精品解析：北京清华大学附属中学创新班2026-2027学年七年级上学期期中试卷数学（二）

初一第一学期期中试卷 数学（二） 2026．11 一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：B． 2. 下列各组单项式中不是同类项的为（ ） A. 23与32 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，是同类项，故B不符合题意； 与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，是同类项，故C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：A、由可得出或，所以A选项不符合题意． B、当时恒成立，而不一定成立，所以B选项不符合题意． C、由可得出，故C选项符合题意． D、由可得出，所以D选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（ ） A. 点的左侧 B. 点的右侧 C. 点与点之间且靠近点 D. 点与点之间且靠近点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值的意义，根据得出异号，再根据得出数轴表示的点离远点的距离小于表示的点离远点的距离，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 异号， ， 数轴表示的点离远点的距离小于表示的点离远点的距离， 该数轴的原点的位置应该在点与点之间且靠近点， 故选：C． 5. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m-1；　　②；　③；　④40m+10=43m+1，其中符合题意的是（ 　） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案． 【详解】解：根据总人数列方程，应是40m＋10＝43m＋1，①错误，④正确； 根据客车数列方程，应该为，②错误，③正确； 所以正确的是③④． 故答案为D． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键． 6. 已知，均为关于，的三次三项式，若，则的结果不可能是（ ） A. 三次五项式 B. 三次四项式 C. 二次五项式 D. 二次四项式 【答案】C 【解析】 【分析】以的三次项仅含为突破口，分情况讨论的次数与项数的可能性． 【详解】解：，三次项为，二次项为，常数项为， 是关于，的三次三项式，最高次项次数为，共项， 若含以外的三次项，则该类项无同类项抵消，为三次多项式，调整的项与的项的同类项关系，可得到三次五项式、三次四项式，故A、B可能； 若为二次多项式，则的所有三次项需全部抵消，即的三次项只能是（仅项），此时剩余项均为不高于二次的项， 的非三次项共项，与的个低次项合并后，最多有项（无同类项时），即最多为二次四项式，不可能为二次五项式，故D可能，C不可能． 7. 如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长（ ） A. 正方形① B. 正方形② C. 正方形③ D. 正方形④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，列出阴影部分周长之差是关键． 设正方形纸片①②③④的边长分别为、、、，列出两个阴影部分的周长之差进行化简即可得出结果． 【详解】解：如图，设正方形纸片①②③④的边长分别为、、、， 右上角阴影部分的周长为：， 左下角阴影部分的周长为：， 两块阴影部分的周长之差 ， 要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道编号为②正方形的边长， 故选：B． 8. 一台数字机器的工作规则如下：输入三个有理数a，b，c，机器依次输出，，的值，分别记为p，q，r，给出下面四个结论： ①若，则； ②若p，q，r中恰有两个相等，则a，b，c中也恰有两个相等； ③若，则； ④若p，q，r均为整数，且其中恰有两个奇数，则a，b，c均为整数． 上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，的关系，逐一推导四个结论的正确性． 【详解】解：由题意得，，． ① ， ∵ ， ∴ ，即，故①正确． ② 若，则，得， 由得，即， ∵ ，∴ ，即，恰有两个相等； 同理，若，得；若，得，均符合恰有两个相等，故②正确． ③ 若，则， 由得， 由得， ∴ ，故③错误． ④ ∵ 均为整数， ∴ ，，． 若恰有两个奇数，即两奇一偶， 则任意两数之和减第三个数的结果均为偶数， 故均为整数，故④正确． 综上，正确结论是①②④，共3个． 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 用四舍五入法把2.818精确到百分位，所得到的近似数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】精确到百分位需观察千分位数字，按照四舍五入规则取近似值． 【详解】解：用四舍五入法把2.818精确到百分位，所得到的近似数为． 10. 某型号芯片的封装标准厚度为，封装的实际厚度与标准厚度的差值记为“厚度偏差”，现有五个芯片的“厚度偏差”记录如下（单位：）：①，②，③，④，⑤，其中实际封装厚度最接近标准厚度的是__________（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的应用． 实际厚度最接近标准厚度即厚度偏差的绝对值最小，比较各偏差的绝对值即可． 【详解】解：计算各厚度偏差的绝对值： ①， ②， ③， ④， ⑤， 其中绝对值最小的是②， 故答案为：②． 11. 若关于x、y的多项式 化简后不含项，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，根据化简后不含的项，即的系数为0，进而可求解． 【详解】解： ， ∵化简后不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程，对于任意有理数，总是该方程的解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，由可以取得任意值，则取，，可得a和b的值，再代入即可求解． 【详解】解：∵是对任意有理数都成立的方程的解， ∴将代入原方程，得到的等式对任意有理数都成立， 将代入原方程，得， 当时，代入得， 整理得， 解得， 当时，代入得， 整理得， 将代入得， 解得， ∴． 13. 若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将新方程组中的和看作原方程组对应的未知数，结合原方程组的解构造关于，的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设，则方程组可化为， ∵原方程组的解为， ∴方程组的解为， 即， 解得． 14. 若存在3个互不相同的有理数，，，使得 ，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段法化简含绝对值的表达式，分析各区间内表达式的取值特点，确定满足存在三个不同自变量对应同一函数值的常数． 【详解】解：令得；令得；令得； 根据临界点将数轴分为四个区间，分别化简表达式： 当时，原式，该式中每个值仅对应一个， 当时，原式，该式中每个值仅对应一个， 当时，原式，该区间内无论取何值，表达式恒为1，可选取无数个不同的有理数满足等式， 当时，原式，该式中每个值仅对应一个， ∵题目要求存在3个互不相同的有理数使得表达式值均为， ∴其余区间的表达式均为随变化的一次式，每个最多对应两个不同的，无法满足三个数的要求， ∴只有当表达式在某一区间内为常数时，才能选取三个不同的满足条件，即． 15. 若关于的三个方程都有唯一解，且这三个解互不相等，将它们从小到大排列后，相邻两个解的差相等，则称这三个方程构成“阶梯方程”．已知关于的三个方程： ；；．下面四个结论中： ①当，时，这三个方程构成“阶梯方程”；②若这三个方程构成“阶梯方程”，且的解介于另外两个方程的解之间，则；③存在整数，，使这三个方程构成“阶梯方程”，且它们的解之和为0；④若这三个方程构成“阶梯方程”，且它们的解都是非负整数，则满足条件的数对共有对．所有正确结论的序号是_________． 【答案】 ②④ 【解析】 【分析】先分别求解三个方程的唯一解，结合“阶梯方程”的定义，再逐一验证四个结论． 【详解】解：方程， 移项得，对任意均有唯一解； 方程， ∵当时，左边为非负数，右边为负数， ∴方程无解； ∵当时，外层绝对值展开得， ∴，解得，为唯一解； 方程， ∵当时，方程变为，有无穷多解，不符合要求， ∴，此时两边除以得，为唯一解； ① 当，时，，三解相等，不满足“互不相等”的要求，故①错误； ② 若介于另外两个解之间，则， 即，解得，故②正确； ③ 三个解的和为， ∵， ∴，则不可能为，故③错误； ④ 若为中间项，则，即，得，此时需满足（否则，三解相等）； 若为中间项，则，代入得，化简得， ∵， ∴，即，且，； 若为中间项，则，代入得，化简得， ∵， ∴，即，结合得，且； 若解均为非负整数，则，， ∴， ∵，， ∴的可能整数值为，，，，， 当时，对应，，，，，共个数对； 当时，需，且，，则，，，得对应，，，共个数对； 当时，需，且，则，，，得对应，，，共个数对； ∴总计个数对，故④正确； 综上，所有正确结论的序号是②④ ． 16. 为迎接附中建校111周年活动，创客社团的小华同学计划用一台3D打印机制作模型进行展示，各个模型所需的工序不同，各工序所需时间如下表所示： 模型 时间/min 流程 打印 冷却 组装喷漆 固化 打磨抛光 甲 20 无 无 无 无 乙 25 30 无 无 20 丙 10 30 20 30 20 已知制作每个模型时，所需工序须按照上表从左往右依次进行（跳过无需进行的工序），每道工序一旦开始不能中断，完成后才能进行下一道工序．冷却及固化两项工序不需要人工操作，其余工序需要人工操作．当某个模型正在进行不需要人工操作的工序时，小华可去制作其他模型．在不考虑其他因素的前提下，若只制作乙模型，则需要____________min完成；若制作三个模型，则最少需要__________min完成． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先明确各模型的工序流程，区分人工工序与自动工序，结合工序不可中断、自动工序无需人工的规则，通过合理安排人工工序的顺序，最小化总完成时间． 【详解】解：仅制作乙模型时，工序按顺序为打印→冷却→打磨抛光，各工序依次进行，总时间为． 制作三个模型时，先梳理各模型的工序属性： 甲：仅需人工打印20min，完成即结束． 乙：人工打印25min→自动冷却30min→人工打磨抛光20min． 丙：人工打印10min→自动冷却30min→人工组装喷漆20min→自动固化30min→人工打磨抛光20min． 最优工序安排如下： ：完成丙的打印，丙开始自动冷却（）． ：完成乙的打印，乙开始自动冷却（）． ：等待丙的冷却完成． ：完成丙的组装喷漆，丙开始自动固化（）． ：完成甲的打印，甲制作完成． ：完成乙的打磨抛光，乙制作完成． ：完成丙的打磨抛光，丙制作完成． 综上，三个模型全部完成的最少时间为． 三．解答题（本题共72分，第17题6分，第18题5分，第19题9分，第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握基本运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先计算乘方和绝对值里面的，同时运用乘法分配律进行简便运算，最后进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 19. 解方程（组）： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得，， 即，解得， 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 移项得：， 解得． 20. 已知关于的方程，当为何值时，方程无解． 【答案】当时，方程无解 【解析】 【分析】方程整理得，从而可得，再结合该方程无解，得出，且，计算即可得出结果． 【详解】解：方程整理得， ∴， ∴， ∵该方程无解， ∴，且， 解得， 解得， 综上所述，当时，方程无解． 21. 已知关于的代数式，． （1）求证：对于任意的值，代数式的值恒大于的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵对于任意实数，， ∴，即， ∴对于任意的值，代数式的值恒大于的值； （2） 【解析】 【分析】（1）作差计算，直接利用平方的非负性证明差恒正； （2）先化简的表达式，结合已知条件求出的值，再代入计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴ 整理得， 将代入，得． 22. 对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． 例如． （1）      ，      ； （2）比较大小：       （填“>”“<”或“=”）； （3）       ． 【答案】（1）2，2 （2）= （3）5 【解析】 【分析】根据新定义法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 故， 【小问3详解】 解：∵，，，， ，，． ∴ ， 23. 如图，牛顿摆由七根等距离的等长细线分别连接一颗相同大小的铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点，将牛顿摆放在数轴上方， 铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上表示的数分别为，． （1）若，，则铁球⑦的最低点在数轴上表示的数为 ； （2）点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点之间距离的2倍，直接写出点在数轴上表示的数．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出相邻两个铁球的最低点之间的距离为2，然后求解即可； （2）先算出点到铁球⑦的距离为，再分类讨论：当点在铁球⑦的左边时；当点在铁球⑦的右边时；运用数轴上两点之间距离的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴铁球①与铁球⑤的最低点的距离为， ∴相邻两个铁球的最低点之间的距离为， ∴铁球⑦的最低点在数轴上表示的数为； 【小问2详解】 解：根据题意得，铁球①与铁球⑤的最低点的距离为， ∴相邻两个铁球的最低点之间的距离为， ∴铁球⑦的最低点在数轴上表示的数为， 根据题意得，点到铁球⑦的距离为， ∴当点在铁球⑦的左边时，； 当点在铁球⑦的右边时，； 综上所述，点在数轴上对应的数为或． 24. 如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： （1）方程是          方程； （2）已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； （3）若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是           方程． 【答案】（1） 分 （2） 不可能，理由如下： 假设该方程是“整”方程，则其解为， 将代入，得， 即，解得， ∵为整数， ∴不符合题意， ∴该方程不可能是“整”方程． （3） 整 【解析】 【分析】（1）求解方程得到解，根据定义判断方程类型； （2）假设方程是“整”方程，代入解求，结合为整数的条件判断是否成立； （3）利用第一个方程的解得到，，，的数量关系，代入第二个方程求解，再根据定义判断类型． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵不是整数， ∴该方程是“分”方程； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵方程是“分”方程， ∴该方程的解为， 将代入，得 ， ∴， ∴， 解方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是整数， ∴该方程是“整”方程． 25. 某地区组织人形机器人半程马拉松比赛．赛事包括自主导航组与遥控组，每支队伍同一时间只能派出一个机器人参加比赛（中途允许更换电池或更换机器人），罚时规则如下： 当次罚时/分钟 累计罚时/分钟 更换电池 第一次 5 5 第二次 10 15 更换机器人 第一次 15 15 第二次 20 35 （每支队伍至多更换两次电池，至多更换两次机器人，否则取消成绩） 每支队伍的总成绩按如下方式计算：总成绩=（实际跑步用时+罚时）×加权系数，其中，自主导航组队伍加权系数为1，遥控组队伍加权系数为，如果自主导航组队伍人工干预（含更换电池，机器人和其他人工操作）累计超次，按遥控组队伍加权系数进行计算． （1）某自主导航组队伍在比赛中更换1次电池，并更换1次机器人，人工干预未超过3次，另一支遥控组队伍无任何罚时．已知这两支队伍的实际跑步用时之和为分钟，且总成绩相同，求该自主导航组队伍的实际跑步用时； （2）某自主导航组队伍的总成绩为90分钟，已知该队伍在比赛中更换电池只有一次，且实际跑步用时超过50分钟，直接写出该队伍所有可能的实际跑步用时． 【答案】（1）该自主导航组队伍的实际跑步用时为分钟． （2）该队伍所有可能的实际跑步用时为分钟、分钟、分钟． 【解析】 【分析】（1）设自主导航组实际跑步用时为未知数，根据两支队伍总成绩相等列一元一次方程求解． （2）按人工干预累计是否超过3次分两类，结合更换机器人的不同次数计算实际用时，筛选出大于50分钟的结果． 【小问1详解】 解：设该自主导航组队伍的实际跑步用时为分钟，则遥控组队伍的实际跑步用时为分钟．依题意得： ． 解得． 答：该自主导航组队伍的实际跑步用时为76分钟． 【小问2详解】 解：设该队伍的实际跑步用时为分钟，由题意得．已知更换电池1次，电池罚时为5分钟；更换机器人次数可取0、1、2，对应总罚时分别为分钟、分钟、分钟．分两种情况讨论：①当人工干预累计不超过3次时，加权系数为1．由总成绩为90分钟，得． 总罚时5分钟： ，，符合； 总罚时20分钟： ，，符合； 总罚时40分钟： ，不满足，舍去． ②当人工干预累计超过3次时，加权系数为．由总成绩为90分钟，得，即． 总罚时5分钟： ，，符合； 总罚时20分钟： ，，符合； 总罚时40分钟： ，不满足，舍去． 综上所述，该队伍所有可能的实际跑步用时为分钟、分钟、分钟． 26. 对于数轴上的点和正数给出如下定义：若点在数轴上沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，则称与是点的对称数，记作．例如原点的对称数是． （1）若点表示，则       ； （2）若点表示，，则的值为        ； （3）已知，，若点和点同时从原点出发，在数轴上均沿正方向移动，且点的速度是点速度的倍，当时，直接写出点表示的数． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）依据对称数的定义，代入点表示的数与计算，； （2）先由的值求出，再计算的值； （3）设点表示的数为，由速度关系得点表示的数为，结合定义代入绝对值方程分情况求解． 【小问1详解】 解：∵点表示的数为，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点表示的数为，， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 解：设点表示的数为， ∵点的速度是点速度的倍，同时从原点出发沿正方向移动， ∴点表示的数为，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， 当时，，解得， 此时点表示的数为； 当时，，解得， 此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或． 27. 匹克球是一项类似网球、羽毛球的隔网对抗球类运动，小清想为学部匹克球赛设计赛程，查阅资料获得信息如下： a．是全球匹克球官方评级系统，其评级分数越高代表选手实力越强，系统会根据每场比赛的结果，对每位参赛选手的评级分数进行动态调整．小清决定用以下简化规则来模拟这一调整过程： ①双打队伍的评级分数等于该队两名队员个人评级分数的平均值； ②设两队评级分数之差为（强队评级分数减弱队评级分数），系统据此预测弱队本场比赛得分为； ③设弱队本场比赛实际得分为，则赛后弱队每名队员的评级分数加上预测得分，强队每名队员的评级分数减去这一数值． b．“超八”赛制是一种常见的匹克球社交双打赛制，受此启发，小清规定“完美赛程”如下：当（为整数，且）名球员参加随机双打比赛时（每场4人，每队各2人隔网对抗），满足任意两名选手恰好搭档1次，且任意两名选手恰好对抗2次． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知A、B、C、D四名选手进行比赛，赛前他们的评级分数如下表所示： 评级分数 A B C D 赛前 ①若A与B组队，与C、D组成的队伍进行一场双打评级赛，A所在队以告负，根据上表中的评级分数可知，C赛后的评级分数为            ； ②若这四名选手要实现“完美赛程”，则共需进行         场比赛； （2）A、B、C、D、E五名选手进行比赛，能否实现“完美赛程”？若能，请给出一种比赛对阵表（如第一场对阵…）；若不能，请说明理由； （3）下列说法正确的有         （填序号）： ①若有6名选手进行比赛，则可以实现“完美赛程”； ②若某“完美赛程”共进行了60场比赛，则参加比赛的选手共有16人； ③若某赛程满足任意两名选手恰好搭档1次，则任意两名选手也一定恰好对抗2次． 【答案】（1）①；②3． （2）可以实现， ∵， ∴，解得：，满足条件； 对阵表如下： 场次 对阵 轮空 第 1 场 对阵 E 第 2 场 对阵 D 第 3 场 对阵 B 第 4 场 对阵 C 第 5 场 对阵 A （3）② 【解析】 【分析】（1）①先求出、队的平均分，易得强队为，；求出弱队预测得分：分；由已知条件可得弱队实际得分，再求出C赛后的评级分数即可；②根据“完美赛程”的定义求解即可； （2）先根据“完美赛程”的定义判断，然后再列出对阵表即可； （3）根据“完美赛程”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵队的平均分为：； 队的平均分为：； ∴强队为，． 弱队预测得分：，实际得分． 计算调整量． ①强队队员分数减去该值，C 赛后分数：； ②核心结论：每位选手要和其余所有人恰好搭档一次，每人参赛场次为；每场有 4 个参赛人次，共需进行T场，则总人次满足 ，，，解得：，共 场． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，，不能被 4 整除，不可以实现“完美赛程”，故①说法错误； ②场次，，即，正整数解，故②说法正确； ③ “恰好搭档一次” 只能推出每位选手的总对抗次数之和为定值，不能保证每一对选手都恰好对抗 2 次，故③说法错误． 28. 将从小到大排列的前n个（n为整数且）正整数各使用一次，填入从左到右编号依次为1，2，…，n的n个方格中，得到数组，，…，．记，称D为这个数组的“错位距离”．例如当时，若数组为2，3，1，4，则该数组的“错位距离”． （1）当n时，若数组为3，5，1，2，4，则该数组的“错位距离”          ； （2）求证：无论n取何值，无论1，2，…，n如何排列，数组的“错位距离”必为偶数； （3）当时，要求每个方格中填入的数都不等于该方格的编号，且不存在两个方格所填数字恰好为对方的编号．对于所有符合条件的数组，直接写出“错位距离”的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）证明： ∵将从小到大排列的前n个（n为整数且）正整数各使用一次，填入从左到右编号依次为1，2，…，n的n个方格中，得到数组，，…，， ∴， ∴是偶数， ∵对任意整数，与的奇偶性相同. ∴与的奇偶性相同， ∴无论如何排列，必为偶数； （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据“错位距离”的定义计算即可； （2）根据“对任意整数，与的奇偶性相同”进行证明即可； （3）数组为2026，1014，1015，1016，…，2025，1，2，3，…，1012，1013时即可取得最大值；3个连续数的总错位距离最小为，同理个连续数的总错位距离最小为，据此求最小值即可． 【小问1详解】 解：当n时，若数组为3，5，1，2，4，则该数组的“错位距离”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：从小到大排列的前个数中，正中间的两个数是和， 所以数组为2026，1014，1015，1016，…，2025，1，2，3，…，1012，1013时“错位距离”取得最大值，此时 ； ∵当时，要求每个方格中填入的数都不等于该方格的编号，且不存在两个方格所填数字恰好为对方的编号．要使最小，需每个数与对应编号的差的绝对值尽量小， 所以3个连续数组成的符合条件的排列， 设3个连续数为，放到对应的组别里面，则总错位距离最小为，即3个连续数的总错位距离最小为， 同理个连续数的总错位距离最小为， ∵， 所以按3个连续数一组可以分成组，但是最后剩下一个必定等于本身方格的编号，不合题意； 按3个连续数一组可以分成组，但是最后剩下4个数，符合题意，此时“错位距离”取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一第一学期期中试卷 数学（二） 2026．11 一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组单项式中不是同类项的为（ ） A. 23与32 B. 与 C. 与 D. 与 3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，且，那么该数轴的原点的位置应该在（ ） A. 点的左侧 B. 点的右侧 C. 点与点之间且靠近点 D. 点与点之间且靠近点 5. 有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m-1；　　②；　③；　④40m+10=43m+1，其中符合题意的是（ 　） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 6. 已知，均为关于，的三次三项式，若，则的结果不可能是（ ） A. 三次五项式 B. 三次四项式 C. 二次五项式 D. 二次四项式 7. 如图，在一个大长方形中放入四个边长不等的正方形①、②、③、④，若要求出图中两块阴影部分的周长之差，则只需知道下列哪个正方形的边长（ ） A. 正方形① B. 正方形② C. 正方形③ D. 正方形④ 8. 一台数字机器的工作规则如下：输入三个有理数a，b，c，机器依次输出，，的值，分别记为p，q，r，给出下面四个结论： ①若，则； ②若p，q，r中恰有两个相等，则a，b，c中也恰有两个相等； ③若，则； ④若p，q，r均为整数，且其中恰有两个奇数，则a，b，c均为整数． 上述结论中，所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 用四舍五入法把2.818精确到百分位，所得到的近似数为__________． 10. 某型号芯片的封装标准厚度为，封装的实际厚度与标准厚度的差值记为“厚度偏差”，现有五个芯片的“厚度偏差”记录如下（单位：）：①，②，③，④，⑤，其中实际封装厚度最接近标准厚度的是__________（填序号）． 11. 若关于x、y的多项式 化简后不含项，则__________． 12. 已知关于x的方程，对于任意有理数，总是该方程的解，则________． 13. 若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 14. 若存在3个互不相同的有理数，，，使得 ，则的值为_________． 15. 若关于的三个方程都有唯一解，且这三个解互不相等，将它们从小到大排列后，相邻两个解的差相等，则称这三个方程构成“阶梯方程”．已知关于的三个方程： ；；．下面四个结论中： ①当，时，这三个方程构成“阶梯方程”；②若这三个方程构成“阶梯方程”，且的解介于另外两个方程的解之间，则；③存在整数，，使这三个方程构成“阶梯方程”，且它们的解之和为0；④若这三个方程构成“阶梯方程”，且它们的解都是非负整数，则满足条件的数对共有对．所有正确结论的序号是_________． 16. 为迎接附中建校111周年活动，创客社团的小华同学计划用一台3D打印机制作模型进行展示，各个模型所需的工序不同，各工序所需时间如下表所示： 模型 时间/min 流程 打印 冷却 组装喷漆 固化 打磨抛光 甲 20 无 无 无 无 乙 25 30 无 无 20 丙 10 30 20 30 20 已知制作每个模型时，所需工序须按照上表从左往右依次进行（跳过无需进行的工序），每道工序一旦开始不能中断，完成后才能进行下一道工序．冷却及固化两项工序不需要人工操作，其余工序需要人工操作．当某个模型正在进行不需要人工操作的工序时，小华可去制作其他模型．在不考虑其他因素的前提下，若只制作乙模型，则需要____________min完成；若制作三个模型，则最少需要__________min完成． 三．解答题（本题共72分，第17题6分，第18题5分，第19题9分，第题每题5分，第题每题6分，第题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程（组）： （1）； （2）； （3）． 20. 已知关于的方程，当为何值时，方程无解． 21. 已知关于的代数式，． （1）求证：对于任意的值，代数式的值恒大于的值； （2）已知，求的值． 22. 对于有理数，，定义一种新运算“”，规定． 例如． （1）      ，      ； （2）比较大小：       （填“>”“<”或“=”）； （3）       ． 23. 如图，牛顿摆由七根等距离的等长细线分别连接一颗相同大小的铁球组成．在牛顿摆静止状态下，可将每个小铁球的最低处抽象成点，将牛顿摆放在数轴上方， 铁球①与铁球⑤的最低点在数轴上表示的数分别为，． （1）若，，则铁球⑦的最低点在数轴上表示的数为 ； （2）点是数轴上的一点，若点到铁球⑦最低点的距离是铁球①与⑤最低点之间距离的2倍，直接写出点在数轴上表示的数．（用含，的代数式表示） 24. 如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： （1）方程是          方程； （2）已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； （3）若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是           方程． 25. 某地区组织人形机器人半程马拉松比赛．赛事包括自主导航组与遥控组，每支队伍同一时间只能派出一个机器人参加比赛（中途允许更换电池或更换机器人），罚时规则如下： 当次罚时/分钟 累计罚时/分钟 更换电池 第一次 5 5 第二次 10 15 更换机器人 第一次 15 15 第二次 20 35 （每支队伍至多更换两次电池，至多更换两次机器人，否则取消成绩） 每支队伍的总成绩按如下方式计算：总成绩=（实际跑步用时+罚时）×加权系数，其中，自主导航组队伍加权系数为1，遥控组队伍加权系数为，如果自主导航组队伍人工干预（含更换电池，机器人和其他人工操作）累计超次，按遥控组队伍加权系数进行计算． （1）某自主导航组队伍在比赛中更换1次电池，并更换1次机器人，人工干预未超过3次，另一支遥控组队伍无任何罚时．已知这两支队伍的实际跑步用时之和为分钟，且总成绩相同，求该自主导航组队伍的实际跑步用时； （2）某自主导航组队伍的总成绩为90分钟，已知该队伍在比赛中更换电池只有一次，且实际跑步用时超过50分钟，直接写出该队伍所有可能的实际跑步用时． 26. 对于数轴上的点和正数给出如下定义：若点在数轴上沿负方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，沿正方向移动个单位长度后所在位置点表示的数是，则称与是点的对称数，记作．例如原点的对称数是． （1）若点表示，则       ； （2）若点表示，，则的值为        ； （3）已知，，若点和点同时从原点出发，在数轴上均沿正方向移动，且点的速度是点速度的倍，当时，直接写出点表示的数． 27. 匹克球是一项类似网球、羽毛球的隔网对抗球类运动，小清想为学部匹克球赛设计赛程，查阅资料获得信息如下： a．是全球匹克球官方评级系统，其评级分数越高代表选手实力越强，系统会根据每场比赛的结果，对每位参赛选手的评级分数进行动态调整．小清决定用以下简化规则来模拟这一调整过程： ①双打队伍的评级分数等于该队两名队员个人评级分数的平均值； ②设两队评级分数之差为（强队评级分数减弱队评级分数），系统据此预测弱队本场比赛得分为； ③设弱队本场比赛实际得分为，则赛后弱队每名队员的评级分数加上预测得分，强队每名队员的评级分数减去这一数值． b．“超八”赛制是一种常见的匹克球社交双打赛制，受此启发，小清规定“完美赛程”如下：当（为整数，且）名球员参加随机双打比赛时（每场4人，每队各2人隔网对抗），满足任意两名选手恰好搭档1次，且任意两名选手恰好对抗2次． 根据以上信息，解决下列问题： （1）已知A、B、C、D四名选手进行比赛，赛前他们的评级分数如下表所示： 评级分数 A B C D 赛前 ①若A与B组队，与C、D组成的队伍进行一场双打评级赛，A所在队以告负，根据上表中的评级分数可知，C赛后的评级分数为            ； ②若这四名选手要实现“完美赛程”，则共需进行         场比赛； （2）A、B、C、D、E五名选手进行比赛，能否实现“完美赛程”？若能，请给出一种比赛对阵表（如第一场对阵…）；若不能，请说明理由； （3）下列说法正确的有         （填序号）： ①若有6名选手进行比赛，则可以实现“完美赛程”； ②若某“完美赛程”共进行了60场比赛，则参加比赛的选手共有16人； ③若某赛程满足任意两名选手恰好搭档1次，则任意两名选手也一定恰好对抗2次． 28. 将从小到大排列的前n个（n为整数且）正整数各使用一次，填入从左到右编号依次为1，2，…，n的n个方格中，得到数组，，…，．记，称D为这个数组的“错位距离”．例如当时，若数组为2，3，1，4，则该数组的“错位距离”． （1）当n时，若数组为3，5，1，2，4，则该数组的“错位距离”          ； （2）求证：无论n取何值，无论1，2，…，n如何排列，数组的“错位距离”必为偶数； （3）当时，要求每个方格中填入的数都不等于该方格的编号，且不存在两个方格所填数字恰好为对方的编号．对于所有符合条件的数组，直接写出“错位距离”的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $