精品解析：广东省深圳市光明区深圳大学附属实验中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

深大实验2026-2027学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考生号、座位号填写在答题卡上.并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题（每小题5分） 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 10. 已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（ ） A. B. E的离心率为 C. 当时，F1到渐近线的距离为4 D. 当时， 11. 若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 14. 双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________． 四、解答题 15. 已知直线：，：． （1）若，求的值及与的交点坐标； （2）若，求与间的距离． 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为5．双曲线x2﹣＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直． （1）求抛物线的方程及双曲线的离心率； （2）设点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离； （3）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度． 19. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线的方程； （3）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深大实验2026-2027学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考生号、座位号填写在答题卡上.并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，上交答题卡. 一、单选题（每小题5分） 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则 ，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 3. 已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题可知，， 向量在向量上的投影向量为. 故选：. 6. 过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 二、多选题（每小题6分） 9. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的取值范围为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，将直线整理成，得到，此方程组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出的圆心和半径，由直线过定点，可知过定点的直径是最长的弦，过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦，求出定点到圆心的距离，则的最小值为代入数值即可得解；对于选项C，由求出，结合余弦定理求出的范围，利用向量的数量积的定义得到，由的范围得解；对于选项D，由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】对于选项A，直线，， ，，直线过定点，选项A正确； 对于选项B，的圆心为，半径为， 直线过定点，过定点的直径是最长的弦， 过定点且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长是最短的弦， 定点到圆心的距离为， 的最小值为，选项B错误； 对于选项C，，， ， ，，， ， ，，，选项C正确； 对于选项D，圆上恰有三个点到直线的距离等于， 圆心到直线的距离等于， ，圆心 圆心到直线的距离， ，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（ ） A. B. E的离心率为 C. 当时，F1到渐近线的距离为4 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】先写出双曲线的标准形式，写出渐近线方程即可求出可判断A选项，根据渐近线方程即可求出双曲线的离心率当时故B错误，先写出焦点坐标再求出F1到渐近线的距离为4，可判断C选项，通过双曲线定义可判断D选项. 【详解】对于A，双曲线的渐近线方程为， 故E的渐近线方程为，由得，故A正确， 对于B，E：，当时，， 其半焦距为， 实半轴长为，可得离心率为，故B错误， 对于C，此时E：，半焦距为， 由对称性不妨设，其到渐近线的距离，故C正确， 对于D，此时E：，由定义知，故D正确. 故选：ACD. 11. 若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题设定义，先找到的取值范围，结合进行验证是否在这个范围内，当曲线图象无界时，显然是不符合题意的. 【详解】对于A，由，即，为椭圆， 则，取，满足， 而，， 令，由，对任意的，， 此时，因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于B，由，显然，则， 由于函数在和上均为减函数，如图： 因为该图象是无界的，因此当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”； 对于C，由， 显然点均满足方程， 则曲线关于，原点对称，且， 因此该曲线上的点均在圆上（或内部）， 所以该曲线的图象是有界的，取， 设，，取， 由，对任意点，， 此时， 因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于D，由，而， 则时，， 所以曲线的图象无界， 当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”. 三、填空题（每小题5分） 12. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 13. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M、N两点，点M在第一象限，若，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点M，N作准线的垂线段，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答． 【详解】解：如图，过点M，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A，B， 过N作于P，显然四边形是矩形， 因直线过抛物线的焦点，交抛物线于，由抛物线定义知，， 而，则， ， 设直线的倾斜角为，在，，则，． 14. 双曲线C：，斜率为1的直线l交C于A，B两点，D为C上另一点，，，重心分别为P，Q，外心为M，若，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由中点弦的结论可得，，又，可得，即可得到双曲线的离心率. 【详解】在中，取中点，由P为的重心，则P在上， 设，则， 则有， 两式作差得，， 可得， 则 则，即， 同理可得，， 又，所以，又， 可得， 所以，进而． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知直线：，：． （1）若，求的值及与的交点坐标； （2）若，求与间的距离． 【答案】（1），与的交点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系先求出的值，然后联立直线方程求解出交点坐标； （2）根据平行关系先求出的值，然后根据平行线间的距离公式求解出与间的距离. 【小问1详解】 直线：，：， 若，则，解得：， 则，：， 联立方程组，则与的交点坐标为． 【小问2详解】 若，则或， 当时，，：，则与间的距离， 当时，，：，则与间的距离， 综上所述，与间的距离为或． 16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为5．双曲线x2﹣＝1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线AP垂直． （1）求抛物线的方程及双曲线的离心率； （2）设点M在双曲线上，且＝0，求M点到x轴的距离； （3）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度． 【答案】（1）双曲线方程为x2﹣4y2＝1，双曲线的离心率为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及拋物线的定义可得p=8，进而得到拋物线的标准方程，再根据双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可求得双曲线方程； （2）利用焦点三角形的面积公式可得，再利用等面积法即可求得M点到x轴的距离； （3）求得直线的方程.利用弦长公式直接求解即可. 【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为x＝﹣4，故p＝8，则抛物线方程为y2＝16x， 由点P（1，y0）（y0＞0）在抛物线上，故y0＝4，即P（1，4）. 又双曲线的左顶点为A（﹣1，0），故， 由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，，即，故双曲线方程为x2﹣4y2＝1， 所以双曲线的离心率为； （2）∵，∴MF1⊥MF2，即∠F1MF2＝90°， 由双曲线中焦点三角形的面积公式有，， 又，解得， ∴M点到x轴的距离为； （3）易知，，则直线l的方程为，与双曲线方程联立可得，， 设D（x1，y1），E（x2，y2），则， 由弦长公式有，＝． 19. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线的方程； （3）求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率的定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. 【小问3详解】 证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $