第10讲 函数的对称性及其应用 基础巩固练习-2027届高三数学第一轮复习（适用于艺体生）

**基本信息** 聚焦函数对称性基础概念与应用，以"概念-结论-应用"逻辑链构建体系，通过填空巩固与分层练习，培养抽象能力与推理意识，适合基础薄弱学生一轮复习夯实基础。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重知识·牢地基|4个知识点（含4个常用结论）|对称性等价转化（如f(a+x)=f(a-x)⇔对称轴x=a）|从奇偶函数对称基础到函数自身及两函数对称，形成概念-性质-结论递进| |强练习·熟应用|15题（单选8/多选2/填空2/解答3）|对称性质在求值、图像变换、不等式中的应用|结论应用于不同题型，培养推理与应用意识，覆盖高考高频考法|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第10讲　函数的对称性及其应用 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a;若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为(a，0). 2. 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称; 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称. 3. 两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称; (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称; (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称. 4. 对称性的四个常用结论 (1) y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于x＝a对称. (2) y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. (3) 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4) 若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 2．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得， 因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A. 3．定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质结合函数的对称性求解即可. 【详解】由题意得函数是奇函数，则关于对称， 另知函数和的图象关于轴对称，故关于对称， 故选：D 4．函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据幂函数的性质及函数平移规则得解； 【详解】因为，由向上平移一个单位得到， 又关于对称，所以关于对称； 故选：B 5．定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 6．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 7．已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出的周期为和函数关于对称，进而求出的值，即可求出答案. 【详解】由可得：， 所以函数的周期为，由可得函数关于对称， 所以，又，， 所以，又，， ，， 所以 故选：B. 8．已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性的性质结合条件求出函数的解析式，再根据，可得函数在上递减，再根据函数的单调性分和列不等式求的取值范围. 【详解】因为函数是奇函数，是偶函数， 所以，， 又， 则； ∴，若对任意，都有， 即成立， 令，则函数在区间上单调递减； 当时，，则函数在区间上单调递减，符合题意． 当时，为二次函数，图像关于对称． 因为函数在上递减， 所以或，解得：或． 综上：a的取值范围是． 故选：C． 二、多选题 9．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．时， C． D．函数有对称轴 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C、D. 【详解】因为，所以， 则，所以，故A正确； 又当时，， 则当时，，，故B不正确； 由，可得函数的周期为6， 可得， 又函数是上的奇函数，则， 所以，即， 所以，故C正确； 由A选项知，，又， 则，所以函数有对称轴，故D正确. 故选：ACD. 10．定义在R上的函数，关于点对称，恒有，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A．直线是的对称轴 B．周期 C．函数在上单调递增 D． 【答案】AC 【解析】由关于点对称，可知关于点对称，由，可知关于直线轴对称，所以周期周期，再利用在上单调递减，即可判断每个选项. 【详解】因为，所以直线是的对称轴，故选项A正确. 关于点对称，所以函数关于点对称，又因为对称轴，所以周期，故选项B错误. 直线是的对称轴，且函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，周期，所以函数在上单调递增，故选项C正确. 因为周期，，则，选项D错误， 故选： 三、填空题 11．写出一个同时具有下列性质①②的函数________． ①；②在上是增函数． 【答案】（答案不唯一，形如都可以） 【分析】取验证①②即可. 【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②； 对任意的、，，满足①. 故答案为：（答案不唯一，形如都可以）. 12．已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则_________. 【答案】2 【分析】根据条件可得，函数是周期为的偶函数，即可得到 ，从而得到结果. 【详解】因为的图像关于对称，所以的图像关于对称， 即是偶函数. 对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以. 所以，即是周期为4的周期函数. 所以. 故答案为: 四、解答题 13．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：曲线关于直线对称； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明:因为， 所以， 又， 所以，即曲线关于直线对称. (3) 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域求解即可； （2）验证即可求证； （3）根据对数型复合函数的单调性，及曲线关于直线对称求解不等式即可. 【详解】（1）由，解得或， 故的定义域为. （2）略； （3）对于函数，其在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 由（2）知，曲线关于直线对称， 要使，需满足，且， 解得. 14．已知函数为常数. (1)若，证明：的图象关于点对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，， 所以， 所以的图象关于点对称； (2) 【分析】（1）根据函数的对称性计算的值，即可判断结论； （2）将不等式转化为恒成立，利用分式变形结合函数的单调性求解最值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2），不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 即，不等式恒成立， 而， 令，则恒成立， 由对勾函数函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，故的取值范围是. 15．已知函数是奇函数. (1)求的值，并解关于的不等式； (2)求函数图象的对称中心. 【答案】(1)，不等式的解集为 (2) 【分析】（1）由求出的值，并验证函数为奇函数，然后利用指数函数的单调性解不等式即可； （2）计算得出，即可得出结论. 【详解】（1）解：对任意的，，故函数的定义域为， 又因为函数为奇函数，则，解得， 所以，，下面验证函数为奇函数， ，故函数为奇函数， 由，得，即， 所以，，解得， 因此，不等式的解集为. （2）解：，则， 所以，， 因此，函数图象的对称中心为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第10讲　函数的对称性及其应用 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于_______对称，偶函数的图象关于_______对称. (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为_______;若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为_______. 2. 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称; 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点_______对称. 3. 两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_______对称; (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_______对称; (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_______对称. 4. 对称性的四个常用结论 (1) y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于_______对称. (2) y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点_______对称. (3) 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线_______对称. 特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线_______对称. (4) 若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点_______对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点_______对称. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 2．与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 5．定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 8．已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．时， C． D．函数有对称轴 10．定义在R上的函数，关于点对称，恒有，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A．直线是的对称轴 B．周期 C．函数在上单调递增 D． 三、填空题 11．写出一个同时具有下列性质①②的函数________． ①；②在上是增函数． 12．已知函数对满足，且，若的图像关于对称，，则_________. 四、解答题 13．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：曲线关于直线对称； (3)若，求的取值范围. 14．已知函数为常数. (1)若，证明：的图象关于点对称； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．已知函数是奇函数. (1)求的值，并解关于的不等式； (2)求函数图象的对称中心. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $