精品解析：天津市第七中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年第一学期高三年级数学学科期中考试试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义结合已知条件进行求解即可. 【详解】因为，，则， 又因为，则 故选: 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数以及函数单调性，即可结合充分条件、必要条件的定义求解. 【详解】由，得， 设函数，求导得， 所以在上单调递增， 整理为， 即，可得， 充分性：若，则，有，所以， 即，充分性成立； 必要性：若，即，但不一定大于，不一定有意义， 推不出，必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 3. 设则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选. 考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 5. 下列结论错误的是（） A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、有关，且该推断犯错误的概率不超过0.1 【答案】C 【解析】 【详解】A项：样本相关系数的绝对值越接近，线性相关程度越强.因为， 所以A组数据的相关性比B组强，A正确. B项：设原数据为，每个数据都加上常数后得到，则， 于是.每个数据与平均数的偏差完全没变，所以方差不变，B正确. C项：在残差图中，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，就说明选用的模型比较合适； 带状区域越窄，残差的绝对值越小，模型拟合精度越高，回归效果越好，故C错误. D项：因为，依据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为、有关，此推断犯错误的概率不超过，D正确. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下说法正确的是：（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直，平行的判定定理和性质定理，逐一分析每个选项. 【详解】已知，此时直线与平面的位置关系有多种可能，直线可能与平面相交，平行或， 所以不能得出，A选项错误. 已知，根据直线与平面平行的性质定理， 过直线作平面与平面相交于直线，则， 过直线作平面与平面相交于直线，则，. 又，，又， ，又，，B选项正确. 已知，此时直线与平面的位置关系有两种可能，直线可能与平面平行或， 所以不能得出，C选项错误. 已知，当直线与相交时，根据平面与平面平行的判定定理，可以得出， 当直线与平行时，此时平面与可能相交，所以不能得出，D选项错误. 7. 设为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 因为是公差为的等差数列， 所以， 即， 当时，， 两式相减：， 整理得， 所以为常数列，，得， 对于A：，与不符，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，，显然不相等，C错误； 对于D：， ，D错误. 8. 双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在准线上得，求出垂足坐标，利用中点条件得坐标，代入抛物线方程化简得，解得. 【详解】设双曲线左焦点，抛物线准线，由在准线上得， 即，过作渐近线的垂线，垂足，垂线方程为， 与渐近线联立，解得，所以， 由知为中点， 故，代入抛物线得， 化简得，设，则方程化为， 解得，由于双曲线离心率，故，所以. 因为，因此. 9. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得出的关系式，再根据单调性确定的范围，最后求出最大值即可. 【详解】由于对任意的，均有， 所以在处取得最小值，点是图象的一个对称中心， 所以，两式相减得，即． 因为在上单调，所以，即， ，因此当时，取得最大值． 故选:C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确答案填写到答题卡上．题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 10. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】化简复数得，再根据复数的概念求解即可. 【详解】， 因为复数（，是虚数单位）是纯虚数， 所以且，解得显然满足， 所以. 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式通项公式，得到，得到答案. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 故. 故答案为：. 12. 已知圆的圆心为，直线与圆相交于，两点，且，则圆的标准方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解圆的半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】设圆的半径为，圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离 ， 已知弦长，得 ，即 ，得，解得， 所以圆的标准方程为. 13. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 14. 已知平面向量，，满足：与的夹角为，，，则的最大值是______；记是的最大值，则的最小值是______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】将向量问题转化为几何问题，结合基本不等式求解第一问，设为AB中点，令，结合图形，利用向量的线性运算求出，转化为函数求最小值即可. 【详解】因为，，所以，当且仅当时等号成立，故最大值为； 如图： 设为AB中点，令， 则 ①， 因为， 故有， ②， 由①②得，从而， 因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上. ， ， 当且仅当时，即时等号成立. 故答案为：1；. 15. 已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将正确答案填写在答题卡上． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）若且，求的值． 【答案】（1）函数的最小正周期为 （2）函数的单调递增区间为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、降幂公式及辅助角公式化简得，所以的最小正周期为. （2）整体代入，令，解得的单调递增区间. （3）根据得，因为，所以，解得，凑角化简，利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 ，则，因为，所以， 又，所以， . 17. 如图，正四棱柱中，为线段的中点，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）正四棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面，故，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，得， ， ，， 所以，，又，且，平面，所以 平面， 又平面，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用数量积为0证出直线垂直于平面内两条相交直线，先得线面垂直，再由“一个平面经过另一个平面的垂线”得面面垂直； （2）借助第（1）问的垂直结论直接取出平面的法向量，再用方程组求另一平面法向量，最后按“余弦取绝对值”算平面夹角的余弦值； （3）把顶点换成，线面垂直关系直接给出高，底面用“两边夹一角”求面积，最后代入体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，故平面的一个法向量可取为， 设平面的法向量为，，，得， 令，得，，即， 设两平面夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（1）中的向量得，，，故 故， 所以， 由（1）知平面，故点到平面的距离为， 由等体积法得， 所以三棱锥的体积为. 18. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，椭圆上的任意一点到下焦点的最大距离为3，最小距离为1． （1）求椭圆的方程； （2）设过上顶点的直线与椭圆相交于另外一点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得，即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得点坐标，进而根据可得的表达式，联立两直线的方程，又可得的坐标，根据两角相等可得落在线段的中垂线上，进而根据坐标关系即可求解. 【小问1详解】 由题意可得 所以椭圆 的方程为 【小问2详解】 若的斜率不存在，即为轴，则，而直线为水平线，若不与轴重合，则不存在交点；若就是轴，则 ，此时、，此时不满足，故舍去； 若的斜率为0，即 ，它是椭圆在处的切线，与椭圆只有公共点，不存在"另外一点"，故舍去， 因此可设， 联立与椭圆，可得， 则，，即， 设 ,由得 由 得，（1） 直线的斜率为且过Q，故，与 联立： ， 在三角形 中，，故 ，即落在线段的中垂线上,由 知中垂线为 ，所以 ： （2）， 联立 (1)(2)得， 故直线方程为 或 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求； （2）已知，求数列的前项和； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（1）知，，当且仅当时取等号， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件求出和的通项，利用等比数列前项和公式求； （2）为奇数和是偶数时，分别求的通项，利用分组求和求数列的前项和； （3）利用放缩和等比数列前项和公式证明不等式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，得，解得， 则， 由，，得，， 解得，则， 所以． 【小问2详解】 当是奇数时，， 当是偶数时，， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以， ， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 2.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）时，单调递减，时，单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数几何意义求切线方程即可； （2）确定函数定义域，求导，令，求导，由可知为增函数，结合即可确定的符号得到函数单调性； （3）先化简不等式，令，求导并令，再通过求导可确定时，单调递减，时，单调递增，再分和讨论即可求解. 【小问1详解】 ，， ，，， 所以切线方程为. 【小问2详解】 函数定义域为， ，令， ，又，所以， 则在上单调递增，又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 【小问3详解】 ， 又，所以不等式可化为在时恒成立， 令，， 令，， 又因为在单调递增，， 所以存在唯一的，使得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以当时，， 则，在单调递减，，符合题意； 当时，，又在单调递减， 所以存在，使得当时，恒成立， 即在上单调递增，则，不符合题意， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高三年级数学学科期中考试试卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设则的大小关系是 A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论错误的是（） A. 若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D. 由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、有关，且该推断犯错误的概率不超过0.1 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下说法正确的是：（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 7. 设为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线：（）的左焦点为，点在抛物线：（）的准线上，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为M，延长交抛物线于点N，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数满足对任意的，均有，且在上单调，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确答案填写到答题卡上．题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分． 10. 若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________ 11. 二项式的展开式中的系数为__________. 12. 已知圆的圆心为，直线与圆相交于，两点，且，则圆的标准方程为_______． 13. 甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有_____种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则________． 14. 已知平面向量，，满足：与的夹角为，，，则的最大值是______；记是的最大值，则的最小值是______． 15. 已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将正确答案填写在答题卡上． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）若且，求的值． 17. 如图，正四棱柱中，为线段的中点，，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆的上，下焦点分别为，，椭圆上的任意一点到下焦点的最大距离为3，最小距离为1． （1）求椭圆的方程； （2）设过上顶点的直线与椭圆相交于另外一点，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，，且，求直线的方程． 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求； （2）已知，求数列的前项和； （3）求证：. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $