精品解析：天津市红桥区2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知全集，集合， 所以， 所以. 2. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非必要非充分 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合时的解的情况判断条件类型. 【详解】充分性验证： 若，满足，代入正弦函数可得，因此由可以推出，充分性成立， 必要性验证： 已知，若，根据正弦函数在上的取值特征，解得或，即由不能唯一推出，必要性不成立， 综上，是的充分非必要条件. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】因为，所以 ， 因此. 4. 已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：已知，，， 因为，，所以或， 又，则垂直平面内的任意直线，即，故A正确； 对于B：，，， 可能平行于平面，也可能在平面内，不一定满足，故B错误； 对于C：，，， 直线的位置关系可为平行，相交或异面，不一定平行，故C错误； 对于D：，，， 直线有可能落在平面内部，此时不能推出，故D错误. 6. 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，当时，可得，原函数转化为，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，；当时，； 当时，,因此在上的最大值为1，最小值为0， 故原函数的值域为 7. 已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【详解】，设将向右平移个单位(表示向右移，表示向左移)， 则平移后得函数为：， 令其等于，得，解得，故向右平移个单位． 8. 已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率可求得，即可得双曲线的渐近线方程，求出抛物线的准线方程，与渐近线方程联立，分别求出渐近线与准线的交点坐标，从而可得围成三角形面积，结合题意即可得出答案. 【详解】解：根据题意，，可得， 所以双曲线的渐近线方程为， 抛物线的准线方程为， 设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得， 同理， 所以，解得. 故选：D． 9. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（ ） A. 7 B. 16 C. 14 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】5个圆环数量较少，依次直接代入求解即可. 【详解】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 是虚数单位，则复数________________________． 【答案】 【解析】 【详解】. 11. 已知等差数列的前项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本量法求通项，进而求得即可. 【详解】,结合，可得， 所以. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 13. 已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由弦长求出直线方程，再得到，两点坐标，从而求出C，D两点坐标，得到C，D两点的距离. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 ， 根据弦长公式 （其中 为圆心到直线的距离），， 得，解得， 圆心 到直线 的距离公式为 两边平方并化简得， 所以直线方程是，即， 联立直线 与圆的方程，解得或 则， 因为直线 的垂线斜率为 ， 过 的垂线方程：，令 ，得 , 过 的垂线方程：，令 ，得 , 所以. 14. 数列中，，，则此数列的通项公式_________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故答案为： 15. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①存在点，使得； ②存在点，使得平面； ③三棱锥的体积是定值； ④不存在点，使得与所成的角为． 【答案】②④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的几何性质，对线线平行、线面垂直、三棱锥体积、异面直线所成角逐一分析判断；①分析直线与有无平行的可能；②利用中位线找到满足条件的，结合线面垂直判定定理验证；③判断动点到平面的距离是否为定值，确定体积是否不变；④用向量夹角公式求出异面直线夹角的取值范围，判断能否等于. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴建系，棱长为， ， 是中点，， 设在上，，，， ①，， 若，则， ，方程组无解， 故与不共线，①错误； ②取，即为中点，，，， 因为，， ，，平面， 平面，②正确； ③， 设平面的法向量为，则 取，得， ，不平行于平面， 到平面距离不为定值，随变化， 不是定值，③错误； ④方向向量，， 异面直线夹角， ， 令，，， 若，则， ，化简得：， ，方程无实根，不存在这样的，④正确. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式来求解. （2）利用正弦函数的单调性，通过解不等式来确定单调区间. （3）先确定自变量的取值范围，再根据正弦函数的值域来求解的值域. 【小问1详解】 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 令，得, 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 所以当时，即，取得最小值； 当时，即，取得最大值1. 所以在区间上的值域为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 18. 如图，在长方体中，，点E在AB上，且AE=1． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 连结，则在长方体中四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 观察几何体特征，通过长方体中找到相应平行四边形来证明线面平行； （2）利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值，根据线面角与向量夹角的互余关系求出其正弦值； （3）建立坐标系后，直接利用点到平面的距离向量投影公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在长方体 中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，,故得，设平面的法向量为，则，，令，得，.因为，，所以 因此，所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（2）得，平面的法向量，所以到平面的距离为. 19. 已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． （1）若点横坐标为，求的值； （2）若直线斜率为，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明： 由题意得， 设点，点在椭圆上，则满足， 即， 斜率，斜率， 所以， 所以为定值. 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆， 则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. 【小问2详解】 略. 20. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）由题可知， 因为，所以，即， . 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和． 【小问1详解】 证明略. 因为数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以，又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以 ， 故． 21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点是． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，直线与椭圆相交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； ②当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①面积最大值为 ； ②斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）利用条件求出，即得椭圆的方程； （2）①先求出坐标，设直线方程并与椭圆联立，写出韦达定理，将所求四边形的面积转化，结合韦达定理即可求出面积最大值；②先将条件转化为，再利用韦达定理代入化简，因式分解即可推得直线的斜率为定值. 【小问1详解】 设椭圆的方程为 由椭圆顶点为 ，可得 ， 由解得， 故椭圆方程：. 【小问2详解】 ①将 代入椭圆，解得， ∴， 依题意，设直线 ， 联立，消去得， 由，可得， 设，则， 由图知， 因， 则， 当 时，， ∴四边形 面积最大值为 . ②因，则直线的斜率满足， 即（*） 设直线 ， 联立 ，消去得， 同设，则（**）， 由（*）得 即， 整理得：， 将（**）代入得， 即 整理得 分解因式得， 当 时，直线恒过 ，不合题意，舍去； 则可得，即， 故直线 的斜率为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非必要非充分 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数在区间上的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 9. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（ ） A. 7 B. 16 C. 14 D. 21 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10. 是虚数单位，则复数________________________． 11. 已知等差数列的前项和为，若，，则______． 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 13. 已知直线与圆交于A，B两点，且．过点A，B分别作直线的垂线与轴交于C，D两点，则______． 14. 数列中，，，则此数列的通项公式_________. 15. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有___________．（填写序号） ①存在点，使得； ②存在点，使得平面； ③三棱锥的体积是定值； ④不存在点，使得与所成的角为． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的值域. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 如图，在长方体中，，点E在AB上，且AE=1． （1）求证： （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． （1）若点横坐标为，求的值； （2）若直线斜率为，求证：为定值． 20. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点是． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，直线与椭圆相交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点． ①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； ②当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $