精品解析：浙江温州环大罗山联盟2026-2027学年第一学期期中联考高一年级数学试题

2026学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件 考点：充分条件与必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 4. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，利用该性质结合在的函数值正负判断得解. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB； 当时，，此时函数图象在轴上方，排除C，D符合题意. 故选：D 6. 若命题 为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将存在量词命题为假转化为其否定的全称命题为真，再分二次项系数为0、大于0、小于0三种情况讨论函数恒成立的条件，合并得到参数范围. 【详解】命题为假命题等价于其否定“，”为真命题， 记， 当时，对任意恒成立，符合要求； 当时，二次函数图象开口向上，当绝对值足够大时， 不满足恒小于0的要求，舍去； 当时，二次函数图象开口向下，要满足恒成立，需判别式， ， 化简得， 结合解得； 综上，，故a的取值范围是. 7. 函数，对恒有，若时，的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为对恒有，所以关于对称， 故对称轴，解得，， 令解得；令解得或， 因为时单调递减；时单调递增， 若时，的值域为，则实数的取值范围是. 8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将问题转化为分段函数的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到的不等关系，再由题意可分析出的取值范围. 【详解】对于上任意不相同的，都有， 即对于上任意不相同的，都有， 所以是上的增函数，且， 所以，所以， 故由题意可知，存在使得， 所以，且最小值无限逼近， 所以， 故选：A. 非选择题部分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A需满足；选项B由可得，；选项C由可得，利用不等式性质即可；选项D运用基本不等式求最值时取不到等号. 【详解】选项A中，若，则无最小值，所以错误； 选项B中，如果， 则，，所以，所以正确； 选项C中，若， 则，则，所以正确； 选项D中，令，则， 当且仅当即时取到最小值，该方程无实数解，所以D错误. 10. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. 为上的减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，即可求得，判断A选项；令，由题意证明，判断B选项；令，化简等式，由奇偶性的定义得出结论，判断C选项；由奇偶性化简不等式，结合单调性即可求得的范围，判断D选项. 【详解】当时，，A选项正确； 对于任意的实数，则，则， 所以，所以函数在上单调递增，B选项错误； 令，则，所以， 所以，所以为奇函数，C选项正确； ，所以， 令函数，则函数为奇函数，且在上单调递增， 所以，即, 所以，即，D选项正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得偶函数 B. ，在上都不是单调函数 C. 若的最小值是，则 D. ，使得有三个不相等的实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过举特例判断A；分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断B；通过分类讨论，结合二次函数的最小值求出a的值，即可判断C； 通过举特殊值即可判断D. 【详解】对于A，当时，，定义域为， 且，此时为偶函数，故A正确. 对于B，当时，，对称轴为； 当时，，对称轴为. 所以， 且，，即在分段处函数值相等， 由于的对称轴在的对称轴的左侧， 故都不是上的单调函数，故B正确. 对于C，由B可知的最小值在或时取到， ，，， 当时，函数最小值在处取到，由， 解得或（均不符合，舍去）； 当时，函数最小值在处取到，由， 解得或（均不符合，舍去）； 当时，由，解得， 由，解得， 均符合题意. 故的最小值是时，则或，故C错误. 对于D，方程即，依题意需分析方程根的个数. 当时，分和两种情况讨论： 当时，方程的判别式为， 当时，方程的判别式为，此时方程必有两个不等根. 若取，则当时，方程有唯一实根，满足； 当时，方程有两个不等实根为，均满足. 故此时方程有，共三个不相等的实数根，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，函数值是一个定值，与参数a无关，即可得到定点. 【详解】令，则，， 所以函数图象恒过定点为. 故答案为： 13. 已知正数，，满足，则当取最大值时，的最小值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】由已知等式消元化简，借助二次函数的对称轴求得取最大值时的取值，然后得到的等式，将等式代入代数式由基本不等式求得代数式最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 由二次函数的对称轴可知，当时，取最大值， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 14. 集合，集合，规定：对任意有限集合，定义元素个数函数，满足集合中元素的个数．如，，若，则的值为________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，将用取整函数表示，求解方程时，设，推得，根据的范围确定整数的值即得. 【详解】由题意，，. 对于：其中的元素由集合中是的倍数构成，即，故； 对于：已有，则中补充了大于的的倍数（若存在）.因含有个元素， 其中小于的部分已在中，大于的部分是那些满足即且的的数，所以在中不在中的元素个数为. 故， 于是，即， 设，则，则， 因，则，因，则，， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合和集合，再根据交集的定义求出即可； （2）由题可知，分和两种情况，分别求出满足条件的的范围，最后取并集即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，解得，则集合， 当时，集合，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，符合，此时，解得； 当时，又，则，解得， 综上，当时，实数的取值范围为. 16. 已知幂函数在第一象限的大致图象如图所示． （1）求函数的解析式，判断奇偶性并证明； （2）利用单调性的定义，证明在区间上单调递增． 【答案】（1）因为是幂函数，所以，解得或， 由幂函数在第一象限的图象趋势可得，所以， 所以，； 另法：因为是幂函数，所以，解得或， 当时，的图象与题目所给图象不符，舍去； 当时，的图象与题目所给图象相符合，所以，. 因为，所以，定义域关于原点对称， 又对于，都有，所以为奇函数； （2）设，则， 因为，所以，， 所以， 所以，所以在区间上单调递增． 另法：设，则， 因为，所以，，，， 所以， 所以，所以在区间上单调递增． 【解析】 【分析】（1）先由幂函数的定义可得系数，求出或，再根据函数图象的变换趋势判断指数大于，从而求出函数表达式； 另法：先由幂函数的定义可得系数，求出或，再根据幂函数的性质求出函数表达式；根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义直接判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 近年来，随着大模型训练、智算中心建设和智能网联汽车的快速普及，市场对高算力芯片的需求持续增长．某芯片生产企业为扩大产能，准备再建一条AI芯片生产线．在现有条件下，每月生产（单位：千片）芯片，该芯片售价为万元/千片，且全部销售完．该生产线每月需投入万元的固定成本，另需投入的成本（单位：万元）与（单位：千片）的关系满足 （1）求每月的利润（单位：万元）关于月产量（单位：千片）的函数解析式． （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量． 【答案】（1） （2）该企业每月所获取的最大利润是万元，月产量片． 【解析】 【分析】（1）由题知，分类讨论的取值可求出的解析式. （2）由（1）得的解析式，分类讨论的取值求出函数的最大值. 【小问1详解】 当月产量为千片时，销售额为（万元）， ． 又 当时， ； 当时， ． . 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 当且仅当时，等号成立． 当时，， 当且仅当，即时，等号成立． ，该企业每月所获取的最大利润是1120万元，此时月产量为千片即片． 18. 已知函数，，． （1）若是方程的根，解关于的不等式； （2）当时，求函数在的最小值； （3）若方程在上有两个不同实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意求出的值，然后解不等式即可. （2）将代入函数，对分类讨论，然后求出函数的最小值. （3）方法一：分离常数，将方程的根转换为两函数的交点，然后求实数的取值范围. 方法二：讨论参数，对分类讨论，讨论在的不同范围内的取值范围. 【小问1详解】 即，， 由，，. 【小问2详解】 当时， ①当时，，，令，函数为对勾函数在上单调递减， 函数在上单调递减，． ②当时，，，函数在上单调递增， 综上所述，函数在的最小值为. 【小问3详解】 方法一：由题意得，即， 令，，设 由题意得与图象有两个不同交点， 易知函数在上单调递增， 由，，， 函数在上单调递减，且， 如图所示； ． 方法二：令 ①当时，，只有一个根，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，函数在上单调递减， 且，函数在上单调递减，最多只有一个零点故舍去； ③当时，函数在区间上为对勾函数，且，， 函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数的大致图像如图所示； 由题意，， ④当时，函数在区间上为对勾函数，且，， 函数在上单调递减，函数在上单调递增，函数的大致图像如图所示； ，，，， 综上所述，． 19. 已知函数，． （1）求的值； （2）对，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）求函数在上的最小值的最大值． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式展开化简求值. （2）利用变形，令，求出t范围；分离参数m，转化为求函数最值. （3）化简，设，得到关于u的二次函数，根据对称轴和区间的位置关系分类写出最小值，再分析分段函数的最大值 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ，不等式 函数在上单调递增，，令， 由对勾函数性质可得函数 在上单调递减，在上单调递增，所以 又 所以，不等式恒成立恒成立， 因此，由飘带函数性质得函数在上单调递减， 所以时，，因为恒成立，所以即. 【小问3详解】 由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，． 综上：． 所以易得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设R，则“＞1”是“＞1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若命题 为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，对恒有，若时，的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，存在实数且，对于上任意不相同的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的最小值是4 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 的最小值是2 10. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. 为上的减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得偶函数 B. ，在上都不是单调函数 C. 若的最小值是，则 D. ，使得有三个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数且的图象恒过定点A，则A坐标为______． 13. 已知正数，，满足，则当取最大值时，的最小值为________． 14. 集合，集合，规定：对任意有限集合，定义元素个数函数，满足集合中元素的个数．如，，若，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合 （1）当时，求集合及； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数在第一象限的大致图象如图所示． （1）求函数的解析式，判断奇偶性并证明； （2）利用单调性的定义，证明在区间上单调递增． 17. 近年来，随着大模型训练、智算中心建设和智能网联汽车的快速普及，市场对高算力芯片的需求持续增长．某芯片生产企业为扩大产能，准备再建一条AI芯片生产线．在现有条件下，每月生产（单位：千片）芯片，该芯片售价为万元/千片，且全部销售完．该生产线每月需投入万元的固定成本，另需投入的成本（单位：万元）与（单位：千片）的关系满足 （1）求每月的利润（单位：万元）关于月产量（单位：千片）的函数解析式． （2）求该企业每月所获取的最大利润及相应的月产量． 18. 已知函数，，． （1）若是方程的根，解关于的不等式； （2）当时，求函数在的最小值； （3）若方程在上有两个不同实根，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）求的值； （2）对，不等式恒成立，求实数m的取值范围； （3）求函数在上的最小值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $