精品解析：福建莆田市荔城区莆田中山中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年中山中学上学期九年级数学期中学情反馈试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知二次函数的图象经过与两点，若，是关于的一元二次方程的两根，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，，抛物线的最小值为．下列值中，的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是__________． 12. 如图，，若，，则的值为（ ） A. 5 B. 2.5 C. 15 D. 10 13. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是______． 14. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 16. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 如图，在中，，过点作垂直斜边于点，若，，求线段的长． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 21. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． （1）以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； （2）在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 22. 如图，在中，，点在边BC上，连接，过点作射线． （1）在射线上求作点，使得，且点与点是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若， ，求的长 23. 【项目式学习】 【项目主题】太阳能路灯支撑杆长度的检测 【项目背景】寻找生活中的数学，幸福小区的初三学生们组成数学兴趣小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享． 【项目素材】 素材一： 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响． 素材二： 甲小组对小区周边的太阳能路灯（如图1所示）与水平地面的夹角建立数学模型，对日平均太阳辐射量y（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．利用数据，甲小组计算出该函数的解析式为：． 素材三： 图3是太阳能路灯安装后的示意图，在保证太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大时，乙小组对支撑杆的长建立数学模型进行测算．如图3，为太阳能板与水平地面的夹角，已知，C是的中点，．在延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为，，该测角仪支架的高为． 任务一：该路段太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ 任务二：求支撑杆的长．（结果保留根号） 24. 如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 25. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年中山中学上学期九年级数学期中学情反馈试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、是二元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 直接根据函数图象平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是． 故选B． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选C． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ∴， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． 和的周长之比为． 6. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据原价是元，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率是，原价是元， 经过一次降价的价格为，经过两次降价的价格为， 经过两次降价为， ， 故选：A． 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用，等腰三角形的性质，掌握边角之间的转化是解题的关键．先得到，继而由即可求解． 【详解】解：由题意得，而D为底边中点， ∴， ∵在中，，，， ∴米， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象经过与两点，若，是关于的一元二次方程的两根，则下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把关于x的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断． 【详解】解：关于x的一元二次方程的解就是直线y=-m2与函数的两个交点的横坐标， ∴把（-2,0）与（1,0）代入得 ，解得 ∴抛物线开口向下， ∵， 如图所示： ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是把一元二次方程的根转化为直线和抛物线的交点． 9. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，，抛物线的最小值为．下列值中，的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线的最小值为，得出，对称轴为直线，结合，的，进行作答即可． 【详解】解：∵抛物线的最小值为， ∴，且当时，， 即抛物线的对称轴为直线， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵， ∴， 即， ∵，，，， ∴的值可能是， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程的解，则代数式的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 如图，，若，，则的值为（ ） A. 5 B. 2.5 C. 15 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 13. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把二次函数化成顶点式，确定开口方向和对称轴，再根据开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，即可判断． 【详解】解： ，且， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大． ， ． 14. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先取格点，连接，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理，得出是直角三角形，最后根据余弦的定义求值即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， 则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 15. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【详解】解∶迎水坡的坡比为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 16. 如图，以矩形的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；作射线，交于点E，连接，交于点F．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形的性质得出，，，，再利用勾股定理和正切的定义得出，，进一步得出，，再利用角平分线的定义得出，再利用正切的定义得出的长度，进而得出的长度，最后利用相似三角形的判定与性质，即可解答． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，，， ，， ． 由作图可得：平分， ， ， ． ， ， ， ． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解：  ， 或 ， 解得. 19. 如图，在中，，过点作垂直斜边于点，若，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 又 ． 21. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． （1）以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； （2）在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）点E的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形是解题的关键． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，D的对应点，，，顺次连接，，得出，即可解题； （2）根据建立等式，求出的长，进而即可得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：， ， 解得， 点A的坐标为， 点E的坐标为或． 22. 如图，在中，，点在边BC上，连接，过点作射线． （1）在射线上求作点，使得，且点与点是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若， ，求的长 【答案】 （1）如图点M即为所求． 解法一（作∠BAC＝∠DAM）： 解法二（作∠CAM＝∠BAD）： （2）9 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的要求作图即可． （2）根据△ADM∽△ABC得到，再根据Rt△ABD中， cos∠BAD＝，求出，即可求出DM． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ADM∽△ABC， ∴， ∵在Rt△ABD中， cos∠BAD＝， ∵cos∠BAD＝ ， ∴， ∴， ∵BC＝6， ∴DM＝9． 【点睛】此题考查尺规作图，考生的动手能力，涉及到证明部分用到了三角形相似，和三角函数． 23. 【项目式学习】 【项目主题】太阳能路灯支撑杆长度的检测 【项目背景】寻找生活中的数学，幸福小区的初三学生们组成数学兴趣小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享． 【项目素材】 素材一： 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响． 素材二： 甲小组对小区周边的太阳能路灯（如图1所示）与水平地面的夹角建立数学模型，对日平均太阳辐射量y（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．利用数据，甲小组计算出该函数的解析式为：． 素材三： 图3是太阳能路灯安装后的示意图，在保证太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大时，乙小组对支撑杆的长建立数学模型进行测算．如图3，为太阳能板与水平地面的夹角，已知，C是的中点，．在延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为，，该测角仪支架的高为． 任务一：该路段太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ 任务二：求支撑杆的长．（结果保留根号） 【答案】任务一：夹角为30度； 任务二：求支撑杆的长． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值即可； （2）延长与过点A作的线交于点H，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案 【详解】解：（1）函数解析式为， 对称轴， 故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大； （2）延长与过点A作的线交于点H，令， ∵，， ，， ， ， ， ， ， 延长交与J点， ， ， ， ， ， ． 24. 如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2） ①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②9 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，三角函数等，能够根据题目构造辅助线，综合利用多个知识点，通过线段之间的比例及勾股定理建立方程求解是本题的关键． 25. 已知点A为抛物线对称轴右侧上一动点，直线AB：与抛物线有且只有一个交点A，且与轴交于点B，点C的坐标为，直线交抛物线于点，连接，，． （1）用含k的代数式表示b； （2）求证：； （3）在点A运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2） 证明：由题意可知，联立， 解得， 点A坐标是， 又点B坐标是，点C坐标是， ， 由勾股定理，得， ； （3）是，2． 【解析】 【分析】（1）令，得到，由直线与抛物线有且只有一个交点，根据根的判别式等于0，即可得到答案； （2）联立，求得点A坐标，再用喊k的代数式表示出，的长，即得答案； （3）设直线的表达式为，将点A坐标是代入，得到，联立 ，求出点D坐标，再分别用含k的代数式表示和，即可得到答案． 【小问1详解】 令， 整理得 ， 直线与抛物线有且只有一个交点， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点A在抛物线上运动的过程中，是定值．理由如下： 设直线的表达式为， 将点A坐标是代入， 得 ，即， 联立 ， 解得（舍去），， 点D坐标是， 又点A坐标是，点B坐标是，点C坐标是， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $