上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

华东师大二附中2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角为__________. 2. 双曲线的实轴长为__________． 3. 若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________. 4. 已知圆的面积为，则实数__________. 5. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________. 6. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________. 7. 若圆与圆内切，则等于__________. 8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________. 9. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________. 10. 若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___． 11. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________. 12. 设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则__________. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. 用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（ ）最接近圆. A. B. C. D. 14. 已知曲线．下列结论错误的为（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为 D. 若，，则是两条直线 15. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 18. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. （1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）； （2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）. 20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； （3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去. （1）若，求； （2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标； （3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值. 华东师大二附中2025学年第一学期期中考试卷 高二数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】6 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】6 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）或 （2），距离为 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2） 设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关. （3）. 【21题答案】 【答案】（1） （2），， （3） 证明：设斜率，过点的直线的方程为 ， 即； 联立方程， 得到 ， 设，由韦达定理 ，所以， 代入，得到，所以， 所以， 根据与的坐标关系，由坐标得到， 所以； 由两点间的距离公式得到， 所以由点斜式得到直线的方程为： ，即， 点到直线的距离为 ， 所以的面积为. 因为点在椭圆上，所以， 所以，将其代入三角形面积公式得到. 所以的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $