3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第 3 章 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的简单几何性质 人教A版2019选择性必修第一册 目录 C A T A L O G 01.图形性质与标准方程 02.焦半径与距离转化 03.弦长与焦点弦 04.小结与随堂检测 导入新知 从方程看图形 上一讲由定义推出标准方程； 这一讲反过来：方程给出了哪些图形限制？ 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　导入与目标　·　03/52　·　步 1/2 导入新知 从方程看图形 上一讲由定义推出标准方程； 这一讲反过来：方程给出了哪些图形限制？ 取 ，方程为 。 把 y 依次取 0、±2、±4，对应的 x 是多少？ 这些点被限制在哪个区域内？图象有没有对称性？ 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　导入与目标　·　03/52　·　步 2/2 学习目标 1．结合 y²=2px（p>0）的图象，掌握抛物线的范围、对称性与顶点，能由四种标准方程读出焦点、准线、通径长与离心率，会由对称轴和已知点求标准方程。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/52　·　步 1/3 学习目标 1．结合 y²=2px（p>0）的图象，掌握抛物线的范围、对称性与顶点，能由四种标准方程读出焦点、准线、通径长与离心率，会由对称轴和已知点求标准方程。 2．理解焦参数 p 的几何意义，掌握焦半径公式，会把点到焦点的距离与到准线的距离互相转化，并求 |PA|+|PF| 的最小值。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/52　·　步 2/3 学习目标 1．结合 y²=2px（p>0）的图象，掌握抛物线的范围、对称性与顶点，能由四种标准方程读出焦点、准线、通径长与离心率，会由对称轴和已知点求标准方程。 2．理解焦参数 p 的几何意义，掌握焦半径公式，会把点到焦点的距离与到准线的距离互相转化，并求 |PA|+|PF| 的最小值。 3．掌握直线与抛物线公共点个数的判断方法，会用焦点弦结论与一般弦长公式求弦长，会处理焦点弦的最值与倾斜角问题。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　导入与目标　·　04/52　·　步 3/3 3.3.2 抛物线的简单几何性质 01 图形性质与标准方程 学习新知 抛物线 （ ）： (1) 由 得 ，纵坐标取一切实数； (2) 把 换成 ，方程不变，图象关于 x 轴对称。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　06/52　·　步 1/4 学习新知 抛物线 （ ）： (1) 由 得 ，纵坐标取一切实数； (2) 把 换成 ，方程不变，图象关于 x 轴对称。 横坐标不小于 0：图象都在 y 轴右侧（含原点），向 x 轴正方向无限延伸。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　06/52　·　步 2/4 学习新知 抛物线 （ ）： (1) 由 得 ，纵坐标取一切实数； (2) 把 换成 ，方程不变，图象关于 x 轴对称。 横坐标不小于 0：图象都在 y 轴右侧（含原点），向 x 轴正方向无限延伸。 这条对称轴叫做抛物线的轴；轴与图象只有一个交点，就是顶点 (0,0)。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　06/52　·　步 3/4 学习新知 抛物线 （ ）： (1) 由 得 ，纵坐标取一切实数； (2) 把 换成 ，方程不变，图象关于 x 轴对称。 横坐标不小于 0：图象都在 y 轴右侧（含原点），向 x 轴正方向无限延伸。 这条对称轴叫做抛物线的轴；轴与图象只有一个交点，就是顶点 (0,0)。 抛物线没有对称中心：点 (x,y) 关于原点的对称点 (−x,−y) 不在图象上。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　06/52　·　步 4/4 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 （ ）既是轴对称图形，又是中心对称图形。（　） (2) 抛物线 （ ）上存在纵坐标为负数的点。（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　07/52　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 （ ）既是轴对称图形，又是中心对称图形。（　） (2) 抛物线 （ ）上存在纵坐标为负数的点。（　） （1）×。抛物线只有一条对称轴，没有对称中心。 如 上点 (1,2) 关于原点的对称点 (−1,−2) 不在曲线上。 （2）×。由标准方程得 ，图象上所有点的纵坐标都不小于 0。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　07/52　·　步 2/2 学习新知 (1) 离心率 ： 其中 D 是 P 到准线的垂足。 由定义 ，故 。 (2) 焦参数 p：焦点到准线的距离， 叫做焦准距；p 越大，开口越阔。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　08/52　·　步 1/2 学习新知 (1) 离心率 ： 其中 D 是 P 到准线的垂足。 由定义 ，故 。 (2) 焦参数 p：焦点到准线的距离， 叫做焦准距；p 越大，开口越阔。 四种标准方程的离心率都等于 1，所以离心率不能刻画开口大小；开口大小由 p 决定。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　08/52　·　步 2/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 的离心率大于抛物线 的离心率。（　） (2) 抛物线的离心率恒为 1，因此不能只用离心率区分两条抛物线的形状。（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　09/52　·　步 1/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 的离心率大于抛物线 的离心率。（　） (2) 抛物线的离心率恒为 1，因此不能只用离心率区分两条抛物线的形状。（　） （1）×。两条抛物线的离心率都等于 1。 如 上点 (2,4) 到焦点 (2,0) 的距离为 4， 到准线 的距离也是 4，比值为 1。 （2）√。离心率与 p 无关，刻画开口大小的是 p。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　09/52　·　步 2/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 的离心率大于抛物线 的离心率。（　） (2) 抛物线的离心率恒为 1，因此不能只用离心率区分两条抛物线的形状。（　） （1）×。两条抛物线的离心率都等于 1。 如 上点 (2,4) 到焦点 (2,0) 的距离为 4， 到准线 的距离也是 4，比值为 1。 （2）√。离心率与 p 无关，刻画开口大小的是 p。 两式的通径长分别为 与 ，前者开口更阔。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　09/52　·　步 3/3 例题精讲 考点：由标准方程读出几何性质 例 1　抛物线 x²=8y 的开口方向、焦点坐标与准线方程是（　） A．开口向上，焦点 (0,2)，准线 y=−2 B．开口向上，焦点 (2,0)，准线 x=−2 C．开口向右，焦点 (0,2)，准线 y=−2 D．开口向右，焦点 (4,0)，准线 x=−4 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　10/52　·　步 1/3 例题精讲 考点：由标准方程读出几何性质 例 1　抛物线 x²=8y 的开口方向、焦点坐标与准线方程是（　） A．开口向上，焦点 (0,2)，准线 y=−2 B．开口向上，焦点 (2,0)，准线 x=−2 C．开口向右，焦点 (0,2)，准线 y=−2 D．开口向右，焦点 (4,0)，准线 x=−4 由 x²=8y 得 2p=8，p=4，方程形如 x²=2py，开口向上、对称轴为 y 轴。 焦点 ，准线 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　10/52　·　步 2/3 例题精讲 考点：由标准方程读出几何性质 例 1　抛物线 x²=8y 的开口方向、焦点坐标与准线方程是（　） A．开口向上，焦点 (0,2)，准线 y=−2 B．开口向上，焦点 (2,0)，准线 x=−2 C．开口向右，焦点 (0,2)，准线 y=−2 D．开口向右，焦点 (4,0)，准线 x=−4 由 x²=8y 得 2p=8，p=4，方程形如 x²=2py，开口向上、对称轴为 y 轴。 焦点 ，准线 答案　A 点评：焦点到顶点的距离是 p 的一半；B 把焦点写在了 x 轴上，C、D 的开口方向错。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　10/52　·　步 3/3 变式训练 考点：由标准方程读出几何性质 变式 1　抛物线 x²=−8y 的（　） A．开口向上，点的纵坐标都不小于 0 B．开口向下，点的纵坐标都不大于 0 C．开口向右，点的横坐标都不小于 0 D．开口向左，点的横坐标都不大于 0 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　11/52　·　步 1/3 变式训练 考点：由标准方程读出几何性质 变式 1　抛物线 x²=−8y 的（　） A．开口向上，点的纵坐标都不小于 0 B．开口向下，点的纵坐标都不大于 0 C．开口向右，点的横坐标都不小于 0 D．开口向左，点的横坐标都不大于 0 方程形如 x²=−2py，2p=8，开口向下、对称轴为 y 轴； 由 知图象上点的纵坐标都不大于 0。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　11/52　·　步 2/3 变式训练 考点：由标准方程读出几何性质 变式 1　抛物线 x²=−8y 的（　） A．开口向上，点的纵坐标都不小于 0 B．开口向下，点的纵坐标都不大于 0 C．开口向右，点的横坐标都不小于 0 D．开口向左，点的横坐标都不大于 0 方程形如 x²=−2py，2p=8，开口向下、对称轴为 y 轴； 由 知图象上点的纵坐标都不大于 0。 答案　B 点评：开口方向与范围是同一件事：向哪个方向开口，哪个变量就被限制在一侧。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　11/52　·　步 3/3 方法归纳 ① 先把方程化成标准形式，一次项的系数是 2p，不是 p； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　12/52　·　步 1/3 方法归纳 ① 先把方程化成标准形式，一次项的系数是 2p，不是 p； ② 一次项是哪个变量，对称轴就是哪个轴：y²=… 的对称轴是 x 轴； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　12/52　·　步 2/3 方法归纳 ① 先把方程化成标准形式，一次项的系数是 2p，不是 p； ② 一次项是哪个变量，对称轴就是哪个轴：y²=… 的对称轴是 x 轴； ③ 焦点到顶点的距离是 p 的一半，准线在顶点另一侧同样远处。 开口方向由一次项系数的正负决定：y²=2px 向右、y²=−2px 向左、x²=2py 向上、x²=−2py 向下。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　12/52　·　步 3/3 学习新知 (1) 过焦点且垂直于轴的弦叫做通径。 (2) 把 代入 得 ， 所以通径长 ，端点为 、 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　13/52　·　步 1/3 学习新知 (1) 过焦点且垂直于轴的弦叫做通径。 (2) 把 代入 得 ， 所以通径长 ，端点为 、 。 通径长 2p 只由 p 决定：p 越大通径越长，开口越阔，说的是同一件事。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　13/52　·　步 2/3 学习新知 (1) 过焦点且垂直于轴的弦叫做通径。 (2) 把 代入 得 ， 所以通径长 ，端点为 、 。 通径长 2p 只由 p 决定：p 越大通径越长，开口越阔，说的是同一件事。 通径是过焦点的弦中最短的一条，理由放到焦点弦的结论里说明。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　13/52　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 的通径长为 2。（　） (2) 通径是抛物线的所有弦中最短的一条。（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　14/52　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 的通径长为 2。（　） (2) 通径是抛物线的所有弦中最短的一条。（　） （1）×。2p=4，通径长就是 4。 把 代入 得 ，两交点 (1,2)、(1,−2) 的距离为 4。 （2）×。通径只是最短的焦点弦，不是最短的弦。 顶点 (0,0) 与点 的弦长为 ，它不过焦点。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　14/52　·　步 2/2 例题精讲 考点：由对称轴与已知点求标准方程 例 2　抛物线关于 x 轴对称，顶点是坐标原点，并且经过点 M(2,−2√2)。求它的标准方程，并指出焦点坐标、准线方程、通径长与对称轴。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　15/52　·　步 1/4 例题精讲 考点：由对称轴与已知点求标准方程 例 2　抛物线关于 x 轴对称，顶点是坐标原点，并且经过点 M(2,−2√2)。求它的标准方程，并指出焦点坐标、准线方程、通径长与对称轴。 对称轴是 x 轴，M 的横坐标为正，故开口向右，设 y²=2px（p>0）。 代入 M： ，解得 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　15/52　·　步 2/4 例题精讲 考点：由对称轴与已知点求标准方程 例 2　抛物线关于 x 轴对称，顶点是坐标原点，并且经过点 M(2,−2√2)。求它的标准方程，并指出焦点坐标、准线方程、通径长与对称轴。 对称轴是 x 轴，M 的横坐标为正，故开口向右，设 y²=2px（p>0）。 代入 M： ，解得 标准方程 ；焦点 (1,0)，准线 x=−1，通径长 4，对称轴 x 轴。 检验：4×2=8=(−2√2)²，点 M 确在曲线上。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　15/52　·　步 3/4 例题精讲 考点：由对称轴与已知点求标准方程 例 2　抛物线关于 x 轴对称，顶点是坐标原点，并且经过点 M(2,−2√2)。求它的标准方程，并指出焦点坐标、准线方程、通径长与对称轴。 对称轴是 x 轴，M 的横坐标为正，故开口向右，设 y²=2px（p>0）。 代入 M： ，解得 标准方程 ；焦点 (1,0)，准线 x=−1，通径长 4，对称轴 x 轴。 检验：4×2=8=(−2√2)²，点 M 确在曲线上。 点评：先定位置（开口方向），再定 p；范围是 x≥0，纵坐标取一切实数。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　15/52　·　步 4/4 变式训练 考点：由对称轴与已知点求标准方程 变式 2　求抛物线 y²=6x 的焦点坐标、准线方程与通径长，并写出它的范围与对称轴。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　16/52　·　步 1/4 变式训练 考点：由对称轴与已知点求标准方程 变式 2　求抛物线 y²=6x 的焦点坐标、准线方程与通径长，并写出它的范围与对称轴。 一次项系数 6 就是 2p，故 p=3，焦点到顶点的距离为： ，通径长 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　16/52　·　步 2/4 变式训练 考点：由对称轴与已知点求标准方程 变式 2　求抛物线 y²=6x 的焦点坐标、准线方程与通径长，并写出它的范围与对称轴。 一次项系数 6 就是 2p，故 p=3，焦点到顶点的距离为： ，通径长 焦点 ，准线 ；范围 ，对称轴 x 轴，开口向右。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　16/52　·　步 3/4 变式训练 考点：由对称轴与已知点求标准方程 变式 2　求抛物线 y²=6x 的焦点坐标、准线方程与通径长，并写出它的范围与对称轴。 一次项系数 6 就是 2p，故 p=3，焦点到顶点的距离为： ，通径长 焦点 ，准线 ；范围 ，对称轴 x 轴，开口向右。 点评：通径端点应在曲线上，可用来检验结果。 检验： 满足 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　16/52　·　步 4/4 方法归纳 考点：由对称轴与已知点求标准方程 ① 由对称轴定形式：轴是 x 轴就设 y²=±2px，轴是 y 轴就设 x²=±2py； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　17/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：由对称轴与已知点求标准方程 ① 由对称轴定形式：轴是 x 轴就设 y²=±2px，轴是 y 轴就设 x²=±2py； ② 由已知点所在的象限确定开口方向，即正负号； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　17/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：由对称轴与已知点求标准方程 ① 由对称轴定形式：轴是 x 轴就设 y²=±2px，轴是 y 轴就设 x²=±2py； ② 由已知点所在的象限确定开口方向，即正负号； ③ 把已知点代入只求一个量 p，焦点、准线、通径接着写。 设 y²=ax 也能求出方程，但 a 就是 2p；用标准形式设 p，几何性质可以顺手写出，不必再换算。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　图形性质与标准方程　·　17/52　·　步 3/3 3.3.2 抛物线的简单几何性质 02 焦半径与距离转化 学习新知 (1) 抛物线上任一点到焦点的距离叫做该点的焦半径。 (2) 设 在 上，它到准线 的 距离是 ，由定义 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　19/52　·　步 1/3 学习新知 (1) 抛物线上任一点到焦点的距离叫做该点的焦半径。 (2) 设 在 上，它到准线 的 距离是 ，由定义 。 四种标准方程的焦半径 向右 　　向左 向上 　　向下 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　19/52　·　步 2/3 学习新知 (1) 抛物线上任一点到焦点的距离叫做该点的焦半径。 (2) 设 在 上，它到准线 的 距离是 ，由定义 。 四种标准方程的焦半径 向右 　　向左 向上 　　向下 提醒：公式右边是一次式，加的是 p 的一半而不是 p。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　19/52　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 上点 到焦点的距离为 。（　） (2) 抛物线 上点 到焦点的距离为 。（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　20/52　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 抛物线 上点 到焦点的距离为 。（　） (2) 抛物线 上点 到焦点的距离为 。（　） （1）×。2p=8，p=4，公式中加的是 p 的一半，即 2。 取 ，到焦点 (2,0) 的距离为 4，而 ， 与之相符。 （2）√。p=2，加的是 1；焦点 (0,1)，准线 y=−1。 取 ， ，与 一致。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　20/52　·　步 2/2 例题精讲 考点：用焦半径公式求参数 例 3　已知 A 为抛物线 C：y²=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　21/52　·　步 1/4 例题精讲 考点：用焦半径公式求参数 例 3　已知 A 为抛物线 C：y²=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　21/52　·　步 2/4 例题精讲 考点：用焦半径公式求参数 例 3　已知 A 为抛物线 C：y²=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 A 到 y 轴的距离为 9，且抛物线在 x≥0 一侧，故 x₀=9；由焦半径公式 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　21/52　·　步 3/4 例题精讲 考点：用焦半径公式求参数 例 3　已知 A 为抛物线 C：y²=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（　） A．2 B．3 C．6 D．9 A 到 y 轴的距离为 9，且抛物线在 x≥0 一侧，故 x₀=9；由焦半径公式 答案　C 检验： 的焦点为 (3,0)， 点评：“到 y 轴的距离”给出横坐标，焦半径公式直接把 p 求出来。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　21/52　·　步 4/4 变式训练 考点：用焦半径公式求点的坐标 变式 3　已知抛物线 y²=4x 上一点 P 到焦点的距离是它到 y 轴距离的 2 倍，求点 P 的坐标。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　22/52　·　步 1/4 变式训练 考点：用焦半径公式求点的坐标 变式 3　已知抛物线 y²=4x 上一点 P 到焦点的距离是它到 y 轴距离的 2 倍，求点 P 的坐标。 设 P(x₀,y₀)，x₀≥0；p=2，故 |PF|=x₀+1，到 y 轴的距离为 x₀。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　22/52　·　步 2/4 变式训练 考点：用焦半径公式求点的坐标 变式 3　已知抛物线 y²=4x 上一点 P 到焦点的距离是它到 y 轴距离的 2 倍，求点 P 的坐标。 设 P(x₀,y₀)，x₀≥0；p=2，故 |PF|=x₀+1，到 y 轴的距离为 x₀。 代入 得 ，所以 或 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　22/52　·　步 3/4 变式训练 考点：用焦半径公式求点的坐标 变式 3　已知抛物线 y²=4x 上一点 P 到焦点的距离是它到 y 轴距离的 2 倍，求点 P 的坐标。 设 P(x₀,y₀)，x₀≥0；p=2，故 |PF|=x₀+1，到 y 轴的距离为 x₀。 代入 得 ，所以 或 。 点评：纵坐标有两个，不能只写一个；检验 |PF|=2=2×1 成立。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　22/52　·　步 4/4 方法归纳 考点：用焦半径公式求点的坐标 ① 看到“抛物线上一点到焦点的距离”，先写焦半径公式； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　23/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：用焦半径公式求点的坐标 ① 看到“抛物线上一点到焦点的距离”，先写焦半径公式； ② 开口向右、向上取加号，开口向左、向下取减号； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　23/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：用焦半径公式求点的坐标 ① 看到“抛物线上一点到焦点的距离”，先写焦半径公式； ② 开口向右、向上取加号，开口向左、向下取减号； ③ 公式里出现的数是 p 的一半；到 y 轴的距离就是横坐标，到 x 轴的距离是纵坐标的绝对值。 焦半径把“到焦点的距离”与“点的坐标”直接连起来，不必再去算两点间的距离。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　23/52　·　步 3/3 学习新知 求 的最小值（A 为定点，P 在抛物线上）： (1) 把 换成 P 到准线的距离 ； (2) 不小于 A 到准线的距离， 即过 A 作准线的垂线段。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　24/52　·　步 1/2 学习新知 求 的最小值（A 为定点，P 在抛物线上）： (1) 把 换成 P 到准线的距离 ； (2) 不小于 A 到准线的距离， 即过 A 作准线的垂线段。 等号成立的条件 点 A 在抛物线内侧，即 时， 这条垂线段与抛物线相交，最小值可以取到。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　24/52　·　步 2/2 例题精讲 考点：定义转化求距离和的最小值 例 4　已知点 A(4,3)，点 P 在抛物线 C：y²=4x 上，F 为 C 的焦点，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P 的坐标。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　25/52　·　步 1/5 例题精讲 考点：定义转化求距离和的最小值 例 4　已知点 A(4,3)，点 P 在抛物线 C：y²=4x 上，F 为 C 的焦点，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P 的坐标。 焦点 F(1,0)，准线 x=−1。设 D 为 P 到准线的垂足， ，于是 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　25/52　·　步 2/5 例题精讲 考点：定义转化求距离和的最小值 例 4　已知点 A(4,3)，点 P 在抛物线 C：y²=4x 上，F 为 C 的焦点，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P 的坐标。 焦点 F(1,0)，准线 x=−1。设 D 为 P 到准线的垂足， ，于是 ，A 在内侧； 过 A 的垂线 y=3 交 C 于 ，最小值 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　25/52　·　步 3/5 例题精讲 考点：定义转化求距离和的最小值 例 4　已知点 A(4,3)，点 P 在抛物线 C：y²=4x 上，F 为 C 的焦点，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P 的坐标。 焦点 F(1,0)，准线 x=−1。设 D 为 P 到准线的垂足， ，于是 ，A 在内侧； 过 A 的垂线 y=3 交 C 于 ，最小值 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　25/52　·　步 4/5 例题精讲 考点：定义转化求距离和的最小值 例 4　已知点 A(4,3)，点 P 在抛物线 C：y²=4x 上，F 为 C 的焦点，求 |PA|+|PF| 的最小值，并求此时点 P 的坐标。 焦点 F(1,0)，准线 x=−1。设 D 为 P 到准线的垂足， ，于是 ，A 在内侧； 过 A 的垂线 y=3 交 C 于 ，最小值 检验： ， ，相加得 5。 点评：最小值是 A 到准线的距离，不是 A 到焦点的距离；取等时 P 在这条垂线段上。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　25/52　·　步 5/5 变式训练 考点：焦半径公式与定义转化 变式 4　已知抛物线 x²=4y 上一点 P 到焦点的距离为 3，求点 P 的坐标与点 P 到 x 轴的距离。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　26/52　·　步 1/5 变式训练 考点：焦半径公式与定义转化 变式 4　已知抛物线 x²=4y 上一点 P 到焦点的距离为 3，求点 P 的坐标与点 P 到 x 轴的距离。 p=2，焦点 (0,1)，准线 y=−1，焦半径含纵坐标： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　26/52　·　步 2/5 变式训练 考点：焦半径公式与定义转化 变式 4　已知抛物线 x²=4y 上一点 P 到焦点的距离为 3，求点 P 的坐标与点 P 到 x 轴的距离。 p=2，焦点 (0,1)，准线 y=−1，焦半径含纵坐标： 代入 得 所以 P(±2√2, 2)，点 P 到 x 轴的距离为 2。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　26/52　·　步 3/5 变式训练 考点：焦半径公式与定义转化 变式 4　已知抛物线 x²=4y 上一点 P 到焦点的距离为 3，求点 P 的坐标与点 P 到 x 轴的距离。 p=2，焦点 (0,1)，准线 y=−1，焦半径含纵坐标： 代入 得 所以 P(±2√2, 2)，点 P 到 x 轴的距离为 2。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　26/52　·　步 4/5 变式训练 考点：焦半径公式与定义转化 变式 4　已知抛物线 x²=4y 上一点 P 到焦点的距离为 3，求点 P 的坐标与点 P 到 x 轴的距离。 p=2，焦点 (0,1)，准线 y=−1，焦半径含纵坐标： 代入 得 所以 P(±2√2, 2)，点 P 到 x 轴的距离为 2。 点评：开口向上时焦半径含纵坐标；到 x 轴的距离就是纵坐标，横坐标要写两个。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　26/52　·　步 5/5 方法归纳 考点：焦半径公式与定义转化 ① 见“到焦点的距离”先想准线：抛物线上点到焦点、到准线的距离恒等； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　27/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：焦半径公式与定义转化 ① 见“到焦点的距离”先想准线：抛物线上点到焦点、到准线的距离恒等； ② |PA|+|PF| 型：把 |PF| 换成到准线的距离，过 A 作准线的垂线段； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　27/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：焦半径公式与定义转化 ① 见“到焦点的距离”先想准线：抛物线上点到焦点、到准线的距离恒等； ② |PA|+|PF| 型：把 |PF| 换成到准线的距离，过 A 作准线的垂线段； ③ 先验证 A 在内侧，否则垂线段与抛物线不相交，最小值要另行讨论。 最小值就是定点 A 到准线的距离；开口向上时内侧条件写成 x²<2py 的形式，最小值就是 A 到准线的距离。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　焦半径与距离转化　·　27/52　·　步 3/3 3.3.2 抛物线的简单几何性质 03 弦长与焦点弦 学习新知 把直线方程与 联立，消去 y， 整理成 ： (1) 时看判别式： 两个公共点； 　　 一个公共点， 没有公共点； (2) 时只剩一次方程， 只有一个公共点，此时直线平行于轴。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　29/52　·　步 1/3 学习新知 把直线方程与 联立，消去 y， 整理成 ： (1) 时看判别式： 两个公共点； 　　 一个公共点， 没有公共点； (2) 时只剩一次方程， 只有一个公共点，此时直线平行于轴。 易错：只有一个公共点，未必平行于轴。 它可能是 （图中 ），也可能是 （图中 ）。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　29/52　·　步 2/3 学习新知 把直线方程与 联立，消去 y， 整理成 ： (1) 时看判别式： 两个公共点； 　　 一个公共点， 没有公共点； (2) 时只剩一次方程， 只有一个公共点，此时直线平行于轴。 易错：只有一个公共点，未必平行于轴。 它可能是 （图中 ），也可能是 （图中 ）。 图中 l₁ 平行于轴，l₂ 使 Δ=0，l₃ 是准线。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　29/52　·　步 3/3 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 过抛物线 的焦点的弦 AB 的两端点为 、 ， 则 。（　） (2) 直线与抛物线只有一个公共点时，这条直线一定平行于抛物线的对称轴。（　） 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　30/52　·　步 1/2 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） (1) 过抛物线 的焦点的弦 AB 的两端点为 、 ， 则 。（　） (2) 直线与抛物线只有一个公共点时，这条直线一定平行于抛物线的对称轴。（　） （1）√。 p=2，焦半径 、 ，且 A、F、B 三点共线。 所以 。 （2）×。 还可能使 ： 与 只有一个公共点 。 把 代入得 ，判别式等于 0，而这条直线不平行于 x 轴。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　30/52　·　步 2/2 学习新知 (1) 一般弦长：直线 l 的斜率为 k，与抛物线交于 、 ： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　31/52　·　步 1/3 学习新知 (1) 一般弦长：直线 l 的斜率为 k，与抛物线交于 、 ： (2) 焦点弦：若 l 过 的焦点，由焦半径公式得 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　31/52　·　步 2/3 学习新知 (1) 一般弦长：直线 l 的斜率为 k，与抛物线交于 、 ： (2) 焦点弦：若 l 过 的焦点，由焦半径公式得 (3) 消 x 得关于 y 的方程时， ，结果相同。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　31/52　·　步 3/3 例题精讲 考点：过焦点的弦长 例 5　斜率为 1 的直线经过抛物线 y²=4x 的焦点，与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　32/52　·　步 1/4 例题精讲 考点：过焦点的弦长 例 5　斜率为 1 的直线经过抛物线 y²=4x 的焦点，与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长。 焦点 F(1,0)，直线为 y=x−1；代入 y²=4x 并整理： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　32/52　·　步 2/4 例题精讲 考点：过焦点的弦长 例 5　斜率为 1 的直线经过抛物线 y²=4x 的焦点，与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长。 焦点 F(1,0)，直线为 y=x−1；代入 y²=4x 并整理： 弦过焦点，只用 ： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　32/52　·　步 3/4 例题精讲 考点：过焦点的弦长 例 5　斜率为 1 的直线经过抛物线 y²=4x 的焦点，与抛物线相交于 A、B 两点，求线段 AB 的长。 焦点 F(1,0)，直线为 y=x−1；代入 y²=4x 并整理： 弦过焦点，只用 ： 点评：过焦点的弦不必解出 A、B 的坐标；下面用两点间距离检验。 检验： ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　32/52　·　步 4/4 变式训练 考点：焦点弦与一般弦长 变式 5　直线 y=x+1 与抛物线 y²=8x 相交于 A、B 两点，求 |AB|。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　33/52　·　步 1/4 变式训练 考点：焦点弦与一般弦长 变式 5　直线 y=x+1 与抛物线 y²=8x 相交于 A、B 两点，求 |AB|。 联立得 (x+1)²=8x，即 x²−6x+1=0，Δ=32>0： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　33/52　·　步 2/4 变式训练 考点：焦点弦与一般弦长 变式 5　直线 y=x+1 与抛物线 y²=8x 相交于 A、B 两点，求 |AB|。 联立得 (x+1)²=8x，即 x²−6x+1=0，Δ=32>0： 直线与 x 轴交于 (−1,0)，不过焦点 (2,0)，只能用一般弦长公式： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　33/52　·　步 3/4 变式训练 考点：焦点弦与一般弦长 变式 5　直线 y=x+1 与抛物线 y²=8x 相交于 A、B 两点，求 |AB|。 联立得 (x+1)²=8x，即 x²−6x+1=0，Δ=32>0： 直线与 x 轴交于 (−1,0)，不过焦点 (2,0)，只能用一般弦长公式： 点评：两题的二次方程相同，但这里的弦不过焦点；误用 x₁+x₂+p 会得到 10。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　33/52　·　步 4/4 方法归纳 考点：焦点弦与一般弦长 ① 先判断弦过不过焦点：过焦点用 |AB|=x₁+x₂+p，只需要 x₁+x₂； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　34/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：焦点弦与一般弦长 ① 先判断弦过不过焦点：过焦点用 |AB|=x₁+x₂+p，只需要 x₁+x₂； ② 不过焦点用一般弦长公式，需要 x₁+x₂ 与 x₁x₂ 两个量； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　34/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：焦点弦与一般弦长 ① 先判断弦过不过焦点：过焦点用 |AB|=x₁+x₂+p，只需要 x₁+x₂； ② 不过焦点用一般弦长公式，需要 x₁+x₂ 与 x₁x₂ 两个量； ③ 消元方向可选：消 x 得关于 y 的方程时改用 |y₁−y₂|，结果相同。 提醒：弦不过焦点却套用 x₁+x₂+p，会把弦长算错（变式 5 中多算了 2）。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　34/52　·　步 3/3 学习新知 把 代入 ，由根与系数的关系： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　35/52　·　步 1/4 学习新知 把 代入 ，由根与系数的关系： 因为 ，所以 ； 斜率不存在时弦就是通径，长 。 这就说明：通径是最短的焦点弦。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　35/52　·　步 2/4 学习新知 把 代入 ，由根与系数的关系： 因为 ，所以 ； 斜率不存在时弦就是通径，长 。 这就说明：通径是最短的焦点弦。 以焦点弦为直径的圆与准线相切 弦的中点到准线的距离 ，恰为半径。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　35/52　·　步 3/4 学习新知 把 代入 ，由根与系数的关系： 因为 ，所以 ； 斜率不存在时弦就是通径，长 。 这就说明：通径是最短的焦点弦。 以焦点弦为直径的圆与准线相切 弦的中点到准线的距离 ，恰为半径。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　35/52　·　步 4/4 例题精讲 考点：由倾斜角求焦点弦长 例 6 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线， 与 C 交于 A、B 两点。求 |AB|，并把它与通径长比较。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　36/52　·　步 1/5 例题精讲 考点：由倾斜角求焦点弦长 例 6 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线， 与 C 交于 A、B 两点。求 |AB|，并把它与通径长比较。 倾斜角 ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　36/52　·　步 2/5 例题精讲 考点：由倾斜角求焦点弦长 例 6 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线， 与 C 交于 A、B 两点。求 |AB|，并把它与通径长比较。 倾斜角 ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　36/52　·　步 3/5 例题精讲 考点：由倾斜角求焦点弦长 例 6 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线， 与 C 交于 A、B 两点。求 |AB|，并把它与通径长比较。 倾斜角 ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　36/52　·　步 4/5 例题精讲 考点：由倾斜角求焦点弦长 例 6 过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线， 与 C 交于 A、B 两点。求 |AB|，并把它与通径长比较。 倾斜角 ， 通径长 ， ，这条焦点弦比通径长。 点评：用倾斜角公式可避开解方程；检验时回到 x₁+x₂+p，结果一致。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　36/52　·　步 5/5 变式训练 考点：由焦点弦长求倾斜角 变式 6 已知抛物线 的一条过焦点的弦长为 ， 求这条弦所在直线的倾斜角。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　37/52　·　步 1/4 变式训练 考点：由焦点弦长求倾斜角 变式 6 已知抛物线 的一条过焦点的弦长为 ， 求这条弦所在直线的倾斜角。 由 且 ，得 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　37/52　·　步 2/4 变式训练 考点：由焦点弦长求倾斜角 变式 6 已知抛物线 的一条过焦点的弦长为 ， 求这条弦所在直线的倾斜角。 由 且 ，得 又 ，所以 或 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　37/52　·　步 3/4 变式训练 考点：由焦点弦长求倾斜角 变式 6 已知抛物线 的一条过焦点的弦长为 ， 求这条弦所在直线的倾斜角。 由 且 ，得 又 ，所以 或 。 点评：两个倾斜角对应两条关于 x 轴对称的弦，弦长相同，钝角解不能舍去。 检验： 时 ，两个方向都得同一弦长。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　37/52　·　步 4/4 方法归纳 考点：由焦点弦长求倾斜角 ① 斜率存在且不为 0 时，弦长用 k 表示；倾斜角已知时用 θ 表示： 　　 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　38/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：由焦点弦长求倾斜角 ① 斜率存在且不为 0 时，弦长用 k 表示；倾斜角已知时用 θ 表示： 　　 ② 弦垂直于对称轴时（弦即通径），两式都给出 2p，这就是最短的焦点弦； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　38/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：由焦点弦长求倾斜角 ① 斜率存在且不为 0 时，弦长用 k 表示；倾斜角已知时用 θ 表示： 　　 ② 弦垂直于对称轴时（弦即通径），两式都给出 2p，这就是最短的焦点弦； ③ 由弦长反求倾斜角：同一个 sin²θ 对应 θ 与 π−θ 两个角。 倾斜角的范围是 0<θ<π，此时 sinθ>0，sinθ 由 sin²θ 唯一确定，但 θ 有两个，钝角情形不能舍去。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　38/52　·　步 3/3 例题精讲 考点：两条垂直焦点弦的和 例 7 已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 作两条 互相垂直的直线 、 ， 与 C 交于 A、B 两点， 与 C 交于 D、E 两点，则 的最小值为（　） A．16 B．14 C．12 D．10 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　39/52　·　步 1/3 例题精讲 考点：两条垂直焦点弦的和 例 7 已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 作两条 互相垂直的直线 、 ， 与 C 交于 A、B 两点， 与 C 交于 D、E 两点，则 的最小值为（　） A．16 B．14 C．12 D．10 p=2。设 l₁ 的斜率为 k（k≠0），则 l₂ 的斜率为它的负倒数： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　39/52　·　步 2/3 例题精讲 考点：两条垂直焦点弦的和 例 7 已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 作两条 互相垂直的直线 、 ， 与 C 交于 A、B 两点， 与 C 交于 D、E 两点，则 的最小值为（　） A．16 B．14 C．12 D．10 p=2。设 l₁ 的斜率为 k（k≠0），则 l₂ 的斜率为它的负倒数： 答案　A 点评：等号在 k=±1 时取得，此时两条弦长都是 8，和为 16。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　39/52　·　步 3/3 变式训练 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 变式 7 求抛物线 的所有过焦点的弦中最短的弦长， 并求倾斜角为 的焦点弦长。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　40/52　·　步 1/4 变式训练 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 变式 7 求抛物线 的所有过焦点的弦中最短的弦长， 并求倾斜角为 的焦点弦长。 最短的焦点弦就是通径： ，故最短弦长为 8。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　40/52　·　步 2/4 变式训练 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 变式 7 求抛物线 的所有过焦点的弦中最短的弦长， 并求倾斜角为 的焦点弦长。 最短的焦点弦就是通径： ，故最短弦长为 8。 倾斜角 时 ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　40/52　·　步 3/4 变式训练 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 变式 7 求抛物线 的所有过焦点的弦中最短的弦长， 并求倾斜角为 的焦点弦长。 最短的焦点弦就是通径： ，故最短弦长为 8。 倾斜角 时 ， 点评：通径对应斜率不存在，此时弦垂直于对称轴，sin²θ=1。 检验： 代入得 ， 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　40/52　·　步 4/4 方法归纳 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 ① 设一条弦的斜率为 k，则另一条的斜率为它的负倒数；两者都要存在且不为 0； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　41/52　·　步 1/3 方法归纳 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 ① 设一条弦的斜率为 k，则另一条的斜率为它的负倒数；两者都要存在且不为 0； ② 把两条弦长相加，整理成 k² 与它的倒数之和的形式； 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　41/52　·　步 2/3 方法归纳 考点：焦点弦的最短值与倾斜角 ① 设一条弦的斜率为 k，则另一条的斜率为它的负倒数；两者都要存在且不为 0； ② 把两条弦长相加，整理成 k² 与它的倒数之和的形式； ③ 对这个和用基本不等式，等号在 k=±1 时取得。 提醒：k=0 时直线就是 x 轴，与抛物线只有一个公共点，不构成弦。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　弦长与焦点弦　·　41/52　·　步 3/3 3.3.2 抛物线的简单几何性质 04 小结与随堂检测 课堂小结 图形性质 一次项定对称轴，系数是 2p； 焦点到顶点是 p 的一半； 范围在开口一侧，离心率 e=1。 焦半径 点到焦点的距离＝点到准线的距离； 向右 　向上 向左 　向下 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　43/52　·　步 1/3 课堂小结 图形性质 一次项定对称轴，系数是 2p； 焦点到顶点是 p 的一半； 范围在开口一侧，离心率 e=1。 焦半径 点到焦点的距离＝点到准线的距离； 向右 　向上 向左 　向下 p 决定开口大小，离心率恒为 1，不能用来区分两条抛物线的形状。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　43/52　·　步 2/3 课堂小结 图形性质 一次项定对称轴，系数是 2p； 焦点到顶点是 p 的一半； 范围在开口一侧，离心率 e=1。 焦半径 点到焦点的距离＝点到准线的距离； 向右 　向上 向左 　向下 p 决定开口大小，离心率恒为 1，不能用来区分两条抛物线的形状。 求 |PA|+|PF| 的最小值：把 |PF| 换成到准线的距离，再作垂线段。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　43/52　·　步 3/3 课堂小结 公共点个数 联立整理成 ax²+bx+c=0； a≠0 时看 Δ 的符号； a=0 时只有一个公共点，直线平行于轴。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/52　·　步 1/4 课堂小结 公共点个数 联立整理成 ax²+bx+c=0； a≠0 时看 Δ 的符号； a=0 时只有一个公共点，直线平行于轴。 弦长 过焦点 一般式 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/52　·　步 2/4 课堂小结 公共点个数 联立整理成 ax²+bx+c=0； a≠0 时看 Δ 的符号； a=0 时只有一个公共点，直线平行于轴。 弦长 过焦点 一般式 先判断弦过不过焦点；通径 2p 是最短的焦点弦。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/52　·　步 3/4 课堂小结 公共点个数 联立整理成 ax²+bx+c=0； a≠0 时看 Δ 的符号； a=0 时只有一个公共点，直线平行于轴。 弦长 过焦点 一般式 先判断弦过不过焦点；通径 2p 是最短的焦点弦。 几何条件 → 焦半径或韦达 → 关于 p、k、θ 的方程，是本讲四类题共同的通道。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　44/52　·　步 4/4 题后反思 ● 把一次项系数当成 p：x²=8y 中 2p=8，焦点是 (0,2) 而不是 (0,4)。 ● 焦半径符号写错：开口向左、向下时应从 p 的一半中减去坐标。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　45/52　·　步 1/3 题后反思 ● 把一次项系数当成 p：x²=8y 中 2p=8，焦点是 (0,2) 而不是 (0,4)。 ● 焦半径符号写错：开口向左、向下时应从 p 的一半中减去坐标。 ● 只有一个公共点就断定直线平行于轴：Δ=0 时也只有一个公共点。 ● 弦不过焦点却套用 x₁+x₂+p；由弦长求倾斜角时漏掉钝角解。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　45/52　·　步 2/3 题后反思 ● 把一次项系数当成 p：x²=8y 中 2p=8，焦点是 (0,2) 而不是 (0,4)。 ● 焦半径符号写错：开口向左、向下时应从 p 的一半中减去坐标。 ● 只有一个公共点就断定直线平行于轴：Δ=0 时也只有一个公共点。 ● 弦不过焦点却套用 x₁+x₂+p；由弦长求倾斜角时漏掉钝角解。 通径是最短的“焦点弦”，不是最短的弦；判断前先拿不过焦点的弦比一比。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　45/52　·　步 3/3 当堂检测 检测 1 抛物线 的焦点到准线的距离为（　） A．2 B．4 C．8 D．16 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/52　·　步 1/3 当堂检测 检测 1 抛物线 的焦点到准线的距离为（　） A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B。2p=8，p=4，焦点到准线的距离就是 p。 焦点 到准线 的距离为 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/52　·　步 2/3 当堂检测 检测 1 抛物线 的焦点到准线的距离为（　） A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B。2p=8，p=4，焦点到准线的距离就是 p。 焦点 到准线 的距离为 。 焦准距等于 p，不是 2p；通径长才等于 2p。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　46/52　·　步 3/3 当堂检测 检测 2　填空： (1) 过抛物线 （p>0）的焦点且垂直于对称轴的弦长为 8，则 p= ； (2) 抛物线 的通径长为 ，离心率为 ， 焦点坐标为 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　47/52　·　步 1/2 当堂检测 检测 2　填空： (1) 过抛物线 （p>0）的焦点且垂直于对称轴的弦长为 8，则 p= ； (2) 抛物线 的通径长为 ，离心率为 ， 焦点坐标为 。 (1) 垂直于对称轴且过焦点的弦就是通径， ，故 p=4。 (2) 的一次项系数 2 就是 2p，故 ； 通径长 ，离心率 ，焦点 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　47/52　·　步 2/2 当堂检测 检测 3　抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则点 P 的横坐标为 ， 点 P 的坐标为 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/52　·　步 1/3 当堂检测 检测 3　抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则点 P 的横坐标为 ， 点 P 的坐标为 。 p=2，焦半径 ，故 ； 代入 得 ，所以 。 检验： 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/52　·　步 2/3 当堂检测 检测 3　抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则点 P 的横坐标为 ， 点 P 的坐标为 。 p=2，焦半径 ，故 ； 代入 得 ，所以 。 检验： 。 焦半径公式给出横坐标，纵坐标要由方程补上，正负两个都要写。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　48/52　·　步 3/3 当堂检测 检测 4（多选） 下列关于抛物线 的说法，正确的是（　） A．焦点坐标为 (1,0)，准线方程为 x=−1 B．通径长为 2 C．以过焦点的弦为直径的圆与准线相切 D．离心率为 1，p 越大开口越阔 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　49/52　·　步 1/2 当堂检测 检测 4（多选） 下列关于抛物线 的说法，正确的是（　） A．焦点坐标为 (1,0)，准线方程为 x=−1 B．通径长为 2 C．以过焦点的弦为直径的圆与准线相切 D．离心率为 1，p 越大开口越阔 答案 ACD。2p=4，p=2，焦点 (1,0)，准线 x=−1。 B 错：通径长 ，不是 2； C 对：焦点弦中点到准线的距离等于 ，正是圆的半径； D 对：离心率恒为 1，开口大小由 p 决定。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　49/52　·　步 2/2 当堂检测 检测 5　以抛物线 的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的 圆的方程为 。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/52　·　步 1/3 当堂检测 检测 5　以抛物线 的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的 圆的方程为 。 圆心为焦点 ，半径等于焦点到准线 的距离 ， 故圆的方程为 。 检验：把 代入得 ，与准线只有一个公共点 (−1,0)。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/52　·　步 2/3 当堂检测 检测 5　以抛物线 的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的 圆的方程为 。 圆心为焦点 ，半径等于焦点到准线 的距离 ， 故圆的方程为 。 检验：把 代入得 ，与准线只有一个公共点 (−1,0)。 抛物线的焦准距、通径、圆的半径常在同一道题里互相转化。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　50/52　·　步 3/3 当堂检测 检测 6　设直线 l 经过点 (−1,0)。若 l 与抛物线 y²=4x 有两个公共点，求 l 的斜率的取值范围。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　51/52　·　步 1/4 当堂检测 检测 6　设直线 l 经过点 (−1,0)。若 l 与抛物线 y²=4x 有两个公共点，求 l 的斜率的取值范围。 斜率不存在时 l 为 x=−1，与抛物线没有公共点；k=0 时只有一个公共点； 设 （ ），由 代入： 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　51/52　·　步 2/4 当堂检测 检测 6　设直线 l 经过点 (−1,0)。若 l 与抛物线 y²=4x 有两个公共点，求 l 的斜率的取值范围。 斜率不存在时 l 为 x=−1，与抛物线没有公共点；k=0 时只有一个公共点； 设 （ ），由 代入： 所以 −1<k<0 或 0<k<1。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　51/52　·　步 3/4 当堂检测 检测 6　设直线 l 经过点 (−1,0)。若 l 与抛物线 y²=4x 有两个公共点，求 l 的斜率的取值范围。 斜率不存在时 l 为 x=−1，与抛物线没有公共点；k=0 时只有一个公共点； 设 （ ），由 代入： 所以 −1<k<0 或 0<k<1。 答案： 。检验： 时 ，有两个公共点。 点评：两个公共点要求二次项系数不为 0 且 Δ>0，两个条件缺一不可。 3.3.2 抛物线的简单几何性质　·　小结与随堂检测　·　51/52　·　步 4/4 本节课到此结束 下节预告　4.1 数列的概念 人教A版2019选择性必修第一册 $