5．2 三角函数的概念讲义（10大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5．2 三角函数的概念 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：三角函数定义 3 知识点二：三角函数在各象限的符号 3 知识点三：诱导公式一 3 知识点四、特殊角的三角函数值 4 知识点五：同角三角函数的基本关系式 4 知识点六：同角三角函数基本关系式的变形 4 03 题型精讲 6 题型一：依托三角函数定义求解对应函数值 6 题型二：判定各象限内三角函数值的符号 7 题型三：判断角的终边所在的象限 9 题型四：借助诱导公式（一）进行化简与求值 10 题型五：运用同角三角函数基本关系式求值 11 题型六：齐次式型三角函数求值问题 13 题型七：sinα±cosα与 sinαcosα的关系应用 14 题型八：圆上动点与旋转点的三角函数应用 16 题型九：三角函数式的化简运算 19 题型十：三角恒等式的证明 21 04 课后精练 24 05 培优拓展 31 知识点一：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点诠释： （1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 知识点三：诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： ，其中 注意： 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值． 知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 知识点五：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点六：同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 题型一：依托三角函数定义求解对应函数值 【典例1-1】（2026·高三·河南南阳·期中）已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数定义，得． 【典例1-2】（2026·高三·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】由于， . 【变式1-1】角的终边落在射线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意在角终边上取一点， 则， ， 故选：A. 【变式1-2】（2026·高一·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边过点， 所以. 【变式1-3】（2026·高一·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判定各象限内三角函数值的符号 【典例2-1】（2026·高一·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角是第二象限的角，则，，，. 【典例2-2】（2026·高一·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 【变式2-1】（2026·高一·甘肃武威·期末）是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵为第三象限角， ∴为第二、四象限角，为第一、二象限角或终边与轴非负半轴重合， ∴只有一定为负值. 故选：C. 【变式2-2】（2026·高一·上海黄浦·阶段检测）若是第一象限角，则，，，，中能确定为正值的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．2个以上 【答案】C 【解析】是第一象限角，则 ，在第一、二象限和y轴非负半轴，，不恒正； ，当为偶数时，，，在第一象限，，，；当为奇数时，，，在第三象限，，，. 能确定为正值的有，. 故选：C. 【变式2-3】（2026·高一·河南南阳·开学考试）的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，，， 故选：B 【方法技巧与总结】 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 题型三：判断角的终边所在的象限 【典例3-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】B 【解析】， 所以角为第二或第三象限角. 故选：B 【典例3-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【答案】D 【解析】因，由可得, 则为第一象限角，即, 也即. 当时，,即为第一象限角； 当时，，即为第三象限角. 综上，角为第一或第三象限角. 故选：D 【变式3-1】（2026·高一·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】为第四象限角，，，则，.又，则为第四象限角， 故选：D. 【变式3-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，，即为第二象限角，为第四象限角， 所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：C. 【变式3-3】（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限， 故选：D. 【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：借助诱导公式（一）进行化简与求值 【典例4-1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据诱导公式，，故B正确. 【典例4-2】（2026·高一·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【解析】． 故选：C． 【变式4-1】（2026·高一·北京·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 【变式4-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 【变式4-3】（2026·高一·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 【方法技巧与总结】 利用诱导公式一化简或求值的步骤 （1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式． （2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值． （3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：运用同角三角函数基本关系式求值 【典例5-1】已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 则， 可得，所以. 【典例5-2】（2026·高一·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 【变式5-1】（2026·高一·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故. 【变式5-2】（2026·高一·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 【变式5-3】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知为锐角，，则， 故． 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 题型六：齐次式型三角函数求值问题 【典例6-1】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 所以. 【典例6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【解析】由，则， 所以. 【变式6-1】（2026·高一·浙江杭州·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 分子分母同时除以得. 【变式6-2】（2026·高一·山东日照·阶段检测）已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 【变式6-3】（2026·高一·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则. 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 题型七：sinα±cosα与 sinαcosα的关系应用 【典例7-1】（多选题）（2026·高二·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，，两边平方整理得， 因为，所以，， 所以且， 所以，则可知，故. 所以的值不可能是，和. 【典例7-2】（2026·高二·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 【变式7-1】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为， 所以， 而，所以． 【变式7-2】（2026·高一·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】平方得，即， 所以. 【变式7-3】已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型八：圆上动点与旋转点的三角函数应用 【典例8-1】在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取线段的中点，由垂径定理可知，如下图所示： 由题意可知， 因为，为的中点，所以， 由锐角三角函数的定义可知，则， 故. 【典例8-2】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为， 因为，则， 由于在第一象限，不妨取， 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点， ， 于是. 故选：B． 【变式8-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 【变式8-2】（2026·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 【变式8-3】（2026·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出半径为的圆， 由题意，， 过作轴于点， 则 故选：B 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求解 题型九：三角函数式的化简运算 【典例9-1】化简． 【解析】原式 ． 【典例9-2】化简： (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）原式. 【变式9-1】（2026·高一·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【解析】（1）. （2）∵为第三象限角，∴，， 又因为. 故，. 【变式9-2】（2026·高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 【解析】（1） ； （2）； （3） . 【变式9-3】化简：． 【解析】 ． 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 题型十：三角恒等式的证明 【典例10-1】证明：. 【解析】左边右边，得证. 【典例10-2】证明下列恒等式：． 【解析】左边 右边， 所以原等式成立. 【变式10-1】证明： (1)； (2)． 【解析】（1） 左边右边； 即 （2）右边 左边， 即 【变式10-2】（2026·高一·江苏·单元测试）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【解析】（1）证明： ，即证. （2）证明： ，即证. 【变式10-3】（2026·高一·上海浦东新·开学考试）证明：． 【解析】 ， 即. 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 1．已知集合，，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当=时，，不合题意； 当=时，，不合题意； 当=时，，符合题意； 当=时，，不合题意． 2．（2026·浙江杭州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知函数为奇函数，则 3．（2026·高三·广东·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则，所以. 4．（2026·高三·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【解析】点在单位圆上且，则. 由三角函数定义得. 将原式分子分母同除以， 得. 5．（2026·高三·广东东莞·阶段检测）已知，则“”是“” 的（     ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【解析】充分性： 因为，，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件. 6．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设甲：，乙：，则甲是乙的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，则， 所以， 故甲是乙的充分条件. 若，则，所以 如，满足，但不成立， 故乙不能推出甲. 综上，甲是乙的充分不必要条件. 7．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则． 8．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时，因为，所以， 所以， 当时，因为，所以，所以， 所以时，则“”是“”的“必要不充分条件”. 9．（2026·高一·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，所以. . 10．（多选题）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为， 所以解得或， 则都满足题意，而不满足． 11．（多选题）（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，， 所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 12．（多选题）（2026·高一·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以， 所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 13．设是角终边上一点，则________. 【答案】6 【解析】因为是角终边上一点，所以. 14．（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知点在第二象限，则角的终边在第_________象限. 【答案】二 【解析】因为点在第二象限，所以， 所以角的终边在第二象限 15．求证： (1)； (2). 【解析】（1）证明： 故成立. （2）证明： 因为， 所以. 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【解析】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 17．（2026·高一·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 【解析】（1） 左边 右边．故原式成立． （2）因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 18．（1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 【解析】（1）原式. （2）法一：由， 解得或， 因为，，所以，. 所以. 法二：由得. 所以. 因为，，所以，. 所以，. 解得：，. 所以. 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以， 由，得，所以， 因为，所以， 所以，即， 得，（舍去），所以， 则. 2．（2026·高一·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【解析】因为，则， 因为， 可得 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是8. 故选：C． 3．（2026·高三·江苏·期中）已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为的一个内角及，得， 则， 整理得，即， 则，解得， 于是，而，解得. 故选：B 4．（2026·高一·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解析】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、， 经过秒相遇，有，且， 则，所以， 要使相遇，则且，即， 若，则，此时，A错； 若，则，此时，B对； 若，则，此时，C错； 若，则，此时，D错； 故选：B 5．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 6．（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 【解析】（1）因为，，， 所以． （2）证明：要证， 只需证：， 只需证：， 只需证：，即证：， 显然上式成立，故成立，得证． （3）证明：由， 得：， 所以， ， ， ，即，则， 得，再由平方关系得，， 代入，得，即：，得证． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．2 三角函数的概念 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：三角函数定义 3 知识点二：三角函数在各象限的符号 3 知识点三：诱导公式一 3 知识点四、特殊角的三角函数值 4 知识点五：同角三角函数的基本关系式 4 知识点六：同角三角函数基本关系式的变形 4 03 题型精讲 6 题型一：依托三角函数定义求解对应函数值 6 题型二：判定各象限内三角函数值的符号 6 题型三：判断角的终边所在的象限 7 题型四：借助诱导公式（一）进行化简与求值 8 题型五：运用同角三角函数基本关系式求值 8 题型六：齐次式型三角函数求值问题 9 题型七：sinα±cosα与 sinαcosα的关系应用 10 题型八：圆上动点与旋转点的三角函数应用 10 题型九：三角函数式的化简运算 11 题型十：三角恒等式的证明 13 04 课后精练 15 05 培优拓展 18 知识点一：三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点诠释： （1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 知识点三：诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： ，其中 注意： 利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求（或）范围内角的三角函数值． 知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 知识点五：同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 知识点六：同角三角函数基本关系式的变形 1、平方关系式的变形： ，， 2、商数关系式的变形 ，． 题型一：依托三角函数定义求解对应函数值 【典例1-1】（2026·高三·河南南阳·期中）已知角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·河南郑州·期中）已知角的终边经过点，则的值是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】角的终边落在射线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判定各象限内三角函数值的符号 【典例2-1】（2026·高一·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·甘肃武威·期末）是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·上海黄浦·阶段检测）若是第一象限角，则，，，，中能确定为正值的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．2个以上 【变式2-3】（2026·高一·河南南阳·开学考试）的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【方法技巧与总结】 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 题型三：判断角的终边所在的象限 【典例3-1】（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【典例3-2】（2026·高一·河南南阳·期中）若角满足，则角为（   ） A．第一或第四象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第三象限角 【变式3-1】（2026·高一·云南昭通·开学考试）若为第四象限角，且，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3-2】（2026·高一·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（2026·高一·江苏常州·阶段检测）已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：借助诱导公式（一）进行化简与求值 【典例4-1】的值为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·辽宁·期中）＝（   ） A．－1 B． C． D．1 【变式4-1】（2026·高一·北京·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用诱导公式一化简或求值的步骤 （1）将已知角化为（为整数，）或（为整数，）的形式． （2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值． （3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：运用同角三角函数基本关系式求值 【典例5-1】已知，，求的值（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高一·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【变式5-3】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 题型六：齐次式型三角函数求值问题 【典例6-1】（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则（    ） A． B．7 C． D．3 【变式6-1】（2026·高一·浙江杭州·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·山东日照·阶段检测）已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·辽宁朝阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 题型七：sinα±cosα与 sinαcosα的关系应用 【典例7-1】（多选题）（2026·高二·内蒙古·期末）已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高二·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·湖南岳阳·三模）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式7-2】（2026·高一·江苏南京·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式7-3】已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 题型八：圆上动点与旋转点的三角函数应用 【典例8-1】在直角坐标系中，一个质点在半径为的圆上，以圆与轴正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2026·高一·浙江杭州·阶段检测）如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高一·辽宁·阶段检测）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求解 题型九：三角函数式的化简运算 【典例9-1】化简． 【典例9-2】化简： (1)； (2). 【变式9-1】（2026·高一·湖北荆门·期末）已知 (1)化简； (2)若为第三象限角，且，求，. 【变式9-2】（2026·高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 【变式9-3】化简：． 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 题型十：三角恒等式的证明 【典例10-1】证明：. 【典例10-2】证明下列恒等式：． 【变式10-1】证明： (1)； (2)． 【变式10-2】（2026·高一·江苏·单元测试）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【变式10-3】（2026·高一·上海浦东新·开学考试）证明：． 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 1．已知集合，，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高三·广东·阶段检测）已知，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，其中，则（    ） A． B．11 C． D． 5．（2026·高三·广东东莞·阶段检测）已知，则“”是“” 的（     ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 6．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设甲：，乙：，则甲是乙的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·高一·江西南昌·期末）若，化简的结果是（     ） A． B． C． D．2 10．（多选题）已知，则角的值可能是（　　） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高一·广西钦州·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．设是角终边上一点，则________. 14．（2026·高三·宁夏银川·阶段检测）已知点在第二象限，则角的终边在第_________象限. 15．求证： (1)； (2). 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 17．（2026·高一·全国·阶段检测）求证： (1)； (2)． 18．（1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 1．（2026·高一·湖南邵阳·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．5 3．（2026·高三·江苏·期中）已知为的一个内角，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（   ）次相遇. A．10 B．11 C．12 D．13 5．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（1）若，化简． （2）求证：． （3）已知，求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $