第17讲 从算式到方程（6大题型共48题+解题技巧）--2026-2027学年人教版七年级数学上册同步讲义系列

第17讲 从算式到方程 学习目标 1、能根据现实情境理解方程的意义. 2、能针对具体问题列出方程. 3、理解方程的解的意义,会检验一个数是否为方程的解. 4、理解一元一次方程的意义. 核心素养： 抽象能力 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 等式与方程 等式 方程 等式与方程的联系与区别 用等号表示相等关系的式子 叫作等式，如，等 含有未知数的等式叫作方程，如，等 方程一定是等式,但等式不一定是方程，如是等式，但不是方程 提醒：(1)方程中的未知数可以用字母表示，也可以用其他字母（如,等）表示。 (2)方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上，如， 等. 【基础练习1-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)是方程，未知数是x (2)是方程，未知数是y (3)不是方程 (4)是方程，未知数是a (5)是方程，未知数是m (6)是方程，未知数是x、y 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 【详解】（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 列方程 知识点二 1、用算术法解决实际问题时,只含有已知数,不含有未知数;而用方程解决实际问题时,既含有已知数,也含有未知数. 2、列方程的步骤 一般步骤：第一步：设未知数.一般求什么就设什么. 第二步:分析题意，找等量关系. 第三步：把等号左、右两边表示相等关系的量用含未知数的式子表示出来，即列方程. 点拨：(1)在列方程时，一定要从问题中挖掘出“相等”“比大”“比小”“增加”“减少”等词语，从中找出相等关系. (2)列方程时，会设未知数很重要，可以直接设，求什么设什么；也可以间接设，需要什么设什么，若未知数设得恰当，则等量关系就容易找到，列出的方程就简单易解。 【基础练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请根据题意设未知数，并列出方程．（不用求解） (1)一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，求这个数． (2)已知地球的表面积约为亿平方千米，其中陆地面积约为海洋面积的，求陆地的面积． 【答案】(1)设这个数为，则方程为 (2)设陆地面积为亿平方千米，则方程为 【分析】本题考查根据题意设未知数列方程的能力，理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设这个数为，然后分别表示出这个数的2倍加30和这个数的6倍，然后通过描述数量关系直接列出方程即可； （2）设陆地面积为亿平方千米，根据陆地面积约为海洋面积的，表示出海洋面积，然后根据地球表面积为陆地面积与海洋面积之和，列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为，则这个数的2倍加30表示为，这个数的6倍少14表示为， ∵这个数的2倍加30，比这个数的6倍少14， ∴可列方程为； （2）解：设陆地面积为亿平方千米， ∵陆地面积约为海洋面积的， ∴海洋面积为， ∵地球表面积为陆地面积与海洋面积之和， ∴可列方程为． 【基础练习2-2】（26-27七年级上·湖北襄阳·开学考试）方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】分别分析四个情境中的数量关系，列出对应的方程，判断是否与一致． 【详解】解：①设心里想的数是，根据题意得：，符合题意； ②设红绳长米，根据题意得：，符合题意； ③由题意得：，符合题意； ④由题意得：，即，不符合题意． 综上所述，正确的选项是①②③． 方程的解与解方程 知识点三 1、方程的解与解方程的概念与区别 方程的解 解方程 方程的解与解方程的区别 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 求方程的解的过程，叫作解方程 方程的解是求得的结果，它是一个（或几个)数值;解方程是求方程的解 的过程 2、检验方程的解 把所给未知数的值代人方程，若方程的左、右两边的值相等，则是方程的解，否则就不是方程的解. 注意：(1)牢记一元一次方程定义中的“一”和“1”，即只含有一个未知数，未知数的次数都是1 (2)一元一次方程必须是整式方程，即方程的分中不含未知数 (3)要判断一个方程是不是一元一次方程，不能只看形式，首先要将方程化简、整理，然后根据一元一次方程的三个特征进行判断 提醒：根据方程的解的定义可以检验一个未知数的取值是否为方程的解。 【基础练习3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断括号内的数是不是它前面的方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）（2）把括号内的数代入方程的左右两边，进一步判断即可. 【详解】（1）解：把代入， 左边，右边， 因为左边=右边， 所以是原方程的解． （2）解：把代入方程， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是原方程的解． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 一元一次方程 知识点四 一般地,如果方程中只含有一个未知数（元》,且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程。 点拨：一次：未知数的最高次数是1一元：只含有一个未知数 【基础练习4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程中，哪些是一元一次方程？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】②和③ 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐个判断每个方程是否符合条件． 【详解】解：方程①含有两个未知数，不符合定义； 方程②只含有一个未知数且次数为1，是整式方程，符合定义； 方程③只含有一个未知数且次数为1，是整式方程，符合定义； 方程④未知数的最高次数为2，不符合定义； 方程⑤含有两个未知数且次数为2，不符合定义； 方程⑥分母含有未知数，不符合定义． 【基础练习4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 【答案】 【分析】原方程要为一元一次方程，只能含有一个未知数，的系数为，无法为，因此需要让的系数为，即可求出的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，方程只含有一个未知数，且未知数的次数为， ∵原方程中，的系数为，恒不为， ∴要满足一元一次方程的定义，需的系数为，即， 解得：． 题型1 判断是否是方程 【典例】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、、均含有未知数且为等式，是方程，故A，B，C选项不符合题意； 含有未知数，但不是等式，不是方程，故D选项符合题意． 【变式练习1-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【答案】C 【分析】本题主要考查方程的定义，掌握方程的定义是解题的关键．根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），符合方程的定义，故本小题符合题意； （2），不含有未知数，不是方程，故本小题符合题意； （3），不是等式，故本小题不符合题意； （4），符合方程的定义，故本小题符合题意； （5），符合方程的定义，故本小题符合题意； （6），不是等式，故本小题不符合题意； （7），符合方程的定义，故本小题符合题意； （8），符合方程的定义，故本小题符合题意． 是方程的有（1）（4）（5）（7）（8）， 故选：C． 方程具备的两个条件 (1)必须是等式（含有“=”);(2)必须含有未知数（至少有一个）。 题型2 列方程 【典例】（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据题意找到等量关系并列出方程是解题的关键．先根据题目条件，用含未知数的代数式分别表示出金牌数和银牌数，再根据总奖牌数列出方程． 【详解】解：设铜牌数为枚，则金牌数为枚，银牌数为枚，由题意可得 ， 故选：C． 【变式练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长等于长加宽和的两倍列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 列方程的基本思路 实际问题→设未知数→找等量关系→列出方程 题型3 判断是否是一元一次方程 【典例】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列方程中，___________是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 【变式练习3-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，四个选项中只有D选项中的方程是一元一次方程， 故选：D． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程； (2)是方程，也是一元一次方程； (3)是方程，不是一元一次方程． 【分析】本题考查方程，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （2）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （3）根据方程和一元一次方程的定义判断即可 【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数， ∴不是方程，不是一元一次方程； （2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为， ∴是方程，也是一元一次方程； （3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为， ∴是方程，不是一元一次方程． 一元一次方程满足的条件 (1)是方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的次数都是1；(4)化简后，未知数的系数不为0;(5)方程中分母不含未知数. 题型4 判断是否是方程或一元一次方程的解 【典例】（2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题； （2）将代入方程左边并求解判断，即可解题； （3）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （2）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （3）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 【变式练习4-1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键． 把代入方程，判断方程的两边是否相等即可判断． 【详解】解：、把代入，左边右边， ∴符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 、把代入，左边右边， ∴不符合题意； 故选：． 【变式练习4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：由方程可得， 观察表格，当时，， 故方程的解为：． 故答案为：． 检验方程解的步骤 (1)代：把数值分别代入方程的左、右两边。 (2)算：分别计算出方程左、右两边的值. (3)判：若方程左、右两边的值相等，则这个数是方程的解,否则不是方程的解. 题型5 根据一元一次方程的定义求参数 【典例】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 【答案】k的值是 【详解】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到，，进行求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 即k的值是 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义及一般形式，牢固掌握其定义是解题的关键． 【变式练习5-1】（25-26七年级上·河北承德·期末）关于x的方程是一元一次方程，则k值不能等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【变式练习5-2】（24-25七年级下·吉林·开学考试）如果关于x的方程是一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是根据—元一次方程的定义确定方程中各项系数应满足的条件． 根据一元一次方程的定义，其二次项系数应为0，且一次项系数不为0，据此求出的值． 【详解】由题意可得： 二次项系数，解得， 同时一次项系数，当时，，满足条件， 综上，的值为， 故答案为：． 1. 1、找出参数位置：判断参数出现在指数上、系数上，还是同时出现。 2. 2、将定义翻译为方程/不等式： · 参数在指数上→令指数 =1； · 方程含高次项→令高次项系数=0； · 参数在一次项系数上→令系数≠0。 3. 3、解出参数的可能值。 4. 4、代入检验：检查系数是否为零、分母是否含未知数、高次项是否真正消失。 5. 5、确定最终答案，舍去不合题意的解。 题型6 根据方程的解求字母或式子的值 【典例】（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 【变式练习6-1】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 【变式练习6-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 1. 1、识别目标：看清题目要求的是字母参数的值，还是某个代数式的值。 2. 2、代入解：把给定的解代入方程，得到一个关于字母的等式。 3. 3、选择策略： · 目标为字母参数→解关于该字母的方程； · 目标为代数式的值→观察结构，变形后整体代入； · 涉及两个方程解相同/相反/倒数→先解不含参方程，再代入。 4. 4、计算并检验：把结果代回原方程，确认等式成立。 综合检测 一、单选题 1．（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．、C．均不含“=”号，不是等式，故不是方程． B．不含未知数，故不是方程． D．是含未知数的等式，故是方程． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 3．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 4．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 【答案】B 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求出参数，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故选B． 5．（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】将方程的解代入原方程转化为关于参数m的方程计算即可． 【详解】解：把代入，得，解得． 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】分析甲乙思考过程，由方程组解法判断即可． 【详解】解：对于甲，当时，中两个方程同时成立，则是满足题意的解；当时，方程成立；当时，方程成立；从而不存在唯一一个值，使中两个方程同时成立，即无解，甲说法错误； 乙说法正确； 综上所述，甲错误、乙正确． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 8．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，根据题意，将文字描述转化为代数方程即可． 【详解】解：x的3倍表示为，与7的差表示为，根据条件，此差等于11， 因此方程为， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念．根据一元一次方程是只有一个未知数且未知数的次数是1的方程可知，的系数应为0，x的系数应不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：1． 10．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的定义．将方程变形为，再根据表格中x与的对应关系，找到使成立的x值． 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列五个结论中正确的是________（填序号）． ①若与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，，则的结果只有一种． ⑤若为任意数，则关于的方程的解是； 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查方程的解，整式的加减和绝对值，根据同类项的定义可判断①；根据整式的加减可判断②；根据化简绝对值可判断③④，当时，原方程无解，即可判断⑤． 【详解】解：①∵与是同类项， ∴ ∴ ∴，故①正确； ② ∵运算结果中不含项， ∴， 解得，， 此时，常数项为，故②正确； ③∵， ∴ ∴ ； 故③错误； ④∵，， ∴中至少有一个是负数， 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 当时，，， ∴ ； 综上，若，，则的结果只有一种． 故④正确， ⑤当时，方程变为，此时方程的解为任意数，故⑤不正确 ∴正确的说法是①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？ （1）3＝2x﹣1； （2）x+2y＝7； （3）x2+5x﹣1＝5； （4）x2＝y2+2y； （5）x﹣π＝3； （6）3m+5＝﹣4； （7）﹣＝1． 【答案】 解：（1）未知数是x，方程的左边是3，方程的右边是2x﹣1，它是一元一次方程； （2）未知数是x、y，方程的左边是x+2y，方程的右边是7，它不是一元一次方程； （3）未知数是x，方程的左边是x2+5x﹣1，方程的右边是5，它不是一元一次方程； （4）未知数是x，y，方程的左边是x2，方程的右边是y2+2y，它不是一元一次方程； （5）未知数是x，方程的左边是x﹣π，方程的右边是3，它是一元一次方程； （6）未知数是m，方程的左边是3m+5，方程的右边是﹣4，它是一元一次方程； （7）未知数是a，方程的左边是﹣，方程的右边是1，它是一元一次方程． 【分析】依据方程的相关概念和一元一次方程的定义回答即可． 【详解】略 【点睛】本题考查方程的定义、一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握方程的定义、一元一次方程的定义． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 【答案】(1)不是该方程的解，是该方程的解； (2)是该方程的解，不是该方程的解 【详解】（1）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； （2）解：当时，方程左边， 方程右边， 左边等于右边， ∴是该方程的解； 当时，方程左边， 方程右边， 左边不等于右边， ∴不是该方程的解． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）根据题意表示出长方形的长，进而利用矩形周长公式求出即可； （2）长方体底面的长和宽分别是：和，根据长方形的面积公式即可列出方程； （3）根据“足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成”列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这个长方形的宽为，则长为，则可列方程； （2）解：根据题意得； （3）解：设黑色皮块有个，则白色皮块有块，根据题意得． 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 17．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）定义运算：． （1）按此定义，计算的值． （2）若是关于的一元一次方程，求的值． 【答案】（1）1；（2）0． 【分析】（1）根据定义，可得出，然后计算即可； （2）根据一元一次方程的定义，可得出b的值，再根据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴原式； ∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得， 当时， ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及一元一次方程的定义，注意理解题中的新定义是解题的关键． 19．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 【点睛】能根据题意得出是解题的关键． 20．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 中考真题 1．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可． 【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为， 铜的单价为每斤文，锡的单价为每斤文， 购买铜的花费为文，购买锡的花费为文， 贯文，总花费为贯，则总花费为文， 根据“总花费购买铜的花费购买锡的花费”可列方程：． 2．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 从算式到方程 学习目标 1、能根据现实情境理解方程的意义. 2、能针对具体问题列出方程. 3、理解方程的解的意义,会检验一个数是否为方程的解. 4、理解一元一次方程的意义. 核心素养： 抽象能力 应用意识 运算能力 知识结构 知识点一 等式与方程 等式 方程 等式与方程的联系与区别 用等号表示相等关系的式子 叫作等式，如，等 含有未知数的等式叫作方程，如，等 方程一定是等式,但等式不一定是方程，如是等式，但不是方程 提醒：(1)方程中的未知数可以用字母表示，也可以用其他字母（如,等）表示。 (2)方程中未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上，如， 等. 【基础练习1-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【基础练习1-2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 列方程 知识点二 1、用算术法解决实际问题时,只含有已知数,不含有未知数;而用方程解决实际问题时,既含有已知数,也含有未知数. 2、列方程的步骤 一般步骤：第一步：设未知数.一般求什么就设什么. 第二步:分析题意，找等量关系. 第三步：把等号左、右两边表示相等关系的量用含未知数的式子表示出来，即列方程. 点拨：(1)在列方程时，一定要从问题中挖掘出“相等”“比大”“比小”“增加”“减少”等词语，从中找出相等关系. (2)列方程时，会设未知数很重要，可以直接设，求什么设什么；也可以间接设，需要什么设什么，若未知数设得恰当，则等量关系就容易找到，列出的方程就简单易解。 【基础练习2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请根据题意设未知数，并列出方程．（不用求解） (1)一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，求这个数． (2)已知地球的表面积约为亿平方千米，其中陆地面积约为海洋面积的，求陆地的面积． 【基础练习2-2】（26-27七年级上·湖北襄阳·开学考试）方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 方程的解与解方程 知识点三 1、方程的解与解方程的概念与区别 方程的解 解方程 方程的解与解方程的区别 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 求方程的解的过程，叫作解方程 方程的解是求得的结果，它是一个（或几个)数值;解方程是求方程的解 的过程 2、检验方程的解 把所给未知数的值代人方程，若方程的左、右两边的值相等，则是方程的解，否则就不是方程的解. 注意：(1)牢记一元一次方程定义中的“一”和“1”，即只含有一个未知数，未知数的次数都是1 (2)一元一次方程必须是整式方程，即方程的分中不含未知数 (3)要判断一个方程是不是一元一次方程，不能只看形式，首先要将方程化简、整理，然后根据一元一次方程的三个特征进行判断 提醒：根据方程的解的定义可以检验一个未知数的取值是否为方程的解。 【基础练习3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断括号内的数是不是它前面的方程的解： (1)； (2)． 【基础练习3-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 一元一次方程 知识点四 一般地,如果方程中只含有一个未知数（元》,且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程。 点拨：一次：未知数的最高次数是1一元：只含有一个未知数 【基础练习4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程中，哪些是一元一次方程？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【基础练习4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若是一元一次方程，则________． 题型1 判断是否是方程 【典例】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式练习1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式练习1-2】（24-25七年级下·河南鹤壁·开学考试）下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 方程具备的两个条件 (1)必须是等式（含有“=”);(2)必须含有未知数（至少有一个）。 题型2 列方程 【典例】（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）根据图中的标注，列出方程为________． 【变式练习2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 列方程的基本思路 实际问题→设未知数→找等量关系→列出方程 题型3 判断是否是一元一次方程 【典例】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列方程中，___________是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【变式练习3-1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3-2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 一元一次方程满足的条件 (1)是方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的次数都是1；(4)化简后，未知数的系数不为0;(5)方程中分母不含未知数. 题型4 判断是否是方程或一元一次方程的解 【典例】（2025七年级上·全国·专题练习）判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【变式练习4-1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列以为解的一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式练习4-2】（2025七年级上·全国·专题练习）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 检验方程解的步骤 (1)代：把数值分别代入方程的左、右两边。 (2)算：分别计算出方程左、右两边的值. (3)判：若方程左、右两边的值相等，则这个数是方程的解,否则不是方程的解. 题型5 根据一元一次方程的定义求参数 【典例】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值. 【变式练习5-1】（25-26七年级上·河北承德·期末）关于x的方程是一元一次方程，则k值不能等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式练习5-2】（24-25七年级下·吉林·开学考试）如果关于x的方程是一元一次方程，则的值为______． 1. 1、找出参数位置：判断参数出现在指数上、系数上，还是同时出现。 2. 2、将定义翻译为方程/不等式： · 参数在指数上→令指数 =1； · 方程含高次项→令高次项系数=0； · 参数在一次项系数上→令系数≠0。 3. 3、解出参数的可能值。 4. 4、代入检验：检查系数是否为零、分母是否含未知数、高次项是否真正消失。 5. 5、确定最终答案，舍去不合题意的解。 题型6 根据方程的解求字母或式子的值 【典例】（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【变式练习6-1】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【变式练习6-2】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 1. 1、识别目标：看清题目要求的是字母参数的值，还是某个代数式的值。 2. 2、代入解：把给定的解代入方程，得到一个关于字母的等式。 3. 3、选择策略： · 目标为字母参数→解关于该字母的方程； · 目标为代数式的值→观察结构，变形后整体代入； · 涉及两个方程解相同/相反/倒数→先解不含参方程，再代入。 4. 4、计算并检验：把结果代回原方程，确认等式成立。 综合检测 一、单选题 1．（26-27七年级上·全国·单元测试）下列各式是方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上结果均不正确 5．（25-26七年级上·山西朔州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B．7 C．10 D．13 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）对于试题“已知，的三边长为，，，求的值”，甲乙两位同学的思考如下： 甲 根据“全等三角形的对应边相等”可知分为两种情况：或，解得：或或 乙 分类讨论有点麻烦，我根据“全等三角形的周长相等”，得出：，解得： 则下列说法正确的是（   ） A．甲乙均正确 B．甲乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 8．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）根据条件：“的3倍与7的差等于11”列出方程是________． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于x的方程是一元一次方程，则k的值为______． 10．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 11．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列五个结论中正确的是________（填序号）． ①若与是同类项，则； ②若关于的多项式的运算结果中不含项，则常数项为； ③若，则； ④若，，则的结果只有一种． ⑤若为任意数，则关于的方程的解是； 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？ （1）3＝2x﹣1； （2）x+2y＝7； （3）x2+5x﹣1＝5； （4）x2＝y2+2y； （5）x﹣π＝3； （6）3m+5＝﹣4； （7）﹣＝1． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解： (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据所设未知数列方程： (1)用一根长的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，长方形的宽是多少？（设长方形的宽是） (2)如图，有一块长、宽的长方形硬纸板，在4个角截去4个一样的小正方形，折成一个无盖长方体盒子，当小正方形的边长为多少时，所折长方体盒子的底面积为？（设截去的小正方形的边长为） (3)足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，其中白色皮块比黑色皮块的2倍少4个．足球表面上有白色皮块和黑色皮块各多少个？（设黑色皮块有x个） 16．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 17．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）定义运算：． （1）按此定义，计算的值． （2）若是关于的一元一次方程，求的值． 19．（25-26七年级上·北京·期末）已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 20．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 中考真题 1．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤文，锡的单价是每斤文，购买相同斤数的铜和锡共花费贯（贯文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购买相同斤数是，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 学科网（北京）股份有限公司 $