精品解析：北京市育英学校2026-2027学年高一年级A班第一学期期中练习数学试题

2026-2027学年第一学期育英学校期中练习 高一年级A班 数学 2026.11 一､单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得集合，再求交集即得. 【详解】由可得，解得，即， 因故. 故选：D. 2. 某人从标有的张卡片中随机抽取一张，记事件“抽出的卡片上的数为奇数”，“抽出的卡片上的数是的倍数”，事件“抽出的卡片上的数大于”，则下列说法错误的是（） A. 事件与互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知样本空间为，，； ，；，， A选项：，所以与互斥，A选项正确； B选项：因为互斥，所以，B选项正确； C选项：，所以，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确. 3. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值. 【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则， 4. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将原函数拆分为奇函数与常数的和，利用奇函数在对称区间上最大值与最小值互为相反数的性质求解. 【详解】构造函数，其定义域为，关于原点对称，  ，因此为奇函数， 设的最大值为，最小值为，由奇函数的性质得， 由于，故的最大值，最小值， 因此. 5. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得函数为偶函数，且在区间上为单调递增函数，结合指数函数与幂函数的单调性，求得，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为偶函数， 当时，，可得在区间上为单调递增函数， 又由， 因为幂函数在上为单调递增函数，可得， 又因为指数函数在上为单调递增函数，可得， 所以，则，即. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误； ， 则，B错误； 首先将数据从小到大排序：，共8个数据， 则，因为不是整数，所以第70百分位数是第6个数，是23，C正确； 根据方差的性质，若数据乘以一个常数，则新数据的标准差为原标准差的倍， 这里，原标准差为8，则新数据的标准差为，D错误. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将用对数的换底公式和运算性质进行变形，得到的范围，再求出的范围，即可判断. 【详解】 , 所以， ， 分析充分性： 若，因为，所以不能推出，所以充分性不成立； 分析必要性： 若，因为，，所以可以推出，所以必要性成立. 8. 设，，，．若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过指数与对数的互化求出，再利用基本不等式求的最大值，结合对数函数的单调性即可得到所求最大值. 【详解】由，可得，同理，，可得， 因此，，故， 因为，，所以，化简得，即，当且仅当时等号成立， 因为对数函数在定义域上单调递增，所以当取最大值3时，取得最大值， 即的最大值为1. 9. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ） （） A. 6697 B. 6698 C. 6699 D. 6700 【答案】D 【解析】 【详解】设，设它的位数为，根据位数定义，存在整数，满足， 则， 由，得，因为， 所以， 故，且，所以， 所以的位数是. 10. 设函数的定义域为，如果对于任意的，都存在，使得（其中为常数）成立，则称函数在上“与常数相关联”. 给定函数①；②；③；④；则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据常数1相关联的定义得，判断对于任意的，是否存在即可． 【详解】若在其定义域上与常数1相关联，则满足， 的定义域为，由得， 即，当时，，此时无解，不满足条件； 的定义域为，由得， 即唯一，满足条件； 定义域为，由得； 即， 当时，无解，不满足条件． 定义域为，由得得， 即；，满足唯一性，满足条件. 故满足条件的函数是. 二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. _______，=_______ 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】①由对数恒等式即可得到结果②，由幂的乘方，底数不边，指数相乘即可求解 【详解】①因为，所以 ② 12. 已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 13. 若在上满足，都有，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得为上的增函数，所以分段函数的两段都是增函数，并且分界点右侧的函数值大于等于左侧的函数值，列式求解即可. 【详解】由 ，都有得为上的增函数， 所以，解得， 所以的取值范围为. 14. 为落实北京市校园体育“班班赛”活动要求，某校高一年级举办了篮球班级联赛．甲、乙两名球员在目前已完赛的比赛中得分（单位：分）如下： 场次 选手 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 甲 15 14 8 15 16 15 15 乙 19 10 11 24 17 6 20 13 若甲打完第8场比赛后，每场得分的平均数恰与乙相等，则甲第8场的得分为________．此时，每场得分的数据方差较小的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】 ①. 22 ②. 甲 【解析】 【详解】设甲第8场的得分为，则有， 解得，即甲第8场的得分为22； 所以甲乙两人每场得分的平均数都是15， 甲每场得分的数据方差为， 乙每场得分的数据方差为， ，所以每场得分的数据方差较小的是甲. 15. 设函数，给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，方程恰有4个实数根： ③存在，使得： ④若实数，且． 则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式画出图象，根据对数函数和二次函数的性质对每个结论进行辨析即可. 【详解】对于①： 当时，，此时； 当时，，因为抛物线的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，所以函数的值域为，所以①错误； 对于②： 根据分段函数的表达式，画出对应的图象为： 由图象可以看出，对，与直线恰有3个交点， 所以方程恰有3个实数根，所以②不正确； 对于③： 因为时，，所以， 问题转化为二次函数和函数的图象是否有交点问题， 根据图象可以看出，两个函数的图象存在交点，③成立； 对于④： 由图象可知，，即. ，即. 所以，由图可知， 而在上单调递减，所以， 所以， 则的最大值为，故④正确. 所以③④正确. 三､解答题（共4题，16题10分，17题10分，18题10分，19题10分，共40分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程） 16. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 【小问3详解】 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 17. 为更好地进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 人 人 人 人 方案二 人 人 人 人 假设不同学生对活动方案是否支持的事件相互独立． （1）分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率､该校女生支持方案一的概率； （2）从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取1人，估计这2人中恰有1人支持方案一的概率； （3）将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有名男生和名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）估计该校高三男生支持方案一的概率为，女生支持方案一的概率为； （2）估计这2人中恰有1人支持方案一的概率为； （3） 【解析】 【分析】（1）用样本中男、女生支持方案一的频率，分别估计对应总体的概率； （2）将 “恰有 1 人支持” 拆分为两种互斥的独立情形，利用独立事件概率公式分别计算后求和； （3）结合男女各自的支持率，通过比较该班与全年级的支持率，推导整体支持率与其余班级支持率的大小关系． 【小问1详解】 由数据调查表可知： 抽取男生人，支持方案一的有人，概率为； 抽取女生人，支持方案一的有人，概率为． 【小问2详解】 设“男生支持方案一”为事件A，“女生支持方案一”为事件B，A与B相互独立， 由（1）知，， 故． 【小问3详解】 由数据调查表可知： 支持方案二的概率是整体男女加权平均，男女比例为，男生支持率， 女生支持率，故； 该班男女比例，故该班支持方案二的频率估计值为， 即该班支持率低于全年级平均水平， 因此去掉该班后剩余班级的平均支持率高于全年级平均，则． 18. 已知 （1）判断的单调性；并证明你的结论 （2）若有解，但不恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在定义域上单调递减， 证明：令， 则， 由，， 即，， 故在定义域上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，结合函数的奇偶性与单调性将问题转换为有解且不恒成立，结合函数的值域求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由且，得， 则函数为奇函数. 由，可得， 所以， 由（1）知：，即有解，但不恒成立， 时，， 又为奇函数，的值域为， 由有解，， 又若恒成立，则， 有解，但不恒成立得. 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；②若对任意的，均有，则称与关于任意交换. （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若与关于唯一交换，求的值. 【答案】（1）与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程解的情况判断即可； （2）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又， ， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以，经检验符合题意， 综上所述，的取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期育英学校期中练习 高一年级A班 数学 2026.11 一､单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某人从标有的张卡片中随机抽取一张，记事件“抽出的卡片上的数为奇数”，“抽出的卡片上的数是的倍数”，事件“抽出的卡片上的数大于”，则下列说法错误的是（） A. 事件与互斥 B. C. D. 3. 若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，的最大值M，最小值为m，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 5. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（  ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.01； B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设，，，．若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ） （） A. 6697 B. 6698 C. 6699 D. 6700 10. 设函数的定义域为，如果对于任意的，都存在，使得（其中为常数）成立，则称函数在上“与常数相关联”. 给定函数①；②；③；④；则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①② 二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. _______，=_______ 12. 已知函数，若，则的取值范围是________． 13. 若在上满足，都有，则实数的取值范围为_________. 14. 为落实北京市校园体育“班班赛”活动要求，某校高一年级举办了篮球班级联赛．甲、乙两名球员在目前已完赛的比赛中得分（单位：分）如下： 场次 选手 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 甲 15 14 8 15 16 15 15 乙 19 10 11 24 17 6 20 13 若甲打完第8场比赛后，每场得分的平均数恰与乙相等，则甲第8场的得分为________．此时，每场得分的数据方差较小的是________（填“甲”或“乙”）． 15. 设函数，给出下列四个结论： ①函数的值域是； ②，方程恰有4个实数根： ③存在，使得： ④若实数，且． 则的最大值为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三､解答题（共4题，16题10分，17题10分，18题10分，19题10分，共40分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程） 16. 已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 17. 为更好地进行初高中数学知识的衔接，某校设计了两种衔接方案：方案一：在讲高中知识之前集中进行衔接知识的学习，方案二：随着高中知识的学习，分散加入衔接知识，为了解学生对两种方案的支持情况，该校对即将毕业的高三学生开展了调查，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 人 人 人 人 方案二 人 人 人 人 假设不同学生对活动方案是否支持的事件相互独立． （1）分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率､该校女生支持方案一的概率； （2）从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取1人，估计这2人中恰有1人支持方案一的概率； （3）将该年级学生支持方案二的概率估计值记为．假设该年级某班有名男生和名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为．试比较与的大小．（结论不要求证明） 18. 已知 （1）判断的单调性；并证明你的结论 （2）若有解，但不恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义：①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；②若对任意的，均有，则称与关于任意交换. （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若与关于唯一交换，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $