专题9 含30角的直角三角形的综合运用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题9 含30°的直角三角形的综合运用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 利用含30°的直角三角形的性质求长度 题型02 利用含30°的直角三角形的性质求角度 题型03 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题 题型04 利用含30°的直角三角形的性质证明 题型05 利用含30°的直角三角形的性质解决动点 题型06 含30°的直角三角形性质解决最值问题 题型07 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题 题型08 含30°的直角三角形的实际应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 【针对训练】 【例1】如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【规范解答】解： 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【思路引导】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 典例精析 题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度 【例1】如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 【变式训练】如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度 【例2】在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【变式2-1】如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点落在边上，则 ． 【答案】30 【分析】根据题意易得，∠D=90°，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵， ∴， ∵将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为30． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题 【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可． 【详解】解：∵三角形为等边三角形，轴， ∴， ∴， 同理得：，， 综上可得： 故选A． 【点睛】本题主要考查含的直角三角形的性质，能够熟记性质并能够熟练进行指数计算是解题关键． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明为直角三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是求出的长． 题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明 【例4】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． 【详解】（1）证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【变式训练】如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得，根据三角形内角和性质得，再结合交于点．是的中点，得是的垂直平分线，则，，运用度角所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵交于点．是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴． 题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题 【例5】如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 分两种情况讨论为直角三角形的情况，再结合路程公式求解即可． 【详解】解：点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，，， ，， 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， 点M从B到A所需时间为，点N从C到B所需时间为， ； 和均满足， 的值为1或， 故选B． 【变式训练】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），连接交于D．当时，的长为 ． 【答案】2 【分析】先证明，由此构建方程求解，可得答案． 【详解】解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会考虑构建方程解决问题． 题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题 【例6】如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质．延长，过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据旋转得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长，过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【变式训练】如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得， ，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题 【例7】如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，及直角三角形的性质．先证明是等边三角形，则可得，则，根据翻折的性质，可得，和的长．在中，根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”即可求出的长． 【详解】解：， ． 中，， 是等边三角形， ， ． 根据翻折的性质可得，， ． 又， ， ， ． 故答案为：2． 【变式训练】如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若，则的长是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先证明EA=EB，再证明∠EAB=∠EBA=∠EBC=30°，根据30°角所对应的直角边等于斜边的一半得出EC的长，之后进一步求解即可. 【详解】∵∠BDE=∠C=90°， ∴ED⊥AB， ∵AD=DB, ∴EA=EB=6， ∴∠EAB=∠EBA=∠EBC， 又∵∠BEC=∠EAB=∠EBA， ∴∠BEC＋∠EBC=3∠EBC=90°， ∴∠EBC=30°， ∵BE=6， ∴EC=BE=3， ∴AC=EA＋EC=9. 所以答案为C选项. 【点睛】本题主要考查了三角形的折叠问题已经直角三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 题型8 含30°的直角三角形的实际应用 【例8】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 【答案】(1)见详解 (2)池塘宽度为 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：池塘宽度为． 【变式训练】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 故答案为：． 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 2．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：∵，，， ∴在中，． 3．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 4．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 5．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点作，根据题意可得，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 在以为底边的等腰中， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，，，于点P，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】先根据三角形内角和定理分别求出、，再根据含30度角的直角三角形的性质得、，即可得解． 【详解】∵在中，，， ∴， ∴， ∵于点P， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．在中，，，斜边的长为4，则长为______． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：∵，，斜边的长为4， ∴． 8．如图，在中，，，，则_____． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：在中，， ． 9．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 【答案】68 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵双翼展开时端点、的间距为， ∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为． 10．如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由已知可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即得到，，进而根据直角三角形的性质得到，最后根据线段的和差关系即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的垂直平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (2)3 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，再根据直角三角形的性质可得，然后结合周长是24，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵周长是24， ∴， ∴． 13．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，故可得出，即，由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， 中，，， ． 是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴， ，即． 在中， ，， ， ∴． 14．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解、三线合一 【分析】利用等腰三角形三线合一性质得出垂直平分，易得，根据垂线段最短确定的最小值为点B到的距离，结合含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线且时，取得最小值，最小值为点B到的距离，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 15．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 16．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图) 【分析】由尺规作图可知，，利用含角的直角三角形的性质可得，，因此． 【详解】解： 在中，， ∴，， 由尺规作图可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 【答案】18 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】如图：连接，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得、、，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】由、分别是、边的垂直平分线可得，，则，再由角的和差得，然后根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得答案． 【详解】解：∵、分别是、边上的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 19．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、直角三角形的两个锐角互余 【分析】过点P作于点D，求出，则可求出的长，由三线合一定理求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 20．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】先根据等腰三角形的性质，三角形内角和，得到；根据折叠的性质，可以得到，继而得到，利用直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：，， ； 由折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E， ， ，； ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 21．如图，在Rt中，． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）利用面积法求解即可； （2）在中，运用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 22．如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】分别作点D关于的对称点G，H，连接，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长，由垂线段最短求出的最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，分别作点D关于的对称点G，H，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，即此时有最小值， ∵点C到的距离为2千米， ∴的最小值为2千米， ∴的周长的最小值为2千米． 23．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】先根据直角三角形性质求出的长，用表示出的长，再分和两种情况，利用含角的直角三角形性质建立方程求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为的中点， ， 由题意得，则， 当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得． 综上所述，的值为或． 24．如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】先证，再证，推出，在中，利用含30度的直角三角形的性质，得，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 中，， ， ， ． 25．如图，在中，，的角平分线交于点，点、分别是、上的动点，当取最小值时，，则的度数为_____． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、线段问题(轴对称综合题)、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】因为要找折线段的最小值，所以用对称法，作点关于的对称点，则，当、、共线且时，取最小值．利用对称性质得到对应角相等，结合，推导，由轴对称性质和三角形内角和定理推出，由角平分线定义知，结合，，可得到的度数． 【详解】作点D关于的对称点，过点作于点G，连接， 设交于点H， 则， ∴， ∴的最小值为的长， 当点E在上，F在点G的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，， ∴在和中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则，证明，所以，，设，则，，又，即，解得，所以，，通过直角三角形性质可得，最后通过即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 27．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】由折叠的性质及等腰三角形的性质证明，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，进一步即可求解. 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， ， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，，， ， ， ∴点到的距离为. 28．如图，在中，，以为直角边作，点为斜边上一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，连接交于点，分别延长点，到点，，使得，且，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，，点为直线上一点，在上取一点，使得，连接，将沿翻折得．当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）分别利用四边形和的内角和表示出，得到，又，即可求解答案； （2）延长至点使得，延长至点使得，连接、，可证得、，由对应角相等，可证得，从而进一步证明； （3）不妨设，则，可求解出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当刚好经过圆心时，取得最大值，此时，，由，求解出，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则， ； （2）解：，证明如下： 延长至点使得，延长至点使得，连接、 ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图， ， 不妨设，则， ，， ， ，， ， ， 沿翻折得， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当刚好经过圆心时，取得最大值，此时， ，， ， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 含30°的直角三角形的综合运用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 利用含30°的直角三角形的性质求长度 题型02 利用含30°的直角三角形的性质求角度 题型03 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题 题型04 利用含30°的直角三角形的性质证明 题型05 利用含30°的直角三角形的性质解决动点 题型06 含30°的直角三角形性质解决最值问题 题型07 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题 题型08 含30°的直角三角形的实际应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 【针对训练】 【例1】如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【变式训练】已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 典例精析 题型1 利用含30°的直角三角形的性质求长度 【例1】如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 题型2 利用含30°的直角三角形的性质求角度 【例2】在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【变式训练】如图，在矩形中，，将矩形绕着点逆时针旋转一定角度得到矩形，若点落在边上，则 ． 题型3 含30°的直角三角形的性质解决坐标系中的问题 【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点M，N，且，，等边的顶点A，B分别在线段上，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 利用含30°的直角三角形的性质证明 【例4】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】如图，在中，，是的中点，交于点．求证：． 题型5 利用含30°的直角三角形的性质解决动点问题 【例5】如图，在中，，，，动点、分别从点、同时出发，其中点以的速度沿向点匀速运动，点以的速度沿向点匀速运动，当、其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当为直角三角形时，的值为（   ） A．1 B．1或 C．1或2 D．2或 【变式训练】如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），连接交于D．当时，的长为 ． 题型6 利用含30°的直角三角形的性质解决最值问题 【例6】如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式训练】如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 题型7 利用含30°的直角三角形的性质解决翻折问题 【例7】如图，在中，，，，点在边上，，连接．将沿直线翻折后，点的对应点为点，作，垂足为，则 ．    【变式训练】如图，中，，当沿折痕翻折时，点恰好落在的中点上.若，则的长是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型8 含30°的直角三角形的实际应用 【例8】小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 【变式训练】某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 1．如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 2．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 5．如图，在以为底边的等腰中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，于点P，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在中，，，斜边的长为4，则长为______． 8．如图，在中，，，，则_____． 9．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______． 10．如图，在中，是边上的点，，点在的垂直平分线上，，则的长为_____． 11．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 13．如图，在中，，．的垂直平分线交，于点，，的垂直平分线交，于点，．若，则的长度是（     ） A．3 B．2 C． D．4 14．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 15．如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 16．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 17．如图，在中，，，D是AC边的中点，过点D作于点E，若，则AE的长为______． 18．如图，在中，、分别是、边上的垂直平分线，、交于点O，连接、、，已知，，若，则的长为________． 19．如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 20．如图，三角形纸片中，，，，折叠纸片，使点C和点A重合，折痕与，交于点D和点E，则折痕的长为__________． 21．如图，在Rt中，． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 22．如图，牧民从生活区边上某点D出发，先到草地边上某点E牧马，再到小河边上某点F饮马，最后回到点D处．已知，点C到的距离为2千米，，则周长的最小值为（     ） A．1千米 B．2千米 C．4千米 D．8千米 23．如图，中，，，，为的中点，动点以的速度从点出发，向着点的方向运动，设点的运动时间为秒，连接，当是直角三角形时，的值（     ） A．4 B．4或5 C．4或6 D．4或7 24．如图，在中， 平分，交边上的高于点．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 25．如图，在中，，的角平分线交于点，点、分别是、上的动点，当取最小值时，，则的度数为_____． 26．在中，，，，分别是线段，上一点，且满足，，．若，，则______． 27．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为_____________． 28．如图，在中，，以为直角边作，点为斜边上一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，连接交于点，分别延长点，到点，，使得，且，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，，点为直线上一点，在上取一点，使得，连接，将沿翻折得．当取最大值时，请直接写出的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $