精品解析：广东广州市玉岩中学2026-2027学年第一学期期中教学质量监测高二数学试题

广州市玉岩中学2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线可化为，故直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 2. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可. 【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3， 从而，圆的半径为 故所求圆的方程为 即 故选：C 3. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 4. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据反射光线的反向延长线过点可设反射光线所在直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可求直线的斜率. 【详解】 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点， 设反射光线所在直线方程为：，即：. ∵反射光线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得，解得：或. 故选：D． 5. 已知空间向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解. 【详解】在中，由正弦定理知，， ， 由双曲线的定义知， ，即 又 故选：B 【点睛】关键点点睛：由正弦定理得，由双曲线定义知，结合三角形的性质，建立不等关系是解题的关键，属于中档题. 7. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C 8. 已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，结合圆的相切关系可得，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率. 【详解】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为， 因为，所以，即； 所以，由于，所以； 因为线段PF与圆相切于点Q， 所以，所以，所以； 因为，所以； 根据椭圆定义可得，所以有，整理得， 所以离心率. 故选：B. 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，根据题意构建关于的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的模及单位向量的定义判断AB选项的正误；根据法向量定义判断C选项正误；根据投影向量的概念判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，与同向的单位向量是，故B选项错误； 对于C选项，，由于与共面且不共线， ，， 所以是平面的一个法向量，故C选项正确； 对于D选项，，， 在上的投影向量的模为，故D选项正确. 10. 已知圆和圆，下列说法正确的是（ ） A. 两圆的公共弦所在的直线方程为 B. 圆上有2个点到直线的距离为 C. 两圆有两条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C；两圆作差得公共线直线方程，由此判断A；求出圆心到直线的距离，从而得到，进而判断B；的最大值为加上两圆半径，由此判断D. 【详解】对于C，因为圆，所以圆心，半径为， 因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 则，所以两圆相交， 则两圆有两条公切线，故C正确； 对于A，两圆作差得，即， 所以公共弦所在的直线方程为，故A错误； 对于B，圆心到直线的距离为， 则， 所以圆上有2个点到直线的距离为，故B正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若三向量共面，则实数_____. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意存在，使得，代入坐标，列方程组计算，即得解. 【详解】由题意，三向量共面，故存在，使得， 即， 故，解得. 故答案为：1 13. 直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可． 【详解】解：联立，可得． ①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行， 直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意； ②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点， 可得， 解得，满足条件． 综上可得：，． 故答案为，． 【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程的解与判别式的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题和易错题． 14. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先设点，发现P、A、O、B四点共圆，求出P、A、O、B四点确定的圆的方程，联立后得到AB所在直线方程，再求直线AB恒过定点的坐标 【详解】设点，则 ∵过点P作圆的切线，切点分别是A，B， ∴， ∴P、A、O、B四点共圆，其中OP为直径 所以圆心坐标为，半径长为 ∴P、A、O、B四点确定的圆的方程为： 化为一般方程为： 即 与联立，求得AB所在直线方程为：① 其中，代入①中，得： 所以 解得： 直线AB恒过定点的坐标为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标. （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【小问1详解】 边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程;， 即与联立，， 解得：，顶点的坐标为； 【小问2详解】 所在直线方程为，设点， 是中点，，， 在所在直线方程为上， ,解得：,， 的方程为：，即. 16. 如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离. 【答案】（1） 证明：设，，，以为空间一组基底， ，， 则，即且，所以四边形为平行四边形 （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，以为空间一组基底，借助可得证； （2）利用基底得，利用点到直线的距离空间向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，，，，， 由（1）可知，为平行四边形，为的中点， 则， 则. ， 则点到直线的距离为， 则点到直线的距离为. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】 Ⅰ∵四边形ABCD是菱形， ∴O为中点 又， ∴， 又， ∴底面 Ⅱ Ⅲ. 假设存在点M满足条件，且， 则. 若使平面BDF，需且仅需且平面BDF， 由，解得符合题意． ∴在线段PB上存在一点M，使得平面BDF，且 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ) 由题意可得，从而可得底面ABCD． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得到所求的线面角．Ⅲ根据坐标法求解探索性问题，假设存在点M满足条件，并设且，求得点点M坐标后，根据与平面BDF的法向量垂直可得，从而得到符合题意的点M存在． 试题解析： Ⅰ略 Ⅱ解：由底面ABCD是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为2的等边三角形，，可得． 所以 ∴． 由已知可得， 设平面BDF的法向量为， 由，可得， 令，则． 设直线CP与平面BDF所成的角为， 则， 又， ∴． ∴直线CP与平面BDF所成角的大小为． Ⅲ略 19. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【小问1详解】 依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 4. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知空间向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知空间中三点，，，则（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 10. 已知圆和圆，下列说法正确的是（ ） A. 两圆的公共弦所在的直线方程为 B. 圆上有2个点到直线的距离为 C. 两圆有两条公切线 D. 点在圆上，点在圆上，的最大值为 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若三向量共面，则实数_____. 13. 直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______． 14. 已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是A，B，则直线AB恒过定点的坐标为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标. （2）求直线的方程. 16. 如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，,. Ⅰ求证：底面ABCD； Ⅱ求直线CP与平面BDF所成角的大小； Ⅲ在线段PB上是否存在一点M，使得平面BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 19. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点； ②求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $