精品解析：北京师范大学附属实验中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

北师大实验中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 初三年级数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题；答题纸共4页．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 4. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例关系．若与之间的函数关系如图所示，则当时，的值可以是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 38 7. 圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，∴圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．对于图2中画出的等宽的莱洛三角形和，下列说法中错误的是（ ） A. 莱洛三角形是轴对称图形 B. 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都是 C. 莱洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等 D. 等宽的莱洛三角形和圆的周长相等 8. 如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 已知是方程的一个根，则的值为_____． 10. 抛物线的顶点的坐标是__________． 11. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则_______ ． 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 14. 如图，点在的直径的延长线上，，与相切于点，，若，则__________． 15. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是_______平方米．（接缝不计） 16. 如图，抛物线的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴的交点为，与轴的交点为和，其中．下列结论中，所有正确结论的序号是__________． ①设抛物线的对称轴为，则； ②当时，； ③的取值范围是； ④若，则方程一定有两个不相等的实数根． 三、解答题（本题共12小题，第17题6分，第18题5分，第19题7分，第20题4分，第21题5分，第22题6分，第23题4分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 20. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）若可由绕某点旋转得到，则这点的坐标为__________； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）计算在（2）的旋转过程中，点的运动路径的长． 21. 如图，内接于，是的高且经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为6，求的面积． 22. 已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象可知，当时，的取值范围是__________； （3）根据图象可知，当时，的取值范围是__________． 23. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如图，在“实验杯”篮球比赛中，小宋在与篮圈中心水平距离处投篮，球运行的路线是抛物线的一部分，运行至距小宋水平距离为时达到最大高度，然后落在篮圈中心，篮圈中心到地面的距离为．小文在小宋与篮圈之间，距离小宋处，准备原地起跳“盖帽”拦截小宋投出的球．（注：若起跳后手达到的高度不低于篮球在此水平距离处的高度，视为“盖帽”成功．） （1）建立坐标系并求篮球运行路线对应的抛物线的表达式； （2）若，则小文原地起跳后手达到的高度至少为__________才能“盖帽”成功； （3）若，小文起跳后手达到的最大高度比小宋投篮出手时球的高度高，判断小文能否成功“盖帽”并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，点在轴上，点在轴的正半轴上． （1）求点的坐标，及抛物线的对称轴； （2）若对于抛物线上的点，，有，求的取值范围； （3）若满足，直接写出的取值范围． 27. 如图1，在中，，． （1）若，直接写出的长； （2）点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． ①如图2，点在上，猜想与的数量关系，并证明； ②若，当点在的垂直平分线上时，用含的式子表示点到直线的距离，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点，不与点重合，若，且线段的中点在上，则称线段与相关联． （1）设的半径为1，在下列点对中，线段与相关联的是____________（填序号）； ①，； ②，； ③，； ④，； （2）设的半径为1，点在上，若直线上有且只有一个点，使得与相关联，求的值； （3）设点，经过原点，若在直线上存在两个点，，使得线段与相关联．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2026—2027学年度第一学期期中试卷 初三年级数学 考生须知 1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题；答题纸共4页．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 3. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴其图象位于第一、三象限． 4. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是． 故选D． 6. 已知在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例关系．若与之间的函数关系如图所示，则当时，的值可以是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】设反比例函数解析式，利用图象上点的坐标求出系数，根据自变量取值范围确定函数值范围，结合选项判断． 【详解】解：设， 把代入，得 解得， ， 当时，， 当时，， ， 在第一象限内p随t的增大而减小， 当时，， ∵只有18在范围内， ∴选项B正确． 7. 圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，∴圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如莱洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．对于图2中画出的等宽的莱洛三角形和，下列说法中错误的是（ ） A. 莱洛三角形是轴对称图形 B. 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都是 C. 莱洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等 D. 等宽的莱洛三角形和圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意中的莱洛三角形定义，结合轴对称性质、弧长公式及圆的性质逐一判断． 【详解】解：A、莱洛三角形基于等边三角形构造，拥有三条对称轴，是轴对称图形，故该选项说法正确； B、∵莱洛三角形的圆弧是以等边三角形顶点为圆心，边长为半径，且等边三角形每个内角为， ∴每段圆弧所对圆心角为，故该选项说法正确； C、莱洛三角形上任意一点到中心的距离不都相等，例如顶点D到的距离不等于弧中点到的距离，故该选项说法错误； D、设等边三角形边长为a，则等宽圆的直径为a， ∴莱洛三角形周长为，圆周长为， ∴两者周长相等，故该选项说法正确． 8. 如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，由圆周角定理及等边三角形性质求出半径，根据垂径定理推论确定点D在以为直径的圆上，转化为求点B到该圆上点的最大距离． 【详解】解：连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，如图： ， ． ， 是等边三角形， ． 是的中点， ，即． 点D在以为直径的上，且半径． 当点D在的延长线上时，取得最大值，最大值为． 在中，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ． 在中，． 的最大值为． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 已知是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得：           故答案为：． 10. 抛物线的顶点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴其顶点坐标为． 11. 如图，点在反比例函数的图象上，则矩形的面积是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在上，交于点，则_______ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求． 【详解】解：将绕点逆时针旋转， ，，， ， ， ， ． 13. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将待求的乘积式展开变形为可代入上述数值的形式，再完成计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 14. 如图，点在的直径的延长线上，，与相切于点，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出的度数，再根据切线的性质得出，求出，最后利用切线长定理求出的度数． 【详解】解：连接． ， ， ， 与相切于点， ， ， ， 与相切于点， ． 15. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是_______平方米．（接缝不计） 【答案】5π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：5π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长． 16. 如图，抛物线的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴的交点为，与轴的交点为和，其中．下列结论中，所有正确结论的序号是__________． ①设抛物线的对称轴为，则； ②当时，； ③的取值范围是； ④若，则方程一定有两个不相等的实数根． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断①；根据图象法，解不等式，可判断②；设根据根与系数的关系，可判断③；求得抛物线最小值的取值范围，有实数根，则表示抛物线与直线有交点，据此可判断④． 【详解】解：把，代入抛物线可得 ， 解得， ， 抛物线与轴的交点为和， 抛物线的对称轴为， ， ，即 对称轴在轴左侧， ，故①正确； 设直线经过点，， 则可得， 解得， 所以直线的解析式为， 结合图象，可得当时，一次函数在抛物线的上方， ，故②正确； 令， 根据题意该方程的两个根为，， 根据根与系数的关系可得，即， ， ， ， 抛物线开口向上，对称轴在轴左侧， ，解得， ，故③错误； 抛物线的最小值为， ， 假设时，， 此时抛物线的最小值为， ， 假设， 此时抛物线的最小值大于， 所以直线与抛物线无交点， 即没有实数根，故④错误． 三、解答题（本题共12小题，第17题6分，第18题5分，第19题7分，第20题4分，第21题5分，第22题6分，第23题4分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27、28题每题7分，共68分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 或， 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时的取值范围； （3）点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2）或； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【小问1详解】 解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：当或时，； 【小问3详解】 解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 20. 如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）若可由绕某点旋转得到，则这点的坐标为__________； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出； （3）计算在（2）的旋转过程中，点的运动路径的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心； （2）分别画出点D、E绕点F顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、F，得到即为所求； （3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点D所经过的路径长． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心， 旋转中心的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转可知， 由网格可知， 点D所经过的路径长为． 21. 如图，内接于，是的高且经过圆心． （1）求证：； （2）若，的半径为6，求的面积． 【答案】（1）证明：∵是的高， ∴，即． ∴ ； （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可求解； （2）连接，根据等边三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质可得，进而通过勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， 连接，如图： ∵是等边三角形，是高， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 22. 已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象可知，当时，的取值范围是__________； （3）根据图象可知，当时，的取值范围是__________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线，画出函数图象即可； （2）（3）根据函数图象得出答案即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴画图如答案； 【小问2详解】 解：由（1）和图象可得，当时，y的取值范围是； 【小问3详解】 解：由（1）和图象可得，当时，的取值范围是或． 23. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 【答案】 解；（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 24. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 25. 如图，在“实验杯”篮球比赛中，小宋在与篮圈中心水平距离处投篮，球运行的路线是抛物线的一部分，运行至距小宋水平距离为时达到最大高度，然后落在篮圈中心，篮圈中心到地面的距离为．小文在小宋与篮圈之间，距离小宋处，准备原地起跳“盖帽”拦截小宋投出的球．（注：若起跳后手达到的高度不低于篮球在此水平距离处的高度，视为“盖帽”成功．） （1）建立坐标系并求篮球运行路线对应的抛物线的表达式； （2）若，则小文原地起跳后手达到的高度至少为__________才能“盖帽”成功； （3）若，小文起跳后手达到的最大高度比小宋投篮出手时球的高度高，判断小文能否成功“盖帽”并说明理由． 【答案】（1），建立坐标系如下： （2） （3）小文不能成功“盖帽”，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴小宋出手时球的高度为， ∴小文起跳后手的最大高度为， 当时，， 代入抛物线解析式得， ， ∵， ∴小文手的最大高度低于此处篮球的高度， ∴小文不能成功“盖帽”． 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的关系式为，利用待定系数法即可求解； （2）先求出小文对应的横坐标，再代入到（1）中所求的函数关系式中求出y即可； （3）先求出小宋的出手高度，进而可得小文起跳后手的最大高度，再根据求出小文此时应该起跳的高度，进行对比即可． 【小问1详解】 解：以抛物线最高点的地面垂足为原点O，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系． 由题意可知，抛物线的顶点在y轴上，顶点坐标为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵篮圈中心距离小宋水平距离为，小宋距离原点水平距离为， ∴篮圈中心的横坐标为，纵坐标为，即点在抛物线上． 将其代入解析式得， 解得， ∴篮球运行路线对应的抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：∵小宋的位置对应横坐标为，小文距离小宋， ∴小文对应的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得 ， ∴小文原地起跳后手达到的高度至少为才能“盖帽”成功； 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，点在轴上，点在轴的正半轴上． （1）求点的坐标，及抛物线的对称轴； （2）若对于抛物线上的点，，有，求的取值范围； （3）若满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，抛物线的对称轴为直线． （2）或； （3）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，再求出时，二次函数的函数值即可得到点A的坐标； （2）求出，，根据得到，据此讨论a的取值范围，进而解不等式组求出a的取值范围，同时要满足抛物线与x轴正半轴要有交点； （3）待定系数法求出b的值，进而求出点B的横坐标，把点B的横坐标代入抛物线的解析式表示出a，根据点B的横坐标的取值范围确定a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意得，对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线：与直线：交于，两点，点在轴上， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴或， 解不等式组得（舍去）， 解不等式组得； 当时，则， ∴或， 解不等式组得，则， 解不等式组可知，该不等式组无解； ∴； 又∵抛物线经过点B，且点B在x轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， 同理可得或； 当方程有解时，由根与系数的关系可得两根之和为，两根之积为， 故当时，方程的两根一正一负，符合题意， 当时，方程的两根都是正数，符合题意， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵抛物线经过点B， ∴， 当时，，不满足题意， ∴； ∴， 设， ∵， ∴当时，有最大值，为， 当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，随m的增大而减小， 当时，， ∴当时，， ∴当时，； 当时，； 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图1，在中，，． （1）若，直接写出的长； （2）点是上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段． ①如图2，点在上，猜想与的数量关系，并证明； ②若，当点在的垂直平分线上时，用含的式子表示点到直线的距离，并证明． 【答案】（1）的长为 （2）①猜想：，证明如下： 如图，过点A作于点H，则． 由（1）得，，． 由旋转的性质得，，． ，， ． ． 在中，， ∴， ， ∴， ， ∴， ； ②点E到直线的距离为，证明如下： 连接，过点A作于点H，过点E作于点F，作于点G，如图： 则四边形有三个内角为直角， ∴四边形是矩形， ，，． 在中，，， 由（1）得，， 在中，， ， ∴， 由旋转的性质得，，． ，， ． 在和中， ， ， ，． ， ． 点E在的垂直平分线上， ． 在中，， 在中，， ， ． 设，则， ∴， ， 将各线段代入中， 得 解得， ∴点E到直线的距离为． 【解析】 【分析】（1）过点A作于H，在中，，得；在中，，计算得，进而即可得解； （2）①由旋转得、，以高为中间量，分别表示与，利用角对边为斜边一半的比例关系，代入化简即可证得；②作、，证实现线段转化；由E在垂直平分线上得，设距离为h，利用勾股定理列方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H，则． 在中，， ， ． ∴， ∵，， ，． 在中，， ． ∴， ； 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，点，不与点重合，若，且线段的中点在上，则称线段与相关联． （1）设的半径为1，在下列点对中，线段与相关联的是____________（填序号）； ①，； ②，； ③，； ④，； （2）设的半径为1，点在上，若直线上有且只有一个点，使得与相关联，求的值； （3）设点，经过原点，若在直线上存在两个点，，使得线段与相关联．直接写出的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3）或且 【解析】 【分析】（1）先验证是否等于，再验证的中点是否在上即可得到结论； （2）设的中点为S，连接，根据定义可得，再由点P在得到，则可求出，则点Q在以点O为圆心，半径为的圆上运动，故当直线与以点O为圆心，半径为的圆相切时满足题意，据此求解即可； （3）要使得在直线上存在两个点，，使得线段与相关联，只需要满足与直线有交点即可（当然P、Q、C不能共线），据此求出与直线相切时t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设的中点为， ∵①，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即点S在上， ∴线段与相关联； ②∵，， ∴，， ∴， ∴，即点S不在上， ∴线段与不相关联； ③∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即点S在上， ∴线段与相关联； ④∵，， ∴P、O、Q三点共线，即， ∴线段与不相关联； 综上所述，线段与相关联的是①③； 【小问2详解】 解：如图所示，设的中点为S，连接， ∵与相关联， ∴， ∵点S为的中点， ∴，且点S在上， ∴， ∴， 又∵点P在上， ∴， ∴， ∴点Q在以点O为圆心，半径为的圆上运动； ∵直线上有且只有一个点，使得与相关联， ∴直线与以点O为圆心，半径为的圆有且只有一个交点，即此时直线与以点O为圆心，半径为的圆相切； 如图所示，设切点为点R，直线与x轴交于点K，与y轴交于点L，连接， ∴； 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，设的中点为S，连接， ∵线段与相关联， ∴， ∴三点均在以点S为圆心，半径为的圆上运动， ∴要使得在直线上存在两个点，，使得线段与相关联，只需要满足与直线有交点即可（以这个交点为圆心，以交点到点C的距离为半径画圆，与直线的两个交点即为点P和点Q，当然P、Q、C不能共线）； 如图3-2所示，设直线与x轴交于点G，与y轴交于点W，取的中点I，连接， 则， ∴， ∴， ∵，I为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图3-3所示，当与直线恰好相切于点S时， 则， ∴， ∴， ∴， 当时，此时点C与点G重合，则此时P、C、Q三点共线，不满足题意， ∴当且时，在直线上存在两个点，，使得线段与相关联； 如图3-4所示，当与直线恰好相切于点S时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，在直线上存在两个点，，使得线段与相关联； 综上所述，当或且时，在直线上存在两个点，，使得线段与相关联． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $