第2章 有理数三阶幻方的填数与求值专题复习讲义2026—2027学年苏科版七年级数学上册

2026—2027学年 苏科版七上 第2章 有理数 学生版 三阶幻方的填数与求值 目录 知识点详解 1 题型一、公共和与逐格补数 2 题型二、中心数与对称数求值 4 题型三、指定数集的填数与判断 6 A、基础判断 8 B、方法运用 8 C、综合探究 9 D、近年真题 9 知识点详解 一、三阶幻方的定义 本专题适用于学完有理数运算后的阅读与填数训练。将九个数填入三行三列的方阵，每行、每列及两条对角线上三个数的和均相等，称为三阶幻方；这个相等的和称为公共和。题目另有“每个数只用一次”的要求时，才须限制数字不能重复。 二、总和与中心数 九个数的总和是公共和的3倍。经过中心的中间行、中间列和两条对角线，共有4条线；把它们的和相加，除中心数计入4次外，其余八个数各计入1次。因此，4倍公共和等于九数总和加3倍中心数，从而公共和是中心数的3倍，九数总和是中心数的9倍。 三、相对于中心对称的两格 左上与右下、右上与左下、左中与右中、上中与下中各成一对。每一对与中心组成一条线，所以每对数之和都是中心数的2倍。四个角上的数之和是中心数的4倍；除中心外八个数之和是中心数的8倍。 四、填数后的完整检验 优先找只缺一个数的行、列或对角线；也可先用中心数补对称位置。最后须检验三行、三列和两条对角线，不能只检验行、列。若给定一个数集，还要逐个核对是否全部用到、有无重复；若要求所有填法，必须说明枚举范围和排除理由。 作答检查：公共和是否一致，两条对角线是否漏查，数字是否允许重复，所有填法是否找全。 题型一、公共和与逐格补数 先从已填满的一行、一列或一条对角线求公共和，再寻找只缺一个数的位置。 例1、 将下表补成三阶幻方，并写出公共和。       变式1、 将下表补成三阶幻方，并写出计算中心数的过程。       变式2、 将下表补成三阶幻方。小明说：“没有完整的一行或一列，无法确定公共和。”他的说法是否正确？       变式3、 小林填出的方阵如下。他检验了每行、每列，发现三个数的和均为15，因此认为它是三阶幻方。 （1）他的判断是否正确？说明理由。 （2）只交换其中两整行，能否将它改成三阶幻方？若能，写出交换方法。       题型二、中心数与对称数求值 不必每次补全九格。先找中心数，再利用相对于中心位置对称的两格之和。 例2、 如表是一个未填完的三阶幻方。求公共和、及九个数的总和。           变式1、 一个三阶幻方中九个数的总和为上方中间格填设下方中间格的数为四个角上的数之和为求           变式2、 在一个三阶幻方中，左上角和右下角分别为 （1）求公共和与中心数。 （2）若右上角填求左下角的数及四个角上各数的和。         变式3、 如表是一个未填完的三阶幻方。 （1）求中心数与 （2）补全后，仅将5与7交换位置，其他格不变，所得方阵还是三阶幻方吗？不必补全方阵，说明理由。           题型三、指定数集的填数与判断 先用总和确定公共和和中心数，再检查每个数是否恰好用一次；要求所有填法时，要说明没有遗漏。 例3、 将填入下表，每个数只用一次，使它成为三阶幻方。 （1）求公共和与中心数。 （2）补全方阵。       变式1、 将填入方阵，每个数只用一次，使它成为三阶幻方。小明已经填入两个数，如下表。 （1）保持这两个数的位置不动，只填其余各格，能完成吗？若不能，说明哪几个已填格必须改动。 （2）将已填的1与3交换位置后，能否完成？若能，给出一种填法。           变式2、 用九个连续偶数填成三阶幻方，每个数只用一次。已知中心数为2，右上角为4，右下角为求这九个偶数，并补全方阵。         变式3、 用1～9这九个整数填成三阶幻方，每个数只用一次。已知左上角填8，写出所有符合要求的填法，并说明为什么没有遗漏。                   A、基础判断 辨清中心数、公共和与九数总和的关系。 A1、 一个三阶幻方中，左上角填右下角填7，则中心数为（　　）。 A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．6     A2、 一个三阶幻方的公共和为第一行从左到右依次填4。求中心数及九个数的总和。         A3、 一个三阶幻方的中心数为求四个角上的数之和，以及除中心外其余八个数的总和。         B、方法运用 结合全部条件，检查填数的唯一性及运算后的变化。 B1、 将下表补成三阶幻方。本题允许数字重复。 小明认为：“中心数能确定，但其余各格无法唯一确定。”判断他的说法是否正确。       B2、 一个三阶幻方的公共和为把每一格中的数都先减去3，再变为所得数的相反数。 （1）得到的方阵还是三阶幻方吗？说明理由。 （2）求新方阵的中心数与九个数的总和。         C、综合探究 从行、列和的变化反推错误位置。 C1、 小明抄写一个三阶幻方时，只把其中一格的数写大了4，其他格均抄写正确。抄写后，三行的和从上到下分别为14、10、10，三列的和从左到右分别为10、14、10。 （1）哪一格抄错了？说明理由。 （2）若抄写后这一格中的数为6，求原来的数和原幻方的中心数。 （3）抄写后，两条对角线的和是否改变？说明理由。             D、近年真题 按题目给定的位置独立求值，不凭熟悉的九宫格套数。 D1、（2025—2026学年福建仙游片区七上期中第8题，据原题整理） 将填入的方格中，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。下表已填入部分数，则的值为（　　）。 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．     第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年 苏科版七上 第2章 有理数 解析版 三阶幻方的填数与求值 目录 知识点详解 1 题型一、公共和与逐格补数 2 题型二、中心数与对称数求值 4 题型三、指定数集的填数与判断 5 A、基础判断 7 B、方法运用 8 C、综合探究 9 D、近年真题 9 知识点详解 一、三阶幻方的定义 本专题适用于学完有理数运算后的阅读与填数训练。将九个数填入三行三列的方阵，每行、每列及两条对角线上三个数的和均相等，称为三阶幻方；这个相等的和称为公共和。题目另有“每个数只用一次”的要求时，才须限制数字不能重复。 二、总和与中心数 九个数的总和是公共和的3倍。经过中心的中间行、中间列和两条对角线，共有4条线；把它们的和相加，除中心数计入4次外，其余八个数各计入1次。因此，4倍公共和等于九数总和加3倍中心数，从而公共和是中心数的3倍，九数总和是中心数的9倍。 三、相对于中心对称的两格 左上与右下、右上与左下、左中与右中、上中与下中各成一对。每一对与中心组成一条线，所以每对数之和都是中心数的2倍。四个角上的数之和是中心数的4倍；除中心外八个数之和是中心数的8倍。 四、填数后的完整检验 优先找只缺一个数的行、列或对角线；也可先用中心数补对称位置。最后须检验三行、三列和两条对角线，不能只检验行、列。若给定一个数集，还要逐个核对是否全部用到、有无重复；若要求所有填法，必须说明枚举范围和排除理由。 作答检查：公共和是否一致，两条对角线是否漏查，数字是否允许重复，所有填法是否找全。 题型一、公共和与逐格补数 先从已填满的一行、一列或一条对角线求公共和，再寻找只缺一个数的位置。 例1、 将下表补成三阶幻方，并写出公共和。 【解析】 第一行的和为所以公共和为中间一列给出中心数为再由对角线求出右下角为左下角为由第一列求出中间左格为由第二行求出中间右格为补全后八条线的和均为 变式1、 将下表补成三阶幻方，并写出计算中心数的过程。 【解析】 第一列的和为由第一行得右上角为再由右上至左下的对角线，得中心数为其余各格依次补全如下。 变式2、 将下表补成三阶幻方。小明说：“没有完整的一行或一列，无法确定公共和。”他的说法是否正确？ 【解析】 不正确。左上至右下的对角线已填满，公共和为由第一行得右上角为由另一条对角线得左下角为再按行、列补数，结果如下。 变式3、 小林填出的方阵如下。他检验了每行、每列，发现三个数的和均为15，因此认为它是三阶幻方。 （1）他的判断是否正确？说明理由。 （2）只交换其中两整行，能否将它改成三阶幻方？若能，写出交换方法。 【解析】 （1）不正确。两条对角线的和分别为均不等于 （2）能。交换第一行与第二行后，得到下表。此时各行、各列以及两条对角线的和均为 题型二、中心数与对称数求值 不必每次补全九格。先找中心数，再利用相对于中心位置对称的两格之和。 例2、 如表是一个未填完的三阶幻方。求公共和、及九个数的总和。 【解析】 中心数为所以公共和为九个数的总和为左上角与右下角相对于中心对称，两数之和为故 变式1、 一个三阶幻方中九个数的总和为上方中间格填设下方中间格的数为四个角上的数之和为求 【解析】 中心数为上、下两个中间格相对于中心对称，所以四个角分成两组对称位置，故所以 变式2、 在一个三阶幻方中，左上角和右下角分别为 （1）求公共和与中心数。 （2）若右上角填求左下角的数及四个角上各数的和。 【解析】 （1）对称两格的和为所以中心数为公共和为 （2）左下角为两组对角位置的数之和均为因此四个角上的数之和为 变式3、 如表是一个未填完的三阶幻方。 （1）求中心数与 （2）补全后，仅将5与7交换位置，其他格不变，所得方阵还是三阶幻方吗？不必补全方阵，说明理由。 【解析】 中间一行的两端之和为它等于中心数的倍，所以中心数为公共和为由第一行可得 （2）不是。交换后，中间一行的和仍为但第一列的和比原来增加变为第三列的和则减少2，变为16，已不符合各行、各列等和的条件。 题型三、指定数集的填数与判断 先用总和确定公共和和中心数，再检查每个数是否恰好用一次；要求所有填法时，要说明没有遗漏。 例3、 将填入下表，每个数只用一次，使它成为三阶幻方。 （1）求公共和与中心数。 （2）补全方阵。 【解析】 （1）九个数的总和为所以公共和为中心数为 （2）左上角为故右下角为中间左格为故中间右格为第一列给出左下角为从而右上角为再由第一行及第三行填出如下表。九个数恰好各用一次。 变式1、 将填入方阵，每个数只用一次，使它成为三阶幻方。小明已经填入两个数，如下表。 （1）保持这两个数的位置不动，只填其余各格，能完成吗？若不能，说明哪几个已填格必须改动。 （2）将已填的1与3交换位置后，能否完成？若能，给出一种填法。 【解析】 （1）不能。九个数的总和为所以中心数必须为公共和为中心格的3必须改成1；又因为每个数只用一次，左上角的1也必须移走，故两个已填格都须改动。 （2）能。交换后左上角为3、中心为1，可得到下表。三行、三列和两条对角线的和均为3，且九个数恰好各用一次。 变式2、 用九个连续偶数填成三阶幻方，每个数只用一次。已知中心数为2，右上角为4，右下角为求这九个偶数，并补全方阵。 【解析】 九个连续偶数的平均数等于中间那个数，又等于幻方的中心数，所以中间数为所用的数为公共和为由右列求得中间右格为对称位置及行、列等和依次确定其余各格，如下表。 变式3、 用1～9这九个整数填成三阶幻方，每个数只用一次。已知左上角填8，写出所有符合要求的填法，并说明为什么没有遗漏。 【解析】 九个数的总和为所以公共和为中心填右下角填 第一行与第一列的和相加，得到其中左上角的8计入两次，右上角与左下角的数之和为因此上中格与左中格的数之和为 这两格都是正整数，按“左中格、上中格”的顺序，可能为但2已填在右下角，不能重复，故只能取或逐一补全得到下列两种填法，均满足题意，因此没有遗漏。 A、基础判断 辨清中心数、公共和与九数总和的关系。 A1、 一个三阶幻方中，左上角填右下角填7，则中心数为（　　）。 A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．6 【解析】 中心数为选A。 A2、 一个三阶幻方的公共和为第一行从左到右依次填4。求中心数及九个数的总和。 【解析】 中心数为九个数的总和为题目未要求九个数互不相同，第一行出现两个不违反定义。 A3、 一个三阶幻方的中心数为求四个角上的数之和，以及除中心外其余八个数的总和。 【解析】 四个角分成两组对称位置，四角之和为其余八个数的总和为 B、方法运用 结合全部条件，检查填数的唯一性及运算后的变化。 B1、 将下表补成三阶幻方。本题允许数字重复。 小明认为：“中心数能确定，但其余各格无法唯一确定。”判断他的说法是否正确。 【解析】 不正确。右上角与左下角的和为故中心数为公共和为第一行给出左上角为继而各格可唯一确定，如下表。该幻方含重复数字，但满足八条线等和的定义。 B2、 一个三阶幻方的公共和为把每一格中的数都先减去3，再变为所得数的相反数。 （1）得到的方阵还是三阶幻方吗？说明理由。 （2）求新方阵的中心数与九个数的总和。 【解析】 （1）是。每条规定的线上原有三个数，其和为每格都减去该线的和变为再把每个数变为相反数，该线的和变为八条线的和仍都相等。 （2）新公共和为故中心数为九个数的总和为也可由原中心数算得新中心数为 C、综合探究 从行、列和的变化反推错误位置。 C1、 小明抄写一个三阶幻方时，只把其中一格的数写大了4，其他格均抄写正确。抄写后，三行的和从上到下分别为14、10、10，三列的和从左到右分别为10、14、10。 （1）哪一格抄错了？说明理由。 （2）若抄写后这一格中的数为6，求原来的数和原幻方的中心数。 （3）抄写后，两条对角线的和是否改变？说明理由。 【解析】 （1）上方中间格抄错。只有一格写大所以只有它所在的一行、一列之和分别增大其余两行、两列之和不变。原公共和为异常的是第一行与第二列，它们的交点就是抄错的位置。 （2）原来的数为原中心数为 （3）两条对角线的和都没有改变，仍为上方中间格不在任何一条对角线上。 D、近年真题 按题目给定的位置独立求值，不凭熟悉的九宫格套数。 D1、（2025—2026学年福建仙游片区七上期中第8题，据原题整理） 将填入的方格中，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。下表已填入部分数，则的值为（　　）。 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． 【解析】 中心数为所以公共和为中间一行左格的数为由第一列可得故选C。 第 1 页 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