精品解析：湖南长沙市明德教育集团2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学期中考试卷 数学试卷26-27学年第一学期 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于三角形的分类，正确的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B. 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 C. 有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D. 等腰三角形一定是锐角三角形 3. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 4. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 5. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形中，若一个角度数为，则顶角度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为 的角平分线，，过D作于E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④． 其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算 的结果为______ 12. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是_______ 13. 命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具—“碓（ ）”的结构简图．已知交于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，，则点B到水平线l的距离为__________分米． 15. 如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为________ ． 16. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为_____cm． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积． 20. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 21. 如图，点在同一直线上，点在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 按要求解答： （1）如图1， 是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． A. B. C D. （2）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，，中线的取值范围是多少？同学们经过合作交流，得到如下解决方法，请认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接BE，通过三角形全等把和转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （3）【能力提升】如图2，在中， D是边 的中点，， 交于点E，交于点F，连接，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的倍的点称为“倍关联点”，如是“倍关联点”，是“倍关联点”． （1）点是“____倍关联点”；若点是“倍关联点”，则____；点是“倍关联点”，则____； （2）若为正整数，点是“倍关联点”，求的值； （3）若点的坐标满足方程（其中，是常数）， ①请问点能否成为“倍关联点”？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． ②若无论在内取值，对应的“倍关联点”都位于第四象限，且横坐标不大于，求的取值范围． 25. 如图1，都是等边三角形，相交于点O，点O在的内部，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）①求证：； ②如图2，都是等腰直角三角形，点A是两个直角三角形的直角顶点，其他条件不变，直接写出线段，和之间的数量关系．（提示：等腰直角三角形三边关系为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中考试卷 数学试卷26-27学年第一学期 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 纹样承载着中华民族数千年的历史沉淀与文化传承，2026年丙午马年春晚的标识巧妙融合了云纹、回纹等经典元素．下面纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 下列关于三角形的分类，正确的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B. 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 C. 有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D. 等腰三角形一定是锐角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，不能与等腰三角形并列，错误，该选项不符合题意； B选项，三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确，该选项符合题意； C选项，三个角均为锐角的三角形是锐角三角形，有一个锐角的三角形可能为直角或钝角三角形，错误，该选项不符合题意； D选项，等腰三角形的顶角可以是直角或钝角，不一定是锐角三角形，错误，该选项不符合题意． 3. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 4. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 5. 如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误. 6. 等腰三角形中，若一个角度数为，则顶角度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分的角为顶角、底角两种情况讨论． 【详解】解：若为顶角，则顶角为； 若为底角，则顶角为：， 综上，顶角度数为或． 7. 随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 9. 如图，已知，添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，然后根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】∵， ∴，即， 解：添加条件，结合条件，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，结合条件，，可以利用证明，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 10. 如图，为 的角平分线，，过D作于E，交的延长线于点F，则下列结论：①；②；③；④． 其中正确结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线的性质可判断①；利用证明可判断②；证明，推出，，根据，，可判断③；由得到，可判断④． 【详解】解：为 的角平分线，，， ，故①正确； 在和中， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，， ，，且， ，故③错误； ， ， ，故④正确， 综上可知，正确结论是①②④． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算 的结果为______ 【答案】 【解析】 【详解】解： 先计算系数的商：， ∵ 同底数幂的除法规则为，底数不变，指数相减， ∴ ，， 将各部分的商相乘，得到原式结果为． 12. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征计算即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， ∴点关于y轴对称的点的纵坐标与的纵坐标相等，为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 13. 命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假； 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论对换位置，即可得到逆命题，然后判断真假． 【详解】“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等”， 根据周长相等，无法判定三角形全等，故该逆命题是假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查逆命题与命题的判断，掌握原命题与逆命题的关系是解题的关键． 14. 如图，左图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具—“碓（ ）”的结构简图．已知交于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，，则点B到水平线l的距离为__________分米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据垂直定义及角的和差关系求得，再利用含角的直角三角形性质求解即可； 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， 即点到水平线的距离为分米． 15. 如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】利用证明，得出，结合的长度计算壁厚． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， 该容器壁的厚度为． 16. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，边BC的长为10cm，面积是40cm2，AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最小为_____cm． 【答案】13 【解析】 【分析】根据ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，可得出再根据三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是AB的垂直平分线，可知点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， 解得：AD＝8（cm）， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为BM+MD的最小值， ∴△BDM的周长最短， 即（BM+MD）+BD＝AD+BC＝8+5＝13（cm）． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形的三线合一性质是解此题的关键． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25每题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】；0 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式，合并同类项法则，进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 20. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）求的度数． 【答案】（1）③；② （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答； （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． 【小问2详解】 解：∵，， ， 由（1）得是线段的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 21. 如图，点在同一直线上，点在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，证明，根据全等三角形的性质即可得； （2）结合（1）得出，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ∴， ． 22. 如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，（即），， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得． （2）突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在和中： ， ∴， ∴． 设， 由（1）的结论， ∴ 即， 解得． 即的长为2． 23. 按要求解答： （1）如图1， 是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． A. B. C D. （2）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，，中线的取值范围是多少？同学们经过合作交流，得到如下解决方法，请认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接BE，通过三角形全等把和转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （3）【能力提升】如图2，在中， D是边 的中点，， 交于点E，交于点F，连接，求证：． 【答案】（1）B （2） （3）证明：如图2，延长到点，使，连接，， 是边的中点， ， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法确定答案； （2）由得，再由三角形三边关系求解； （3）通过题目给出的作辅助线的方法作出辅助线，通过证明三角形全等得到线段的等量关系，进而得出证明． 【小问1详解】 解：是的中线， ， 又，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的倍的点称为“倍关联点”，如是“倍关联点”，是“倍关联点”． （1）点是“____倍关联点”；若点是“倍关联点”，则____；点是“倍关联点”，则____； （2）若为正整数，点是“倍关联点”，求的值； （3）若点的坐标满足方程（其中，是常数）， ①请问点能否成为“倍关联点”？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． ②若无论在内取值，对应的“倍关联点”都位于第四象限，且横坐标不大于，求的取值范围． 【答案】（1）；； （2） （3）①解：根据多项式乘法，， ∵若点是“倍关联点”，则有， ∵点的坐标满足方程， ∴， 整理得， 当时，， ∴点的坐标为； 当，时，点有无数个； 当，时，点不存在； 综上所述：当时，点坐标；当，时，点无数个；当，时，点不存在． ② 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据题意可求，再求值即可； （3）①根据定义可得方程，再分三种情况求解方程即可； ②根据①中结论及题设条件求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：， 点是“倍关联点”； 若点是“倍关联点”， ∴， 则； 若点是“倍关联点”， ∴， ∴， 则． 【小问2详解】 解：∵点是“倍关联点”， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①略； ②解：当时，， ∵点是“倍关联点”，其位于第四象限， ∴必有， ∵，， ∴必须，且， ∴， ∴， ∵，最大值为， ∴时满足条件，解得． 25. 如图1，都是等边三角形，相交于点O，点O在的内部，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）①求证：； ②如图2，都是等腰直角三角形，点A是两个直角三角形的直角顶点，其他条件不变，直接写出线段，和之间的数量关系．（提示：等腰直角三角形三边关系为） 【答案】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2） （3）①证明：如图，在的延长线上截取， 同（2）理得：， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②． 【解析】 【分析】（1）先证明可得从而可得结论； （2）如图，记的交点为N，过A作，垂足分别为，由可得证明平分 从而可得答案； （3）①如图，在的延长线上截取 证明为等边三角形，可得 再证明 从而可得结论； ②类似①的方法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，记的交点为N，过A作，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①略 ②∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， 如图，记的交点为N，过A作，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴； 过点作交于点， 则是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $