精品解析：广东省广州市第六十五中学2026-2027学年高二上学期11月期中学情诊断数学试题

广州市第六十五中学11月份期中学情诊断 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，即，解得． 3. 直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 故直线的方程为，整理得. 4. 正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( ) A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解． 【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系， 设OD=SO=OA=OB=OC=a， 则， 则，，, 设平面PAC的一个法向量为， 则即，令，则，所以， ∴， 设直线BC与平面PAC的夹角为， ∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为， ∴直线BC与平面PAC的夹角为 故选：C 5. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得． 【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线， 曲线，即， 表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点， 在同一坐标系内作出直线与半圆（），如图， 当直线与半圆相切时，得，且， 解得，又， 所以或，所以或． 即实数的取值范围是. 7. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定两条动直线的定点、，由两直线垂直得点的轨迹是以为直径的圆，将转化为点到定点的距离的平方，结合圆的性质求最小值. 【详解】由动直线过定点，得；由动直线过定点，即，得. 直线和直线， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为0，则； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，且，则； 点的轨迹为以为直径的圆，即圆心，半径，则点的轨迹方程为. 表示为点到点的距离的平方； ，即点在圆外； 圆上的点到Q点的最小距离； . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征列出不等式组，求解得到的取值范围，再逐一判断选项即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得. 故BCD满足. 10. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，由基底的定义知，，不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以，，不共面， 所以不存在实数，，使得，故B错误； 对于C，因为是空间一个基底， 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使得，故C正确； 对于D，因为，，不共面，且与平行，与平行，与平行， 所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D错误． 11. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断选项A；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断选项B；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断选项C；根据的值求出圆Ck的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断选项D. 【详解】圆Ck的圆心坐标为，在直线上，A项正确； 若圆O与圆Ck有公共点，则1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B项错误； 将圆O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或，C项正确； 当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解. 【详解】可知，把代入得，此时. 【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质. 13. 直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出B点关于关于l的对称点的坐标，结合点P到与的距离之差的几何意义，确定当三点共线时，最大，即可求得的方程，联立，即可求得答案. 【详解】设点B关于l的对称点的坐标为，连接， 则，即，所以①． 因为的中点在直线l上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 于是所在直线的方程为，即． 又， 当且仅当三点共线时，最大． 所以联立直线l与的方程即，解得， 即l与的交点坐标为， 故点P的坐标为． 故答案为： 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体．现有一“刍童”，如图所示，，，，，与的交点为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合已知条件得出，再以为基底，表示向量，进而利用向量数量积计算求解． 【详解】设，则， 由题意知， ， 故 ， 当时，取最大值，最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦长； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【小问1详解】 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. 【小问2详解】 解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 16. 已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． （1）用，，表示； （2）求线段的长度； （3）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质及空间向量的线性运算求解即可. （2）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算及空间向量数量积、数量积运算律求解即可. （3）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算、空间向量数量积、数量积运算律及异面直线所成角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 平行六面体中，，. 因为点为线段的中点，所以. 所以. 【小问2详解】 ， ，. 因为，所以. 所以. 所以 ， 所以. 故线段的长度为. 【小问3详解】 因为为线段的中点， 则， 所以. 所以. . 设直线与所成角为， 则. 故直线与所成角的余弦值为. 17. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且两平面相互垂直，活动弹子分别在正方形对角线AC和BF上移动，且和的长度保持相等． （1）证明面 （2）当是中点时，求二面角夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知得平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，可得是平面的一个法向量，设求出点坐标，求出点坐标，利用可得答案； （2）当是中点时，求出平面、平面一个法向量，由二面角的向量求法可得答案． 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，可得，，,， ，，， 平面，可得是平面的一个法向量， 设，得， 则，得，所以， 因为，所以，所以面； 【小问2详解】 当是中点时，由（1）可得，， 所以，，， 设为平面一个法向量，则 ，即，令，则，所以， 设为平面一个法向量，则 ，即，令，则，所以， 所以， 由图可得二面角夹角的为锐角， 所以二面角夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）略 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第六十五中学11月份期中学情诊断 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是( ) A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 5. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时， C. 若，，则 D. 平行六面体的体积 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，，的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 设构成空间的一个基底，下列说法中不正确的是（ ） A. ，，两两共面，但，，不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，不能构成空间的另一个基底 11. 已知圆，圆，则（ ） A. 无论k取何值，圆心始终在直线上 B. 若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为 C. 若圆O与圆的公共弦长为，则或 D. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______. 13. 直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为______. 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体．现有一“刍童”，如图所示，，，，，与的交点为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，圆. （1）求圆与圆的公共弦长； （2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 16. 已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． （1）用，，表示； （2）求线段的长度； （3）求直线与所成角的余弦值． 17. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且两平面相互垂直，活动弹子分别在正方形对角线AC和BF上移动，且和的长度保持相等． （1）证明面 （2）当是中点时，求二面角夹角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． （1）求的方程； （2）已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； （1）若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； （2）在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $