专题16 平方差和完全平方公式综合应用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题16 平方差和完全平方公式综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 运用平方差公式进行运算 题型2 平方差公式与几何图形 题型3 运用完全平方公式进行运算 题型4 通过对完全平方公式变形求值 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数 题型7 整式的混合运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【针对训练】 【典例精讲】因式分解： (1) (2) 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 知识点02 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【针对训练】 【典例精讲】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式训练】分解因式： (1) (2) 典例精析 题型1 运用平方差公式进行运算 【精讲】若，，，则下列a，b，c的大小关系正确的是 ． 【变式】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 题型2 平方差公式与几何图形 【精讲】如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式】（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 题型3 运用完全平方公式进行运算 【精讲】阅读理解： 定义：如果一个数的平方等于，记为，则这个数i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法、乘方运算可以延用整式的运算法则． 例如：； ； ． (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等．完成下列问题：已知，x，y为实数，求． 【变式】观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 题型4 通过对完全平方公式变形求值 【精讲】若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”，到点距离为1的点所对应的数分别记为，定义：若数，则称数为“隔一三倍数”．例如：若所表示的数为3，则，那么；若所表示的数为12，则，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若所表示的数为6，则_______________； (2)已知“隔一三倍数”有如下性质：所有的“隔一三倍数”都是正整数，一定是被9除余3．若两个“隔一三倍数”的差是63，求这两个“隔一三倍数”． 【变式】在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求的值的情况下，求出的值．具体做法如下： 类似的，若满足，求的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设， 则，， 所以 ． 问题： (1)若，则___________． (2)请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲】我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【变式】如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 题型6 求完全平方式中的字母系数 【精讲】我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： (1)下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） (2)给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） (3)代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 题型7 整式的混合运算 【精讲】（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 6．因式分解：________． 7．计算：_________． 8．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 9．分解因式：______． 10．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如，当，时，，，则可以得到密码是145171，171451…，等等，根据上述方法当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ 11．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 12．下列多项式，可以用公式法分解因式的是（     ） A． B． C． D． 13．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 14．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 15．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 16．计算：_________． 17．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 18．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 19．已知，，则的值是________． 20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则________； (3)已知有理数、满足，求的最小值． 21．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 22．已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（     ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 24．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 25．已知实数p，q满足，，且，则_________． 26．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 27．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 平方差和完全平方公式综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 运用平方差公式进行运算 题型2 平方差公式与几何图形 题型3 运用完全平方公式进行运算 题型4 通过对完全平方公式变形求值 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数 题型7 整式的混合运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【针对训练】 【典例精讲】因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： 【变式训练】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 知识点02 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 【针对训练】 【典例精讲】若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【规范解答】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 【变式训练】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 典例精析 题型1 运用平方差公式进行运算 【精讲】若，，，则下列a，b，c的大小关系正确的是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了零指数幂，有理数大小比较，运用平方差公式进行运算，积的乘方的逆用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先分别计算a、b、c的值：a利用零指数幂法则，b利用平方差公式，c利用幂的运算性质进行简化，然后比较三者的大小． 【规范解答】解：（任何非零数的零次幂等于1）． ， 其中， 所以． ， 由于指数2024为偶数，， 所以， 其中， 因此． 比较大小： ，，， 所以， 故答案为：． 【变式】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)-1 (2)6 【思路引导】本题考查积的乘方，平方差公式； （1）根据作业的方法逆用积的乘方计算即可； （2）由求解即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：， ． 题型2 平方差公式与几何图形 【精讲】如图，阴影部分是在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【思路引导】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握各图形的面积之间的联系是解题关键． 图①：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图②：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得；图③：根据阴影部分的面积等于1个长方形（长为、宽为）的面积即可得；图④：根据阴影部分的面积等于1个平行四边形的面积之和即可得． 【规范解答】解：图①：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图②：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 图③：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分面积为， 则有； 图④：左边图中阴影部分面积为，右边图中阴影部分是一边长为，这条边上的高为的平行四边形，其面积为， 则有； 综上，能够验证平方差公式的有4个， 故选：D． 【变式】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【思路引导】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【规范解答】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 题型3 运用完全平方公式进行运算 【精讲】阅读理解： 定义：如果一个数的平方等于，记为，则这个数i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法、乘方运算可以延用整式的运算法则． 例如：； ； ． (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等．完成下列问题：已知，x，y为实数，求． 【答案】(1)i； 5 (2) (3) 【思路引导】本题考查整式的运算、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键． （1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则以及整式的平方差公式求解即可； （2）利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求解即可； （3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：i；5 （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式】观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 【思路引导】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 题型4 通过对完全平方公式变形求值 【精讲】若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”，到点距离为1的点所对应的数分别记为，定义：若数，则称数为“隔一三倍数”．例如：若所表示的数为3，则，那么；若所表示的数为12，则，那么，所以12，147是“隔一三倍数”． (1)若所表示的数为6，则_______________； (2)已知“隔一三倍数”有如下性质：所有的“隔一三倍数”都是正整数，一定是被9除余3．若两个“隔一三倍数”的差是63，求这两个“隔一三倍数”． 【答案】(1)39 (2)这两个“隔一三倍数”是147和84 【思路引导】本题考查了新定义运算与因式分解的应用，解题的关键是理解“3倍点”“隔一三倍数”的定义，推导“隔一三倍数”的表达式后结合条件列方程求解． （1）根据P表示的数确定a、b的值，代入m的公式计算； （2）设P对应的数为，推导“隔一三倍数”的表达式为，设两个数对应的值，根据差为列方程，结合质数性质求出值，即可得这两个数． 【规范解答】（1）解：∵P表示的数为6， ∴，， ∴ 故答案为：． （2）解：设P对应的数为（为自然数），则，， 设两个“隔一三倍数”对应的值为、（）， 由题意得：， 化简得：，即． ∵7是质数，, ∴，， 解得，． 当时，； 当时，. 答：这两个“隔一三倍数”为和． 【变式】在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求的值的情况下，求出的值．具体做法如下： 类似的，若满足，求的值， 同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下： 解：设， 则，， 所以 ． 问题： (1)若，则___________． (2)请参照上述方法解决下列问题：若，求的值； 【答案】(1)33 (2)41 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据进行求解即可； （2）设，得出，根据完全平方公式进行求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， 则， 所以． 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲】我们已知道可以用一些长方形（或正方形）硬纸片拼成的图形面积来解释代数恒等式． (1)如图1，根据标注，可解释的代数恒等式是 ； (2)如图2，点在上，以，为边分别作正方形和正方形，它们的面积分别为和．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查了完全平方公式的几何应用． （1）用两种方法表示面积，列出等式即可； （2）设正方形，的边长分别为，，可得，，代入（1）中结论求出，进而根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】（1）解：图1面积可表示为、， 即， 故答案为：； （2）解：设正方形，的边长分别为，， ，， ，， ， 即， ， ． 【变式】如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【思路引导】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 题型6 求完全平方式中的字母系数 【精讲】我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： (1)下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） (2)给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） (3)代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)有最小值，最小值为2 【思路引导】本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：在；②；③；④中，是完全平方式的有②④； 故答案为：②④； （2），故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； （3）有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 【变式】如图1，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中． (1)填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式； (2)填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_______． (3)现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2) (3)，画图见解析 (4)2号卡片的边长为 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【规范解答】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， ∴． （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片8张，2号卡片3张，3号卡片10张， 即，，， ∴． （3）解：∵拼成的图形是正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ∴边长一定是完全平方式， ∵1号、2号、3号卡片各9张纸片的总面积为：， ∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去）， 此时正方形的边长分别为：，，， ∵由图形可得：， ∴最大正方形的边长为， 画图如下： （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ∴， ，即2号卡片的边长为． 题型7 整式的混合运算 【精讲】（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了整式的化简求值． （1）先根据多项式与多项式的乘法法则，积的乘方法则计算，再计算乘除，最后合并同类项即可； （2）先根据乘法公式计算，再合并同类项，计算除法，根据绝对值的非负性和平方的非负性得到，，进而代入化简结果计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解： ； ，且 ， ， 原式 【变式】已知． (1)化简这个代数式． (2)若，求原代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的化简和代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和多项式乘以多项式的运算去括号，再合并同类项即可； （2）将代入，进而得到原代数式的值，即可解题． 【规范解答】（1）解： （2）解：当时， 原式． 1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【详解】解：完全平方公式 A、常数项不是平方数，无法配成平方，不符合题意； B、，若，则；若，则，，不符合题意； C、，符合题意； D、，括号内不符合完全平方式的结构特征，无法用完全平方公式因式分解，不符合题意． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，判断等式从左到右的变形是否为将多项式化为几个整式的积的形式. 【详解】解：A、B选项等式右边均不是几个整式的积的形式，不符合题意； C选项从左到右是整式的乘法运算，不符合题意； D选项，符合因式分解的定义. 3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断因式分解需抓住两个核心：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合； B、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合； C、右边不是积的形式，不符合； D、右边中是分式，不是整式，不符合． 4．将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从因式分解的恒等性与分解彻底性入手，结合平方差公式逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、∵，∴此选项错误； B、∵，变形正确且分解彻底，∴此选项正确； C、∵，原式未分解彻底，∴此选项错误； D、∵，∴此选项错误． 6．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： ． 7．计算：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行简便计算． 【详解】解： 8．根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 9．分解因式：______． 【答案】 【分析】对多项式分组后，先提每组的公因式，再提取整体公因式完成分解． 【详解】解： ． 10．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如，当，时，，，则可以得到密码是145171，171451…，等等，根据上述方法当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ 【答案】124420，122044，441220，442012，201244，204412 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后依据、、的值可得到形成的密码． 【详解】解：， 当，时，则，，， 可以得到的数字密码是：124420，122044，441220，442012，201244，204412． 11．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 12．下列多项式，可以用公式法分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，不符合平方差及完全平方公式结构，不能用公式法分解； B、C、D为三项式，对照完全平方公式判断： B选项：中，与的中间项应为，不符合要求； C选项：中，与的中间项应为，不符合要求； D选项：，符合完全平方公式，可以分解． 13．下列分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法分别对A、B、C、D各选项的因式分解进行验算即可得答案． 【详解】解：A．，故A选项错误． B．，故B选项错误． C．，故C选项错误． D．，故D选项正确． 14．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 15．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：2，m，，，，分别对应下列五个字“数、爱、中、学、国”．现将因式分解，根据小强的密码手册，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．爱数学 B．数中学 C．爱中国 D．中国学 【答案】C 【分析】密码信息对应因式分解后的各个因式，需先分解多项式再匹配对应文字． 【详解】解：∵ 又∵ 对应爱，对应中，对应国 ∴ 结果呈现的密码信息为爱中国． 16．计算：_________． 【答案】 【分析】每个括号内的式子可通过平方差公式拆分为两个分数的乘积，利用相邻项的交叉约分简化连乘计算． 【详解】解：∵ 对任意整数，由平方差公式可得， ∴ 原式可展开为 ． 17．如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【分析】根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出，列举所有整数对并计算p，即可求出p． 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 18．对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 19．已知，，则的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式进行因式分解，将其转化为已知等式左侧的两个式子的乘积，再整体代入已知值计算即可． 【详解】解： ， 已知，， ∴代入上式计算得． 20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值； (2)已知，则________； (3)已知有理数、满足，求的最小值． 【答案】(1) 最小值为 (2) (3) 最小值为 【分析】（1）对二次三项式配方，利用平方的非负性求最小值； （2）将等式左边按,分组配方，根据非负数的和为的性质求解； （3）用含的代数式表示，代入后配方，结合平方的非负性求最小值. 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，取最小值， ∴，即的最小值为； （2）解：， ∵，，且， ∴，， 解得，， ∴； （3）解： 由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴当时，取最小值， ∴，即的最小值为. 21．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 【答案】D 【分析】根据和谐数定义，结合完全平方公式，通过配方、因式分解逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴17是和谐数，不符合题意； B、∵，且，是整数， ∴，均为整数， ∴一定是和谐数，不符合题意； C、∵， 又∵，都是和谐数，设，（，，，为整数）， ∴ ， ∴是和谐数，即原式是和谐数，不符合题意； D、∵ ， 若该式是和谐数，则需，即， ∴当该式是和谐数时，的说法错误，符合题意． 22．已知整式，其中，，，，均为非零整数，为正整数，，且，若，下列说法正确的个数有（     ） ①若，满足条件的整式共有8个； ②若，则所有满足条件的整式都能被整除； ③所有满足条件的整式共有48个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①求出或，，进而得到，即可得出结果；②根据题意得到，，进而得到，进行判断即可；③分情况讨论进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； ∵，， ∴， ①当时，则，或；， ∵，，，，均为非零整数， ∴， 故满足条件的整式共有个；故①错误； ②当时，则，， ∴ ； ∴所有满足条件的整式都能被整除；故②正确； ③当时，或，共2种情况； 当时，由①可知，共有16种情况； 当时，则， ∴， ∴， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∴，， ∴满足条件的整式共有个； 当时，则， ∴， ∵，，，，均为非零整数， ∴不存在，满足条件的整式共有0个； 当时，不存在满足条件的整式， 综上：所有满足条件的整式共有个．故③错误； 故正确的只有②，共1个. 23．利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 24．若实数x，y，z满足等式：，则的值是_____________． 【答案】6 【分析】观察等式中根号项与对应变量的结构，通过拆分项将等式转化为多个完全平方式的和为0的形式，利用平方的非负性求解各变量值，再计算的值. 【详解】解：∵ ， ∴ 对左侧变量进行拆分，匹配根号的平方形式， ，，， 将拆分后的式子代入原等式，整理得： ， 根据完全平方公式，将上式分组配方： ， 即， ∵ 平方数具有非负性，即，，， ∴ 每个完全平方式的值均为0， 即，解得， ，解得，即， ，解得，即， ∴ . 25．已知实数p，q满足，，且，则_________． 【答案】 【分析】将已知等式变形构造出关于和的关系式，利用因式分解结合得到的值，再整体代入计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ，等式两边同乘得 ， ∴ ； ∴ ， 移项整理得 ， 因式分解得 ， 即 ； ∵ ， ∴ ； ∴ ， 代入得 ． 26．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 1011 7 【分析】要求最小的“两倍数”，令，，则，可令，，则M的最小值是1011；，整理化简得，，则，得是11的倍数，考虑b、d的取值范围，则或17；因为，所以，则的取值有以下5种情况：，；，；，；，；，；于是的取值可求得． 【详解】解：四位数中，，， 要求最小的两倍数，则， ∵， ∴， 要求最小的两倍数，则尽可能小，取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴M的最小值是1011； ， ∵， ∴， ∴， ∵是11的倍数， ∴是11的倍数， ∵， ∴，即， ∵是11的倍数， ∴或； ∵，且最大都是9， ∴， ∴，即； 若，即时， ∴， 又， ∴可取0，1，2，3， ∴当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 若，则，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴的最大值为7，最小值为0， ∴的最大值与最小值之差为． 27．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下： ．这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知、、分别是三条边的长，则的值能否大于？ (3)已知、、分别是三条边的长，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能大于． 证明： ∵是的三边长 ∴， ∴， ∴ 即原式的值不能大于． (3) 是等边三角形. 理由： ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 即 ∴是等边三角形． 【分析】把多项式恰当分组，凑出完全平方式，再用平方差公式或者利用平方的非负性解题； 小问结合三角形三边关系、平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $