3.2.2 奇偶性（10大培优题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 3 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲 6 题型一：函数奇偶性判定与证明 6 题型二：函数解析式求解 8 题型三：利用奇偶性求函数值 10 题型四：奇偶函数图像辨识 12 题型五：奇偶中值模型应用 15 题型六：抽象函数奇偶性判定 17 题型七：奇偶性相关不等式求解 20 题型八：利用奇偶性求参数 22 题型九：奇偶性与对称性综合 24 题型十：奇偶性与单调性的综合应用 29 04 课后精练 34 05 培优拓展 43 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：函数奇偶性判定与证明 【典例1-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 【典例1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【解析】（1）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （2）∵函数的定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数． 【变式1-1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）的定义域为，关于原点对称，又， 所以是偶函数. （3）的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数. 【变式1-2】根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【变式1-3】（2026·高一·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【解析】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 【方法技巧与总结】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 题型二：函数解析式求解 【典例2-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 【典例2-2】（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 设，则 ， 由，可得，，则，即， 故在上单调递增. （2）设，则，， 又函数是定义在上的奇函数，则，且， . 【变式2-1】已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【解析】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 【变式2-2】已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【解析】因为函数为偶函数，为奇函数， 且①， 所以， 即②， ①②联立可得， 【变式2-3】（2026·高一·河南新乡·期中）已知与分别是定义在上的奇函数、偶函数，且． (1)分别求，的解析式； (2)设函数，若与在上的值域相同，求a，b的值． 【解析】（1）因为与分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以，． 由，① 得， 则．② ①-②得，则， 从而． （2）由二次函数的图像及性质知道在上单调递增，且，，所以在上的值域为． 若，则在上单调递增．因为与在上的值域相同，所以解得． 若，则为常数函数，显然不符合题意． 若，则在上单调递减．因为与在上的值域相同， 所以解得． 综上所述，或. 【方法技巧与总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 题型三：利用奇偶性求函数值 【典例3-1】（2026·高一·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 【典例3-2】（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 【变式3-1】（2026·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，且，则， 故. 故选：D. 【变式3-2】（2026·高一·江苏宿迁·期中）若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为定义在上的偶函数和奇函数满足， 令，可得， 令，可得，即， 联立方程组，可得. 故选：C. 【变式3-3】（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】已知是奇函数，根据奇函数定义有， 当时，，则， 所以. 【方法技巧与总结】 充分利用奇偶性进行求解． 题型四：奇偶函数图像辨识 【典例4-1】已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 【典例4-2】（2026·高一·广东深圳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，显然其图象关于点对称，排除A、B， 由在上单调递减，则在上单调递减，排除C. 故选：D 【变式4-1】（2026·高二·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 【变式4-2】（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在y轴左侧作函数关于y轴对称的图象，得到偶函数的图象，向上平移一个单位得到的图象． 故选:D． 【变式4-3】（2026·高一·陕西汉中·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的，，故函数的定义域为， 因为，则是奇函数，排除BD. 当时，，排除A. 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用奇偶性进行排除． 题型五：奇偶中值模型应用 【典例5-1】（2026·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【解析】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 【典例5-2】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 令，则， ∴为上的奇函数， ，即， 所以. 故答案为：. 【变式5-1】已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【答案】2026 【解析】设，则， 所以， 所以. 【变式5-2】（2026·高一·福建三明·期中）已知函数且，则的值为______． 【答案】 【解析】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高一·广东·期末）已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以，则. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 题型六：抽象函数奇偶性判定 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 【典例6-2】（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【解析】由，， 令，则， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，A正确； 由，即，则函数不可能是减函数；故B正确. 令，则，即. 令，由，则函数为奇函数，故C正确； 令，由，则函数非偶函数，故D错误； 故选：ABC. 【变式6-1】（多选题）（2026·高一·重庆九龙坡·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是减函数 【答案】ACD 【解析】， 对于选项B，令，，则有， 即，解得，又，故； 令，，则有， 即：，又， 则，即，又，则，故B错误； 对于选项A，令，，则有， ，又，则，即，故A正确； 对于选项C，令，则有， 即，，， ，，为奇函数，故C正确； 对于选项D，，， 是单调递减函数，故D正确. 故选：ACD 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 【变式6-3】（多选题）（2026·高一·四川乐山·阶段检测）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 【答案】ABC 【解析】令则有， 则， 当时，再令 则有 所以， 所以是奇函数． 当，则． 再令 则有， 所以， 所以是偶函数． 故选：ABC． 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行． 题型七：奇偶性相关不等式求解 【典例7-1】（2026·高一·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】已知是定义在上的奇函数，则，解得， 时，，开口向上，对称轴为， 在上单调递增， 由奇函数的性质可知，关于原点对称的区间上单调性相同， 在上单调递增， ， ，解得， 不等式的解集为． 故答案为：． 【典例7-2】（2026·高一·上海松江·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 【答案】 【解析】函数是定义在上的偶函数， ， 当时，， 又， 或， 解得或或， 则不等式的解为． 【变式7-1】（2026·高一·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 故在上单调递增， 又，故，即， 所以，故或，解得或， 故解集为. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高二·广西贵港·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】设， 由且，得， 则在上单调递增， 因为为奇函数，所以， 所以，故为偶函数， 而， 所以有，又在上单调递增， 所以，解得， 所以所求不等式解集为. 故答案为：. 【变式7-3】（2026·高一·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为定义在上的奇函数为减函数， 若，则， 所以，解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 题型八：利用奇偶性求参数 【典例8-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期末）若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【答案】或1 【解析】由题意， 当时，为三次函数无对称轴， 当时，令可得，或，或， 即函数与轴交点坐标为， 故根据对称性，或，得或， 验证如下： 当时，， 此时，故函数关于对称，满足题意； 当时，， 此时，故函数关于轴对称，满足题意. 故答案为：或1 【典例8-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）若函数为奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】为奇函数，， 当时，， 又时，，所以对恒成立， . 故答案为：. 【变式8-1】（2026·高一·重庆·阶段检测）设函数定义域为为奇函数，当时，则___________． 【答案】 【解析】由为奇函数可得． 令得， 所以，解得． 故答案为： 【变式8-2】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数是奇函数，则_____. 【答案】 【解析】当时，则，则，解得; 当时，则，则，解得. 故 【变式8-3】（2026·高一·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则___________． 【答案】 【解析】是定义在上的偶函数， 定义域关于原点对称，得，解得， ，又函数为偶函数， ，即，解得， . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解． 题型九：奇偶性与对称性综合 【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. 【典例9-2】（2026·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【解析】（1）由题意设函数图象的对称中心为， 由于函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． 即函数为奇函数， 而， 由于，即 ， 因为，故，解得， 即函数图象的对称中心为； （2）由（1）的结论可知， 则， 而， 故 . 【变式9-1】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 【解析】（1）令，易知其定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. （2）因为， 令，则 易知的定义域为，定义域关于原点对称，又， 所以为奇函数，则函数图象的对称中心为. （3）假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，所以， 整理得到，所以，解得，， 所以函数有对称中心，则， 令， ， 相加得， . 【变式9-2】（2026·高一·广东·期中）我们知道，函数的图象关于原点中心对称的充要条件是 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于中心对称的充要条件是 为奇函数. (1)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴对称的充要条件是 为偶函数”的一个推广结论； (2)直接写出函数的图象的对称中心，并证明你的结论； (3)已知函数，函数满足为奇函数， 若函数与的图象的交点为 其中为正整数，求(结果用表示) 【解析】（1）推论：函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数； 或函数的图象关于成轴对称的充要条件是满足. （2）函数的图象的对称中心为，证明如下： 因为， 又为奇函数，函数图象关于对称， 函数的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以关于对称，即函数的图象的对称中心为； （3）因为， 所以，， 则，所以关于对称， 又为奇函数，则关于对称， 所以函数与的图象的交点 （其中为正整数）也关于对称， 所以. 【变式9-3】（2026·高一·安徽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. (1)证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； (2)判断（1）中函数的单调性（不用证明），解关于的不等式. 【解析】（1） 证明：因为，则， 函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 根据题定义，函数的对称中心为. （2）函数在上为增函数，证明如下： 任取、，且，则， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则， 由可得， 即，即， 因为函数在上为增函数，则，即，解得， 因此，不等式的解集为. 【方法技巧与总结】 奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。 题型十：奇偶性与单调性的综合应用 【典例10-1】（2026·高一·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【解析】（1）令，则，得证； （2）为偶函数，证明：令，则，因为定义域为R，所以函数为偶函数； （3）由题设，令得， 由（2）得：函数为偶函数，且在上递增，则在上递减， 所以，则，解得， 所以不等式的解集为. 【典例10-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 【变式10-1】（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 【变式10-2】（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在R上的偶函数， 所以，即，即得， 结合,解得，则， 因为， 所以，解得. 所以. （2）由（1）得，在区间上的单调递增，证明如下： 在上任取，且， 则 ， 因为，所以， 则，即， 所以在区间上的单调递增. （3）由（2）得在上的单调递增，且为偶函数， 因为， 所以，则，整理得， 解得，则实数的取值范围为. 【变式10-3】（2026·高一·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【解析】（1），证明如下： 定义在上的函数满足， 取，则，所以， ，取，则， 于是， 即， 所以为奇函数. （2），则，由当时，，得， ， 所以在上是增函数. （3）由，得， 不等式， 则，由（2）知，，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 【方法技巧与总结】 通过性质转换和变量替换简化问题。 1．（2026·高一·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D 2．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图像，可得函数为偶函数， 对于函数和函数为奇函数，排除C，D； 当时，可得，则，所以，，排除B. 故选：A. 3．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】由，，得， 又函数为奇函数， 所以. 故选：D. 4．（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 5．（2026·高一·广东汕头·期中）已知定义域为的函数满足：，则的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 故选：B 6．（2026·高一·云南曲靖·期中）定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，， 又∵在上是减函数，且， ∴，即. 故选：D. 7．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：对于函数来说，当时，函数值都是，因此该函数在区间上不是增函数，不符合题意； B：因为函数在区间上都是增函数， 所以函数在区间上是增函数， 令，因为， 所以该函数是奇函数，符合题意； C：对于函数来说，当时，函数值都是，显然不是奇函数，不符合题意； D：对于函数来说，定义域为，显然不关于原点对称，因此该函数不是奇函数，不符合题意， 故选：B 8．（多选题）（2026·高一·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC 9．（多选题）（2026·高一·云南大理·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 故选：BD. 10．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 11．若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 【答案】 【解析】因为为奇函数，关于对称， 将向左平移个单位得到，则关于对称； 将图象的横坐标扩大为原来的倍得到，则关于对称. 因为，所以关于对称. 12．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【解析】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 13．已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 【答案】 【解析】因为函数为定义在上的奇函数，因此其定义域关于原点对称， 故，则. 14．（2026·高一·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 【解析】（1）是偶函数．证明如下： 由的定义域为， 对于，都有，且， 所以函数是偶函数，得证． （2）函数图象如下图所示： 结合函数图象得， 的单调递增区间为和；单调递减区间为和． 15．（2026·高一·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． （2）在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． （3）由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为． 16．（2026·高一·福建漳州·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）将点，代入中，得方程组 （2）偶函数，证明如下：的定义域是，关于原点对称，对任意的，有，故是偶函数. （3）当时，单调递增，则在上单调递减， 又因为是偶函数，则在上单调递增； 由，结合偶函数与单调性的性质可得：， 两边平方并整理得：， 解得：或，因此，不等式的解集为：. 17．（2026·高一·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且． (1)求函数的表达式； (2)设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意函数是定义域为的奇函数， 所以，所以，又，解得． 此时，经检验，该函数为奇函数，故． （2）由（1）得， 若对任意的，存在，使得成立，则． 接下来证明函数在上为增函数， 任取、且，则，，所以， 当且仅当或时，，这与矛盾，故，且， ，故，即函数在上为增函数， 因为，故， 存在，成立，即． 若，则在上为增函数， 此时，解得， 若，则，此时符合题意． 若，则在上为减函数， 此时，解得，故符合题意， 综上可知：，即实数的取值范围是． 18．（2026·高一·广东广州·期末）已知函数是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【解析】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， 因为，则，解得， 所以函数的解析式为； （2）函数在区间上单调递减，证明如下： 设，且， ， 因为，且， 所以，，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 1．函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】函数， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 2．（2026·高一·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【解析】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 3．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】依题意函数的图象上存在点关于原点对称， 设函数的图象与函数的图象关于原点对称， 设，则，， 所以， 函数存在“隐对称点”，即方程，有解； 得，， 利用基本不等式， 当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】由条件可知，在单调递增，且在单调递减， 所以，或， 所以不等式，等价于或， 解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（2026·高一·河北张家口·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象只有一个对称中心，则对称中心为________；记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则________ 【答案】 / 【解析】由题意可得，，构造函数，所以，即，因为为奇函数，所以，，所以，， 所以对称中心为，，则函数在区间的图象上关于中心对称， 由函数在区间上的最大值和最小值分别为，，所以. 故答案为：；. 6．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，求不等式的解集． 【解析】若定义域为的偶函数在上是增函数， 则在上是减函数，且， 因为，所以， 所以当且仅当或时，， 即的解集为或 7．（2026·高一·湖北孝感·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【解析】（1）令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. （2）由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. （3）因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 8．（2026·高一·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 【解析】（1）由题意得，且在上单调递增， 设的“负倒域区间”为，则， 可得，则是方程的两根， 化简得，解得或， 则的“负倒域区间”为. （2）对于①，因为， 且， 所以， 可得是奇函数，且当时，， 当时，，则， 则由二次函数性质得在上单调递增， 设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为. 对于②，当异号时，设， 此时，，不符合题意，则一定同号， 而是奇函数，则讨论在的情况即可， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，可得，得到是方程的两根， 化简可得方程为，解得或（其它根舍去）， 则在内的“负倒域区间”为， 当时，设的“负倒域区间”为， 则，此时在上单调递减， 由二次函数性质得的对称轴为， 则最小值为，可得， 解得，发现矛盾，故排除，当在上时， 由对称性可得的“负倒域区间”为， 综上可知，函数在定义域内的所有“负倒域区间”为和. 9．（2026·高一·云南红河·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，解得； 当时，，又， 函数是奇函数，符合题意，所以的值为0； （2）函数在区间上的单调递减，证明如下： 由题知，设，则 ， 因为，所以， 又， 所以，故， 所以函数在区间上单调递减． （3）因为且，所以， 又因为函数在区间上单调递减，恒成立， 所以恒成立，化简得恒成立， 令， 由对勾函数的单调性，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为， 所以，所以在的最大值为， 故． 10．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数，的图像关于点成中心对称， 所以，即， 所以的图像关于点成中心对称，； （2）， 当时，， 令，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数关于点对称， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， 所以函数的单调递增区间为，递减区间为和； （3）函数关于点对称， 所以， 所以由， 设，则为奇函数，且单调递增区间为，递减区间为和； 且，当时，，当时，， 原不等式可化为，， 所以，， 所以对任意的恒成立， 对于，可得， 而，当且仅当时等号成立，故， 对于，可得对任意的恒成立，则； 综上所述：实数的取值范围为. 11．（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知函数，其中为常数. (1)若是上的奇函数，求的值； (2)若，求在上的最大值； (3)若在上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为是上的奇函数，所以. 另一方面，当时：恒成立， 所以是上的奇函数. 所以： （2）时， 所以在单调递增，在单调递减. 时，由， （i）时，有； （ii）时，有； （iii）时，有 （3）当时： （i）时：在上单调递增，所以 因为 所以； （ii）时：在上单调递增，同（i）可知 所以； （iii）时：在上递增，在上递减，在上递增，所以 所以不可能成立，舍去； （iv）时：在上递增，在上递减，所以 所以不可能成立，舍去. 综上，的取值范围是：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 3 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲 6 题型一：函数奇偶性判定与证明 6 题型二：函数解析式求解 7 题型三：利用奇偶性求函数值 8 题型四：奇偶函数图像辨识 9 题型五：奇偶中值模型应用 11 题型六：抽象函数奇偶性判定 11 题型七：奇偶性相关不等式求解 12 题型八：利用奇偶性求参数 13 题型九：奇偶性与对称性综合 13 题型十：奇偶性与单调性的综合应用 15 04 课后精练 17 05 培优拓展 20 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：函数奇偶性判定与证明 【典例1-1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【典例1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； 【变式1-1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2)； (3) 【变式1-2】根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【变式1-3】（2026·高一·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【方法技巧与总结】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 题型二：函数解析式求解 【典例2-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【典例2-2】（2026·高一·广东汕头·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求函数的解析式. 【变式2-1】已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【变式2-2】已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【变式2-3】（2026·高一·河南新乡·期中）已知与分别是定义在上的奇函数、偶函数，且． (1)分别求，的解析式； (2)设函数，若与在上的值域相同，求a，b的值． 【方法技巧与总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 题型三：利用奇偶性求函数值 【典例3-1】（2026·高一·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（2026·天津河西·二模）已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·江苏宿迁·期中）若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】（2026·河北·三模）已知函数是奇函数，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【方法技巧与总结】 充分利用奇偶性进行求解． 题型四：奇偶函数图像辨识 【典例4-1】已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·广东深圳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·湖北鄂州·期中）已知函数的图象如图所示，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·陕西汉中·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用奇偶性进行排除． 题型五：奇偶中值模型应用 【典例5-1】（2026·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【典例5-2】（2026·高一·吉林长春·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【变式5-1】已知定义在R上的函数（k为常数）．若，则______. 【变式5-2】（2026·高一·福建三明·期中）已知函数且，则的值为______． 【变式5-3】（2026·高一·广东·期末）已知函数，若，则__________. 【方法技巧与总结】 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 题型六：抽象函数奇偶性判定 【典例6-1】（多选题）（2026·高二·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【典例6-2】（多选题）（2026·高一·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．不可能为上的减函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式6-1】（多选题）（2026·高一·重庆九龙坡·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是减函数 【变式6-2】（多选题）（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【变式6-3】（多选题）（2026·高一·四川乐山·阶段检测）函数对于任意实数满足，则下列关于函数奇偶性说法错误的是（    ） A．是偶函数但不是奇函数 B．是奇函数但不是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．可能是奇函数也可能是偶函数 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行． 题型七：奇偶性相关不等式求解 【典例7-1】（2026·高一·河北沧州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 【典例7-2】（2026·高一·上海松江·期末）函数是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解为______． 【变式7-1】（2026·高一·河南·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____． 【变式7-2】（2026·高二·广西贵港·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 【变式7-3】（2026·高一·重庆江北·期中）定义在上的奇函数为减函数，且，则实数的取值范围是__________. 【方法技巧与总结】 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 题型八：利用奇偶性求参数 【典例8-1】（2026·高一·内蒙古呼和浩特·期末）若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【典例8-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）若函数为奇函数，则实数a的值为________． 【变式8-1】（2026·高一·重庆·阶段检测）设函数定义域为为奇函数，当时，则___________． 【变式8-2】（2026·高一·上海·阶段检测）若函数是奇函数，则_____. 【变式8-3】（2026·高一·广东深圳·期中）已知是定义在上的偶函数，则___________． 【方法技巧与总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解． 题型九：奇偶性与对称性综合 【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【典例9-2】（2026·高一·云南红河·开学考试）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求的值． 【变式9-1】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值. 【变式9-2】（2026·高一·广东·期中）我们知道，函数的图象关于原点中心对称的充要条件是 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于中心对称的充要条件是 为奇函数. (1)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴对称的充要条件是 为偶函数”的一个推广结论； (2)直接写出函数的图象的对称中心，并证明你的结论； (3)已知函数，函数满足为奇函数， 若函数与的图象的交点为 其中为正整数，求(结果用表示) 【变式9-3】（2026·高一·安徽·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. (1)证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； (2)判断（1）中函数的单调性（不用证明），解关于的不等式. 【方法技巧与总结】 奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。 题型十：奇偶性与单调性的综合应用 【典例10-1】（2026·高一·河北衡水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都有，且. (1)求证：； (2)判断奇偶性，并证明； (3)若，且在上单调递增，解关于的不等式. 【典例10-2】（2026·高一·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【变式10-1】（2026·高一·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【变式10-2】（2026·高一·安徽铜陵·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且． (1)求实数的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，求实数的取值范围． 【变式10-3】（2026·高一·广东广州·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求的值，并证明：为奇函数； (2)求证：在R上是增函数； (3)若，求不等式的解集． 【方法技巧与总结】 通过性质转换和变量替换简化问题。 1．（2026·高一·重庆·期末）若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 4．（2026·高一·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广东汕头·期中）已知定义域为的函数满足：，则的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·高一·云南曲靖·期中）定义域为的偶函数在上是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·河北衡水·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·广东东莞·期中）下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·云南大理·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 11．若为奇函数，则关于________对称，则关于________对称； 12．函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 13．已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的值为________ 14．（2026·高一·江西南昌·期中）已知． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)画出函数图象，并写出函数的单调区间． 15．（2026·高一·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 16．（2026·高一·福建漳州·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求不等式的解集． 17．（2026·高一·上海·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且． (1)求函数的表达式； (2)设函数，若对任意的，存在使得成立，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·广东广州·期末）已知函数是奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 1．函数的图象的对称中心为________． 2．（2026·高一·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 3．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期末）对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是___________. 4．（2026·高一·上海浦东新·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是____________. 5．（2026·高一·河北张家口·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数的图象只有一个对称中心，则对称中心为________；记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则________ 6．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，求不等式的解集． 7．（2026·高一·湖北孝感·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： (1)判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； (2)解不等式：； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 8．（2026·高一·上海·期末）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“负倒域区间”． (1)设，求的“负倒域区间”； (2)已知定义域为的函数． ①求函数在内的“负倒域区间”； ②求函数在定义域内的所有“负倒域区间”． 9．（2026·高一·云南红河·期末）已知函数是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)已知，若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 10．（2026·高一·上海徐汇·期末）已知函数，的图像关于点成中心对称． (1)求的值； (2)求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性； (3)若对任意都有成立，求实数的取值范围． 11．（2026·高一·安徽芜湖·期末）已知函数，其中为常数. (1)若是上的奇函数，求的值； (2)若，求在上的最大值； (3)若在上存在2026个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $