精品解析：上海市洋泾中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷

上海市洋泾中学2026学年度第一学期高二数学期中考试试卷 本卷卷面总分100分，考试时间为90分钟. 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-10题每题4分，共34分） 1. 虚部为的纯虚数为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知虚部为的纯虚数为. 2. 向量的模为______________. 【答案】 【解析】 【详解】向量的模为. 3. 在等差数列 中， ， ，则 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式，结合已知的首项和第三项求出公差，再代入通项公式计算第九项的取值. 【详解】设等差数列的公差为， 已知，，所以 ，解得，所以. 4. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 5. 已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平面平行时，法向量互相平行，结合空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为平面平面，与的法向量分别为，，所以， 所以，即，所以， 解得，所以. 故答案为： 6. 用斜二测画法画出水平放置的 的直观图 .在直观图中， 、 、 依次在 轴上， 在 轴正半轴上，两轴正向夹角为 ，且 .若原 的面积为2，则 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图形，利用原三角形的面积公式建立方程求解即可. 【详解】 由直观图还原，如图，，，，， ，得 . 7. 已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，从而得到，再根据定义域和单调性列出不等式组，求出解集. 【详解】因为是在定义域上的奇函数，， 所以， 故， 因为是在定义域上的严格减函数， 所以，解得：， 故答案为： 8. 在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系，结合图象来求得正确答案. 【详解】直线，即，过定点， 曲线（）， 可化为（）， 即以为圆心，半径为的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图象如下图所示， 设，则的最小值为. 当直线与半圆相切于点时，圆心到直线的距离： ，解得或（舍去）， 所以. 故答案为： 10. 一种”四脚帐篷”的底面为正方形， 为帐篷顶点.过底面对角线的两个竖直截面，其上边界分别为半圆弧，；两个半圆的直径均为2.8米，所在平面均垂直于底面.用任意平行于底面的平面截帐篷，所得截面均为正方形.利用祖暅原理，结合一个正四棱柱与正四棱锥，计算该帐篷围成的几何体的体积为______________ 立方米.（精确到0.1立方米） 【答案】3.7 【解析】 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】如图1，设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为.    如图2，设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 正四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与图1截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 二、选择题（第11、12题每题3分，第13、14题每题4分，共14分） 11. 直线与直线之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 12. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判断各选项正误，得出结果. 【详解】根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两直线相互平行，所以A正确； 若，则存在一条直线，且，由，所以， 因为，，，所以，B选项正确； 根据面面垂直的判定定理，若，则，所以C正确； 根据面面平行的判断定理，两条相交直线平行于一个面，则经过这两条相交直线的面与这个面平行，所以D错误； 故选：D. 13. 已知，，动点满足，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 14. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用特例法可判断①；利用长方体的几何性质，结合两直线所成角的定义可判断②选项，从而得解. 【详解】对于①，依题意，设正方体的棱长为， 当为正方体的一条体对角线， 不妨设与线段重合，在正方体各面上的投影长为， 此时， 当平面时，在面、的投影长为， 在面、、、的投影长为，此时， 故不是定值，①错误； 对于②，当与正方体的棱平行时，不妨设平面垂直， 此时与棱、、、、、、、都垂直， 与棱、、、都平行，此时， 当不与正方体的棱平行时，过点、分别作正方体的棱的平行线， 构成长方体， 设与棱、、所成的角分别为、、， 由图可知，，同理可得，， 由长方体的几何性质可得， 所以，此时， 所以为定值，故②正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对的位置进行分类讨论，结合长方体的几何性质求解. 三、解答题（共52分） 15. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先用向量数量积及二倍角公式化简为，再根据正弦函数的单调性求递增区间. （2）由角的范围结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【小问1详解】 由题意得 ， 由正弦型函数的性质可得其单调递增区间满足， 化简得， 即的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为，所以， 在该区间内，， 故. 16. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. （1）求证：. （2）若，，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）2 【解析】 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 17. 已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线的垂直关系进行求解； （2）分直线过原点及不过原点进行求解． 【小问1详解】 由直线即可得其斜率为， 根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得. 【小问2详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，由直线经过点得直线方程为； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 18. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点. （1）求正四棱锥的表面积; （2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角表示）; （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的性质，用勾股定理求得侧面三角形的高，进而求得侧面积和底面积，即可得出答案. （2）由题意，可建立空间直角坐标系，分别表示出平面与平面的法向量，求出两个法向量的夹角，即可得出答案. （3）设，利用点在平面内，以及数量积运算可得. 【小问1详解】 因为正四棱锥，取中点，连接， ，， 则； 【小问2详解】 连接，连接，记，则两两互相垂直， 如图建立空间直角坐标系． 因为，所以，所以， 所以，，，，，，． 所以，． 设平面的法向量为，所以，即， 令，所以． 因为平面的一个法向量为 设与的夹角为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的大小是． 【小问3详解】 因为，故设， 则，则， 因为点在平面内，所以，得， 故. 19. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； （3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）圆心，半径； （2）以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧； （3），. 【解析】 【分析】（1）化圆的方程为标准形式，求出圆心坐标及半径； （2）利用圆的性质及定义确定的轨迹. （3）利用点在圆内求出的范围，将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示列式求出的范围. 【小问1详解】 圆的圆心，半径. 【小问2详解】 当时，圆的圆心，半径， 连接，取中点，连接，，又为弦的中点， 当与不重合时，，为直角三角形，则， 当与重合时，，因此， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又点在圆内， 所以弦的中点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在圆内的一段圆弧. 【小问3详解】 圆的圆心，半径，点， 直线恒过定点，由直线恒与圆相交于、两点， 得点在圆内，则，又，解得， 所以正实数的取值范围是； 直线，由消去得，， 设，则， ，由为锐角，得， 即，整理得， 则，又，整理得，解得， 显然不共线，所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洋泾中学2026学年度第一学期高二数学期中考试试卷 本卷卷面总分100分，考试时间为90分钟. 一、填空题（第1-6题每题3分，第7-10题每题4分，共34分） 1. 虚部为的纯虚数为____________. 2. 向量的模为______________. 3. 在等差数列 中， ， ，则 ______________. 4. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 5. 已知平面平面，与的法向量分别为，，且，，则__________. 6. 用斜二测画法画出水平放置的 的直观图 .在直观图中， 、 、 依次在 轴上， 在 轴正半轴上，两轴正向夹角为 ，且 .若原 的面积为2，则 ______________. 7. 已知函数是在定义域上的严格减函数，且为奇函数.若，则不等式的解集是______. 8. 在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________． 9. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________． 10. 一种”四脚帐篷”的底面为正方形， 为帐篷顶点.过底面对角线的两个竖直截面，其上边界分别为半圆弧，；两个半圆的直径均为2.8米，所在平面均垂直于底面.用任意平行于底面的平面截帐篷，所得截面均为正方形.利用祖暅原理，结合一个正四棱柱与正四棱锥，计算该帐篷围成的几何体的体积为______________ 立方米.（精确到0.1立方米） 二、选择题（第11、12题每题3分，第13、14题每题4分，共14分） 11. 直线与直线之间的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 12. 若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13. 已知，，动点满足，则面积的最大值为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 14. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，现有如下命题：①线段在正方体6个表面的投影长度为，则为定值；②直线与正方体12条棱所成的夹角的，则为定值.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（共52分） 15. 已知为坐标原点，，，若． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的值域． 16. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. （1）求证：. （2）若，，求三棱锥的体积. 17. 已知直线和直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 18. 如图，在正四棱锥中，，，分别为，的中点. （1）求正四棱锥的表面积; （2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角表示）; （3）求的值. 19. 设圆（常数）与轴正半轴的公共点为，直线过点． （1）写出圆的圆心的坐标以及半径； （2）设，当直线与圆交于、两点时，求弦的中点的轨迹； （3）设直线的斜率为，若恒与圆相交（仍记交点为、），求正实数的取值范围；在上述情况下，若为锐角，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $