精品解析：浙江湖州市安吉县2026-2027学年九年级上学期11月期中学科素养练习数学

2026学年第一学期九年级学科素养练习 数 学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上填涂姓名和考生号． 3．答题时，必须在答题纸的对应位置答题，写在其他地方无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 3. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 5. 如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位后，再作关于轴的轴对称变换得到二次函数．则的解析式，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 的直径为，弦为，是弦上一点，若的长是整数，则满足条件的点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 已知二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 8 … … 4 1 4 … 则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知抛物线（为常数）经过点．设，抛物线（）夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是______． 13. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 15. 如图，四边形内接于，，．若，，则的长为______． 16. 如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数（）的图像过点、、． （1）试求该二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 19. 如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． （1）若，求的度数． （2）求证：平分． 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22. 已知y关于x的二次函数为，其中m为常数且． （1）当二次函数图象与x轴有且只有一个交点时，求m的值和此时函数图象的对称轴． （2）当时，函数值y的最小值为1，求m的值． 23. 根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景 素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点． 心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线于点，交直线于点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点． 问题解决 （1）任务1 确定心形叶片的形状：求顶点和点的坐标． （2）任务2 研究心形叶片的尺寸：求叶片此处的宽度的长． 24. 如图，内接于，，于点，延长交于点． （1）如图①，若是等边三角形，求证：； （2）如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． ①求证：； ②如图③，作的直径，若，求的最小值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级学科素养练习 数 学 温馨提示： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上填涂姓名和考生号． 3．答题时，必须在答题纸的对应位置答题，写在其他地方无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知圆O外一点A到圆心O的距离为4，则圆O的半径可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系， 点A在圆外，因此点A到圆心的距离大于圆的半径，据此确定半径的取值范围即可得到答案． 【详解】∵点A在圆O外， ∴的长大于圆O的半径， ∵， ∴圆O的半径小于4， ∴圆O的半径可能是3， 故选：A． 2. 已知杭州市区昨天晴，今天晴，那么“杭州市区明天天晴”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，也属于不确定事件，据此判断即可． 【详解】解：∵天气情况的变化是随机的，明天可能晴也可能不晴， ∴“杭州市区明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生， ∴它是随机事件． 故选：B． 3. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移4个单位长度， ∴变为． ∵再向上平移2个单位长度， ∴． 故选B． 4. 如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解题的关键． 连接，，，，根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵，即为等边三角形， ∴， ∴， 又为的外角， ∴，即．   故选：B ． 5. 如图，为直径，弦于E，，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 6. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 7. 将二次函数的图象向右平移2个单位后，再作关于轴的轴对称变换得到二次函数．则的解析式，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减，关于ｘ轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，解答即可． 【详解】解：向右平移2个单位得.关于轴对称后得． 8. 的直径为，弦为，是弦上一点，若的长是整数，则满足条件的点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的对称性，垂径定理，求出弦心距，得到的取值范围，根据圆的对称性即可得出结果． 【详解】解：∵的直径为，弦为， ∴弦心距为， ∵是弦上一点， ∴， ∵的长是整数， ∴或或； 根据圆的对称性可知，当或，各有个位置， ∴满足条件的点有5个； 故选：D． 9. 已知二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 8 … … 4 1 4 … 则关于的方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格可知，和时函数值相等， ∴ 二次函数的对称轴为直线， 当时，，即， 方程可变形为， 即求时对应的值， 由表格得时， 设另一解为， 根据二次函数的对称性，得， 解得， 故方程的解为，． 10. 已知抛物线（为常数）经过点．设，抛物线（）夹在两条均与轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线解析式及顶点坐标，结合区间包含对称轴的条件，当纵坐标跨度恰为时，取得最大值． 【详解】解：将代入，得， 解得， 抛物线解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 在范围内，该段抛物线的最小值为， 要使最大，需该段抛物线的纵坐标最大值与最小值的差为，即最大值为， 令，则， 解得，， 的最大值为． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出的抛物线解析式为二次函数的顶点式，可直接匹配顶点式的坐标特征求解，无需额外变形计算． 【详解】解：二次函数的顶点式为（），其图像的顶点坐标为． ∵ 题目中抛物线的解析式为，与顶点式结构对应可得，． ∴ 该抛物线的顶点坐标为． 12. 在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球，则任意摸出一球是红球的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式的计算方法，根据概率公式求解即可． 【详解】解：在一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的2个黄球，3个红球， 任意摸出一球是红球的概率是， 故答案为：． 13. 圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 【答案】5 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 14. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键． 先利用平行线和圆周角性质证明三角形为等腰直角三角形，求出相关线段长度，再结合圆心角与圆周角的关系及直角三角形性质，最终求出的长． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得：三角形是等腰直角三角形， ∴，即， 解得， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴即， 解得 ∵是等腰直角三角形 ∴ 故答案为： 16. 如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，翻折变换．设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据圆周角定理可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，然后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，进而求出的长，最后在中，根据含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：设折叠后的所在圆的圆心为，连接，，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ，， 与是等圆， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，， ， ，则 的半径为： 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知二次函数（）的图像过点、、． （1）试求该二次函数的解析式； （2）判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 点不在该二次函数的图象上. 理由：将代入， 得， ， 点不在该二次函数的图象上． 【解析】 【分析】 【小问1详解】  解： ∵ 二次函数的图象过点、， ∴ 设该二次函数的解析式为， 将点代入解析式，得， 即， 解得， ∴ ； 【小问2详解】 略 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 19. 如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上． （1）若，求的度数． （2）求证：平分． 【答案】（1） （2） 证明：四边形为的内接四边形， ∴， 又， ， ， ， 即平分． 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，关键是利用弧的度数求圆周角，结合等腰三角形与外角性质证角平分线，易错点是弧与圆周角的对应关系混淆； （1）由弧的度数得圆周角，结合等腰求，再用同弧所对圆周角相等求； （2）利用圆内接四边形外角等于内对角，结合同弧圆周角相等证． 【小问1详解】 解： 为等腰三角形， ， ， ， ， 【小问2详解】 略 20. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 22. 已知y关于x的二次函数为，其中m为常数且． （1）当二次函数图象与x轴有且只有一个交点时，求m的值和此时函数图象的对称轴． （2）当时，函数值y的最小值为1，求m的值． 【答案】（1），对称轴是直线 （2）m的值为， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据方程有2个相同的实数根求出m的值，进而根据二次函数的性质求出对称轴； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分3种情况根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 ∵二次函数图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有2个相同的实数根， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴对称轴是直线； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线开口向上． ∵ ∴对称轴是直线， 当时，则当时，， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则当时，， 解得，符合题意； 当时，则当时，， ∴（不符合题意，舍去），． 综上可知，m的值为，． 23. 根据以下素材，探索完成任务 研究植物叶片的生长状况 背景 素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数图象的一部分，且经过原点． 心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于、两点，直线分别交抛物线于点，交直线于点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点． 问题解决 （1）任务1 确定心形叶片的形状：求顶点和点的坐标． （2）任务2 研究心形叶片的尺寸：求叶片此处的宽度的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入，可求出抛物线的解析式，即可求解； （2）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到，，进而得到，再根据轴对称的性质可得，，从而得到为等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得， ∴该函数的解析式为， ∴顶点的坐标为； 当时，， ∴点； 【小问2详解】 解：∵直线与坐标轴交于、两点， ∴当时，， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵直线分别交抛物线于点，交直线于点， ∴轴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵点， ∴， ∴， ∵点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴． 24. 如图，内接于，，于点，延长交于点． （1）如图①，若是等边三角形，求证：； （2）如图②，当点在弦上方运动时（包括点、），作交于点． ①求证：； ②如图③，作的直径，若，求的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）证明：连接， ∵为等边三角形， ∴于点，则为的中点， ∴垂直平分， ∵为外接圆的圆心， ∴在的垂直平分线上，即在上， ∵在的延长线上， ∴、、、四点共线， ∵， ∴， ∵，且于中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵与均为的半径， ∴， ∵在弦上， ∴点在内部，即点在与之间， ∴， ∴． （2）① 证明：连接， ∵，， ∴， ∵于点，交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点、都在优弧上， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵于点， ∴为的中点， ∴． ②的最小值为． 【解析】 【分析】（1） 由等边三角形三线合一得垂直平分，外心落在上，故、、、共线；连接，由及三线合一得，在中得；再由，即得． （2）① 由得，结合得、；由点、同在优弧上得，于是，为等边三角形；又，由三线合一得为中点，即． ② 由得点、、、四点共圆；先由解出半径为2，再证劣弧中点到、、的距离均为2，故点在以为圆心、半径为2的圆上；由为直径得、，由，取等即得最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ② 解：连接， ∵， ∵， ∴， ∵点与点都在弦的上方， ∴点、、、四点共圆， 作于点，并延长交于点，连接、、， 则点为劣弧的中点， ∵， ∴为的中点，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴（负舍），即的半径为2， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 同理， ∴， ∴点是过点、、的圆的圆心，且该圆半径为2， ∴点在以为圆心、2为半径的圆上， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， 作于点， ∴为的中点，， ∴， ∴， ∵点在该圆外， ∴， 当点在线段上时取等号，此时最小， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $