精品解析：江西抚州市南丰县第一中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年南丰一中九年级上学期期中学业水平检测 数学 ▶上册第一~四章◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、D选项：方程与的未知数最高次数分别为3和1，均不是一元二次方程． B选项：方程中含有2个未知数，不是一元二次方程． C选项：方程是一元二次方程． 2. 某几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：其俯视图是． 3. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形性质得且，证得，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ． 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，无法推出平行四边形满足矩形，故A错误； B．仅说明与对角线垂直，无法推出平行四边形的内角为直角，不能判定为矩形，故B错误； C．对角线垂直无法推出平行四边形是矩形，故C错误； D．对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，故D正确． 5. 如图，相同的瓶子里装入了不同量的水，用棒敲击瓶子时，可发出不同的音调．通过实验发现，当瓶子的水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音调．已知瓶高，若瓶子可以发出“”的音调，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，可知， ∵， ∴， 故选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意． 6. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形性质证判断B、C，利用角度和差判断A，利用特值法判断D． 【详解】解： 四边形、是正方形，是对角线， ，，，   ，故A正确； 、分别是正方形、的对角线，  ，，，  ，  ，，  ， ， ，故B正确； ，即 ，故C正确； 当点与点重合时，与重合，，  此时 ，， ， ，   ，故D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数3就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可． 【详解】解：∵， ∴． 8. 如图，在菱形中，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的四条边相等可得，结合已知条件，可判定为等边三角形，进而求出的度数． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ． 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，需满足：1、二次项系数不等于0；2、． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 则有， 解得． 10. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 11. 如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【解析】 【详解】解：连接， ∵平行四边形 与平行四边形是以点A 为位似中心的位似图形， 且相似比为， ∴A，G，C三点在同一条直线上，，，， ∵平行四边形 的面积为， ∴ 和 的面积都是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，同理可得 ， ∴与的面积之和为， 故答案为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，点的坐标为，为线段上一动点．若以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，则满足条件的点的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据矩形性质得出  及直角条件，设  点坐标为，表示出  和  的长；根据相似三角形对应边成比例，分两种情况列方程求解  的值，即可得出  点坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标为，  ， 设点的坐标为，则， 以点  为顶点的三角形与以点 为顶点的三角形相似，且，  分两种情况讨论：①当时， 则，即， 解得，此时点的坐标为； ②当时， 则，即， 整理得， 解得（已检验）， ，  或，均符合题意， 此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点  的坐标为 或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求作答 （1）解方程：． （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】（1） 方程的解为， （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）通过提取公因式对等式左边因式分解，将二次方程降次为一次方程求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入目标代数式计算． 【小问1详解】 解 ： 或 解得，； 【小问2详解】 解：对于方程， 根据根与系数的关系，得，， 代入得． 14. 如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为． （2）在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的定义画出点，，再顺次连接点，，即可得； （2）根据位似图形的性质即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为． 16. 如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ． ∴， ∴： ∴， ∴路灯的高度为． 17. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再得出，利用三角形的内角和求出的度数，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，是边上的一点，． （1）求证：． （2）若的平分线交于点，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等证明即可； （2）先由三角形内角和定理求解，然后根据相似三角形的性质得到的度数，再由角平分线求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴． 19. 某电子科技团队研究某种微电粒子连接方式时有如下两种连接方案：如图1，甲方案中各微电粒子两两连接，这样连接方式的好处是更加稳定；如图2，乙方案中在各微电粒子中间添加一个连接单元，这样连接更简便． （1）若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有_________条．（用含的式子表示） （2）若同等数量微电粒子的情况下用甲方式的连接线比乙方式的连接线多135条，求微电粒子的数量． 【答案】（1），其中为正整数 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出、、时，连接线的条数，据此解答即可； （2）结合（1）的结论，建立一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：按甲方案的连接方法，当时，连接线有0条， 当时，连接线有1条， 当时，每个粒子都要和其余个粒子连1条线，但每一条连接线都被2个粒子各重复计算了1次，则总共有条， ∵当时，；当时，， ∴综上，若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有条，其中为正整数． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：微电粒子的数量的值为18． 20. 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，交于点．若，求的长． 【答案】（1）证明：平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线可得，根据平行四边形的性质可得，推出，得到，进而得，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，再结合平行四边形对角线的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，为的中点，将沿折叠，使得点的对应点落在边上． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，，则，进而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵为的中点，且， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 项目式学习 为了测量家用小轿车前方的视野盲区，某数学兴趣小组利用假期时间进行测量，具体研究方法与过程如下表： 具体问题 测量家用小轿车前方的视野盲区 主要工具 激光笔、皮尺 示意图 如图所示的是小轿车的主视图及俯视图，均为驾驶员所在的位置，与地面垂直，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区 测绘过程与数据信息 用激光笔和皮尺测出车头的高度为，车头最高点的宽度为，并测量出车头到的水平距离．示意图中． 已知驾驶员眼睛距地面的高度，根据以上信息，完成下列任务． （1）任务一：求视野盲区的长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）． （2）任务二：求的长度． （3）任务三：通过测量发现，一辆家用汽车的视野盲区还是很大的．文明交通，你我同行，为避免视野盲区导致的事故，请给司机或行人写一条建议． 【答案】（1） （2） （3）建议行人要了解视野盲区的含义以及各种车辆的盲区大概的区域，司机开车更要细心观察快要进入盲区的人和物． 【解析】 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质可得结论； （2）证明，利用相似三角形的性质可得结论； （3）从行人与司机两个角度给出建议即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由（1）得：，而， ∴， ∴的对应高分别为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 问题情境：综合实践课上，老师带领同学们探究正方形中垂线的关系， （1）如图1，在正方形中，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点．求证：． 深入探究： （2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，交于点，求的值． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上．为轴上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点C作直线交轴于点，交于点．若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先得出，，再根据定理即可得证； （2）设，先求出，的长，再得出的长，然后得出，则可得的长，由此即可得； （3）分两种情况：①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，利用全等三角形的性质求出的长，进而求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可知，， 设，则， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：①如图1，当点在点的左侧时， 过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即此时点与点重合， ∴此时有， ∴点的坐标为． ②如图2，当点在点的右侧时， 同理可得：， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年南丰一中九年级上学期期中学业水平检测 数学 ▶上册第一~四章◀ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，相同的瓶子里装入了不同量的水，用棒敲击瓶子时，可发出不同的音调．通过实验发现，当瓶子的水面高度与瓶高之比为黄金比时，可以发出“”的音调．已知瓶高，若瓶子可以发出“”的音调，则下列高度最接近水面高度的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么__________． 8. 如图，在菱形中，若，则的度数为_________． 9. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________． 10. 如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 11. 如图，在平行四边形中，以点A为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的相似比为，连接，，若平行四边形的面积为，则与的面积之和为_______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，点的坐标为，为线段上一动点．若以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，则满足条件的点的坐标为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求作答 （1）解方程：． （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值． 14. 如图，，如果，求线段的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴上方画出，使与位似，且相似比为，点的对应点为，点的对应点为． （2）在（1）的条件下，边上任意一点在边上的对应点的坐标为_________． 16. 如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树在路灯的照射下形成投影，这位同学测得树高，树影，树与路灯的水平距离．求路灯的高度． 17. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，得到线段，折痕与相交于点，若，，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，是边上的一点，． （1）求证：． （2）若的平分线交于点，求的度数． 19. 某电子科技团队研究某种微电粒子连接方式时有如下两种连接方案：如图1，甲方案中各微电粒子两两连接，这样连接方式的好处是更加稳定；如图2，乙方案中在各微电粒子中间添加一个连接单元，这样连接更简便． （1）若微电粒子个数为，则按甲方案的连接方法，连接线有_________条．（用含的式子表示） （2）若同等数量微电粒子的情况下用甲方式的连接线比乙方式的连接线多135条，求微电粒子的数量． 20. 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． （1）求证：四边形是菱形． （2）连接，交于点．若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，为的中点，将沿折叠，使得点的对应点落在边上． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 22. 项目式学习 为了测量家用小轿车前方的视野盲区，某数学兴趣小组利用假期时间进行测量，具体研究方法与过程如下表： 具体问题 测量家用小轿车前方的视野盲区 主要工具 激光笔、皮尺 示意图 如图所示的是小轿车的主视图及俯视图，均为驾驶员所在的位置，与地面垂直，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区 测绘过程与数据信息 用激光笔和皮尺测出车头的高度为，车头最高点的宽度为，并测量出车头到的水平距离．示意图中． 已知驾驶员眼睛距地面的高度，根据以上信息，完成下列任务． （1）任务一：求视野盲区的长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）． （2）任务二：求的长度． （3）任务三：通过测量发现，一辆家用汽车的视野盲区还是很大的．文明交通，你我同行，为避免视野盲区导致的事故，请给司机或行人写一条建议． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 问题情境：综合实践课上，老师带领同学们探究正方形中垂线的关系， （1）如图1，在正方形中，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点．求证：． 深入探究： （2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，交于点，求的值． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上．为轴上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点C作直线交轴于点，交于点．若，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $