精品解析：北京市八一学校2026-2027学年高一上学期中练习数学试题

北京市八一学校教育集团2026-2027学年第一学期期中练习 高一年级数学 2026.11 本试卷共3页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】已知全集，集合， 所以. 2. 下列各选项中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的定义，判断两函数的定义域即解析式是否相同，即可得解； 【详解】解：对于定义域为，且 对于A：定义域为，函数解析式不相同，故不是同一函数； 对于B：不满足函数的定义，不是函数； 对于C：定义域为，定义域相同且函数解析式一样，故是同一函数； 对于D：定义域为，定义域不相同，故不是同一函数； 故选：C 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据绝对值不等式的基本性质，原不等式可等价转化为， 所以，解得， 因此原不等式的解集为. 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对选项运用奇偶性和单调性的定义，结合常见函数的奇偶性和单调性，判断即可得到结论. 【详解】对于选项A，函数，定义域为，且，故此函数为非奇非偶函数； 对于选项B，函数，定义域为，且，故此函数为偶函数； 对于选项C，函数，定义域为，且， 所以函数为奇函数，但函数在上为减函数，故此函数不符合； 对于选项D，函数，定义域为，且，故此函数为奇函数，根据基本初等函数可知此函数在定义域上单调递增，符合条件. 5. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案. 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】， 令， 即或， 解得或或， 所以函数的零点所在区间为和. 7. 已知函数，则有（ ） A. 最大值，最小值 B. 最大值，无最小值 C. 最小值，无最大值 D. 最大值，最小值 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数的定义域，再判断函数在定义域内的单调性，结合闭区间上单调函数的最值性质确定函数的最大、最小值. 【详解】要使有意义，需满足被开方数非负，即，解得定义域为. 易知在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增；两个增函数的和仍为增函数， 故在定义域上单调递增. 由于是闭区间上的单调递增函数， 因此当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. 因此函数有最大值1，最小值. 8. 若偶函数的定义域为，则“在上有最大值”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合偶函数的性质，根据充分条件、必要条件的定义，分别验证两个命题间的推出关系即可判断. 【详解】设命题：在上有最大值；命题：在上单调递增. 充分性：若成立，即在上有最大值，无法推出成立. 例如取偶函数，定义域为， 其最大值为，满足成立，但在上单调递减，不满足成立. 所以不是的充分条件； 必要性：若成立，即在上单调递增. 根据单调递增函数的定义，对任意，均有， 由于是定义域为的偶函数，因此对任意，有， 其中，故. 所以，对任意，均有，即在上存在最大值，满足成立. 所以是的必要条件. 综上所述，“在上有最大值”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 9. 已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向、对称轴与单调性，结合区间上最小值为的约束条件推导实数的取值范围. 【详解】，可得该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增； 因为在上的最小值为，所以区间完全包含在函数的单调递减区间内，所以， 结合区间的定义，得，所以， 所以实数的取值范围为. 10. 若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 11. 设是上的奇函数，且当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质推导函数在全体实数域上的解析式，判断函数的全局单调性，将抽象函数不等式转化为二次不等式求解 【详解】由是上的奇函数，可得，且对任意，满足， 当时，，得，故， 当时，为开口向下的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，且此时； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，因此在上单调递增，且此时； 函数在处连续，因此是上的严格单调递增函数， 由函数的单调性，不等式等价于，整理得，解得， 因此不等式的解集是. 12. 设是的非空子集．对于，如果且，则称是的一个“孤立元”．给定集合，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 24 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”， 因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素． 因此，符合题意的集合是： 共6个． 第二部分（非选择题 共64分） 二、填空题共9小题，每小题3分，共27分． 13. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求解该带二次根式的分式型函数定义域，需联立被开方数非负、分母不为零的约束条件，取解集的交集得到最终结果. 【详解】要使得有意义，则 ，解得且，所以的定义域为. 14. 如图所示是函数的图象，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数图象，结合待定系数法进行求解即可直接求解即可. 【详解】当时，设一次函数的解析式为，过两点， 所以有， 所以， 故答案为： 15. 已知正实数、满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 16. 在上单调递减的一个函数可以为_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】依据函数单调递减的定义，构造满足任意，都有的初等函数即可． 【详解】定义域的函数， 任取，且． ①若，则，即； ②若，则，即； ③若，则，，可得． 三种情况都满足，完全符合单调递减的定义． 所以在上单调递减的一个函数可以为. 17. 若函数的值域为，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，，要的值域为,只需满足时，，讨论的取值情况，即可得出结论. 【详解】当时，，若，时，，的值域不是；若，时，，的值域不是，若，时，，所以当时，的值域为，所以的取值范围是. 故答案为: . 【点睛】本题考查已知分段函数值域求参数取值范围问题,考查分类讨论的思想,属于中档题. 18. 设偶函数的定义域为，且的部分图象如图所示，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用为偶函数，补全的图象，再利用图象解不等式即可. 【详解】偶函数的定义域为，作关于轴的对称图象，如下图， 由可得或， 由图可得或， 所以不等式的解集为. 19. 用二分法求函数的零点，若初始区间选为，则所求得的零点为_________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，当时，， 由函数零点存在性原理知，在区间上有零点， 又时，，所以在区间上有零点， 取，此时，所以利用二分法求得的零点为. 20. 设的定义域为，值域为．若，则满足条件的的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，且中至少含中的一个，再根据中元素个数分类讨论即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，当且时， 若中只有个元素，除元素外，还可是元素共有种情况， 若中有个元素，除元素外，还可是元素和，和，和，和，和，和，和，和，和，和共种情况， 若中有个元素，除元素外，还可是元素；；； ；；；；；；共种情况， 若中有个元素，除元素外，还可是元素；；；；共种情况， 若中有个元素，则，所以当且时，的个数为， 同理可知当且时，的个数为， 当且时，只需在符合且时的集合中增加元素即可，所以当且时，的个数为， 综上所述，满足条件的的个数为. 21. 高一2班沈跃然同学在学习完高中数学必修一后给同学们写出了以下四个结论： ①命题“，”的否定是“，”； ②若在内的图象是连续不间断的，且，则在内至少有一个零点； ③若函数的值域为，则的定义域可能为的真子集； ④若，，，则的最大值为，且． 其中有正确的，也有故意写错的．其中所有正确结论的序号为_________． 【答案】③ 【解析】 【分析】①特称命题否定时要留意式子定义域，时分式无意义，题目的否定写法不对；②零点存在定理要求在闭区间连续，仅开区间连续不满足定理条件； ③可以构造例子，定义域是的真子集，映射后值域刚好为；④连续套用基本不等式时，等号成立条件冲突，不能这样递推放缩. 【详解】①原命题里的分式要求，而自然数集含0， 所以这条命题实际讨论的范围是（即不为0的自然数）， 在这个范围内，等价于，没有自然数解，原命题为假； 命题与其否定必然一真一假，按题目写法得到“”， 当时分式无意义，这句话既不能判真也不能判假， 所以它不是原命题的否定，正确的否定应写成“”，①错； ②零点存在定理的完整条件有两层： 函数在闭区间上的图象连续不间断，且，才能保证内至少有一个零点； 题目只说明在内连续，端点、处可能间断，结论随即失效； 反例：令，，当时， 此时在内连续，，但时，区间内没有零点，②错； ③取定义域，它是的真子集， 令（），则值域为，③对； ④前半句没有问题：由基本不等式，，当且仅当时取等，所以的最大值确为1； 后半句的两步不等式各自都成立，问题出在取等条件不同： 第一步，即；第二步由得，即， 这种连续放缩求最值，必须保证每一步的等号条件可以同时满足，否则得到的下界无效， 因此只是的一个偏小的下界，不是的最小值，④错. 三、解答题共4小题，共37分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 22. 已知集合 ，． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）实数的取值范围为 【解析】 【小问1详解】 对于集合， 不等式等价于， 解得，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集，因为， 所以可得不等式组或， 解得， 所以实数的取值范围为. 23. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求函数在上的最值． 【答案】（1）函数为偶函数，证明如下： 函数的定义域为. ， 所以函数为偶函数. （2）证明：任取， 则， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义证明判断即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）根据函数为偶函数及在上单调递增得到在上单调递减，再根据单调性和最值的关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数为偶函数，且在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 故在处取得最大值，为. 又，， 故函数在上的最小值为. 故函数在上的最小值为，最大值为. 24. 已知函数， （1）若，求在区间上的最小值； （2）若在区间上有最大值3，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数的值 试题解析：解：（1）若，则 函数图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，有又， （2）对称轴为 当时，函数在在区间上是单调递减的，则 ，即； 当时，函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则，解得，不符合； 当时，函数在区间上是单调递增的，则 ，解得； 综上所述，或 点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式. 25. 已知函数满足：，均有，且． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）求的值． 【答案】（1），；（2）奇函数，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）令可求，令可求； （2）令即可判断； （3）令可得，再由奇函数性质可求出. 【详解】（1）令，则，则， 令，则； （2）令，则， 即，， 是奇函数； （3）令，则，则， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市八一学校教育集团2026-2027学年第一学期期中练习 高一年级数学 2026.11 本试卷共3页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则有（ ） A. 最大值，最小值 B. 最大值，无最小值 C. 最小值，无最大值 D. 最大值，最小值 8. 若偶函数的定义域为，则“在上有最大值”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数在上的最小值为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 设是上的奇函数，且当时，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 设是的非空子集．对于，如果且，则称是的一个“孤立元”．给定集合，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合的个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 24 D. 6 第二部分（非选择题 共64分） 二、填空题共9小题，每小题3分，共27分． 13. 函数的定义域为_________． 14. 如图所示是函数的图象，则的值为______． 15. 已知正实数、满足，则的最小值为______. 16. 在上单调递减的一个函数可以为_________． 17. 若函数的值域为，则的取值范围是______. 18. 设偶函数的定义域为，且的部分图象如图所示，则不等式的解集是_________． 19. 用二分法求函数的零点，若初始区间选为，则所求得的零点为_________． 20. 设的定义域为，值域为．若，则满足条件的的个数为_________． 21. 高一2班沈跃然同学在学习完高中数学必修一后给同学们写出了以下四个结论： ①命题“，”的否定是“，”； ②若在内的图象是连续不间断的，且，则在内至少有一个零点； ③若函数的值域为，则的定义域可能为的真子集； ④若，，，则的最大值为，且． 其中有正确的，也有故意写错的．其中所有正确结论的序号为_________． 三、解答题共4小题，共37分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 22. 已知集合 ，． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 23. 已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）求函数在上的最值． 24. 已知函数， （1）若，求在区间上的最小值； （2）若在区间上有最大值3，求实数的值. 25. 已知函数满足：，均有，且． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $