3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版 · 选择性必修第一册 双曲线的简单几何性质 第 1 课时 · 从方程读出曲线的样子 范围、对称、顶点、离心率、渐近线 授课教师：____________　　班级：高二（　　）班 2026—2027 学年 · 第三章 圆锥曲线 冷却塔的“腰”，是双曲线 同一个方程，换个角度看： 它长什么样，能伸到哪里。 这节课，只做三件事 把方程“翻译”成图形 02 / 25 01 看 范 围 曲线能伸到哪里？ 在两条竖线外面 02 找 特 征 顶点、实轴、虚轴， 把骨架先搭起来 03 画 渐近线 越走越近、永不相交， 一条直线定住走向 一句话：范围定边界，特征定骨架，渐近线定走向。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 一、回顾 · 方程里的 a、b、c 先把三个字母认清楚 03 / 25 焦点在 x 轴　　F₁(−c, 0)、F₂(c, 0) x² a² − y² b² = 1 焦点在 y 轴　　F₁(0, −c)、F₂(0, c) y² a² − x² b² = 1 x y O F₁ F₂ a b c a、b 是直角边，c 是斜边：c² = a² + b² 口诀：正号前面是谁，焦点就在谁轴上 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 二、范围 · 曲线落在哪里 先看 x，再看 y：谁能取到，谁受限 04 / 25 ① 令 y = 0 x² = a² → x = ±a：与 x 轴交于两个顶点 ② 对任意 y 对任意 y，都有 x² ≥ a² → |x| ≥ a ③ 再看 y y 不受限：x 越大，两支越向外伸展 焦点在 x 轴：|x| ≥ a，y ∈ R 曲线永远进不了中间那条“竖带”。 x y O F₁ F₂ x = −a x = a 两支都在两条虚线外侧，中间取不到 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 三、对称性 · 三条对称 方程不变，图形就对称 05 / 25 关于 x 轴对称 以 −y 代 y，方程不变。 若 (x, y) 在曲线上，则 (x, −y) 也在。 关于 y 轴对称 以 −x 代 x，方程不变。 若 (x, y) 在曲线上，则 (−x, y) 也在。 关于原点对称 同时以 −x、−y 代换，方程不变。 若 (x, y) 在曲线上，则 (−x, −y) 也在。 所以：只需画第一象限，再对称出其余三块。 x y O F₁ F₂ 两条对称轴 + 一个对称中心 O 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 四、顶点与实轴、虚轴 先找“骨架”，再谈长度 06 / 25 ① 顶点 交点：A₁(−a, 0)、A₂(a, 0) ② 实轴 线段 A₁A₂，长 2a；a 为半实轴长 ③ 虚轴 线段 B₁B₂，长 2b；端点不在曲线上 ④ 关系 b² = c² − a²（由 c² = a² + b²） 实轴在焦点轴上；B₁、B₂ 不在曲线上。 x y O F₁ F₂ A₁ A₂ B₁ B₂ 2a 2b 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 五、离心率 · 开口的“松紧” e 越大，两支张得越开 07 / 25 定义 e = c a （c > a > 0，故 e > 1） e 与 b、a 的关系 e² = 1 + b² a² e 越大，渐近线越陡，开口越宽。 e 由 a、c 决定，e 越大开口越宽。 e → 1 越贴轴，e 越大越竖直。 x y O e ≈ 1.18 e ≈ 1.60 e ≈ 2.24 固定 a = 1，只改变 b：开口大小随 e 一起变 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 六、渐近线 · 越走越近，永不相交 一条直线，定住整条曲线的走向 08 / 25 ① 从方程看“远处” |x| 很大时，右边的 1 可以忽略： x² a² − y² b² ≈ 0 于是 y = ± b a x ② 怎么画 先画辅助矩形 x = ±a、y = ±b， 两条对角线所在的直线，就是渐近线。 ③ 焦点在 y 轴呢？ y = ± a b x 口诀：斜率 = 虚 ÷ 实，方向看焦点轴。 x y O F₁ F₂ y = b a x 辅助矩形的对角线，就是两条渐近线 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 七、情境 · 冷却塔的“腰” 为什么它不是直的，也不是抛物线 09 / 25 塔身母线：一条双曲线，绕轴旋转 塔腰最细处 → 自然通风的“喉部”； 上下张开 → 增大散热面积。 ① 直纹面 双曲线绕实轴旋转， 得到双叶双曲面。 ② 渐近线 它决定塔身“收腰”的 极限位置。 ③ 不相交 曲线可以无限接近渐近线， 但永远不会碰到它。 数学里的“渐近”，到了工程里，就是一条看得见的“收腰”。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 八、等轴双曲线 · 最“正”的双曲线 a = b 时，两条渐近线互相垂直 10 / 25 定义：实轴与虚轴等长，即 a = b x² a² − y² a² = 1 或　x² − y² = λ（λ ≠ 0） 离心率 e = 2 渐近线 y = ±x 夹 角 90° 小 例 过 (2, 1)，以 y = ±x 为渐近线，求方程。 设 x² − y² = λ，代入点得 λ = 3， 即　 x² 3 − y² 3 = 1 等轴双曲线，只差一个 λ。 x y O F₁ F₂ y = x y = −x 90° 两条渐近线关于坐标轴对称，夹角为 90° 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 九、例 4 · 冷却塔的塔身 把实际尺寸，翻译成 a 与 b 11 / 25 双曲线型冷却塔的轴截面中，塔身母线是双曲线的一部分。已知喉部半径 12 m，下口半径 20 m，上口半径 13 m，塔高 42 m。求塔身母线的方程。 （数据已简化，便于计算） 建模三步 ① 建 系 以喉部为 x 轴、对称轴为 y 轴，a = 12 ② 设方程 设焦点在 y 轴，a² = 144，b 待定 ③ 代 点 上口 (13, y₂)、下口 (20, −y₁) 且 y₁+y₂=42 13 m 20 m 12 m 42 m O 轴截面示意：喉部最细，上下口逐渐张开 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十、例 4 · 解答 先定 a，再用两个截面定 b 12 / 25 ① 定 a 喉部半径 a = 12 ② 上 口 y₂² = 25b² 144 ⇒ y₂ = 5b 12 ③ 下 口 y₁² = 256b² 144 ⇒ y₁ = 4b 3 ④ 用塔高 y₁ + y₂ = 42 ⇒ 7b = 168 ⇒ b = 24 ⑤ 写方程 x² 144 − y² 576 = 1 塔身母线 x² 144 − y² 576 = 1 （−32 ≤ y ≤ 10） 两个截面点，验一验 上口　(13, 10) 下口　(20, −32) 塔高　10 − (−32) = 42 ✓ 两个点都在曲线上， 尺寸与题设一致。 顺带算 c = 12 5 e = c a = 5 e = 5 > 2 ，开口更宽 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十一、例 1 · 五件事，一次做完 先读 a、b，再逐条翻译 13 / 25 例 1 求双曲线 x² 9 − y² 16 = 1 的： （1）范围　（2）顶点　（3）实轴、虚轴长　（4）离心率　（5）渐近线 ① 范围 x 能取到哪里？ ② 顶点 与 x 轴的交点 ③ 实轴与虚轴 2a、2b 各是多少 ④ 离心率 先算 c，再算 e ⑤ 渐近线 斜率 = 虚 ÷ 实，别写反 x y O F₁ F₂ a b O a = 3，b = 4，c = 5 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十二、例 1 · 解答 五个结论，都从 a、b、c 出发 14 / 25 ① 先读数 a = 3，b = 4，c = 5 ② 范 围 |x| ≥ 3；y ∈ R ③ 顶点与轴 A₁(−3,0)、A₂(3,0)；实轴 6，虚轴 8 ④ 离心率 e = c a = 5 3 （> 1） ⑤ 渐近线 y = ± b a x = ± 4 3 x 先算 c，其余四个结论就都顺出来了。 x y O F₁ F₂ 渐近线：两条对角线的方向 实轴在 x 轴上， 顶点就是两个交点 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十三、例 2 · 只给渐近线，怎么定方程 方向没定，就要分类 15 / 25 例 2 已知双曲线的渐近线为 y = ± 1 2 x ，且经过点 P(4, 3 )，求它的标准方程。 审题：题目只给了“斜率”，没给焦点方向。 ① 斜率信息 由斜率得 a = 2b ② 方向两种 可能在 x 轴，也可能在 y 轴 ③ 代点求参 代入点 P，解出 a²、b² ④ 解完检验 哪一种有解，哪一种无解 先写“两种可能” 焦点在 x 轴：　 x² a² − y² b² = 1 焦点在 y 轴：　 y² a² − x² b² = 1 两种都设，代点检验，只留解得出的一种。 渐近线只定“形状”，不定“朝向”。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十四、例 2 · 解答 两条路走一遍，一条通、一条堵 16 / 25 两条路各设一次，代点检验，只留一条。 ① 由渐近线 b a = 1 2 ⇒ a = 2b ② x 型 设 x² 4b² − y² b² = 1 ③ 代点 P 得 b² = 1，a² = 4 ④ y 型 设 y² a² − x² 4a² = 1 ⑤ 代点 P 得 − 1 a² = 1，无解 x y O F₁ F₂ P 所以　 x² 4 − y² = 1 只有“焦点在 x 轴”这一种成立。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十五、例 3 · 离心率与距离 两个条件，各管一个字母 17 / 25 例 3 已知双曲线 x² a² − y² b² = 1 离心率 e = 2，焦点到渐近线的距离为 3 ， 求 a、b 及标准方程。 先把两个“翻译”找出来 ① 离心率 由 e = 2 得 c = 2a ② 距离 焦点到渐近线的距离 = b ③ 关系 c² = a² + b²，三个字母串起来 第二句为什么等于 b？下一页用图说明。 F₂ H b y x F₂ 到渐近线的垂线段长，正好是 b 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十六、例 3 · 解答 设点、算距离、再收口 18 / 25 ① 焦点与渐近线 F₂(c,0)；渐近线 bx − ay = 0 ② 点到直线距离 d = |bc| ÷ a² + b² = b = 3 ③ 由 e = 2 由 e = 2 得 c = 2a ④ 用 c² = a² + b² 4a² = a² + 3 ⇒ a² = 1 a = 1，b = 3 ，方程　x² − y² 3 = 1 距离为什么等于 b？ 因为　d = bc c = b 分母 a² + b² 正好等于 c， 约掉以后只剩 b。 结论：焦点到渐近线的 距离恒等于 b。 e 管开口，b 管距离。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十七、变式 · 焦点竖起来 同一套方法，方向换一下 19 / 25 变 式 已知双曲线 9x² − 16y² = −144 求它的范围、顶点、实轴与虚轴长、离心率、渐近线。 第一步：先化成标准形式 两边同除以 −144： y² 9 − x² 16 = 1 负号在 x² 前，说明焦点在 y 轴： a = 3，b = 4，c = 5。 别把 a、b 抄反：a 跟着正项走。 y x 开口朝上、朝下，顶点在 y 轴上 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十八、变式 · 解答 实轴竖起来了，结论跟着换 20 / 25 ① 标准形式 y² 9 − x² 16 = 1 ⇒ a = 3，b = 4，c = 5 ② 范 围 |y| ≥ 3；x ∈ R ③ 顶点与轴 (0, ±3)；实轴 6，虚轴 8 ④ 离心率 e = c a = 5 3 ⑤ 渐近线 y = ± a b x = ± 3 4 x 焦点在 y 轴：实轴长仍是 2a，但方向竖着。 x y O F₁ F₂ A₁ A₂ 实轴在 y 轴上，顶点 (0, ±3) 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 十九、对比 · 椭圆与双曲线 同是圆锥曲线，性质大不同 21 / 25 对比项 椭 圆 双曲线（焦点在 x 轴） 双曲线（焦点在 y 轴） 范 围 |x| ≤ a，|y| ≤ b |x| ≥ a，y ∈ R |y| ≥ a，x ∈ R 对称性 x 轴、y 轴、原点 x 轴、y 轴、原点 x 轴、y 轴、原点 顶 点 4 个 (±a, 0)、(0, ±b) 2 个 (±a, 0) 2 个 (0, ±a) 离心率 0 < e < 1 e > 1 e > 1 渐近线 无 y = ± b a x y = ± a b x a、b、c a² = b² + c² c² = a² + b² c² = a² + b² 两条双曲线的差别只有一句：焦点在谁轴上，谁就当“实轴”。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 二十、易错警示 · 四个坑 都藏在“方向”和“名字”里 22 / 25 ① 渐近线斜率写反 x 型：b 与 a 的比； y 型：a 与 b 的比。 记“虚 ÷ 实”。 ② 把 e 和斜率混了 e² 比斜率的平方多 1； e 越大，开口越宽。 e 不是渐近线的斜率。 ③ 实轴、虚轴认错 实轴过焦点，端点是顶点； 虚轴端点不在曲线上。 ④ 焦点在 y 轴，顶点写错 顶点是 (0, ±a)， 不是 (±a, 0)。 先定焦点轴，再写所有结论——顺序错了，全错。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 二十一、课堂小结 · 五张卡片 一个方程，读出五件事 23 / 25 01 范 围 |x| ≥ a y ∈ R（x 型） 02 对 称 x 轴、y 轴、原点 代换后方程不变 03 顶 点 (±a, 0) 实轴 2a，虚轴 2b 04 离心率 e = c a e > 1，越大越开 05 渐近线 y = ± b a x 斜率 = 虚 ÷ 实 一条主线：定焦点轴 → 写范围 → 找顶点 → 算 e → 画渐近线。 焦点在 y 轴时，把 x 与 y 的角色对调，五张卡片一起换。 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 二十二、课后作业 · 分层选做 基础过关，提高挑战，思考留白 24 / 25 基础（必做） · 教材习题 1、2 · 求 x² 25 − y² 16 = 1 　的范围、顶点、e、 　渐近线 · 求 9x² − 16y² = −144 　的实轴、虚轴长 提高（选做） · 渐近线 y = ± 1 2 x ， 　过点 (4, 3 )，求方程 · e = 2，焦点到渐近线 　距离 3 ，求 a、b · 焦点在 y 轴， 　e = 5 3 ，虚轴长 8 思考（挑战） · 渐近线斜率为什么 　是“虚 ÷ 实”？画图说明 · e 变大时，渐近线 　和开口怎么变 · 给冷却塔写一份 　“双曲线”小报告 完成时间：下周　·　基础全批，提高抽查，思考题课堂分享 高二数学 · 双曲线的简单几何性质（第1课时） 2 0 2 6 — 2 0 2 7　·　第三章 谢 谢 聆 听 方程是骨架，性质是血肉； 先看清它的样子，再谈它的用。 —— 下一节，直线与双曲线的位置关系 欢迎各位老师批评指正 看得见的曲线，算得出的性质。 25 / 25 $