彩色笔记 全称量词与存在量词-2027届高三数学一轮复习（艺体生专用）

🎨 彩色笔记 · 逻辑用语（二） 量词 · 命题的否定 · 恒成立与能成立 ｜ 2027 届高三数学一轮复习（艺体生专用） 本册独立成篇：小节自「一」起、例题自「例 1」起 一、全称量词与存在量词　【人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1】 1. 全称量词 「任意、所有、每一个、一切」叫全称量词，记作 ∀；命题写成 ∀x∈M，p(x)。 ✎ 看到「都」「全」「任意」「每一个」先写全称量词，别把范围 M 漏掉。范围一漏，后面求参数必错。 2. 存在量词 「存在、至少有一个、有些、某个」叫存在量词，记作 ∃；命题写成 ∃x∈M，p(x)。 ✎ 「至少有一个」就是大于等于一个，能找出一个就够；「都」要一个不落。这两句的区别是整节的地基。 3. 真假判断 全称命题要全部成立才真，一个反例即假；存在命题找到一个即真，全都不成立才假。 ✎ 判全称命题为假，只需一个反例；判存在命题为真，只需一个例子。考场上这两句能省两分钟。 4. 藏起来的量词 「正方形都是矩形」写成 ∀ 正方形，是矩形；「有一个实数满足」写成 ∃。省略量词时按句意补回来。 ✎ 中文题最爱的就是把量词藏起来：都、全、任、每是全称；有、存在、至少、有些是存在。读题先圈这几个字。 5. 量词与集合 ∀x∈M，p(x) 真 ⇔ M⊆{x|p(x)}；∃x∈M，p(x) 真 ⇔ M∩{x|p(x)}≠∅。 ✎ 恒成立看包含、能成立看相交。后面所有求参数题，都是把这两句翻成最值再算。 📌 题型训练：量词命题与真假 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：① 所有的质数都是奇数；② 至少有一个实数 x，使 x2+1=0；③ 对任意实数 x，x2≥0。 【答案】① 全称量词命题，假（2 是质数但不是奇数）② 存在量词命题，假（x2+1≥1，无实根）③ 全称量词命题，真 ✎ 第一句拿 2 当反例就行，质数里唯一的偶数；第二句在实数范围内平方加一最小是 1，够不着 0；第三句平方非负，一个反例都找不到 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例2　用量词符号写出下列命题：① 存在一个实数 x，使 x>2；② 每一个有理数都是实数。 【答案】① ∃x∈R，x>2　② ∀x∈Q，x∈R ✎ 写量词命题就三段：量词、范围、结论，一段都不能少。Q 是有理数集、R 是实数集，别把范围顺手写成 R ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例3　命题「∀x∈R，x2+2x+3>0」是真命题吗？说明理由。 【答案】真（x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0） ✎ 配方最直观：配成完全平方加 2，最小都有 2，当然恒正。也可看判别式，4 减 12 小于 0 且开口向上，两条路都对 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例4　命题「∃x∈R，x2−2x+3=0」是真命题吗？ 【答案】假（Δ=4−12=−8<0，方程无实根） ✎ 存在命题得真找出一个实数才算真。判别式小于零，一个实根都没有，直接判假，别去凑数 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例5　若命题「∀x∈[1，2]，x2−a≥0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a≤1（恒成立要 a 不超过 x2 在 [1，2] 上的最小值 1） ✎ 全称恒成立，就找最吃亏的那个点：x 的平方在 1 到 2 上最小是 1，所以 a 不能大于 1。别顺手取成最大值 4，那是下一题 ◎ 来源：高考常考题型（恒成立求最值 · 情境自编） 例6　若命题「∃x∈[1，2]，x2−a≥0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a≤4（能成立只要 a 不超过 x2 在 [1，2] 上的最大值 4） ✎ 和上题只差一个字：存在能成立，只要有一个 x 让式子成立就算数，所以看最大值 4。恒成立看最小、能成立看最大，两句对着记 ◎ 来源：高考常考题型（能成立求最值 · 情境自编） 例7　若「∀x∈R，x2+2x+a>0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a>1（Δ=4−4a<0） ✎ 开口向上的二次函数要恒正，就得和横轴没有交点，判别式小于零。a＝1 时配方后是 x 加 1 的完全平方，在 x＝−1 处刚好取到 0，等号不能取 ◎ 来源：高考常考题型（二次式恒正 · 情境自编） ✍ 本节提醒　量词这一节学生看着觉得简单，一到求参数就露馅。我的办法是让他们把两句话抄在书头上：恒成立看最小、能成立看最大。先把量词翻译成最值，再动笔算，别一上来就解不等式。另外中文题爱把量词藏起来，「都、全、任、每」和「有、至少、有些」要能一眼认出来。 二、量词命题的否定与求参数　【人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2】 1. 全称命题的否定 「∀x∈M，p(x)」的否定是 ∃x∈M，非 p(x)：量词换、结论否、范围 M 不动。 ✎ 三步：全称改存在、结论改反面、范围原样抄。范围一改整题就错，这是最常见的丢分点。 2. 存在命题的否定 「∃x∈M，p(x)」的否定是 ∀x∈M，非 p(x)。 ✎ 对称着记就行。「至少有一个」的否定是「一个都没有」，不是「至少有两个」。 3. 常见结论的否定 > 否成 ≤；= 否成 ≠；「都是」否成「不都是」；「至少 n 个」否成「至多 n−1 个」。 ✎ 最容易错的就是把大于否成小于，漏掉等号。一个字两分，写完一定回头看一眼。 4. 否定与真假 原命题和它的否定一真一假，不会同时真、也不会同时假。 ✎ 拿不准就先判原命题真假，再定否定。写完否定代一个值对一下，十秒就能验完。 5. 含量词求参数 ∀ 恒成立 → 取最小值（或判别式≤0）；∃ 能成立 → 取最大值（或判别式≥0）。 ✎ 千万别把恒成立和能成立弄反，两道题就差一个字，答案差一大截。含二次项系数带字母的，先讨论系数为零。 📌 题型训练：量词命题的否定 例8　写出命题「∀x∈R，x2+1>0」的否定，并判断这个否定的真假。 【答案】否定为「∃x∈R，x2+1≤0」，是假命题（x2+1≥1） ✎ 全称改存在、大于改成小于等于、范围 R 一字不动。平方加一最小是 1，找不到小于等于 0 的实数，所以否定是假，原命题自然是真 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例9　写出命题「∃x∈R，x2+2x+3=0」的否定。 【答案】∀x∈R，x2+2x+3≠0 ✎ 存在改全称、等号改成不等于，其余原样搬。别自作主张去动常数项 3，否定只改量词和结论 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例10　命题「所有的平行四边形对角线互相平分」的否定是（　） A．所有的平行四边形对角线都不互相平分　　B．存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分　　C．存在一个平行四边形，它的对角线互相平分　　D．存在不是平行四边形的四边形，它的对角线不互相平分 【答案】B ✎ 「所有都」的否定是「至少有一个不」，所以 B 对。A 否得太狠，把全部都推翻了；C 压根没否；D 偷偷换了讨论范围，是最迷惑人的那一个 ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例11　若「至少有一个实数 x 使 x2−2x+a=0」的否定为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a>1（否定为真即原命题为假，方程无实根，Δ=4−4a<0） ✎ 绕了一圈别慌：否定为真，就是原命题为假，也就是方程一个实根都没有，判别式小于零。也可以先把否定写成「任意实数 x，x 的平方减 2x 加 a 都不等于 0」再算，结果一样 ◎ 来源：高考常考题型（否定与判别式 · 情境自编） 例12　已知命题「∀x∈[0，2]，x2−2x+a≤0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a≤0（x2−2x 在 [0，2] 上的最大值是 0，需 0+a≤0） ✎ 恒成立要照顾最吃亏的点。x 的平方减 2x 在 0 到 2 上，顶点 x＝1 处是负一，两个端点都是 0，最大值反而在端点取到，别只盯着顶点 ◎ 来源：高考常考题型（恒成立取最大 · 情境自编） 例13　若「∃x∈R，x2+(a−1)x+1<0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】a<−1 或 a>3（Δ=(a−1)2−4>0） ✎ 开口向上的抛物线要能取到负值，得和横轴有两个交点，判别式严格大于零。a 等于负一或 3 时只是贴着横轴，取不到小于零，等号要挖掉 ◎ 来源：高考常考题型（能成立与判别式 · 情境自编） 例14　若命题「∀x∈R，ax2+ax+1>0」为真，求实数 a 的取值范围。 【答案】0≤a<4（a=0 时为 1>0 恒成立；a≠0 时需 a>0 且 Δ=a2−4a<0） ✎ 二次项系数带字母，第一件事是讨论它等于零：a＝0 时式子变成 1 大于 0，恒成立，这一支最容易被整段漏掉。a 不等于零时要开口向上且判别式小于零，得 0 小于 a 小于 4，最后合并 ◎ 来源：高考常考题型（含参二次式 · 情境自编） ✍ 本节提醒　改否定我给学生的口诀是六个字：换量词、否结论，范围原样抄。错得最多的永远是两处：把大于否成小于、漏掉等号；以及顺手把范围也改了。每次讲评我都在黑板上把「大于的否定是小于等于」单独圈出来，还是有人错，只能靠回代十秒自己验。 小节 已掌握 ✔ 基本懂 △ 要重学 ✘ 疑问 / 重学日期 一 量词命题与真假 □ □ □ 二 量词命题的否定 □ □ □ ✎ 易错点 & 我的笔记 彩色笔记 · 逻辑用语（二） ｜ 2027 届艺体生一轮复习 学科网（北京）股份有限公司 $ 🎨 彩色笔记 · 逻辑用语（二） 量词 · 命题的否定 · 恒成立与能成立 ｜ 2027 届高三数学一轮复习（艺体生专用） 本册独立成篇：小节自「一」起、例题自「例 1」起；学生用原卷（例题留白），答案解析见同包「解析版」 一、全称量词与存在量词　【人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1】 1. 全称量词 「任意、所有、每一个、一切」叫＿＿＿＿，记作 ＿＿；命题写成 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 存在量词 「存在、至少有一个、有些、某个」叫＿＿＿＿，记作 ＿＿；命题写成 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3. 真假判断 全称命题要＿＿＿＿才真，一个反例即假；存在命题＿＿＿＿即真，全都不成立才假。 4. 藏起来的量词 「正方形都是矩形」写成 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿；「有一个实数满足」写成 ∃。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 5. 量词与集合 ∀x∈M，p(x) 真 ⇔ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；∃x∈M，p(x) 真 ⇔ M∩{x|p(x)}≠∅。 📌 题型训练：量词命题与真假 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：① 所有的质数都是奇数；② 至少有一个实数 x，使 x2+1=0；③ 对任意实数 x，x2≥0。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例2　用量词符号写出下列命题：① 存在一个实数 x，使 x>2；② 每一个有理数都是实数。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例3　命题「∀x∈R，x2+2x+3>0」是真命题吗？说明理由。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例4　命题「∃x∈R，x2−2x+3=0」是真命题吗？ 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P26—P28 · 1.5.1 方法（情境自编） 例5　若命题「∀x∈[1，2]，x2−a≥0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（恒成立求最值 · 情境自编） 例6　若命题「∃x∈[1，2]，x2−a≥0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（能成立求最值 · 情境自编） 例7　若「∀x∈R，x2+2x+a>0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（二次式恒正 · 情境自编） ✍ 本节提醒（自己先写，再对照答案）　 二、量词命题的否定与求参数　【人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2】 1. 全称命题的否定 「∀x∈M，p(x)」的否定是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿：量词换、结论否、＿＿＿＿＿＿＿。 2. 存在命题的否定 「∃x∈M，p(x)」的否定是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3. 常见结论的否定 > 否成 ≤；= 否成 ≠；「都是」否成「不都是」；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 4. 否定与真假 原命题和它的否定＿＿＿＿，不会同时真、也不会同时假。 5. 含量词求参数 ∀ 恒成立 → ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；∃ 能成立 → 取最大值（或判别式≥0）。 📌 题型训练：量词命题的否定 例8　写出命题「∀x∈R，x2+1>0」的否定，并判断这个否定的真假。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例9　写出命题「∃x∈R，x2+2x+3=0」的否定。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例10　命题「所有的平行四边形对角线互相平分」的否定是（　） A．所有的平行四边形对角线都不互相平分　　B．存在一个平行四边形，它的对角线不互相平分　　C．存在一个平行四边形，它的对角线互相平分　　D．存在不是平行四边形的四边形，它的对角线不互相平分 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：人教A版必修第一册 P29—P32 · 1.5.2 方法（情境自编） 例11　若「至少有一个实数 x 使 x2−2x+a=0」的否定为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（否定与判别式 · 情境自编） 例12　已知命题「∀x∈[0，2]，x2−2x+a≤0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（恒成立取最大 · 情境自编） 例13　若「∃x∈R，x2+(a−1)x+1<0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（能成立与判别式 · 情境自编） 例14　若命题「∀x∈R，ax2+ax+1>0」为真，求实数 a 的取值范围。 【我的答案】＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我的批注：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ◎ 来源：高考常考题型（含参二次式 · 情境自编） ✍ 本节提醒（自己先写，再对照答案）　 小节 已掌握 ✔ 基本懂 △ 要重学 ✘ 疑问 / 重学日期 一 量词命题与真假 □ □ □ 二 量词命题的否定 □ □ □ ✎ 易错点 & 我的笔记（答题前先默写本节三个最容易错的地方） 彩色笔记 · 逻辑用语（二） ｜ 2027 届艺体生一轮复习 学科网（北京）股份有限公司 $