精品解析：北京市中关村中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

北京市中关村中学2026—2027学年第一学期期中调研 初二数学 考试时间：90分钟 满分100分 注意事项： 1．本试卷共页，共三道大题，满分100分． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号，并将条形码贴在答题纸的指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共30分，每小题3分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点关于轴对称时横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除．需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ，故A错误． 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B正确． 选项C：，故C错误． 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故D错误． 故选：B． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．的左边为整式乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； B．右边是整式乘积与常数的和，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； C．左边是多项式，右边是两个整式的积的形式，是因式分解； D．的左边为整式乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解． 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 6. 如果y2-6y+m是完全平方式，则m的值为（　　） A. -36 B. -9 C. 9 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式（）即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键． 7. 已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. 100° B. 80° C. 20°或80° D. 50°或80° 【答案】D 【解析】 【分析】已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为，底角为． 因此这个等腰三角形的底角的度数为或． 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．解答此类题目的关键是要注意分类讨论，不要漏解． 8. 如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）. A. B. ∠OCB＝90° C. ∠MON＝30° D. OC＝2BC 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得OA=AC=AB=BC，根据等底同高面积相等可对A进行判断，根据三角形一条边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B进行判断；根据△ABC是等边三角形，△AOC是等腰三角形可对C进行判断；根据OB=2BC可对D进行判断. 【详解】过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示， ∵S△OAC=，S△ABC=，OA=AB， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵OA=AC=AB=BC， ∴BC=OB， ∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意； 在Rt△OCB中，∠OCB=90°，BC=OB， ∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意； ∵OB=2BC，OB＞OC， ∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意. 故选：D. 【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OA=AC=AB=BC． 9. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：． ∵，， ∴， 即． 10. 如图，在中，平分交于点，点在的延长线上，且，，，垂足为，连结、．有下列结论： ①；②；③；④；⑤，且． 其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用等腰三角形性质证；证得，结合三角形内角和及外角性质推导角度关系推出，且，作，证明，，推出，根据角平分线的性质定理结合三角形的面积关系以及的关系，得到. 【详解】解：设，则，， ， 均为等腰三角形， ， ，②正确； ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，③正确 ， ， ， ， ， ， ， ，， ，⑤正确； 作于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； ∵平分交于点， ∴点到的距离相等， ∵，即， ∴；故①错误； 综上，正确的有4个. 二．填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 计算：（1）________； （2）若，，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）结合零指数幂的运算规则，先验证底数非零再计算； （2）利用同底数幂的除法法则，将待求式转化为已知幂的商进行计算 【详解】解：（1）根据零指数幂的运算规则，任意不为0的实数的0次幂等于1． ∵ ∴ （2）根据同底数幂的除法法则，当时，． ∴ 将，代入上式． ∴ 12. 图中的两个三角形全等，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，解决本题的关键是找到对应边相等． 根据两个三角形全等，即对应边a与c相等，再由对应边夹角相等求解即可． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴对应边a与c相等， 对应边a与c的夹角相等， ∴． 故答案为： ． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 14. 用两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过两种方法表示阴影部分面积：一是直接求边长为的正方形面积；二是用大正方形面积减去空白部分面积，建立等量关系． 【详解】解：由图可知，大正方形的边长为，右上角空白小正方形的边长为 阴影部分正方形的边长为 阴影部分的面积为 另一方面，阴影部分的面积也可以看作大正方形面积减去上方和右方两个矩形面积，再加上重叠的小正方形面积上方矩形长为，宽为， 面积为右方矩形长为，宽为，面积为，右上角重叠小正方形边长为，面积为 阴影部分的面积为 ． 15. 等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰中的_____度． 【答案】72 【解析】 【分析】把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数． 【详解】解：如图： 由题意知： ， ∵， ∴，即， ∴． 16. 已知，在平面直角坐标系中，面积为的等边中，点，，点是边的中点，点是直线上的动点． ①当时，________；②当线段最小时，点的坐标为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】先由B、C坐标确定长度，结合等边三角形面积求出边上的高，分两种情况，得到A点坐标，再计算中点E的坐标，第一问利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等的性质，结合F在上的条件计算长度；第二问利用轴对称性质将转化为等长线段，根据两点之间线段最短，求直线EC与AO的交点即为使最小的F点坐标． 【详解】解：①∵点， ∴，的中点为坐标原点 ∵是等边三角形，面积为 ∴， ∴ 解得 ∵等边三角形的高在的垂直平分线上，即y轴上 ∴点A坐标为或 当点A坐标为时，如图， ∵E是的中点， ∴由中点坐标公式得，E点坐标为，即， ∵在x轴上， ∴当时，如图， ∴点F点坐标为， ∴； 当点A坐标为时，如图， 同理可得，点E点坐标为，点F点坐标为， ∴； 综上所述，； ②当点A坐标为时，如图，连接， ∵点B与点C关于y轴对称 ∴ ∴ ∴当E、F、C三点共线时，最小，此时F为直线与的交点 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得 ∴直线的解析式为 将代入解析式得 ∴此时F点坐标为； 当点A坐标为时，如图，连接， 同理可得，点E点坐标为， ∴直线的解析式为 将代入解析式得 ∴此时F点坐标为； 综上所述，当线段最小时，点的坐标为或． 三．解答题（本题共52分，17题—18题每题6分，19题3分，20题、24题4分，21题—23题每题5分，25—26每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接提取公因式分解因式即可； （2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题考查了因式分解的常用方法：提公因式法和公式法．根据式子特点选用正确的方法是解题关键． 19. 如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，例如图中的、为格点三角形，且两个三角形关于直线成轴对称，点、、的对应点分别是、、．请在网格内画出另外两种与关于直线成轴对称的格点三角形． 【答案】两个网格中带实心点的三角形即为所求：三顶点都是格点，且分别是点、、关于相应直线的对称点；直线上的点，其对应点是它本身． 【解析】 【分析】把点、、分别关于直线作对称点，按它们到的格数在另一侧取等距离的格点，再顺次连接这三个对应点；对称轴上的点的对应点是它本身，斜着的对称轴要沿与垂直的方向数格． 【详解】略 20. 如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴，即 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】首先得到，，然后证明，即可得到． 【详解】略 21. 已知，求代数式的值． 【答案】12 【解析】 【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将整体代入求值． 【详解】解：∵，∴． ∴ ． 22. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：如图， ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ① ）（填推理的依据） ∴ ② ．（等边对等角） ， ， ， ， ，（ ③ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1）解：根据题意，作图如下： 则直线即为所求． （2） 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 ，，等角对等边 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线基本作图，解答即可； （2）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 ） ∴．（等边对等角） ， ， ， ， ，（等角对等边） 和都是等腰三角形． 23. 如图，在中，，，边的垂直平分线与的平分线交于点，连接、． （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由，在边上取点，使，连接；过点作的垂线，垂足为，连接(如图)， ∵平分，点在边上， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵， ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）在边上截取，用证，把、经等腰三角形转化为互补的两个角； （2）由角与勾股定理把垂线段同联系起来，再用等腰三角形底边上的高平分底边，把合成，最后用三角形面积公式求面积． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）知． ∵平分． ∴． 由勾股定理得． ∵． ∴． ∵． ∴点是的中点，． ∵点是的中点，点在、之间． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 由三角形面积公式得． ∴． ∴． 24. 我们知道，对代数式进行适当的变形，有助于发现它的特点．现规定：若一个代数式可以整理成（其中两处“□”表示同一个代数式）的形式，就称它可以“对接”代数式．例如代数式，既能写成的形式，由此可判断的值恒为正数；也能写成的形式，实现和的“对接”．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： （1）完成上表； （2）观察表格可以发现：若时，，则时，可对接的代数式的值也等于． 一般地，若当时，代数式的值为；当（为正整数）时，可“对接”的代数式的值也等于，则称参照取值偏移，偏移值为．特别地，上表中的代数式参照取值偏移，偏移值为． ①若代数式可对接多项式，且参照取值偏移，偏移值为，求代数式； ②已知代数式，都可以对接代数式，且参照取值偏移，请直接写出的值：________． 【答案】（1）表格如下： （2）①；②【解析】 【分析】（1）直接将的值代入各代数式计算即可； （2）①根据代数式可对接多项式，且参照取值偏移，偏移值为，即可求出代数式；②由代数式，都可以对接代数式，可设，，即可求出，，从而得出的值． 【小问1详解】 解：计算时的值：； 计算的空缺值： 当时：， 当时：， 当时：， 表格略； 【小问2详解】 解：①代数式可对接多项式，且参照取值偏移，偏移值为， ∴； ②∵代数式可以对接代数式， ∴设代数式可写为， ∴， ∴，， ∴，， ∵代数式可以对接代数式， ∴设代数式可写为， ∴， ∴，， ∴，， ∴代数式，， ∴时，代数式的取值与时，代数式的取值相等， ∴参照取值偏移，偏移值为，符合题意， ∴． 25. 已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，． （1）如图，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）连接，为线段的中点，连接． ①当点在线段延长线上时，根据题意在图中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若所在的直线与射线交于点，为等腰三角形，直接写出的度数． 【答案】（1）证明：∵点D，E关于直线对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D为线段的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形； （2）①补全图形如图： 线段与的数量关系：． 证明：延长到点G，使，连接． ∵F为线段的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∵点D，E关于直线对称， ∴． ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∴； ②或或或 【解析】 【分析】（1）由对称性知，由等边三角形的性质得，从而，由等边三角形的判定即可证明结论； （2）①按题意补全图形即可；线段与的数量关系：；延长到点G，使，连接，易证明，从而得，得；再证明，得，从而； ②分点在边和边延长线上进行讨论，结合等边三角形的性质以及对称的性质用字母表示角，最后通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理建立方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②当点在线段上时，如图： ∵是等边三角形， ∴， 由对称可设，， ∴，， 若，则， 在中，由三角形内角和定理可得，， 解得， ∴； 若，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 若，而由对称可得，则点重合，不符合题意； 当点在线段延长线上时，如图： ∵是等边三角形， ∴， 由对称可设， ∴，， 若，则， ∴， 解得， ∴； 若，则， ∵ ∴， 解得 ∴； 若，同上不成立， 综上：的度数为或或或． 26. 在平面直角坐标系中，对于点及图形，若图形上存在、两点，使得点在的垂直平分线上，且，则称点为图形的“友好点”．已知，． （1）如图，在点，，，中，线段的“友好点”是________； （2）已知，将经过点且平行于轴的直线记为．若直线与线段的“友好点”有交点，求的取值范围（用含有的代数式表示）． （3）若由线段、组成的图形记为图形，在图中画出图形的所有“友好点”组成的图形． 【答案】（1）， （2） （3）解：根据题意，画图如下： 【解析】 【分析】（1）根据定义，找到符合要求的两点，判断解答即可； （2）根据定义，判断解答即可． （3）运用分类思想，解答即可． 【小问1详解】 解：，在线段上，找不到A，B两点，使得， 故不是线段的“友好点”； ，在线段上，取，故线段的垂直平分线为直线， 由的横坐标为1，，且， 满足了定义要求， 故是线段的“友好点”； ，在线段上，找不到A，B两点，使得， 故不是线段的“友好点”； ， 故线段的垂直平分线为直线， 由的横坐标为2，，且， 满足了定义要求， 故线段的“友好点”是； 【小问2详解】 解：根据题意，画图如下： ，， 故线段的“友好点”一定在线段的垂直平分线上，此时垂直平分线为， 在垂直平分线上，截取与x轴的距离为的线段，与线段垂直平分线的交点，与线段构成等腰直角三角形，且交点所在顶点的角是直角，符合定义，当直线，恰好经过这两个交点时，恰好得到了b的两个界点值． 故直线与线段的“友好点”有交点的取值范围为． 【小问3详解】 解：当A，B都在上，区域为正方形，其顶点为； 当A，B都在上，区域为正方形，其顶点为； 当A在上，B在上时，区域为平行四边形，其顶点为；画图略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2026—2027学年第一学期期中调研 初二数学 考试时间：90分钟 满分100分 注意事项： 1．本试卷共页，共三道大题，满分100分． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号，并将条形码贴在答题纸的指定区域． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本题共30分，每小题3分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如果y2-6y+m是完全平方式，则m的值为（　　） A. -36 B. -9 C. 9 D. 36 7. 已知一个等腰三角形一内角的度数为80°，则这个等腰三角形底角的度数为（ ） A. 100° B. 80° C. 20°或80° D. 50°或80° 8. 如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）. A. B. ∠OCB＝90° C. ∠MON＝30° D. OC＝2BC 9. 已知，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，在中，平分交于点，点在的延长线上，且，，，垂足为，连结、．有下列结论： ①；②；③；④；⑤，且． 其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 计算：（1）________； （2）若，，则________． 12. 图中的两个三角形全等，则的度数为______． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 14. 用两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式为________． 15. 等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，请问原等腰中的_____度． 16. 已知，在平面直角坐标系中，面积为的等边中，点，，点是边的中点，点是直线上的动点． ①当时，________；②当线段最小时，点的坐标为________． 三．解答题（本题共52分，17题—18题每题6分，19题3分，20题、24题4分，21题—23题每题5分，25—26每题7分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，例如图中的、为格点三角形，且两个三角形关于直线成轴对称，点、、的对应点分别是、、．请在网格内画出另外两种与关于直线成轴对称的格点三角形． 20. 如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 21. 已知，求代数式的值． 22. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：如图， ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ① ）（填推理的依据） ∴ ② ．（等边对等角） ， ， ， ， ，（ ③ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 23. 如图，在中，，，边的垂直平分线与的平分线交于点，连接、． （1）求证：． （2）若，求四边形的面积． 24. 我们知道，对代数式进行适当的变形，有助于发现它的特点．现规定：若一个代数式可以整理成（其中两处“□”表示同一个代数式）的形式，就称它可以“对接”代数式．例如代数式，既能写成的形式，由此可判断的值恒为正数；也能写成的形式，实现和的“对接”．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： （1）完成上表； （2）观察表格可以发现：若时，，则时，可对接的代数式的值也等于． 一般地，若当时，代数式的值为；当（为正整数）时，可“对接”的代数式的值也等于，则称参照取值偏移，偏移值为．特别地，上表中的代数式参照取值偏移，偏移值为． ①若代数式可对接多项式，且参照取值偏移，偏移值为，求代数式； ②已知代数式，都可以对接代数式，且参照取值偏移，请直接写出的值：________． 25. 已知是等边三角形，点在射线上（与点，不重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，． （1）如图，当点为线段的中点时，求证：是等边三角形； （2）连接，为线段的中点，连接． ①当点在线段延长线上时，根据题意在图中补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若所在的直线与射线交于点，为等腰三角形，直接写出的度数． 26. 在平面直角坐标系中，对于点及图形，若图形上存在、两点，使得点在的垂直平分线上，且，则称点为图形的“友好点”．已知，． （1）如图，在点，，，中，线段的“友好点”是________； （2）已知，将经过点且平行于轴的直线记为．若直线与线段的“友好点”有交点，求的取值范围（用含有的代数式表示）． （3）若由线段、组成的图形记为图形，在图中画出图形的所有“友好点”组成的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $