精品解析：上海市建平中学2026-2027学年第一学期期中教学质量检测高一数学试卷

建平中学 2026 学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 一、填空题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分，考生应在答题纸的相应位置直接填写结果） 1. 已知集合，集合，则______． 2. 不等式的解集为_______． 3. 将化简为指数幂的形式为__________． 4. 函数的定义域为______. 5. 已知函数，若，则_______． 6. 函数 的单调递减区间为______. 7. 已知，，若，且，则__________． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是__________. 9. 已知函数 的表达式为 ，其值域为 ，则满足条件的函数有________个. 10. 若，则下列结论中正确结论的个数为_______. ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. 11. 设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，或”，又满足“关于的方程无实数解”，则实数的取值范围是________. 12. 对于任意，都有恒成立，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 3 分，共 12 分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 14. 若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设是含数的有限实数集，是定义在 上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转 60° 后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（　　） A. B. C. D. 0 16. 已知，表示不大于的最大整数，如：，，.已知实数满足，将关于的不等式的解集记为.若集合有且仅有个非空真子集，则实数的可能取值是（　　） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 18. 已知，解关于 x 的不等式：． 19. 某厂新建员工宿舍，若建造宿舍费用 P（万元）和宿舍与工厂的距离 x（km）的关系为 （），若距离为 1（km）时，测算宿舍建造费用为 40 万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为 6 万元/km，设 y 为建造宿舍与修路费用之和， （1）求 y 关于 x 的解析式并写出 x 的取值范围； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 y 最小，并求总费用 y的 最小值. 20. 对于二次函数，，若存在，使得成立，则称为二次函数 ，的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数在区间内仅有一个不动点，求的取值范围； （3）若对任意实数，二次函数，恒有不动点，求的取值范围. 21. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学 2026 学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 一、填空题（本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分，考生应在答题纸的相应位置直接填写结果） 1. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】即取的公共部分，所以. 2. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得到，等价于，且，解得， 所以不等式的解集为. 3. 将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将根式化为指数幂的形式即可. 【详解】由题知，，则. 4. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域需满足不等式，得且， 所以函数的定义域为. 5. 已知函数，若，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分段函数，分类讨论即可求得. 【详解】当时，解得，舍去； 当时，解得或，因为，所以. 综上：. 6. 函数 的单调递减区间为______. 【答案】 和 【解析】 【详解】对于函数，该函数的定义域为. 任取，且，故， 即，故在上单调递减. 任取，且，故， 即，故在上单调递减. 综上所述：函数的单调递减区间为和. 7. 已知，，若，且，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，等价于， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，则，即，解得， 所以不等式的解集是. 9. 已知函数 的表达式为 ，其值域为 ，则满足条件的函数有________个. 【答案】81 【解析】 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 所以满足条件的函数有个 10. 若，则下列结论中正确结论的个数为_______. ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. 【答案】4 【解析】 【分析】利用集合的特征性质，取特殊的数对选项进行逐项分析判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，， 所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，， 所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若， 则， 故，⑤正确. 所以①②③⑤正确， 故答案为：4 11. 设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，或”，又满足“关于的方程无实数解”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知函数的图象必过点，进而结合另一个条件分析求解即可. 【详解】令，解得或，又和在同一坐标系下的图象如图所示， 又当时，，时，， 由函数的定义可知，当或时，一定有实数解， 当且时，将直线与函数或图象的交点去掉， 用另一个函数图象上相同的横坐标对应的点替换即可符合题意， 所以实数的取值范围是. 12. 对于任意，都有恒成立，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先令，求出的值，从而得到，再处理左边恒成立条件，从而得到与的关系，再处理右边恒成立条件，确定的取值范围，进而代入中得到关于的二次函数，进而结合二次函数的性质即可求最小值． 【详解】令，即，解得， 说明与仅在处相交，且交点为， 所以对于任意，在处，必须满足， 即，所以， 由对于任意，都有恒成立， 即在上恒成立， 又在上恒非负，且在处取， 则可写为，， 即， 所以，解得， 又对于任意，都有恒成立， 即，， 则，且，解得， 所以，， 由是开口向上，且对称轴为的二次函数，区间为， 所以该二次函数在处取得最小值，且最小值为， 所以的最小值为． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 3 分，共 12 分，每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【详解】逐项利用不等式性质进行判断，注意反例和 的情形. 【解答】A 项，取 ，，则 ，但 ，错误； B 项，当 时不成立，错误； C 项，取 ，，则 ，错误； D 项，由 知 ，两边同除以 得 ，正确. 14. 若，，设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过分别验证充分性、必要性是否成立，结合一元一次不等式解集的性质判断条件关系. 【详解】充分性证明： 已知，， 对不等式： 当时，解集；当时，解集 同理，不等式的解集为或； 若，则两个解集的边界点相等，即，整理得，充分性成立. 必要性证明： 若，取反例：令，，则不等式的解集； 令，，此时， 但不等式的解集，显然，故必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 15. 设是含数的有限实数集，是定义在 上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转 60° 后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（　　） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】设，则点在函数图象上.由题意，图象绕原点逆时针旋转后与自身重合，所以把绕原点逆时针依次旋转所得的六个点都在图象上.旋转不改变点到原点的距离，这六个点到原点的距离相等；而函数图象与每条竖直直线至多有一个交点，所以它们的横坐标必须互不相同.圆上横坐标相同的两个不同点必关于轴对称，因此只要弄清这个正六边形能否关于轴对称即可. 【详解】设是把绕原点逆时针旋转所得的点，.绕原点分别旋转时只有原点保持不动，而的横坐标为，不是原点，所以两两不同. 由旋转的性质，，且相邻两点与到原点所张的角都是，所以是一个以原点为圆心的圆的内接正六边形的六个顶点. 设是该圆上横坐标相同的两个不同点，为直线与轴的交点，则，且，所以，关于轴对称；反之，关于轴对称的两点横坐标相同.因此这六个顶点的横坐标互不相同，等价于正六边形没有关于轴对称的两个顶点. 正六边形的六条对称轴都经过圆心，相邻两条对称轴所成的角为，其中经过的那一条与共线.所以轴是正六边形的对称轴（从而存在关于轴对称的两个顶点），当且仅当与轴正方向的夹角是的整数倍. 各选项给出的都不小于，所以，且由的坐标得. 对于A，若，则，，正六边形关于轴对称，必有两个顶点的横坐标相同，与函数图象的性质矛盾，故不能取. 对于C，若，则，，正六边形同样关于轴对称，故不能取. 对于D，若，则，，轴与正六边形的一条对称轴重合，故不能取. 对于B，若，则，而，，且，所以，，即不是的整数倍，正六边形不关于轴对称，六个顶点的横坐标互不相同. 取，其中是另外五个顶点的横坐标，令，并令等于相应顶点的纵坐标，则的图象恰为这个正六边形的六个顶点，它绕原点逆时针旋转后仍是这六个点，与原图象重合，所以能取到. 16. 已知，表示不大于的最大整数，如：，，.已知实数满足，将关于的不等式的解集记为.若集合有且仅有个非空真子集，则实数的可能取值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中元素个数，结合条件可得，从而有，即可求解. 【详解】由，得到， 因为集合有且仅有个非空真子集，记集合中元素个数为，则，解得， 若，即，则不等式即为，又，解得，不合题意， 若，又，则二次函数图象开口向下， 显然不合题意，所以，此时的解集为， 又，所以，要使集合中元素个数为， 则，整理得到，所以，且， 解得，又，，，所以实数的可能取值是. 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 52 分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 设是实数，函数． （1）若函数是奇函数，求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性列式计算即得； （2）利用函数的单调性定义计算判断即可. 【小问1详解】 函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； 【小问2详解】 略 18. 已知，解关于 x 的不等式：． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】根据二次函数根的分布分类讨论即可求解． 【详解】由，则， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时， 若，即，不等式的解集为； 若，即，不等式的解集为； 若，即，不等式的解集为． 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 19. 某厂新建员工宿舍，若建造宿舍费用 P（万元）和宿舍与工厂的距离 x（km）的关系为 （），若距离为 1（km）时，测算宿舍建造费用为 40 万元.为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为 6 万元/km，设 y 为建造宿舍与修路费用之和， （1）求 y 关于 x 的解析式并写出 x 的取值范围； （2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 y 最小，并求总费用 y的 最小值. 【答案】（1），的取值范围为； （2）宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小总费用为36万元。 【解析】 【小问1详解】 根据题意，当宿舍与工厂距离为1（km）时，测算宿舍建造费用为 40 万元，代入函数关系， 得，解得，所以 总费用y由建造宿舍费用与修路费用两部分构成。 已知铺设路面成本为6 万元/km，距离为，因此修路费用为； 所以；根据题设给出的距离约束，的取值范围为. 【小问2详解】 对总费用函数进行凑配变形， , 由于，因此， 所以 当且仅当，即时等号成立， ，所以宿舍建在离工厂处时，总费用最小，最小值为36万元。 20. 对于二次函数，，若存在，使得成立，则称为二次函数 ，的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数在区间内仅有一个不动点，求的取值范围； （3）若对任意实数，二次函数，恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义，将函数表达式代入，整理为一元二次方程，求解该方程的实数根，即为所求不动点. （2）先根据不动点定义整理得到对应的一元二次方程，因为函数在区间内仅有一个不动点，所以转化为该一元二次方程在区间内仅有一个实数根的问题，结合二次函数零点存在性定理，分析根的分布情况，推导的取值范围. （3）根据不动点定义整理得到关于的一元二次方程，因为对任意实数，函数恒有不动点，所以该方程对任意实数恒有实数解，利用一元二次方程判别式恒非负的条件，结合关于的二次式恒成立的要求，从而推导的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，令，整理得，解得或. 所以二次函数 的不动点为和. 【小问2详解】 根据题意，令，整理得，解得. 当，即时，此时有唯一解，在区间内，满足条件. 当时，此时仅有一个根落在区间内： 令，由零点存在性定理得. 整理得，解得或. 验证区间端点边界值： 当时，两根为，仅有，符合条件. 当时，两根为，仅有，符合条件. 当或时，两根均不在区间内，不符合条件. 综上所述，t 的取值范围是或或. 【小问3详解】 根据题意，令，整理得，. 因为该方程对任意实数都有实数根，因此恒有，即. 上式为关于的二次不等式，对任意实数恒成立， 因此该二次函数开口向上且，解得. 21. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数” （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. 【小问1详解】 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 【小问2详解】 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即①， 当时，，则，即②. 所以①或②有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. 【小问3详解】 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $