专题01 绝对值中的六类最值模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·山东·七年级专题练习）阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣； ③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣， 综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． (3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________． 【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3) 【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为， 数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4； （2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是， 根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3； （3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键． 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 【答案】 6 【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可； 【详解】当时，，∵，∴； 当时，； 当时，，∵，∴； 综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．故答案是：6；． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键． 变式2．（2023·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ． （3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离． （4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）最小值是 ，的最小值是 ． 【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3 【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可； （3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得； （5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得． 【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3， 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4； （2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|， 如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3； （3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离； （4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和， |x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和； （5）由（4）可知：当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1， 当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3． 【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解． 变式3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值； ②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值； (2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由 (3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2． 【答案】(1)①或2020，②1 (2)③4，④没有最大值，见解析(3)⑤或 【分析】（1）①根据的几何意义，找出与对应的点距离为2021个单位长度的点即可；③找出与数轴上到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点即可；（2）根据的几何意义即可进行解答；（3）根据的几何意义，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离为2021个单位长度，∴或． ②∵，如图： ∴到对应的点距离与到3表示的点的距离相等的点只有一个，即为1对应的点，∴． （2）③∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和， 如图：当x对应的点在和3之间时，距离和最小，最小为4，∴最小值为4； ④∵表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和， ∴没有最大值． （3）⑤∵最小值为2， ∴表示数轴上x对应的点到对应的点距离与到3表示的点的距离之和最小为2，如图： 当或时最小值为2，∴或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离和绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义，明确数轴上的点和有理数的一一对应关系，以及具有数形结合的思想． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1.（2023·湖北·七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 【答案】C 【分析】法1：可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差，据此即可解答．法2：分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值． 【详解】法1：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3．故选：C． 法2：解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3； 当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1； 当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3． ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C． 【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用． 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 【答案】（1）；（2）或；（3）， 【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解； （2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可； （3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为 由此可知一个单位长度为 则的距离为 在的右边，∴数轴上点B所对应的数为； （2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为 由题意可得：，即或 解得或 故答案为或 （3）当时，， ∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴ 综上所述的最小值为，的最大值为故答案为， 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 变式2．（2023·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【分析】（1）据题意即可列式解答；（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·福建·七年级阶段练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|； 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a +（﹣b）＝|a﹣b|； （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　； ②数轴上表示x和2的两点之间的距离是　 　；数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是　 　；(用含x的式子表示) ③当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　； ④当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是　 　； ⑤求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++|x﹣2021|的最小值． 【答案】（2）①3；3；4；②|x-2|，|x+1|；③﹣1≤x≤2；④2；⑤1021110． 【分析】①审题可知题中通过探索已经得出数轴上两点之间的距离求值方法：即两数之差的绝对值，我们根据题意代入求值即可； ②根据已得结论，只需把字母和数代入即可； ③将绝对值理解为两点之间的距离，再根据两点之间线段最短分析即可； ④求|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，x为中间点时有最小值，依此即可求解； ⑤根据以上结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2021|的最小值的问题，找到中间点即可求得最小值． 【详解】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|2−5|＝3，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是：|−2−（−5）|＝3，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是：|1−（−3）|＝4． 故答案为：3，3，4． ②数轴上表示x和2的两点之间的距离是：|x－2|＝|x－2|，数轴上表示x和−1的两点之间的距离是：|x−（−1）|＝|x＋1|． 故答案为：|x－2|，|x＋1|． ③|x＋1|＋|x−2|可以看作：表示x的点到表示−1的点和到表示2的点的距离的和，根据两点之间线段最短，可知表示x的点在表示−1的点和到表示2的点的线段上，所以−1≤x≤2． 故答案为：−1≤x≤2． ④当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x为中间点时有最小值，相应的x的值是2． 故答案为：2． ⑤当x＝＝1011时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2021|的值最小， 最小值为1010+1009+1008+……+1+0+1+2+3+……+1010 ＝（1+2+3++1010）×2＝(1+1010)×1010＝1021110． 【点睛】此题主要考察数轴上两点之间的距离，准确把握题中距离公式并认真代入计算是解题的关键． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考阶段练习）数学探究 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______； (2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______； (3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______； (4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______． 【答案】(1)5(2)|x+7|(3)全体实数；(4)小，5，1． 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得有理数x的取值范围； （4）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得x的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7两点之间的距离＝7−2＝5；故答案为：5 （2）解：数轴上表示x和-7的两点之间的距离表示为|x−（-7）|=|x+7|；故答案为：|x+7| （3）（3）|x+1|+|x﹣3|表示数轴上到-1和3的距离的和，则|x+1|+|x﹣3|≥4， 故|x+1|+|x﹣3|≥4的解集为：全体实数； （4）（4）∵式子|x−3|＋|x＋2|＋|x−1|可看作是数轴上表示x的点到3、-2、1三点的距离之和， ∴当x为1时，|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|有最小值， ∴|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|的最小值＝|1＋2|＋|1−3|＋|1−1|＝5．故答案为：小，5，1． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，两点距离，理解新定义并能运用是本题的关键． 变式2.（2023·山东七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离． 例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ； （2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝ （3）代数式的最小值是 ． （4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果） 【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4） 【分析】（1）根据题意可得： ，解出即可求解；（2）根据题意可得： ，从而得到 ，进而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根据题意可得：当a＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，从而得到当 时，有最小值，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ， ∴ 或 ，解得： 或-8； （2）∵表示数a的点位于－4和3之间，∴ ，∴ ， ∴＝a＋4，＝3－a，∴＝ a＋4＋3－a＝7； （3） 当a＝2时，代数式存在最小值， ∴＝1＋0＋1＝2.所以，最小值是2； （4）根据题意得：， ∴原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，如图所示， ∴当 时，有最小值， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键． 变式3．（2023·重庆·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值。 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）-2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5，|x-2|+|x+3|+|x+5|的最小值为7，的最小值为50 【分析】问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且a=-3.5，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值； 问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解. 【详解】解：问题一：如图： ∴b=-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，-0，1，2，3，4， c=1，2，3，4或-8，-9，-10，-11； 问题二： （1）A、B两点的距离为d，则d=|m-n|； （2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离； （3）①∵动点C表示的数为x， ∵|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离， |x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离， ∴当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值， ∴|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5； ②∵|x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5 的点的距离， ∴当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7， ③|x-2|，|x-4|，|x-6|，…，|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，20 的点的距离， ∴当动点C在10和12之间时，18+14+…+2=50 有最小值50. 【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出计算式即可解决问题，体现了数形结合的优点． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2023·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】表示到距离加上倍到的距离再加上倍到的距离，由此可得在，，，的范围内分别求代数式的值，比较即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 变式2．（2023·四川·七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1； 综上讨论，原式＝ 通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝　 　； （2）根据材料中的方法化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程） （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值　 　． 【答案】（1）2- x；（2）；（3）2 【分析】（1）根据题中材料，直接化简即可得解；（2）根据题中所给材料，求出0点值，将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答．（3）法1：先将原式转化为|x﹣1|﹣|x+1|﹣3|x+1|，当|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时3|x+1|取最小值时，取最大值。法2：分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值. 【详解】（1）根据题意，得当x＜2时，|x﹣2|＝-（x﹣2）=2- x； （2）令 求得 当时，原式=； 当时，原式=； 当时，原式=； 综上讨论，原式= （3）法1：∵|x﹣1|﹣4|x+1|=|x﹣1|﹣|x+1|﹣3|x+1|， ∴若要取最大值，即|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时3|x+1|取最小值。 根据绝对值的几何意义得到|x﹣1|﹣|x+1|最大值为2，且此时x≤﹣1。 而当x≤﹣1时，3|x+1|取最小值为0。则的最大值为2．故答案为：2． 法2：当时，原式=， 当时，原式=，， 当时，原式=， 则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为2. 【点睛】本题是一道材料分析题，要求同学们能根据材料所给信息，找到合适的方法解答． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2022 2021 【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答． 【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值， ∵，∴=0，解得x=2021， ∴最大值为2022．故答案为：2022，2021． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3(2)；最小(3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或，解得：或1；故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    【答案】（1）（2）的最小值是6 （3）把复印店开设在之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，理解和应用数轴上两点间的距离公式是解题的关键. （1）根据数轴上两点间的距离求解即可. （2）分三种情况：当点P在点A左侧时，得；当点P在点B右侧时，；当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．即可得出答案. （3）以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．当点P在之间时，；当点P在之间时，；当点P在点之间（含端点O，B）时，；即可求解. 【详解】解：（1）． （2）PA的值为，的值为， 则． 如图，当点P在点A左侧时，．    如图，当点P在点B右侧时，．    如图，当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．    因为，所以， 所以的最小值是6，即的最小值是6． （3）如图，以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．    当点P在之间时，， 当点P在之间时，， 当点P在点之间（含端点O，B）时，， 此时，的值最小，最小值是． 所以，小浩把复印店开设在OB之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2)(3)(4)(5)(6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．（1）由两点间距离直接求解即可；（2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得；（4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可；（6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：，； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值，原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小，故答案为：； （6）解：， 当时，，， 数a，b满足，求的最小值为． 1．（2023·广东·七年级课时练习）的最小值是（       ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【答案】C 【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可． 【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）； 所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020； 当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；… 当x=1011时，|x-1011|有最小值0． 综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值， 最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021| =1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键． 2．（2023·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 【答案】 4 －3 【分析】分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去绝对值符号，判断出的最大值和最小值，即可得解． 【详解】解：①当时，，此时； ②当时，，此时； ③当时，，此时； 综上所述，的最大值为4，最小值为－3．故答案为：4，－3． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，在解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】105 【分析】利用绝对值的意义判断即可． 【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和， 当时，最小，此时最小值为， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键． 4．（2023·重庆·七年级课时练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 【答案】     6     【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可； 【详解】当时，， ∵，∴； 当时，； 当时，， ∵，∴； 综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．故答案是：6；． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键． 5．（2023·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题： （1）数轴上表示2和4两点之间的距离是　 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是　 ； （2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝　 ，如果AB＝2，则x的值为　 ； （3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为　 ；（4）|x＋π|﹣|x﹣2|的最大值为　 ． 【答案】（1）2；3；（2）|x+3|，﹣1或﹣5；（3）10；（4）2+π． 【分析】（1）根据题意得出|4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3即可； （2）得到方程|x+3|＝2，求解即可； （3）由|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义可得答案； （4）由|x+π|﹣|x﹣2|所表示的意义，结合数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） |4﹣2|＝2，|﹣1﹣2|＝3，故答案为：2，3； （2）AB＝|x+3|，当AB＝2，即|x+3|＝2，解得x＝﹣1或x＝﹣5，故答案为：|x+3|，﹣1或﹣5； （3）|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣1，﹣2，3，4四个点距离之和，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为1+2+3+4＝10，故答案为：10； （4）|x+π|﹣|x﹣2|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示﹣π，2两点距离之差， 当x≥2时，这个距离之差最大，最大值为2+π，故答案为：2+π． 【点睛】本题考查数轴上两点距离，解绝对值方程，绝对值的几何意义，掌握两点之间的距离是解题关键． 6．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则_________，若，则________； 【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，与的距离(2)或7.1，(3)5(4)有最小值，7 【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论；（2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为；（3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论； （4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9， ，即可表示为到的距离，故答案为：9；与的距离； （2）解：，到3.1的距离为4，，， ，到的距离和到3的距离相同，， 故答案为：或7.1；； （3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间， 原式可看作与2之间的距离，； （4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离， 当时，该式取得最小值，此时． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 7．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______； ④由图可知，的最小值是______． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即可； ③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可； （2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴， ∴，故答案为：； ②∵P在线段AB上，∴， ∴，故答案为：； ③∵点P在点B右侧，∴， ∴，故答案为：； ④由图可知当P在 A点左侧时， 由图可知当P在 AB之间时， 由图可知当P在 B点右侧时， ∴的最小值为3，故答案为：3； （2）当P点在2的右侧即时，∴， 当P点在-3的左侧即时， ∴ 当P点在-3和1之间时即时， ∴， ∴此时， 当P点在1和2之间时即时，∴， ∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s， 由题意得：路程之和 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴此时； 当时， ； 当时， ； ∴此时；∴s的最小值为1400，此时， ∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 8．（2023·湖南·长沙市怡海中学七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 【答案】（1）；（2）或；（3）， 【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解； （2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可； （3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为 由此可知一个单位长度为则的距离为 在的右边，∴数轴上点B所对应的数为； （2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为 由题意可得：，即或解得或故答案为或 （3）当时，， ∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴ 综上所述的最小值为，的最大值为故答案为， 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 9．（2023·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)对照数轴填写下表： a 6 6 2 b 2 0 0 1.5 A、B两点的距离 4 6 6 5 (2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离． (3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题． 若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值 【答案】(1)见解析(2)5；(3) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，即可求解；（2）根据数轴上两点间的距离，即可求解； （3）根据数轴上两点间的距离以及绝对值的几何意义，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，填写表格如下： a 6 6 2 b 2 0 0 1.5 A、B两点的距离 4 6 6 5 （2）解：根据题意得：表示数轴上数x与数5这两点之间的距离，表示数轴上数x与数这两点之间的距离．故答案为：5； （3）解：根据题意得：分别表示数轴上数x与数，数x与2， 数x与5之间的距离的和，∴当时，数轴上数x与数，2，5之间的距离的和最小，即， 表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差， ∴当时，表示数轴上数x与数，数x与数3之间的距离的差最大， 即，∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义是解题的关键． 10．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 11．（2023·江苏七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ①；②；③ 从而化简代数式时可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）当时，______．（2）化简代数式： （3）直接写出的最大值______． 【答案】（1）；（2）原式；（3） 【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况：、、分该三种情况找出的值；（3）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】解：（1）当时，．故答案为： （2）化简代数式：分为以下三种情况讨论： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式 （3）的最大值： 当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式，则的最大值为． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 12．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）． 【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案； （2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案； （3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案． 【详解】（1）I．解：由题意可得， 当 时，， 当时，故答案为，； II．由题意可得，在时有最小值为5，故答案为5； （2）解：由（1）可得，当x在 ，4两点之间时最短， 即当时，的最小值，最小值为， 故的最小值为9； （3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和， ∴可得到当时最小值， 最小值为：，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间． 13．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________；(2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 【答案】(1)5；1或(2)4(3)2，5(4)最大值为7，最小值为 【分析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，与表示的点的距离为3的点表示的数为1或，由此可解； （2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值；（3）由（2）可知，当时，有最小值，又当时，有最小值，由此可解；（4）先根据已知式子得出，，，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，； ，表示x的点与表示的点的距离为3， ，，或． （2）解：可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和， 当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． （3）解：可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 即当时，的最小值是5． （4）解：，，， ， ，，，， ，，，的最大值为：，最小值为：， 即的最大值为7，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值与数轴相关知识，读懂题目所给信息，掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 14．（2023·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值． 【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9 【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解； （3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解． 【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2； （2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下： 数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7； 由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2； ∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ； 同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1； 数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2； （3）解：若这些数列的价值的最小值为1， 则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8， 当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去； 当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取，当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15． 【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得； （二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可； （4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可． 【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11． （二）（1）解：，，或，故答案为8或． （2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，是整数，共6个；故答案为：6． （3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和， 当时，有最小值， 最小值为：=2025；故答案为：2025． （4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和， 当时，取最小值， 即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031． （5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和， 当时有最小值， 即最小值==15，故答案为：15． 【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·山东·七年级专题练习）阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； ②如图3，点A、B都在原点的左边：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣； ③如图4，点A、B在原点的两边：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣， 综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________． (3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________． 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 变式2．（2023·浙江·七年级期末）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ． （3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离． （4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）最小值是 ，的最小值是 ． 变式3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过∶“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如：代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)【发现问题】①若代数式的值等于2021，求x的值； ②已知代数式与代数式的值相等，求x的的值； (2)【探究问题】③求代数式的最小值；④代数式是否有最大值？并说明理由 (3)【解决问题】⑤当a为何值时，代数式的最小值是2． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1.（2023·湖北·七年级月考）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　） A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在 变式1．（2023·浙江·七年级专题练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）求数轴上点B所对应的数b；（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 变式2．（2023·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·福建·七年级阶段练习）（1）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|； 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|； ②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|； ③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a +（﹣b）＝|a﹣b|； （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　；②数轴上表示x和2的两点之间的距离是　 　；数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是　 　；(用含x的式子表示)；③当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　；④当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是　 　； ⑤求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|++|x﹣2021|的最小值． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考阶段练习）数学探究：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______； (2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______； (3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______； (4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______． 变式2.（2023·山东七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离． 例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ； （2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝ （3）代数式的最小值是 ． （4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果） 变式3．（2023·重庆·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值。 问题二：已知点在数轴上表示的数分别为 （1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（2023·重庆沙坪坝·七年级校考期中）已知为任意有理数，则的最小值为______． 变式1．（2023·广东·七年级校考阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·四川·七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1； 综上讨论，原式＝ 通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）当x＜2时，|x﹣2|＝　 　； （2）根据材料中的方法化简代数式|x+2|+|x﹣4|；（写出解答过程） （3）直接写出|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值　 　． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．       (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好； (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．       （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？ 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 1．（2023·广东·七年级课时练习）的最小值是（       ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 2．（2023·陕西西安·七年级校考期末）已知，那么设，则的最大值为_______，最小值为_______． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 4．（2023·重庆·七年级课时练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 5．（2023·浙江宁波·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题： （1）数轴上表示2和4两点之间的距离是　 ，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是　 ； （2）数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝　 ，如果AB＝2，则x的值为　 ； （3）|x＋1|＋|x＋2|＋|x﹣3|＋|x﹣4|的最小值为　 ；（4）|x＋π|﹣|x﹣2|的最大值为　 ． 6．（2023·江苏·七年级假期作业）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则_________，若，则________； 【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 7．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_______；③若点P在点B右侧，化简______； ④由图可知，的最小值是______． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 8．（2023·湖南·长沙市怡海中学七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 9．（2023·重庆綦江·七年级校考阶段练习）已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)对照数轴填写下表： a 6 6 2 b 2 0 0 1.5 A、B两点的距离 4 6 6 5 (2)若A、B两点间的距离记为d，由（1）显然有．为此，我们可以这样理解：表示数轴上数x与数 这两点之间的距离，表示数轴上数x与数 这两点之间的距离． (3)根据前面（1）（2）中获取的知识解决下面的问题． 若记式子的最小值为m，式子的最大值为n，求的值 10．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 11．（2023·江苏七年级专题练习）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ①；②；③ 从而化简代数式时可分以下种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上所述：原式，通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）当时，______．（2）化简代数式： （3）直接写出的最大值______． 12．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，， ∴在时有最小值为_______．（2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 13．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________；(2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 14．（2023·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$