焦点”三个字，等于把 直接送给我们。 求与椭圆 共焦点，且 的双曲线的标准方程。 问 1 椭圆的焦点在哪条轴上？ 问 2 是多少？ 问 3 双曲线的 已知， 怎么求？ 先由椭圆求 ，再让双曲线与它共焦点，焦点轴就确定了。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 16 例 2 的关键词是“共焦点”，我让学生把它圈出来，再问：共焦点共的是什么？是焦点坐标，也是 。有学生直接拿椭圆的 去用，我请他读一遍题：双曲线的 和椭圆的 不是一回事。 例 2：“共焦点”是免费的已知条件 3.2.1 双曲线及其标准方程 先借椭圆的 ，再按双曲线的规矩算 。 分析： 椭圆中 ，故 ，焦点为 、。 双曲线与椭圆共焦点，所以焦点在 轴上，正项为 。 由 ，得 。 1. 由椭圆 得 ，故 ，焦点为 、。 2. 双曲线与椭圆共焦点，故焦点在 轴上，设方程为 。 3. 已知 ，故 。 4. 由 。 5. 所求方程为 。 答案： 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 17 解完我加了一句追问：如果椭圆换成 呢？学生立刻发现焦点跑到 轴，方程要重设。这一问，把“共焦点”和“换轴”两个考点缝在了一起。 一题多解： 3.2.1 双曲线及其标准方程 同一道题，不同的思路，看看哪种最顺。 求与椭圆 共焦点，且 的双曲线的标准方程。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 18 马上练一手 3.2.1 双曲线及其标准方程 换个数、换个问法，方法不变。 双曲线的焦点为 、，且 ，求它的标准方程。 答案：，，方程为 。 动点 满足 ，其中 、，点 的轨迹是什么？ 答案：，，故 ，轨迹是两条射线： 与 的部分（含端点）。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 19 变式 1 只改数，检查学生是否真会用 ；变式 2 直接考轨迹辨析， 这一步很多人会漏。两道题我都要求先口答思路再落笔，尤其是第二题，先说清 是多少。 再来两道，换个角度练 3.2.1 双曲线及其标准方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 20 2a 与 2c 比大小，轨迹换身份 3.2.1 双曲线及其标准方程 同一条等式，参数一变，轨迹就说另一种话。 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为 ，得到左右（或上下）两支。 两条射线： 只能落在线段 两侧的延长线上，曲线退化成射线。 或 前者不存在（两边之差大于第三边）；后者是线段 的垂直平分线。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 21 这一页是本节课的重头戏。我没有直接列表，而是让学生先算 ，再拿 去比。四种情形我请四位同学各说一种，说错的正好是“ 也叫双曲线”的那位。我让他看投影上的两条射线，他自己就笑了，全班也记住了。 待定系数法：三步写方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 不管焦点在哪条轴，写方程的流程只有三步。 定位 由焦点坐标或“共焦点”判断焦点轴，确定正项是 还是 。 设式 焦点在 轴设 ，只留 、 两个未知。 解参 用 与“过已知点”列方程，解出 、 后再回代。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 22 三步我写在黑板右侧，例 1、例 2 讲完都回头指一次。学生做题时最常漏的是第一步，拿到条件就设方程。我要求他们动笔前先写一行“焦点在 轴”，这行字就是思路的收据。 这些坑，提前标出来 3.2.1 双曲线及其标准方程 下面三种写法，考试里都见过。 错1 焦点在 轴，方程却写成 。 正项跟着焦点走：焦点在 轴就写 。 错2 用 去求双曲线的 。 双曲线中 最大，，算出来一定是正数。 错3 见到 就写“双曲线”。 必须补上 ，否则可能是射线、中垂线或不存在。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 23 第二条错误最顽固，因为椭圆那一套刚练熟。我不反复强调，而是让他们代一组数：、，用错公式得 。负数摆在那里，比任何提醒都有说服力。 不只说"错了"，还要说清"为什么错" 3.2.1 双曲线及其标准方程 把每一个错误背后的思维卡点拆开看一眼。 错1 焦点在 轴，方程却写成 。 错因： 正项跟着焦点走：焦点在 轴就写 。 错2 用 去求双曲线的 。 错因： 双曲线中 最大，，算出来一定是正数。 错3 见到 就写“双曲线”。 错因： 必须补上 ，否则可能是射线、中垂线或不存在。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 24 把方法固定成四步 3.2.1 双曲线及其标准方程 把这一节的方法压缩成四步，遇到新题也照这个顺序想。 1 定位 看焦点在哪条轴，决定哪一项取正。 2 设式 焦点在 轴设 ，未知量只留 、。 3 列条件 用 和“曲线过点”各列一个方程。 4 验轨迹 回头检查 ，确认图形真是双曲线而不是射线。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 25 四步里我特意加了“验轨迹”，这是双曲线独有的动作。学生写完方程就交卷，往往不回头看一眼 与 。我告诉他们：验轨迹只需五秒，却能把整道题的逻辑补齐。 当堂检测 3.2.1 双曲线及其标准方程 三道题，限时 6 分钟，做完同桌互查。 1. 双曲线 的焦点坐标是（　　） 答案：、，因为 。 2. 焦点为 、，且 的双曲线标准方程是（　　） 答案：，因为 。 3. 若 ，且 ，则点 的轨迹是（　　） 答案：两条射线，因为 ，双曲线退化。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 26 第 3 题我故意不给坐标系，只给距离，考的是纯轨迹判断。收卷后我先看第 3 题，写“双曲线”的同学大多是把 当成正常情形。第 1 题错的人则多是把 算成 ，还是椭圆的惯性。 这一节的知识链 3.2.1 双曲线及其标准方程 一条主线，四个节点。 换轴：正项跟着焦点走 → 推导：设点—列式—平方两次 → 方程： → 辨析： 与 比大小 双曲线的标准方程靠“正项”指认焦点； 与 的大小，决定它到底是双曲线、两条射线、中垂线，还是根本不存在。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 27 小结我让学生看着四个节点复述，卡在哪一个就回到那一页。多数人卡在第三个节点，我就把 、、 这组数报出来，让他们现场验 。数字一验，关系就落地了。 分层作业 3.2.1 双曲线及其标准方程 作业分三层，先保证 A 组全对，再挑战 B、C。 A 组 · 基础 1. 写出焦点在 轴上、、 的双曲线标准方程。 2. 双曲线 的焦点坐标是什么？ 3. 双曲线 上一点到两焦点距离之差的绝对值是多少？ B 组 · 提升 1. 求与椭圆 共焦点，且 的双曲线标准方程。 2. 已知双曲线焦点在 轴上，，且过点 ，求它的标准方程。 3. 若 、，方程 的轨迹是否存在？说明理由。 C 组 · 拓展 1. 动点 满足 ，、，分别讨论 取 、、 时的轨迹。 2. 已知双曲线 的焦距为 ，求 的值。 3. 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，求 的取值范围。 作业要求：写出完整过程，A 组限时 15 分钟，B 组 20 分钟，C 组可讨论。 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 28 A 组三题对应“写方程、读焦点、用定义”，B 组加逆向与共焦点，C 组要求分类讨论并说明理由。我规定 A 组必须全对才能交，B、C 允许留疑问。C 组第 1 题我会在第二天课前用投影统一讲，因为它把四种轨迹一次考全了。 从“和”到“差”，再把轴换过来 3.2.1 双曲线及其标准方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第 1 课时） · 合上书，先默写焦点在 轴的标准方程与 。 · 再用一句话说清 与 的四种大小关系。 · 预习：双曲线的两支，会不会无限接近某条直线？ 本节结束 · 请用“正项指焦点”自查一遍方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 高中数学 · 人教A版（2019）选择性必修第一册 29 结束页我只留一个问题：两支会不会无限接近某条直线？这不是抢跑，而是把下一课的“渐近线”提前挂个钩子。学生带着这个问题走出教室，下一节课我一开口，他们就知道要接哪一句。 $