3.3.2抛物线的简单几何性质（第1课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2(第一课时) 抛物线的简单几何性质 前情回顾 四种抛物线的标准方程： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 注意 焦点到准线的距离 学 习 目 标 1 2 3 了解抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质. 理解抛物线标准方程中的几何意义. 能运用抛物线的简单几何性质求抛物线的标准方程. 我们一起来探究“抛物线的简单几何性质”吧！ 读教材 阅读课本P134-P135，5分钟后完成下列问题： 1.写出抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质？ 2.直线过抛物线的焦点的弦长公式是什么？ 新课引入 椭圆的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率 双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，应研究 抛物线①的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 学习过程 01 03 02 目录 1 抛物线的简单几何性质 2 过焦点的弦长 3 题型训练 新知探究1 问题1 观察抛物线，它有怎样的范围？利用它的方程给出证明？ 1.范围：的范围：的范围： 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 如图，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧， 开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大， 新知探究1 问题2 观察抛物线的形状具有怎样的对称性？ 2.对称性：焦点所在的轴是抛物线的对称轴，抛物线是轴对称图形. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 如图，时方程不变，即当点 在抛物线上时，它关于轴的对称点 也在抛物线上，所以该抛物线关于轴对称. 新知探究1 问题3 抛物线上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？ 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中， 当时，， 因此抛物线的顶点就是原点. 3.顶点：抛物线与坐标轴的交点叫做抛物线的顶点(原点). 新知探究1 问题4 抛物线的离心率是多少？ 4.离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离 的比 ，叫做抛物线的离心率，． 动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 即. 当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线. l 概念 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 范围 对称性 关于轴对称 关于轴对称 顶点和离心率 顶点(0,0)，离心率 练习巩固 练习1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)关于轴对称，并且经过点； 解：关于轴对称，并且经过点 设抛物线方程为， 代入点得： 方程为. 练习巩固 练习1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (2)关于轴对称，准线经过点； 解：关于轴对称，准线经过点 设抛物线方程为 准线经过点得： 方程为. 练习巩固 练习1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (3)准线在轴的右侧，顶点到准线的距离是； 解：准线在设抛物线方程为 得： 方程为. 练习巩固 练习1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (4)焦点在轴负半轴上，经过横坐标为16的点，且平行于准线. 解：焦点轴负半轴上，设抛物线方程为 经过横坐标为16的点，且平行于准线得： 方程为. 学习过程 01 03 02 目录 1 抛物线的简单几何性质 2 过焦点的弦长 3 题型训练 新知探究1 思考 在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线 开口大小与方程中的系数的关系： ； ； ； ； 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图. 抛物线图象得， 的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大． 新知探究1 思考 是抛物线过焦点 的一条弦，直线的倾斜角为 ， 设,，过, 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ,，为准线与 轴的交点.对于抛物线的焦点弦，有如下结论： ，准线为，设， 两点到准线的距离分别为，， 由抛物线的定义， 可知， ， 于是 焦点弦： 通径： 过焦点且与 轴垂直的弦长为2 概念 过焦点的弦长 标准方程 图形 焦半径 焦点弦 通径 (越大，开口越开阔) 焦点弦：直线与抛物线相交于，. 练习巩固 练习1 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点， 求线段的长？ 解：因为直线的斜率为，且过焦点， 所以直线的方程为 . 消去，得. 所以，.所以，线段的长是. 练习巩固 解：设直线：，， 消去，得， 得，， 所以. 练习2 过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求？ 练习巩固 练习3 垂直于轴的直线交抛物线两点，且， 求直线的方程？ 解：设直线：，， 消去，得， 学习过程 01 03 02 目录 1 抛物线的简单几何性质 2 过焦点的弦长 3 题型训练 抛物线的几何性质 题型1 题型探究 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)(2)4+3；(3)+；(4) 解：(1)焦点坐标：(0,)，准线方程：； (2)4焦点坐标：(0,)，准线方程：； (3)焦点坐标：(,0)，准线方程：； (4)焦点坐标：(,0)，准线方程： 由几何性质求抛物线标准方程 题型2 题型探究 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点关于准线的对称点为； 解：焦点 设抛物线方程为， 方程为. 由几何性质求抛物线标准方程 题型2 题型探究 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (2)关于轴对称，与直线. 解：关于轴对称，直线 设抛物线方程为，代入 课堂小结 图形 标准方程 范围 对称性 关于轴对称 关于轴对称 顶点和离心率 顶点(0,0)，离心率 抛物线的几何性质： 感谢聆听! $