精品解析：甘肃陇南市宕昌县第二中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，是存在量词命题的为（ ） A. 至少有一个质数是偶数 B. 菱形的两条对角线相等 C. 每个能被2整除的数都是偶数 D. 平面上任意两条直线必有交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的定义判断即可. 【详解】由“至少有一个”为存在量词，所以命题“至少有一个质数是偶数”为存在量词命题. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中有个元素，其子集个数有个，代入计算即可. 【详解】由题可知，集合中有个元素，所以其子集个数为个. 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】因为且， 所以，故充分性满足； 当时，不能推出且， 如，此时，但不满足且， 所以必要性不满足， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A选项，由题意，在上单调递增，在上单调递减， 不知道是否关于直线对称，故无法比较与的大小，错误； 对于B选项，由偶函数性质得，，在上单调递增， 所以，错误； 对于C选项，由偶函数性质得，，在上单调递减， 所以，正确； 对于D选项，由偶函数性质得，，在上单调递增， 所以，错误. 5. 将44写成两个正数的乘积，则这两个正数的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得这两个正数和的最小值. 【详解】设这两个正数分别为、，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，这两个正数和的最小值为. 6. 若函数在上的最大值小于4，则在上的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的范围，再根据判别式的正负判断方程根的个数，即可得函数的零点个数. 【详解】因为图象的开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 解得， 令，得， 因为， 所以方程有两个不等实数根， 即函数在上有2个零点. 7. 学校组织“卫星仿真设计”“深空文献研读”两项航天实践活动，某班有名学生报名参加，每名学生至少参加其中一项活动．已知该班有名学生参加“卫星仿真设计”活动，有名学生参加“深空文献研读”活动，有名学生同时参加了这两项活动，且，则的取值可能为（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，则． 由，得，则． 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数在实数集上单调递减的要求，分别分析两段函数的单调性，结合分段点的函数值衔接条件列不等式组求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 则有，解得. 故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，在下列四个图形中，能表示到的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A：由图知对于区间 内的每一个 值，都有两个 值与之对应，与函数的定义矛盾，故A错误； 对于B：由图知，对于 中的每一个 ，都有唯一的 值与之对应，且的取值范围是，符合函数的定义，故B正确； 对于C：由图知，对于 中的每一个 ，都有唯一的 值与之对应，且的取值范围是，符合函数的定义，故C正确； 对于D：由图知，对于内的每一个 值，都有两个 值与之对应，与函数的定义矛盾，故D错误. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由可知，，故， 选项A，因为，故，因为，则，故A正确； 选项B，，故，B正确； 选项C，取，则，故C错误； 选项D，，则，因为，则； 故，D正确． 11. 已知函数，且，则的值可能为（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，分区间讨论的取值范围，建立方程求解满足的值，再计算对应的值，匹配选项即可. 【详解】恒成立， 当，即时，由得， 方程无解，故无满足条件的； 当且，即时， 由得， 解得或（舍去）； 当时，由得， 解得. 综上，满足条件的有. 所以当时，； 当时，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 又当时，，故，. 13. 若关于的不等式的解集为，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知不等式的解集为， 由此可知：一元二次方程的两个根为，，且， 由韦达定理得，解得， 所以. 14. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“交离”．已知集合，，若与“交离”，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】解方程可得，结合“交离”定义对集合中的元素分析即可求解. 【详解】，即，解得或， 所以， 当时，，此时，不符合题意， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 所以或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合． （1）求； （2）写出命题，的否定，判断的否定的真假，并说明理由． 【答案】（1）且 （2），，的否定为真命题 【解析】 【分析】（1）利用二次根式被开方数大于等于零，分式分母不为零即可求解； （2）根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可写出的否定，化简不等式即可判断真假. 【小问1详解】 函数需满足，解得且， 所以函数的定义域为且. 【小问2详解】 命题的否定为，， 化简不等式，得到， 对任意，都有，不等式恒成立， 所以是真命题. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法，解出集合A的取值范围，根据交集与补集的定义进行计算； （2）通过可得集合是集合的子集，通过子集关系求解参数的取值范围． 【小问1详解】 由可知，，解得； 当时，，则； 则； 【小问2详解】 若，则， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上，的取值范围为． 17. 已知的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2）函数在上单调递减； 证明：设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）求出在的单调性即可求出值域. 【小问1详解】 令，由于， 所以， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 所以， 故在上的值域为 18. 已知正数，满足． （1）证明：为定值． （2）求的最小值． （3）若不等式恒成立，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）因为，两边同时除以得到，所以为定值. （2）1 （3）当或时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）等式两边同除以，直接变形得到的值，证明定值； （2）利用，把换成，再用1的代换结合基本不等式求最小值； （3）不等式恒成立说明，得到t的范围，再分类讨论解含参数一元二次不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入得到， 则由基本不等式可得 当且仅当，即时取等， 联立，得到满足正数条件， 所以的最小值为1. 【小问3详解】 因为不等式恒成立，所以，即， 对不等式，分类讨论： 当时，化得恒成立，解集为； 当时，化得恒成立，解集为； 当时，两边同时除以得到，得到或，解集为； 当时，两边同时除以得到，得到，解集为； 综上所述，当或时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19. 已知函数的定义域为．若对任意，都有，则称为对偶函数． （1）证明：函数是对偶函数． （2）已知函数满足． ①证明：“是偶函数”是“是对偶函数”的必要不充分条件． ②若对偶函数在上单调递增，且，求的取值范围． 【答案】（1），定义域为，所以，， 故对任意，都有，即是对偶函数； （2）①在定义式中令，得， 由，两边同除以，得， 证明必要性：在定义式中令、任意，得， 得，对任意成立，即是偶函数，必要性成立； 证明不充分性：取，定义域为，满足，是偶函数， 但对任意，，， 令，左端为，右端为，两端不等，故不是对偶函数，充分性不成立； 综上，“是偶函数”是“是对偶函数”的必要不充分条件； ② 【解析】 【分析】（1）把常函数直接代入定义式，验证等式两端同为常数，即可完成证明； （2）①先用赋值法确定，再令导出得必要性，最后以作反例否定充分性； ②用和化积公式把四个函数值压成两个乘积式，借约去公共因式，再由偶函数与单调性把函数值大小的比较转化为求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由第（2）①知，原不等式化为， 在定义式中令、，得恒等式， 分别取、与、，得，， 得，整理得， 因为，且在上单调递增、，所以， 两边同除以，不等号方向不变，得， 由第（2）①知是偶函数，又它在上单调递增，故， 代入得，因为，所以， 当时，不等式化为，即，无解； 当时，不等式化为，解得，即； 综上，得的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中，是存在量词命题的为（ ） A. 至少有一个质数是偶数 B. 菱形的两条对角线相等 C. 每个能被2整除的数都是偶数 D. 平面上任意两条直线必有交点 2. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，则（ ） A. B. C. D. 5. 将44写成两个正数的乘积，则这两个正数的和的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上的最大值小于4，则在上的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定的 7. 学校组织“卫星仿真设计”“深空文献研读”两项航天实践活动，某班有名学生报名参加，每名学生至少参加其中一项活动．已知该班有名学生参加“卫星仿真设计”活动，有名学生参加“深空文献研读”活动，有名学生同时参加了这两项活动，且，则的取值可能为（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，在下列四个图形中，能表示到的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且，则的值可能为（） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是奇函数，且当时，，则________． 13. 若关于的不等式的解集为，则______． 14. 当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“交离”．已知集合，，若与“交离”，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为集合． （1）求； （2）写出命题，的否定，判断的否定的真假，并说明理由． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知的定义域为，且． （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）求在上的值域． 18. 已知正数，满足． （1）证明：为定值． （2）求的最小值． （3）若不等式恒成立，求关于的不等式的解集． 19. 已知函数的定义域为．若对任意，都有，则称为对偶函数． （1）证明：函数是对偶函数． （2）已知函数满足． ①证明：“是偶函数”是“是对偶函数”的必要不充分条件． ②若对偶函数在上单调递增，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $