精品解析：北京市顺义区仁和中学2026－2027学年度第一学期九年级数学期中练习

2026-2027学年度第一学期九年级数学期中练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 如果，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 4. 在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 7. 如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 请写出一个开口向上且过点的抛物线解析式：___________． 11. 方程的解为________． 12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为___________． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是___________．（写出一个即可） 14. 如图，直线，相交于点，．若，，，则___________． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的的值，这个值可以是___________． 16. 某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下： 小组 实验人数 实验时长 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）． （1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天； （2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验． 三、解答题（共68分，第17-18题每题5分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题7分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，对角线平分，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 已知函数． （1）该函数图象的对称轴是直线___________，顶点坐标是___________； （2）在坐标系中画出该函数图象； （3）根据图象直接写出当时，的取值范围； （4）根据图象写出当时，的取值范围． 22. 如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 23. 已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点． （1）求抛物线的解析式： （2）若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积． 24. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 27. 如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点为，此时存在点满足：（其中），则称点是点的美好距离点． （1）如图，点的坐标为，点的坐标为 ①在点，，，中，________是点的美好距离点； ②已知点是平面内一点，且点同时是点和的美好距离点，请直接写出点的坐标__________． （2）已知点在直线上，正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，点为正方形边上的一点，若对于任意一点，都存在一点，使得点是点的美好距离点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学期中练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 如果，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴. ∴，. ∴仅选项A的等式正确. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定的取值范围及正负性，逐一判断选项． 【详解】解：由数轴可知，． ∵，故选项A错误． ∵，， ∴，故选项B错误． ∵，， ∴，故选项C正确． ∵， ∴，故选项D错误． 3. 将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( ) A. y＝2x2+3 B. y＝2x2﹣3 C. y＝2(x+3)2 D. y＝2(x﹣3)2 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案. 【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律. 4. 在AI技术发展中，词元（）是大模型处理信息的基本单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征、据国家数据局发布信息：2024年初，我国日均词元调用量为1000亿；2026年3月，日均词元调用量已突破140万亿．若2026年3月日均词元调用量为2024年初日均词元调用量的n倍，则n用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：140万亿亿亿，1000亿亿 由题意得． 5. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置以及特定自变量对应的函数值符号进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，，故C选项错误． 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，故B选项错误． 当时，，由图象可知此时， ，故A选项正确． 当时，，由图象可知此时， ． 又， ，即，故D选项错误． 7. 如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，A是x轴正半轴上的动点，点D在x轴负半轴上，点B，C在抛物线上，四边形是矩形，连接，设A的横坐标为m，给出下面三个结论： ①当矩形为正方形时，； ②抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于； ③记抛物线上C，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积为，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出点的坐标，根据邻边相等的矩形为正方形求出的值，连接，求出的面积，判断②，连接，根据对称性，判断③. 【详解】解：由题意，， ∵轴， ∴关于轴对称， ∴， ∴， 当时，即时，矩形为正方形， 解得（舍去）或；故①正确； 连接，则， 观察可知O，B两点之间的部分与线段围成的图形在的内部， 故抛物线上O，B两点之间的部分与线段围成的图形面积小于；故②正确； 连接，由对称性可知两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积相等，，， ∵等于两点之间的部分与线段组成的图形面积和两点之间的部分与线段组成的图形面积以及的面积之和，等于两点之间的部分与线段组成的图形面积与的面积之和， ∴． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则有，解得， 则实数x的取值范围是． 10. 请写出一个开口向上且过点的抛物线解析式：___________． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】抛物线开口向上要求二次项系数为正，结合过点的条件，即可构造符合要求的解析式． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴二次项系数大于0，取二次项系数为1． ∵抛物线需经过点，即当时函数值为0， ∴可构造顶点式解析式， 验证：当时，，满足过点的要求，且二次项系数，开口向上，符合题目条件． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及图形特征，判定与相似，利用相似三角形对应边成比例建立方程求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴即， 解得． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为． ∴ 抛物线开口向上． ∵ 该二次函数的对称轴为直线． ∴ 当时，随的增大而减小． ∵ 题目要求当时，随的增大而减小． ∴ 区间需完全包含在递减区间内，即． ∴ 可取（答案不唯一）． 14. 如图，直线，相交于点，．若，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据线段的和差关系求出的长，代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 又， ． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的的值，这个值可以是___________． 【答案】1（答案不唯一，） 【解析】 【分析】根据函数图象得出对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得．结合函数图象，即可求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，且经过点， 根据抛物线的对称性，当时，另一个的值为， 抛物线开口向下， 当时，，即， 满足条件的的值可以是1（答案不唯一）． 16. 某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下： 小组 实验人数 实验时长 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）． （1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天； （2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验． 【答案】 ①. 18 ②. 【解析】 【分析】本题考查逻辑推理能力，正确推理是解题的关键． （1）计算前三组实验时间之和即可； （2）为使总等待时间最小，应按人均实验时长（实验时长/实验人数）从小到大的顺序安排实验． 【详解】解：（1） 天， 故答案为：18 天； （2） 天， 天， 天， 天， ∵， ∴若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按的先后顺序实验． 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-18题每题5分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题7分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个一元一次不等式的解集，再取解集的公共部分，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， ， ， ． 解不等式， 两边同乘，得， ， ， ． ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先展开代数式并合并同类项，将已知等式变形后整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在四边形中，对角线平分，，，． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得到，证明，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）根据相似三角形周长之比等于相似比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，相似比为， ∴， ∴． 21. 已知函数． （1）该函数图象的对称轴是直线___________，顶点坐标是___________； （2）在坐标系中画出该函数图象； （3）根据图象直接写出当时，的取值范围； （4）根据图象写出当时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式的特征回答即可； （2）运用描点法作图即可； （3）根据函数图象与轴交点的位置回答即可； （4）根据开口向下时离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小回答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：列表如下： 画出该函数图象略； 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，的取值范围是； 【小问4详解】 解：当时，； 结合图象可得，当时，；当时，； ∴当时，的取值范围是． 22. 如图，在中，，过边的中点作的垂线，交于点，点，在射线上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作于，可得四边形是矩形，得到，，由含角直角三角形的性质可得，利用勾股定理及平行四边形的性质得到，再由平行推出是的中位线，得到，最后根据线段的和差关系即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边的中点，， ∴， ∴，即是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 23. 已知抛物线与轴的一个交点为，且经过点． （1）求抛物线的解析式： （2）若该抛物线与轴的另一个交点为，求的面积． 【答案】（1） 抛物线的解析式为 （2） 的面积为 【解析】 【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，联立求解得到b、c的值，即可确定解析式； （2）令抛物线解析式中，解方程得到点C的坐标，再结合的长度和点B到x轴的距离计算三角形面积； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则，即， 解得，， ∵点A的坐标为， ∴另一个交点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴边上的高为， ∴． 24. 篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①； ②； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【小问1详解】 解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③略 【小问2详解】 解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 25. 现有A，B两种算法，用来计算某项运动在特定条件下，经过不同的运动时间x（分钟）时能量消耗值y（千卡），某测试者进行测试，记录了部分数据如下： x（分钟） 0 10 20 30 40 50 60 70 A算法（千卡） 0 50 100 150 200 250 300 350 B算法（千卡） 0 52 95 138 172 200 220 230 （1）两种算法中，能量消耗值都可以看作关于运动时间的函数，观察数据，推测A种算法中与x的函数关系式为____________； （2）在同一平面直角坐标系中绘制出两种算法对应的函数图象； （3）某实验小组利用这两种算法，设计了一款测试运动能量消耗值的智能手环，其显示能量消耗值的规则为： ①若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡，则手环显示B种算法的能量消耗值； ②若两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值大于或等于25千卡，则AI动态算法开始计算，的平均数，如果所得的平均数与的差的绝对值大于或等于25千卡，那么AI动态算法再次计算上一次所得的平均数与的平均数，重复上述操作，直到所得的平均数与的差的绝对值小于25千卡时，手环上显示的能量消耗值是最后一次所得的平均数（AI动态算法计算时间忽略不计）． 这次测试中，该测试者运动25分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡（保留整数）；运动60分钟时，手环显示的能量消耗值是______千卡． 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示： （3）117；280 【解析】 【分析】（1）观察表格数据即可得出结果； （2）根据表格数据画出图象即可； （3）结合题意题图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象得：当测试者运动25分钟时，两种算法计算的能量消耗值之差的绝对值小于25千卡， ∴手环显示B种算法的能量消耗值为117千卡； ∵运动60分钟时，， ∴， ∴第一次计算平均数为：， ∵， ∴第二次计算平均数为：，且， ∴手环显示的能量消耗值是280千卡． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】（1）利用抛物线过直接得，再套用对称轴公式，化简求出； （2）先写出顶点为的平移后抛物线，代入原点得到关于的一元二次方程，方程无实数根则判别式，解不等式得到范围． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ． 抛物线的对称轴为， ． ； 【小问2详解】 解：设点， 是抛物线上的点， ． 由题意，抛物线， 设抛物线与y轴交于点，则． 无论t为何值，抛物线都不经过点O， 无论t为何值，都有， 关于t的方程没有实数根． ，即． ， 化简得：， 解得：， 且． 27. 如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） ①如图1所示， ② （2）（或或） 【解析】 【分析】（1）①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； （2）如图2，过点F作于H，证明是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的倍即可解答． 【小问1详解】 解：①略 ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点为，此时存在点满足：（其中），则称点是点的美好距离点． （1）如图，点的坐标为，点的坐标为 ①在点，，，中，________是点的美好距离点； ②已知点是平面内一点，且点同时是点和的美好距离点，请直接写出点的坐标__________． （2）已知点在直线上，正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行，点为正方形边上的一点，若对于任意一点，都存在一点，使得点是点的美好距离点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，．②， （2）或 【解析】 【分析】（1）对于①，将各候选点坐标代入距离公式，判断计算结果是否等于即可； 对于②，分别写出点和点的美好距离点满足的绝对值方程，联立两个方程，分情况讨论去掉绝对值符号求解； （2），先确定正方形各边的坐标范围，再根据“美好距离点”的定义，得出点的对称点与点满足的距离关系，因为直线上的点的对称点也在某条直线上，所以问题转化为该直线与正方形所有边上点的距离为的区域存在交点，结合图形求得临界值即直线过轴上方的顶点，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义：点关于轴的对称点为， ∵点是的2美好距离点 ∴ ：，不符合； ：，符合； ：，不符合； ：，符合 ②点是点和的美好距离点， 设，的对称点，∴； 的对称点，∴ 当时， 即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，无解 当时， ∴ 当时， 方程组为：，解得： 当时， 方程组为：，无解； 当时， 方程组为，解得： 当时，经检验，原方程组无解； 综上所述，点的坐标为和； 【小问2详解】 正方形中心在原点，边长为4，边与坐标轴平行，故在正方形边上， 满足：或 设，则关于轴的对称点 ∴所在的直线为 ∵正方形的边长为，且点是点的美好距离点，即到直线的最大美好距离为 直线和关于轴对称， 又∵正方形的对角线交点为，边长为，且四条边均与坐标轴平行， ∴当最大时，直线过轴上方正方形的顶点， 如图，取正方形的顶点，， 分别代入 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $