精品解析：北京市北京学校（人大附中通州校区） 2026-2027学年上学期八年级期中数学试卷

北京学校&人大附中通州校区2026~2027学年度第一学期 初二年级数学期中练习 说明：本试卷共三道人题27道小题，共4页，满分100分，考试时间120分钟；请在答题卡上答题，并在密封线内答题． 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 2. 如图是一辆自行车，主车架是三角形结构，其根据的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性这一几何原理，通过分析自行车车架的结构，理解为何三角形的特性被用于确保自行车的稳固性． 【详解】解：自行车的主车架三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：A． 3. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的求值，取特殊值可判断A、B、C；根据分式的基本性质可判断D． 【详解】解：A、取，则，，此时，不符合题意； B、取，则，，此时，不符合题意； C、取，则，，此时，不符合题意； D、把分式的分子和分母同时乘以a可得，原式成立，符合题意； 故选：D． 5. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则的值为 D. 分式是最简分式 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 8. 如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（ ）     A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点(点不与点重合)，连接，如图    ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点(点与点不重合)，若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知分式的值为0，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的成立需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，需先求解分子为0的所有可能取值，再剔除使分母为0的无效取值． 【详解】解：∵ 给定分式的值为0， ∴需同时满足分子为0、分母不为0两个约束， 分子为0时满足， ∴解得或， ∵分式有意义的前提是分母不为0，即， ∴解得， ∴综合两个约束条件，符合要求的x的值为1． 10. 分式与的最简公分母是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求分母系数的最小公倍数，再取各字母因式的最高次幂，两者相乘即可得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为，第二个分式的分母为，首先计算系数的最小公倍数，和的最小公倍数是， 再确定各字母的最高次幂，的最高次幂是，的最高次幂是，的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 11. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 12. 如图，把两根钢条的中点连载一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽，只要测量的长度即可，该做法的依据是______．（填写全等的判定） 【答案】 【解析】 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等． 13. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由得到，由得到，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用判定；要么选择，利用判定，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况： ①：取， 在和中， ， ； ②：取， 在和中， ， ； ③：取， 在和中， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 14. 如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是公式变形，直接把看成未知数，解方程即可． 【详解】解：由得：， ∴， ∴． 故答案为： 16. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】分别在以上四种情况下以为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为点，作出后可得答案． 【详解】解：如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，故不唯一，故①错误，不符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故②正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③正确，符合题意， ； 如图，当，时，以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意， ； 综上所述，结论正确的是②③④， 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法的探究，关键是确定以为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数． 三、解答题：共11小题，17、20题5分，、、题6分，23题7分，27题9分共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 19. 计算. 【答案】 【解析】 【详解】分析：先计算，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： . 点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和. 20. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 21. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是关键． 根据分式的性质，去分母，去括号，移项、合并同类项，检验根的方法求解即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以，去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 经检验是原方程的解． ∴原方程的解是． 22. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， 由得， 原式． 23. 如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF． （1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是　　． （2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D． 【答案】（1）②③④； （2）添加条件∠ACB＝∠DFE，理由： ∵BF＝CE， ∴BF+CF＝CE+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ③在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； ④∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； 故答案为：②③④； （2）答案不唯一．添加条件∠ACB＝∠DFE，理由如下： ∵BF＝EC， ∴BF+CF＝EC+CF． ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案； （2）答案不唯一，添加条件∠ACB＝∠DFE，证明△ABC≌△DEF（SAS）；即可得出∠A＝∠D． 【详解】解：（1）①在△ABC和△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∠B＝∠E， 不能判定△ABC和△DEF全等； ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 列分式方程解应用题： 截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格． 【答案】甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【解析】 【分析】设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同列方程解答． 【详解】解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元． 依题意有， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 25. 如图，已知、是的边、上的高，是上的一点，且，是的延长线上的一点，且．求证：且． 【答案】 证明：∵、是的边、上的高， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明，得，，通过等量代换得即可．熟练利用三角形全等的性质来证明对应边、对应角相等是解题的关键． 【详解】略 26. 如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．均在格点上，则是格点三角形，用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点（找到一个即可）； （3）在图3中，作出边上的高． 【答案】（1）如图1：即为所求（答案不唯一）； （2）如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； （3）如图：即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点、，连接交于，连接并延长交于， 理由： 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 27. 已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小王的解题思路：先证明___________；再证明了___________，即可得出，，之间的数量关系为___________． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，写出此时线段，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）解：延长到点，使，连接．在图1中添加上述辅助线如图： ；； （2）结论依然成立，理由如下： 延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接． ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接．先证明，得到，，再证明，得到，即可得； （2）延长到点，使，连接．先证明，得到，，再证明，得到，即可得； （3）延长到点，使，连接．先证明，得到，，再证明，得到，即可得． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接． ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京学校&人大附中通州校区2026~2027学年度第一学期 初二年级数学期中练习 说明：本试卷共三道人题27道小题，共4页，满分100分，考试时间120分钟；请在答题卡上答题，并在密封线内答题． 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一辆自行车，主车架是三角形结构，其根据的几何原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 直角三角形的两个锐角互余 3. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则的值为 D. 分式是最简分式 8. 如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（ ）     A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知分式的值为0，则的值为___________． 10. 分式与的最简公分母是________． 11. 如图，，若，，则的度数为______． 12. 如图，把两根钢条的中点连载一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽，只要测量的长度即可，该做法的依据是______．（填写全等的判定） 13. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 14. 如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 15. 在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式：________． 16. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题：共11小题，17、20题5分，、、题6分，23题7分，27题9分共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 计算：． 19. 计算. 20. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 21. 解分式方程：． 22. 已知，求代数式的值． 23. 如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF． （1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是　　． （2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D． 24. 列分式方程解应用题： 截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格． 25. 如图，已知、是的边、上的高，是上的一点，且，是的延长线上的一点，且．求证：且． 26. 如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．均在格点上，则是格点三角形，用无刻度的直尺按要求作图． （1）在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点（找到一个即可）； （3）在图3中，作出边上的高． 27. 已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小王的解题思路：先证明___________；再证明了___________，即可得出，，之间的数量关系为___________． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，写出此时线段，，之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $