精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学2026-2027学年上学期九年级期中考试数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度（上）九年级数学学科期中学业质量检测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值是． 2. 《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星系，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求满足，为整数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，130亿． 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则与幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，， 该选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并， 该选项不符合题意； C、， 该选项符合题意； D、， 该选项不符合题意． 4. 下列图形中，是轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：第1个图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形； 后3个图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； ∴是轴对称图形的个数是3． 5. 如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】它的俯视图如图所示： 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 7. 如图，内接于⊙中，垂足为，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴． 8. 如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出与轴的位置关系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出的长度，确定点的坐标． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，，，，，轴， ， ， 中，， 在轴的负半轴， 的坐标为． 9. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断． 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 10. 如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象获取的长度以及的值，结合菱形性质求出边长和对角线，判定的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出边上的高． 【详解】解：由图2可知，当时，，此时点M在点O处， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，． 由图2可知，当时，点M到达点D， 此时运动路程为， ∴， ∴． ∵， ∴，即是等边三角形． 当时，为等边的高， ∴． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 13. 计算的结果为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法性质化简即可． 【详解】解：． 14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 【答案】75 【解析】 【分析】根据矩形性质可得，进而求出，，再根据三角形内角和求出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴. 15. 一个扇形的半径为，扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的半径与圆心角，直接代入弧长公式计算即可得到对应弧长． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 如图，为的弦，半径于点，连接，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据半径相等求出的长，利用垂径定理得出，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 17. 四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，先确定所有等可能结果的总数，再确定符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，共有张不同的明信片，抽取时每张被抽到的可能性相等， 即共有种等可能的结果，其中抽到涠洲岛明信片的结果只有种， ∴抽到涠洲岛明信片的概率为． 18. 已知：在中，点E在射线上，连接，交对角线于点F；若，，则的长为____________． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，分点在线段和点在延长线两种情况，利用相似三角形的判定与性质列比例式求解的长度． 【详解】解：设，由得， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 分两种情况讨论：当点在线段上时， ∵， ， ，即， ， ， 解得， 当点在的延长线上时， ， ， ，即， ， ， 解得． 综上可知，的长为或 19. 观察下列各式：①，②，③，④……，则第⑨个式子的结果值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】梳理已知4个式子的结构，找到序号与式子各部分的对应规律后代入计算． 【详解】解：∵①，②，③，④……， ∴第n个式子为 ∴第⑨个式子的结果为． 20. 如图，在正方形中，，点、分别在、上，，连接、交于点，点、关于对称，连接、，延长交的延长线于点，以下结论：①；②；③；④连接，则的最小值为；其中正确的序号为_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明即可判断①；根据平行线的性质得到，由轴对称的性质得到，则可证明，可判断②；由轴对称的性质可得，则，据此可判断③；证明；取的中点O，连接，则，根据，可得当C、O、G三点共线时，有最小值，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， ∴，故②正确； 由轴对称的性质可得， ∴， ∵点F的位置不固定，即的长度不固定， ∴的值不固定， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，取的中点O，连接， 则， ∴， ∵， ∴当C、O、G三点共线时，有最小值，最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分） 21. 先化简再求值：其中. 【答案】 【解析】 【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可. 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键. 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段、．根据要求画图． （1）在图中画以为斜边的等腰直角三角形； （2）将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）如图，以为斜边的等腰直角三角形即为所求， （2）如图，线段即为所求， 四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）取格点，连接、，结合勾股定理与勾股定理逆定理计算即可得出结果； （2）取格点，连接，，，由网格特点可得，，，，从而得出为等腰直角三角形，再结合四边形的面积，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：取格点，连接、， 图略 由勾股定理可得，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：取格点，连接，，， 图略 由网格特点可得，，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ． 23. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量（单位：）．把收集到的数据分成，，，，，，，八组，并绘制了如下频数分布直方图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次一共调查了多少个家庭？ （2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组． （3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于． 【答案】（1）此次一共调查了55个家庭； （2）组 （3）估计该小区有210个家庭的月均用水量小于． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于的家庭占比求解即可． 【小问1详解】 解：（个）， 答：此次一共调查了55个家庭； 【小问2详解】 解：55个家庭中，中位数为第28名家庭月均用水量， A、B、C三组的家庭数为（个），A、B、C、D四组的家庭数为（个）， 这些家庭月均用水量的中位数位于组； 【小问3详解】 解：（个）， 答：估计该小区有210个家庭的月均用水量小于． 24. 如图，正方形和正方形，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将正方形绕着点旋转，连接，若，，请直接写出正方形绕着点旋转过程中，长度的所有整数值． 【答案】（1）证明：∵正方形和正方形中，， ∴， ∴， ∴； （2）4，5，6，7 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）连接，根据三角形的三边关系得到，然后结合勾股定理求解，再由无理数的估算方法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， 而，则，， ∴可取的整数值有4，5，6，7． 25. “中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳23米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米．求最多编织多少个大号中国结． 【答案】（1）编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米； （2）最多编织45个大号中国结． 【解析】 【分析】（1）利用题干中两组编织数量与总绳长的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）利用总绳长不超过450米的不等关系，设大号中国结数量列一元一次不等式求最大整数解． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米， 由题意得，， 解得， 答：编织1个大号中国结需用绳5米，编织1个小号中国结需用绳3米； 【小问2详解】 解：设编织了m个大号中国结，则编织了个小号中国结， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为45， 答：最多编织45个大号中国结． 26. 如图1，内接于⊙，连接并延长交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，点为弧上一点，延长至点使，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交⊙于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵经过圆心且， ∴， 又， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，再证明，可得； （2）连接、，证明四边形是平行四边形，得，再根据圆内接四边形的性质可得结论； （3）连接、，，．求出，证明，可得，证明是等边三角形，得，证明,得,取的中点，连接，证明，由勾股定理得，故可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接、，，． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中, ， ∴, ∴, 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又, ∴ ∴，， ∴， ∴． 27. 如图1，直线与轴交于，与轴交于，点在线段上，，点在轴正半轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若，的面积为，求与的函数解析式； （3）在（2）的条件下，如图2，点为第一象限内一点，点的纵坐标为3，连接、，，点在轴上，，连接，点为的中点，连接，过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）先求出点坐标，即可求解，再由建立函数关系式； （3）先通过构造全等三角形证明为等腰直角三角形，然后证明，结合三角形中位线定理得到，再通过全等证明，然后得到，最后证明，结合锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：延长交轴于点，过点作交延长线于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， 延长交轴于点，连接，过点作交于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度（上）九年级数学学科期中学业质量检测 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 《科学》杂志近期发表的一项成果显示，我国科学家开发出的天文模型“星衍”，可探测到距地球超过130亿光年的星系，其中130亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于⊙中，垂足为，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，平行于轴，将绕原点顺时针旋转到位置，交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线与交于点，动点从点出发，沿匀速运动至点时停止．设点的运动路程为，的长度为，与的函数图象如图所示，在点的运动过程中，当时，的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 12. 因式分解：________． 13. 计算的结果为_________． 14. 某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 15. 一个扇形的半径为，扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为_______． 16. 如图，为的弦，半径于点，连接，若，，则________． 17. 四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是__________． 18. 已知：在中，点E在射线上，连接，交对角线于点F；若，，则的长为____________． 19. 观察下列各式：①，②，③，④……，则第⑨个式子的结果值为_______． 20. 如图，在正方形中，，点、分别在、上，，连接、交于点，点、关于对称，连接、，延长交的延长线于点，以下结论：①；②；③；④连接，则的最小值为；其中正确的序号为_______． 三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分） 21. 先化简再求值：其中. 22. 如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段、．根据要求画图． （1）在图中画以为斜边的等腰直角三角形； （2）将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接、，直接写出四边形的面积． 23. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量（单位：）．把收集到的数据分成，，，，，，，八组，并绘制了如下频数分布直方图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次一共调查了多少个家庭？ （2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组． （3）若该小区有550个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于． 24. 如图，正方形和正方形，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，将正方形绕着点旋转，连接，若，，请直接写出正方形绕着点旋转过程中，长度的所有整数值． 25. “中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知编织2个大号中国结和3个小号中国结需用绳19米；编织4个大号中国结和1个小号中国结需用绳23米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450米．求最多编织多少个大号中国结． 26. 如图1，内接于⊙，连接并延长交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，点为弧上一点，延长至点使，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交⊙于点，连接，若，求的长． 27. 如图1，直线与轴交于，与轴交于，点在线段上，，点在轴正半轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若，的面积为，求与的函数解析式； （3）在（2）的条件下，如图2，点为第一象限内一点，点的纵坐标为3，连接、，，点在轴上，，连接，点为的中点，连接，过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $