5.3 诱导公式讲义（6大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5．3 诱导公式 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：诱导公式 3 知识点二：诱导公式的记忆 3 03 题型精讲 5 题型一：已知角度求解三角函数值 5 题型二：已知三角函数值求相关式的值 5 题型三：借助角的互余互补关系求值 6 题型四：三角函数表达式的化简运算 7 题型五：三角恒等式的推导与证明 8 题型六：三角函数综合应用问题 9 04 课后精练 12 05 培优拓展 16 知识点一：诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 知识点二：诱导公式的记忆 诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号． 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上． 因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号． 用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 题型一：已知角度求解三角函数值 【典例1-1】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【典例1-2】（2026·高三·广东·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】的值是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 题型二：已知三角函数值求相关式的值 【典例2-1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·河北承德·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·山东潍坊·期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·河南周口·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高三·福建·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 题型三：借助角的互余互补关系求值 【典例3-1】（2026·高一·四川泸州·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·四川德阳·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江西上饶·一模）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高三·重庆铜梁·期中）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高三·宁夏石嘴山·阶段检测）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 题型四：三角函数表达式的化简运算 【典例4-1】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知 . (1)化简 ，并求 的值； (2)若 ，求 的值. 【典例4-2】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知 (1)化简； (2)若 是第三象限角，且 ，求 的值； (3)若 ，求 的值. 【变式4-1】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知 (1)化简; (2)若为第四象限角，且，求的值. 【变式4-2】已知． (1)若，是第三象限角，求的值； (2)若，求的值． 【变式4-3】已知. (1)化简的表达式； (2)求. 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 题型五：三角恒等式的推导与证明 【典例5-1】证明：，． 【典例5-2】证明：． 【变式5-1】证明：． 【变式5-2】已知，求证：. 【变式5-3】已知、、为的三个内角，求证： 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 题型六：三角函数综合应用问题 【典例6-1】（2026·高一·广东惠州·阶段检测）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【典例6-2】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式6-1】（2026·高三·天津蓟州·阶段检测）已知是方程的根，且是第三象限角． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【变式6-2】（2026·高三·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【变式6-3】已知，，求的值． 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·江苏·期中）角终边过点，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·天津东丽·阶段检测）已知，则（   ） A． B．-1 C． D．1 4．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高三·辽宁·阶段检测）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．2026 C． D． 6．（2026·高三·内蒙古赤峰·阶段检测）已知角的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·陕西咸阳·期末）已知，是第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知角 的终边经过点 ，则（    ） A．θ为第四象限角 B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·江苏南通·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·全国·阶段检测）若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的有（   ） A． B． C． D． 11．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知角的终边经过点，则______. 12．（2026·高一·河南周口·阶段检测）已知，________． 13．（2026·高一·贵州遵义·期末）已知为第二象限角，若，则_______________． 14．化简：． 15．（2026·高一·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2) 16．（2026·高一·福建泉州·阶段检测）以轴为始边作终边落在第二象限的角，且与单位圆交于点． (1)求、的值，并求的值； (2)化简求值：． 17．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）（1）求值； （2）若角的终边在直线上，求的值. 18．（2026·高一·江西抚州·阶段检测）（1）已知，求的值 （2）已知，求． 19．（2026·高一·河北承德·阶段检测）（1）求值： （2）已知角终边上的一点，求的值． 1．（2026·高三·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，且，点在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点．若经过的圆弧的长为，则点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高三·贵州·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·安徽池州·阶段检测）设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 4．化简的结果为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（多选题）（2026·高一·江西南昌·阶段检测）下列各式的值为正数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知（）的终边与单位圆交于点，点关于直线对称后的点为，点关于轴对称后的点为，设角的终边为射线．若，则__________． 7．设函数，其中都是非零实数，且满足，则的值为　________　，的值为　________　. 8．已知，且，则的值为______　. 9．计算：______. 10．设，其中，且.若，则等于________. 11．（2026·高一·辽宁·阶段检测）（1）求值：已知，求值； （2）已知，若，求证：. 12．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点，在圆上，且点在第一象限，点在第二象限． (1)设，，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值． (2)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $5.3诱导公式 目录 01思维导图 2 02知识回顾. .3 知识点一：诱导公式...…... …3 知识点二：诱导公式的记忆...。 03题型精讲 .5 题型一：已知角度求解三角函数值... ….5 题型二：已知三角函数值求相关式的值...· …...6 题型三：借助角的互余互补关系求值..... 题型四：三角函数表达式的化简运算.. .9 题型五：三角恒等式的推导与证明. ..12 题型六：三角函数综合应用问题.. .13 04课后精练 .19 05培优拓展。 .27 1/32 01 思维导图 诱导公式二： sin(-d)=-sind, cos(-a)=cosa, tan(-a)=-tana,其中k∈Z 诱导公式三： sin[(a+(2k+1)n=-sina, 诱导公式 cos[a+(2k+1)nl=-cosa, tana+(2k+1)πl=tana,其中k∈Z 诱导公式四： m号+o=cowa cost径+a)=-5na. sfin(号u)=cosa, cos(受-o)=ina,其中keZ 2/32 02 知识回顾 知识点一：诱导公式 诱导公式一： sin(a+2kπ)=sina cos(a+2kπ)=cosa tan(a+2kπ)=tana,其中k∈Z 诱导公式二： sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa, tan(-)=-tana,其中k∈Z 诱导公式三： sin[(a +(2k+1)]=-sin a cos[a +(2k+1)a]=-cosa tan[a+(2k+l)x]=tana,，其中k∈Z 诱导公式四： sm+a小ouor+a-sa sin-a-cosa cosa =sina ,其中k∈Z 知识点诠释： (1)要化的角的形式为k·90°±a(k为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； m(r+引m任小m-到.+引m任 3/32 知识点二：诱导公式的记忆 诱导公式一一三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三 角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符 号. 诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正 弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数.“符号看象限”同上. 因为任意一个角都可以表示为k:90+(K45)的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口 诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k·90°±(k为常整数)的三角函数值：当k为奇数 时，正弦变余弦，余弦变正弦：当k为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角 时原函数值的符号. 用诱导公式进行化简时的注意点： (1)化简后项数尽可能的少： (2)函数的种类尽可能的少： (3)分母不含三角函数的符号： (4)能求值的一定要求值： (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 4/32 03 题型精讲 题型一：已知角度求解三角函数值 【典例1-1】(2026高三·湖南长沙阶段检测)ta 15m=（) 4 A.-1 B.0 C.1 D.5 【答案】A 15π 【解析】4 3π+3 .3π 所以tan 5r=tam3+ 4 4 4 故ta 15m二-1 4 【典例12)(2026高三广东开学考试)s血am=() 6 3 D.3 2 【答案】C 【1mgm5-2x君m板-引-如{引-同-受 6 【变式1-1】(2026高一广东佛山阶段检测)sin210°cos120°的值为() Ad B.- 3 4 c 【答案】A 【解折】sim210rcos120=sim1s0+30）a@s180-60）=-sm30(-ceos60）=号x2》4 故选：A 【变式1-2】sin600°+tan240°的值为() A+5 B.33 2 c. D.、g 2 【答案】C 5/32 【解析】sin600°+tan240°=sin(720°-120)+tan(180°+60)=-sin120°+tam60° 、 3 2+3=2 故选：C 【变式1-3】sin780°+tan240°的值是() 4.36 n号 c.5 D.-+5 2 2 【答案】A 【解折】sin780+am240°=sim(720°+60）+tan180°+60）=sin60°+am60=5+v5-3y5 2 故选：A 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式一或三来转化. (2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 题型二：已知三角函数值求相关式的值 【奥例2】已知sm(e+e)=子，a（0经》 (2, 则tana=（） A.3 3 C.4 D. 4 3 【答案】C 【解折1由sn(红+a)子得-na=一子sna-子 由于ae0, 2 cos cos-sina= 3)2 164 可知 5 V25=5 3 所以tana= 3 44 【真例2】206高一河招承德能未)已知m+a小-5.则m货。小-() 6/32 A. B._v5 D. 2W5 5 5 5 5 【答案】A 【解析】因为sin(π+a）)=-sina=5 ,得到si咖a=- 5 所以-小a- 5 【变式2-1】(2026高一山东潍坊期末)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若 (W5,-为a终边上一点，则cos(2026r+)=() A、⑤ 3 2 C.Z D.2 【答案】D 【解折】由题意，点(5，-刂在角。的终边上，则r=小5+-少=2所以csa==5 2 又因为2026π=2×1013元，所以cos(2026r)=1,sin(2026x)=0. 因此cos(2026π+a)=cosa= 6 2 3 【变式2-2】(2026高一河南周口期中)已知cosa=5,则sin(3r+a)cos(2π-a)-tan(π-a)等于 () A号 B号 9 C.25 D. 16 25 【答案】D 【解析】原式=sin(π+a)cos(-a)tan(π-a) =(-sina）cosa.(-tana）=sin2a, 由cosa 5,得sin2a=1-cos2a=16 251 故选：D 4.26 5 B.1 5 a. D.-26 5 【答案】C 7/32 【解析】sin 2+a =cosa=. 5π 1 5 1 ∴.c0s(2π+a)=cosa 5 故选：C 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及 联系 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 题型三：借助角的互余互补关系求值 2 【典例3-1】(2026·高一·四川泸州·阶段检测)已知cos A.t 3 c.3 【答案】C 【解折1由怎-小子可利mr-(怎小-子 放m(+0m[臣+后+0-m后+小月 【真制32】(206价一四德阳阶段拉岩om口+)-音，则m 10 12 B.-13 c 2 D.3 【答案】C 【g1mg-m口-)a+智-ma+） 故选：C 【安式灯e06江商上g一已如m0-}片则m0+}（) A.3 3 D.、22 3 8/32 【答案】B 【解析】因为sin 所以cos 故选：B 【变式3-2】(2026高三·重庆铜梁·期中)已知sin(a+ 4 4 B.I c.5 D.、5 4 4 4 【答案】B 【解行】因为g-=aa--径=mr+智0） 12 s-cos 12 -a)=-o-a+ 1 =-sin(a+ 故选：B 【变式33】(2026高三宁夏石嘴山阶段检测)已知c03 2 B. c.5 3 D.t⑤ 3 【答案】B 【解折1因为o-a)=m-仔+-a+=号 故选：B 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程.观察所求角与己知角是否具有互余、互补等特殊关系，在转化过 π 程中可以由已如到夫如：也以由末知索已知。常见的互余关系有3一《，。+。刀 ；3*g ，6 -a π -a +02π-0+03r-9 ,4等.常见的互补关系有3 ,3 :4 ,4 等. 题型四：三角函数表达式的化简运算 9/32 f(a)--sin(3z-a)cos(5z+a) 【典例41】(2026高三宁夏银川阶段检测)已知 (①)化简f(a),并求 6 的值： (2)若tana=3,求f(a)的值 【解析】(1)由诱导公式得sin(3r-a)=sina,cos(5π+a)=-cosa, cos 3π --sina,sinta -cosa, 2 sina(-cosa) -sina cosa 1 故f(a)= (-sina)+cos asinssin2a 所以八6) n3=-4 (2)由tana=3,得cosa≠0， 则f(a)= sina cosa tan a 3 3 sin?a+cosa1+tan?a=1+910 【舆例42】(2026高三宁夏银川阶段检测)已知f@)=如(a-3x)cos(2红-@小eos(x+d cos(-π-a)sin(π-a） ()化简f(a): 3π）1 (②)若a是第三象限角，且cos 2厂5求f(a)的值： 63)若a=-31π 3,求f(a)的值 折j1)f(a)=sin（a-3n)cos(2r-a)cos(π+a）-sina:cosa-cosa=cos cos(-π-a)sin(π-a) -cosa·sina 3π)1 (2)由cosa- 2F5可得-sina=5,即sin a= 5 26 由于a是第三象限角，故cosa=-V1-sin2a=- 5， 因此f(a)=-cosa 26 5 当a=时a=()-m-m}-m号 【变式4-1】(2026高一·河南南阳·阶段检测)已知 10/32 f(a)= 0（r-)cos(2π-)m2,其中a≠mk∈Z ()化简f(a: (②)若a为第四象限角， 且e-引片，求a+)的位 m(a--a)ow(2a-ajn（经-a 【解析】(I)由f(a)= cal+am可经+a sina cos(-a)(-cosa）_sina cosa(-cosa） =cosa」 (-cosa)sina (-cosa)sina 所以f(a)=cosa. 2国为fa)=csa:所以/a-）-casa-哥 因为。为第四象限角，所以)+2km<a<2+2k,ke乙， +2m<a-<+2m,keZ. 所以 33 又a-引号0，所以名+2<a-号交+2点kez 3 所似(a-}-aw周哥--9 所以o+-aa+-m[a-引引-ma-引-（9 【变式42】已知fa)=sin-mcos(2r-a)tan(a+ tan(-a-π)sin(-a-π) 3π）1 (1)若cosa- 2厂5，a是第三象限角，求f@)的值： (②)若a=-31m 3,求fa)的值. 【解折】4）fa)=int=-cosa (-tan a)sin a 11/32 因为a--na-所以na= 因为。是三象限角，所以sa-( .26 2√6 f(a)=-cosa= 5 afo-om3）-个引- 【变式43】已知f(x=cos（m+x)sin（nm(neZ）1 cos2[(2n+1)π-x] ()化简f(x)的表达式： (2)求f八 【解析】(1)①当n为偶数，令n=2k,k∈Z, x)sin(2kz-x)cos2 xsin2(-x)cos2x(-sinx cos2 cos2[(2×2k+l)π-x]cos2(π-x)(-cosx2 cos2x ②当n为奇数，令n=2k+1,k∈Z, in[k+()in()(o)sinoinin cos2[(2×(2k+1)+1)π-x cos2(π-x) (-cosx) cos2x 综上，无论n取奇数还是偶数，f()=sinx ②由m22+)m智}- 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±a,π±a,k∈Z的形式. ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角“的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 1=sin'a+cosa=tan (3)注意“1的应用： 4 (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±“的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进 行化简. 题型五：三角恒等式的推导与证明 12/32 2sin(a+n)cos(a-m)-(-1)cosa, 【典例5-1】证明：sin(a+nr)+sin(a-nr) nez 【解析】当n为偶数时，令n=2k,k∈Z, 2sin(a+k)cos(a-2k)_2sinacosa_2sincosa-cosa 左边=sim(a+2k元)+sin(a-2km）sina+sina 右边=(-1)cosa=cosa,左边=右边. 当n为奇数时，令n=2k-1,keZ. 2sin(a+2kπ-π)cos(a-2kπ+π) 左边sim(a+2k元-x)+sin(a-2kπ+π) 2sin(a-π)cos(a+π) sin(a-π)+sin(a+π) 2(-sina)(-cosa）_2 sin acosa」 =-cos a （-sina)+(-sina) -2sina 右边=(-)cosa=-cosa,:左边=右边. e,-网（矿a:e粒 【典例5-2】证明：sin(217°-a)cos(a-127）+cos2(127°-a)tan2(53°+a)=1 【解析】证明：sin(217°-a）=sin[180°+(37°-a)]=-sin(37-a) cos(a-127）=cos(127°-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a）. m2(53p+a)=ml530+a_sn0-67p-a-cos237-d cos2(53°+a）cos2[90°-(37°-a)】sin2(37°-a）' 故等式左边=sin2(37°-a)+cos2(37°-a）=1,等式成立. tan(2n-x)sin(-2-x)cos(6z-x)cos(-x)=sinx 【变式5-1】证明： m+}m经】 -tanx(-sinx)cosx(-cosx) 【解析】左边= =tanxcosx=sinr=右边， -cosxsinx tan(2n-x)sin(-2-x)cos(6z-x)cos(x)=sinx 所以 ,3π。π_ sin cos2 【变式5-2】已知sin(a+B)=l,求证：tan(2a+)+tanB=0. 13/32 【解折】由sn(e+)=1,得a+B=2+号(keZ,则a=2加+受B(kZ）: 因此an(2a+)+an0=tam2(2版+受-月+1+am6 =tan(4km+元-2B+B)+tanB=tan(4km+π-β)+tanB =tan(π-β)+tanB=-tanB+tanB=0. 所以原等式成立 【度式】已知4gc内c的三个内角：来，任引m个生-引 B+C_π-A 【解析】在△4BC中，A+B+C=元'则2 2 所u.8到-m引w任引行别 + 故原等式得证 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归 一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本 公式，善于从中选择巧妙简捷的方法。 题型六：三角函数综合应用问题 3 【典例61】(2026高一广东惠州阶段检测)已知sinx=-5,且a为第三象限角 (I)求cosa和tana的值； 2sin(π+a)+sin π +a 2 (2)已知f(a)= ,求 的值 cos a-2+cos(2+a) f(a) ⑧诺m[后5求m(各小m(行+的位 【解析】()：sina=-亏，且a为第三象限角， 14/32 .cosa=4 又：C为第三象限角， 4 ∴.Cosa=- sina 3 .'tana= cosa4· 2sin(π+aw)+sin +a (2)利用诱导公式可得：f(a)= cos a-2) 元 +cos(2π+a) =-2sina+cosa sina cosa -2tana+1 tana+1' -2x3+1 3代入，得f(四= 4 将 3 2 1 7 tan a= 4 即a=号 y因为m〔后+m臣昏m[任片 arfg+-昏-】-m目号 所以m（+Beo+p3(}g 【典例6-2】(2026高一山东青岛阶段检测)已知函数f(0)= m+0 w(x+om+0 ,其中 0× 2’k∈Z 1 (①)若f(0)=2,求eos'9+cos6sin0的值： ☒若2sn0-f0++sm0+}f(0=l,求f0的 15/32 【解析】(1)因为f()= w（+0josr+oaw经+0 (-sin)(-cos0)sine cosesin(-cos0) =-tan0, 由f(0)=2可知-tan0=2,所以tan0=-2, 1 又因为cos'0 cossin0 cos20+sin20 cos20+sin20 cos20 cosOsine =1+tan20+ 1+tan20 tan 5 (②因为2sin6-f0+}+sim0+}f(0=l, 所以2sin0 w()-w-. 即2sina cos +cos0.-sin0 -sin cos0 =1 所以2cos0-sin0=1, 两边平方得4cos20-4sin0cos0+sin20-1, 4cos20-4sin cos0+sin01 即 cos20+sin20 4-4tan0+am20-L, 1+tan20 解得m0- 放0)=子 【变式6-1】(2026高三·天津蓟州阶段检测)已知c0sa是方程3x2-x-2=0的根，且a是第三象限角. 16/32 m经a)w(-a sin-a+3）c (1) 的值： (2)已知sinx+cosx= 名0<到.求os-m的型 【解析】（山血方程3x-x-2=0:因式分解得(6x+2c-)=0,解得x1或x=子 3 2 因为a是第三象限角，所以cosa<0,故cosa=3 由此可得sina=-个-cosa=- 5 3,tana= 2, 利锈号会式化筒原式：s+）m经-a,m个经+asma, mg-a）=-au(-=ima:w经+ana,sn经a小casa, 3 sin-a+ 所以 s3r+a-tam2(x-d）(←cosa）(sina)(am'a）-am2a= 2 cos2+ cos (-sina)(cosa) 7 7)2 49 (2)已知sinx+cosx= 13,两边平方得(sinr+cosx}=1+2 2sinxcosx 13=169: 所以2 sinxcosx= 49 120 -1= 169 169, 设，=cosx-sinr则f=(cosr-sinr=1-2 ino=-1 120289 169 1699 所以1=t17 13 因为0<x<π，所以sinx>0, 又因为sinr+cosr=- 13<0,所以cosx<-sinx<0 因此eosr-sinr<0:枚cosr-sinr=-7 13 【变式6-2】(2026高三·辽宁大连期中)计算求值 0尼如+到-，求m(子小mr-君别的信 17/32 @0-西，且9（学求f的a (i)2sin0+3cos0:(ii) 3sin0-2cos0 tan(-0-元)sin(-0-π) 【解折1山mg-小x引 m-(+》am+督到 =m++到 2 3 ∴.cos0=V1-sin20 √10 310 10 10 则tana=sin0、1 c0s03 2sin0+3cos0 2tan0+3 (i)3sin0-2cos03tan0-2 (i) 0-引mo:到am-0) tan(-0-π)sin(-0-π) -cosesin(-tano) -tan 0sin0 =-c0s0 =-3vf0 10 【安式6】已ga2ae2ea对东的脸， 【1m。-mm仔小后小 当n为数时.血m+行-a小n行-caa。 18/32 cosa 5:即cosa=-3 4 a∈(0，元)，…sina= .tand sina=_4 cosa 3 当为奇数时， sm+-(a,-:aea对a sina 4 .∴.tana= cosa 3. 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这 样可避免公式交错使用时导致的混乱. 19/32 课后精练 1 1.设cosa=4,则cos(元+a)=（） B. D.- 4 4 【答案】B 【解析】由题意可得：cos(π+a)=-cosa=-} 4 2.(2026商三江苏期中)角。终边过点P,-24,则sma-》sin(c+a)=（) 31 A 31 7 17 25 B.25 C.25 D.-25 【答案】A 【解析】a终边过点P(7,-24),则r=V72+(-24)2=25, cosa=t、7 r25 sina=上=-24 r25 sa-引m(仅+a=-caa+sna= 7,2431 252525 s()-3cos 3.(2026高三·天津东丽阶段检测)己知 amaJ:则 2 n-aj-sint-a) () i A 7 B.-1 C.-3 D.1 【答案】B cos(z-a)-3cos -cosa-3(-sin a)-cosa+3sin a 【解析】 sin -cosa-(-sina）-cosa+sina’ -1+3tan a 分子分母同除以cosa得： 1+ang,代入tama= 11 -1+3tana -1+3× 22 -1+tana -1+ 22 20/32 4.2026高三甘肃阶段检)已知+0c-4,则ma-） sina B.5 4 C.3 4 A.3 D.- 5 【答案】D 【解析】由题可知cosa≠0， sina sina sina cosa tan a 所以sin(元+a)+cos(元-a-sina-cosa sina cosa -tana-1=4, cosa cosa 解得tana=-行 4 5.(2026高三辽宁阶段检测)已知函数f(x)=x3+sinx,则f(2026)+f(-2026)的值为() A.0 B.2026 C.-20263-sin2026 D.20263+sin2026 【答案】A 【解析】f(2026)+f(-2026)=2026°+sin2026+(-2026)}°+sin(-2026) =2026+sin2026-2026°-sin2026=0, 6.(2026高三·内蒙古赤峰阶段检测)已知角“的顶点为原点，始边为x轴的非负半轴，终边过点 P(-1,2则co(2+aF() B.-25 5 25 C. 5 5 5 D 5 【答案】B =25 2 【解析】因为角的终边过 P(←-，2)则sina V(-1)2+225, 所以cos +a-s如u=25 7. 2所有做西收把两已妇船小5a第=家限有，则响信}( (2+a- B.26 C.-2v6 5 D 【答案】C 21/32 【解析】因为n是第=象限角：所以ae(+2a元+2k乙， 则+a+2+2cz, 5π. 12 又m(+a兮0，所以沿+ae+2点+2akez位于第=象限 回t信小m倍*小-m倍倍*a- 26 5 故sin: 5 故选：C 8.(多选题)(2026高三·宁夏银川阶段检测)已知角日的终边经过点(2，-3)，则() A,8为第四象限角B.tanO= 3 C.sine+coso=13 sin(π-0 13 D. 3 cos0+sine 【答案】ABC 【解析】对于A,由于点(2，-3)位于第四象限，故0为第四象限角，A正确， 对于及、m9=士-，B正确 对于C,sin0+cos0= -3 2 V13 V-3}+22V(-3)+22 13，C正确， 3 sin(π-a) sin tan 2 对于D,cos0+sin0cos0+sin01+tan0 3 =3,D错误， 3 9.(多选题)(2026高一江苏南通·期末)已知角a的终边经过点P(-x4),且cosa=-亏，则() A.x=3 C.tan(a-7r)=-4 D sina+cosa=7 3 sina-cosa 【答案】AD 【解斩1点p的级坐标为-4且cosg=0。 ∴.角x的终边落在第三象限， 22/32 -x3 又'cosa= V+165,x=3（负根舍去)， -44 ∴.sina= 4 9+16-5,tana= 3 43 sina+cosa smasa=子”a-7m=ma 4 sina-cosa =55=7, 43 3 55 所以AD正确，BC错误 10.(多选题)(2026高一·全国·阶段检测)若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的有 () A.sin(元-a） B.cosa+ 2 C.sin(+a) D.cos(π+a) 【答案】AD 【解析】角c的终边在第二象限，所以sina>0,cosa<0, n(红-d=sna>0,A对：cosa+}-sina<0,B错： sin(π+a)=-sina<0,C错：cos(π+a)=-cosu>0,D对. 故选：AD 1,（2026高一云南文阶段校测)已知角2的终边经过点P(-2,则sm口-- W5 【答案】5 【解析】角x的终边经过点P(-2,1),∴OP=V-2}+⑩2=V5 由角的定义：--.Q-引- 5 3 12.(2026高一河南周口阶段检测)已知f(x)= m怀-oos(x+tco2a+ro（- os(3x-)sin(a-)sin(+)sin 【答案】-V3 23/32 sinx(-cosx)sinx(-sinx) 【解析】f(x)= cos(3m-x)sin(π-xsin(←π+xsim?元+x (-cosx)sinx(-sinx)cosx 2 sinx =tanx. cosx 所f(刘m((子o小m(}-m号5 3 2026高-·贷州遮义期末)已知M为第二象限角，若3co2十o日taa,则2-、 √2sina- 【答案】7 【解折】因为n为第二象限角，3os行+a=3(-sma) sina cosa 所以cosa=则na=-cwa- √2sina Vix2V 3 4 所以2-cosa 7 14.化简： sin 2 【解析】根据诱导公式即可求解. (3 cos (- sin -a 2 (2 原式 (-cosa).- sin2m+元+a 3π cos 2 (2 - sina ·(cosa).-cosa 2*a -sina sin =Sina ·(-cosa).cosa =-cosa cosa sina 15.(2026高一贵州遵义期中)己知角a的终边经过点P(2,25),求下列各式的值： 24/32 ()cosa-)+t(x-a): 3π cos a+ 3元 2月 2 (2) 【解析】(1)由P(-2,2V3)得r=V(-2)2+(2V5)2=4, 则sina= 42，cosa=2、1 23V3 42.tana= W3 =-V3 -2 又coa 2 =sina,tan(x-a)=-tana' osa}+tamr-a)=sna-ama=,5-（←5)=35 2 coa+经=血a. sin a-2) -3）=cosa,tang+a- cos2a 2 sin2a cosa+3π 3π 2 2 sinacosa sin'a 35 cos2a cosa 1÷、 4 sina 2 16.(2026高一·福建泉州阶段检测)以Ox轴为始边作终边落在第二象限的角“，且：与单位圆交于点 ) (求sinao的值，并求a伽a+孕的值： (2)化简求值： sina.tan(+a)-sin(-a) 12 【解析】()因为角a的终边与单位圆交于点P,13)所以sina 12 13 由x+ 2 13 5 又角a的终边落在第二象限，所以x。<0,即。=一13。 所以cosa= 13,tana= 5 sina 12 cosa5· 25/32 12 因此an+-an+l_ +17 4 1-tana 12=-17 1 (2)由诱导公式得cos =-sina,tan(元ta)=tana,sin(-a）=-sina: 1-(sina-cosa)+2sin2a 所以原式化为 sinatana +sina 将sina=12 w=言ama=号代入，符分子为 5 3 ,分母为 12._12+12=-84 165+i6-65 168.84 -10 所以原式的值为1696513： 1.(206有一安教合阶度测（少求位如(1）m(2车）月 (2)若角的终边在直线上，求 n(-a小as2r-ajea经+a 的值 y=-2x cos(-a-π)sin(-π-a)cos(-a） 【解折1(m(20）m(1+4+m(2+6m） 42 (2) sin(-)os(-a)o sinacosa(-sina) tana' cos(-a-元)sin(-元-a)cos(-a）(-cosa)sina cosa 因为角a的终边在直线y=-2x上，所以取角a的终边上一点P(m,-2m)(m≠0)， 则ana三2m=-2,所以原式一2 m 18、(2026高一江西抚州阶段检测)()已知sm(-a)-m（?a-c0(-,求 3sin2a+2cos2a+2 sina cosa的值 sin(-)ooscos(a)un() (2)已知f(a) 3π 求 cos(+a)sin(-a)sin 2+a tan(-x-a) 26/32 【解折】（山因为sn红-a)-s（行-a=co(-a), 由诱导公式化简得sina-cosa=cosa,故sina=2cosa, 若cosa=0,则sina=0,与sin2x+cos2a=1矛盾， sina=2 所以cosa≠0？故cosa 所以tana=2, 所以3sin2a+2cos2a+2 sina cosa= 3sin2 a+2cos2 a+2sin a cosa sin2a+cos2a =3tan2a+2+2tan&_18 tan a+1 5 sina(-sina)cosa(-tana) (2)由f(a)= sina (-cosa)(-sina)(-cosa)(-tana)cosa =tana, 所以 3 =tanz=√3】 3 19. (2026·高一河北承德阶段检测)(1)求值：sin2120°+cos180°+tan45°-cos2(-330) π cos +a]sin(-π-a) 2 (2)已知角终边上的一点 求 11π (+a 的值。 P(-2,3) cos 2 【解析】(1)sin2120°+c0s180°+an45°-cos2(-330) =sin2(180°-60°）-1+1-cos2(30°-360） (2)由题意得，tana=-3 29 s2+asin(←-π-a) -sina.sina -sina.sina co1s-a)sin -sina·cosa 3 tana=- 2 27/32 05 培优拓展 1.(2026高三·北京海淀阶段检测)在平面直角坐标系O少中，角α以Ox为始边，终边与单位圆⊙0交 于点p,且cos“=一4，点p在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q,若经过的圆弧P0的长为 3 2，则点Q的纵坐标为() A.- B. 15 4 4 1 C.-4 1 D.4 【答案】D 3π 【解析】由题意可知射线O0为角a+经的终边，所以点0的纵坐标为如Q+ =-cosa=a 2.(2026高三贵州阶段检测)“sina=cosB”是“sin(a+P)=1”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】取a-云B=骨，此时满足如a=o:可得a+B=一 石则s加(a+)=号 所以若sina=cosB,则sin(a+P)=l不一定成立，所以充分性不成立： 反之：若sm(a+)=l,可得a+B=2a+受keZ,即a=2版+7AkeZ, 则sina=sin(2版+月=sim(于-月=cosA,所以必要性成立， 所以sina=cosB是sin(a+P)=l的必要不充分条件 3.(2026高一·安徽池州阶段检测)设f(x)=asin(r+a)+bcos(r+B)+3,其中a,b,a,BeR,若 f(2023)=5,则f(2024)=() A.-5 B.7 c.-1 D.1 【答案】D 【解析】f(x)=asin(r+a)+bcos(r+B)+3,其中a,b,a,BeR, 28/32 若f(2023)=5,则asin(2023π+a)+bcos(2023m+B)+3=-asina-bcosB+3=5. ∴.asina+bcosB=-2,.f(2024)=asin(2024π+a)+bcos(2024元+B)+3 asina+bcosB+3=-2+3=1. 故选：D 4.化简tan(27°-a)tan(49°-B)tan(63°+a)-tan(139°-P)的结果为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】tan(27°-a）tan(49°-B)tan(63°+a)tan(139°-B) -tan(27°-a）tan(49°-B)tan(90°-27°+a)-tan(90°+49°-B) tan(27°-a）tan(49°-B)-tan[90°-(27°-a)]tan[90+(49°-B)] sin(27°-asin(49°-B)sin[90°-(27°-a]sin[90°+(49°-P)] cos(27°-acos(49°-B)cos[90°-(27°-a】订cos[90°+(49°-B)] sin(27°-a）sin(49°-B)cos(27°-a）cos(49°-B) cos(27°-a）cos(49°-B)sin(27°-a)-sin(49°-B) =-1 故选：B. 5.(多选题)(2026高一江西南昌阶段检测)下列各式的值为正数的是() 15π A.sin321° B.cos- 7 C.tan2 D.cos(sina),a∈R 【答案】BD 【解析】对于A,321°是第四象限角，sin321°<0，错误 15π 对于B,7是第一象限角，c0 15>0,正确： 7 对于C,子2<元am2<0,错误 对于D,受<-1s如a≤13os(6ina0,正确 6,(2026高一福建福州阶段检测)已知。(0<a< )的终边与单位圆交于点p'点p关于直线y=x 对称后的点为M'点M关于y轴对称后的点为N,设角B的终边为射线ON:若sina=3,则tanB= 29/32 【答案】-22 【解折】因为sna-有0<a<受，所以casa=-sna-2 3 sin a+- 2 由题意可得 所以tanB=tan cosa L=-22 -sina B=a+ cos a+ 7.设函数f(x)=asin(r+)+bcos(xr+B),其中a,b,a,B都是非零实数，且满足f(2023)=-l,则 f(2024)的值为 —,f(2025)的值为 【答案】 1 -1 【解析】因为f(2023)=-1, 所以f(2023)=asin(2023r+a)+bcos(2023元+B)=asin(m+a)+bcos(元+p)=-asina-bcosB=-l,即 asina+bcos B=1. 所以f(2024)=asin(2024r+a)+bcos(2024元+p)=asina+bcosB=1, f(2025)=asin(2025π+a)+bcos(2025π+B)=asin(π+a)+bcos(π+B)=-asina-bcosB=-1 &已知得0-受<x<a,则o后++sn 6 (兮+0的值为—· 【答案】-5 2 【解折1肉为5<x<,所以子号<若又写--子0，所以受号 6 所以m兮刘=-s到=V-字=-西 4 所以ow爱+划+s(子+=or号-得-训+sk-胥-训=s写+s如写-=-平 6 3 9.计算：sin21°+sin22°+sin23°++sin288°+sin289°+sin290°= 30/32 91 【答案】245.5 【解析】因为sin21°+sin289°=sin21°+cos21°=1， sin22°+sin288°=sin22°+cos22°=1，…， 所以原式=44(sin21°+sin289）+sin245°+sin290°=44+ 2 2 10.设f(x)=asin(c+a)+bcos(r+),其中a,b,a,BeR,且ab≠0，a≠km(k∈Z）.若f(2020)=5,则 f(2021)等于 【答案】-5 【解析】因为f(2020)=asin(2020m+a)+bcos(2020元+B)=asina+bcosB=5, 所以asina+bcosB=5 f(2021)=asin (2021n+a)+bcos(2021+B)=-asina-bcos=-5 sin(元-a)cos(-a)tan(r+a）=2 11.(2026高一·辽宁·阶段检测)(1)求值：已知 smla+2ajsn(径+a ,求 2sin2a+sinacosa-3cos2a值： cos'a+sima-1,求证： (2)己知a,BeR,若cos2B+sin2B cos'BsinB=1. cosa sin a sin(元-a）cos(-a)tan(r+a）_sinacosatan tana =2 【解析】(1) s加(a+2asm(经+a sinacosa 所以2sin2a+sinacosa-3cos2a= 2sin'a+sinacosa-3cos2a 2tan'a+tana-3 sin a+cos a tana+1 2×22+2-37 22+1 =5 (2)x=cos'a,y=cos2B,sin2a=1-x,sin2B=1-y, 所以cosa+s加g=1可化为， x2-x)2 cos2B sin2B y 1-y =1,整理得x2-2y+y2=0 所以x=y,即cos2a=cos2B,则sin2a=sin2B. 所以cosP+sinp_cosa,sin'a cos2a+sin2a=l」 cos'a sin'a cos'a sin'a 31/32 故o+mP-L cos'a sin'a 12.(2026高一江西宜春阶段检测)如图，单位圆0与x轴正半轴的交点为A点，点B,C在圆0上， 且点B在第一象限，点C在第二象限. sin(-0)+cos 5π-0 (1)设 点到轴的距离与到轴的距离之比是1'求 3m0 的 os(3π-0)+sin ∠AOC=0 C x y 3 2 值. 2π (2)当圆心角∠B0C所对的弧长为3，求图中阴影部分的面积： 【解析】(1)设点C到x轴的距离为a(a>0),则点C到y轴的距离为3a· 因为0∈ 所以an0=-a=_1 3a3 sin(π-O)+cos 5元-0 sin(-0)+cos -0 2 sin0+sin0 所以 os(3π-0)+sin cos(π-0)+sin -cos0-cos0 =-tan= 3 (2)设∠B0C=a,则弧长1-ar= 3,所以a=2知 3 则碗形面积为5c女×x1 23 3 oB.OC-sina-x1s5图 24 所以阴影部分的面积S=S形-S,Oc= πV34r-3V3 34 12 32/32