3.3.2抛物线的简单几何性质课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 第三章　圆锥曲线的方程 基础预习 重点探究 巩固演练 同步分级训练(二十七)　抛物线的简单几何性质 目录 1.掌握抛物线的几何性质．(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) 1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养. 2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 基础预习 NO.1 新知初探 初试身手 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (1)通过多媒体课件展示．抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣． (2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该拱桥？ 为了解决这个问题，我们先来研究一下 抛物线的简单几何性质． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 x轴 y轴 (0,0) 1 y≥0，x∈R y≤0，x∈R 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2．焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋ ，|BF|＝x2＋ ，故|AB|＝ . x1＋x2＋p 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3．直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系： 、 和________. 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有 交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线 ⇔有 个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线 ⇔只有 个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线 ⇔ 公共点． 相离 相切 相交 一个 相交 两 相切 一 相离 没有 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是无中心的圆锥曲线．(　　) (2)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.(　　) √ √ × 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝16y　　　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 D B 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 4 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 重点探究 NO.2 探究一 探究二 探究三 探究四 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 例1　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2 ，则抛物线的方程为 . [思路探究]　(1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标，然后再求方程． (1)[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为± ，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1， )或(－1， )，设抛物线方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.] 探究1 抛物线性质的应用 y2＝3x或y2＝－3x 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． [思路探究]　(2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形的关联性求解． (2)解：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a， 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8， 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 例2　(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ [思路探究]　(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意． [听课记录]　解：当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点； 探究2 直线与抛物线的位置关系 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝ ，直线方程为y＝ x＋1. 故满足条件的直线有三条． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数. (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB. ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B， ∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有x1＋x2＝12，x1x2＝16. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 例3　过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． [思路探究]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；也可以设直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，通过“设而不求”求解． 探究3 中点弦及弦长公式 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 “中点弦”问题解题方法 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 ∴p＝ . ∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 [探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数． 2．如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？ 提示：常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进而找到定点、定值．也常用特值法找定点、定值． 探究4 抛物线的综合应用 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 例4　如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； [思路探究]　第(1)问可以利用待定系数法解决； 解：由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． [思路探究]　第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 1. (变条件，变结论)若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？ 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2.(变条件，变结论)若本例改为“抛物线方程为y2＝x，且过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1•k2为定值． 解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0. 所以Δ＝(t＋2)2＋8＞0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便. (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. (4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2.抛物线中常见的几个结论： 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)． 则有 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ . (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y轴相切. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 巩固演练 NO.3 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 A D 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 B 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)若|AB|＝8，求k的值． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 同步分级训练(二十七)　抛物线的简单几何性质 NO.4 A级 基础过关练 B级 能力提升练 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 B 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 2．抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 C 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.] B　 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 B 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 C 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 6 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是 . (3,2) 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为 . 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 三、解答题 9．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 10．已知抛物线C：y2＝4x，过点(－1,0)的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P. (1)求点P的坐标； 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)若过点(2,0)的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB为直径的圆过点P，求直线l的方程． 解：(2)设直线l的方程为：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， y2－4my－8＝0，则Δ＞0恒成立， y1y2＝－8，y1＋y2＝4m， 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 ABD 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 A 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 13．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为 . [由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1. 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝ ，所以点C的纵坐标为 . 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－ )2＝1.] 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 14.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3. (1)求抛物线E的方程； 解：(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋ . 由已知|AF|＝3，得2＋ ＝3， 解得p＝2. 所以抛物线E的方程为y2＝4x. 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 (2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 3.3.2　抛物线的简单几何性质 返回目录 本节内容到此结束! 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ (3)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.(　 　) 4．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝ . 从而得a＝， ∵BD∥FG，∴＝，p＝2. 因此抛物线的方程是y2＝4x. 1．若直线x＝m与抛物线y2＝4x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值． 解：根据题意△ABF为等边三角形，则 tan 60°＝，m＞0，解得m＝7±12. [思路探究]　(2)→ → 解：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax， 即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①. (ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解 (ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程． 令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－. 所以原方程组有唯一解 综上，实数a的取值集合是. 证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0. ∵•＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴⊥，即OA⊥OB. 解：法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即＝4，∴kAB＝4. ∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y1＋y2＝. 又y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p.① 由消去y， 得2＝2px，即x2－3px＋＝0. ∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p， 证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1. 解：由 解得或 由图可知，A(4,4)，B(1，－2)， 则|AB|＝3. 设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则 d＝＝ ＝|(y0－1)2－9|. ∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0. ∴d＝[9－(y0－1)2]． 从而当y0＝1时，dmax＝， Smax＝××3＝. 故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为. 所以k1•k2＝•＝•＝ ＝＝＝－. 所以k1•k2是定值． 1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　 　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为(　 　) A．(4，±2)　　　　 B．(±4，2) C．(±2,4) D．(2，±4) 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若•＝－4，则点A的坐标是(　　) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2) 4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是______. 解：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－， 由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x. 解：(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝. ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8， 解得k＝±1， 所以k的值为1或－1. 一、选择题 1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. [设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为.] [将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4， ∴抛物线方程为y2＝8x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，－8) ， ∴＝＝＝.] 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为(　　) A. B. C. D. [由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝.] 5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,4，|BF|成等差数列，则k＝(　　) A．2或－1 B．－1 C．2 D．1± [设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝. 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|，4，|BF|成等差数列，得x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4， 所以＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.] 二、填空题 6．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ . [因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.] [将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， ∴＝＝＝2. ∴所求点的坐标为(3,2)．] [设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0. 由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0， 则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1， 即直线方程为x－y＋1＝0， 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝. 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.] 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F， 故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝， 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－，从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－. (2)若＝3，求|AB|. 解：(2)由＝3可得y1＝－3y2， 由可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，代入C的方程得 x1＝3，x2＝，故|AB|＝. 解：(1)由题意知可设过点(－1,0)的直线方程为x＝ty－1. 联立得：y2－4ty＋4＝0， 又因为直线与抛物线相切，则Δ＝0，即t＝±1. 当t＝1时，直线方程为y＝x＋1，则联立得点P坐标为(1,2)． 联立得： 则x1x2＝＝4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4. 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，则•＝0， x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0， 4m2＋8m＋3＝0，则m＝－或m＝－. 则直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－x＋. 11．(多选)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　 　) A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝ C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离 D．y1y2＝－p2 [过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，∴A正确；＋＝，∴B正确；y1y2＝－p2，∴D正确；以AB为直径的圆与准线x＝－相切，∴C错误，故选ABD.] 12．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　) A．－ B. C．± D. [将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A.] (x＋1)2＋(y－)2＝1 解：(2)法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)． 由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由 得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝， 从而B. 又G(－1,0)， 所以kGA＝＝， kGB＝＝－， 所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等， 故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)． 由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)． 由 得2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝， 从而B. 又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0， 从而r＝＝. 又直线GB的方程为 2x＋3y＋2＝0， 所以点F到直线GB的距离 d＝＝＝r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． $