3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 3 章 3.2 双曲线 3.2.2 双曲线的简单几何性质 人教A版2019选择性必修第一册 目录 C A T A L O G 01.范围、顶点与轴 02.渐近线与求方程 03.离心率与焦点综合 04.小结与随堂检测 导入新知 由方程看图形 上一讲由定义推出标准方程； 这一讲反过来：方程把图形限制在哪里？ 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　03/51　·　步 1/3 导入新知 由方程看图形 上一讲由定义推出标准方程； 这一讲反过来：方程把图形限制在哪里？ 标准方程： （ ） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　03/51　·　步 2/3 导入新知 由方程看图形 上一讲由定义推出标准方程； 这一讲反过来：方程把图形限制在哪里？ 标准方程： （ ） 移项后，x² 总等于 a² 加上一个非负数。这对方程中的 x、y 施加了什么限制？ 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　03/51　·　步 3/3 学习目标 1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴与虚轴，理解渐近线和离心率的几何意义，能由标准方程读出这些量并画草图。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/51　·　步 1/3 学习目标 1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴与虚轴，理解渐近线和离心率的几何意义，能由标准方程读出这些量并画草图。 2．会由标准方程求实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率，也能由这些性质求双曲线的标准方程。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/51　·　步 2/3 学习目标 1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、实轴与虚轴，理解渐近线和离心率的几何意义，能由标准方程读出这些量并画草图。 2．会由标准方程求实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率，也能由这些性质求双曲线的标准方程。 3．会用 a、b、c 的齐次关系求离心率，会把焦点到渐近线的距离、渐近线的斜率转化为离心率的条件，体会双曲线与椭圆的联系与差异。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/51　·　步 3/3 3.2.2 双曲线的简单几何性质 01 范围、顶点与轴 学习新知 双曲线 （ ）移项得 因为 ，所以 ，即 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　06/51　·　步 1/3 学习新知 双曲线 （ ）移项得 因为 ，所以 ，即 。 提醒：范围含端点，顶点就在曲线上。y 可以取任意实数，两支向上、下无限延伸。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　06/51　·　步 2/3 学习新知 双曲线 （ ）移项得 因为 ，所以 ，即 。 提醒：范围含端点，顶点就在曲线上。y 可以取任意实数，两支向上、下无限延伸。 结论： 或 ，图象落在直线 的外侧。 纵坐标 取任意实数，图象向 轴正、负两个方向无限延伸。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　06/51　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 双曲线 上点的横坐标满足 。（　） (2) 双曲线 上不存在横坐标为 1 的点。（　） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　07/51　·　步 1/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 双曲线 上点的横坐标满足 。（　） (2) 双曲线 上不存在横坐标为 1 的点。（　） （1）×。范围是 x≤−2 或 x≥2，取点 (4,3)： ，点 (4,3) 在双曲线上，此时 。 （2）√。把 代入得 ，即 ，无实数解。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　07/51　·　步 2/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 双曲线 上点的横坐标满足 。（　） (2) 双曲线 上不存在横坐标为 1 的点。（　） （1）×。范围是 x≤−2 或 x≥2，取点 (4,3)： ，点 (4,3) 在双曲线上，此时 。 （2）√。把 代入得 ，即 ，无实数解。 横坐标被两条直线夹在“外侧”，不是夹在“中间”。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　07/51　·　步 3/3 学习新知 把 换成 、把 换成 、或同时换，方程都不变。 所以双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。 令 得 ，交点 、 是顶点； 令 得 ：无实数解。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　08/51　·　步 1/3 学习新知 把 换成 、把 换成 、或同时换，方程都不变。 所以双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。 令 得 ，交点 、 是顶点； 令 得 ：无实数解。 点 P 在曲线上时，它的三个对称点 P₁、P₂、P₃ 也都在曲线上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　08/51　·　步 2/3 学习新知 把 换成 、把 换成 、或同时换，方程都不变。 所以双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。 令 得 ，交点 、 是顶点； 令 得 ：无实数解。 点 P 在曲线上时，它的三个对称点 P₁、P₂、P₃ 也都在曲线上。 对称轴就是坐标轴，中心是原点——这是上一讲建系时选的结果。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　08/51　·　步 3/3 应用新知 (1) 双曲线 只有 轴一条对称轴。（　） (2) 若点 在双曲线上，则点 也在该双曲线上。（　） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　09/51　·　步 1/3 应用新知 (1) 双曲线 只有 轴一条对称轴。（　） (2) 若点 在双曲线上，则点 也在该双曲线上。（　） （1）×。把 x 换成 −x，方程不变，y 轴也是对称轴。 例如 与 都在 上。 （2）√。代入 ，左边不变，等式仍成立。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　09/51　·　步 2/3 应用新知 (1) 双曲线 只有 轴一条对称轴。（　） (2) 若点 在双曲线上，则点 也在该双曲线上。（　） （1）×。把 x 换成 −x，方程不变，y 轴也是对称轴。 例如 与 都在 上。 （2）√。代入 ，左边不变，等式仍成立。 判断对称性：把 x、y 换成相反数后代回方程，看方程是否改变。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　09/51　·　步 3/3 学习新知 线段 叫做双曲线的 ，长 ； 线段 叫做双曲线的 ，长 。 但 、 都不在双曲线上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　10/51　·　步 1/3 学习新知 线段 叫做双曲线的 实轴 ，长 2a ； 线段 叫做双曲线的 虚轴 ，长 2b 。 但 、 都不在双曲线上。 提醒：实轴在焦点所在的轴上，a² 是较大分母；虚轴长 2b 不是曲线上的跨度。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　10/51　·　步 2/3 学习新知 线段 叫做双曲线的 实轴 ，长 2a ； 线段 叫做双曲线的 虚轴 ，长 2b 。 但 、 都不在双曲线上。 提醒：实轴在焦点所在的轴上，a² 是较大分母；虚轴长 2b 不是曲线上的跨度。 以 、 为直角边，斜边长恰为 。 焦距 中的 ，焦点在顶点外侧。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　10/51　·　步 3/3 应用新知 (1) 双曲线 的虚轴端点 、 在双曲线上。（　） (2) 双曲线 的实轴长是 9。（　） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　11/51　·　步 1/3 应用新知 (1) 双曲线 的虚轴端点 、 在双曲线上。（　） (2) 双曲线 的实轴长是 9。（　） （1）×。令 x=0 后 y² 项系数为负，不可能等于 1；B₂(0,2) 代入得 −1=1，不成立。 （2）×。化成标准方程 ， ，实轴长 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　11/51　·　步 2/3 应用新知 (1) 双曲线 的虚轴端点 、 在双曲线上。（　） (2) 双曲线 的实轴长是 9。（　） （1）×。令 x=0 后 y² 项系数为负，不可能等于 1；B₂(0,2) 代入得 −1=1，不成立。 （2）×。化成标准方程 ， ，实轴长 。 先化成右边为 1 的标准形式，再读 a、b；轴长是 2a、2b。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　11/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：由标准方程读取几何性质 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　12/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：由标准方程读取几何性质 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 方程已是标准形式，正号项的分母大，焦点在 x 轴上： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　12/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：由标准方程读取几何性质 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 方程已是标准形式，正号项的分母大，焦点在 x 轴上： 实轴长 2a=8，虚轴长 2b=6； 顶点 ，焦点 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　12/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：由标准方程读取几何性质 例 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 方程已是标准形式，正号项的分母大，焦点在 x 轴上： 实轴长 2a=8，虚轴长 2b=6； 顶点 ，焦点 。 点评：先定焦点所在轴，再由 c²=a²+b² 求 c；轴长取 2a、2b。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　12/51　·　步 4/4 变式训练 考点：由标准方程读取几何性质 变式 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　13/51　·　步 1/4 变式训练 考点：由标准方程读取几何性质 变式 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 两边同除以 36，正号项在 y² 下面，焦点在 y 轴上： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　13/51　·　步 2/4 变式训练 考点：由标准方程读取几何性质 变式 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 两边同除以 36，正号项在 y² 下面，焦点在 y 轴上： 实轴长 2a=6，虚轴长 2b=4； 顶点 ，焦点 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　13/51　·　步 3/4 变式训练 考点：由标准方程读取几何性质 变式 1 求双曲线 的实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 两边同除以 36，正号项在 y² 下面，焦点在 y 轴上： 实轴长 2a=6，虚轴长 2b=4； 顶点 ，焦点 。 点评：焦点在哪条轴上，看正号项的分母，不看 x² 写在前面还是后面。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　13/51　·　步 4/4 方法归纳 考点：由标准方程读取几何性质 ① 两边同除以常数项，把右边化成 1； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　14/51　·　步 1/3 方法归纳 考点：由标准方程读取几何性质 ① 两边同除以常数项，把右边化成 1； ② 正号项的分母就是 a²，它所在的轴是实轴，也是焦点所在的轴； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　14/51　·　步 2/3 方法归纳 考点：由标准方程读取几何性质 ① 两边同除以常数项，把右边化成 1； ② 正号项的分母就是 a²，它所在的轴是实轴，也是焦点所在的轴； ③ 由 c²=a²+b² 求 c，再写实轴长、虚轴长、顶点坐标与焦点坐标。 实轴长、虚轴长、焦距是 2a、2b、2c，不要与半轴 a、b、c 混用。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　范围、顶点与轴　·　14/51　·　步 3/3 3.2.2 双曲线的简单几何性质 02 渐近线与求方程 学习新知 以实轴、虚轴为边作矩形，顶点是 ； 矩形两条对角线所在直线 就是渐近线。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　16/51　·　步 1/3 学习新知 以实轴、虚轴为边作矩形，顶点是 ； 矩形两条对角线所在直线 就是渐近线。 代回方程得 ，方程组无解。 所以曲线与渐近线没有公共点， 越大两距离越小。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　16/51　·　步 2/3 学习新知 以实轴、虚轴为边作矩形，顶点是 ； 矩形两条对角线所在直线 就是渐近线。 代回方程得 ，方程组无解。 所以曲线与渐近线没有公共点， 越大两距离越小。 (1) 焦点在 轴上： ；　(2) 焦点在 轴上： 。 把方程右端的 1 改成 ，分解 也得到这两条直线。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　16/51　·　步 3/3 应用新知 (1) 双曲线 的渐近线方程是 。（　） (2) 直线 与双曲线 没有公共点。（　） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　17/51　·　步 1/3 应用新知 (1) 双曲线 的渐近线方程是 。（　） (2) 直线 与双曲线 没有公共点。（　） （1）×。这里 a²=4 在 x² 下面、b²=9，斜率应取 b 与 a 的比，即 3 比 2。 检验： 时渐近线上 ，点 (2,3) 在 上，不在 上。 （2）√。代入后左边恒为 0，与右边的 1 矛盾，方程组无解。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　17/51　·　步 2/3 应用新知 (1) 双曲线 的渐近线方程是 。（　） (2) 直线 与双曲线 没有公共点。（　） （1）×。这里 a²=4 在 x² 下面、b²=9，斜率应取 b 与 a 的比，即 3 比 2。 检验： 时渐近线上 ，点 (2,3) 在 上，不在 上。 （2）√。代入后左边恒为 0，与右边的 1 矛盾，方程组无解。 渐近线只由 a、b 的比决定；共渐近线的双曲线有无数条。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　17/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：由标准方程求渐近线 例 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　18/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：由标准方程求渐近线 例 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 两边同除以 36，化为标准形式： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　18/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：由标准方程求渐近线 例 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 两边同除以 36，化为标准形式： 正号项在 下面，焦点在 轴上，渐近线为 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　18/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：由标准方程求渐近线 例 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 两边同除以 36，化为标准形式： 正号项在 下面，焦点在 轴上，渐近线为 。 答案　A 点评：先化标准形式；斜率取 b 与 a 的比还是 a 与 b 的比，由焦点所在轴决定。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　18/51　·　步 4/4 变式训练 考点：由标准方程求渐近线 变式 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　19/51　·　步 1/4 变式训练 考点：由标准方程求渐近线 变式 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． ，焦点在 轴上，渐近线 。答案 B。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　19/51　·　步 2/4 变式训练 考点：由标准方程求渐近线 变式 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． ，焦点在 轴上，渐近线 。答案 B。 焦点在 轴上的双曲线 ： ，渐近线 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　19/51　·　步 3/4 变式训练 考点：由标准方程求渐近线 变式 2 双曲线 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． ，焦点在 轴上，渐近线 。答案 B。 焦点在 轴上的双曲线 ： ，渐近线 。 点评：同一个式子，正号项换位置，a、b 与斜率都要跟着换。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　19/51　·　步 4/4 方法归纳 考点：由标准方程求渐近线 ① 把方程化成右边为 1 的标准形式，读出 a²、b²； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　20/51　·　步 1/2 方法归纳 考点：由标准方程求渐近线 ① 把方程化成右边为 1 的标准形式，读出 a²、b²； ② 看正号项在哪条轴上：在 下取 ，在 下取 ； ③ 两条渐近线合写时，可把右端的 1 改成 0 再分解因式。 斜率随焦点位置互换，a、b 不要代反。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　20/51　·　步 2/2 例题精讲 考点：由几何条件求标准方程 例 3 双曲线 （ ）经过点 和点 点 ，则 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　21/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：由几何条件求标准方程 例 3 双曲线 （ ）经过点 和点 点 ，则 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 点 是右顶点，故 ；把另一点代入： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　21/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：由几何条件求标准方程 例 3 双曲线 （ ）经过点 和点 点 ，则 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 点 是右顶点，故 ；把另一点代入： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　21/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：由几何条件求标准方程 例 3 双曲线 （ ）经过点 和点 点 ，则 的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 点 是右顶点，故 ；把另一点代入： 渐近线为 ，答案 B。 点评：顶点在曲线上是隐含条件，先用它定 a²，再代点求 b²。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　21/51　·　步 4/4 变式训练 考点：由几何条件求标准方程 变式 3 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ＝（　） A．2 B．3 C．−3 D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　22/51　·　步 1/4 变式训练 考点：由几何条件求标准方程 变式 3 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ＝（　） A．2 B．3 C．−3 D． 由方程形式知 ，化为 ，焦点在 轴上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　22/51　·　步 2/4 变式训练 考点：由几何条件求标准方程 变式 3 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ＝（　） A．2 B．3 C．−3 D． 由方程形式知 ，化为 ，焦点在 轴上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　22/51　·　步 3/4 变式训练 考点：由几何条件求标准方程 变式 3 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ＝（　） A．2 B．3 C．−3 D． 由方程形式知 ，化为 ，焦点在 轴上。 所以 ，答案 C。 点评：写成标准形式才能看出 a 在 y² 下面，斜率取 a 与 b 的比。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　22/51　·　步 4/4 例题精讲 考点：共渐近线的双曲线设法 例 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且经过点 的双曲线的标准方程。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　23/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：共渐近线的双曲线设法 例 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且经过点 的双曲线的标准方程。 共渐近线，设 （ ）： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　23/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：共渐近线的双曲线设法 例 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且经过点 的双曲线的标准方程。 共渐近线，设 （ ）： 得 ，焦点在 轴上： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　23/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：共渐近线的双曲线设法 例 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且经过点 的双曲线的标准方程。 共渐近线，设 （ ）： 得 ，焦点在 轴上： 点评：λ<0 时要把负号吸收到 x² 项，再写成右边的 1。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　23/51　·　步 4/4 变式训练 考点：共渐近线的双曲线设法 变式 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且焦距为 的双曲线的标准方程。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　24/51　·　步 1/4 变式训练 考点：共渐近线的双曲线设法 变式 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且焦距为 的双曲线的标准方程。 设 ，则 ， ，得 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　24/51　·　步 2/4 变式训练 考点：共渐近线的双曲线设法 变式 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且焦距为 的双曲线的标准方程。 设 ，则 ， ，得 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　24/51　·　步 3/4 变式训练 考点：共渐近线的双曲线设法 变式 4 求与双曲线 有公共渐近线， 且焦距为 的双曲线的标准方程。 设 ，则 ， ，得 。 点评：焦距给的是 2c，先平方再用 c²=a²+b²；λ 为正，焦点在 x 轴上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　24/51　·　步 4/4 方法归纳 考点：共渐近线的双曲线设法 ① 把已知条件翻译成 a、b、c 的一个关系式； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　25/51　·　步 1/3 方法归纳 考点：共渐近线的双曲线设法 ① 把已知条件翻译成 a、b、c 的一个关系式； ② 再补一个关系（过某点、焦距、离心率），联立解出 a²、b²； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　25/51　·　步 2/3 方法归纳 考点：共渐近线的双曲线设法 ① 把已知条件翻译成 a、b、c 的一个关系式； ② 再补一个关系（过某点、焦距、离心率），联立解出 a²、b²； ③ 共渐近线时可设 （ ）； λ 的正负决定焦点在哪条轴上：λ>0 焦点在 x 轴上，λ<0 焦点在 y 轴上。只列一个关系就动笔，是这类题最常见的失分点。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　渐近线与求方程　·　25/51　·　步 3/3 3.2.2 双曲线的简单几何性质 03 离心率与焦点综合 学习新知 焦距与实轴长的比 。因为 ，所以 。 图中两条双曲线共顶点 ：蓝线 ，红线 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　27/51　·　步 1/3 学习新知 焦距与实轴长的比 。因为 ，所以 。 图中两条双曲线共顶点 ：蓝线 ，红线 。 ：红线渐近线更陡，开口更开阔，e 也更大。 e 只由 b 与 a 的比决定，与整体缩放无关；离心率相同的两条双曲线可以大小不同。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　27/51　·　步 2/3 学习新知 焦距与实轴长的比 。因为 ，所以 。 图中两条双曲线共顶点 ：蓝线 ，红线 。 ：红线渐近线更陡，开口更开阔，e 也更大。 e 只由 b 与 a 的比决定，与整体缩放无关；离心率相同的两条双曲线可以大小不同。 实轴长与虚轴长相等（ ）的双曲线叫做 等轴双曲线 ，它的离心率是 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　27/51　·　步 3/3 应用新知 (1) 双曲线的离心率可以是 。（　） (2) 离心率相同的两条双曲线一定是同一条双曲线。（　） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　28/51　·　步 1/3 应用新知 (1) 双曲线的离心率可以是 。（　） (2) 离心率相同的两条双曲线一定是同一条双曲线。（　） （1）×。由 得 ，所以 。 （2）×。离心率只由 决定，轴长可以不同： 与 的离心率都是 2，实轴长分别是 4 和 2。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　28/51　·　步 2/3 应用新知 (1) 双曲线的离心率可以是 。（　） (2) 离心率相同的两条双曲线一定是同一条双曲线。（　） （1）×。由 得 ，所以 。 （2）×。离心率只由 决定，轴长可以不同： 与 的离心率都是 2，实轴长分别是 4 和 2。 椭圆中 0<e<1、a²=b²+c²；双曲线中 e>1、c²=a²+b²，两者不要互相套用。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　28/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：齐次关系求离心率 例 5 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 的离心率为（　） A． B．2 C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　29/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：齐次关系求离心率 例 5 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 的离心率为（　） A． B．2 C． D． ，代入 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　29/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：齐次关系求离心率 例 5 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 的离心率为（　） A． B．2 C． D． ，代入 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　29/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：齐次关系求离心率 例 5 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则 的离心率为（　） A． B．2 C． D． ，代入 ： 答案　D 点评：轴长的倍数就是半轴的倍数，2 可以约掉。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　29/51　·　步 4/4 变式训练 考点：齐次关系求离心率 变式 5 已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 的离心率为＿＿。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　30/51　·　步 1/4 变式训练 考点：齐次关系求离心率 变式 5 已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 的离心率为＿＿。 焦点在 轴上，渐近线斜率即为 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　30/51　·　步 2/4 变式训练 考点：齐次关系求离心率 变式 5 已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 的离心率为＿＿。 焦点在 轴上，渐近线斜率即为 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　30/51　·　步 3/4 变式训练 考点：齐次关系求离心率 变式 5 已知双曲线 （ ）的一条渐近线为 ，则 的离心率为＿＿。 焦点在 轴上，渐近线斜率即为 ： 离心率为 。 点评：渐近线斜率与离心率可以互推：e²=1+k²，k 为斜率。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　30/51　·　步 4/4 方法归纳 考点：齐次关系求离心率 ① 把条件写成 a、b、c 的齐次等式（两边次数相同）； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　31/51　·　步 1/3 方法归纳 考点：齐次关系求离心率 ① 把条件写成 a、b、c 的齐次等式（两边次数相同）； ② 用 b²=c²−a² 消去 b，两边同除以 a²，得到只含 e 的方程； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　31/51　·　步 2/3 方法归纳 考点：齐次关系求离心率 ① 把条件写成 a、b、c 的齐次等式（两边次数相同）； ② 用 b²=c²−a² 消去 b，两边同除以 a²，得到只含 e 的方程； ③ 解出 e 后按 e>1 取舍；若还要写方程，再回代求 a、b。 给比例关系（轴长倍数、渐近线斜率）时走齐次化；给具体长度时，先定比值再定尺度。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　31/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：用定义求离心率 例 6 已知双曲线的两个焦点分别为 和 ，点 在该双曲线上， 求该双曲线的离心率。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　32/51　·　步 1/5 例题精讲 考点：用定义求离心率 例 6 已知双曲线的两个焦点分别为 和 ，点 在该双曲线上， 求该双曲线的离心率。 设 ，则 ，且 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　32/51　·　步 2/5 例题精讲 考点：用定义求离心率 例 6 已知双曲线的两个焦点分别为 和 ，点 在该双曲线上， 求该双曲线的离心率。 设 ，则 ，且 由双曲线定义 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　32/51　·　步 3/5 例题精讲 考点：用定义求离心率 例 6 已知双曲线的两个焦点分别为 和 ，点 在该双曲线上， 求该双曲线的离心率。 设 ，则 ，且 由双曲线定义 ： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　32/51　·　步 4/5 例题精讲 考点：用定义求离心率 例 6 已知双曲线的两个焦点分别为 和 ，点 在该双曲线上， 求该双曲线的离心率。 设 ，则 ，且 由双曲线定义 ： 点评：焦点在 y 轴上不影响离心率的算法，先用定义定 2a。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　32/51　·　步 5/5 变式训练 考点：焦点三角形与离心率 变式 6 双曲线 （ ）的离心率为 ， 它的左、右焦点分别为 、 ， 在 上，且 。 若 的面积为 4，则 ＝（　） A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　33/51　·　步 1/4 变式训练 考点：焦点三角形与离心率 变式 6 双曲线 （ ）的离心率为 ， 它的左、右焦点分别为 、 ， 在 上，且 。 若 的面积为 4，则 ＝（　） A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 得 ；垂直给出 。 面积为 4 得 ，又 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　33/51　·　步 2/4 变式训练 考点：焦点三角形与离心率 变式 6 双曲线 （ ）的离心率为 ， 它的左、右焦点分别为 、 ， 在 上，且 。 若 的面积为 4，则 ＝（　） A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 得 ；垂直给出 。 面积为 4 得 ，又 。 把 2a 两边平方，代入上面两式： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　33/51　·　步 3/4 变式训练 考点：焦点三角形与离心率 变式 6 双曲线 （ ）的离心率为 ， 它的左、右焦点分别为 、 ， 在 上，且 。 若 的面积为 4，则 ＝（　） A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 得 ；垂直给出 。 面积为 4 得 ，又 。 把 2a 两边平方，代入上面两式： 点评：和、差、积三个式子互相转化，是焦点三角形题的基本套路。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　33/51　·　步 4/4 方法归纳 考点：焦点三角形与离心率 ① 点在双曲线上，先用定义把它到两个焦点的距离之差写成 2a； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　34/51　·　步 1/2 方法归纳 考点：焦点三角形与离心率 ① 点在双曲线上，先用定义把它到两个焦点的距离之差写成 2a； ② 有垂直条件用勾股， ；有角度用余弦定理； ③ 面积给出两段的积，与平方差联立即可解出 a、c。 三个式子串起来： 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　34/51　·　步 2/2 学习新知 渐近线即 ，焦点 到它的距离为 用 化简，结果只含 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　35/51　·　步 1/3 学习新知 渐近线即 ，焦点 到它的距离为 用 化简，结果只含 。 结论：焦点到渐近线的距离恒为 b，垂足到中心的距离恒为 a，垂足就在实轴端点的正上方。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　35/51　·　步 2/3 学习新知 渐近线即 ，焦点 到它的距离为 用 化简，结果只含 。 结论：焦点到渐近线的距离恒为 b，垂足到中心的距离恒为 a，垂足就在实轴端点的正上方。 同理，顶点 到渐近线的距离为 ；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　35/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：点到渐近线的距离 例 7 点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　36/51　·　步 1/3 例题精讲 考点：点到渐近线的距离 例 7 点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（　） A． B． C． D． ，渐近线为 ，即 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　36/51　·　步 2/3 例题精讲 考点：点到渐近线的距离 例 7 点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（　） A． B． C． D． ，渐近线为 ，即 。 答案　A 点评：先写渐近线的一般式，再用点到直线距离公式；取哪一条结果相同。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　36/51　·　步 3/3 变式训练 考点：点到渐近线的距离 变式 7 已知双曲线 （ ）的离心率为 则点 到 的渐近线的距离为（　） A． B．2 C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　37/51　·　步 1/3 变式训练 考点：点到渐近线的距离 变式 7 已知双曲线 （ ）的离心率为 则点 到 的渐近线的距离为（　） A． B．2 C． D． 得 ，渐近线为 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　37/51　·　步 2/3 变式训练 考点：点到渐近线的距离 变式 7 已知双曲线 （ ）的离心率为 则点 到 的渐近线的距离为（　） A． B．2 C． D． 得 ，渐近线为 。 答案　D 点评：离心率定形状，b 与 a 的比一定，渐近线就定了；点的位置给出尺度。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　37/51　·　步 3/3 方法归纳 考点：点到渐近线的距离 ① 见到“焦点到渐近线的距离”，直接写 d=b，垂足到中心写 |OP|=a； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　38/51　·　步 1/3 方法归纳 考点：点到渐近线的距离 ① 见到“焦点到渐近线的距离”，直接写 d=b，垂足到中心写 |OP|=a； ② 把 b（或 a）与 c 的关系写成齐次式，用 b²=c²−a² 归一到 a、c； 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　38/51　·　步 2/3 方法归纳 考点：点到渐近线的距离 ① 见到“焦点到渐近线的距离”，直接写 d=b，垂足到中心写 |OP|=a； ② 把 b（或 a）与 c 的关系写成齐次式，用 b²=c²−a² 归一到 a、c； ③ 同除 得 e；若问渐近线，再由 回代。 点到渐近线的距离只用一个公式：渐近线过原点，距离与 c 成正比，比例系数就是 b 或 a。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　38/51　·　步 3/3 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 例 8 双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点。过 作一条渐近线的垂线，垂足为 。 若 ，则 的离心率为（　） A． B． C．2 D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　39/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 例 8 双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点。过 作一条渐近线的垂线，垂足为 。 若 ，则 的离心率为（　） A． B． C．2 D． 思路：先在直角三角形里把 、 写成 a、b； 示意图（取 a=4，b=3） 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　39/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 例 8 双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点。过 作一条渐近线的垂线，垂足为 。 若 ，则 的离心率为（　） A． B． C．2 D． 思路：先在直角三角形里把 、 写成 a、b； 示意图（取 a=4，b=3） 渐近线 ， ： ， 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　39/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 例 8 双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点。过 作一条渐近线的垂线，垂足为 。 若 ，则 的离心率为（　） A． B． C．2 D． 思路：先在直角三角形里把 、 写成 a、b； 示意图（取 a=4，b=3） 渐近线 ， ： ， 由条件 ，在直角三角形中 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合　·　39/51　·　步 4/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 在 中， 、 、 ，对 用余弦定理： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合（续）　·　40/51　·　步 1/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 在 中， 、 、 ，对 用余弦定理： 与 相等，去分母并用 化简： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合（续）　·　40/51　·　步 2/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 在 中， 、 、 ，对 用余弦定理： 与 相等，去分母并用 化简： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合（续）　·　40/51　·　步 3/4 例题精讲 考点：焦点到渐近线的垂线段 在 中， 、 、 ，对 用余弦定理： 与 相等，去分母并用 化简： 所以离心率为 ，答案 B。 点评：垂足把 a、b、c 装进同一个直角三角形，剩下的只是齐次化。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　离心率与焦点综合（续）　·　40/51　·　步 4/4 3.2.2 双曲线的简单几何性质 04 小结与随堂检测 课堂小结 图形性质五项 范围 x²≥a²，图象在两直线外侧； 关于两轴与原点对称，顶点 (±a,0)； 实轴 2a、虚轴 2b、焦距 2c。 渐近线与离心率 渐近线 ，焦点在 y 轴时互换； 离心率 ， e 越大，渐近线越陡，开口越开阔。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　42/51　·　步 1/2 课堂小结 图形性质五项 范围 x²≥a²，图象在两直线外侧； 关于两轴与原点对称，顶点 (±a,0)； 实轴 2a、虚轴 2b、焦距 2c。 渐近线与离心率 渐近线 ，焦点在 y 轴时互换； 离心率 ， e 越大，渐近线越陡，开口越开阔。 核心关系 ；与椭圆对照：范围在外侧、离心率大于 1。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　42/51　·　步 2/2 课堂小结 求离心率两条路 给比例：齐次式消 b，同除 a²； 给长度：先定比值，再定尺度。 焦点三角形：定义差 2a，勾股连 2c。 渐近线三个用途 定形状：斜率比就是 b 与 a 的比； 定方程：共渐近线可设右端为 λ； 定距离：焦点到渐近线等于 b。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　43/51　·　步 1/2 课堂小结 求离心率两条路 给比例：齐次式消 b，同除 a²； 给长度：先定比值，再定尺度。 焦点三角形：定义差 2a，勾股连 2c。 渐近线三个用途 定形状：斜率比就是 b 与 a 的比； 定方程：共渐近线可设右端为 λ； 定距离：焦点到渐近线等于 b。 几何条件 → a、b、c 齐次式 → 只含 e 的方程，是求离心率的通法。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　43/51　·　步 2/2 题后反思 ● 把范围当成 −a≤x≤a：双曲线是 x≤−a 或 x≥a，夹在两条直线的外侧。 ● 渐近线斜率代反：焦点在 y 轴上时斜率是 a 与 b 的比，不是 b 与 a 的比。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/51　·　步 1/3 题后反思 ● 把范围当成 −a≤x≤a：双曲线是 x≤−a 或 x≥a，夹在两条直线的外侧。 ● 渐近线斜率代反：焦点在 y 轴上时斜率是 a 与 b 的比，不是 b 与 a 的比。 ● 把虚轴端点当成曲线上的点：B₁、B₂ 只是作图用的点，不在双曲线上。 ● 共渐近线设 λ 时忘记讨论 λ<0：λ 的符号决定焦点在哪条轴上。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/51　·　步 2/3 题后反思 ● 把范围当成 −a≤x≤a：双曲线是 x≤−a 或 x≥a，夹在两条直线的外侧。 ● 渐近线斜率代反：焦点在 y 轴上时斜率是 a 与 b 的比，不是 b 与 a 的比。 ● 把虚轴端点当成曲线上的点：B₁、B₂ 只是作图用的点，不在双曲线上。 ● 共渐近线设 λ 时忘记讨论 λ<0：λ 的符号决定焦点在哪条轴上。 离心率与椭圆套用：椭圆 0<e<1、a²=b²+c²，双曲线 e>1、c²=a²+b²。先判焦点所在轴，再动笔。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/51　·　步 3/3 当堂检测 检测 1 等轴双曲线的离心率为（　） A．1 B． C．2 D．与 a、b 的值有关 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　45/51　·　步 1/2 当堂检测 检测 1 等轴双曲线的离心率为（　） A．1 B． C．2 D．与 a、b 的值有关 答案 B。等轴双曲线满足 a=b。 此时 ，故 ，与 a、b 的具体值无关。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　45/51　·　步 2/2 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标为＿＿，渐近线方程为＿＿，离心率为＿＿。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/51　·　步 1/4 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标为＿＿，渐近线方程为＿＿，离心率为＿＿。 在 下面，焦点在 轴上； 。 焦点 ； 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/51　·　步 2/4 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标为＿＿，渐近线方程为＿＿，离心率为＿＿。 在 下面，焦点在 轴上； 。 焦点 ； 。 渐近线 ，离心率 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/51　·　步 3/4 当堂检测 检测 2　双曲线 的焦点坐标为＿＿，渐近线方程为＿＿，离心率为＿＿。 在 下面，焦点在 轴上； 。 焦点 ； 。 渐近线 ，离心率 。 点评：焦点在 y 轴上时，渐近线的斜率用 a 比 b，离心率仍是 c 比 a。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/51　·　步 4/4 当堂检测 检测 3 双曲线 （ ）经过点 ，则它的实轴长为＿＿， 渐近线方程为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　47/51　·　步 1/2 当堂检测 检测 3 双曲线 （ ）经过点 ，则它的实轴长为＿＿， 渐近线方程为（　） A． B． C． D． 代入 得 ， ； ，实轴长 2a=2。 焦点在 轴上，渐近线 ，答案 A。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　47/51　·　步 2/2 当堂检测 检测 4　已知双曲线的实轴长是虚轴长的 2 倍，且焦点到渐近线的距离为 3， 求该双曲线的标准方程。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/51　·　步 1/4 当堂检测 检测 4　已知双曲线的实轴长是虚轴长的 2 倍，且焦点到渐近线的距离为 3， 求该双曲线的标准方程。 焦点到渐近线的距离就是 ，所以 ；又 ，得 。 。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/51　·　步 2/4 当堂检测 检测 4　已知双曲线的实轴长是虚轴长的 2 倍，且焦点到渐近线的距离为 3， 求该双曲线的标准方程。 焦点到渐近线的距离就是 ，所以 ；又 ，得 。 。 焦点所在轴未定，两种写法都成立： 焦点在 x 轴上： 焦点在 y 轴上： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/51　·　步 3/4 当堂检测 检测 4　已知双曲线的实轴长是虚轴长的 2 倍，且焦点到渐近线的距离为 3， 求该双曲线的标准方程。 焦点到渐近线的距离就是 ，所以 ；又 ，得 。 。 焦点所在轴未定，两种写法都成立： 焦点在 x 轴上： 焦点在 y 轴上： 点评：先由距离定 b，再由轴长倍数定 a；焦点所在轴未定时要分两类写。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/51　·　步 4/4 当堂检测 检测 5 若双曲线 的离心率为 2，则它的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　49/51　·　步 1/3 当堂检测 检测 5 若双曲线 的离心率为 2，则它的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 得 ， ， 焦点在 轴上，渐近线 ，答案 A。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　49/51　·　步 2/3 当堂检测 检测 5 若双曲线 的离心率为 2，则它的渐近线方程为（　） A． B． C． D． 得 ， ， 焦点在 轴上，渐近线 ，答案 A。 点评：离心率与渐近线斜率互推：先由 e 得 b 与 a 的比，再写直线。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　49/51　·　步 3/3 当堂检测 考点：渐近线与圆的位置关系 检测 6 若双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则离心率为（　） A．2 B． C． D． 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/51　·　步 1/4 当堂检测 考点：渐近线与圆的位置关系 检测 6 若双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则离心率为（　） A．2 B． C． D． 圆心 、半径 2，弦长 2 时半弦为 1，圆心到渐近线的距离 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/51　·　步 2/4 当堂检测 考点：渐近线与圆的位置关系 检测 6 若双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则离心率为（　） A．2 B． C． D． 圆心 、半径 2，弦长 2 时半弦为 1，圆心到渐近线的距离 渐近线 过原点， ， 即 4b²=3c²。再用 b²=c²−a² 代换： 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/51　·　步 3/4 当堂检测 考点：渐近线与圆的位置关系 检测 6 若双曲线 （ ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 2，则离心率为（　） A．2 B． C． D． 圆心 、半径 2，弦长 2 时半弦为 1，圆心到渐近线的距离 渐近线 过原点， ， 即 4b²=3c²。再用 b²=c²−a² 代换： ，所以 ，答案 A。 3.2.2 双曲线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/51　·　步 4/4 本节课到此结束 下节预告　3.3.1 抛物线及其标准方程 人教A版2019选择性必修第一册 $