精品解析：北京市北京中学2026-2027学年高一（直升班）第一学期期中质量调研数学试题

2026—2027学年度第一学期期中质量调研试题 年级：高一直升 学科：数学 本试卷共6页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程化为一般式即可. 【详解】直线斜率，点斜式为，一般式为， 故选：B. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 3. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 已知直线，直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行可得出关于实数的等式，进而计算即可求解. 【详解】若，则，解得. 故选：C 5. 已知点P在椭圆上，点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意由椭圆标准方程以及椭圆定义即可得出结果. 【详解】由椭圆方程为可知， 则，即为椭圆的左、右焦点， 由椭圆定义可得. 故选：C 6. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率为求出m，进而求得答案. 【详解】椭圆的离心率为，当时，，得； 当时，，得． 即“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件． 故选：A. 7. 直线与圆相切，则a的值为（ ） A. 1， B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】圆化成圆的标准方程为：， 故圆的圆心为，半径为1， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：D. 8. 已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆过一点可得椭圆方程，再根据椭圆方程中的关系可得的值，从而得椭圆的焦距. 【详解】已知椭圆过点得，解得， 故椭圆方程为， 设椭圆的半焦距为，则，则， 所以该椭圆的焦距为. 故选：C. 9. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，弦长， ，即，解得， ， ，故. 10. 在正方体中，点为的中点，平面内动点满足平面，若，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，连接，通过平面平面，确定在上，再由三角形面积公式求得到的距离即可. 【详解】 取的中点为， 连接， 由三角形的中位线可知：， 在正方体中易知：， 所以， 又在平面内， 不在平面内， 所以不在平面内， 所以平面，平面， 又为平面内两条相交直线， 所以平面平面， 因为平面， 所以在平面内，又在平面内， 所以在平面与平面的交线上，即上， 又 在三角形中，, 则， 设到的距离为，即为线段的最小值， 由三角形面积公式得：， 解得：， 即线段的最小值为， 故选：C 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】直线的斜率为， 则与直线垂直的直线的斜率为2， 则直线方程为，即. 故答案为： 12. 若向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】空间向量垂直，则空间向量的数量积为0，进而列出方程，求得结果 【详解】因为，所以，即，解得： 故答案为： 13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得弦长等于直径，直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程求解. 【详解】由题意知圆心坐标为，半径为3，则直径为6， 因为直线被圆截得的弦长为6，所以直线经过圆心， 则，解得， 故答案为：1. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可求解. 【详解】因为椭圆，所以可得，所以， 又因为点为椭圆上一点，所以. 故答案为：. 15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故得解. 【详解】因为椭圆，所以，故，，如图，令， 因为，所以，即， 结合图象，由平面向量的知识可得，故， 两式相加得，即，即， 由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得， 所以，故， . 故答案为：. 16. 如图，在正方体中，，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①存在点，使得三棱锥的体积为； ②存在点，使得与所成角的大小为； ③点到平面的距离随的增大，先变大再变小； ④直线与平面所成的角随的增大，先变大再变小. 其中所有正确结论的序号是_____________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】对于①三棱锥以作为底面,为高就可以作答，对于②需要利用平行的关系将其转化为另外一个角度计算，对于③根据平行关系转化点到平面的距离，对于④利用面面平行关系转化角度计算. 【详解】①三棱锥体积可看作作为底面,为高， 所以,又因为点在线段上运动，的最大值是2,所以体积的范围是，因为,故①正确. ②因为,所以与所成角等于与所成角， 即,,在三角形内的最小值为,最大值是2, 所以,而,不在范围内，故②错误. ③因为,,,所以. 点到平面的距离等于点到平面的距离，如图 过C作的垂线,交于点E,又因为,所以, 又因为,所以,所以点到平面的距离是的长. 由图形可得,逐渐减小，所以也逐渐减小，故③错误. ④因为，所以直线与平面所成的角等于直线与所成的角，即，,因为是先减小后增大的，所以就先增大后减小,故④正确. 故答案为：①④ 三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，. （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由中点坐标公式得中点坐标为，进而根据点斜式方程求解即可； （2）先根据直线的斜率得高的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，三个顶点坐标分别为，，， 设中点坐标为，由中点公式可得，， 即中点坐标为，又由斜率公式，可得， 所以中线所在直线的方程为，即 【小问2详解】 解：由，可得， 所以上的高所在直线的斜率为， 则上的高所在直线的方程为，即. 18. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径； （2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解. 【小问1详解】 圆， 则圆心，因为圆与轴相切，则半径. 由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为2. 【小问2详解】 法一：设， 联立，得， ， 则， 所以. 法二：圆心到直线的距离， 则. 故. 19. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为，分别为，的中点，所以． 在三棱柱中，， 所以，四点共面． 因为，，、分别为、的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形． 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，依题意可得，从而得到，再说明，，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设平面，平面，所以，， 因为，所以两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 则，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，于是， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的方程； （2）分析可知，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点的坐标，分析可得，利用两点间的距离公式可求得的值. 【小问1详解】 由题设得，解得，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由，得， 由，得. 设、，则，， 所以点的横坐标，纵坐标， 所以直线的方程为. 令，则点的纵坐标，则， 因为，所以点、点在原点两侧. 因为，所以，所以. 又因为，， 所以，解得，所以. 21. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为. 【解析】 【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解. 【详解】(Ⅰ)满足的元素为 （Ⅱ）记，， 注意到，所以， 所以 因为，所以 所以中有个量的值为1，个量的值为0. 显然 ， 当，时， 满足，.所以的最大值为 又 注意到只有时，，否则 而中个量的值为1，个量的值为0 所以满足这样的元素至多有个， 当为偶数时，. 当时，满足，且. 所以的最小值为 当为奇数时，且，这样的元素至多有个， 所以. 当，时，满足，. 所以的最小值为 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，. （Ⅲ）中的元素个数最大值为 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记 ， 显然 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ，则 则中至少存在两个元素 ， 因为，所以不能同时为 所以对中的一组数而言， 在集合中至多有一个元素满足同时为 所以集合中元素个数不超过个 所以集合中的元素个数为至多为 . 记 ，则中共个元素， 对于任意的，，. 对，记其中，， 记， 显然，，均有. 记，中的元素个数为，且满足，，均有. 综上所述，中的元素个数最大值为. 【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中质量调研试题 年级：高一直升 学科：数学 本试卷共6页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 经过点且倾斜角为45°的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知直线，直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8 5. 已知点P在椭圆上，点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. “”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 直线与圆相切，则a的值为（ ） A. 1， B. C. 1 D. 8. 已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，点为的中点，平面内动点满足平面，若，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______________． 12. 若向量，且，则___________. 13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则__________. 15. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一动点，过和原点作直线与椭圆的蒙日圆相交于，，则________. 16. 如图，在正方体中，，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①存在点，使得三棱锥的体积为； ②存在点，使得与所成角的大小为； ③点到平面的距离随的增大，先变大再变小； ④直线与平面所成的角随的增大，先变大再变小. 其中所有正确结论的序号是_____________. 三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，. （1）设线段的中点为，求中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 18. 已知圆与轴相切. （1）直接写出圆心的坐标及的值； （2）直线与圆交于两点，求 19. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值. 21. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记 （Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素 （Ⅱ）设且，求的最大值和最小值； （Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $