整式加减中的整体代入求值问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版七年级数学上册

整式加减中的整体代入求值问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 3 A组 基础巩固 7 B组 方法突破 8 C组 综合运用 9 D组 期中期末真题衔接 10 题型一 先化简，再代入已知式的值 题型二 将几个已知式相加减求值 题型三 利用绝对值、平方的非负性求值 题型四 已知绝对值，求式子的可能值 题型五 根据字母取值记录求值 一、知识梳理 一、求目标式 不一定要先求每个字母 题目给出一个代数式的值时，可以把这个代数式作为一个整体。先检查目标式能否用已知整体表示，再代入数值。例如已知，则，不必分别求、。 代入负数时要加括号；若目标中整个式子带有平方或立方，应把已知值代入整个括号后作有理数乘方，不展开多项式乘法。已知的值，通常不能直接确定的值；字母相同不等于结构相同。 二、先化简 找到常数倍与常数调整 已知整体可能被括号或未合并的项遮住。先按整式加减规则去括号、合并同类项，再检查各项的数字系数是否对应同一个倍数。 如已知，目标可以改写为，代入得。这里的不是任意凑出的，乘正好是；重新去括号可检查改写是否正确。 已知式子含常数时，应把常数一同处理。如，先得到，再求它的数倍。不能把直接代入只含的位置。化简后消失的字母不必再求值。 三、几个已知整体 用加减与常数倍直接组合 目标有时需要两个或多个整体共同确定。应比较每个字母在组合前后的系数，确认相加或相减后恰好得到目标。只用常数倍和加减，不需要列方程组求全部字母。 如，，则。两个整体中共有的相减消失。若题目另给了一条关系，但前两条已足以求目标，可以不使用多余关系；条件多不代表必须全部用上。 若三个已知和分别是、、，把它们相加时每个字母都出现两次，所以得到的是，最后还须除以。每次都应检查重复次数， 而不是把几个已知数随意相加。 实际数量题也先把每条记录写成整式，再核对组合后的每一类数量。例如两份订单相加，商品数量相加的同时也包含两次固定运费；若目标只有一份订单，就要检查组合后运费是否恰好剩一次。只对上商品数量而漏看固定费用，仍不是正确的整体组合。 四、从条件中读出整体 有时条件先给出两个式子的大小差，或给出绝对值、平方等关系，需要先把它变为整体的值。若甲式的值比乙式大，则甲式−乙式；先分清哪一个更大。 绝对值和平方都是非负数。若几个非负数相加等于，则每个都为；由此可以确定某些整体。例如，得、。这里不能把两个非负数相加后“互相抵消”。若一个非负数等于一个非正数，它们也只能同时为， 例如，得到、。 但若只知，便只能得到或，还要根据题中额外符号条件确定，或把所有可能值保留下来。 整体不唯一，目标也未必不唯一。例如只知，仍能确定为。应分别检查各可能值代入目标后的结果，不能看到“两种情况”就断言目标有两个不同答案。 有两个绝对值条件时，先列出各整体的可能值，再检查它们是否能同时满足额外条件。例如、时有四组候选；若还要求， 就只保留或。若几个整体含有共同字母，还要利用它们本身的关系，如，不能把相互制约的整体当成彼此独立。 五、由字母取值记录找所需整体 把互为相反数的数代入同一个代数式时，奇数次幂变号，偶数次幂不变，常数项也不变。例如给定，在与时的两个式子分别为、。两式相减得到，相加得到。先看所求目标需要哪一部分，再决定加或减。 当记录的输入不是互为相反数时，也应先写出对应整式，再直接相减或相加。例如，对于，用时的式子减去时的式子，得到；这仍是可直接使用的整体，不必继续求和的单独值。 若另有的记录，就能直接读出常数项，再用于其它记录。 把题给数值代入后，只作有理数乘方与整式加减。不能把所有含字母的项一律变号，也不能把原有常数项一起变号。 六、条件够不够 要看目标结构 同一组条件可能足以确定某个整体，却不足以确定每个字母，或者不足以确定另一个目标。选择题中可用化简检查目标是否由已知整体组成；若要否定一个“值一定为……”的选项，找一组符合全部条件但不符合该结论的数即可。 例如已知、，则能确定；但不能单独确定，因为与都符合条件，而的值不同。要说明一个值不能唯一确定，所举的两组数必须满足全部已知条件。 正式求值时保持等式链完整：先写目标式的等价变形，再代入已知整体的值，最后完成数值计算。不能在化简到一半时，把一个局部系数的计算冒充整个代数式的值。 二、典例与变式 一、先化简，找出已知整体 例1、已知，求的值。 【答案】 【解析】原式。先合并找到已知整体，无须分别求、。 例如或都符合条件，说明、不一定各有唯一值；但目标只依赖，因此仍能唯一确定。 变式1-1、已知，则____。 【答案】 【解析】由得。原式。 变式1-2、已知，求的值。 【答案】 【解析】原式。已抵消，不必求。 变式1-3、已知，下列式子的值一定等于的是（ ）。 ．； ．； ．； ．。 【答案】 【解析】项。取、，符合已知，而、、项分别为、、，故这三项都不是一定等于。 二、多个整体的加减组合 例2、已知，，，求的值。 【答案】 【解析】将三个等式相加，得，即，所以。相加时每个字母各出现两次，不能直接答。 变式2-1、已知，，求的值。 【答案】 【解析】。两个整体的系数逐项核对后再代值。 变式2-2、已知，，，则____。 【答案】 【解析】。原式。本题前两条关系已足够，不需要使用，也不必逐个解出、、。 变式2-3、已知，，分别求和的值。 【答案】； 【解析】；。两个目标分别用和、差。 三、利用非负数条件确定整体 例3、已知，求的值。 【答案】 【解析】绝对值与平方均非负，和为时各为，故、， 即、。原式。 变式3-1、已知，求的值。 【答案】 【解析】两个绝对值均非负，和为，得、。于是。 变式3-2、已知，求的值。 【答案】 【解析】三个非负数的和为，故、、， 即、、。 于是。 变式3-3、已知，求的值。 【答案】 【解析】，而，两者相等，只能同时等于。所以、。原式。 四、绝对值条件下的分类求值 例4、已知。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）或。，分别为或。 （2）两种情况下均为，故。已知整体有两个可能值，但第二个目标只有一个值。 变式4-1、已知，且，求的值。 【答案】 【解析】由且得。原式。 变式4-2、已知，则的所有可能值是____。 【答案】或 【解析】由，得或，即或。，分别为或，两种情况都须保留。 变式4-3、已知，，且，求的所有可能值。 【答案】或 【解析】由两个绝对值条件，的候选为、、、。对应为、、、，故只有、符合全部条件。分别为、。 五、由取值记录提取整体 例5、、、为常数，代数式在时的值为， 在时的值为。 （1）求和的值。 （2）根据上述条件，、、中不能确定单独值的字母有____。 【答案】（1），；（2）、 【解析】（1）两条记录分别为、。相加得，所以；相减得，所以。 （2）、不能单独确定。例如与都符合全部条件，但、的值分别不同。可唯一确定为。 变式5-1、、为固定的数。当时，的值为。求时这个代数式的值。 【答案】 【解析】当时，，所以。当时，原式。不能把常数项也一同变号。 变式5-2、、、、为常数，代数式 在、、时的值依次为、、。求它在时的值与在时的值之和。 【答案】 【解析】时，。、的两条记录相加，得，所以，。所求的和。不必求、的单独值。 变式5-3、、、为常数。在时的值为，在时的值为。 （1）求的值。 （2）求这个代数式在时的值与在时的值之差。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）两条记录分别给出、。用第二条减第一条，得，即。 （2）所求的差。不必分别求、、。 A组 基础巩固 A1、已知，则____。 【答案】 【解析】。 A2、已知，求的值。 【答案】 【解析】。 A3、已知，则____。 【答案】 【解析】。 A4、已知，求的值。 【答案】 【解析】由得。因此。 A5、已知，，求的值。 【答案】 【解析】原式。 A6、已知，求的值。 【答案】 【解析】原式。代入负数作乘方时，须把负数放入括号。 A7、已知，求的值。 【答案】 【解析】原式。 A8、已知，求的值。 【答案】 【解析】由得。原式。 B组 方法突破 B1、已知，，求的值。 【答案】 【解析】将两个已知等式相加，得，即。因此。 B2、已知，，，则____。 【答案】 【解析】。 B3、已知，，求的值。 【答案】 【解析】将两个已知等式相加，得，即。原式。 B4、已知，则____。 【答案】 【解析】由得或。，分别为或，因此，或，所求值均为。 B5、已知，，则的所有可能值是____。 【答案】、、、 【解析】为或，为或。四组相加分别为、、、。因此所有可能值为、、、。四组都能实现，例如均取，再分别取对应的、。 B6、已知的值比的值大，求的值。 【答案】 【解析】由题意，，即，所以。原式。 C组 综合运用 C1、已知，求的值。 【答案】 【解析】由得或，所以或。当时，原式；当时，原式。因此目标值唯一，等于。 C2、已知，，。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）为，为。由于且，只有或符合。目标，分别为，或。 （2）两种情况下，分别为或，故所求值为。两种情况均可实现，例如取，或。不必求三个字母的单独值。 C3、、、、为常数，代数式在时的值为，在时的值为，且。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）两条记录相减，得，所以。又由得或。由，得或。 （2），或，故所求值为。两组都能实现，例如或。 C4、、、是固定的数。对任意有理数，等式都成立。求的值。 【答案】 【解析】令，得，所以。 再令，得，所以。 原式。这里可以取、，是因为题设等式对任意有理数都成立。 C5、已知，，且， 求的值。 【答案】 【解析】可能为或，可能为或。四种组合的和依次为、、、。由和为，只有、符合。原式。 D组 期中期末真题衔接 D1、2025年11月江苏丰县期中，第14题，据原题整理 已知，则____。 【答案】 【解析】。 D2、2025年1月北京延庆期末，第17题，据原题整理 对于多项式，当时，它的值为。若，则当时，多项式的值为____。 【答案】 【解析】由得。时，原式。 D3、2025年1月北京西城期末，第16题，据原题整理 图给出了一个“幻圆”的填数示例：外圈、内圈及横、竖两条直径上各有个数，每组数的和都为。图要填入、、、、、、、，每个数只用一次，仍满足各组和相同的规则；其中、、的位置已经确定。 （1）求。 （2）补全图，给出一种符合要求的填法。 【答案】（1）；（2）内左，内下，外右，外顶/外下填、（可互换）。 【解析】（1）八个数的总和为。大圆与小圆的和相等，且两圈合起来恰含这八个数，因此每圈的和为。 小圆上，所以。 （2）尚未使用的数为、、、、。由且每个数只用一次，只能为或。设外圆右边的数为，横直径上的和给出，即。若，则，不在待填数中，舍去；故、、。外圆上下两处填和即可，二者可以交换。此时外圆和为，竖直径和为，符合要求。两种填法见图。 D4、原创考试题型训练（非真题） 某网店出售笔记本和签字笔，两种商品的单价不变，每份订单另收相同的一笔固定运费。小明第一次购买本笔记本、支签字笔，连同运费共付元；第二次购买本笔记本、支签字笔，连同运费共付元。他第三次购买本笔记本、支签字笔，仍单独下单。求第三次连同运费共需支付多少元。 【答案】元 【解析】设笔记本每本元、签字笔每支元，每单固定运费元。两条记录为、。第三次共需（元）。组合后笔记本数量为，签字笔数量为，运费次数为，均与第三次订单一致。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式加减中的整体代入求值问题 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 内容导航 一、知识梳理 1 二、典例与变式 3 A组 基础巩固 6 B组 方法突破 8 C组 综合运用 9 D组 期中期末真题衔接 10 题型一 先化简，再代入已知式的值 题型二 将几个已知式相加减求值 题型三 利用绝对值、平方的非负性求值 题型四 已知绝对值，求式子的可能值 题型五 根据字母取值记录求值 一、知识梳理 一、求目标式 不一定要先求每个字母 题目给出一个代数式的值时，可以把这个代数式作为一个整体。先检查目标式能否用已知整体表示，再代入数值。例如已知，则，不必分别求、。 代入负数时要加括号；若目标中整个式子带有平方或立方，应把已知值代入整个括号后作有理数乘方，不展开多项式乘法。已知的值，通常不能直接确定的值；字母相同不等于结构相同。 二、先化简 找到常数倍与常数调整 已知整体可能被括号或未合并的项遮住。先按整式加减规则去括号、合并同类项，再检查各项的数字系数是否对应同一个倍数。 如已知，目标可以改写为，代入得。这里的不是任意凑出的，乘正好是；重新去括号可检查改写是否正确。 已知式子含常数时，应把常数一同处理。如，先得到，再求它的数倍。不能把直接代入只含的位置。化简后消失的字母不必再求值。 三、几个已知整体 用加减与常数倍直接组合 目标有时需要两个或多个整体共同确定。应比较每个字母在组合前后的系数，确认相加或相减后恰好得到目标。只用常数倍和加减，不需要列方程组求全部字母。 如，，则。两个整体中共有的相减消失。若题目另给了一条关系，但前两条已足以求目标，可以不使用多余关系；条件多不代表必须全部用上。 若三个已知和分别是、、，把它们相加时每个字母都出现两次，所以得到的是，最后还须除以。每次都应检查重复次数， 而不是把几个已知数随意相加。 实际数量题也先把每条记录写成整式，再核对组合后的每一类数量。例如两份订单相加，商品数量相加的同时也包含两次固定运费；若目标只有一份订单，就要检查组合后运费是否恰好剩一次。只对上商品数量而漏看固定费用，仍不是正确的整体组合。 四、从条件中读出整体 有时条件先给出两个式子的大小差，或给出绝对值、平方等关系，需要先把它变为整体的值。若甲式的值比乙式大，则甲式−乙式；先分清哪一个更大。 绝对值和平方都是非负数。若几个非负数相加等于，则每个都为；由此可以确定某些整体。例如，得、。这里不能把两个非负数相加后“互相抵消”。若一个非负数等于一个非正数，它们也只能同时为， 例如，得到、。 但若只知，便只能得到或，还要根据题中额外符号条件确定，或把所有可能值保留下来。 整体不唯一，目标也未必不唯一。例如只知，仍能确定为。应分别检查各可能值代入目标后的结果，不能看到“两种情况”就断言目标有两个不同答案。 有两个绝对值条件时，先列出各整体的可能值，再检查它们是否能同时满足额外条件。例如、时有四组候选；若还要求， 就只保留或。若几个整体含有共同字母，还要利用它们本身的关系，如，不能把相互制约的整体当成彼此独立。 五、由字母取值记录找所需整体 把互为相反数的数代入同一个代数式时，奇数次幂变号，偶数次幂不变，常数项也不变。例如给定，在与时的两个式子分别为、。两式相减得到，相加得到。先看所求目标需要哪一部分，再决定加或减。 当记录的输入不是互为相反数时，也应先写出对应整式，再直接相减或相加。例如，对于，用时的式子减去时的式子，得到；这仍是可直接使用的整体，不必继续求和的单独值。 若另有的记录，就能直接读出常数项，再用于其它记录。 把题给数值代入后，只作有理数乘方与整式加减。不能把所有含字母的项一律变号，也不能把原有常数项一起变号。 六、条件够不够 要看目标结构 同一组条件可能足以确定某个整体，却不足以确定每个字母，或者不足以确定另一个目标。选择题中可用化简检查目标是否由已知整体组成；若要否定一个“值一定为……”的选项，找一组符合全部条件但不符合该结论的数即可。 例如已知、，则能确定；但不能单独确定，因为与都符合条件，而的值不同。要说明一个值不能唯一确定，所举的两组数必须满足全部已知条件。 正式求值时保持等式链完整：先写目标式的等价变形，再代入已知整体的值，最后完成数值计算。不能在化简到一半时，把一个局部系数的计算冒充整个代数式的值。 二、典例与变式 一、先化简，找出已知整体 例1、已知，求的值。 变式1-1、已知，则____。 变式1-2、已知，求的值。 变式1-3、已知，下列式子的值一定等于的是（ ）。 ．； ．； ．； ．。 二、多个整体的加减组合 例2、已知，，，求的值。 变式2-1、已知，，求的值。 变式2-2、已知，，，则____。 变式2-3、已知，，分别求和的值。 三、利用非负数条件确定整体 例3、已知，求的值。 变式3-1、已知，求的值。 变式3-2、已知，求的值。 变式3-3、已知，求的值。 四、绝对值条件下的分类求值 例4、已知。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 变式4-1、已知，且，求的值。 变式4-2、已知，则的所有可能值是____。 变式4-3、已知，，且，求的所有可能值。 五、由取值记录提取整体 例5、、、为常数，代数式在时的值为， 在时的值为。 （1）求和的值。 （2）根据上述条件，、、中不能确定单独值的字母有____。 变式5-1、、为固定的数。当时，的值为。求时这个代数式的值。 变式5-2、、、、为常数，代数式 在、、时的值依次为、、。求它在时的值与在时的值之和。 变式5-3、、、为常数。在时的值为，在时的值为。 （1）求的值。 （2）求这个代数式在时的值与在时的值之差。 A组 基础巩固 A1、已知，则____。 A2、已知，求的值。 A3、已知，则____。 A4、已知，求的值。 A5、已知，，求的值。 A6、已知，求的值。 A7、已知，求的值。 A8、已知，求的值。 B组 方法突破 B1、已知，，求的值。 B2、已知，，，则____。 B3、已知，，求的值。 B4、已知，则____。 B5、已知，，则的所有可能值是____。 B6、已知的值比的值大，求的值。 C组 综合运用 C1、已知，求的值。 C2、已知，，。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 C3、、、、为常数，代数式在时的值为，在时的值为，且。 （1）求的所有可能值。 （2）求的值。 C4、、、是固定的数。对任意有理数，等式都成立。求的值。 C5、已知，，且， 求的值。 D组 期中期末真题衔接 D1、2025年11月江苏丰县期中，第14题，据原题整理 已知，则____。 D2、2025年1月北京延庆期末，第17题，据原题整理 对于多项式，当时，它的值为。若，则当时，多项式的值为____。 D3、2025年1月北京西城期末，第16题，据原题整理 图给出了一个“幻圆”的填数示例：外圈、内圈及横、竖两条直径上各有个数，每组数的和都为。图要填入、、、、、、、，每个数只用一次，仍满足各组和相同的规则；其中、、的位置已经确定。 （1）求。 （2）补全图，给出一种符合要求的填法。 D4、原创考试题型训练（非真题） 某网店出售笔记本和签字笔，两种商品的单价不变，每份订单另收相同的一笔固定运费。小明第一次购买本笔记本、支签字笔，连同运费共付元；第二次购买本笔记本、支签字笔，连同运费共付元。他第三次购买本笔记本、支签字笔，仍单独下单。求第三次连同运费共需支付多少元。 第 1 页 共 11 页 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