3.3.1 抛物线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3 3.3.1 抛物线及其标准方程 人教A版2019选择性必修第一册 目录 C A T A L O G 01.定义与标准方程 02.求标准方程 03.定义的应用 04.小结与随堂检测 导入新知 初中已知：二次函数 的图象是一条抛物线。 反过来看：抛物线上的点，到某个 与某条 的距离， 会不会有某种固定的相等关系？ 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/35　·　步 1/2 导入新知 初中已知：二次函数 的图象是一条抛物线。 反过来看：抛物线上的点，到某个 定点 与某条 定直线 的距离， 会不会有某种固定的相等关系？ 动手描点：取定点 F(1,0) 与定直线 l:x=-1，到两者距离相等的点 (0,0)、(1,±2)、(4,±4) 连成一条曲线，它的方程是 y²=4x。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　导入与目标　·　03/35　·　步 2/2 学习目标 1．通过描点与实例，理解抛物线的定义，能指出焦点与准线，理解“定点不在定直线上”这一条件。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/35　·　步 1/3 学习目标 1．通过描点与实例，理解抛物线的定义，能指出焦点与准线，理解“定点不在定直线上”这一条件。 2．经历用坐标法推导标准方程的过程，掌握四种标准方程的形式、焦点坐标与准线方程，理解 p 的几何意义。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/35　·　步 2/3 学习目标 1．通过描点与实例，理解抛物线的定义，能指出焦点与准线，理解“定点不在定直线上”这一条件。 2．经历用坐标法推导标准方程的过程，掌握四种标准方程的形式、焦点坐标与准线方程，理解 p 的几何意义。 3．能根据焦点位置或已知点求标准方程， 会用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离， 并解决简单的距离问题与实际应用问题。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　导入与目标　·　04/35　·　步 3/3 3.3.1 抛物线及其标准方程 01 定义与标准方程 学习新知 考点：抛物线的定义 平面内，动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 ， 则点 M 的轨迹叫做 ，定点 F 叫做 ，定直线 l 叫做 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　06/35　·　步 1/2 学习新知 考点：抛物线的定义 平面内，动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 相等 ， 则点 M 的轨迹叫做 抛物线 ，定点 F 叫做 焦点 ，定直线 l 叫做 准线 。 提醒：定义要求定点 F 不在定直线 l 上；若 F 在 l 上，轨迹是一条过 F 且垂直于 l 的直线，不是抛物线。抛物线的顶点是它与对称轴的交点。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　06/35　·　步 2/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 到定点 与到定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线。（　） (2) 抛物线的焦点在它自己的图象上。（　） 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　07/35　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 到定点 与到定直线 距离相等的点的轨迹是抛物线。（　） (2) 抛物线的焦点在它自己的图象上。（　） （1）×。此时 F 在 l 上。设动点 M(x,y)，由距离相等得 ，轨迹是 y 轴，是一条直线。 （2）×。把焦点代入标准方程 y²=2px：左边为 0、右边为 p²>0，两边不相等，所以焦点不在抛物线上（顶点才是抛物线与对称轴的交点）。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　07/35　·　步 2/2 学习新知 用坐标法推导：过焦点 F 作准线 l 的垂线，垂足记 K， 记 （ ）。取 FK 中点为原点、FK 所在直线为 x 轴， 则 ，准线 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　08/35　·　步 1/3 学习新知 用坐标法推导：过焦点 F 作准线 l 的垂线，垂足记 K， 记 （ ）。取 FK 中点为原点、FK 所在直线为 x 轴， 则 ，准线 。 设 ，由定义 平方整理得标准方程 y²=2px（p>0），开口向右、顶点在原点。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　08/35　·　步 2/3 学习新知 用坐标法推导：过焦点 F 作准线 l 的垂线，垂足记 K， 记 （ ）。取 FK 中点为原点、FK 所在直线为 x 轴， 则 ，准线 。 设 ，由定义 平方整理得标准方程 y²=2px（p>0），开口向右、顶点在原点。 这里 是焦点到准线的距离， 越大开口越阔。 顶点到焦点的距离是 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　08/35　·　步 3/3 学习新知 顶点在原点、焦点在坐标轴上的四种标准方程（p>0）： 向右　焦点 　准线 向左　焦点 　准线 向上　焦点 　准线 向下　焦点 　准线 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　09/35　·　步 1/2 学习新知 顶点在原点、焦点在坐标轴上的四种标准方程（p>0）： 向右　焦点 　准线 向左　焦点 　准线 向上　焦点 　准线 向下　焦点 　准线 提醒：形如 y=ax²、x=ay² 的式子不是标准方程，一次项系数不能直接当作 2p。先变形为“平方项＝一次项”，再读焦点与准线。 识别两点：平方项是 y² 时焦点在 x 轴、是 x² 时焦点在 y 轴；一次项系数为正时开口对着该轴正方向。焦点非零分量的绝对值＝一次项系数绝对值的四分之一。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　09/35　·　步 2/2 例题精讲 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 例 1 抛物线 的焦点坐标为（　） A． B． C． D． 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　10/35　·　步 1/4 例题精讲 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 例 1 抛物线 的焦点坐标为（　） A． B． C． D． 先把 y=4x² 化成标准形式，平方项单独留在左边： 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　10/35　·　步 2/4 例题精讲 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 例 1 抛物线 的焦点坐标为（　） A． B． C． D． 先把 y=4x² 化成标准形式，平方项单独留在左边： 平方项是 ⇒ 焦点在 y 轴；系数为正 ⇒ 开口向上；纵坐标为 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　10/35　·　步 3/4 例题精讲 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 例 1 抛物线 的焦点坐标为（　） A． B． C． D． 先把 y=4x² 化成标准形式，平方项单独留在左边： 平方项是 ⇒ 焦点在 y 轴；系数为正 ⇒ 开口向上；纵坐标为 答案　A 点评：先化标准形式，再用“一次项系数除以 4”得焦点；B 把焦点错放在了 x 轴上。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　10/35　·　步 4/4 变式训练 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 变式 1 抛物线 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　11/35　·　步 1/3 变式训练 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 变式 1 抛物线 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 已是标准形式：平方项为 y² ⇒ 焦点在 x 轴，一次项系数 2p=6。 ⇒ 焦点在 x 轴正半轴。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　11/35　·　步 2/3 变式训练 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 变式 1 抛物线 的焦点坐标是（　） A． B． C． D． 已是标准形式：平方项为 y² ⇒ 焦点在 x 轴，一次项系数 2p=6。 ⇒ 焦点在 x 轴正半轴。 答案　A 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　11/35　·　步 3/3 方法归纳 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 ① 先把方程化成“平方项＝一次项”的标准形式； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　12/35　·　步 1/3 方法归纳 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 ① 先把方程化成“平方项＝一次项”的标准形式； ② 由平方项定焦点所在轴，由系数正负定开口方向； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　12/35　·　步 2/3 方法归纳 考点：由方程读取焦点坐标与准线方程 ① 先把方程化成“平方项＝一次项”的标准形式； ② 由平方项定焦点所在轴，由系数正负定开口方向； ③ 一次项系数除以 4 得焦点非零分量，准线与焦点只变一个符号。 标准方程里一次项系数是 2p 而不是 p，求焦点还要再除以 2。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义与标准方程　·　12/35　·　步 3/3 3.3.1 抛物线及其标准方程 02 求抛物线的标准方程 学习新知 求标准方程仍用待定系数法，但要先“定形式”： 第一步　定位：看焦点在哪条坐标轴上，确定平方项是 y² 还是 x²； 第二步　定形：看开口朝向该轴的正方向还是负方向，确定一次项系数的正负； 第三步　定量：把已知点代入，求出一次项系数，也就是求出 2p。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　14/35　·　步 1/2 学习新知 求标准方程仍用待定系数法，但要先“定形式”： 第一步　定位：看焦点在哪条坐标轴上，确定平方项是 y² 还是 x²； 第二步　定形：看开口朝向该轴的正方向还是负方向，确定一次项系数的正负； 第三步　定量：把已知点代入，求出一次项系数，也就是求出 2p。 提醒：只说“焦点在坐标轴上”而未指明在哪条轴时，y²=mx 与 x²=ny（m、n≠0）两种设法都要试；解出符号后开口方向自然确定，只求出一个方程就是漏解。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　14/35　·　步 2/2 例题精讲 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 例 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 焦点为 ； (2) 顶点在原点，焦点在坐标轴上，且经过点 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　15/35　·　步 1/3 例题精讲 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 例 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 焦点为 ； (2) 顶点在原点，焦点在坐标轴上，且经过点 。 (1) 焦点在 y 轴负半轴 ⇒ 设 ，由 得 p=6 ⇒ 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　15/35　·　步 2/3 例题精讲 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 例 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 焦点为 ； (2) 顶点在原点，焦点在坐标轴上，且经过点 。 (1) 焦点在 y 轴负半轴 ⇒ 设 ，由 得 p=6 ⇒ (2) 未指明在哪条轴，分两类分别代入 (-4,2)： 设 ： ⇒ m=-1 ⇒ ； 设 ： ⇒ n=8 ⇒ 。两解都要写。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　15/35　·　步 3/3 变式训练 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 变式 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 准线方程为 ； (2) 顶点在原点、对称轴为 x 轴，且经过点 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　16/35　·　步 1/3 变式训练 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 变式 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 准线方程为 ； (2) 顶点在原点、对称轴为 x 轴，且经过点 。 (1) 准线 在 x 轴上方 ⇒ 焦点在 y 轴负半轴，设 ， ⇒ 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　16/35　·　步 2/3 变式训练 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 变式 2　求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1) 准线方程为 ； (2) 顶点在原点、对称轴为 x 轴，且经过点 。 (1) 准线 在 x 轴上方 ⇒ 焦点在 y 轴负半轴，设 ， ⇒ (2) 对称轴为 x 轴，设 ，代入 (2,-4)： ⇒ m=8 ⇒ 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　16/35　·　步 3/3 方法归纳 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 ① 给了焦点或准线：直接定位置与形状，再由焦点到准线距离的一半定大小； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　17/35　·　步 1/3 方法归纳 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 ① 给了焦点或准线：直接定位置与形状，再由焦点到准线距离的一半定大小； ② 只说“焦点在坐标轴上”：分 y²=mx、x²=ny 两类分别代入已知点； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　17/35　·　步 2/3 方法归纳 考点：待定系数法求抛物线的标准方程 ① 给了焦点或准线：直接定位置与形状，再由焦点到准线距离的一半定大小； ② 只说“焦点在坐标轴上”：分 y²=mx、x²=ny 两类分别代入已知点； ③ 实际问题：先建系让顶点（拱顶）落在原点，把宽度、高度写成点坐标代入。 统一设 y²=mx 或 x²=ny 时，不必先对开口方向分类，符号自动给出方向。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　17/35　·　步 3/3 例题精讲 考点：由几何条件求焦点坐标 例 3　已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 （a>0）截得的线段长为 4，求该抛物线的焦点坐标。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　18/35　·　步 1/4 例题精讲 考点：由几何条件求焦点坐标 例 3　已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 （a>0）截得的线段长为 4，求该抛物线的焦点坐标。 直线 l 为 x=1；它与抛物线的两个交点关于 x 轴对称，弦长 4 ⇒ 交点为 (1,2)、(1,-2)。 把 (1,2) 代入 ： ⇒ a=1，抛物线为 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　18/35　·　步 2/4 例题精讲 考点：由几何条件求焦点坐标 例 3　已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 （a>0）截得的线段长为 4，求该抛物线的焦点坐标。 直线 l 为 x=1；它与抛物线的两个交点关于 x 轴对称，弦长 4 ⇒ 交点为 (1,2)、(1,-2)。 把 (1,2) 代入 ： ⇒ a=1，抛物线为 此时 ， ，焦点为 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　18/35　·　步 3/4 例题精讲 考点：由几何条件求焦点坐标 例 3　已知直线 l 过点 (1,0) 且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 （a>0）截得的线段长为 4，求该抛物线的焦点坐标。 直线 l 为 x=1；它与抛物线的两个交点关于 x 轴对称，弦长 4 ⇒ 交点为 (1,2)、(1,-2)。 把 (1,2) 代入 ： ⇒ a=1，抛物线为 此时 ， ，焦点为 点评：垂直于 x 轴的直线截得的弦关于 x 轴对称，半弦长就是交点的纵坐标；这里只需把交点坐标代入方程。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　18/35　·　步 4/4 变式训练 考点：建立坐标系解决抛物线实际问题 变式 3 一抛物线形拱桥，桥拱与 （p>0）同形。水面在 l 处时，拱顶离水面 2 米、 水面宽 4 米。水位下降 1 米后，水面宽（　） A． B． C． D． 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　19/35　·　步 1/4 变式训练 考点：建立坐标系解决抛物线实际问题 变式 3 一抛物线形拱桥，桥拱与 （p>0）同形。水面在 l 处时，拱顶离水面 2 米、 水面宽 4 米。水位下降 1 米后，水面宽（　） A． B． C． D． 以拱顶为原点建系，开口向下。水面宽 4、高 2 ⇒ 交点 (2,-2)： 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　19/35　·　步 2/4 变式训练 考点：建立坐标系解决抛物线实际问题 变式 3 一抛物线形拱桥，桥拱与 （p>0）同形。水面在 l 处时，拱顶离水面 2 米、 水面宽 4 米。水位下降 1 米后，水面宽（　） A． B． C． D． 以拱顶为原点建系，开口向下。水面宽 4、高 2 ⇒ 交点 (2,-2)： 水位下降 1 米后水面所在直线为 y=-3，代入： ⇒ 水面宽 米。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　19/35　·　步 3/4 变式训练 考点：建立坐标系解决抛物线实际问题 变式 3 一抛物线形拱桥，桥拱与 （p>0）同形。水面在 l 处时，拱顶离水面 2 米、 水面宽 4 米。水位下降 1 米后，水面宽（　） A． B． C． D． 以拱顶为原点建系，开口向下。水面宽 4、高 2 ⇒ 交点 (2,-2)： 水位下降 1 米后水面所在直线为 y=-3，代入： ⇒ 水面宽 米。 答案　B 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　求标准方程　·　19/35　·　步 4/4 3.3.1 抛物线及其标准方程 03 抛物线定义的应用 学习新知 考点：抛物线定义的距离转化 定义给出的核心转化：抛物线上任一点到焦点的距离 它到准线的距离。 于是求 不必代入两点间距离公式， 直接写成该点到准线的距离即可。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　21/35　·　步 1/2 学习新知 考点：抛物线定义的距离转化 定义给出的核心转化：抛物线上任一点到焦点的距离 等于 它到准线的距离。 于是求 不必代入两点间距离公式， 直接写成该点到准线的距离即可。 两条用途：① 开口向右时横坐标 x≥0，到 y 轴的距离就是横坐标 x，绝对值可直接去掉；② 点到准线的距离＝该点横坐标加上 p 的一半，它正是 |PF|；求 |PF| 不必用两点间距离公式。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　21/35　·　步 2/2 例题精讲 考点：抛物线定义的距离转化 例 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上。 若 M 到直线 的距离为 5，则 （　） A．7 B．6 C．5 D．4 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　22/35　·　步 1/4 例题精讲 考点：抛物线定义的距离转化 例 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上。 若 M 到直线 的距离为 5，则 （　） A．7 B．6 C．5 D．4 C 中 2p=8、p=4，准线为 x=-2；M 的横坐标 x₀≥0。 M 到 的距离为 ⇒ 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　22/35　·　步 2/4 例题精讲 考点：抛物线定义的距离转化 例 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上。 若 M 到直线 的距离为 5，则 （　） A．7 B．6 C．5 D．4 C 中 2p=8、p=4，准线为 x=-2；M 的横坐标 x₀≥0。 M 到 的距离为 ⇒ 由定义 等于 M 到准线 的距离： 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　22/35　·　步 3/4 例题精讲 考点：抛物线定义的距离转化 例 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 M 在 C 上。 若 M 到直线 的距离为 5，则 （　） A．7 B．6 C．5 D．4 C 中 2p=8、p=4，准线为 x=-2；M 的横坐标 x₀≥0。 M 到 的距离为 ⇒ 由定义 等于 M 到准线 的距离： 答案　D 点评：先把 x=-3 与准线 x=-2 的距离差 1 看清，再由 x₀+3=5 定横坐标，最后用定义得 |MF|。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　22/35　·　步 4/4 变式训练 考点：抛物线定义的距离转化 变式 4 已知点 P 在抛物线 上，若 P 到该抛物线焦点的距离 是 P 到 y 轴距离的 2 倍，则点 P 的横坐标是＿＿。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　23/35　·　步 1/3 变式训练 考点：抛物线定义的距离转化 变式 4 已知点 P 在抛物线 上，若 P 到该抛物线焦点的距离 是 P 到 y 轴距离的 2 倍，则点 P 的横坐标是＿＿。 抛物线的准线为 ，设 ， ，则 P 到 y 轴距离为 。由 得 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　23/35　·　步 2/3 变式训练 考点：抛物线定义的距离转化 变式 4 已知点 P 在抛物线 上，若 P 到该抛物线焦点的距离 是 P 到 y 轴距离的 2 倍，则点 P 的横坐标是＿＿。 抛物线的准线为 ，设 ， ，则 P 到 y 轴距离为 。由 得 。 答案　横坐标为 1 点评：到焦点的距离换成到准线的距离，就把“到两处的距离关系”变成关于 x₀ 的一元方程。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　23/35　·　步 3/3 方法归纳 考点：抛物线定义的距离转化 ① 看到“到焦点的距离”，先想“到准线的距离”，用定义替换； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　24/35　·　步 1/3 方法归纳 考点：抛物线定义的距离转化 ① 看到“到焦点的距离”，先想“到准线的距离”，用定义替换； ② 与准线平行的直线（如 y 轴、x=-3）：先算它与准线的距离，再与 |PF| 加减； 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　24/35　·　步 2/3 方法归纳 考点：抛物线定义的距离转化 ① 看到“到焦点的距离”，先想“到准线的距离”，用定义替换； ② 与准线平行的直线（如 y 轴、x=-3）：先算它与准线的距离，再与 |PF| 加减； ③ 开口向右时横坐标非负，到 y 轴距离＝横坐标，可去掉绝对值。 开口向右：|PF|＝横坐标＋p 的一半；开口向上：|PF|＝纵坐标＋p 的一半。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　24/35　·　步 3/3 例题精讲 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 例 5 若抛物线 （p>0）的焦点，是椭圆 的一个焦点，则 p=（　） A．2 B．3 C．4 D．8 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　25/35　·　步 1/4 例题精讲 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 例 5 若抛物线 （p>0）的焦点，是椭圆 的一个焦点，则 p=（　） A．2 B．3 C．4 D．8 椭圆中 3p>p>0，故 a²=3p、b²=p， ⇒ 焦点 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　25/35　·　步 2/4 例题精讲 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 例 5 若抛物线 （p>0）的焦点，是椭圆 的一个焦点，则 p=（　） A．2 B．3 C．4 D．8 椭圆中 3p>p>0，故 a²=3p、b²=p， ⇒ 焦点 抛物线焦点为 ，由 平方： ，因 p>0 得 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　25/35　·　步 3/4 例题精讲 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 例 5 若抛物线 （p>0）的焦点，是椭圆 的一个焦点，则 p=（　） A．2 B．3 C．4 D．8 椭圆中 3p>p>0，故 a²=3p、b²=p， ⇒ 焦点 抛物线焦点为 ，由 平方： ，因 p>0 得 答案　D 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　25/35　·　步 4/4 变式训练 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 变式 5 点 A 在抛物线 （p>0）上，A 到 C 的焦点 的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　26/35　·　步 1/3 变式训练 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 变式 5 点 A 在抛物线 （p>0）上，A 到 C 的焦点 的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 A 到 y 轴距离 9、又在 y²=2px 上 ⇒ A 的横坐标 x=9。 由定义，到焦点距离 = 到准线 的距离： 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　26/35　·　步 2/3 变式训练 考点：圆锥曲线焦点关系的综合 变式 5 点 A 在抛物线 （p>0）上，A 到 C 的焦点 的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 A 到 y 轴距离 9、又在 y²=2px 上 ⇒ A 的横坐标 x=9。 由定义，到焦点距离 = 到准线 的距离： 解得 p=6。答案　C 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　定义的应用　·　26/35　·　步 3/3 3.3.1 抛物线及其标准方程 04 小结与随堂检测 课堂小结 定义与方程 到定点＝到定直线（F 不在 l 上）； p 是焦点到准线的距离， 顶点到焦点的距离是 p 的一半。 四种标准方程 y²=±2px（x 轴）、x²=±2py（y 轴）； 平方项定焦点轴，系数符号定开口； 焦点非零分量＝系数的四分之一。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　28/35　·　步 1/2 课堂小结 定义与方程 到定点＝到定直线（F 不在 l 上）； p 是焦点到准线的距离， 顶点到焦点的距离是 p 的一半。 四种标准方程 y²=±2px（x 轴）、x²=±2py（y 轴）； 平方项定焦点轴，系数符号定开口； 焦点非零分量＝系数的四分之一。 求方程＝先定形式（定位、定形），再待定系数（定量）；只给“焦点在坐标轴上”时两种设法都要试。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　28/35　·　步 2/2 题后反思 ● 把 y=ax² 当标准方程：应先变形，使平方项单独留在等号一边，再读焦点、准线。 ● 把一次项系数当 p：焦点非零分量是系数的四分之一，而不是一半。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　29/35　·　步 1/3 题后反思 ● 把 y=ax² 当标准方程：应先变形，使平方项单独留在等号一边，再读焦点、准线。 ● 把一次项系数当 p：焦点非零分量是系数的四分之一，而不是一半。 ● 漏解：只说“焦点在坐标轴上”，y²=mx 与 x²=ny 都要讨论。 ● 求 |PF| 仍用两点距离公式：应先想到准线，用定义把距离平移。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　29/35　·　步 2/3 题后反思 ● 把 y=ax² 当标准方程：应先变形，使平方项单独留在等号一边，再读焦点、准线。 ● 把一次项系数当 p：焦点非零分量是系数的四分之一，而不是一半。 ● 漏解：只说“焦点在坐标轴上”，y²=mx 与 x²=ny 都要讨论。 ● 求 |PF| 仍用两点距离公式：应先想到准线，用定义把距离平移。 到 y 轴、到与准线平行的直线的距离，都能与 |PF| 互相加减转化。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　29/35　·　步 3/3 当堂检测 当堂检测 检测 1 抛物线 的焦点坐标是（　） A．(4,0) B．(8,0) C．(0,4) D．(0,8) 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　30/35　·　步 1/2 当堂检测 当堂检测 检测 1 抛物线 的焦点坐标是（　） A．(4,0) B．(8,0) C．(0,4) D．(0,8) 平方项为 y² ⇒ 焦点在 x 轴；一次项系数 2p=16 ⇒ p=8，焦点横坐标＝p 的一半＝4。 焦点为 。答案 A。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　30/35　·　步 2/2 当堂检测 当堂检测 检测 2 抛物线 的准线方程是（　） A．y=1 B．y=-1 C．x=1 D．x=-1 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　31/35　·　步 1/2 当堂检测 当堂检测 检测 2 抛物线 的准线方程是（　） A．y=1 B．y=-1 C．x=1 D．x=-1 平方项为 x² ⇒ 焦点在 y 轴、开口向下；2p=4 ⇒ p=2，焦点纵坐标＝p 的一半＝1。 焦点 ，准线只变符号 ⇒ 。答案 A。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　31/35　·　步 2/2 当堂检测 当堂检测 检测 3 抛物线 （p>0）的顶点到焦点的距离为 3， 则 p=＿＿。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　32/35　·　步 1/2 当堂检测 当堂检测 检测 3 抛物线 （p>0）的顶点到焦点的距离为 3， 则 p=＿＿。 顶点（原点）到焦点的距离等于 p 的一半。 由 得 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　32/35　·　步 2/2 当堂检测 当堂检测 检测 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 P 在 C 上， 且 ，求点 P 的坐标。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　33/35　·　步 1/2 当堂检测 当堂检测 检测 4 已知抛物线 的焦点为 F，点 P 在 C 上， 且 ，求点 P 的坐标。 准线为 x=-1，设 P(x₀,y₀)，x₀≥0。由定义 |PF|=x₀+1=5，得 x₀=4。 代入方程 ⇒ 。 所以 P 的坐标为 或 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　33/35　·　步 2/2 当堂检测 当堂检测 检测 5 已知抛物线 的焦点为 F，O 为原点，P 在 C 上， 且 ，求 的面积。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　34/35　·　步 1/3 当堂检测 当堂检测 检测 5 已知抛物线 的焦点为 F，O 为原点，P 在 C 上， 且 ，求 的面积。 2p=8 ⇒ p=4，准线 x=-2，焦点 F(2,0)。由 |PF|=x₀+2=7 得 x₀=5， ，以 OF 为底、|y₀| 为高。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　34/35　·　步 2/3 当堂检测 当堂检测 检测 5 已知抛物线 的焦点为 F，O 为原点，P 在 C 上， 且 ，求 的面积。 2p=8 ⇒ p=4，准线 x=-2，焦点 F(2,0)。由 |PF|=x₀+2=7 得 x₀=5， ，以 OF 为底、|y₀| 为高。 所以 △OPF 的面积为 。 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　小结与随堂检测　·　34/35　·　步 3/3 本节课到此结束 下节预告　3.3.2 抛物线的简单几何性质 人教A版2019选择性必修第一册 $