第9讲 函数的奇偶性与周期性 基础巩固练习-2027届高三数学第一轮复习（适用于艺体生）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性基础，通过填空梳理概念、结论与性质，分层练习覆盖判断、计算及综合应用，构建“概念-性质-应用”的递进式复习体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|定义+结论填空|奇偶性定义-图象-性质递进、周期性结论推导|从概念内涵到图象特征，再到性质应用的逻辑链| |分层练习|单选8/多选2/填空3/解答3|奇偶性判断、周期计算、单调性综合应用|基础题巩固概念，综合题强化性质关联与推理能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第8讲　函数的奇偶性与周期性 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2. 周期性 (1) 周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3. 重要结论 (1) 如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3) 函数周期性的三个常用结论： 对f(x)定义域内任一自变量的值x: 1　 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). 2　 若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). 3　 若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．（25-26高三下·天津·期末）下列函数是偶函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，的定义域为关于原点对称， 且，故只是奇函数，故A不合题意； 对于B，的定义域为关于原点对称， 且，故是偶函数，B符合题意； 对于C，的定义域为，关于原点对称， 且，故只是奇函数，故C不合题意； 对于D，的定义域为，关于原点不对称，故是非奇非偶函数，D不合题意. 2．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 3．（24-25高三上·湖北·期中）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案. 【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 由在上的图象，知它在上的图象如图所示， 则不等式的解集为. 故选：D. 4．（25-26高三下·广东·期末）若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由确定周期，即可求解. 【详解】因为，所以， 即函数的周期为4，故 . 当时， ，又，所以, 即，故选项D正确. 5．（25-26高三上·广东·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据奇偶性定义和求出周期，然后结合已知条件求解可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 又，所以， 所以，即， 所以是一个周期为4的周期函数， 所以， 因为当时，，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 6．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由奇偶性定义可求得为奇函数；利用奇函数性质可知，由此可求得结果. 【详解】设， ，为奇函数， 当时，， . 故选：D. 7．（23-24高三下·重庆·期末）若为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】由求出，代入，检验是否满足题意. 【详解】的自变量需满足， 解得：或， 若为偶函数，则， 所以，解得：， 所以， . 所以为偶函数，满足题意. 故选：B. 8．（25-26高三上·河南·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·陕西汉中·二模）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 【答案】ACD 【分析】用特值法可判断A、B；求出函数的定义域判断D；利用奇函数的定义既可判断C. 【详解】，故A正确； 由，得，故D正确． 因为，所以的最小值不是0，故B错误． 因为，所以是奇函数，故C正确． 故选：ACD. 10．（23-24高三下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B．是周期函数 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】利用函数的对称性、周期性与奇偶性，逐一分析各选项即可得解. 【详解】对于AB，因为是偶函数，所以，即， 又是定义在上的奇函数，所以， 于是，即， 所以是以4为一个周期的周期函数，故A错误，B正确； 对于C，设，则的定义域为， 因为，所以， 则， 即，所以为偶函数，故C正确； 对于D，设，则的定义域为， 因为，所以， 则， 即，所以为偶函数，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高三上·北京·开学考试）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 【答案】 1 0 【分析】由奇函数确定，再由最值确定. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，得，经验证符合； 所以，又恒成立， 所以恒成立， 所以，即. 故答案为：1； 0 12．（2025·黑龙江·三模）已知定义域为的函数满足，且，则______. 【答案】 【分析】由迭代法可得函数的周期性，利用赋值法，可得答案. 【详解】由，令代替，可得， 则，可得， 由，令，则， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高三下·河南·开学考试）若函数满足，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是偶函数，然后结合偶函数的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数满足，则是偶函数， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知函数是上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用奇函数的定义即可得到的解析式； （2）利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式即可. 【详解】（1）当时，，又当时，. ∴， 又函数是上的奇函数， ∴， ∴当时，； （2）∵函数是上的奇函数， ∴， 又当时，在上为增函数， 且函数是上的奇函数， ∴函数是上的增函数， ∴， ∴ 15．（25-26高三上·甘肃·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递减； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 证明：任取，，且， ， 因为，所以，，，， 所以，即， 所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）由，求解即可； （2）由函数单调性的定义求证即可； （3）由函数的单调性、奇偶性去求解即可. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验符合题意， 所以，所以，解得， 所以； （2）略 （3）因为，所以， 所以， 解得，即m的取值范围是. 16．（23-24高三下·辽宁·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)求的值. 【答案】(1)证明见解答 (2) (3) 【详解】（1）∵，∴， ∴是周期函数，且是其一个周期． （2）令，则，∴， 又是定义在上的奇函数，即， ∴在，， ∴，那么，那么， 由于的周期是，∴， ∴当时，． （3）当时，， ∴，， 当时，，， ∴， ∵是周期函数，且是其一个周期．又， ∴. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第8讲　函数的奇偶性与周期性 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称 2. 周期性 (1) 周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期. 3. 重要结论 (1) 如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝______;如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝______. (2) 奇函数在关于原点对称的区间上具有______的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有______的单调性. (3) 函数周期性的三个常用结论： 对f(x)定义域内任一自变量的值x: 1　 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝______(a>0). 2　 若f(x＋a)＝，则T＝______(a>0). 3　 若f(x＋a)＝－，则T＝______(a>0). ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．（25-26高三下·天津·期末）下列函数是偶函数的为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖北·期中）设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广东·期末）若定义在实数集上的偶函数满足和对任意恒成立，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26高三上·广东·期末）已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·重庆·期末）若为偶函数，则（    ） A． B．0 C． D．1 8．（25-26高三上·河南·期中）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·陕西汉中·二模）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 10．（23-24高三下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B．是周期函数 C．为偶函数 D．为奇函数 三、填空题 11．（24-25高三上·北京·开学考试）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________． 12．（2025·黑龙江·三模）已知定义域为的函数满足，且，则______. 13．（23-24高三下·河南·开学考试）若函数满足，则__________. 四、解答题 14．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知函数是上的奇函数，当时，. （1）当时，求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 15．（25-26高三上·甘肃·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递减； (3)若，求m的取值范围. 16．（23-24高三下·辽宁·阶段检测）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时. (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)求的值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $