第18讲 等式的性质（9大题型共55题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义系列

第18讲 等式的性质 学习目标 1、了解等式的基本事实. 2、掌握等式的性质. 3、能运用等式的性质进行等式的变形. 4、能根据等式的性质解一元一次方程. 核心素养： 抽象能力 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 等式的性质 1、基本事实 (1)等式两边可以交换：如果，那么； (2)相等关系可以传递：如果，，那么. 2.性质 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式两边加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等 如果，那么 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果，那么，如果，，那么 注意：等式的性质抓“两同” (1)同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算; (2)同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数. 提醒：等式的两边除以同一个数时，这个数一定不能为0. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：如果，那么等式两边同时加可得， ∵， ∴，即， 故选：B． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则__； （2）若，则____； （3）若，则___； （4）若，则_____ 【答案】 5 3n 18 【分析】（1）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时减5； （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同除以； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时加3n； （4）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同乘3． 【详解】解：（1）5，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时减5； （2），根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时除以； （3）3n，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时加3n； （4）18，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时乘3． 故答案为：5；；3n；18． 【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 用等式的性质解简单的一元一次方程 知识点二 1、解以为未知数的一元一次方程，就是把方程逐步转化为（常数）的形式.等式的性质是转化的重要依据. 2、利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤 第一步：利用等式的性质1，使一元一次方程变形成一边只有含未知数的项，另一边只有常数项(即)的形式. 第二步：利用等式的性质2，将方程左、右两边同时除以未知数的系数或乘未知数的系数的倒数,将方程转化成 (常数)的形式. 提醒：一般地，从方程解出未知数的值后，把所求的未知数的值代入原方程，看这个值能否 使方程左、右两边的值相等，即可确定所求的解是否正确。 【基础练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式性质解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的基本性质． （1）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘，即可求得答案； （2）首先方程两边同加上2，再方程两边同除以4，即可求得答案． 【详解】（1）解：两边同加上5，得： ， 化简，得： ， 两边同乘，得： ， 解得； （2）解：两边同加上2，得： ， 化简，得： ， 两边同除以4，得： ， 解得． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3)正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）解：正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 题型1 利用等式的性质进行依据判断 【典例】（26-27七年级上·北京·课后作业）写出下列等式变形的依据． （1）由，得，____________________； （2）由，得，_______________； （3）由，得，__________． 【答案】 等式的性质1 等式的性质2 等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．分析题意，回忆等式的性质；根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，对（1）进行分析；根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0），结果仍相等，对（2）（3）进行分析． 【详解】解：（1）由，得，依据是等式的性质1； （2）由，得，依据是等式的性质2； （3）由，得，依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质1；等式的性质2；等式的性质2． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，若变形为，则其依据是________；若变形为，则其依据是________．如果，，那么，则其依据是________． 【答案】 等式的基本性质2 等式的基本性质1 等量代换 【分析】本题需要根据等式的基本性质，对每个变形情况进行分析，确定其依据的等式性质． 【详解】①对于变形为，根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时除以， ∴依据是等式的基本性质2； 故答案为：等式的基本性质2． ②对于变形为，根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∵变式是等式两边同时减1， ∴依据是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1． ③已知，，和都与相等，根据等量代换：如果，，那么 ∵变式是等式的传递， ∴依据是等量代换． 故答案为：等量代换． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质以及等量代换的思想是解题的关键． 【变式练习1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是________； （2）小周出错的步骤是________，错误的原因是________． 【答案】 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） ③ 等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的基本性质1可得答案； （2）根据等式的基本性质2可得答案； 【详解】解：（1）由题意得：步骤①的依据是： 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） 故答案为：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） （2）小周出错的步骤是③； 错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立； 故答案为：③；等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 · 1、性质1（加减性）：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 · 2、性质2（乘除性）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 · 3、对称性：如果，那么（等式两边可以交换）。 · 4、传递性（等量代换）：如果，，那么。 依据判断的基本动作：看变形前后，等号两边是否同时、同规则地发生了变化。如果只有一边变了，或者两边变化的“量”不同，变形就是错误的。 题型2 利用等式的性质判断式子变形的正误 【典例】（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，逐一判断即可. 【详解】解：A、，根据等式性质，等式两边应同时加或减同一个数，正确变形应为，故此选项错误； B 、，当时等式也成立，因此不能得到，故此选项错误； C 、，只有当时，才有，若变形无意义，故此选项错误； D 、，分母不为，可得，等式两边同乘得，等式两边同加1得，故此选项正确． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是______（填序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 1. 1、读清问法：是“正确/错误”，还是“一定/不一定”。 2. 2、查同步：两边是否同时做了完全相同的运算。 3. 3、查除零：涉及除法时，除数是否确定不为0。 4. 4、查细节：同乘是否漏项，符号是否正确，系数是否颠倒。 5. 5、必要时取特殊值（0、1、-1）验证，辅助排除。 题型3 利用等式的性质判断方程变形的正误 【典例】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列方程变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐个分析选项即可． 【详解】解：A、，移项得，故本选项的变形错误； B、，方程两边同时除以，得，故本选项的变形错误； C、，方程两边同时乘，得，故本选项的变形错误； D、，移项得，故本选项的变形正确． 【变式练习3-1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）给出下列方程的变形：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得．其中正确的有__________个． 【答案】2 【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 由，得，故①错误，不符合题意； 由，得故②错误，不符合题意； 由，得故③正确，符合题意； 由，得，故④正确，符合题意； ∴正确的有③④，共2个， 故答案为：2 【点睛】本题考查等式性质解一元一次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握移项及系数化为1的方法． 【变式练习3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【答案】(1)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵方程左边减3，右边加3， ∴变形不正确； (2)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； (3)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； (4)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确； （2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确； （3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确； （4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确． 【详解】(1)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵方程左边减3，右边加3， ∴变形不正确； (2)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； (3)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； (4)解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化． 题型4 判断等式变形应满足的条件 【典例】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，利用等式的基本性质得出时，由等式能得到，即可得出答案，正确把握等式的基本性质是解题关键． 【详解】由等式能得到， ∴，则， 故选：． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设a，b，c均为实数，且满足（a－1）b＝（a－1）c，下列说法正确的（    ） A．若a≠1，则＝0 B．若a≠1，则＝1 C．若b≠c，则a＋b≠c D．若a＝1，则ab＝c 【答案】A 【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，则，此项正确； B、若，则，只有当时，才有，此项错误； C、若，则，即，但与有可能相等，此项错误； D、若，则不一定相等，所以也不一定相等，此项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 【变式练习4-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 题型5 根据等式的性质填空 【典例】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式练习5-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么______； （2）如果，那么______； （3）如果，那么______； （4）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：（）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； 故答案为：；；；． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的． （1）如果，那么________，理由：根据等式性质________，在等式两边________． （2）如果．那么________．理由：根据等式性质________，在等式两边________． （3）如果，那么________，理由：根据等式性质________，在等式两边________． （4）如果，那么________．理由：根据等式性质________，在等式两边________． 【答案】 5 在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 都加2 在等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 都除以 4 在等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 都减 在等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 都乘 【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：（1）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都加2． （2）如果．那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．在等式两边都除以． （3）如果，那么，理由：根据等式性质：在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，在等式两边都减． （4）如果，那么．理由：根据等式性质：在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，在等式两边都乘以， 故答案为：5，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都加2；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都除以；4，在等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，都减；，在等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，都乘以． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 运用等式的性质时应注意的两点 (1)运用等式的性质时，关键是确定变形的依据是等式的性质1还是等式的性质2. (2)运用等式的性质进行变形时，等式的两边所进行的运算应完全相同，才能保证结 果仍是等式。 题型6 利用等式的性质解方程 【典例】（25-26七年级上·北京·期中）利用等式性质补全下列解方程过程： 解：根据等式性质1，两边同时 ___________， 可得_________， 于是_________． 根据____________两边同时乘以，可得_______． 【答案】 减去3 1 等式的性质2 【分析】根据解一元一次方程的过程以及等式的性质进行作答即可． 【详解】解：根据等式的性质解方程 ∵ ∴根据等式性质1，两边同时减去3， 可得， 于是 根据等式的性质2，两边同时乘以，可得， 故答案为：减去3；；1；等式的性质2；． 【点睛】本题考查解一元一次方程以及等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·云南昭通·期末）用等式性质解，下列变形正确的是（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】本题考查了等式性质．根据等式性质，方程两边同时加上同一个数，等式仍然成立．解方程时，应在两边同时加上6，直接得到． 【详解】解：∵， ∴两边同时加上6，得， 即． 选项B的变形正确． 选项A错误，因两边减6后应为，非； 选项C错误，因两边减3x后应为，非； 选项D错误，因两边加3x后应为，非直接得． 故选：B． 【变式练习6-2】（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）利用等式性质解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立． （1）两边同时加上4即可求解； （2）两边同时除以即可求解； （3）方程两边同加上10，再除以5即可求解； （4）两边同时减去1，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：， 两边同时加上4，得； （2）解：， 两边同时除以，得； （3）解：， 方程两边同加上10，得， 两边同时除以5，得； （4）解：， 两边同时减去1，得， 两边同时除以3，得． 把解方程的每一个步骤，都还原为对等式两边同时执行某种运算，并明确该运算依据的是哪一条等式性质 题型7 利用等式的性质比较大小 【典例】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：__________（填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 【变式练习7-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 【答案】 【分析】利用等式的性质即可求解． 【详解】解：根据等式性质1： 的两边都加上，得，即， 根据等式性质2：的两边都除以3，得， 所以． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 1. 1、明确目标：要比较的是哪两个量（以和为例），目标是构造。 2. 2、选择变形路径：从已知等式出发，通过加减（性质1）把字母集中，通过除法（性质2）把系数化为1。 3. 3、化出：最终使等式呈现“两个字母之差等于一个常数”的形式。 4. 4、判断常数符号：→；→；→。 5. 5、作答：写出完整的大小关系。 题型8 利用等式的性质求代数式的值 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，利用等式的基本性质，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：， 根据等式的基本性质，两边同时加，得 ， 即， 根据等式的基本性质，两边同时除以，得 ， 即． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．3021 B．1021 C．21 D．4021 【答案】C 【分析】将变形为与所求代数式相关的式子，即可代入求解． 【详解】将等式两边乘以，得， 则代数式， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 【变式练习8-2】（2026七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 1. 1、整理已知：利用等式性质1和2，把已知等式化为“整体 = 数值”的形式。 2. 2、观察待求式：找出待求式中与已知整体相同或成倍数关系的部分。 3. 3、变形待求式：通过提取公因数、分组、拆项、变号，凑出已知整体。 4. 4、整体代入：用数值替换整体，按有理数运算法则计算。 5. 5、检验：代入后如果还有无法确定的字母残留，说明变形不彻底，需要重新调整。 题型9 利用等式的性质解决天平中的问题 【典例】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 【变式练习9-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：， 把代入， 得到：， 整理得：． 故选：C． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【分析】本题主要考查了等式的性质及列代数式，能根据题意用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量是解题的关键． （1）根据题意，用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量即可； （2）根据（1）中的结果建立方程，据此进行求解即可 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 1. 1、设元：用字母表示各物体的质量（题目已设则直接用）。 2. 2、翻译：把每一架平衡的天平翻译成一个等式。 3. 3、变形：根据题目要求，选择消元、代换、同加同减、同乘同除等操作，每一步都明确依据的是性质1还是性质2。 4. 4、翻译回去：把变形得到的数学结论翻译回天平上的质量关系，写出答案。 综合检测 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项分析判断即可． 【详解】∵等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个整式，等式仍成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍成立 A选项：∵，根据等式性质2，两边同时除以3，得， ∴A变形错误 B选项：当时，与无意义， ∴B变形错误 C选项：∵，根据等式性质2，两边同时乘2，得， ∴C变形错误 D选项：∵，根据等式性质1，两边同时减z，得， ∴D变形正确 故选：D． 2．（25-26七年级上·吉林·期末）把方程变形为，其依据是（   ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式性质， 等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等， 【详解】解：， 即， 即，其依据是等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等， 故选：B． 3．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）下列方程的变形，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，逐项判断即可． 【详解】解：A．由，等式两边同时减3，得，A选项变形错误； B．由，等式两边同时除以7，得，B选项变形错误； C．由，等式两边同时乘2，得，C选项变形错误； D．由，等式两边同时加2，得，D选项变形正确． 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中根据等式的性质可以推导出的条件的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查的是等式的性质，掌握其性质是解决此题的关键．根据等式的性质：等式两边加同一个数）或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，由此即可求解． 【详解】解：，等式两边同时减2，得到，故①符合题意； ，等式两边同时除以，得到，故②符合题意； ，利用等式的性质不能得到，故③不符合题意； ，等式两边同时加1，得到，当时，可以得到；当时，不等得到，故④不符合题意； ，可以得出，等式两边同时乘以，得到，故⑤符合题意； ∴①②⑤符合题意； 故选：B 6．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）已知式子的值为8，那么式子的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由的值为8得出y2−2y的值，再得出−2y2＋4y的值，再加5即可得出答案． 【详解】解：∵＝8， ∴y2−2y＝2， 两边同时乘以−2，得−2y2＋4y＝−4， ∴−2y2＋4y＋5＝−4＋5＝1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查代数式求值，关键是要能由y2−2y＋6的值得出y2−2y的值． 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质及其计算是解题的关键． 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立；由此即可求解． 【详解】解：A、，等式两边同时加上5得，，故原选项错误，不符合题意； B、，等式两边同时除以5得，，故原选项错误，不符合题意； C、，等式两边同时除以得，，故原选项错误，不符合题意； D、，等式两边同时减去3得，，正确，符合题意； 故选：D ． 8．(2026·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式整理得，，①+②可求值，进而可判断B的正误，将代入①式得，可判断C的正误，由，，，计算求解可判断A，D的正误． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得，即 解得 ∴B正确，故不符合题意； 将代入①式得 ∴C正确，故不符合题意； ∵ ∴ ∴， ∴ ∴D正确，故不符合题意；A错误，故符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对等式性质的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 10．（24-25七年级下·全国·暑假作业）等式变形为的依据是等式的性质______，它是将等式的两边______． 【答案】 同时乘 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式变形为的依据是等式的性质，它是将等式的两边同时乘， 故答案为：，同时乘． 11．（25-26七年级上·新疆喀什·阶段检测）解方程 （1）     （2） 其中（1）处依据是等式的性质__（2）处依据是等式的性质_______． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立，据此可得答案． 【详解】解：把方程两边同时减去3可得到，即（1）处依据是等式的性质1，把方程两边同时除以2得到，即（2）处依据是等式的性质2， 故答案为：1；2． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为________． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 【答案】② 【分析】通过设未知数将天平平衡转化为等式，再利用等式性质验证图②、图③的平衡状态． 【详解】 解：设积木为，为，为， 据图①可知，当，即，则天平保持平衡； 图②左边重量为，右边重量为，由可得，所以天平处于平衡状态， 图③左边重量为，右边重量为，由图①可得，故天平不是平衡状态． 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等式的两边同时减去一个多项式可以得到等式，则这个多项式是________． 【答案】 【分析】根据，可得，则等式两边同时减去得：，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴等式两边同时减去得：， ∴等式的两边同时减去一个多项式可以得到等式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 三、解答题 15．（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1) 解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； (2) 解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； (3) 解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； (4) 解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （2）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得x的值即可； （3）根据等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，变形求得a的值即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时加2，得：，即：， 方程两边同时加，得：，即：， 方程两边同时除以12，得：，即：； （2）解：， 方程两边同时减1，得：，即：， 方程两边同时减x，得：，即：， 方程两边同时除以2，得：，即：； （3）解：， 方程两边同时加3，得：，即：， 方程两边同时乘2，得：，即：． 【点睛】本题考查由等式的性质解方程．掌握等式的性质：等式两边同时加上或者减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立是解题关键． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 【答案】（1）； （2）去括号，得． 等式两边都加上 ，得． 等式两边都减去 ，得． 等式两边都除以 ，得． 即． 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用等式的性质和等式的性质解题即可． 【详解】解：（1）等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得． 等式的两边都减去，得．故． （2）略 19．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知，，请利用等式的基本性质求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的混合运算． 根据等式的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：由于，， 则，， 即，， 则． 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】甲同学的说法错误，乙同学的说法正确．理由如下： 当时，不论为何值，等式都成立． 当时，等式两边除以，得． 等式两边除以，得． 所以，甲同学的说法错误，乙同学的说法正确 【详解】略 21．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了新定义的运算，等式的性质．由已知利用等式的性质求得，再根据规定求得的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 中考真题 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 【答案】2 【分析】本题先对已知等式变形，得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 【答案】五 【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立． ∴对于等式； 当时，该等式恒成立； 当，两边同时除以，得； ∵， ∴ ∴上述推理过程中，第五步是错误的； 故答案为：五． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等式的性质 学习目标 1、了解等式的基本事实. 2、掌握等式的性质. 3、能运用等式的性质进行等式的变形. 4、能根据等式的性质解一元一次方程. 核心素养： 抽象能力 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 等式的性质 1、基本事实 (1)等式两边可以交换：如果，那么； (2)相等关系可以传递：如果，，那么. 2.性质 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式两边加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等 如果，那么 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果，那么，如果，，那么 注意：等式的性质抓“两同” (1)同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算; (2)同一个数（或式子）：等式两边加或减的必须是同一个数（或式子），乘的必须是同一个数，除以的必须是同一个不为0的数. 提醒：等式的两边除以同一个数时，这个数一定不能为0. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知，利用等式的基本性质可变形为，则必符合条件（   ） A． B． C． D．为任意有理数或整式 【基础练习1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则__； （2）若，则____； （3）若，则___； （4）若，则_____ 用等式的性质解简单的一元一次方程 知识点二 1、解以为未知数的一元一次方程，就是把方程逐步转化为（常数）的形式.等式的性质是转化的重要依据. 2、利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤 第一步：利用等式的性质1，使一元一次方程变形成一边只有含未知数的项，另一边只有常数项(即)的形式. 第二步：利用等式的性质2，将方程左、右两边同时除以未知数的系数或乘未知数的系数的倒数,将方程转化成 (常数)的形式. 提醒：一般地，从方程解出未知数的值后，把所求的未知数的值代入原方程，看这个值能否 使方程左、右两边的值相等，即可确定所求的解是否正确。 【基础练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式性质解方程： (1)； (2)． 【基础练习2-2】（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 题型1 利用等式的性质进行依据判断 【典例】（26-27七年级上·北京·课后作业）写出下列等式变形的依据． （1）由，得，____________________； （2）由，得，_______________； （3）由，得，__________． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，若变形为，则其依据是________；若变形为，则其依据是________．如果，，那么，则其依据是________． 【变式练习1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是________； （2）小周出错的步骤是________，错误的原因是________． · 1、性质1（加减性）：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 · 2、性质2（乘除性）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 · 3、对称性：如果，那么（等式两边可以交换）。 · 4、传递性（等量代换）：如果，，那么。 依据判断的基本动作：看变形前后，等号两边是否同时、同规则地发生了变化。如果只有一边变了，或者两边变化的“量”不同，变形就是错误的。 题型2 利用等式的性质判断式子变形的正误 【典例】（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是______（填序号）． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 1. 1、读清问法：是“正确/错误”，还是“一定/不一定”。 2. 2、查同步：两边是否同时做了完全相同的运算。 3. 3、查除零：涉及除法时，除数是否确定不为0。 4. 4、查细节：同乘是否漏项，符号是否正确，系数是否颠倒。 5. 5、必要时取特殊值（0、1、-1）验证，辅助排除。 题型3 利用等式的性质判断方程变形的正误 【典例】（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）下列方程变形正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式练习3-1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）给出下列方程的变形：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得．其中正确的有__________个． 【变式练习3-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 题型4 判断等式变形应满足的条件 【典例】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式练习4-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设a，b，c均为实数，且满足（a－1）b＝（a－1）c，下列说法正确的（    ） A．若a≠1，则＝0 B．若a≠1，则＝1 C．若b≠c，则a＋b≠c D．若a＝1，则ab＝c 【变式练习4-2】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 题型5 根据等式的性质填空 【典例】（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则_______．       （2）若，则_______． （3）若，则_______．        （4）若，，则_______． 【变式练习5-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么______； （2）如果，那么______； （3）如果，那么______； （4）如果，那么______． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的． （1）如果，那么________，理由：根据等式性质________，在等式两边________． （2）如果．那么________．理由：根据等式性质________，在等式两边________． （3）如果，那么________，理由：根据等式性质________，在等式两边________． （4）如果，那么________．理由：根据等式性质________，在等式两边________． 运用等式的性质时应注意的两点 (1)运用等式的性质时，关键是确定变形的依据是等式的性质1还是等式的性质2. (2)运用等式的性质进行变形时，等式的两边所进行的运算应完全相同，才能保证结 果仍是等式。 题型6 利用等式的性质解方程 【典例】（25-26七年级上·北京·期中）利用等式性质补全下列解方程过程： 解：根据等式性质1，两边同时 ___________， 可得_________， 于是_________． 根据____________两边同时乘以，可得_______． 【变式练习6-1】（25-26七年级上·云南昭通·期末）用等式性质解，下列变形正确的是（    ） A．； B．； C．； D．； 【变式练习6-2】（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）利用等式性质解方程 (1) (2) (3) (4) 把解方程的每一个步骤，都还原为对等式两边同时执行某种运算，并明确该运算依据的是哪一条等式性质 题型7 利用等式的性质比较大小 【典例】（25-26七年级上·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系：__________（填“”“”“”） 【变式练习7-1】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习7-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等式成立，试利用等式的基本性质比较，的大小． 1. 1、明确目标：要比较的是哪两个量（以和为例），目标是构造。 2. 2、选择变形路径：从已知等式出发，通过加减（性质1）把字母集中，通过除法（性质2）把系数化为1。 3. 3、化出：最终使等式呈现“两个字母之差等于一个常数”的形式。 4. 4、判断常数符号：→；→；→。 5. 5、作答：写出完整的大小关系。 题型8 利用等式的性质求代数式的值 【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，利用等式的基本性质，求的值． 【变式练习8-1】（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知，则代数式的值为（    ） A．3021 B．1021 C．21 D．4021 【变式练习8-2】（2026七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 1. 1、整理已知：利用等式性质1和2，把已知等式化为“整体 = 数值”的形式。 2. 2、观察待求式：找出待求式中与已知整体相同或成倍数关系的部分。 3. 3、变形待求式：通过提取公因数、分组、拆项、变号，凑出已知整体。 4. 4、整体代入：用数值替换整体，按有理数运算法则计算。 5. 5、检验：代入后如果还有无法确定的字母残留，说明变形不彻底，需要重新调整。 题型9 利用等式的性质解决天平中的问题 【典例】（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习9-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式练习9-2】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 1. 1、设元：用字母表示各物体的质量（题目已设则直接用）。 2. 2、翻译：把每一架平衡的天平翻译成一个等式。 3. 3、变形：根据题目要求，选择消元、代换、同加同减、同乘同除等操作，每一步都明确依据的是性质1还是性质2。 4. 4、翻译回去：把变形得到的数学结论翻译回天平上的质量关系，写出答案。 综合检测 一、单选题 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）根据等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·吉林·期末）把方程变形为，其依据是（   ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 3．（25-26七年级上·广东韶关·阶段检测）下列方程的变形，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（25-26六年级下·全国·课后作业）等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列条件：①；②；③；④；⑤，其中根据等式的性质可以推导出的条件的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26七年级上·重庆巴南·期末）已知式子的值为8，那么式子的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列利用等式的性质解方程中，正确的是（  ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 8．(2026·安徽芜湖·二模）已知三个实数a，b，c满足，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 10．（24-25七年级下·全国·暑假作业）等式变形为的依据是等式的性质______，它是将等式的两边______． 11．（25-26七年级上·新疆喀什·阶段检测）解方程 （1）     （2） 其中（1）处依据是等式的性质__（2）处依据是等式的性质_______． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，试用等式的性质比较与的大小为________． 13．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 14．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在等式的两边同时减去一个多项式可以得到等式，则这个多项式是________． 三、解答题 15．（2025七年级上·北京·专题练习）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式性质解方程： (1)； (2)； (3)． 17．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小． （2）已知，利用等式的基本性质说明． 19．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知，，请利用等式的基本性质求的值． 20．（26-27七年级上·全国·课后作业）老师在黑板上写了一个等式，甲同学说，乙同学表示不一定，当时，这个等式也可能成立，甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 21．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 中考真题 1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为_________． 3．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则． 例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；    ① 第二步：根据七年级学过的整式运算法则有；    ② 第三步：把②代入①，可得；    ③ 第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得；  ④ 第五步：把④两边同时除以，得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则． 学科网（北京）股份有限公司 $