精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第十五中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

莆田第十五中学2025-2026学年九年级上数学期中考 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程的解代入方程，即可求出的值， 掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 故选： ． 4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，解题的关键是掌握顶点式中顶点坐标为． 根据二次函数顶点式的坐标特征，直接确定顶点坐标． 【详解】解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为． 在抛物线中，， 所以顶点坐标是． 故选：D． 7. 将二次函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，即可求解． 【详解】解：二次函数图象先向下平移一个单位长度，可得， 再向左平移3个单位长度，可得． 故选：B． 8. 如图，点在的优弧上，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：， ， 故选：D． 9. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 10. 如图所示，二次函数图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③， ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，解答本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点关于原点对称的点是， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 13. 如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点为劣弧的中点，， ， 为的直径， ， ， 故答案为：． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，，此时边经过点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转的性质求出，再由三角形内角和求出的度数，从而得出最后结果． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提． 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，总分86分） 17. 解方程：(x-2)2-9=0． 【答案】x =5,x =−1. 【解析】 【分析】将方程的常数项移项到右边，利用平方根的定义开方后转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】方程(x-2)2-9=0， 移项得：(x-2) 2=9， 开方得：x-2=3或x-2=−3， 解得：x =5,x =−1. 故答案为x =5,x =−1 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则 18. 解方程：x2+10x+9＝0． 【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9 【解析】 【分析】利用因式分解法进行解答即可. 【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0， 可得x+1＝0或x+9＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键. 19. 如图，P是正方形内一点，线段绕着点B顺时针旋转至，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可得解． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕着点B顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 21. 如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）在中，由勾股定理可得，从而得到，再由切线长定理可得，然后在中，由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ， ∵， ∵， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵，为的直径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：． 22. 如图，的顶点坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转，得到． （1）画出， （2）直接写出各顶点坐标，并求出点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式确定的位置，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求可得的坐标，则可求出，，设点到的距离为h，根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴，， ∴， 设点到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的关系式，利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴当，即时，W取得最大值． 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元． 24. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的直径是20 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案； （2）由可得，由三角形外角的定义及性质结合可得，再由可得，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q． （1）求线段的长； （2）求的大小； （3）求正方形的边长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质（对边相等、内角为 ）、图形旋转的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用旋转性质构造等腰直角三角形和直角三角形，将已知线段长度与角度关系转化到直角三角形中，通过勾股定理及其逆定理求解未知线段和角度． （1）先根据正方形性质得，由旋转性质得，，判定为等腰直角三角形，然后用勾股定理计算长； （2）先由等腰直角三角形得，再计算、、（），通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得，最后根据平角定义计算； （3）过作于，由判定为等腰直角三角形，结合求出，计算，最后在中用勾股定理求（正方形边长）． 【小问1详解】 解：四边形为正方形， ，， 沿点旋转至， ，， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， 在中，，， ， ， 为直角三角形，， ； 【小问3详解】 解：作，垂足为， ，， ∴，且， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2025-2026学年九年级上数学期中考 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法判断 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的优弧上，，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为______． 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 15 如图，将绕点逆时针旋转得到，，此时边经过点，则__________． 16. 由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为______ 三、解答题（共9小题，总分86分） 17. 解方程：(x-2)2-9=0． 18 解方程：x2+10x+9＝0． 19. 如图，P正方形内一点，线段绕着点B顺时针旋转至，连接，，求证：． 20. 如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 21. 如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 如图，的顶点坐标分别为，将绕原点O顺时针旋转，得到． （1）画出， （2）直接写出各顶点坐标，并求出点到的距离． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 24. 如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求的直径； （2）若，求的度数． 25. 如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q． （1）求线段的长； （2）求的大小； （3）求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $