3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

第2课时　直线与抛物线的位置关系 [教材知识——一遍过] 1.C　∵直线y＝kx－k＝k（x－1），∴直线过定点（1，0），∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点. 2.D　抛物线C：y＝x2的对称轴为y轴，直线x＝1过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个交点； 设过点P（1，0）与抛物线C只有一个交点且斜率存在的直线方程为y＝k（x－1）， 联立消去y并整理得x2－kx＋k＝0，则Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4， 因此，过点P（1，0）与抛物线C相切的斜率存在的直线有两条. 故过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选D. 3.B　联立⇒y2－y＋1＝0，无解， 故直线l：x＋y－1＝0与抛物线y2＝－x没有公共点，如图所示. 设直线m：x＋y＋c＝0与抛物线相切， 则直线m与l的距离即为抛物线y2＝－x上的点到直线l：x＋y－1＝0的最短距离. 联立⇒－y2＋y＋c＝0， 则Δ＝1＋4c＝0，c＝－， 所以两平行直线m：x＋y－＝0与l：x＋y－1＝0的距离为d＝＝.故选B. 4.C　由消去y并整理得x2－7x＋4＝0，Δ＝49－16＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝7，x1x2＝4， ｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝·＝. 5.C　设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立得x2＋（4m－8）x＋4m2＝0， 则Δ＝（4m－8）2－16m2＞0，解得m＜1，x1＋x2＝8－4m，x1x2＝4m2， ｜MN｜＝＝·＝8，解得m＝－3. 6.8　解析：抛物线x2＝4y的焦点为F（0，1），直线l与抛物线交于A，B两点，则其斜率存在， 设l的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得x2－4kx－4＝0， 则 又y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2， 所以＝＋1，即3＝2k2＋1，解得k＝±1， 所以＝＝×＝×＝8. 7.解：（1）抛物线的焦点F， 设圆x2＋（y－2）2＝3的圆心为D（0，2），半径r＝， 则｜DM｜2＋｜MF｜2＝｜OF｜2＋｜OD｜2＝｜DF｜2，即3＋2＝＋4. 又p＞0，可得p＝2. （2）方法一：易知直线AB的斜率存在，设AB的方程为y－1＝k（x－1）， A（x1，y1），B（x2，y2）. 由可得ky2－4y＋4－4k＝0， 所以Δ＝16（k2－k＋1）＞0，y1＋y2＝. 因为线段AB的中点为（1，1），所以＝1， 即＝2，所以k＝2，所以y1y2＝－2， 所以｜AB｜＝＝＝. 方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1≠x2， 由可得（y2－y1）（y2＋y1）＝4（x2－x1）， 即＝. 因为线段AB的中点为（1，1），所以＝1，＝1， 所以＝2. 由＝1，y2＝4x，可得＝2，所以＝2，所以y1y2＝－2， 所以｜AB｜＝＝. 8.C　以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得点A的坐标为. 设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），则＝6p， 解得p＝.故该抛物线的焦点到准线的距离为 cm.故选C. 9.B　以B为原点，建立平面直角坐标系如图所示，作BM⊥OC且垂足为M， 点A在y轴上的射影点为D，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）， 由题意可知，｜AD｜＝3，｜BM｜＝4，｜OC｜＝7， 所以｜MC｜＝｜OC｜－｜AD｜＝7－3＝4， 所以C（4，－4），代入抛物线方程可知16＝8p， 所以p＝2，所以抛物线方程为x2＝－4y. 又因为xA＝－3，所以yA＝yD＝－， 所以｜BD｜＝，所以｜OA｜＝｜DM｜＝｜BM｜－｜BD｜＝4－＝，所以OA的高度为 m.故选B. [综合素养——全提升] 1.A　由直线l与C只有一个公共点， 当k＝0时，直线l：y＝0与抛物线C：y2＝16x只有一个交点，符合； 当k≠0时，直线方程与抛物线方程联立消去y，可得k2（x＋1）2＝16x， 即k2x2＋（2k2－16）x＋k2＝0， 由Δ＝－4k4＝0，解得k＝±2. 综上，若直线l与C只有一个公共点，则k＝±2或k＝0， 所以“k＝±2”是“直线l与C只有一个公共点”的充分不必要条件. 2.C　以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴，建立如图所示平面直角坐标系. 设碗体的抛物线方程为x2＝2py（p＞0）， 将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25， 解得p＝2，则x2＝4y. 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h（cm）， 则两抛物线在第一象限的交点为P（4，h－3）， 代入x2＝4y，解得42＝4（h－3）， 解得h＝7.故选C. 3.BCD　　抛物线C：y＝x2，即x2＝4y，所以焦点坐标为F（0，1），准线方程为y＝－1，故A错误；由即x2－4x＋4＝0，解得Δ＝（－4）2－4×4＝0，所以直线y＝x－1与C相切，故B正确；设点P（x，y），所以｜PM｜2＝x2＋（y－4）2＝y2－4y＋16＝（y－2）2＋12≥12，所以｜PM｜min＝2，故C正确；如图，过点P作PN⊥准线，交于点N， ｜NP｜＝｜PF｜，｜MF｜＝＝5，所以C△PMF＝｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝｜MF｜＋｜MP｜＋｜PN｜≥｜MF｜＋｜MN｜＝5＋6＝11，当且仅当M，P，N三点共线时取等号，故D正确.故选B、C、D. 4.D　由题意可得抛物线y2＝－2x的焦点F. 由已知条件可知直线AB的斜率存在，由－＝λ可知弦AB经过焦点F. 设直线AB的方程为y＝k，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）， 联立消去y得k2x2＋（k2＋2）x＋＝0，∴x1x2＝. 又∵弦AB的中点M的横坐标为－， ∴x1＋x2＝－， ∴x1＝－，x2＝－， ∴点A到准线的距离为｜FA｜＝＋＝， 点B到准线的距离为＝＋＝2， ∴＝，∴＝， 又－＝，－＝λ，故λ＝4.故选D. 5.3　解析：由题知，p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x. 设A（x1，y1），B（x2，y2），易知x1≠x2， 则由点差法可得＝， 又M（m，2）是线段AB的中点，所以y1＋y2＝4，所以直线l的斜率为＝2. 因为直线l过焦点F（2，0），所以＝2，可得m＝3. 6.　解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得y2－2py－8p＝0， 则Δ＝4p2＋32p＞0， 由弦长公式得｜AB｜＝·｜y1－y2｜＝·＝， 即4p2＋32p－17＝0，解得p＝或p＝－（舍去）. 7.解：（1）由点P到点（1，0）的距离比它到直线x＝－4的距离小3， 则点P到点（1，0）的距离等于点P到直线x＝－1的距离， 因此点P的轨迹是以点（1，0）为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线. 设曲线E的方程为y2＝2px（p＞0），则＝1，得p＝2， 所以曲线E的方程为y2＝4x. （2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设为k， 则直线l的方程为y－2＝k（x－6）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得y2－y－6k＋2＝0， 则y1＋y2＝－＝，y1y2＝＝， 因为AB的中点为（6，2），所以＝2，即＝4，所以k＝1， 故y1y2＝＝－16，x1x2＝×＝＝16， 所以·＝x1x2＋y1y2＝0， 所以OA⊥OB，所以以AB为直径的圆过点O. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　 直线与抛物线的位置关系 　 直线与抛物线的位置关系 1.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px（p＞0），则（　　） A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 2.已知抛物线C：y＝x2，过点P（1，0）与抛物线C有且只有一个交点的直线有（　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 3.抛物线y2＝－x上的点到直线l：x＋y－1＝0的最短距离是（　　） A.　　　B. C.　　　D. 弦长与中点弦问题 4.若抛物线y2＝12x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，则｜AB｜等于（　　） A.2 B.12 C. D.13 5.已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝2x交于M，N两点，且｜MN｜＝8，则m＝（　　） A.4＋2 B.3 C.－3 D.4－2 6.若直线l经过抛物线x2＝4y的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为　　　　　. 7.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与圆x2＋（y－2）2＝3相切于点M，且｜MF｜＝. （1）求p； （2）若点A，B在抛物线C上，且线段AB的中点为（1，1），求｜AB｜. 抛物线的实际应用 8.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分.已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3 cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 9.某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面4 m，点B到管柱OA所在直线的距离为3 m，且水流落在地面以O为圆心，半径为7 m的圆上，则管柱OA的高度为（　　） A. m　　B. m C. m　　D. m 　 1.已知直线l：y＝k（x＋1）和抛物线C：y2＝16x，则“k＝±2”是“直线l与C只有一个公共点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（　　） A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8.25 cm 3.（多选）已知抛物线C：y＝x2的焦点为F，点P为C上一点，下列说法正确的是（　　） A.抛物线C的准线方程为y＝－ B.直线y＝x－1与抛物线C相切 C.若M（0，4），则｜PM｜的最小值为2 D.若M（3，5），则△PMF的周长的最小值为11 4.已知以F为焦点的抛物线y2＝－2x上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足－＝λ（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为－，则实数λ＝（　　） A. B. C.3 D.4 5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A，B两点，若M（m，2）是线段AB的中点，则m的值为　　　　　. 6.（2026·浙东北联盟期中）设抛物线y2＝2px（p＞0）被直线y＝x－4截得的弦AB的长为，则p＝　　　　　. 7.在平面直角坐标系xOy中，点P到点（1，0）的距离比它到直线x＝－4的距离小3，记动点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）已知直线l与曲线E交于A，B两点，且AB的中点为（6，2），求证：以AB为直径的圆过点O. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $