第21讲 几何图形（14大题型共86题+解题技巧）--2026-2027人教版七年级数学上册

第21讲 几何图形 学习目标 1、通过实物和模型，了解从物体中抽象出来的立体图形、平面图形 以及点线面体等概念。 2、了解立体图形和平面图形之间的关系. 3、能识别和画出从不同方向看立体图形得到的平面图形. 4、掌握常见立体图形的展开图. 5、理解点、线、面、体之间的关系. 核心素养： 抽象能力 空间观念 几何直观 知识结构 知识点一 立体图形 1、几何图形的概念 从形形色色的物体外形中抽象出的各种图形统称为几何图形，如球、圆柱、正方形、线段和点等. 2、立体图形的概念 有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3、常见的立体图形及其特征 分类 图示 特征 柱 体 圆柱 底面的形状是圆，侧面是曲面 有两个面 （底面）互相平行 棱柱 底面的形状是多边形，侧面的形状是 平行四边形 锥 体 圆锥 底面的形状是圆，侧面是曲面 有一个顶点 棱锥 底面的形状是多边形，侧面的形状是三角形 各侧面有一个公共 顶点 球 表面是曲面 点拨：(1)画立体图形时，常用虚线表示立体图形中被遮挡住的部分. (2)球体是由一个封闭的曲面围成的立体图形，要注意它与圆的区别。 (3)区分柱体和锥体的关键是抓住底面的个数，柱体有两个平行且能互相重合的底面，而锥体只有一个底面.另外，注意圆柱和圆锥的底面为圆形，棱柱和棱锥的底面为多边形. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课堂例题）把下列物体与其对应的立体图形连接起来：      【答案】解：如图所示：   ． 【分析】根据立体图形的形体特征进行判断即可． 【详解】解： 圆柱体的笔筒对应圆柱体；冰激凌对应圆锥；正方体盒子对应正方体；足球对应球；长方体肥皂盒对应长方体 【点睛】本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提． 平面图形 知识点二 平面图形的概念 常见的平面图形 有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形 线段、角、圆、三角形、正方形、长方形、梯形等，举例如图所示 提醒：平面图形的特点 平面图形上所有的点都在同一平面内，组成平面图形的线有直线，也有曲线. 点拨：(1)平面图形和立体图形都是几何图形。 (2)平面图形和立体图形的根本区别是图形的各个部分是否都在同一平面内. (3)一般所给图形中有虚线时，该图形是立体图形，所以看有无虚线是区分所给图形是平面图形还是立体图形的一种方法. 【基础练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各组图形中都是平面图形的是（     ） A．三角形、圆、球、圆锥 B．六棱锥、六棱柱、六边形 C．六边形、三角形、正方形、圆 D．正方体、长方体、正方形 【答案】C 【详解】解：选项A中的球、圆锥，选项B中的六棱锥、六棱柱，选项D中的正方体、长方体均为立体图形，不符合要求； 选项C中的六边形、三角形、正方形、圆均为平面图形，符合要求． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的位置． 【答案】圆柱两个底面是圆，圆锥的底面是圆，五棱柱两底面是五边形，侧面是长方形，六棱锥底面是六边形，侧面是三角形，四棱柱与四棱柱复合体底面是四边形，侧面是四边形与三角形． 【分析】根据立体图形的展开图可找出立体图形包含的平面图形，根据平面到立体可找到平面图形的位置即可 【详解】解：圆柱的表面包含两个大小相等的圆，圆位于圆柱的上下底面； 圆锥的表面包含圆，圆位于圆锥的底面； 五棱柱的表面包含两个大小相等的五边形，和五个长方形，五边形位于棱柱的上下底面，长方形位于棱柱的侧面； 棱锥的表面包含六边形，和三角形，六边形位于棱锥的底面，三角形位于棱锥的侧面， 四棱柱与四棱锥复合体包含长方形，三角形，长方形位于复合锥的底面，三角形与长方形为与复合体的侧面 【点睛】本题考查立体图形的平面展开图的基本图形，和平面图形到立体图形的转化可得找到位置，掌握立体图形与平面图形的关系是解题关键． 从不同方向看立体图形 知识点三 1、从不同方向观察同一个几何体，可能得到不同形状的平面图形，为了全面了解一个简单几何体的形状，通常从前面、左面、上面三个方向观察几何体. 2、几种常见的几何体分别从前面、左面和上面看到的平面图形如下表： 几何体 从前面看 从左面看 从上面看 正方体 长方体 圆柱 圆锥 正四棱锥 求 提醒：从不同方向看同一个物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同。 【基础练习3-1】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可从选项中所给的具体图形进行分析是从哪个方向观测到的，利用排除法进行选择． 【详解】解：选项A，应是从上面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项B，应是从右面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项C，应是从正面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，符合题意； 选项D，应是从左面看到的并排的圆柱和圆锥的图形．不符合题意． 【基础练习3-2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体，请在下面的方格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图（一个方格为小正方体的一个面）． 【答案】 【分析】根据几何体的形状可知：绘制完成的三视图符合以下分布即可：从正面看左列有个竖直排列的小正方形，底层共有个小正方形从左到右排列；从左面看左列有个竖直排列的小正方形，底层共有个小正方形从左到右排列；从上面看后排左、中位置各个小正方形，前排左、右位置各个小正方形． 【详解】略 立体图形的展开图 知识点四 1、立体图形的展开图的概念 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2、常见的立体图形的展开图 立体图形 常见展开图 正方体 长方体 三棱锥 五棱柱 圆锥 圆柱 巧记：正方体的展开图可按如下口诀记忆： (1)中间四个面，上、下各一面;(2)中间三个面，一、二隔河见； (3)中间两个面，楼梯就出现； (4)中间没有面，三、三连线. 【基础练习4-1】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征即可． 【详解】解： A.项不是正方体展开图，故此选项符合题意； B.项属于“”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C.项是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； D.项属于“”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 【基础练习4-2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（   ） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 【答案】D 【分析】本题考查几何体的展开图，根据常见图形的展开图，进行判断即可． 【详解】解：观察可知：①为三棱柱的展开图；②为正方体的展开图；③为圆锥的展开图；④为圆柱的展开图； 故选D． 点、线、面 知识点五 1、 如图所示，几何图形都是由点、线、面、体组成的。 注意：围成几何体的面不一定是平面，如围成球的面就是封闭的曲面. 2、 组成几何图形的元素间的关系 点动成线→线动成面→面动成体. 【基础练习5-1】（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【答案】D 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、B中，秒针、雨刷均可看作线段，运动后扫过平面区域，属于线动成面，不符合题意． C中，直角三角尺可看作平面图形，绕直角边旋转一周形成立体图形，属于面动成体，不符合题意． D中，圆规笔尖可看作点，画圆弧时点的运动轨迹为线，属于点动成线，符合题意． 【基础练习5-2】（26-27七年级上·山东济南·期中）如图，将长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体的原理，长方形旋转一周后是一个圆柱即可求解． 【详解】解：根据题意得：长方形旋转一周后是一个圆柱． 题型1 题型1 常见的几何体 【典例】（26-27七年级上·山东济南·期中）某品牌茶叶的包装盒如图所示，其可以近似看成是一个几何体，则该几何体是（     ） A．圆柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】D 【详解】解：观察图形可知，该几何体是六棱柱. 【变式练习1-1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【答案】C 【分析】本题考查常见的几何体． 根据地标建筑几何体的特征，对各选项对应的地标建筑进行分析判断即可． 【详解】解：A．平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意； B．华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意； C．深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意； D．深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意． 故选：C． 【变式练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ ③④⑧ ①②⑤⑥⑦ 【分析】根据立体图形的特点从柱体的形状特征考虑．柱体的定义∶有两个互相平行且完全相同的底面，侧面是平行四边形；沿着一个方向平移底面得到的几何体，锥体定义∶有一个底面，一个顶点，侧面汇聚到同一个顶点；球定义∶半圆绕它的直径旋转一周形成的几何体；曲面即弯曲的面． 【详解】解：如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为①②⑤⑦⑧，是锥体的为④⑥，是球的为③， 如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为③④⑧，无曲面的为①②⑤⑥⑦． 判断立体图形类别的方法 先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是曲面还是平面（多边形）来判断它是哪种立体图形。 题型2 题型2 几何体展开图的认识 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的纸魔方沿某些棱剪开，且使五个面连在一起，然后铺平，得到的图形不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三棱柱的展开图的侧面是三个长方形，上下底面是全等的三角形， 所以D错误，符合题意． 【变式练习2-1】(2026七年级上·全国·专题练习）根据下列表面展开图写出这些立体图形的名称： （1）________                （2）________            （3）________ 【答案】 圆锥 长方体 圆柱 【分析】本题考查几何体的展开图，根据常见几何体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由图可知：（1）为圆锥，（2）为长方体，（3）为圆柱． 故答案为：圆锥，长方体，圆柱． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形经过折叠一定不能围成几何体的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查常见几何体的展开图；逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、底面是圆，侧面是长方形，能围成圆柱，不合题意； B、底面是四边形，而侧面只有3个面，不能围成几何体，符合题意； C、底面是三角形，侧面是3个长方形，能围成三棱柱，不合题意； D、底面是圆，侧面是扇形，能围成圆锥，不合题意， 故选：B． 根据展开图判断立体图形形状的规律 (1)展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2)展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或校锥； (3)展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱； (4)展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 题型3 题型3 几何体的点、棱、面 【典例】（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 【答案】C 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵ 棱柱的棱数为， ∴ ，得，即该棱柱为五棱柱． ∴ 顶点数为，面数为． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的立体图形是由_____个面组成的，其中有_____个平面，有_____个曲面；图中共有_____条线，其中直线有_____条，曲线有_____条． 【答案】 4 3 1 6 4 2 【分析】观察图形是半圆柱，即可得到答案． 【详解】立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面；图中共有6条线，其中直线有4条，曲线有2条． 故答案为：4，3，1，6，4，2． 【点睛】本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念． 【变式练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 (2)18；32；48 (3)十二 (4)棱柱的面数顶点数棱数 【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可； （2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可； （3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可； （4）直接根据（2）中总结的规律作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数； 当时：面数 ，顶点数，棱数； （3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱； （4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数． 棱柱一共有个面，个顶点，条棱 题型4 题型4 由展开图计算几何体的表面积 【典例】（25-26九年级下·全国·单元测试）若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的表面积＝侧面积＋两个底面积＝底面周长 高＋半径，求出即可． 【详解】解：根据圆柱表面积的计算公式可得： ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆柱表面积的计算公式应用，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键． 【变式练习4-1】（2025九年级上·广西崇左·专题练习）一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 【变式练习4-2】（26-27六年级上·山东济南·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)需要喷漆的面积是 (3)所需丝带的长为 【分析】（1）根据棱柱的概念求解即可； （2）求出侧面积，即可求解喷漆的面积； （3）两个底面共有12条棱，侧面共有6条棱，将两类棱的总长度相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，该几何体是六棱柱，共有8个面； （2）解：， 答：需要喷漆的面积是； （3）解：（）， 答：所需丝带的长为． 一看（还原几何体）：观察展开图由哪些平面图形组成，判断它折叠后是哪种几何体。 二找（确定数据）：在展开图中找出公式所需的关键数据，如棱长、底面边长、高、半径等。 三代（代入公式）：把数据代入对应的表面积公式进行计算。 题型5 题型5 由展开图计算几何体的体积 【典例】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的体积计算问题，解答时一定要清楚长方体展开图的特征，以及长方体体积计算的公式． 、的长度均为8的一半，可得长方体的长或宽；6减去的长度值再除以2可得长方体的高，6减高的2倍可得长方体的宽或长；求得长方体的长、宽、高后，进而按“长方体的体积长宽高”求出体积即可． 【详解】解：由题意可得，的长度：（）， 长方体的高：（） 长方体的宽：（） 长方体的体积：（） 答：原长方体的体积是． 故选B． 【变式练习5-1】（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为_______． 【答案】乙甲丙 【分析】本题考查了几何题的展开图，根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为， 乙所折成的无盖长方体的容积为， 丙所折成的无盖长方体的容积为， 所以从小到大排列顺序为乙甲丙， 故答案为：乙甲丙． 【变式练习5-2】（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，用一张长厘米、宽厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，求这个铁皮箱的容积． 【答案】立方厘米 【分析】根据长方体体积公式直接计算即可． 【详解】解：铁皮箱的长：（厘米）， 铁皮箱的宽（厘米）， 铁皮箱的容积：（立方厘米）， 答：这个铁皮箱的容积是立方厘米． 1、看（还原几何体）：观察展开图由哪些平面图形组成，判断它折叠后是长方体、正方体、圆柱还是棱柱等。 2、找（提取尺寸）：在展开图上找出体积公式所需的长、宽、高、半径等数据，这是体积题最关键的步骤。 3、代（代入公式）：将提取的尺寸代入对应的体积公式计算。 4、验（检验合理性：检查尺寸是否与展开图逻辑自洽，单位是否统一，结果是否符合实际。 题型6 题型6 正方体的展开图识别 【典例】（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题即可． 【详解】解：选项A、B、D经过折叠均不能围成正方体；选项C能围成正方体． 【变式练习6-1】（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）下列四个图形中，经过折叠可以围成一个无盖正方体盒子的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的特征，无盖正方体展开图由个小正方形组成，折叠后不能有面重叠，且需围成五个面． 【详解】解：A、中间正方形作底面，四周四个正方形折起作侧面，能围成无盖正方体； B、五个正方形排成一行，折叠后侧面重叠且无底面，不能围成； C、含有“田”字格结构，折叠时面会重叠，不能围成； D、折叠后会有两个面重叠，不能围成无盖正方体． 【变式练习6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 【答案】如图所示，黑色阴影部分所画的正方形即为所求(答案不唯一) 【分析】本题考查了作图，利用正方体的展开图中每个面都有对面作出第二层右边的小正方形的对面是解题关键．根据正方体的展开图中每个面都有对面，可得答案． 【详解】略． 根据正方体展开图的11种情况（“141型”、“231型”、“222型”、“33型”）判断即可 题型7 题型7 正方体相对两面上的字 【典例】（26-27七年级上·广东深圳·期中）2026年5月以来，广西遭遇极端降雨天气，多地出现洪涝灾害．洪水无情，人间有爱，很多最美逆行者——人民解放军和消防队员奔赴抗洪第一线，与受灾群众一起，英勇奋战，战胜洪灾！学校“奋进”数学学习小组送给逆行者的正方体六个面上都有一个汉字，如图所示是它的平面展开图，那么在原正方体中，与“最”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．的 B．逆 C．行 D．人 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与“最”字所在面相对面上的汉字是“人”， 与“美”字所在面相对面上的汉字是“逆”， 与“的”字所在面相对面上的汉字是“行”． 【变式练习7-1】（26-27七年级上·内蒙古包头·期中）如图，一个正方体的平面展开图，若图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字相等，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征确定相对面，利用相对面数字相等求出 的值. 【详解】 解：由正方体展开图的特征可知， 与 是相对面， 与 是相对面， 相对面上的两个数字相等， ，， . 【变式练习7-2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一个正方体盒子的展开图，若展开图折成正方体后相对面上的两个数互为相反数． (1)分别求出、、的值． (2)求的和． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定、、的相对面，再由相反数的定义求出、、的值； （2）把、、的值代入即可求解． 【详解】（1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面， ∵折成正方体后相对面上的两个数互为相反数， ∴，，； （2）解：由（1）得，，，， ∴． (1)在正方体的展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形. (2)解决此类问题，最好能自己做一个模型，动手折叠一下，提高自己的空间想象能力. 题型8 题型8 含图案的正方体的展开图 【典例】（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体对面图案全部相同，利用正方体展开图“相间是对面，字两端是对面”的规律，逐一判断每个选项中相对两个面的图案，筛选出三组对面图案均相同的选项． 【详解】解：正方体平面展开图中，相对的面不相邻，满足“相间、端是对面”． 选项A：第一与第三面相对，图案相同；第二与第四面相对，图案相同；上下两面相对，图案相同，符合题意； 选项B：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项C：第一与第三面相对，图案不相同，不符合题意； 选项D：第二与第四面相对，图案不相同，不符合题意． 【变式练习8-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解∶根据题意得：原正方体可能是 【变式练习8-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【答案】（1）2；（2）11 【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论； （2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和． 【详解】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 1、排除相对面：用“隔一”和“Z端”找出相对面，把“相邻图案被排成相对面”的选项划掉。 2、移面聚拢：保持相对面关系不变，把需要比较的图案面平移或旋转到一起，观察公共边和公共点。 3、核对公共点/公共边：三个图案面是否共点，围绕公共点的顺序是否与立体图一致。 5、检验方向：在立体图和展开图上用相同的起点、相同的路线画箭头，方向不一致的直接排除。 6、必要时动手折：最后剩下的选项如果仍不确定，用纸片实际折叠验证。 题型9 题型9 从不同的方向看几何体 【典例】（26-27六年级上·山东烟台·期中）“上马石”是古人上下马的工具，其形状和几何体如图所示，从该几何体的左面看得到的平面图形为（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【详解】解：从该几何体的左面看得到的平面图形如图所示： ． 【变式练习9-1】（26-27七年级上·辽宁朝阳·开学考试）小明用5个同样的小正方体搭出立体图形，从上面，左面，正面看到的形状如图所示，小明所搭的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从上面，左面，正面看的定义，画出图形，对比解答即可． 【详解】 解：根据题意，得从上面，左面，正面看到的形状与给出的形状一致． 【变式练习9-2】（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，用6个小正方体搭成的几何体 (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)如果保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加_________个同样的小正方体． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）从正看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边数，第1列上下各有一个小正方形，第2列下面一层有一个小正方形，第3列上下各有一个正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数，上下层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形；从上面看，左边有一个正方形，中间有2个正方形，右边有一个正方形，据此画图即可． （2）根据题意可知在从上面看到的图形中间一列的凸出来的正方体两边各加一个正方体，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：保持从正面和从左面看的图形都不变， 可以在这个几何体的第2列凸出来的正方体左面和右面分别加一个正方形， 在保持从正面和从左面看的图形都不变的情况下，最多可以再添加2个同样的小正方体． 从前面看得到的平面图形体现几何体的长和高，从上面看得到的平面图形体现几何体的长和宽，从左面看得到的平面图形体现几何体的高和宽. 题型10 题型10 确定小正方体个数 【典例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查根据从不同方向看到几何体的图形，判断组成几何体立方块的个数． 根据从上面看到的图形，得出最底层小立方体的个数，再根据从正面和左面看到的图形得出每一层小立方体的层数和个数，从而计算出总的个数即可． 【详解】解：从上面看最底层有5个小立方体，由正面看可得有2层，上面一层是1个小立方体，从左面看，一列是1个小立方体，另一列有2个小立方体，如下图所示： ∴搭成这个几何体的小立方块的个数是个， 故选：D． 【变式练习10-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）由若干个相同的小立方块搭成的一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，小正方形中的字母或数字表示该位置上小立方块的个数，则______，______． 【答案】 或 【分析】本题考查了从不同方向看物体，结合从正面和上面看到的形状图可知，，，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从正面和上面看到的形状图可知，，， ∴或，， 故答案为：或，． 【变式练习10-2】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）按要求回答下列各题： (1)图中是由几个小立方块搭成的几何体的从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体从正面和从左面看到的形状图． (2)用小立方块搭成的几何体，从正面看到的和从上面看到的平面图形如图，问它最多需要________个小立方块，最少需要________个小立方块． 【答案】(1) 如图，这个几何体从正面和从左面看到的形状图如下： (2)13，9 【分析】此题考查立从不同方向看小正方体的堆砌图形，正确理解所看的角度及小正方体的位置是解题的关键． （1）根据从不同方向看到的图形画图即可； （2）根据两种从不同方向看到的图形逐一分析各层的小正方体的数量，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：用小立方块搭成的几何体，从正面看到的和从上面看到的平面图形如图， ∴底层小正方体的有6个， ∴小正方体最多时，第二层小正方体有5个，第三层有2个；共有个， 小正方体最小时，第二层小正方体有2个，第三层有1个；共有个． 通过从前面看及从上面看所得到的平面图形来确定小正方体的个数，这样的问题答案不唯—因为有的层数所含小正方体的数目不确定，所以可以先通过实物进行探究，再结合图形体会， 题型11 题型11 七巧板问题 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了七巧板拼图形问题，一元一次方程的应用，设，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， 设， ∵七巧板面积为32， ∴， ∴， ∴， ∴图②中阴影部分的面积是． 故选：D． 【变式练习11-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查七巧板，由题意得，图1中，大正方形的边长为4，图2中，根据“空白部分的面积等于矩形的面积减去正方形的面积的一半”求解即可． 【详解】解：由题意得，图1中，大正方形的边长为4， 图2中，， 故答案为：． 【变式练习11-2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【答案】(1)1 (2)如图， 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）略 1、调用底账：确认七巧板的七块构成、三种角度、16等份面积比例。 2、识别问题类型：角度计算、面积求值、拼接判断，还是板块识别。 3、选择对应工具： 角度→45°、90°、135°的和差； 面积→先看是否由整块板组成，是则用份额相加，否则割补； 拼接→边匹配、角匹配、面积守恒三查。 4、检验：结果是否符合七巧板的固定比例，角度是否在45°的倍数范围内，面积是否不超过总面积。 题型12 题型12 点线面体四者之间的关系 【典例】（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：雨刷可看作一条线，其运动时扫过的区域为面，属于线动成面的实际应用． 【变式练习12-1】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）（1）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明______； （2）我们经常能看到车的雨刷把汽车玻璃上的雨水刷干净，说明了数学中______的事实； （3）一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了______． 【答案】 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】（1）春雨如线，是无数雨滴沿同一方向运动留下的痕迹； （2）雨刷在玻璃上往复摆动，扫过的是一片区域； （3）硬币快速旋转，占据的是一个空间立体． 【详解】解：春雨密密斜织如线，是无数雨滴（点）沿同一方向运动形成的，即点动成线； 汽车雨刷（线）往复摆动，把玻璃上的雨水扫成一片干净的区域（面），即线动成面； 一枚硬币（圆面）在光滑桌面上快速旋转形成一个球（体），即面动成体． 【变式练习12-2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，C (2)形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是 【分析】本题考查点，线，面，体，求圆柱体的体积和表面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据面动成体，进行作答即可； （2）根据圆柱体的体积公式和表面积公式进行计算即可。 【详解】（1）解：由题意，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故选C。 （2）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为： 表面积为： 答：形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是． 题型13 题型13 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，不符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，不符合题意． 【变式练习13-1】（25-26六年级上·山东济宁·期末）第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，按要求填空． 图1旋转形成 ，图2旋转形成 ，图3旋转形成 ，图4旋转形成 ，图5旋转形成 ，图6旋转形成 ． 【答案】、、、、、 【分析】本题主要考查了旋转平面图形与立体图形的关系，长方形绕一边旋转成圆柱；直角三角形绕一直角边旋转成圆锥；半圆绕直径旋转成球；直角梯形绕垂直于底的腰旋转成圆台．分析图形的形状与轴线的关系是解题的关键． 根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 【详解】解：图1是上下两个直角三角形和中间长方形，旋转所成的图形为； 图2是半圆，旋转所成的图形是； 图3是长方形，旋转所成的图形是； 图4是直角三角形，旋转所成的图形是； 图5是两个直角三角形，旋转所成的图形是； 图6是长方形剪去一个直角三角形，旋转所成的图形是． 故答案为：、、、、、． 【变式练习13-2】（26-27七年级上·山东青岛·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形．已知梯形上底、下底和高的长度分别是，小军说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意_________的说法． (2)如果你认为甲、乙体积相等，请分别计算它们的体积和；反之，求出它们的体积比． 【答案】(1)小红 (2) 【分析】（1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 1、圈出旋转轴：在平面图上标出哪条虚线是轴。 2、分区：沿旋转轴把平面图形分成基本部分（矩形、三角形、半圆等）。 3、逐区对应：根据“平行→侧面、垂直→底面、斜交→锥面”的规则，判断每部分旋转后的形状。 4、提取数据：写出每个旋转体的和，注意是垂直于轴的线段，是平行于轴的线段。 5、分类讨论：若题目未明确旋转轴是“哪一边”，列出所有可能情形。 6、计算并检验：代入公式，检查单位是否统一，组合体的加减关系是否正确。 题型14 题型14 截一个几何体 【典例】（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面不可能是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查用一个平面截一个几何体，根据球的截面只有圆，即可得出答案． 【详解】球的截面只能为圆，不可能为三角形， 故B选项符合题意． 【变式练习14-1】（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤. 故答案为：①②④⑤． 【变式练习14-2】（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 【答案】(1)7个面：2个五边形底面和5个矩形侧面，底面形状相同，侧面形状相同 (2)图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形；；不可能出现圆形截面 【分析】本题考查了棱柱的特征，包含面的数量，形状以及截面相关知识，解决本题的关键是熟练掌握棱柱的特征． （1）此五棱柱是由上下2个底面以及5个矩形侧面组成，由此求解即可； （2）根据图示的截面求解即可． 【详解】（1）解：这个五棱柱共7个面， 包括2个五边形底面和5个矩形侧面， 其中2个五边形底面形状、面积完全相同， 5个矩形侧面形状、面积完全相同； （2）解：图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形； 用任意一个平面去截五棱柱，不可能出现圆形截面． 口诀概括为：“数面定边数，三到六边形；横切正方形，斜切长方形，切角出三角；锐角不钝直，六边七边形不可能；反推看曲直，面积先定形。” 综合检测 一、单选题 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．物体可抽象成球体，不合题意； B．物体可抽象成圆柱，符合题意； C．物体可抽象成圆台，不合题意； D．物体可抽象成圆锥，不合题意． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 3．（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： 4．（26-27六年级上·山东济南·期中）一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 【答案】D 【分析】根据展开图中，面隔一相对的原则，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得前与锦相对． 5．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）六棱柱中棱的条数和面数是（    ）． A．6，6 B．12，12 C．12，8 D．18，8 【答案】D 【分析】本题考查棱柱的构造特征，掌握棱柱的特点是解题的关键．一个n棱柱有个面，个顶点，条棱． 根据棱柱的构造特征作答即可． 【详解】解：六棱柱中棱的条数是，面数是． 故选：D． 6．（26-27七年级上·辽宁阜新·阶段检测）固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 【答案】A 【详解】解：根据题意，可得是点动成线，故选项A符合题意. 7．（26-27七年级上·广东佛山·期中）下列展开图中，折叠起来能形成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征解答即可； 【详解】解：A选项：折叠后“佛”和“山”位置相反，排除； B选项：爱心面、“佛”面、“山”面两两相邻，图案朝向也和目标正方体完全一致，正确； C选项：展开图结构无法构成正方体，排除； D选项：折叠后“佛”和“山”中间隔了“迎”，二者是相对面，不可能同时出现在相邻的可视面中，不符合原图，排除． 8．（26-27七年级上·山东烟台·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截长方体、圆柱、三棱柱，都能得到截面是长方形， 用一个平面去截圆锥、球体，都不能得到截面是长方形， 则能得到截面是长方形的几何体有①②③． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 10．（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在案面一面的数字是（     ） A．12 B．10 C．9 D．7 【答案】C 【分析】观察图形知道第一次数10和数9相对，第二次7和12相对，第三次9和10相对，第四次12和7相对，第五次10和9相对，且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道第一次数10和数9相对，第二次7和12相对，第三次9和10相对，第四次12和7相对，第五次10和9相对，且四次一循环， ， ∴滚动第2027次后与第三次相同， ∴贴在案面一面的数字是9． 二、填空题 11．（26-27六年级上·山东淄博·期中）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为___________． 【答案】 点动成线 【分析】解题突破口是将具象的雨滴、雨丝抽象为对应的几何基本元素，匹配几何元素的动态形成规律． 【详解】解：单个雨滴可抽象为几何中的点，雨滴持续下落运动形成的雨丝可抽象为几何中的线，该现象对应的数学解释为点动成线． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）请完成下表： 棱柱 面的个数 顶点的个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 表中填空为_____、______ 、______ 、_____ 、______ 、______ 【答案】 5 6 9 6 8 12 【详解】解：∵三棱柱有两个底面和三个侧面，每个底面有3个顶点，每个底面有3条边，还有3条侧棱， ∴三棱柱的面的个数为个，顶点个数为个，棱的条数为条． ∵四棱柱有两个底面和四个侧面，每个底面有4个顶点，每个底面有4条边，还有4条侧棱， ∴四棱柱的面的个数为个，顶点个数为个，棱的条数为条． 13．（26-27六年级上·山东淄博·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体是___________．（填序号） 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形，据此可得答案． 【详解】解：圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； 圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； 正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； 球，用任意平面去截，截面都是圆； 综上所述，截面不可能是圆的几何体是正方体． 14．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 【答案】三棱柱 【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有5个面，两个三角形为底面，3个长方形为侧面， 因此该几何体是三棱柱． 15．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）如图所示的是一个正方体的表面展开图．若将表面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据正方体展开图的规律找出三组相对面，再利用相反数的定义求出x，y，z，最后代入计算求值即可． 【详解】解：由正方体的表面展开图得与，与，与相对， 相对面上的两个数字互为相反数， ，，， ． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 17．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为n，则n的值为______． 【答案】7 【分析】由“从上面看”的图形可知，底层共有个小正方体，由“从前面看”的图形可知，从左到右三列分别为：第1列共1层，第2列共2层，第3列共2层，为了使组成这个几何体的小正方体的个数最少，则第2列中至少1个为2层，另一个最少1层，第3列中至少1个为2层，另一个最少1层，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由“从上面看”的图形可知，底层共有个小正方体， 由“从前面看”的图形可知，从左到右三列分别为：第1列共1层，第2列共2层，第3列共2层， ∵为了使组成这个几何体的小正方体的个数最少， ∴第2列中至少1个为2层，另一个最少1层，第3列中至少1个为2层，另一个最少1层， ∴小正方体的个数最少为， 即． 18．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为______． 【答案】15条或14条或12条或13条 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论． 【详解】 ①（条）； ② （条）； ③ （条）； ④ （条）； 答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条 故答案为：15条或14条或12条或13条 【点睛】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条棱是解题关键． 三、解答题 19．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）从正面、左面、上面，观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】分别从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如下： 【分析】分别从正面、左面、上面三个方向观察几何体，确定每个方向看到的正方形的分布与层数，对应在网格中画出形状图． 【详解】略 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）折一折，连一连． 【答案】 【分析】第二个展开图，骑自行的选手与打网球的选手是面对面的，而第三个展开图的骑自行的选手与打网球的选手是背对背的，即第二个展开图对应下方中间的图，第三个展开图对应下方第一个图， 【详解】略 21．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 【答案】(1)做这个包装盒至少需要平方厘米硬纸板 (2)这个水杯的体积最大是立方厘米 【分析】（1）根据展开图的线段长度求出底面正方形边长，再利用长方体表面积公式计算硬纸板面积． （2）包装盒底面是正方形，内部圆柱底面直径最大等于正方形边长，代入圆柱体积公式求出最大体积． 【详解】（1）解：由图可知，包装盒底面正方形的边长：（厘米）， （平方厘米）， 答：做这个包装盒至少需要360平方厘米硬纸板． （2）解：包装盒底面正方形边长为厘米， 所以圆柱底面最大直径为厘米，底面半径厘米，圆柱高厘米． （立方厘米）， 答：这个水杯的体积最大是立方厘米． 22．（26-27七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个直角梯形．（保留） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 【答案】(1)这个立体图形的体积是立方厘米 (2)这个立体图形的体积是立方厘米 【分析】（1）立体图形的体积等于高为厘米的圆柱体积高为厘米的圆锥体积，底面半径均为厘米； （2）立体图形的体积等于高为厘米的圆柱体积高为厘米的圆锥体积，底面半径均为厘米． 【详解】（1）解： （立方厘米）． 答：这个立体图形的体积是立方厘米． （2）解： （立方厘米）． 答：这个立体图形的体积是立方厘米． 23．(2026七年级上·全国·专题练习）李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 【答案】(1)4 (2) 解：示例：如图①所示． (3) 解：示例：如图②所示（答案不唯一）． 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可； （2）根据正方体表面展开图的特征画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有种弥补方法 故答案为：． （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． 24．（26-27七年级上·江西南昌·期中）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 【答案】(1)正方，12，864 (2)长方体纸盒的表面积是，容积是 【分析】（1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出容积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积和容积． 【详解】（1）解：由题意，该长方体纸盒的底面是正方形，底面边长为：， 该长方体纸盒的容积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： ； ∴长方体纸盒的表面积为，容积为． 25．（25-26七年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【答案】（1）④⑦； （2）； （3）如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）根据图块的面积，可得出答案； （2）根据题意计算出图2中对应图块面积即可； （3）依据题意，在图3中补充图形即可． 【详解】（1）解：根据图像，编号⑥的图块面积为， 图中编号④与⑦的面积也为2， 故答案为：④⑦． （2）解：由七巧板的规律可得： ，，， 所以，“小船”的面积为． （3）略 中考真题 1．（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 2．（2026·四川自贡·中考真题）下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义找出从正面，左面，上面看到的几何体的形状图都一样的几何体即可． 【详解】对于选项A（正方体）：从正面、左面、上面看都是正方形，图形都相同，符合题意； 对于选项B（三棱柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是三角形，图形不同，不符合题意； 对于选项C（圆锥）：从正面和左面看是三角形，从上面看是圆（含圆心），图形不同，不符合题意； 对于选项D（圆柱）：从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，图形不同，不符合题意． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 4．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 5．（2026·河南·中考真题）今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．美 B．丽 C．中 D．国 【答案】B 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“建”字所在面相对面上的汉字是“丽”． 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 7．（2026·江苏常州·中考真题）平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】分别根据柱体和球的截面特征解答即可． 【详解】解：由题意②长方体、③三棱柱、④圆柱这三个都是柱体，沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的分别是相同的正方形、三角形和圆， 而①球沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的是三个半径不同的圆，故①符合要求． 8．(2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可． 【详解】解：由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成． 故选：A． 9．(2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 几何图形 学习目标 1、通过实物和模型，了解从物体中抽象出来的立体图形、平面图形 以及点线面体等概念。 2、了解立体图形和平面图形之间的关系. 3、能识别和画出从不同方向看立体图形得到的平面图形. 4、掌握常见立体图形的展开图. 5、理解点、线、面、体之间的关系. 核心素养： 抽象能力 空间观念 几何直观 知识结构 知识点一 立体图形 1、几何图形的概念 从形形色色的物体外形中抽象出的各种图形统称为几何图形，如球、圆柱、正方形、线段和点等. 2、立体图形的概念 有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 3、常见的立体图形及其特征 分类 图示 特征 柱 体 圆柱 底面的形状是圆，侧面是曲面 有两个面 （底面）互相平行 棱柱 底面的形状是多边形，侧面的形状是 平行四边形 锥 体 圆锥 底面的形状是圆，侧面是曲面 有一个顶点 棱锥 底面的形状是多边形，侧面的形状是三角形 各侧面有一个公共 顶点 球 表面是曲面 点拨：(1)画立体图形时，常用虚线表示立体图形中被遮挡住的部分. (2)球体是由一个封闭的曲面围成的立体图形，要注意它与圆的区别。 (3)区分柱体和锥体的关键是抓住底面的个数，柱体有两个平行且能互相重合的底面，而锥体只有一个底面.另外，注意圆柱和圆锥的底面为圆形，棱柱和棱锥的底面为多边形. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）下列标注的图形名称与图形不相符的是（  ） A． B． C． D． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课堂例题）把下列物体与其对应的立体图形连接起来： 平面图形 知识点二 平面图形的概念 常见的平面图形 有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形 线段、角、圆、三角形、正方形、长方形、梯形等，举例如图所示 提醒：平面图形的特点 平面图形上所有的点都在同一平面内，组成平面图形的线有直线，也有曲线. 点拨：(1)平面图形和立体图形都是几何图形。 (2)平面图形和立体图形的根本区别是图形的各个部分是否都在同一平面内. (3)一般所给图形中有虚线时，该图形是立体图形，所以看有无虚线是区分所给图形是平面图形还是立体图形的一种方法. 【基础练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各组图形中都是平面图形的是（  ） A．三角形、圆、球、圆锥 B．六棱锥、六棱柱、六边形 C．六边形、三角形、正方形、圆 D．正方体、长方体、正方形 【基础练习2-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的位置． 从不同方向看立体图形 知识点三 1、从不同方向观察同一个几何体，可能得到不同形状的平面图形，为了全面了解一个简单几何体的形状，通常从前面、左面、上面三个方向观察几何体. 2、几种常见的几何体分别从前面、左面和上面看到的平面图形如下表： 几何体 从前面看 从左面看 从上面看 正方体 长方体 圆柱 圆锥 正四棱锥 求 提醒：从不同方向看同一个物体，得到的平面图形可能不同，也可能相同。 【基础练习3-1】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【基础练习3-2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体，请在下面的方格中画出这个几何体从正面、左面和上面看到的形状图（一个方格为小正方体的一个面）． 立体图形的展开图 知识点四 1、立体图形的展开图的概念 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2、常见的立体图形的展开图 立体图形 常见展开图 正方体 长方体 三棱锥 五棱柱 圆锥 圆柱 巧记：正方体的展开图可按如下口诀记忆： (1)中间四个面，上、下各一面;(2)中间三个面，一、二隔河见； (3)中间两个面，楼梯就出现； (4)中间没有面，三、三连线. 【基础练习4-1】（26-27七年级上·山东济南·开学考试）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【基础练习4-2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）如图，找出上面的立体图形与下面展开图形相对应顺序的是（   ） A．②①③④ B．④②①③ C．④①③② D．④③①② 点、线、面 知识点五 1、 如图所示，几何图形都是由点、线、面、体组成的。 注意：围成几何体的面不一定是平面，如围成球的面就是封闭的曲面. 2、 组成几何图形的元素间的关系 点动成线→线动成面→面动成体. 【基础练习5-1】（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【基础练习5-2】（26-27七年级上·山东济南·期中）如图，将长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 题型1 题型1 常见的几何体 【典例】（26-27七年级上·山东济南·期中）某品牌茶叶的包装盒如图所示，其可以近似看成是一个几何体，则该几何体是（     ） A．圆柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【变式练习1-1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（   ）． A．图1（平安金融中心）——球体 B．图2（华润大厦）——圆柱 C．图3（深业上城主副塔）——棱柱 D．图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【变式练习1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是我们常见的几何体，如果按“柱体”“锥体”“球”分类，其中是柱体的为______，是锥体的为______，是球的为______；如果按“有无曲面”分类，其中有曲面的为______，无曲面的为______．（填序号） 判断立体图形类别的方法 先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是曲面还是平面（多边形）来判断它是哪种立体图形。 题型2 题型2 几何体展开图的认识 【典例】（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的纸魔方沿某些棱剪开，且使五个面连在一起，然后铺平，得到的图形不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式练习2-1】(2026七年级上·全国·专题练习）根据下列表面展开图写出这些立体图形的名称： （1）________                （2）________            （3）________ 【变式练习2-2】（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列图形经过折叠一定不能围成几何体的是（    ） A．   B．   C．   D．   根据展开图判断立体图形形状的规律 (1)展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2)展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或校锥； (3)展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱； (4)展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 题型3 题型3 几何体的点、棱、面 【典例】（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 【变式练习3-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示的立体图形是由_____个面组成的，其中有_____个平面，有_____个曲面；图中共有_____条线，其中直线有_____条，曲线有_____条． 【变式练习3-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 棱柱一共有个面，个顶点，条棱 题型4 题型4 由展开图计算几何体的表面积 【典例】（25-26九年级下·全国·单元测试）若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式练习4-1】（2025九年级上·广西崇左·专题练习）一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【变式练习4-2】（26-27六年级上·山东济南·期中）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 一看（还原几何体）：观察展开图由哪些平面图形组成，判断它折叠后是哪种几何体。 二找（确定数据）：在展开图中找出公式所需的关键数据，如棱长、底面边长、高、半径等。 三代（代入公式）：把数据代入对应的表面积公式进行计算。 题型5 题型5 由展开图计算几何体的体积 【典例】（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【变式练习5-1】（24-25七年级上·广东梅州·期中）在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为_______． 【变式练习5-2】（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，用一张长厘米、宽厘米的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，求这个铁皮箱的容积． 1、看（还原几何体）：观察展开图由哪些平面图形组成，判断它折叠后是长方体、正方体、圆柱还是棱柱等。 2、找（提取尺寸）：在展开图上找出体积公式所需的长、宽、高、半径等数据，这是体积题最关键的步骤。 3、代（代入公式）：将提取的尺寸代入对应的体积公式计算。 4、验（检验合理性：检查尺寸是否与展开图逻辑自洽，单位是否统一，结果是否符合实际。 题型6 题型6 正方体的展开图识别 【典例】（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列图形经过折叠，可以得到一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【变式练习6-1】（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）下列四个图形中，经过折叠可以围成一个无盖正方体盒子的是（     ） A． B． C． D． 【变式练习6-2】（24-25七年级上·吉林·期末）小志准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图1，图2中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子． 根据正方体展开图的11种情况（“141型”、“231型”、“222型”、“33型”）判断即可 题型7 题型7 正方体相对两面上的字 【典例】（26-27七年级上·广东深圳·期中）2026年5月以来，广西遭遇极端降雨天气，多地出现洪涝灾害．洪水无情，人间有爱，很多最美逆行者——人民解放军和消防队员奔赴抗洪第一线，与受灾群众一起，英勇奋战，战胜洪灾！学校“奋进”数学学习小组送给逆行者的正方体六个面上都有一个汉字，如图所示是它的平面展开图，那么在原正方体中，与“最”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．的 B．逆 C．行 D．人 【变式练习7-1】（26-27七年级上·内蒙古包头·期中）如图，一个正方体的平面展开图，若图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字相等，则（     ） A． B． C． D． 【变式练习7-2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一个正方体盒子的展开图，若展开图折成正方体后相对面上的两个数互为相反数． (1)分别求出、、的值． (2)求的和． (1)在正方体的展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形. (2)解决此类问题，最好能自己做一个模型，动手折叠一下，提高自己的空间想象能力. 题型8 题型8 含图案的正方体的展开图 【典例】（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）小红制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如下图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为（   ） A． B． C． D． 【变式练习8-1】（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 【变式练习8-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 1、排除相对面：用“隔一”和“Z端”找出相对面，把“相邻图案被排成相对面”的选项划掉。 2、移面聚拢：保持相对面关系不变，把需要比较的图案面平移或旋转到一起，观察公共边和公共点。 3、核对公共点/公共边：三个图案面是否共点，围绕公共点的顺序是否与立体图一致。 5、检验方向：在立体图和展开图上用相同的起点、相同的路线画箭头，方向不一致的直接排除。 6、必要时动手折：最后剩下的选项如果仍不确定，用纸片实际折叠验证。 题型9 题型9 从不同的方向看几何体 【典例】（26-27六年级上·山东烟台·期中）“上马石”是古人上下马的工具，其形状和几何体如图所示，从该几何体的左面看得到的平面图形为（     ） A．A B．B C．C D．D 【变式练习9-1】（26-27七年级上·辽宁朝阳·开学考试）小明用5个同样的小正方体搭出立体图形，从上面，左面，正面看到的形状如图所示，小明所搭的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【变式练习9-2】（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，用6个小正方体搭成的几何体 (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)如果保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加_________个同样的小正方体． 从前面看得到的平面图形体现几何体的长和高，从上面看得到的平面图形体现几何体的长和宽，从左面看得到的平面图形体现几何体的高和宽. 题型10 题型10 确定小正方体个数 【典例】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体，这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小立方块的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式练习10-1】（25-26九年级上·山东威海·期中）由若干个相同的小立方块搭成的一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，小正方形中的字母或数字表示该位置上小立方块的个数，则______，______． 【变式练习10-2】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）按要求回答下列各题： (1)图中是由几个小立方块搭成的几何体的从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出这个几何体从正面和从左面看到的形状图． (2)用小立方块搭成的几何体，从正面看到的和从上面看到的平面图形如图，问它最多需要________个小立方块，最少需要________个小立方块． 通过从前面看及从上面看所得到的平面图形来确定小正方体的个数，这样的问题答案不唯—因为有的层数所含小正方体的数目不确定，所以可以先通过实物进行探究，再结合图形体会， 题型11 题型11 七巧板问题 【典例】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，用图①的一副七巧板拼成图②小鱼的图案，若七巧板面积为32，则图②中阴影部分的面积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式练习11-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，小明用相同的七巧板拼成一个无缝隙的正方形（如图1）和一个中间留有空白的数字“0”（如图2），若图1正方形的面积是16，则图2中空白部分的面积是______． 【变式练习11-2】（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 1、调用底账：确认七巧板的七块构成、三种角度、16等份面积比例。 2、识别问题类型：角度计算、面积求值、拼接判断，还是板块识别。 3、选择对应工具： 角度→45°、90°、135°的和差； 面积→先看是否由整块板组成，是则用份额相加，否则割补； 拼接→边匹配、角匹配、面积守恒三查。 4、检验：结果是否符合七巧板的固定比例，角度是否在45°的倍数范围内，面积是否不超过总面积。 题型12 题型12 点线面体四者之间的关系 【典例】（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【变式练习12-1】（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）（1）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明______； （2）我们经常能看到车的雨刷把汽车玻璃上的雨水刷干净，说明了数学中______的事实； （3）一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了______． 【变式练习12-2】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 题型13 题型13 平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【变式练习13-1】（25-26六年级上·山东济宁·期末）第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，按要求填空． 图1旋转形成 ，图2旋转形成 ，图3旋转形成 ，图4旋转形成 ，图5旋转形成 ，图6旋转形成 ． 【变式练习13-2】（26-27七年级上·山东青岛·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形．已知梯形上底、下底和高的长度分别是，小军说：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意_________的说法． (2)如果你认为甲、乙体积相等，请分别计算它们的体积和；反之，求出它们的体积比． 1、圈出旋转轴：在平面图上标出哪条虚线是轴。 2、分区：沿旋转轴把平面图形分成基本部分（矩形、三角形、半圆等）。 3、逐区对应：根据“平行→侧面、垂直→底面、斜交→锥面”的规则，判断每部分旋转后的形状。 4、提取数据：写出每个旋转体的和，注意是垂直于轴的线段，是平行于轴的线段。 5、分类讨论：若题目未明确旋转轴是“哪一边”，列出所有可能情形。 6、计算并检验：代入公式，检查单位是否统一，组合体的加减关系是否正确。 题型14 题型14 截一个几何体 【典例】（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面不可能是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式练习14-1】（25-26六年级上·山东东营·期末）用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【变式练习14-2】（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 口诀概括为：“数面定边数，三到六边形；横切正方形，斜切长方形，切角出三角；锐角不钝直，六边七边形不可能；反推看曲直，面积先定形。” 综合检测 一、单选题 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）观察如图所示的立体图形，从上面看到的图形是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27六年级上·山东济南·期中）一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 5．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）六棱柱中棱的条数和面数是（    ）． A．6，6 B．12，12 C．12，8 D．18，8 6．（26-27七年级上·辽宁阜新·阶段检测）固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 7．（26-27七年级上·广东佛山·期中）下列展开图中，折叠起来能形成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·山东烟台·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 10．（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在案面一面的数字是（     ） A．12 B．10 C．9 D．7 二、填空题 11．（26-27六年级上·山东淄博·期中）“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为___________． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）请完成下表： 棱柱 面的个数 顶点的个数 棱的条数 三棱柱 四棱柱 表中填空为_____、______ 、______ 、_____ 、______ 、______ 13．（26-27六年级上·山东淄博·期中）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体是___________．（填序号） 14．（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）如图是一个几何体的表面展开图，该几何体是______． 15．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）如图所示的是一个正方体的表面展开图．若将表面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数字互为相反数，则的值为________． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 17．（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）由一些大小相同的小正方体组成的几何体从正面和上面看到的形状图如图所示，若组成这个几何体的小正方体的个数最少为n，则n的值为______． 18．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为______． 三、解答题 19．（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）从正面、左面、上面，观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）折一折，连一连． 21．（26-27七年级上·福建漳州·阶段检测）下图是一个圆柱体水杯包装盒的展开图单位厘米．包装盒的底面是一个正方形，水杯的高是厘米． (1)做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ (2)这个水杯的体积最大是多少立方厘米？（答案保留） 22．（26-27七年级上·陕西西安·期中）如图，是一个直角梯形．（保留） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 23．(2026七年级上·全国·专题练习）李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 24．（26-27七年级上·江西南昌·期中）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 25．（25-26七年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 中考真题 1．（2026·四川乐山·中考真题）下面几何体中，是球体的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川自贡·中考真题）下面几何体中，分别从正面、左面、上面观察到的图形都相同的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·中考真题）今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．将“共建美丽中国”这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“建”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．美 B．丽 C．中 D．国 6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏常州·中考真题）平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 8．(2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 9．(2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块． 学科网（北京）股份有限公司 $