第09讲 电磁感应与电路讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习电磁感应专题（全国通用）

第09讲 电磁感应与电路 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：感生电动势的电路问题 5 题型02：动生电动势的电路问题 28 （一）导体棒平动切割磁感线 28 （二）线框平动切割磁感线 54 （三）导体棒转动切割的电路问题 65 （四）线框转动切割磁感线 94 题型03：通过导体的电量问题 98 题型04：电磁感应中的含电容电路 110 1.高考定位：电磁感应的基础综合题型，必考载体，选择题、计算题都高频出现；单杆、线框、磁场变化模型几乎都会落到电路计算，属于中档题，是电磁感应综合大题的第一步。 2.核心考向 ①电源判断：哪部分是感应电源、区分内电路、外电路 ②电动势计算：动生 E=BLv、感生E＝n ③电路结构：串并联、分压分流、路端电压、电势高低 ④电量、电功率、焦耳热、各支路电流电压计算 ⑤结合图像、动力学、动量、能量综合设问 3.命题陷阱 ①误把切割导体当成纯外电阻；导体本身有电阻，是电源内阻 ②分不清电势：电源内部电流从低电势→高电势 ③线框进出磁场、多根导体切割时，双电源同向/反向叠加判断错误 ④求焦耳热随便用平均电动势，热量只能用有效值，平均电动势只用来算电荷量 4.分 值：选择6分；计算题一般4～8分，经常作为第一问铺垫。 1.会识别感应电源：切割的导体棒 / 磁通量变化的线圈为电源，分清内阻、外电路。 2.熟练选用两个电动势公式，区分平均电动势、瞬时电动势的用途。 3.能画出等效电路图，分析串并联，会判断各点电势高低。 4.掌握路端电压、电流、电功率、电荷量的计算公式，分清适用条件。 5.能处理双电源（两根杆切割）同向、反向串联的电路问题。 6.规范书写大题步骤，规避平均值、有效值混用的错误。 知识点一：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中的电源 (1)对电源的理解： 在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻。用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极。 (2)对电路的理解： 内电路是切割磁感线的导体棒或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处，在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。 (3)对路端电压的理解： “电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。 注意事项：电源两端电压U＝E－Ir＝IR，是路端电压，不是感应电动势E，也不是内电压Ir。 2.分析电磁感应电路问题的基本思路 3.电磁感应中电路知识的关系图 4.电路问题考点 ⑴感应电动势的计算：包括动生和感生电动势的公式应用，结合导体运动状态、磁场变化情况选择合适的公式 ⑵电路参量的求解：利用闭合电路欧姆定律、串并联电路规律，计算感应电流、路端电压、电功率等物理量 ⑶电路能量转化的分析：考查能量守恒定律在电磁感应电路中的应用，计算焦耳热、机械能变化量等 5.电路问题解题方法 ⑴等效电源法：将产生感应电动势的导体或线圈视为等效电源，明确其电动势和内阻，再结合恒定电路知识分析外电路的电压、电流 ⑵能量守恒法：从能量转化角度分析，导体机械能的减少量等于电路中产生的焦耳热（纯电阻电路），适用于分析能量转化类问题 ⑶微元法：对于导体运动过程中电阻或电动势变化的问题，取微小时间段或位移，近似为恒定状态进行分析，再累加得到整体结果 知识点二：电磁感应中电荷量的计算 利用计算电荷量的导出公式q=n可以快速求解选择题： 设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式=及法拉第电磁感应定律有=n，得q=Δt=Δt=Δt=，即q=n。 注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。 知识点三：电磁感应中的图像问题分析 1.解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、i－t图像、F－t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像。 2.常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。 (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。 一：解题策略（五步标准流程） 口诀：找电源→定内阻→画等效电路→算电动势→电路求解 S1. 找感应电源 动生：导体棒切割磁感线，棒是电源； 感生：磁场变化，整个线圈是电源。 右手定则/楞次定律：判断电源内部电流方向 → 电源正极（电势高的一端）。 S2. 拆分内阻、外阻 导体棒/线圈自身电阻 = 电源内阻 r；其余电阻全部属于外电路，梳理串并联。 S3. 画出等效电路图（大题强烈建议画，减少失误） S4. 选对电动势 ①求某时刻电流、电压：瞬时电动势 E=BLv ②求通过导体的电荷量：平均电动势 S5. 电路计算 闭合电路欧姆定律、串并联规律、电功率、电热； 双杆切割：两个电源，同向相加、反向相减，再算总电动势。 二：高频易错汇总 1. 电源内部：电流从负极流向正极；外部：正极流向负极。 2. 平均电动势只能求电荷量，不能用来算电热、功率。 3. 多导体切割：两个电源反向时总电动势相减，容易直接相加。 4. 线框全部在匀强磁场匀速运动：磁通量不变，E=0，无电流。 5. 安培力里的电流是电路实际电流，求总电阻要包含内阻。 题型01：感生电动势的电路问题 【典型例题1】轻质细线吊着一质量为m＝1kg、边长为0.2m、电阻R＝1Ω、匝数n＝10的正方形闭合线圈abcd，bd下方区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。不考虑线圈的形变和电阻的变化，整个过程细线未断且线圈始终处于静止状态，g取10m/s2。则下列判断正确的是（　　） A．线圈中感应电流的方向为adcba B．线圈中的感应电流大小为0.2A C．0~2s 时间内线圈中产生的热量为0.02J D．6s 时线圈受安培力的大小为N 【答案】C 【解析】A．磁感应强度向里并且增大，由楞次定律可得，感应电流产生的磁场垂直纸面向外，线圈中感应电流的方向为逆时针，即abcda，故A错误； B．线圈中的感应电流大小 假设线框边长为l，则 联立两式代入数据解得故B错误； C．0~2s时间内金属环产生的热量为故C正确； D线圈的bcd部分在匀强磁场中受到安培力，受到安培力的大小等效为bd直棒受到的安培力，6s 时线圈受到的安培力故D错误。 故选C。 【典型例题2】如图1所示，为定值电阻，虚线框的四个结点之间接有四个理想二极管，两金属圆环固定在同一绝缘平面内，外环与电路连接，内环存在一个小缺口，电路左端连接在一周期为的正弦交流电源上．由于外环中的电流变化，内环中a、b两点间会产生电势差，规定a端电势高于b端时，a、b间的电压为正，若随t变化的图像如图2所示，则四个结点间二极管的可能接法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，电路接在正弦交流电源上，周期为，内环中a、b两点间产生的感应电动势的周期为，结合法拉第电磁感应定律可知，内圆环中感应电动势的大小与外圆环中电流的变化率成正比，故外环中的电流变化如图所示 故选B。 【典型例题3】在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1000匝，横截面积S＝20 cm2，螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是(　　) A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V B．闭合S，电路中的电流稳定后，电容器下极板带负电 C．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10－2 W D．S断开后，流经R2的电量为1.8×10－2 C 【答案】　C 【解析】　根据法拉第电磁感应定律：E＝n＝nS，解得：E＝0.8 V，A错误；根据楞次定律可知，螺线管的感应电流盘旋而下，则螺线管下端是电源的正极，电容器下极板带正电，B错误；根据闭合电路欧姆定律，有：I＝＝0.08 A，根据P＝I2R1得：电阻R1的电功率P＝2.56×10－2 W，C正确；S断开后，流经R2的电量即为S闭合时电容器极板上所带的电量Q，电容器两极板间的电压为：U＝IR2＝0.4 V，流经R2的电量为：Q＝CU＝1.2×10－5 C，D错误。 【典型例题4】（多选）如图所示，位于水平面内、间距为的光滑平行导轨和的左端接有最大阻值为的电阻箱。与虚线之间存在一个边长为的正方形磁场区域，方向竖直向上，磁感应强度；虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量为、长为、电阻为的金属棒静止于右侧处，下列说法正确的是（　　） A．若，金属棒固定，则电阻箱消耗的最大功率为 B．若并将电阻箱调至时起拉动金属棒以的加速度向右做匀加速直线运动，则时金属棒消耗的电功率为 C．若并将电阻箱调至时起拉动金属棒以的加速度向右做匀加速直线运动，则内通过金属棒的电荷量为 D．若且时起拉动金属棒以的速度向左匀速直线运动，则在金属棒运动至之前，电阻箱中始终无电流通过 【答案】CD 【解析】A．回路中的感生电动势 当电阻箱阻值为时，消耗功率最大，最大功率为 ，故A错误； B．金属棒切割磁感线产生的电动势 时回路的电动势为，由欧姆定律可知，电流为 金属棒消耗的电功率为，故B错误； C．回路中电流随时间变化规律为 则通过金属棒的电荷量为，故C正确； D．若时起拉动金属棒以的速度向左匀速直线运动，且，则在金属棒运动至之前，有， 感应电流方向相反，则电阻箱中无电流通过，故D正确。 故选CD。 【典型例题5】（多选）如图所示，、、、为边长为l、用均匀导线做成的正方形线框四边的中点，线框的一半放在垂直于纸面向外的匀强磁场中，当磁场以的变化率增强时，下列说法正确的是（　　） A．线框中感应电流方向为 B．点电势低于点电势 C．线框中产生的感应电动势 D．线框中、两点间的电势差为 【答案】AB 【解析】A．当磁场增强时，由楞次定律可判定感应电流的方向为，A正确； B．线框上半部分为等效电源，在电源内部，电流从电源的负极流向正极，故点电势低于点电势，B正确； C．由法拉第电磁感应定律得，C错误； D．线框中、两点的电势差的绝对值为电动势的一半，点电势低于点电势，则、两点的电势差为，D错误。故选AB。 【典型例题6】嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。 (1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0； (2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0； (3)求船舱匀速运动时的速度大小v； (4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。 【答案】　(1)Blv0　(2)　(3) (4)　 【解析】　(1)电动势E0＝Blv0 (2)等效电路图如图所示，可得总电阻R＝2r 电流I0＝＝。 (3)船舱匀速运动时线框受到安培力FA＝ 根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F＝FA，方向竖直向上 匀速运动时有F＝ 联立解得v＝。 (4)船舱匀速运动时电容器不充放电， 故v′＝v＝ 则I＝＝ UC＝I×3r＝ 则q＝CUC＝。 【变式训练1-1】将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为，小圆面积均为，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小，和均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由法拉第电磁感应定律可得大圆线圈产生的感应电动势 每个小圆线圈产生的感应电动势 由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为 故D正确，ABC错误。 故选D。 【变式训练1-2】三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为 面积为 同理可知正方形线框的周长和面积分别为 ， 正六边形线框的周长和面积分别为 ， 三线框材料粗细相同，根据电阻定律 可知三个线框电阻之比为 根据法拉第电磁感应定律有 可得电流之比为： 即 故选C。 【变式训练1-3】如图甲，光滑平行导轨水平放置，电阻不计。两导轨间距，导体棒放在导轨上，并与导轨垂直。每根棒在导轨间部分的电阻均为，质量均为，用长为的绝缘丝线将两棒系住整个装置处在竖直方向的磁场中，取向上为正方向。时刻，丝线刚好伸直且没有拉力，丝线最大能承受的拉力，磁场从此时刻开始按如图乙所示规律变化。不计感应电流磁场的影响，在整个研究过程中导体棒没有碰撞。则下列说法正确的是（　　） A. 的时间内电路中电流为顺时针方向，以后电流为逆时针方向 B. 的时间内，电路中感应电流的大小为 C. 的时间内丝线所受到的拉力先变大后变小 D. 在时两导体棒均以的加速度在运动 【答案】B 【解析】AB．从图像可知，， 则 始终为顺时针方向，故错误，B正确； CD．由于电路中电流恒定，在磁场最强时安培力最大，则 故不会被拉断，电流为恒定电流，在内，安培力随的变化而变化，逐渐减小，在时，由于两棒所受安培力大小相等，方向相反，两棒所受合力为0且丝线不会被拉断，即两棒应静止，故CD错误。 【变式训练1-4】如图甲所示，在虚线所示的区域有垂直纸面向里的磁场，磁场变化规律如图乙所示，面积为S的n匝金属线框处在磁场中。线框与电阻R相连，若金属框的电阻为，下列说法正确的是（　　） A．线框面积将有扩大趋势 B．流过电阻R的感应电流方向由b到a C．a、b间的电压为 D．a、b间的电压为 【答案】D 【解析】A．由于磁场增强，根据“增缩减扩”原理可知，线框面积将有缩小的趋势，A错误； B．根据楞次定律可知，流过电阻R的感应电流方向由a到b，B错误； CD．据法拉第电磁感应定律，可知回路产生的感应电动势 由欧姆定律可知，电路中的电流 故a、b间的电压为 C错误，D正确。 故选D。 【变式训练1-5】如图所示半径为R的虚线圆内，存在垂直纸面向里磁感应强度大小为（）的有界匀强磁场。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。长度为2R的导体棒ac与虚线圆交于a、b两点，其中b为ac的中点。则（　　） A．a点的电势比b点高 B．b、c两点的电势相等 C．a、b两点间的电动势大小为 D．a、c两点间的电动势大小为 【答案】C 【解析】AB．磁场，向里增强，由楞次定律，涡旋感生电场为逆时针方向，感生电场沿导体棒的分量沿 非静电力（感生电场）将正电荷推向右端，因此电势，A、B错误； C．根据法拉第电磁感应定律，构造闭合回路，感生电场是同心圆，、为半径，感生电场沿切线方向，因此、上的电动势为0 回路总电动势等于棒的电动势，C正确； D．对段（，在原点），（到的距离）时感生电场大小，感生电场沿分量 段电动势 因此总电动势 ，D错误。 故选C 。 【变式训练1-6】如图所示，匝数n=100匝、面积、电阻r=1Ω的圆形线圈固定在磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律为，其中，ω=5rad/s。定值电阻R=9Ω，电表均为理想交流电表，二极管为理想二极管，下列说法正确的是（　　） A．线圈产生的电动势最大值为V B．电流表的示数为A C．电压表的示数为V D．定值电阻R的电功率为W 【答案】D 【解析】A．根据法拉第电磁感应定律，线圈产生的感应电动势最大值为，解得，故A错误； B．若电路中没有二极管，回路中的交变电流有效值为 由于二极管具有单向导电性，电路中只有半个周期有电流流过。电流表显示的是有效值，设电流表的示数为，根据电流有效值的定义有 解得，故B错误； C．电压表测量的是定值电阻两端电压的有效值，其示数为，故C错误； D．定值电阻的电功率为，故D正确。 故选D。 【变式训练1-7】如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀的增大到2B，在此过程中，线圈中产生的感应电动势为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在此过程中，线圈中的磁通量改变量大小 根据法拉第电磁感应定律 故选B。 【变式训练1-8】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆轨道所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】流过电路的电荷量q=，在过程Ⅰ中，ΔΦ1=B(πr2-πr2)=Bπr2，在过程Ⅱ中，ΔΦ2=(B'-B)πr2，又q1=q2，即Bπr2=(B'-B)πr2，所以=，故选B。 【变式训练1-9】（多选）如图甲所示，轻质细线吊着一质量、边长、匝数的正方形线圈，线圈总电阻。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A. 内穿过线圈磁通量的变化量为 B. 线圈中产生的感应电流的大小为 C. 时轻质细线的拉力大小为 D. 内线圈产生的焦耳热为 【答案】BC 【解析】 内穿过线圈磁通量的变化量为 ，A项错误；由法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路的欧姆定律可得线圈中的感应电流大小为，B项正确；根据图乙可知，t=3s时磁感应强度为B=1T 线圈受到的安培力大小为：F安=nBIL=5×1×1×1N=5N 方向竖直向上，则轻质细线的拉力大小为，C项正确；0～4s内线圈产生的焦耳热为Q=I2rt=12×0.5×4J=2J，D项错误。 【变式训练1-10】（多选）如图甲所示，一单匝带缺口（缺口很小）的刚性金属圆环固定在水平面内，圆环阻值，缺口两端引出两根导线，与阻值的定值电阻构成闭合回路，圆环内的磁通量变化如图乙所示，规定磁通量方向向里为正，不计导线的电阻，下列说法正确的是（　　） A．0~1s内圆环中的感应电流方向沿顺时针方向 B．0~1s和1~2s内感应电流方向相同 C．2~4s内，电阻R两端电压 D．0~1s内圆环有扩张趋势，且感应电流大小为0.2A 【答案】AB 【解析】A．0~1s内，磁通量减小，由楞次定律可知，感应磁场与原磁场方向相同，根据右手螺旋定则可知，感应电流方向为顺时针，故A正确； B．1~2s内，磁通量反向增加，根据楞次定律可知，感应磁场与原磁场方向相反，根据右手螺旋定则可知，感应电流方向为顺时针，与0~1s内电流方向相同，故B正确； C．2~4s内，由法拉第电磁感应定律可得 由闭合电路欧姆定律可得 由楞次定律“增反减同”和右手螺旋定则可知，电流为逆时针方向。所以电阻R两端电压，故C错误； D．根据楞次定律“增缩减扩”可知，0~1s内圆环有扩张趋势。由法拉第电磁感应定律可得 由闭合电路欧姆定律可得，故D错误。 故选AB。 【变式训练1-11】（多选）在如图甲所示的电路中，电阻，圆形金属线圈半径为，线圈导线的电阻也为R，半径为的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场。磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横，轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是（　　） A．电容器下极板带正电 B．线圈中产生的感应电动势的大小为 C．稳定后线圈两端的电压为 D．时间内流过R1的电量为 【答案】AC 【解析】由楞次定律知圆形金属线圈中的感应电流方向为顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，A正确；由法拉第电磁感应定律知感应电动势为，B错误；由闭合电路欧姆定律得感应电流为稳定后线圈两端的电压为， C正确；t0时间内流过R1的电量为，D错误 【变式训练1-12】（多选）如图所示，A、B两闭合线圈为同样导线绕成，A有10匝，B有20匝，两圆线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内。当磁场随时间均匀减弱时(　　) A.A中无感应电流 B.A、B中均有恒定的感应电流 C.A、B中感应电动势之比为2∶1 D.A、B中感应电流之比为1∶2 【答案】BD 【【解析】当磁场随时间均匀减弱时，根据法拉第电磁感应定律E＝n＝nS，可知A、B两闭合线圈中均产生恒定不变的感应电动势，则A、B中均有恒定的感应电流，故A错误，B正确；当磁场随时间均匀减弱时，根据法拉第电磁感应定律有E＝n＝nS有效∝n，则A、B中感应电动势之比为＝＝＝，故C错误；根据电阻定律知，线圈电阻为R＝ρ＝ρ＝∝nr，可得A、B两闭合线圈的电阻之比为＝·＝×＝，根据I＝，可得A、B中感应电流之比为＝＝，故D正确。 【变式训练1-13】（多选）如图1所示，在平面内存在一以O为圆心、半径为r的圆形区域，其中存在一方向垂直平面的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图2所示，周期为。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。在同一平面内，有以O为圆心的半径为的导电圆环I，与磁场边界相切的半径为的导电圆环Ⅱ，电阻均为R，圆心O对圆环Ⅱ上P、Q两点的张角；另有一可视为无限长的直导线CD。导电圆环间绝缘，且不计相互影响，则（　 ） A. 圆环I中电流的有效值为 B. 时刻直导线CD电动势为 C. 时刻圆环Ⅱ中电流为 D. 时刻圆环Ⅱ上PQ间电动势为 【答案】BD 【解析】由题图可知，在内和内圆环I中的电流大小均为根据法拉第电磁感应定律可知， 在内圆环I中的电流大小为 设圆环I中电流的有效值为，根据有效值定义可得 联立解得，选项A错误；设右侧又一无限长的直导线对称的无限长的直导线与构成回路，则时刻，、回路产生的总电动势为 根据对称性可知时刻直导线CD电动势为，选项B正确；由于圆环Ⅱ处于磁场外部，通过圆环Ⅱ的磁通量一直为0，所以圆环Ⅱ不会产生感应电流，则时刻圆环Ⅱ中电流为0，选项C错误；以O点为圆心，过程P、Q两点圆轨道，在时刻产生的电动势为 则P、Q两点间圆弧的电动势为。由于P、Q两点间圆弧与圆环Ⅱ上PQ构成回路不会产生感应电流，则圆环Ⅱ上PQ间电动势，选项D正确。 【变式训练1-14】（多选）如图所示，一实验小组利用传感器测量通电螺线管的磁场随时间变化的实验规律，测得螺线管的匝数为n=30匝、横截面积S=20 cm2，螺线管电阻r=1 Ω，与螺线管串联的外电阻R=5 Ω。穿过螺线管的磁场的方向如图甲所示，磁感应强度按图乙所示的规律变化(以磁场方向向左为正方向)，则t=4 s时(　　) A.通过R的电流方向为N→M B.通过R的电流为1 mA C.R的电功率为2×10-5 W D.螺线管两端M、N间的电势差UMN=10 mV 【答案】AC 【解析】由题图乙可知，通过螺线管的磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流产生的磁场方向与原磁场方向相反，结合安培定则可知，通过R的电流方向为N→M，A正确；根据法拉第电磁感应定律可知，电路中的感应电动势E=n=30×2×10-1×20×10-4 V=1.2×10-2 V，结合闭合电路的欧姆定律可得感应电流I== A=2 mA，B错误；根据P=I2R，代入数据解得定值电阻的电功率为P=(2×10-3)2×5 W=2×10-5 W，C正确；由以上分析可知螺线管N端等效于电源正极，由闭合电路欧姆定律可得螺线管两端M、N间的电势差UMN=-IR=-2×5 mV=-10 mV，D错误。 【变式训练1-15】（多选）在如图甲所示的电路中，电阻2R1＝R2＝2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2<r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，其余导线的电阻不计。闭合开关S，在t0时刻，电路中的电流已稳定。下列说法正确的是(　　) A．流过电阻R1的电流方向自下向上 B．稳定后电阻R1两端的电压为 C．稳定后M、N两点间的电压为 D．0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】由题图乙可知磁感应强度随着时间均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中感应电流方向为逆时针，则流过电阻R1的电流方向自上向下，故A错误；根据法拉第电磁感应定律有E＝，S＝πr22，＝＝，解得E＝，根据闭合电路欧姆定律，当稳定后M、N两端电压为外电压U外＝E＝，C错误；电阻R1两端的电压U1＝E＝，故B正确；根据闭合电路欧姆定律，稳定后电路中的电流I＝＝，根据焦耳定律，在0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热Q2＝I2R2t0＝，故D正确。 【变式训练1-16】（多选）如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k＞0)。回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝。闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则(　　) A.R2两端的电压为 B.电容器的a极板带正电 C.滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍 D.正方形导线框中的感应电动势为kL2 【答案】　AC 【解析】由法拉第电磁感应定律E＝n＝nS有E＝kπr2，D错误；因k＞0，由楞次定律知线框内感应电流沿逆时针方向，故电容器b极板带正电，B错误；由题图知外电路结构为R2与R的右半部并联，再与R的左半部、R1相串联，故R2两端电压U2＝U＝，A正确；设R2消耗的功率为P＝IU2，则R消耗的功率P′＝2I×2U2＋IU2＝5P，故C正确。 【变式训练1-17】（多选）如图甲所示的电路中，螺线管线圈的匝数为n、横截面积为S0、电阻为R，定值电阻的阻值为4R，电动机绕线电阻为R，穿过螺线管线圈磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(取向上为正方向)。在0~t0时间内电动机不转动，t0~2t0时间内电动机正常转动且螺线管线圈中的电流变为0~t0时间内螺线管线圈中的电流的2.4倍。下列说法正确的是(　　) A.0~t0时间内C点电势高于A点电势 B.0~t0时间内流过螺线管线圈的电流为 C.在t0~2t0时间内电动机两端的电压为 D.在t0~2t0时间内流过电动机的电流为 【答案】BC 【解析】0~t0时间内，B均匀增大，根据楞次定律，可判断出线圈中的感应电流方向为顺时针(从上向下看)，则A点电势高于C点电势，A错误；0~t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E=n=n，并联电路的电阻为R并==，流过螺线管线圈的电流为I==，B正确；在t0~2t0时间内螺线管中产生的感应电动势为E'=n=n，电动机两端的电压为U=E'-2.4IR=，C正确；在t0~2t0时间内流过定值电阻的电流为I1==，流过电动机的电流为I2=2.4I-I1=，D错误。 【变式训练1-18】一粗细均匀、总电阻为R、边长为L的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。求在时间段内： (1)该线圈中产生的电热Q； (2)通过该线圈截面的电量q。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律 可得在时间段内，该线圈中产生的感应电动势 在时间段内，该线圈中产生的感应电动势 因此，时间段内，该线圈中产生的电热 （2）在时间段内，通过该线圈的电量 联立解得 【变式训练1-19】如图甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d=0.5m，电阻不计，左端通过导线与阻值R=2Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL=4Ω的小灯泡L连接．在CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，CE长l=2m，有一阻值r=2Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处．CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．在t=0至t=4s内，金属棒PQ保持静止，在t=4s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动．已知从t=0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求： （1）通过小灯泡的电流； （2）金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小． 【答案】（1）0.1A （2）1m/s 【解析】（1）0～4s内，电路中的感应电动势：E==·S=×0.5×2V=0.5V[来源:Zxxk.Com] 此时灯泡中的电流：IL===A=0.1A （2）由于灯泡亮度没有变化，故IL没变化． 根据E′=Bdv I′==，UL=I′·，IL= 解得v=1m/s 【变式训练1-20】在学校举办的高楼落蛋活动中，为保证鸡蛋从高处落地后能完好无损，小明设计了如图甲所示的装置．装置下端安装了一个横截面(俯视)如图乙所示的磁体，其内、外分别为圆柱形和圆筒形，两者固定在一起，且两者间存在沿径向向外的磁场，不考虑磁体在其他区域产生的磁场．圆筒形磁体与两条平行金属导轨AH和BG固定在一起，CDFE是一个金属线框，DF、CE被约束在导轨的凹槽内，可沿导轨无摩擦地滑动，线框CD的正中间接有一个半径为r(r略大于圆柱形磁体的半径)、匝数为N、总电阻为R的线圈，EF之间接有一只装有鸡蛋的铝盒，铝盒的电阻也为R.导轨上方固定有一根绝缘细棒HG.细棒与铝盒间连接了一根劲度系数为k的轻质绝缘弹簧．小明将该装置置于距离水平地面高h(h远大于装置自身高度)处，并保持导轨竖直，待铝盒静止后将弹簧锁定，此时线圈恰好位于磁体上边界处．现由静止释放装置，整个装置竖直落到水平地面上后弹簧立即解除锁定，且磁体连同两导轨和绝缘棒HG的速度立即变为零．已知线框CDFE(含线圈、铝盒、鸡蛋)的总质量为m，线框第一次运动到最低点时弹簧的形变量是装置刚落地时的两倍，此时EF仍未进入磁场，线圈所在处的磁感应强度大小均为B，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，除线圈和铝盒外，线框其他部分的电阻不计，忽略空气阻力．求： (1)落地时线圈切割磁感线产生的感应电动势E以及线圈中感应电流的方向(俯视)； (2)从落地到线框最终静止的过程中，回路产生的总焦耳热Q； (3)从落地到线框第一次运动到最低点的过程中，通过回路某截面的电荷量q. 【答案】　(1)2πNBr·　顺时针　(2)mgh　(3) 【解析】　(1)根据右手定则可知，线圈中的感应电流方向为顺时针，落地时线圈切割磁感线产生的感应电动势为 E＝NvLB，L＝2πr， mgh＝mv2 解得E＝2πNBr· (2)由于待铝盒静止后将弹簧锁定，则从落地到线框最终静止的过程中，根据动能定理有mgh－Q＝0 (3)线框CDFE(含线圈、铝盒、鸡蛋)静止时有mg＝kx1 由题知线框第一次运动到最低点时弹簧的形变量是装置刚落地时的两倍，则说明线框刚落地到最低点下落的距离为x1，根据法拉第电磁感应定律有E＝N＝N 则通过回路某截面的电荷量 q＝·Δt＝N 整理后有q＝. 【变式训练1-21】如图所示，与为间距的平行导轨，导轨的上部分水平长度，下部分足够长且处于倾角的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值的电阻，水平部分处于竖直方向的匀强磁场中，时刻开始，磁感应强度从0开始均匀增大；倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度的匀强磁场中。在时将一质量、电阻的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好不上滑，金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在时磁感应强度不再变化，此时给金属棒一个沿斜面向下的拉力F使金属棒从静止开始运动，拉力F的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为，其中k为定值。已知金属棒运动后测得电阻R两端的电压随时间均匀增大，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度g取，，。 (1)取磁感应强度竖直向上为正方向，请描绘出随时间变化的图线（需要写出关键坐标点与计算过程）； (2)求时拉力的大小F； (3)求到时间内通过金属棒的电荷量。 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）金属棒恰好不上滑，根据平衡条件有 解得 由左手定则可得，电阻R中电流方向由P指向N，由楞次定律可知，磁感应强度应竖直向上均匀增大 时，电阻R中的电流大小为，根据法拉第电磁感应定律有 又 解得 时 由题意磁场随时间的变化图线为 （2）金属棒在倾斜导轨上向下运动时，由 可知 金属棒速度为v时，电阻R两端的电压 已知金属棒运动后测得电阻R两端的电压随时间均匀增大，可知v与时间t成正比，金属棒在倾斜导轨上做匀加速运动，金属棒在倾斜导轨上运动时受到的安培力大小，， 由牛顿第二定律有 代入数据有 由于a不随v变化，故有 可得 金属棒运动的加速度大小 时，金属棒的速度大小 此时 （3）到时间内金属棒在倾斜导轨上下滑的距离 此段时间内通过金属棒的电荷量 【变式训练1-22】如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m。在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好独立匀速通过整个磁场区域，重力加速度g取10 m/s2，导轨电阻不计。求： (1)ab在磁场中运动的速度大小v； (2)在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比。 【答案】：(1)1 m/s　(2)4 【解析】：(1)由mgs·sin θ＝mv2 得v＝＝1 m/s。 (2)金属棒从释放到运动至M1P1的时间 t＝＝0.2 s 在t1＝0.1 s时，金属棒还没进入磁场， 有E1＝＝Ld＝0.6 V 此时，R2与金属棒并联后再与R1串联 R串＝3 Ω U1＝R1＝0.4 V 由题图乙可知，t＝0.2 s后磁感应强度大小保持不变，ab经过磁场的时间t′＝＝0.2 s 故在t2＝0.25 s时，ab还在磁场中运动，电动势E2＝BLv＝0.6 V 此时R1与R2并联，R总＝3 Ω，得R1两端电压U1′＝0.2 V 电功率P＝，故在t1＝0.1 s和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率比值＝＝4。 题型02：动生电动势的电路问题 （一）导体棒平动切割磁感线 【典型例题1】如图所示，间距为L且足够长的金属导轨固定在水平面上，导轨电阻忽略不计，竖直向下的匀强磁场范围足够大，磁感应强度为B。导轨左端用导线连接阻值为R的定值电阻，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，与导轨接触良好。导体棒从导轨的最左端以速度v匀速向右运动的过程中（   ） A．回路中的电流逐渐变大 B．回路中电流方向沿顺时针（俯视） C．导体棒两端的电压大小为 D．导体R的发热功率先变大后变小 【答案】C 【解析】A．导体棒匀速运动切割磁感线，则可知产生的感应电动势为 由闭合电路的欧姆定律可得回路中的电流为 则可知回路中的电流不变，故A错误； B．根据楞次定律结合安培定则可知，回路中电流方向沿逆时针（俯视），故B错误； C．切割磁感线的导体相当于电源，则可知导体棒两端的电压即为路端电压，根据串联电路的特点可得导体棒两端的电压为 故C正确； D．导体R的发热功率为 导体R的发热功率不变，故D错误。 故选C。 【典型例题2】如图所示abcd水平放置的平行“׆”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计， 已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）。则（　　） A．金属杆中电流从M端流向N端 B．电路中感应电流的大小为 C．金属杆所受安培力的大小为 D．电路中感应电动势的大小为 【答案】B 【解析】A．根据右手定则可得电流从N端流向M端，故A错误。 BD．金属杆切割的有效长度等于导轨间距l，则金属棒有效切割长度为l，根据法拉第电磁感应定律可得电路中感应电动势为 E=Blv 金属杆接入电路中的电阻为 根据闭合电路的欧姆定律可得电路中感应电流的大小为 故B正确D错误； C．金属杆所受安培力的大小为 故C错误； 故选B。 【典型例题3】两个固定的同心金属圆环中间部分存在与圆面垂直的磁感强度为B的匀强磁场如图所示，一长度为的金属棒MN，处在如图所示位置时与两圆的交点分别为，其中将金属棒平均分成了四等份，已知大圆环的总电阻为，小圆环和金属棒的总电阻均为，当金属棒以速度v经过如图所示位置时，下列说法正确的是（　　） A．金属棒产生的总感应电动势为 B．金属棒产生的总感应电动势为 C．金属棒MP上产生的感应电流大小为 D．金属棒MP上产生的感应电流大小为 【答案】C 【解析】金属棒中产生的总感应电动势等于两段产生的感应电动势之和 总感应电动势故AB错误；整个电路的等效电路图如图所示，其中则总电阻金属棒MP上产生的感应电流故C正确，D错误。 【典型例题4】如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为，间距为l，导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路：质量为m的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能与形变量x的关系为；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（   ） A．金属棒所受安培力冲量大小为 B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为 C．每个定值电阻产生的热量为 D．金属棒的平均输出功率为 【答案】D 【解析】A．根据 而, 解得，选项A错误； B．该过程中由动量定理 解得每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为，选项B错误； C．由能量关系可知回路产生的总热量 每个定值电阻产生的热量为，选项C错误； D．金属棒的平均输出功率，选项D正确。 故选D。 【典型例题5】（多选）一端开有小口的水平单匝圆环线圈固定在竖直向上的均匀磁场中，其磁感应强度大小随时间的变化规律为，线圈的面积，线圈与水平固定的光滑导轨连接，导轨左侧接有小灯泡L，小灯泡L的参数为“24V，5A”。一导体棒垂直导轨静止放置，导体棒的质量m=2kg，接入导轨间的长度l=1m，接入电路的电阻r=2Ω，导体棒处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中。不计导轨和线圈的电阻，灯泡电阻恒定，导轨足够长，从t=0时刻开始，下列说法正确的是（　　） A. 灯泡一直正常发光 B. 电路中的热功率先减小后不变 C. 导体棒最终将静止 D. 从开始运动至达到稳定状态过程中，通过导体棒的电荷量q=3C 【答案】ABD 【解析】 【解析】A．根据法拉第电磁感应定律 有 所以开始时，线圈产生的感应电动势，灯泡的额定电压为24V，此时灯泡两端电压为24V，灯泡正常发光。随着导体棒运动，导体棒切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则可知其该电动势方向与线圈产生的感应电动势方向相反，会使得通过导体棒的电流减小，但是灯泡两端电压不变，总为24V，所以灯泡一直正常发光，故A正确； C．开始时，导体棒受到向右的安培力，导体棒将向右做加速运动，因为导体棒产生的电动势等于，随着速度增大，导体棒产生的反电动势增大，总电动势减小，电流减小，安培力减小，加速度减小；当时，电流为0，安培力为0，导体棒做匀速直线运动，而不是最终静止，故C错误。 B．灯泡两端的电压保持不变，灯泡的热功率不变，随着导体棒运动产生的与线圈中方向相反的电动势E2=B2lv逐渐变大，当E1=E2时导体棒中电流为零，电路达到稳定状态，即通过导体棒的电流先减小后不变，可知导体棒中的焦耳热先减小后不变，所以电路中的总的热功率先减小后不变，故B正确。 D．对导体棒，根据动量定理 而 则 其中为导体棒稳定时的速度，则稳定时 解得 所以解得 故D正确。 故选ABD。 【典型例题6】（多选）如图所示，间距的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，斜面倾角。区域I、Ⅱ分别以PQ、MN为边界，均存在垂直于斜面向上的磁场，I区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场，磁感应强度，PQ与MN之间为无磁场区域。质量、电阻的导体棒垂直于导轨放置，从两磁场之间的无磁场区域由静止释放，经过进入Ⅱ区恰好匀速下滑。运动中棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻不计。重力加速度，。则下列说法正确的是（　　） A．进入Ⅱ区后，导体棒中的电流 B．无磁场区域的面积至少为 C．前2s导体棒产生的焦耳热 D．若I区磁场面积为，则I区的磁感应强度随时间变化的表达式为 【答案】AC 【解析】A．进入Ⅱ区恰好匀速下滑，则 导体棒中的电流为故A正确； B．导体棒进入Ⅱ区域磁场的速度为 根据牛顿第二定律 导体棒在无磁场区域做匀加速直线运动，则 无磁场区域的面积最小值为 代入数据得 故B错误； C．导体棒进入Ⅱ区域后，I区中磁感应强度变化产生的感生电动势为E1, Ⅱ区域导体棒切割磁场产生的动生电动势为E2，则 感生电动势为 前2s导体棒未切割磁场，则产生的焦耳热为故C正确； D．根据 I区磁场的变化率为 I区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，则I区的磁感应强度随时间变化的表达式为 故D错误。故选AC。 【典型例题7】如图所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m，导轨左端接有阻值R＝1 Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间正方形区域Oabc内有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.5 T，ac连线与导轨垂直，长度也为L。若使导体棒在导轨上始终以速度v＝2 m/s做直线运动，以O为原点、Ob为x轴建立一维坐标系Ox。求： (1)导体棒进入磁场区域时，回路中感应电流的最大值Im； (2)导体棒通过磁场区域时，电流i与位置坐标x的关系式。 【答案】：(1)0.4 A (2)i＝ 【解析】：(1)导体棒在ac位置时感应电动势最大Em＝BLv① 感应电流最大值Im＝② 代入数值，求得Im＝0.4 A。③ (2)导体棒运动至Oac区域，即x≤0.2 m时， 有效长度l＝2x④ 感应电流i＝Blv/R=2x A 导体棒运动至acb区域，即0.2 m≤x≤0.4 m时，有效长度l＝2(0.4－x)⑤ 感应电动势E＝Blv＝2Bv(0.4－x) V⑥ 感应电流i＝(0.8－2x) A⑦ 综合④至⑦式， 得i＝ 【典型例题8】某研发小组设计了一个臂力测试仪．装置的简化原理图如图甲所示，两平行金属导轨竖直放置，两者间距为，在M、N间和间分别接一个阻值为的电阻，在两导轨间矩形区域内有垂直导轨平面向里、宽为的磁场，磁场变化如图丙所示，已知，。一质量为、长为、电阻也为R的导体棒垂直放置在导轨上，导体棒与弹簧相连，弹簧下端固定，弹簧伸至原长后其顶端恰好与在同一条直线上。测试者利用臂力将导体棒向下压至某位置后释放，导体棒向上运动经过HG时，会与HG处的压力传感器发生撞击（图乙为装置的侧视图），压力传感器可以显示撞击力的大小，以此来反映臂力的大小。 （1）为测试其电特性，进行如下实验：磁场区域内的磁感应强度如图丙所示，求时间内流过的电流I的大小和方向； （2）为测试其力特性，在这段时间内进行如下实验：设某次测试中，将弹簧压缩至位置后释放，与间的竖直距离为，当导体棒进入磁场的瞬间，加速度为，导体棒运动到HG时压力传感器示数恰好为0．已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，导体棒运动中与导轨始终保持接触良好且导轨电阻不计，重力加速度，求： ①导体棒出磁场时弹簧的弹性势能； ②导体棒向上运动过程中产生的焦耳热。    【答案】（1），方向为流到；（2）①；②47.5J 【解析】（1）由丙图可知，时间内磁感应强度的变化率为 根据法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律，可得 联立解得 则流过的电流 根据楞次定律，可得此时流过的电流为流到。 （2）①导体棒进入磁场瞬间，由牛顿第二定律得 又 解得 设导体棒运动到HG时弹簧的弹性势能为，由弹性势能与形变量的关系可知释放导体棒时弹簧的弹性势能为，对导体棒由上升至这一过程，由能量守恒定律得 解得 ②对导体棒上升过程，由能量守恒定律得 导体棒向上运动过程中产生的焦耳热 【变式训练2-1-1】如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论不正确的是（　　） A．感应电流方向不变 B．CD段直线始终不受安培力 C．感应电动势最大值E=Bav D．感应电动势平均值 【答案】B 【解析】A．根据楞次定律，闭合回路在进入磁场过程中，感应电流的方向为逆时针方向，方向不变。故A正确，与题意不符； B．根据左手定则，CD段直线所受安培力方向竖直向下。故B错误，与题意相符； C．切割的有效长度为a时，感应电动势有最大值，即 故C正确，与题意不符； D．根据法拉第电磁感应定律，可得 故D正确，与题意不符。 故选B。 【变式训练2-1-2】两条相互平行的、足够长的光滑金属导轨放在绝缘水平面上，距离为L，电阻不计。导轨内有垂直水平面向里的匀强磁场，导轨左侧接电容器C、电阻R1和R2，如图5－2－23所示。垂直导轨且与导轨接触良好的金属杆(电阻不计)以一定的速度向右匀速运动，某时刻开始做匀减速运动至速度为零后反向做匀加速运动。则在此过程中 A．R1中无电流通过 B．R1中电流从e流向a C．R2中电流一直从a流向b D．R2中电流先从b流向a，后从a流向b 【答案】B 【解析】　开始时，金属杆以一定的速度向右匀速运动，感应电动势E＝BLv，电容器的带电荷量为Q＝CE＝CBLv，由右手定则知，R2中电流方向为由a流向b，电容器的上极板带正电，金属杆开始做匀减速运动至速度为零的过程中，速度减小，感应电动势减小，极板间电压也减小，因此电容器的带电荷量减小，则R1中有电流通过，方向为由e流向a，R2中电流从a流向b，故A错误；金属杆反向做匀加速运动的过程中，由右手定则知，R2中电流方向为由b流向a，加速运动，感应电动势增大，电容器两端电压增大，所以电容器充电，流经R1的电流方向为由e流向a，故B正确，CD错误。 【变式训练2-1-3】如图甲所示，电阻不计、间距为1 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为的定值电阻，虚线下方存在方向垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场。现将质量为0.1 kg、电阻为的金属杆从上方某处由静止释放，金属杆下落过程中始终水平且与导轨接触良好，其加速度与下落时间的关系图像如图乙所示。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．金属杆进入磁场后端的电势较高 B．金属杆释放位置到的距离为0.1 m C．金属杆在磁场中稳定时的速度大小为1 m/s D．图像在横轴上、下方围成的面积之比为1∶1 【答案】C 【解析】A．根据楞次定律知，金属杆PQ进入磁场后Q端的电势较高，选项A错误； B．由题图乙可知，金属杆PQ刚进入磁场时的加速度大小、方向竖直向上，设金属杆PQ刚进入磁场时产生的感应电动势为E，则有 解得 所以金属杆PQ释放位置到的距离为选项B错误； C．金属杆PQ在磁场中稳定时的速度大小为，则有 解得选项C正确； D．题中图像的面积表示速度，则在横轴上、下方围成的面积之比为2∶1，选项D错误。 故选C。 【变式训练2-1-4】国家重大科技基础设施“稳态强磁场实验装置”实现重大突破，创造场强45.22万高斯的稳态强磁场。如图所示，两光滑导轨放置在绝缘水平面上，其中一根导轨沿x轴放置，另一根导轨由、、段组成，其中、段与x轴的夹角相等，段与x轴的夹角小于段与x轴的夹角，a端和沿x轴放置的导轨上的O点间用导线连接一定值电阻，导体棒垂直x轴水平向右以速度v做匀速运动，经过坐标原点时取，空间中有垂直水平面方向的匀强磁场，导轨和导体棒电阻均不计，则运动过程中通过导体棒的电流I、导体棒所受安培力大小F、导体棒克服安培力做功的功率P和定值电阻两端的电压U随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．导体棒切割磁感线的有效长度不为零，产生的感应电流大小不为零，A错误； D．导体棒向右匀速运动，在和段切割磁感线的长度随时间均匀增加，有，由于段与x轴的夹角小于段与x轴的夹角，故段的图象的斜率小于段的，经过c点后，导体棒切割磁感线的有效长度减小，产生的感应电动势减小，又段与x轴的夹角相等，则段的图象的斜率大小相等，由于导轨和导体棒的电阻不计，则导体棒产生的感应电动势等于定值电阻两端的电压，D错误； B．导体棒所受安培力大小为 设在ab上原来切割长度为，经过一段时间后有效切割长度l与时间t的关系 所以安培力与时间是二次函数关系，随时间增加，安培力逐渐增大，但相同时间内导体棒在段所受安培力的增加量小于在段的， B正确； C．导体棒克服安培力做功的功率为 与安培力大小的变化趋势相同，C错误。 故选B。 【变式训练2-1-5】图甲为工程师设计的传送带测速装置，图乙为其简化原理图，该测速装置固定有间距为L、长度为d的平行金属电极，电极间存在着磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和阻值为R的电阻，测速装置上的绝缘橡胶带嵌有间距均为d的平行细金属条，金属条阻值为r且与电极接触良好，橡胶带运动时磁场中始终有且仅有一根金属条，不计金属电极和其余导线的电阻，电压表可视为理想电表。下列说法正确的是（ ） A. 当金属条经过磁场区域时，受到的安培力方向与运动方向相同 B. 当电压表的读数为U时，传送带的速度大小为 C. 若将该电压表改装为传送带速度表，则速度表刻度均匀分布 D. 当金属条通过磁场区域时的速度为v时，电路的总发热功率为 【答案】C 【解析】 当金属条经过磁场区域时，根据电磁阻尼知识可知，金属条受到的安培力方向与运动方向相反，A项错误；当电压表的读数为U时，有 得传送带的速度大小为 即若将该电压表改装为传送带速度表，则速度表刻度均匀分布，B项错误，C项正确；当金属条通过磁场区域时的速度为v时，电路的总发热功率为 又，联立得，D项错误。 【变式训练2-1-6】如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道，与等高，半径为、间距为，轨道电阻不计。在轨道右侧连有一阻值为的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为，现有一根长度为、电阻为的金属棒，在外力的作用下以初速度从沿轨道做匀速圆周运动至处，则该过程中（　　） A．金属棒经过最低位置处时，通过金属棒的电流方向为 B．金属棒经过最低位置处时，电路中的电流最小 C．电阻上产生的热量为 D．外力做的功为 【答案】C 【解析】A．金属棒经过最低位置处时，根据右手定则，通过金属棒的电流方向为，故A错； B．金属棒经过最低位置处时，金属棒垂直切割磁感线，产生的感应电动势最大，电路中的电流最大，故B错； C．金属棒切割磁感线产生的电动势为 电路中的电动势的有效值为 则有， 联立解得故C正确； D．根据能量关系，外力做的功等于电路的总热量为 故D错误。 故选C。 【变式训练2-1-7】（多选）如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂直于纸面向里，其磁感应强度大小为B＝2 T。宽度为L＝0.8 m的两导轨间接一阻值为R＝0.2 Ω的电阻，电阻为2R的金属棒AC长为2L并垂直于导轨(导轨电阻不计)放置，A端刚好位于导轨，中点D与另一导轨接触。当金属棒以速度v＝0.5 m/s向左匀速运动时，下列说法正确的是(　 ) A．流过电阻R的电流为2 A B．A、D两点的电势差为UAD＝0.4 V C．A、C两点的电势差为UAC＝－1.6 V D．A、C两点的电势差为UAC＝－1.2 V 【答案】AD 【解析】：　金属棒AD段产生的感应电动势为EAD＝BLv＝2×0.8×0.5 V＝0.8 V，流过电阻R的电流I＝＝ A＝2 A，根据右手定则，可知A 端的电势低于D端的电势，A、D两点的电势差UAD＝－IR＝－0.4 V，B错误，A正确；D、C两点的电势差UDC＝－BLv＝－0.8 V，则UAC＝UAD＋UDC＝－1.2 V，C错误，D正确。 【变式训练2-1-8】（多选）如图所示，间距为L的平行光滑金属导轨水平固定，定值电阻大小为R，电容器的电容大小为C。质量为m的金属棒始终与导轨接触良好并保持垂直，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，金属导轨和金属棒的电阻均不计。开关S开始处于闭合状态，对金属棒施加水平向右的恒定拉力，使其从静止开始运动，经时间t金属棒达到最大速度，此时断开开关S，改变水平拉力大小，使金属棒保持速度匀速运动。整个过程中电容器始终未击穿，下列说法正确的是（    ） A．开关断开前水平拉力大小为 B．开关断开前金属棒运动的位移为 C．开关断开后，当外力的功率为定值电阻功率的3倍时，电容器两端的电压为 D．从开关断开到外力功率为定值电阻功率的3倍时，外力做的功为 【答案】AD 【解析】A．开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则 由闭合电路欧姆定律 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 联立可得，恒定的外力为 故A正确； B．开关断开前，金属棒达到最大速度过程，由动量定理又解得金属棒运动的位移大小故B错误； CD．开关闭合后，金属棒做匀速直线运动，当外力的功率为定值电阻功率的3倍时，设回路的电流为I，则 由平衡条件知，外力 联立，解得 金属棒产生的感应电动势 则电容器两端的电压 此时电容器所带的的电荷量即通过电源的电荷量，为 由功能关系知，外力做功 故C错误；D正确。 故选AD。 【变式训练2-1-9】（多选）如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻和相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为，导体棒的电阻与固定电阻和的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为。此时（　　） A．电阻消耗的热功率为 B．电阻消耗的热功率为 C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为 D．整个装置消耗的机械功率为 【答案】BC 【解析】AB．导体棒滑动的过程中切割磁感线，产生感应电动势，所以ab导体棒相当于电源，与并联，设导体棒、、的电阻均为，导体棒的长度为，则、并联后的电阻为电路产生的总电流为则导体棒所受的安培力为，、上消耗的功率相等，均为 ，A错误，B正确； C．整个装置所受的摩擦力为，所以摩擦力消耗的功率为，C正确； D．导体棒克服安培力和摩擦力做功使得导体棒机械能减少，所以整个装置消耗的机械功率为 ，D错误。故选BC。 【变式训练2-1-10】（多选）如图所示，相距L的两平行光滑金属导轨MN、PQ间接有两定值电阻R1和R2，它们的阻值均为R。导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一根质量为m、电阻也为R的金属棒，在恒力F的作用下由静止开始运动，运动距离x时恰好达到稳定速度v。在运动过程中，金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中（　　） A．金属棒上产生的焦耳热为 B．电阻R1上产生的焦耳热为 C．通过金属棒的电荷量为 D．通过电阻R1的电荷量为 【答案】AD 【解析】 AB．设整个电路中产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律得 电阻R1上产生的焦耳热为 电阻R2上产生的焦耳热为 金属棒上产生的焦耳热为 由 可得 故A正确，B错误； C．通过金属棒的电荷量为 故C错误； D．通过R1的电荷量为 故D正确。 故选AD。 【变式训练2-1-11】（多选）矩形线框PQMN固定在一绝缘斜面上，PQ长为L，PN长为4L，其中长边由单位长度电阻为r0的均匀金属条制成，短边MN电阻忽略不计，两个短边上分别连接理想电压表和理想电流表。磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直斜面向上，一与长边材料、粗细完全相同的金属杆与线框接触良好，在沿导轨向上的外力作用下，以速度v从线框底端匀速滑到顶端。已知斜面倾角为θ，不计一切摩擦。则下列说法中正确的是（　　） A．金属杆上滑过程中电流表的示数先变大后变小 B．作用于金属杆的外力一直变大 C．金属杆运动到长边正中间时，电压表示数为 D．当金属杆向上运动到距线框底端3.5L的位置时，金属杆QM、PN上消耗的总电功率最大 【答案】BD 【解析】A．金属杆相当于电源，金属杆上滑匀速滑动过程中，产生恒定的感应电动势，外电路的总电阻一直减小，则总电流即电流表的示数一直变大，故A错误； B．金属杆匀速运动，作用于金属杆的外力 由于总电流一直变大，所以作用于金属杆的外力一直变大，故B正确； C．由电磁感应定律，金属杆运动时产生的感应电动势为 金属杆到达轨道正中间时，所组成回路的总电阻为 由闭合电路欧姆定律，回路电流为 电压表测的是路端电压，所以电压表示数为 故C错误； D．设金属杆向上运动x距离时，金属杆QM、PN上消耗的总电功率即电源的输出功率最大。电源电动势一定，内外电阻相等时电源输出功率最大 解得 故D正确。 故选BD。 【变式训练2-1-12】（多选）如图所示，竖直光滑导轨上端接入一定值电阻R，C1和C2分别是半径为a的圆形磁场区域与边长为2a的正方形磁场区，区域内的磁场方向分别为垂直于导轨平面向外与竖直向上，区域C1中磁场的磁感应强度随时间按变化，C2中磁场的磁感应强度恒为B2，一质量为m电阻为r的金属杆AB穿过C2的中心垂直跨放在两导轨上，且与导轨接触良好，并恰能保持静止，已知棒与导轨间动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．通过金属杆的电流方向为从A到B B．回路中电流大小 C．定值电阻的阻值为 D．整个电路的热功率 【答案】BCD 【解析】A．区域中磁场的磁感强度随时间按变化，可知磁感强度均匀增大，穿过整个回路的磁通量增大，由楞次定律分析知，通过金属杆的电流方向为从B到A，故A错误； B．对金属杆，根据平衡方程得 解得故B正确； C．由法拉第电磁感应定律，则有：回路中产生的感应电动势为 且闭合电路欧姆定律有 又，解得 故C正确； D．整个电路中产生的热功率为 故D正确． 故选BCD。 【变式训练2-1-13】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，宽ad=L，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，求： (1)PQ切割磁感线产生的电动势； (2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压； (3)线框消耗的最大电功率。 答案　(1)BLv　(2)BLv　(3) 解析　(1)PQ切割磁感线产生的电动势E=BLv (2)PQ滑到中间位置时外电阻R外==0.75R 根据闭合电路的欧姆定律I=== PQ两端的电压U=IR外=BLv (3)因当外电阻等于电源内阻时电源输出功率最大，而当PQ在中间位置时外电阻最大，最大值为0.75R，与电源内阻最接近，可知此时线框消耗的电功率最大，最大电功率为P===。 【变式训练2-1-14】在同一水平面上的光滑平行导轨P、Q相距l＝1 m，导轨左端接有如图所示的电路。其中水平放置的平行板电容器两极板M、N相距d＝10 mm，定值电阻R1＝R2＝12 Ω，R3＝2 Ω，金属棒ab的电阻r＝2 Ω，其他电阻不计。磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间的质量m＝1×10－14 kg、电荷量 q＝－1×10－14 C的微粒恰好静止不动。取g＝10 m/s2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定。试求： (1)匀强磁场的方向； (2)ab两端的路端电压； (3)金属棒ab运动的速度。 【答案】：(1)竖直向下　(2)0.4 V　(3)1 m/s 【解析】：(1)带负电荷的微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电场力竖直向上，故M板带正电。ab棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab棒等效于电源，感应电流方向由b→a，其a端为电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下。 (2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有mg＝Eq 又E＝ 所以UMN＝＝0.1 V R3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得，通过R3的电流为I＝＝0.05 A 则ab棒两端的电压为Uab＝UMN＋I＝0.4 V。 (3)由法拉第电磁感应定律得，感应电动势E＝Blv 由闭合电路的欧姆定律得E＝Uab＋Ir＝0.5 V 联立解得v＝1 m/s。 【变式训练2-1-15】把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触．当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求： （1）棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN； （2）圆环和金属棒上消耗的总热功率． 【答案】（1）Bav （2） 【解析】把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联的相同电阻，画出等效电路图如图所示． 等效电源电动势为E=Blv=2Bav 外电路的总电阻为R外==R 棒上电流大小为I=== 根据分压原理，棒两端的电压为UMN=·E=Bav. （2）圆环和金属棒上消耗的总热功率为P=IE= 【变式训练2-1-16】如图甲所示，某光滑轨道由区域Ⅰ与区域Ⅱ两部分共同组成，轨道电阻不计(注：b棒只有以中心为对称点，距离对称点0.5 m的部分有电阻，a棒电阻均匀分布)，区域Ⅰ：一质量为m＝1 kg、长度为L＝1 m的金属棒a从高度为h＝0.2 m的地方静止下落后，进入轨道ABCD区域中，AB处有一小段绝缘材料，在离边界AB足够远的地方有一质量为m＝0.5 kg、长度为L＝3 m的金属棒b.在轨道ABCD区域内存在匀强磁场B1，磁感应强度为1 T，轨道BC与AD距离为d＝1 m．当金属棒a进入轨道ABCD上后，使b加速，当b棒速度稳定后，进入轨道CD的右侧区域Ⅱ.金属棒a与b的电阻均为1 Ω； 区域Ⅱ：如图乙为区域Ⅱ的俯视图，CD边界的左侧有一段绝缘处，在区域Ⅱ的下侧与右侧有电阻R1与R2相连，当金属棒b进入后，给予一外力F使金属棒b做匀速运动，当金属棒运动至EF边界时从区域Ⅱ掉落结束运动．已知电阻R1＝R2＝2 Ω，竖直向下匀强磁场B2＝2 T，当b棒运动2 m后抵达EF位置． (1)求当a棒刚好进入轨道区域Ⅰ时，b棒两端的电压U； (2)求b棒进入区域Ⅱ时的速度及在区域Ⅰ中通过金属棒b的电荷量； (3)记CD处为0位移，求金属棒b从CD至EF的过程中外力F与位移x的关系． 【答案】(1)1 V　(2) m/s　 C　(3)F外＝(x＋1)2 N(0≤x≤2) 【解析】　(1)由mgh＝mv2得v＝2 m/s，此时有E＝B1dv，则U＝·rb＝E，解得U＝1 V (2)由mav＝(ma＋mb)v共， 解得v共＝vb＝ m/s，且mbvb－0＝B1dt＝B1qd，解得q＝ C (3)由总电阻为R总＝rb＋＝2 Ω 又由几何关系可知，金属棒移动1 m，金属棒在磁场中的有效长度增加1 m，所以L′＝d＋x＝1＋x 电路中的电动势为E′＝B2L′vb 电流为I′＝ 金属棒b受到的安培力为F外＝B2I′L′ 联立可得F外＝(x＋1)2 N(0≤x≤2)． 【变式训练2-1-17】间距为L的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分（足够长）平滑连接而成，倾斜部分导轨与水平面间夹角为θ，导轨上端接有两个电阻a和b，阻值均为R。空间分布着如图所示的匀强磁场，倾斜导轨的磁场方向垂直导轨平面ACDE向上，磁感应强度大小为B。水平区域GF边界右侧磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为2B，DEFG为无场区域。现有一质量m、长度L、电阻为的细金属棒与导轨垂直放置并由静止释放，释放处离水平导轨的高度为h。开始时电键S闭合，当棒运动到GF边界时将电键断开。已知金属棒在到达ED边界前速度已达到稳定。不计一切摩擦阻力及导轨的电阻，重力加速度为g。求： (1)金属棒运动过程中的最大速度vm； (2)金属棒在整个运动过程中的最大加速度am的大小及方向； (3)在整个运动过程中电阻b上产生的焦耳热。 【答案】(1)；(2)，方向水平向左；(3) 【解析】 (1)当金属棒在倾斜导轨平面ACDE上运动过程中加速度为零时，此时速度最大 解得 (2)金属棒达到最大速度后在斜面上做匀速下滑，然后匀速进入水平无磁场的DEFG区域，进入GFIH内的磁场，金属棒刚开始进入区域GFIH内的磁场时加速度最大 解得方向水平向左 (3)金属棒在倾斜导轨运动时 水平导轨运动阶段 所以 【变式训练2-1-18】电磁感应现象的发现，对电磁理论的研究和生活的电气化有着广泛而深刻的影响。电磁感应制动技术目前主要应用于商用车、新能源汽车、工业机械及轨道交通等领域。如图，现有一光滑金属导轨CDE和FGH固定置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为，其中导轨CD、FG段水平，DE、GH段弯曲，且形状为抛物线。导轨间距，CF之间连接着开关和定值电阻。现将一质量、长度、内阻的导体棒放置于DG处，且以水平向右的初速度分两次抛出，当开关断开时第一次抛出，发现导体棒恰好贴着导轨运动且两者之间无挤压，到达EH位置时速度大小为；当开关闭合时第二次抛出，该导体棒到达EH位置时速度大小为。已知导轨无电阻，重力加速度g取，以上过程导体棒始终保持水平且与导轨接触良好，不计空气阻力。求开关闭合后： (1)导体棒运动到EH时，导体棒的水平方向速度大小及其两端的电势差大小； (2)导体棒运动到EH过程中，导体棒中产生的焦耳热； (3)导体棒运动到EH过程中，通过导体棒的总电荷量。 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）开关断开时，设导体棒到达EH时速度与水平方向的夹角为，则有 可得 所以开关闭合时，导体棒的水平分速度为 故导体棒运动到EH时产生的感应电动势大小为 导体棒两端的电势差为 （2）开关断开时，导体棒运动到EH时，竖直方向的分速度为 故导体棒下落高度为 开关闭合时，导体棒运动到EH过程中，由能量守恒可得 解得回路产生的焦耳热为 导体棒中产生的焦耳热为 （3）因导体棒下落高度为 可得t=1.2s 而根据开关断开时，导体棒运动到EH过程中，导体棒的水平位移为 则开关闭合，运动到EH过程中，通过导体棒的总电量为 （二）线框平动切割磁感线 【典型例题1】粗细均匀的电阻丝围成的正方形闭合线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以相同速率沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框上a、b两点间的电势差绝对值最大的是(　　) 【答案】C 【解析】：在磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路由三个相同电阻串联形成，A、B、D中a和b两点间电势差为外电路中一个电阻两端的电压，其电势差的绝对值为U＝＝；图C中a、b两点间电势差绝对值为路端电压，U＝＝，故C正确． 【典型例题2】国产电动汽车采用电磁式动力回收装置，可将部分动能转化为电能并储存。如图所示为该装置的简化模型，“日”字形的金属线框放在光滑的水平面上，各边长均为l，ab、cd、ef边电阻均为R，其余部分电阻可忽略不计。线框以速度v进入宽度为l的匀强磁场，最终恰好穿出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，边界与ab边平行，则线框（　　） A．刚进磁场时，a端电势高于b端电势 B．刚进磁场时，a、b两点间电势差为 C．质量 D．穿越磁场过程中ab边产生的热量 【答案】C 【解析】A．由右手定则可知，线框刚进入磁场时b端电势高，且其等效电路为： 可知，a端电势低于b端，且，故AB均错误； C．由动量定理知，， 解得，故C正确； D．ab棒发热分两个阶段： （1）ab棒在磁场中运动，由动量定理，有， 解得 过程中产生的热量 （2）ab棒在磁场外运动过程中产生的热量 所以，故D错误。 故选C。 【典型例题3】（多选）如图所示，纸面内存在相邻的两匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为d，区域Ⅰ内磁场方向垂直纸面向外，区域Ⅱ内磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B。纸面内有一直径为d、总阻值为R的圆形闭合金属线圈，线圈在外力作用下以速度v0匀速通过两磁场区域。线圈不偏转，速度v0的方向与磁场边界始终垂直，下列说法正确的是(　　) A.线圈内的电流方向始终为顺时针方向 B.线圈内电流的最大值为 C.线圈受到的最大安培力为 D.线圈从区域Ⅰ进入到区域Ⅱ的过程，通过线圈某截面的电荷量为 【答案】BD 【解析】根据楞次定律可知，线圈内的电流方向先顺时针，后逆时针，再顺时针，故A错误；线圈圆心运动到两磁场区域分界线时，电动势为E=2Bdv0，线圈内的电流最大Im==，此时线圈受到的安培力F=2BImd=，故B正确，C错误；线圈从区域Ⅰ进入区域Ⅱ的过程，线圈磁通量的变化量大小ΔΦ=+=，所以通过线圈某截面的电荷量q==，故D正确。 【典型例题4】（多选）如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则(　　) A．霍尔元件前表面的电势低于后表面 B．若电源的正负极对调，电压表将反偏 C．IH与I成正比 D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比 【答案】．CD　 【解析】当霍尔元件通有电流IH时，根据左手定则，电子将向霍尔元件的后表面运动，故霍尔元件的前表面电势较高。若将电源的正负极对调，则磁感应强度B的方向换向，IH方向变化，根据左手定则，电子仍向霍尔元件的后表面运动，故仍是霍尔元件的前表面电势较高，选项A、B错误；因R与RL并联，根据并联分流，得IH＝I，故IH与I成正比，选项C正确；由于B与I成正比，设B＝aI，则IL＝I，PL＝IRL，故UH＝k＝PL，知UH∝PL，选项D正确。 【变式训练2-2-1】电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为，磁场中，边长为、总电阻为的单匝正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。如乙图，某时刻永磁铁相对线框竖直向上运动时，其速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．线圈中感应电流的方向为顺时针方向 B．线圈中电流的大小等于 C．线圈受到的安培力大小为 D．线圈受到的安培力大小为 【答案】D 【解析】A．永磁铁相对线圈上升，即线圈相对磁铁向下，根据右手定则，线圈中感应电流的方向为逆时针方向，故A错误； B．ab和cd均切割磁感线，产生的电动势 所以电流为 故B错误； CD．ab和cd都受到安培力且方向相同，所以 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练2-2-2】用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　) A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc 【答案】B 【解析】.线框进入磁场后切割磁感线，a、b产生的感应电动势是c、d电动势的一半，而不同的线框电阻不同．设a线框电阻为4r，b、c、d线框的电阻分别为6r、8r、6r.在线框进入磁场的过程中，MN两端的电压等于线框回路中的路端电压，根据线框长度和电阻的关系依据闭合电路欧姆定律，可知Ua＝BLv，Ub＝BLv，Uc＝B·2Lv＝BLv，Ud＝B·2Lv＝BLv，所以Ua＜Ub＜Ud＜Uc，故B对． 【变式训练2-2-3】某工厂为了检验正方形线圈的合格率，将线圈放在传送带上，传送带所在空间中加上竖直向下的匀强磁场，磁场边界PQ与MN平行且与线圈速度方向成45°，磁感应强度为B。如图所示，线圈与传送带一起以恒定速度v向右运动，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ。线圈进入磁场过程中线圈恰好不打滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知线圈质量为m，匝数为N，边长为L，总电阻为R，且磁场宽度大于L。下列说法错误的是（　　） A．线圈进入磁场过程中，电流方向为ADCBA B．在线圈进入磁场的过程中，线圈对传送带的摩擦力始终沿AC所在直线方向，且最大值为 C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为 D．在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为2N的线圈进入磁场过程相对皮带会打滑 【答案】D 【解析】A．线圈进入磁场的过程，磁通量增加，根据楞次定律，可判断出，感应电流的方向为ADCBA，故A正确； B．在线圈进入磁场的过程中，受到沿CA方向的安培力作用，由于线圈匀速运动，所以线圈受到的摩擦力方向为AC方向，根据牛顿第三定律可知，线圈对传送带的摩擦力始终沿CA方向，最大值为 又有 解得故B正确； C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为故C正确； D．线圈质量不变，材料不变，边长不变，匝数变成2倍，则导线长度变为原来的2倍，横截面积变为原来的，根据 可知，电阻变为原来的4倍，又因为安培力的最大值为 可知，匝数变成2倍，电阻变为原来的4倍，线框受到的安培力的最大值不变，而最大静摩擦力为 不变，所以在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为的线圈进入磁场过程也恰好不打滑，故D错误。 本题选择错误选项； 故选D。 【变式训练2-2-4】如图，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框abcd，现将导体框分别朝两个方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框分别从两个方向移出磁场的两个过程中(　 ) A．导体框中产生的感应电流方向相反 B．导体框ad边两端电势差之比为1∶3 C．导体框中产生的焦耳热之比为1∶3 D．通过导体框截面的电荷量之比为1∶3 【答案】C 【解析】将导体框拉出磁场的过程中，穿过导体框的磁通量都减小，由楞次定律判断出感应电流的方向都沿逆时针方向，方向相同，故A错误；设正方形导体框的边长为L，导体框以速度v运动时，dc边中感应电动势为E1＝BLv，ad边两端电势差为U1＝E1＝BLv；导体框以速度3v运动时，ad边中感应电动势为E2＝3BLv，ad边两端电势差为U2＝E2＝BLv，导体框ad边两端电势差之比为U1∶U2＝1∶9，故B错误；感应电流I＝＝，时间t＝，焦耳热Q＝I2Rt＝∝v，导体框中产生的焦耳热之比为Q1∶Q2＝1∶3，故C正确；将导体框拉出磁场的过程中，穿过导体框的磁通量的变化量相同，根据推论q＝可知，通过导体框截面的电荷量相同，故D错误。 【变式训练2-2-5】（多选）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v水平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长为，每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空气阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为 B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为 C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热 D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能 【答案】BC 【详解】AB．根据右手定则，线框进入磁场时，感应电流沿顺时针方。线框此时切割磁感线产生的感应电动势为，导线框右边两端的电压为路端电压，即为 故A错误，B正确； C．根据功能关系可知线框克服安培力做的功全部转化为电能，线框为纯电阻电路，则又全部转化为线框中产生的焦耳热，则克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热。故C正确； D．线框离开磁场过程中，根据动能定理可知克服安培力做功与克服摩擦力、空气阻力做功之和等于线框和列车动能的减小量，故D错误。 故选BC。 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，空间等距分布垂直纸面向里的匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度大小，每一条形磁场区域宽度及相邻条形磁场区域间距均为。现有一个边长、质量、电阻的单匝正方形线框，以的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场，以下说法正确的是（　　） A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量 B．线框刚进入第一个磁场区域时，安培力大小为 C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热 D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域 【答案】ACD 【解析】A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量为 故A正确； B．线框刚进入第一个磁场区域时，产生的电动势为 线框受到的安培力大小为 故B错误； C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中，由于线框上下两边总是同时处在磁场中，则上下两边受到的安培力相互抵消，即线框竖直方向只受重力作用，可认为竖直方向做自由落体运动；水平方向在安培力作用下做减速运动，当水平方向的速度减为零时，线框开始竖直下落；则线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热为 故C正确； D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中，水平方向根据动量定理可得 又 联立解得 线框穿过1个完整磁场区域，有安培力作用的水平距离为，由于 可知线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域，故D正确。 故选ACD。 【变式训练2-2-7】（多选）将材料相同、粗细不同的导线绕成边长相同的Ⅰ、Ⅱ两个正方形闭合线圈，Ⅰ线圈的匝数是Ⅱ的2倍，两线圈质量相等．现将两线圈在竖直平面内从同一高度同时以初速度v0竖直向上抛出，一段时间后进入方向垂直于纸面向外的匀强磁场区域，磁场的下边界水平，如图所示．已知线圈在运动过程中某条对角线始终与下边界垂直，且线圈平面始终在竖直平面内，空气阻力不计．在线圈进入磁场的过程中，下列说法正确的是(　　) A．通过Ⅰ、Ⅱ线圈导线截面的电荷量之比为1∶1 B．通过Ⅰ、Ⅱ线圈导线截面的电荷量之比为1∶2 C．Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的焦耳热之比为1∶2 D．Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的焦耳热之比为1∶1 【答案】　BD 【解析】　Ⅰ、Ⅱ线圈进入磁场的过程中，磁通量的变化量相等，由q＝t＝，可知＝，两线圈的材料相同、质量相同，由m＝ρ密度V 可知两线圈导线的体积相等，由题可知两线圈导线的长度之比为＝2，由V＝lS，得两线圈导线的横截面积之比为＝＝，由R＝，可知＝＝，所以＝＝，故A错误，B正确；线圈进入磁场的过程中，设某时刻线圈切割磁感线的有效长度为L、速度为v，则E＝nBLv，I＝＝，F＝nBIL＝，可知F正比于v，刚进入磁场时两线圈的速度(v1)相等，则刚进入时有＝＝1，即刚进入时安培力相同，又有两线圈质量相等，所以刚进入时两线圈加速度相同，则可得两线圈进入磁场过程中的任意位置的速度、加速度均相同，所以恰好完全进入磁场时两线圈速度(v2)相等，由能量守恒定律得mv12＝mgh＋mv22＋Q，解得Q1＝Q2，故C错误，D正确． 【变式训练2-2-8】（多选）电磁驱动技术现已广泛应用于生产、生活和军事中，如图所示为一电磁驱动模型，水平面内，连续排列的边长为L的正方形区域内存在竖直方向的匀强磁场，相邻区域的磁感应强度方向相反，大小均为B.质量为m、总电阻为R的矩形金属线框处于匀强磁场中，边长为L.当匀强磁场水平向右以速度v匀速运动时，金属线框能达到的最大速度为。线框达到最大速度后做匀速直线运动，线框运动中受到的阻力恒定，则下列说法正确的是（　　） A．图示位置时，线框ab边中感应电流方向从a到b B．线框运动中受到的阻力大小为 C．线框匀速运动后，受到安培力所做的功等于回路中产生的焦耳热 D．线框匀速运动后，外界每秒提供给线框的总能量为 【答案】BD 【解析】A．线框相对于磁场向左运动，根据右手定则知，线框ab边中感应电流方向从b到a，故A错误； B．因阻力恒定，又线框最后做匀速直线运动，由二力平衡知，阻力应与安培力大小相等，由于磁场以速度v向右运动，当金属框稳定后以最大速度v0向右运动，此时金属框相对于磁场的运动速度大小为v-v0，根据右手定则可以判断回路中产生的感应电动势E等于ad、bc边分别产生感应电动势之和，即 根据欧姆定律可得，此时金属框中产生的感应电流为 金属框的两条边ad和bc都受到安培力作用，边长等于说明ad和bc边处于的磁场方向一直相反，电流方向也相反，根据左手定则可知它们所受安培力方向一致，故金属框受到的安培力大小为 故B正确； C．线框匀速运动后，磁场的匀速运动产生了感应电流从而产生了焦耳热，与安培力做功无关，故C错误； D．线框匀速运动后，外界提供给线框的总能量等于回路中的焦耳热和克服阻力做功之和，即外界每秒提供给线框的总能量为 故D正确。 故选BD。 【变式训练2-2-9】一条水平传送带匀速转动，速度大小为，方向如图所示。竖直虚线边界I、II、III、IV、V之间存在如图所示的匀强磁场，水平间距已在图中标出。边界I、II间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里；边界II、III间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外；边界IV、V间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外。磁场区域的下边界水平，如图所示。其中磁感应强度为的磁场区域下边界与传动带的距离为。传送带左侧有一质量为、边长为、电阻为的正方形金属线框。最初线框左侧与边界I重合，初速度大小也为，方向水平向右。已知线框经过边界II的过程中，与传送带间刚好不发生相对滑动，最大静摩擦力认为与滑动摩擦力相等，重力加速度为。求： (1)线框穿过边界II的过程中受到安培力的大小； (2)从最初到线框刚好完全通过边界III的过程中，线框中产生的电热； (3)线框通过边界IV的过程中，传送带对线框支持力的冲量； (4)若线框能与传送带无相对滑动的通过边界V，线框与传送带间的动摩擦因数的最大值（结果可以保留分数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）线框中的电动势 线框中的电流 线框受到的安培力 得 （2）线框通过边界II的过程中产生的热量 线框通过边界II的时间 可知 继续运动L的过程中电流为0，线框不受摩擦力，匀速运动 线框通过边界II的过程由条件可以判断线框仍随传送带匀速运动，过程中中产生的热量 又 运动时间 故从最初到线框刚好完全通过边界III的过程中，线框中产生的电热为 （3）由线框的右边界刚经过边界IV时 由线框的左边界刚要经过边界IV时 式中 在线框进入磁场的过程线框仍然匀速运动，受到的支持力随时间均匀变化，可得线框受到的支持力的冲量为 可知 （4）线框右边界到达边界V时不发生相对滑动 由刚进磁场时线框与传送带间恰好不发生相对滑动，可得 联立可得 即的最大值为。 （3） 导体棒转动切割的电路问题 【典型例题1】如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，金属棒MN以角速度ω绕过O点的竖直轴PQ沿顺时针（从上往下看）旋转。已知。则（    ） A．M点电势低于O点电势 B．N点电势低于M点电势 C．MN两点的电势差为 D．NM两点的电势差为 【答案】D 【解析】A．根据右手定则可知，M点的电势高于O点的电势，A错误； BCD．由题可知，MO部分切割磁感线的有效长度为MP长度，等于，NO部分切割磁感线的有效长度为NQ长度，等于，可知两部分电动势分别为， 由于导体棒未与其它导体构成闭合回路，所以有， 故有， BC错误，D正确。 故选D。 【典型例题2】如图所示，边长为L的正方形单匝导线框abcd放在纸面内，在ad边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a点在纸面内沿顺时针方向匀速转动，经时间Δt第一次转到图中虚线位置。则在Δt内通过导线框横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】Δt时间内穿过导线框的磁通量变化量为ΔΦ＝BL2－BL2＝BL2，由法拉第电磁感应定律得E＝，平均感应电流，通过导线框横截面的电荷量q＝·Δt＝，故选B。 【典型例题3】半径分别为r和的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一根长为、电阻为R的均匀金属棒置于圆导轨上，的延长线通过圆导轨中心O，在两导轨之间接阻值分别为、的两定值电阻，装置的俯视图如图所示。整个装置位于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下。金属棒在水平外力作用下以角速度绕圆心O顺时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触，不跟电阻相碰，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是（    ） A．金属棒中电流从N流向M B．金属棒转动产生的电动势为 C．电阻中电流为 D．水平外力做功的功率为 【答案】D 【解析】A．磁感应强度方向竖直向下，导体棒顺时针匀速转动，由右手定则可知，金属棒中电流从M流向N，A错误； B．由电磁感应定律公式，可得金属棒转动产生的电动势为 C．由闭合电路欧姆定律，可得电路中的电流为 电阻中电流为 C错误； D．由能量守恒定律，可得水平外力做功的功率为 D正确。 故选D。 【典型例题4】某同学设计了一种带有闪烁灯的自行车车轮，以增强夜间骑车的安全性。如图所示为自行车后车轮，已知金属车轮半径为r＝0.6 m，金属轮轴半径可以忽略，有绝缘辐条连接轮轴与车轮(辐条未画出)。车轮与轮轴之间对称地接有4根相同的金属条，每根金属条中间都串接一个LED灯，LED灯可视为纯电阻，每个LED灯的阻值恒为R＝0.45 Ω，不计其他电阻。车轮旁的车架上固定有一特殊磁铁，能在车轮与轮轴之间形成一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小B＝0.5 T的扇形匀强磁场区域，扇形对应的圆心角θ＝30°。使自行车沿平直路面匀速前进，已知车轮转动的角速度为ω＝20 rad/s，不计车轮厚度，忽略磁场的边缘效应，取π＝3.0，则下列说法正确的是(　　) A.车轮转动一周过程中，LED灯亮的总时间为0.075 s B.金属条ab进入磁场时，ab上电流的方向是a→b C.金属条ab进入磁场时，ab上电流大小是2 A D.车轮转动一周，LED灯产生的总焦耳热为0.54 J 【答案】D 【解析】依题意，可得车轮转动一周的时间为T＝＝0.3 s，车轮转动一周的过程中，能产生感应电流的时间为t＝4×T＝0.1 s，即LED灯亮的总时间为0.1 s，故A错误；金属条ab进入磁场时，根据右手定则判断知ab上电流的方向是b→a，故B错误；金属条ab进入磁场时，ab相当于电源，其等效电路图如图所示 电源电动势为E＝Br2ω＝1.8 V，电路中的总电阻为R总＝R＋R＝0.6 Ω，所以通过ab的电流大小为I＝＝3.0 A，故C错误；车轮转动一周，LED灯亮的总时间为0.1 s，则产生的总焦耳热为Q＝I2R总t＝32×0.6×0.1 J＝0.54 J，故D正确。 【典型例题5】（多选) 如图所示，光滑圆弧形导轨的半径分别为、，点为两个圆弧的圆心，之间用导线连接电阻R。轻质金属棒通过铰链固定在O点，另一端连接质量为m、中心有孔的金属小球C，金属球套在导轨PQ上；金属棒初始位置水平，金属球、金属棒与导轨接触良好。在过圆心O的水平线下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知重力加速度为g，金属棒粗细均匀，总电阻为，金属球与导轨电阻不计。现将金属球由静止释放，当其运动到O点正下方D点时，金属球的速度大小为v，则（　　） A．金属球运动到D点时，金属棒OA两点间的感应电动势为零 B．金属球运动到D点时，电阻R两端的电压为 C．该过程中，通过电阻的电荷量为 D．该过程中，电阻上产生的焦耳热为 【答案】BC 【解析】A．当金属球运动到O点正下方时，金属棒OA段切割磁感线，感应电动势不为零，故A错误； B．当金属球运动到O点正下方时，金属球的速度为，A点的速度为 金属棒AC段产生的电动势为 则电阻R两端的电压为 故B正确； C．金属球滑动到O点正下方时，回路中的平均电动势为 回路中的平均电流为 此过程通过电阻的电荷量为 联立可得 故C正确； D．金属球滑动到O点正下方时，根据能量守恒定律可知，回路中产生的总焦耳热为 电阻上产生的焦耳热为 故D错误。 故选BC。 【典型例题6】（多选) 如图，过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动，O为圆环的圆心，OP为圆环的半径。则（   ） A．圆环中感应电流始终绕O逆时针流动 B．OP与虚线平行时圆环中感应电流最大 C．圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同 D．圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大 【答案】BC 【解析】A．在圆环进入磁场的过程中圆环中感应电流绕O逆时针流动，圆环出磁场的过程中圆环中感应电流绕O顺时针流动，故A错误； BCD．由几何关系可知圆环进入磁场的过程中，圆环的圆心轨迹是以P点为圆心且半径与圆环的半径大小相等的圆，则圆环切割磁感线的有效长度为l = 2rcos(90°－ωt)，其中ω为圆环匀速转动的角速度，90°－ωt为OP与虚线的夹角 则金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动产生的感应电动势瞬时值为 化简得e = Bωr2[1－cos(2ωt)] 可见OP与虚线平行时即ωt = 90°或270°圆环中感应电流最大；分析可知当环转动一圈的过程中，圆环中的感应电流先逆时针增大再减小，后顺时针增大再减小，故圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同；而圆环在磁场内且OP与虚线垂直时ωt = 180°此时环中感应电流为零，故BC正确、D错误。 故选BC。 【典型例题7】（多选) 如图所示，半径分别为和的同心圆形光滑导轨固定在同一水平面上，一长为、电阻为的直导体棒置于圆导轨上面，的延长线通过圆导轨的中心，直径左侧的半圆环区域内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，方向垂直水平面向上。在内圆导轨的点和外圆导轨的点之间接有定值电阻、，，。直导体棒在水平外力作用下以较大角速度绕匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触，其他电阻忽略不计。以下说法正确的是（　　） A．外电路两端电压的有效值为 B．导体棒转动一周外力做功的平均功率为 C．导体棒转动一周流过的电荷量为 D．导体棒转动一周上产生的焦耳热为 【答案】AB 【解析】A．导体棒在磁场中转动切割磁感线产生电动势为 由于导体棒转动一周的时间内只有半个周期有感应电动势，设电动势有效值为，则有 解得 、并联后的电阻为 则外电路两端电压的有效值为 故A正确； B．根据能量守恒可知，导体棒转动一周外力做功的平均功率为 故B正确； CD．导体棒在磁场中转动时，回路的总电流为 通过的电流为 则导体棒转动一周流过的电荷量为 通过的电流为 则导体棒转动一周上产生的焦耳热为 故CD错误。 故选AB。 【典型例题8】如图，金属轨道和， 和 平行放置于水平面上，间距为 ，其中和 段轨道粗糙且与导体棒间的动摩擦因数，和两端用绝缘材料连接，和段轨道光滑且足够长。左侧某位置放置一根可自由滑动的导体棒，电阻为，质量为；右侧某位置放置导体棒（事先被锁定），电阻为，质量为，导体棒和都与轨道垂直，整个水平轨道处于竖直向下磁感应强度的匀强磁场中。半径的金属圆环，金属圆环水平放置，点为圆环中心，处于竖直向下磁感应强度 的匀强磁场中，电阻为的金属棒，在外力作用下，沿图示方向俯视为顺时针绕过点的竖直轴以一定角速度匀速转动，端与金属圆环良好接触，金属圆环与导轨 用导线连接，点用导线与导轨连接。不计所有导轨、连接导线、金属环和接触的电阻，取。问： (1)比较金属棒两端电势的高低？要使导体棒能向右运动，则金属棒转动的角速度最小值为多少？ (2)某时刻棒跨过线进入右侧的磁场区开始计时，同时对棒施加恒力，棒从静止开始运动，经 刚好达到匀速运动状态，则此时棒与线的距离为多少？ (3)若棒获得 的速度跨过线进入右侧磁场区的同时，解除棒的锁定，此后不与相撞，经足够长时间后，求棒产生的热量为多少？ 【答案】(1)A端的电势高于O端， (2) (3) 【解析】（1）根据右手定则可知，A端的电势高于O端； 对MN棒受力分析可知安培力至少达到最大静摩擦力即 解得 根据闭合电路欧姆定律有 由法拉第电磁感应定律有 解得 （2）MN棒达到匀速运动状态，设匀速时的速度为v1，由 又， 解得 根据动量定理 故解得 （3）根据动量守恒有 解得 根据能量守恒有 故解得 【变式训练2-3-1】如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，相当于Oa、Ob、Oc导体棒转动切割磁感线，根据右手定则可知O点电势最高；根据 同时有 可得 得 故选C。 【变式训练2-3-2】半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R的均匀直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在两导轨之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。下列说法正确的是(　　) A.导体棒中电流由A流向B B.电容器所带电荷量为CBωr2 C.电容器的M板带负电 D.导体棒两端电压为Bω2r 【答案】B 【解析】　根据右手定则，导体棒中电流方向由B流向A，A项错误；在t时间内，导体棒扫过的面积S＝ωt[(2r)2－r2]，根据法拉第电磁感应定律E＝B·，导体棒两端电压U＝E，解得U＝Bωr2，电容器所带电荷量为Q＝CU＝CBωr2，B项正确，D项错误；A点电势高于B点电势，故M板带正电，C项错误。 【变式训练2-3-3】如图所示，为固定在水平面上的半径为l、圆心为O的金属半圆弧导轨，间用导线连接一电阻M。金属棒一端固定在O点，另一端P绕过O点的轴，在水平面内以角速度为逆时针匀速转动，该过程棒与圆弧良好接触。整个空间分布着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，已知金属棒由同种材料制成且粗细均匀，棒长为、总电阻为，M阻值为r，其余电阻忽略不计。当棒转到图中所示的位置时，棒与圆弧的接触处记为Q点，则（   ） A．通过M的电流方向为 B．通过M的电流大小为 C．两点间电压为 D．两点间电压为 【答案】D 【解析】A．根据右手定则可知金属棒O端为负极，Q端为正极，则M的电流方向从a→O，A错误； B．金属棒转动产生的电动势为 根据欧姆定律有 B错误； C．由于其余电阻忽略不计，则OQ两点间电压，即电阻M的电压，根据欧姆定律有 C错误； D．金属棒PQ转动产生的电动势为 由于PQ没有连接闭合回路，则PQ两点间电压，即金属棒PQ转动产生的电动势，D正确。 故选D。 【变式训练2-3-4】如图所示，半径为L的导电圆环（电阻不计）绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内（两条虚线之间）分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R0相连，定值电阻R0的另一端通过导线接在圆环的中心轴上，在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后，辐条中电流的大小不变，方向改变 B．定值电阻R0两端的电压为BL2ω C．通过定值电阻R0的电流为 D．圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量为 【答案】C 【解析】A．由题意知，三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线，切割磁感线的金属辐条相当于内阻为r的电源，另外两根金属辐条和定值电阻R0并联，辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变，故A错误； BC．电路的总电阻 圆环匀速转动时感应电动势 所以定值电阻R0两端的电压 通过定值电阻R0的电流 故B错误，C正确； D．圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量 故D错误。 故选C。 【变式训练2-3-5】如图所示，半径为的金属圆环，接有电阻均为的三根导电辐条、、，绕垂直于圆环平面、通过圆心的轴以角速度匀速转动，圆环上辐条互成角。圆环内，在圆心角为的扇形区域内存在垂直圆环平面向下磁感应强度为的匀强磁场，圆环及其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 B．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 C．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 D．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 【答案】A 【解析】AB．当辐条在磁场中转动时，辐条产生电动势 辐条和并联，总电阻为，电路总电阻为，辐条上的电流 热功率 A项正确，B项错误； CD．当辐条在磁场中转动时，辐条产生电动势 辐条和并联，总电阻为，电路总电阻为，辐条上的电流 辐条上的电流 辐条热功率 CD项错误。 故选A。 【变式训练2-3-6】将一均匀导线围成一闭合的环状扇形线框MNPQ，其中，，圆弧MN和PQ的圆心均为O点，O点为直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。从时刻开始让导线框以O点为圆心，以恒定的角速度沿逆时针方向做匀速圆周运动，规定沿QMNP方向的电流为正，则导线框中的电流随时间的变化规律描绘正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在时间内，线框从图示位置开始(t=0)转过90°的过程中产生的感应电动势为 由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流为 根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向为逆时针方向，为负方向。 在时间内，线框进入第三象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向，为正方向。回路中产生的感应电动势为 感应电流为 在时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向，为负方向，回路中产生的感应电动势为 感应电流为 在时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向，为正方向，回路中产生的感应电动势为 回路电流为 故选B。 【变式训练2-3-7】边界的右侧区域内，存在着磁感应强度大小为，方向垂直光滑水平桌面向下的匀强磁场。边长为的正三角形金属线框粗细均匀，三边阻值相等，顶点刚好位于边界上，现使线框围绕过点且垂直于桌面的转轴以角速度逆时针匀速转动，如图所示，则在边开始转入磁场的瞬间，、两点间的电势差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在边开始转入磁场的瞬间，ab边产生的电动势 右手定则可知a点电势比b点高，故、两点间的电势差即路端电压 故选C。 【变式训练2-3-8】一根长为L、下端固定的导体棒OA处于匀强磁场中。磁场的方向竖直向上，大小为B。若该导体棒以角速度ω绕竖直轴旋转，旋转方向如图所示。则导体棒中的电动势（　　） A．大小为， B．大小为， C．大小为， D．大小为， 【答案】A 【解析】由题可知，导线切割磁感线的有效长度为 导线切割磁感线的平均速度为 故根据动生电动势的表达式可知 根据右手定则可判断产生感应电流的方向为O→A，此时导体棒OA相当于一个感应电源，所以。 故选A。 【变式训练2-3-9】法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，圆盘电阻为r，外电路电阻为R，下列说法正确的是（　　） A．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则回路电流也变为原来的2倍 B．若从上往下看，圆盘顺时针转动，电阻R两端a，b电势关系为 C．圆盘转动转动过程中，克服安培力做功等于电阻R上生成的焦耳热 D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍 【答案】A 【解析】A．若圆盘转动的角速度恒定，设圆盘半径为l，圆盘转动产生的感应电动势为 由 可知ω变为2倍，则电流大小也变为2倍，A正确； B．若从上往下看，圆盘顺时针转动，根据右手定则可知，外电路中电流沿a到b的方向流过电阻R，即 B错误； C．圆盘转动过程中克服安培力做的功等于整个回路的焦耳热，即 C错误； D．根据圆盘转动产生的感应电动势为 若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，根据 可知电流在R上的热功率变为原来的4倍，D错误。 故选A。 【变式训练2-3-10】（多选) 下面是一种电动汽车能量回收系统简化结构图。行驶过程，电动机驱动车轮转动。制动过程，电动机用作发电机给电池充电，进行能量回收，这种方式叫“再生制动”。某电动汽车4个车轮都采用轮毂电机驱动，轮毂电机内由固定在转子上的强磁铁形成方向交替的等宽辐向磁场，可视为线圈处于方向交替的匀强磁场中，磁感应强度大小为。正方形线圈固定在定子上，边长与磁场宽度相等均为，每组线圈匝数均为，每个轮毂上有组线圈，4个车轮上的线圈串联后通过换向器（未画出）与动力电池连接。已知某次开始制动时线圈相对磁场速率为，回路总电阻为，下列说法正确的有（　   ） A．行驶过程，断开，闭合 B．制动过程，断开，闭合 C．开始制动时，全部线圈产生的总电动势为 D．开始制动时，每组线圈受到的安培力为 【答案】BC 【解析】AB．行驶过程，电动机驱动车轮转动，则闭合，断开；制动过程，电动机用作发电机给电池充电，则断开，闭合，故A错误，B正确； C．由图可知，线圈左右两边同时切割磁感线，4个车轮上的线圈串联，则开始制动时，全部线圈产生的总电动势为 故C正确； D．开始制动时，回路中的电流为 线圈左右两边的安培力同向，则每组线圈受到的安培力为 故D错误； 故选BC。 【变式训练2-3-11】（多选) 如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是(　　) A．图示位置处杆O点电势高于b点电势 B．a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比2∶1 D．棒转动一圈时金属棒上产生的热量为 【答案】CD 【解析】根据右手定则可知，图示位置直金属棒Oa部分充当电源，电源内部电流方向为O→a，外电路电流方向为b→O，则杆O点电势低于b点电势，故A错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E感＝Bdv＝Bd·＝，根据等效电路可知，圆环部分电阻为R环＝＝，整个电路的总电阻为R总＝R环＋R＝，干路电流为I＝＝，a、b两点的电势差大小Uab＝IR环＝，故B错误；转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率分别为P棒＝I2R，P环＝I2R环＝，故转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比为P棒∶P环＝2∶1，故C正确；棒转动一圈时导体棒上产生的热量Q＝I2Rt＝()2·R·＝，故D正确。 【变式训练2-3-12】（多选) 某风速实验装置由如图甲、乙所示的风杯组系统和电磁信号产生系统两部分组成。风杯固定在竖直转轴的顶端，风杯中心到转轴距离为2L，风推动风杯绕竖直转轴顺时针匀速转动。电磁信号产生器由圆形匀强磁场和固定于转轴上的导体棒OA组成，磁场半径为L，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导体棒OA长为1.5L，电阻为r。导体棒每转一周，A端与弹性簧片接触一次，接触时产生的电流强度恒为I。图中电阻为R，其余电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．流过电阻R的电流为正弦式交流电 B．当导体棒与弹性簧片接触时，OA两点的电压大小为Ir C．当导体棒与弹性簧片接触时，O点电势低于A点电势 D．风杯的速率 【答案】CD 【解析】根据题意可知，当导体棒在磁场中顺时针转动时，相当于电源，且O端相当于电源的负极，则根据欧姆定律可知，OA两端电势差UOA数值上等于电路中的外电压，则有依题意有，电源电动势为，流过电阻R的电流为恒定电流，故AB错误，C正确；闭合电路的欧姆定律有，解得 则风杯的速率为，故D正确。 【变式训练2-3-13】（多选) 如图甲所示，一长为L的导体棒，绕水平圆轨道的圆心O顺时针匀速转动，角速度为ω，电阻为r，在圆轨道空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。半径小于的区域内磁场竖直向上，半径大于的区域磁场竖直向下，俯视如图乙所示，导线一端Q与圆心O相连，另一端P与圆轨道连接给电阻R供电，其余电阻不计，则(　　) A.电阻R两端的电压为 B.电阻R中的电流方向向下 C.电阻R中的电流大小为 D.导体棒所受的安培力做功的功率为 【答案】BC 【解析】导体棒转动产生的感应电动势为E＝Bω－BωBωL2，电阻R的电流大小为I＝，电阻R两端的电压为U＝IR＝，选项A错误，C正确；根据右手定则可知圆心为负极，圆轨道为正极，电阻R中的电流方向向下，故B正确；导体棒所受的安培力做功的功率等于电功率，则为P＝，选项D错误。 【变式训练2-3-14】（多选) 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第Ⅰ象限和第Ⅳ象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B的匀强磁场。一半径为L、电阻为R、圆心角为60°的扇形闭合线圈在纸面内绕O点逆时针匀速转动，角速度为ω，t＝0时，半径OA与x轴重合，下列说法正确的是（   ） A．线圈转动一周的过程中产生的感应电流的有效值为 B．时刻，感应电动势的大小为 C．时刻，感应电流的大小为 D．时刻，感应电流的方向为A→O→C→A 【答案】AC 【解析】A.半径OC切割磁感线产生的感应电动势为 只有半径OC切割磁感线产生的感应电流为 线圈转动过程中，规定A→O→C→A为感应电流正方向，根据有效值的定义，有 所以，选项A正确； B.时刻，此时的感应电动势为，选项B错误； CD.时刻，感应电流方向为负方向，感应电流大小为，选项C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练2-3-15】（多选) 一个圆形金属框和三根相同的导体棒焊接成如图所示的形状，金属框的阻值忽略不计，导体棒的阻值均为r，长度均为R，且互成，以O为圆心、R为半径的扇形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，使金属框绕O点以角速度逆时针匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．棒内的电流方向一直为从O指向A B．当棒在磁场中时，两点间的电势差为 C．棒内的最大电流为 D．每转一周，三根导体棒所产总热量为 【答案】BD 【解析】A．当OA在磁场区域切割磁感线时，由右手定则知OA中电流方向从O指向A，当其他两棒切割磁感线时，通过OA的电流方向从A指向O，A错误； BC．当棒在磁场中切割磁感线时，OA是电源，通过OA的电流达到最大，OB与OC是外电路的两个并联电阻，此时OA上的电动势为则此时OA上电流为，B正确，C错误； D．每根导体棒转过磁场区域时间内，闭合回路产生的焦耳热为 则每转一周，三根导体棒所产总热量为，D正确。故选BD。 【变式训练2-3-16】（多选) 如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度匀速转动。在电刷和圆环的A点间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，金属棒接入电路的电阻为R，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．金属棒产生的电动势为 B．电阻R两端的电压为 C．电容器所带的电荷量为 D．微粒的电荷量与质量之比为 【答案】CD 【解析】A．金属棒绕轴切割磁感线转动，棒产生的电动势 A错误； B．电路不闭合没有电流，电阻R两端的电压为零，B错误； C．电容器两极板间电压等于电源电动势E，电容器所带的电荷量 C正确； D．带电微粒在两极板间处于静止状态，则 即 D正确。 故选CD。 【变式训练2-3-17】（多选) 如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其它电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 【答案】AC 【解析】A．0~t0时间内，ab棒匀速转动，产生的感应电动势为 cd棒匀速下滑，产生的感应电动势为， 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 故A正确； B．对cd棒，根据平衡条件可得 所以 故B错误； C．t0时刻锁定cd棒，磁场均匀增大，产生的感应电动势为 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 所以t0~2t0通过MP间电阻的电量为 故C正确； D．t0~2t0回路消耗的总功率为 故D错误。 故选AC。 【变式训练2-3-18】（多选) 如图所示，一金属棒AC在匀强磁场中绕平行于磁感应强度方向的轴(过O点)匀速转动，OA＝2OC＝2L，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，金属棒转动的角速度为 ω、电阻为r，内、外两金属圆环分别与C、A良好接触并各引出一接线柱与外电阻R相接(没画出)，两金属环圆心皆为O且电阻均不计，则(　　) A．金属棒中有从A到C的感应电流 B．外电阻R中的电流为I＝ C．当r＝R时，外电阻消耗功率最小 D．金属棒AC间电压为 【答案】BD 【解析】由右手定则可知金属棒相当于电源且A是电源的正极，即金属棒中有从C到A的感应电流，A错误；金属棒转动产生的感应电动势为E＝Bω(2L)2－BωL2＝，即回路中电流为I＝，B正确；由电源输出功率特点知，当内、外电阻相等时，外电路消耗功率最大，C错误；UAC＝IR＝，D正确． 【变式训练2-3-19】（多选) 如图所示，在以水平线段AD为直径的半圆形区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。现有一个闭合导线框ACD由细软弹性电阻丝制成），端点A、D固定。在竖直面内，将导线与圆周的接触点C点以恒定角速度（相对圆心O）从A点沿圆弧移动至D点，使导线框上产生感应电流。设导线框的电阻恒为，圆的半径为，从A点开始计时，下列说法正确的是（　　） A．导线框中感应电流的方向先逆时针，后顺时针 B．在C从A点移动到D的过程中，穿过ACD回路的磁通量与时间的关系为 C．在C从A点移动到图中位置的过程中，通过导线截面的电荷量为 D．若以AD为轴，保持，将导线框以恒定的角速度转，回路中的电动势逐渐减小 【答案】ABC 【解析】A．依题意，回路中的磁通量先增大后减小，且磁场方向一直向里，根据楞次定律，感应电流产生的磁场方向先是向外然后再向里，则根据右手螺旋定则，感应电流的方向先是逆时针后是顺时针，故A正确； B．依题意，C点在旋转过程中，有 故B正确； C．依题意有 解得 故Ｃ正确； D．若以AD为轴，保持， AC、CD边速度方向边与磁场方向夹角从零逐渐变大，依题意，其回路中的电动势与时间t的关系式为 将导线框以恒定的角速度转的过程中，其电动势逐渐变大，故D错误。 故选ABC。 【变式训练2-3-20】如图所示，固定金属圆环内存在方向垂直圆环向下的匀强磁场，在外力作用下金属棒Ob可绕着圆心O沿逆时针方向匀速转动。从圆心和圆环边缘用细导线连接足够长的两光滑平行金属导轨，导轨与水平面的夹角，导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，将金属棒cd垂直导轨轻轻放在导轨上，cd棒恰好保持静止。已知圆环内的磁场和导轨间的磁场的磁感应强度大小均为，圆环半径和金属棒Ob的长度均为，导轨宽度和金属棒cd的长度均为，金属棒cd的质量，Ob棒的电阻，cd棒的电阻，其余电阻不计，重力加速度大小。求： (1)金属棒cd的电功率P； (2)Ob棒转动的角速度。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）对金属棒cd受力分析，根据受力平衡有， 金属棒cd的电功率 解得 （2）根据法拉第电磁感应定律可知，金属棒Ob转动过程中产生的感应电动势 根据闭合电路欧姆定律有 解得 【变式训练2-3-21】如图所示，半径为的水平金属圆盘绕过中心的竖直轴以角速度匀速转动，圆盘处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。是间距为的足够长、水平光滑平行金属导轨，导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。导轨的端用导线通过电刷与圆盘边缘相连，、之间连接电容为的电容器和单刀双掷开关，且的接线柱1通过电刷与圆盘中心相连。在导轨上间隔一定距离垂直于导轨放置着两根金属棒、，质量分别为和，电阻值分别为和，不计其他电阻，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)将S掷于1，稳定后，求电容器所带的电荷量； (2)当电容器所带电荷量为时，将从1掷于2， i．求、棒稳定后的速度大小； ii．为使、棒不相碰，求两棒初始距离的最小值。 【答案】(1) (2)i．ii． 【解析】（1）圆盘转动，根据法拉第电磁感应定律有 稳定后，电容器所带的电荷量为 根据电路知识可得 解得 （2）i．将开关从1掷于2时，、棒均开始向右运动，稳定后，电路中无感应电流，、棒的速度大小相等，有 对棒，根据动量定理有 其中 对棒，根据动量定理有 其中 对电容器 根据法拉第电磁感应定律有 又 解得 ii．设、棒运动过程中的速度大小为、，则棒两端的电压为， 整理可得 而，， 联立可得两棒初始距离的最小值为 【变式训练2-3-22】某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势、内阻、限流电阻、飞轮每根辐条电阻，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。 （1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数。 ①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I； ②求物块匀速上升的速度v。 （2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等， ①求可调电阻R2的阻值； ②求磁感应强度B的大小。 【答案】（1）①垂直纸面向外，10A；②5m/s；（2）①；②2.5T 【解析】（1）①物块上升，则金属轮沿逆时针方向转动，辐条受到的安培力指向逆时针方向，辐条中电流方向从圆周指向O点，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；由闭合电路的欧姆定律可知 则 ②辐条切割磁感线产生的电动势与电源电动势相反，设每根辐条产生的电动势为E1，则 解得 此时金属轮可视为电动机 当物块P匀速上升时 解得 另解：因，根据 解得 （2）①物块匀速下落时，由受力分析可知，辐条受到的安培力与第（1）问相同，经过R2的电流 由题意可知 每根辐条切割磁感线产生的感应电动势 解得 另解：由能量关系可知 解得 ②根据 而 解得 （四）线框转动切割磁感线 【典型例题1】如图所示，边长为1m、电阻为0.04Ω的刚性正方形线框 abcd 放在与强磁场中，线框平面与磁场B垂直。若线框固定不动，磁感应强度以均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2T，线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为（　　） A． N B． C．1N D． 【答案】C 【解析】磁场均匀增大时，产生的感应电动势为 可得 线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时电动势的最大值为 此时有 解得 分析可知当线框平面与磁场方向平行时感应电流最大为 故ab边所受最大的安培力为 故选C。 【典型例题2】（多选) 如图甲所示，发电机的矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，从时刻开始，通过矩形线圈的磁通量随时间变化的规律如图乙所示，已知线圈的匝数，线圈的电阻，线圈与外电路连接的定值电阻，电压表为理想交流电表。则下列说法正确的是（　　） A．交流电频率为 B．时刻线圈平面位于中性面 C．线圈转动过程中产生的最大感应电流为 D．电压表的示数约为 【答案】CD 【解析】A．由乙图可知 A错误； B．由乙图可知，时刻，磁通量为零，线圈平面与磁感线平行，故此时垂直于中性面，B错误； C．线圈中的最大感应电动势为 C正确； D．电压表的示数为 D正确。 故选CD。 【变式训练2-4-1】（多选）如图，长为2L、宽为L的矩形金属线框abcd放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于线框平面向上。当金属框绕对称轴ef以角速度逆时针匀速转动时，下面说法正确的是（　　） A．线圈中没有感应电流 B．线圈中感应电流的方向为a→b→c→d→a C．ad两点的电势差 D．ad两点的电势差 【答案】AD 【解析】AB．当金属框绕对称轴ef以角速度逆时针匀速转动时，穿过线圈平面的磁通量始终为零。由楞次定律，线圈中没有感应电流。A正确；B错误； CD．ad转动切割磁线，设ad中点为 ad两点的电势差 C错误；D正确。 故选AD。 【变式训练2-4-2】（多选）在一小型交流发电机中，矩形金属线圈的面积为，匝数为，线圈总电阻为，在磁感应强度为的匀强磁场中，绕轴（从上往下看逆时针转动）以角速度匀速转动，从如图甲所示的位置作为计时的起点，产生的感应电动势随时间的变化关系如图乙所示，矩形线圈与阻值为的电阻构成闭合电路，下列说法中正确的是（　　） A．在时间内，穿过线圈的磁通量的变化量大小为 B．在时间内，通过电阻电流方向先向上然后向下 C．时刻穿过线圈的磁通量的变化率大小为 D．在时间内，通过电阻的电荷量为 【答案】AD 【解析】A．由图乙可知和时刻，线圈的感应电动势都为，可知这两个时刻穿过线圈的磁通量一正一负，大小均为，故此过程的穿过线圈的磁通量的变化量大小为 A正确； B．由图乙可知，在时间内，线圈中的电流方向不变，根据右手定则可知通过电阻电流方向始终向上，B错误； C．由图乙可知，时刻的感应电动势为，根据法拉第电磁感应定律可得 可得穿过线圈的磁通量的变化率大小为 C错误； D．在时间内，通过电阻的电荷量为 又 联立可得 D正确。 故选AD。 题型03：通过导体的电量问题 【典型例题1】（多选）如图，两匀强磁场磁感应强度分别为和，一半径为，单位长度电阻为的圆线圈开始时处于左侧磁场中，且与两侧磁场界线相切。现线圈以切点为轴，在纸面内以角速度顺时针方向匀速转动。则（　　） A．感应电流的方向为顺时针方向 B．转时线圈中感应电动势的值为 C．线圈所受安培力的最大值 D．匀速转动过程中通过线圈的电量为 【答案】AC 【解析】A．根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向，故A正确； B．转时线圈切割磁感线的有效长度为 感应电动势的值为，故B错误； C．线圈受到安培力的最大值时，切割磁感线的有效长度为 相对磁感应强度 等效电阻为 则感应电动势 感应电流 则最大安培力为，故C正确； D．匀速转动过程中通过线圈的电量为，故D错误。 故选AC。 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨ab和cd固定在同一水平面内，间距为L。导轨间有竖直向上的匀强磁场B，另有一直径为d的金属圆盘绕中心轴O以角速度顺时针匀速转动，圆盘区域有垂直圆盘向下的匀强磁场B。导轨b端通过电刷与圆盘边缘e点连接，导轨d端与圆盘金属转轴连接。现将质量为m的金属杆MN垂直于导轨由静止释放。下列结论正确的是（　　） A．金属杆最终做匀速直线运动 B．刚释放时金属杆的加速度最大 C．金属杆运动过程中的最大速度为 D．整个运动过程通过金属杆的总电量为 【答案】ABD 【解析】ABC．金属圆盘转动时产生恒定的电动势 则导体棒受安培力作用做加速运动，若某时刻的速度为v，则 则随着导体棒的速度v逐渐变大，安培力逐渐减小，则加速度逐渐减小，则刚释放时金属杆的加速度最大，最终当时加速度为零，导体棒做匀速运动，此时的最大速度，选项AB正确，C错误； D．对导体棒由动量定理 而可得，选项D正确。 故选ABD。 【变式训练3-1】一粗细均匀、总电阻为、边长为的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。下列说法正确的是（　　） A．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 B．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 C．在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 D．在时间内，通过该线圈某截面的电量为 【答案】C 【解析】AB．根据法拉第电磁感应定律 可知在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 同理在时间内，该线圈中产生的感应电动势为，故AB错误； C．根据焦耳定律可知，在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 所以在时间内，该线圈中产生的焦耳热为，故C正确； D．在时间内，该线圈的磁通量变化为 根据法拉第电磁感应定律可得在时间内，通过该线圈某截面的电量为，故D错误。 故选C。 【变式训练3-2】用一根横截面积为S、电阻率为的粗细均匀的硬质细导线做成半径为的圆环，固定在水平桌面上，为圆环的直径，在的左侧存在匀强磁场，方向垂直圆环所在的平面，磁感应强度随时间的变化规律为，在磁感应强度由减小到0的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．圆环有收缩的趋势 B．圆环有向右运动的趋势 C．圆环在磁场中的部分产生的焦耳热为 D．通过圆环横截面的电量为 【答案】D 【解析】A．磁感应强度减小，穿过线圈的磁通量减小，线圈中产生感应电流，由于穿过线圈的磁通量减小，根据楞次定律可知，感应电流的效果将阻碍磁通量的减小，则原磁场对线圈的安培力作用使线圈有扩张的趋势，故A错误； B．磁感应强度减小，穿过线圈的磁通量减小，线圈中产生感应电流，由于穿过线圈的磁通量减小，根据楞次定律可知，感应电流为顺时针，根据左手定则可知，左侧线圈所受安培力向左，则原磁场对线圈的安培力作用使线圈有向左的趋势，故B错误； C．线圈中感应电动势的大小 感应电流为 根据电阻定律有 则圆环在磁场中的部分产生的焦耳热为 其中 解得 故C错误； D．根据电流的定义式有 结合上述解得通过圆环横截面的电量为 故D正确。 故选D。 【变式训练3-3】如图所示，直角三角形金属框abc电阻为R，ab边长为L，bc边长为L。金属框绕ab边以角速度逆时针转动，空间中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．若磁场方向平行ab边向上，金属框中没有感应电流，bc间电势差也为0 B．若磁场方向垂直纸面向里，图示时刻金属框中的感应电流最大 C．若磁场方向垂直纸面向里，从图示时刻开始至金属框转过的过程中，流经金属框的电量为 D．若磁场方向垂直纸面向里，从图示时刻开始至金属框转过的过程中，金属框中产生的焦耳热为 【答案】D 【详解】A．磁场方向平行ab边向上时，金属框磁通量不变，不产生感应电流，但bc边切割磁感线，有感应电动势，bc电势差不为0，A错误； B．若磁场方向垂直纸面向里，金属框转动产生正弦式交变电流，图示时刻感应电流为0，B错误； C．从图示时刻开始至金属框转过的过程有 解得C错误； D．从图示时刻开始至金属框转过的过程中，金属框中产生的焦耳热由 联立解得故D正确。 故选D。 【变式训练3-4】如图所示，正方形线圈MOO′N处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与水平面的夹角为30°，线圈的边长为L，电阻为R，匝数为n。线圈从竖直面绕OO′顺时针转至水平面的过程中，通过导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　根据法拉第电磁感应定律得＝n，又有＝，q＝·Δt，解得q＝n，又因为ΔΦ＝Φ2－Φ1，Φ2＝BL2sin 30°，Φ1＝－BL2cos 30°，解得q＝，故A正确。 【变式训练3-5】如图所示，在磁感应强度的匀强磁场中，有一个半径的金属圆环。圆环所在的平面与磁感线垂直，OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20rad/s的角速度绕圆心O匀速转动。A端始终与圆环相接触，OA棒的电阻，图中定值电阻，，电容器的电容，圆环和导线的电阻忽略不计，则（　　） A．电容器下极板带正电 B．电路消耗的电功率是 C．电容器的带电荷量是 D．若金属棒在转动过程中突然停止不动，则此后通过的电量是 【答案】D 【解析】A．根据右手定则可知，A端电势高于O端电势，所以电容器上极板带正电，故A错误； B．金属棒OA产生的电动势为 由闭合电路欧姆定律可知 电路消耗的电功率为 故B错误； C．金属棒OA两端的电压为 电容器的带电荷量 故C错误； D．若金属棒在转动过程中突然停止不动，电容器进行放电，根据并联分到的电流与电阻成反比，可知此后通过R2的电量为 故D正确。 故选D。 【变式训练3-6】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【答案】B 【解析】A．对导体棒组成的系统进行受力分析，可知合外力为零系统动量守恒，有 即在任意时刻，与速度大小之比为故A错误； B．未剪断细线时，有 导体棒达到最大速度时，有 又 根据导体棒切割磁感线产生电动势，可得又 联立，解得故B正确； C．根据动量定理，可得 又 联立，解得 故C错误； D．设在0到t时间内，上滑的距离为x，则cd下滑的距离为2x，有 联立，解得 故D错误。 故选B。 【变式训练3-7】（多选）如图，两条相同的光滑金属导轨平行放置，间距为L，右侧的半圆导轨处于竖直面内，磁感应强度大小为B且竖直向上的匀强磁场只存在于水平导轨区域。水平导轨上静置ab、cd两根材料相同、粗细均匀的实心金属棒，两棒长度均为L、质量分别为2m和m。现给金属棒ab一个向右的初速度，一段时间后，在金属棒cd进入半圆导轨前两棒均已达到匀速运动。已知金属棒cd恰能运动到半圆导轨的最高点，cd棒离开导轨前两棒与导轨始终垂直且接触良好，两棒之间未发生碰撞。导轨电阻不计，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两棒在水平导轨匀速运动时的速度均为 B．金属棒cd离开水平导轨前，ab棒上产生的焦耳热为 C．金属棒cd离开水平导轨前，通过其横截面的电量为 D．金属棒cd离开半圆导轨至未落到水平导轨前其产生的感应电动势始终为 【答案】ACD 【解析】A．当两棒共速时，回路磁通量不变，感应电流为零，安培力为零，开始匀速运动。系统水平方向不受外力，动量守恒 解得，两棒速度均为，故A正确； B．总焦耳热等于动能损失 两棒材料相同、长度相同，由、 得，因此 串联电路焦耳热与电阻成正比，故，故B错误； C．对cd棒用动量定理，安培力冲量等于动量变化 代入得，故C正确； D．cd棒从最低点到最高点由动能定理可得 在最高点重力提供向心力 之后做平抛运动，故D正确。 故选ACD。 【变式训练3-8】（多选）如图所示在空间直角坐标系中有一等腰直角三角形线框，其中一条直角边与z轴重合，另一条直角边在xOy平面内，线框总电阻为r，直角边长为l，当线框在外力作用下绕着z轴以角速度匀速转动时，线框上的P点先后经过x轴和y轴，整个装置处于沿y轴方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，则下列判断正确的是（  ） A．当线框经过y轴时，P、Q两点电势差为 B．当线框经过x轴时，OP两点间的电势差 C．线框由x轴位置转到y轴位置的过程中，通过线框截面的电量为 D．线框在转动一圈的过程中外力做功为 【答案】AD 【解析】A．当线框经过y轴时，线框的有效切割长度为l，此时产生的感应电动势 根据几何关系可知PQ的长度为，PQ切割磁感线，P点的电势高于Q点的电势，P、Q两点电势差为路端电势差 故A正确； B．当线框经过x轴时，此时线框平面与磁场垂直，属于中性面，中性面的电压为零故B错误； C．线框由x轴位置转到y轴位置的过程中，线框中磁通量的变化量为 通过线框截面的电量为故C错误； D．感应电动势最大值 有效值 电流 焦耳热 联立得 根据能量守恒，外力做功为，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-9】（多选）如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其他电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 【答案】AC 【解析】A．0~t0时间内，ab棒匀速转动，产生的感应电动势为 cd棒匀速下滑，产生的感应电动势为， 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 故A正确； B．对cd棒，根据平衡条件可得 所以 故B错误； C．t0时刻锁定cd棒，磁场均匀增大，产生的感应电动势为 由于两个电源并联，所以通过MP的电流大小为 所以t0~2t0通过MP间电阻的电量为 故C正确； D．t0~2t0回路消耗的总功率为 故D错误。 故选AC。 【变式训练3-10】如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求 （1）平台静止时弹簧的伸长量； （2）时，每个线圈所受到安培力F的大小； （3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q； （4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）平台静止时，穿过三个线圈的的磁通量不变，线圈中不产生感应电流，线圈不受到安培力作用，O点受力平衡，因此由胡克定律可知此时弹簧的伸长量 （2）在时速度为，设每个线圈的周长为L，由电磁感应定律可得线圈中产生的感应电流 每个线圈所受到安培力F的大小 （3）由减震器的作用平台上下不移动，由能量守恒定律可得平台在时间内，振动时能量的减少量为，由能量守恒定律 在时间内，振动时能量的减少转化为线圈的焦耳热，可知每个线圈产生的焦耳热 （4）取向上为正方向，全程由动量定理可得 其中 联立解得弹簧弹力冲量的大小为 题型04：电磁感应中的含电容电路 【典型例题1】如图，两根相距L的平行光滑金属导轨水平放置，一端与电容为C的电容器相连。在导轨之间x>0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，磁感应强度B=kx，其方向与导轨平面垂直。一根质量为m的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在水平外力作用下从x=0处以速度v沿导轨向右匀速运动，所有电阻不计。求∶ （1）金属棒在x=x1处时电容器所带的电荷量Q1； （2）电路中的电流i； （3）金属棒在x=x2处时电容器储存的电能。 【答案】（1）kLCVx1；（2）kLCv2，电流方向为逆时针；（3） 【解析】（1）金属棒在任意位置x时，电容器极板间电压等于金属棒在导轨之间产生的感应电动势，即 U=BLv=kLvx ① 根据电容的定义 ② 由①②得电容器所带的电荷量Q=kLCvx ③ 故金属棒在x=x1处时电容器所带的电荷量Q1=kLCvx1 ④ （2）根据③式可知，在时间间隔t内电容器电荷量的增加量为 Q=kLCvx ⑤ 电路中的电流 ⑥ 由速度定义可知x=vt ⑦ 联立⑤⑥⑦得 i=kLCv2 ⑧ 电流方向为逆时针。 （3）金属棒在x=x2处时所受水平外力与安培力平衡，故水平外力 F=BiL=kLix2⑨ 根据电路中的能量转化与守恒可知，电容器所储存的电能等于水平外力所做的功，即 ⑩ 联立⑧⑨⑩得电容器所储存的电能 ⑪ 【典型例题2】如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，间距为，定值电阻，电容器电容为，磁感应强度大小的匀强磁场垂直于导轨平面向上。有一质量为、电阻不计的导体棒与导轨垂直放置且接触良好，仅闭合，在水平外力作用下运动。电阻两端电压随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度为。 (1)求的加速度大小； (2)求从开始运动内通过的电荷量； (3)若开始时断开，闭合后，导体棒受到大小为导体棒重力一半的水平拉力作用，试分析导体棒的运动状态。 【答案】(1)；(2)；(3)做匀加速直线运动 【解析】(1)由电路知 由图象得由以上两式得所以 (2)流过电阻的电荷量 通过导体棒的平均电流 内导体棒产生的平均电动势 内回路磁通量的变化量 内导体棒通过的位移 可得 解得 (3)导体棒在水平拉力和安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律得 又 联立解得加速度为恒量，所以导体棒做匀加速直线运动。 【典型例题3】如图所示，有两光滑平行金属导轨，倾斜部分和水平部分平滑连接，、段用特殊材料制成，光滑不导电，导轨的间距，左侧接的定值电阻，右侧接电容的电容器，区域、区域均存在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度的匀强磁场，区域长。金属杆、的长度均为，质量均为，的电阻为，的电阻不计。金属杆从距水平部分的高度处由静止滑下，金属杆静止在区域，金属杆与金属杆发生弹性碰撞后进入区域，最终稳定运动。求： （1）金属杆刚进入区域时通过电阻的电流； （2）金属杆刚离开区域时的速度的大小； （3）金属杆稳定运动时的速度的大小； （4）整个运动过程中金属杆上产生的焦耳热。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）金属杆从开始运动到进入区域，由动能定理有 解得 刚进入区域时 解得 （2）金属杆从进入区域到离开区域，由动量定理有 解得 （3）金属杆、碰撞过程中，有 解得， 分析可知，杆进入磁场后，电容器充电，杆速度减小，匀速运动时，杆产生的感应电动势与电容器两端电压相同，且通过杆的电荷量就是电容器储存的电荷量，则有 联立解得 （4）杆仅在区域中运动时产生焦耳热，即 【变式训练4-1】如图所示，中间开有小孔O、O′，间距为3d的两正对金属板M、N水平放置，分别用导线与间距为L的平行金属导轨连接，导轨两端接入阻值均为R的两定值电阻，导轨电阻不计。导轨所在部分区域存在匀强有界磁场I、Ⅱ，两磁场相邻，宽度均为d，磁感应强度大小均为B，其中磁场I方向垂直纸面向外，磁场Ⅱ方向垂直纸面向里。阻值为R的金属杆ab与导轨垂直且接触良好，杆ab在外力作用下以速度v0向右始终匀速运动。某时刻杆ab进入磁场I，同时一带电量为+q的小球以一定速度自小孔O竖直向下射入两板间，杆ab在磁场I中运动时，小球恰好能匀速下落；杆ab从磁场I右边界离开时，小球恰好从孔O′离开，忽略极板间充放电时间。重力加速度为g。 （1）求杆ab在磁场I中运动时通过每个电阻R的电流； （2）求小球的质量m和小球从O点射入两板间的初速度大小； （3）将磁场I和Ⅱ的磁感应强度均增大到原来的k倍，杆ab进入磁场I的速度v0和小球从O点射入两板间的初速度均不变，发现小球一直竖直向下运动且从O′孔离开时的速度与其初速度相等，求k值。 【答案】（1）；（2）；3v0；（3） 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律，金属杆ab匀速切割磁感线产生的感应电动势为E=BLv0 根据闭合电路的欧姆定律可得通过ab的电流为 通过每个电阻R的电流为 （2）金属板间电势差为 U1=I1R 设杆ab在磁场I中运动时间为t，则d=v0t 小球做匀速运动，根据平衡条件有 联立解得 设小球从O点射入两板间的初速度大小为v，则根据运动学公式有3d=vt解得v=3v0 （3）磁感应强度大小变为kB后，小球先做匀减速运动后做匀加速运动，此时金属杆ab匀速切割磁感线产生的感应电动势为E′=kBLv0 两板间的电势差为 设小球做匀减速运动的加速度大小为a1，根据牛顿第二定律有 设经过时间t1，杆ab进入磁场II，则由运动学公式有 此时小球的速度为 小球下落的位移为 设小球做匀加速运动时的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律有 设再经过时间t2小球从O’孔离开，则由运动学公式有 t2时间内小球下落的位移为 两个阶段的位移满足s1+s2=3d 联立解得 【变式训练4-2】如图所示，一光滑的平行导轨固定在同一水平面内，导轨间距为L=2m。两导轨各通过一间距不计的绝缘隔层cd将其分成两段，导轨左端分别接有阻值为R=2.0Ω的电阻和电容为C=0.1F的电容器。一质量为m=1.0kg，阻值不计的金属棒放置在导轨上，整个装置置于竖直向下、磁感应强度为B=1T的匀强磁场中。棒在水平向右的外力F作用下，由静止开始以a=2m/s2的加速度做匀加速直线运动。当棒运动到绝缘层处撤去外力，其位移x=16cm。假设导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，电容器储存的电能公式，求： （1）当棒运动到绝缘层处时，电容器储存的电能UC； （2）棒在匀加速运动过程中，外力F与时间的关系； （3）当棒运动到绝缘层处撤去外力F前，通过导体棒的电荷量q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）金属棒运动到绝缘层处时的速度为v，根据匀变速直线运动规律有 代入数据解得 电容器两端的电压等于金属棒产生的感应电动势，可得 则电容器储存的电能为 代入数据解得 （2）在外力F存在时，等效电路图如图所示 设流过电阻R的电流为IR，流过电容器C的电流为IC，已知导体棒由静止以a=2m/s2的加速度做匀加速直线运动，可得 金属棒产生的感应电动势为 回路的电流大小为 对棒受力分析，由牛顿第二定律得可得 代入数据得 （3） 导体棒运动至绝缘层时所经历的时间为 通过电阻R的电流为 则通过电阻R某一横截面的电荷量为 通过电容器的电流为 则电容器储存的电荷量为 因此在撤去外力F前，通过导体棒的电荷量 【变式训练4-3】电磁弹射在电磁炮、航天器、舰载机等需要超高速的领域中有着广泛的应用， 图 1 所示为电磁弹射的示意图。为了研究问题的方便，将其简化为如图 2 所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为 L 且相互平行的金属导轨，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。发射导轨的左端为充电电路，已知电源的电动势为 E，电容器的电容为 C。子弹载体被简化为一根质量为 m、长度也为 L 的金属导体棒，其电阻为 r。金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上。忽略一切摩擦阻力以及导轨和导线的电阻。 (1)发射前，将开关 S 接 a，先对电容器进行充电。 a．求电容器充电结束时所带的电荷量 Q； b．充电过程中电容器两极板间的电压 u 随电容器所带电荷量 q 发生变化。请在图 3 中画出u-q 图象；并借助图象求出稳定后电容器储存的能量 E0。 (2)电容器充电结束后，将开关接 b，电容器通过导体棒放电，导体棒由静止开始运动， 导体棒离开轨道时发射结束。电容器所释放的能量不能完全转化为金属导体棒的动能，将导体棒离开轨道时的动能与电容器所释放能量的比值定义为能量转化效率。若某次发射结束时，电容器的电量减小为充电结束时的一半，不计放电电流带来的磁场影响。 a．求这次发射过程中的能量转化效率η； b．导体棒在运动过程中由于克服非静电力做功会产生反电动势，求这次发射过程中克服非静电力所做的功。 【答案】(1) a．；b．，；(2) a．；b． 【解析】(1) a．电容器充电结束时所带的电荷量 Q为 b．根据电容的定义公式 则有电容器所带电荷量 q为 整理得 所以充电过程中电容器两极板间的电压 u 随电容器所带电荷量 q是线性变化 u-q 图象如图所示 电容器储存的能量 E0为 则u-q 图象的图形面积表示电容器储存的能量 (2) a．设从电容器开始放电到导体棒离开轨道的时间为t,放电的电荷量为Q，平均电流为，导体棒离开轨道时的速度为v，根据动量定理有 ， 由题意可知 联立解得 导体棒离开轨道时的动能为 电容器释放的能量为 这次发射过程中的能量转化效率η为 b．这次发射过程中克服非静电力所做的功为 ， 导体棒在运动过程中产生反电动势为 代入数据解得 【变式训练4-4】如图所示，有一电阻不计的光滑平行金属导轨AB、CD，固定在一倾角为的斜面上，有一个电容为C的未充电电容器连接在导轨A、C两点间，磁感应强度为B0的匀强磁场垂直斜面向下，另一光滑U形金属导体框MNPQ放置于光滑水平面上并恰好与导轨AB、CD的底部B、D相接触（不相连）， B、D处为平滑绝缘弯头，长度很短，金属导轨AB、CD与导体框MNPQ的宽度均为d，U形导体框的长度为L，水平面存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度也为B0。现有一长度为d的导体棒EF垂直放置于导轨AB、CD的某处并从静止开始滑下，无摩擦地滑过绝缘连接弯头，滑上水平放置的U形金属导体框MNPQ，当导体棒EF滑到U形金属导体框长度的一半时，棒与U形金属导体框恰好相对静止，电容器始终未被击穿。已知棒EF的质量为m，电阻为R，U形金属导体框的质量为2m，它只在NP部分有电阻，大小为2R，求： (1)导体棒EF滑上U形金属导体框过程中，通过U形金属框MNPQ的电荷量及电流方向； (2)导体棒EF从金属导轨AB、CD滑下时所处的高度。 【答案】(1) ，从上往下看，电流方向为逆时针；(2) 【解析】 (1)导体棒EF滑上U形金属导体框过程中 解得 根据右手定则，从上往下看，电流方向为逆时针； (2) 导体棒EF滑上U形金属导体框后，对U形框根据动量定理得 根据动量守恒定律 解得 棒下滑过程中，根据牛顿第二定律得 解得 则棒下滑时做匀加速直线运动，根据运动学公式得 解得 【变式训练4-5】电磁炮是利用磁场对通电导体的作用使炮弹加速的，其原理示意图如图所示。图中直流电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，两根固定的平行金属导轨间距为d，长度为L，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），炮弹可视为质量为m，电阻为R的金属棒，垂直放在两导轨间的最左端并处于静止状态，开关S接1，使电容器充电，电压充到为时将开关S接至2，开始向右加速运动。当炮弹离开导轨前达到最大速度，在沿导轨运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，该装置的电感及摩擦可以忽略。试求 (1)直流电源的a端为正极还是负极； (2)电容器电压刚充到时电源的电流i； (3)整个过程安培力对炮弹所做的功W； (4)若已知电容器储存的电能为（U为电容器的电压），试求电容器放电过程产生的焦耳热损失Q（电磁辐射可以忽略）。 【答案】（1）a端为负极；（2）；（3）；（4） 【解析】 (1)直流电源的a端为负极 (2)由闭合电路欧姆定律 得 (3)当电容器充电完毕时，电容器上电量为 开关S接2后，开始向右加速运动，速度达到的最大值为。 设在此过程中的平均电流为了，上受到的平均安培力为，有 由动量定理，有 又 而又由动能定理 得 (4)由能量守恒定律 得 【变式训练4-6】如图（a）所示，距离为L的两根足够长光滑平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为。质量为m，电阻为r的金属棒垂直放置于导轨上，导轨所在平面内有垂直于导轨斜向上的匀强磁场。导轨的P、M两端接在外电路上，电阻R的阻值为，电容器的电容为C，电容器的耐压值足够大。在开关闭合、断开的状态下将金属棒由静止释放（运动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好），金属棒的图像如图（b）所示。导轨电阻不计，重力加速度为g。 (1)求磁场的磁感应强度大小； (2)在开关闭合、断开的状态下，当导体棒加速下滑的距离为x时电阻R产生的焦耳热为Q，则此时金属棒的速度、加速度分别是多少？ (3)现将开关断开，闭合，由静止释放金属棒后，金属棒做什么运动？ 【答案】(1)；(2)，；(3)匀加速运动 【解析】(1)由题意和图像给出的信息可知，最后金属棒将做匀速运动，于是 则 解得 (2)由能量守恒定律得： 由闭合电路欧姆定律得 设此时的加速度为，由牛顿第二定律可得 根据可得 联立解得 (3)设释放金属棒的一小段时间的加速度为a，根据牛顿第二定律可得 根据电流的定义 金属棒的加速度为 显然，金属棒做匀加速运动。 【变式训练4-7】如图所示，足够长的光滑平行导轨与水平面的倾角，导轨上端用电键可以分别连接电源、电阻和电容。质量、长度、电阻可以忽略的金属杆ab垂直导轨放置，整个导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为。已知电源的电动势E=30V，定值电阻R=8.0Ω，电容，不计导轨的电阻和空气阻力，，，重力加速度。 (1)当开关打到，释放金属杆ab，恰好能处于静止状态，求电源的内阻； (2)当开关打到，释放金属杆ab，求金属杆能达到的最大速度； (3)当开关打到，释放金属杆ab，求5s末金属杆速度的大小。 【答案】(1)5.0Ω；(2)24m/s；(3)25m/s 【解析】（1）设电源的内阻为r，金属杆处于静止状态，由受力分析可知 代入得 （2）设金属杆能达到的最大速度vm，此时金属杆受力平衡 代入得 （3）设金属杆的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，安培力为F，则 设在时间间隔（t，t+Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ，则 平行板电容器极板在时间间隔（t，t+Δt）内增加的电荷量也是ΔQ，则 其中Δv为金属杆的速度变化量，设金属杆加速度大小为a，则 金属杆在时刻t的受力分析有 得 金属杆做初速度为零的匀加速运动，设5 s末金属杆速度的大小为v，则 【变式训练4-8】如图a所示，水平放置的两块金属平行板a和b，板长均为L，板间距离为d。两个金属板用导线ABCD、EFGH和一个半径为r的金属环相连。金属环内部存在垂直于金属环平面的磁场。图b所示是磁感应强度B随时间t作周期性变化的图线。（规定磁场垂直于纸面向外为正） （1）求在0~内金属环中感应电动势的大小，并在图c中画出电压Uab随时间变化的图线； （2）若t＝0时刻，某电子从a、b金属板间中央O点水平射入，已知电子质量为m，电荷量为-e，初速度大小等于。为确保电子能够从金属板间射出，求两金属板间距d应满足什么条件； （3）若在t＝0时刻，某电子从a、b金属板间左端O点沿中轴线OO′水平射入电场，运动过程中始终没有和金属板相碰，最终由O′点水平射出电场。求该电子的初速度v应该满足什么条件。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）v＝（n＝1、2、3…） 【解析】 （1）根据法拉第电磁感应定律得，0~内 E＝πr2＝πr2= 根据楞次定律判断，0~内b板电势高 Uab＝－πr2=- 电压Uab随时间变化的图线如图所示 （2）如图当t＝0时刻，电子以初速度v0＝射入板间，电子的加速度大小 a＝＝ 电子在极板间沿垂直于极板方向的最大偏转量应该小于d，即 ym＝2×a（）2＜d 解得 （3）根据电子运动的周期性可知，电子从O处射入，最终从O′点水平射出，电子在金属板间的运动时间必定是T的整数倍，即 v＝（n＝1、2、3… 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 电磁感应与电路 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：感生电动势的电路问题 5 题型02：动生电动势的电路问题 17 （一）导体棒平动切割磁感线 17 （二）线框平动切割磁感线 30 （三）导体棒转动切割的电路问题 35 （四）线框转动切割磁感线 49 题型03：通过导体的电量问题 50 题型04：电磁感应中的含电容电路 56 1.高考定位：电磁感应的基础综合题型，必考载体，选择题、计算题都高频出现；单杆、线框、磁场变化模型几乎都会落到电路计算，属于中档题，是电磁感应综合大题的第一步。 2.核心考向 ①电源判断：哪部分是感应电源、区分内电路、外电路 ②电动势计算：动生 E=BLv、感生E＝n ③电路结构：串并联、分压分流、路端电压、电势高低 ④电量、电功率、焦耳热、各支路电流电压计算 ⑤结合图像、动力学、动量、能量综合设问 3.命题陷阱 ①误把切割导体当成纯外电阻；导体本身有电阻，是电源内阻 ②分不清电势：电源内部电流从低电势→高电势 ③线框进出磁场、多根导体切割时，双电源同向/反向叠加判断错误 ④求焦耳热随便用平均电动势，热量只能用有效值，平均电动势只用来算电荷量 4.分 值：选择6分；计算题一般4～8分，经常作为第一问铺垫。 1.会识别感应电源：切割的导体棒 / 磁通量变化的线圈为电源，分清内阻、外电路。 2.熟练选用两个电动势公式，区分平均电动势、瞬时电动势的用途。 3.能画出等效电路图，分析串并联，会判断各点电势高低。 4.掌握路端电压、电流、电功率、电荷量的计算公式，分清适用条件。 5.能处理双电源（两根杆切割）同向、反向串联的电路问题。 6.规范书写大题步骤，规避平均值、有效值混用的错误。 知识点一：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中的电源 (1)对电源的理解： 在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。 电动势：E＝Blv或E＝n，这部分电路的阻值为电源内阻。用右手定则或楞次定律与安培定则结合判断，感应电流流出的一端为电源正极。 (2)对电路的理解： 内电路是切割磁感线的导体棒或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处，在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。 (3)对路端电压的理解： “电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。当电路是断开状态时，等效电源两端的电势差等于电源的电动势；当电路是闭合状态时，等效电源两端的电势差为路端电压，与电动势不相等。 注意事项：电源两端电压U＝E－Ir＝IR，是路端电压，不是感应电动势E，也不是内电压Ir。 2.分析电磁感应电路问题的基本思路 3.电磁感应中电路知识的关系图 4.电路问题考点 ⑴感应电动势的计算：包括动生和感生电动势的公式应用，结合导体运动状态、磁场变化情况选择合适的公式 ⑵电路参量的求解：利用闭合电路欧姆定律、串并联电路规律，计算感应电流、路端电压、电功率等物理量 ⑶电路能量转化的分析：考查能量守恒定律在电磁感应电路中的应用，计算焦耳热、机械能变化量等 5.电路问题解题方法 ⑴等效电源法：将产生感应电动势的导体或线圈视为等效电源，明确其电动势和内阻，再结合恒定电路知识分析外电路的电压、电流 ⑵能量守恒法：从能量转化角度分析，导体机械能的减少量等于电路中产生的焦耳热（纯电阻电路），适用于分析能量转化类问题 ⑶微元法：对于导体运动过程中电阻或电动势变化的问题，取微小时间段或位移，近似为恒定状态进行分析，再累加得到整体结果 知识点二：电磁感应中电荷量的计算 利用计算电荷量的导出公式q=n可以快速求解选择题： 设在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为q，则根据电流定义式=及法拉第电磁感应定律有=n，得q=Δt=Δt=Δt=，即q=n。 注意：表示电动势的平均值，表示电流的平均值。电流变化时计算通过导体横截面的电荷量时要用电流的平均值。 知识点三：电磁感应中的图像问题分析 1.解题步骤 (1)明确图像的种类，即是B－t图像还是Φ－t图像，或者E－t图像、i－t图像、F－t图像等；对切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及E－x图像和i－x图像； (2)分析电磁感应的具体过程； (3)用右手定则或楞次定律确定电流方向与时间的对应关系； (4)结合法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画图像或判断图像。 2.常用方法 (1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的正负、增大还是减小及变化快慢，来排除错误选项。 (2)函数法：写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。 一：解题策略（五步标准流程） 口诀：找电源→定内阻→画等效电路→算电动势→电路求解 S1. 找感应电源 动生：导体棒切割磁感线，棒是电源； 感生：磁场变化，整个线圈是电源。 右手定则/楞次定律：判断电源内部电流方向 → 电源正极（电势高的一端）。 S2. 拆分内阻、外阻 导体棒/线圈自身电阻 = 电源内阻 r；其余电阻全部属于外电路，梳理串并联。 S3. 画出等效电路图（大题强烈建议画，减少失误） S4. 选对电动势 ①求某时刻电流、电压：瞬时电动势 E=BLv ②求通过导体的电荷量：平均电动势 S5. 电路计算 闭合电路欧姆定律、串并联规律、电功率、电热； 双杆切割：两个电源，同向相加、反向相减，再算总电动势。 二：高频易错汇总 1. 电源内部：电流从负极流向正极；外部：正极流向负极。 2. 平均电动势只能求电荷量，不能用来算电热、功率。 3. 多导体切割：两个电源反向时总电动势相减，容易直接相加。 4. 线框全部在匀强磁场匀速运动：磁通量不变，E=0，无电流。 5. 安培力里的电流是电路实际电流，求总电阻要包含内阻。 题型01：感生电动势的电路问题 【典型例题1】轻质细线吊着一质量为m＝1kg、边长为0.2m、电阻R＝1Ω、匝数n＝10的正方形闭合线圈abcd，bd下方区域分布着磁场，如图甲所示。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示。不考虑线圈的形变和电阻的变化，整个过程细线未断且线圈始终处于静止状态，g取10m/s2。则下列判断正确的是（　　） A．线圈中感应电流的方向为adcba B．线圈中的感应电流大小为0.2A C．0~2s 时间内线圈中产生的热量为0.02J D．6s 时线圈受安培力的大小为N 【典型例题2】如图1所示，为定值电阻，虚线框的四个结点之间接有四个理想二极管，两金属圆环固定在同一绝缘平面内，外环与电路连接，内环存在一个小缺口，电路左端连接在一周期为的正弦交流电源上．由于外环中的电流变化，内环中a、b两点间会产生电势差，规定a端电势高于b端时，a、b间的电压为正，若随t变化的图像如图2所示，则四个结点间二极管的可能接法是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1000匝，横截面积S＝20 cm2，螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF。在一段时间内，垂直穿过螺线管的磁场的磁感应强度B的方向如图甲所示，大小按如图乙所示的规律变化，则下列说法中正确的是(　　) A．螺线管中产生的感应电动势为1.2 V B．闭合S，电路中的电流稳定后，电容器下极板带负电 C．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为2.56×10－2 W D．S断开后，流经R2的电量为1.8×10－2 C 【典型例题4】（多选）如图所示，位于水平面内、间距为的光滑平行导轨和的左端接有最大阻值为的电阻箱。与虚线之间存在一个边长为的正方形磁场区域，方向竖直向上，磁感应强度；虚线右侧存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量为、长为、电阻为的金属棒静止于右侧处，下列说法正确的是（　　） A．若，金属棒固定，则电阻箱消耗的最大功率为 B．若并将电阻箱调至时起拉动金属棒以的加速度向右做匀加速直线运动，则时金属棒消耗的电功率为 C．若并将电阻箱调至时起拉动金属棒以的加速度向右做匀加速直线运动，则内通过金属棒的电荷量为 D．若且时起拉动金属棒以的速度向左匀速直线运动，则在金属棒运动至之前，电阻箱中始终无电流通过 【典型例题5】（多选）如图所示，、、、为边长为l、用均匀导线做成的正方形线框四边的中点，线框的一半放在垂直于纸面向外的匀强磁场中，当磁场以的变化率增强时，下列说法正确的是（　　） A．线框中感应电流方向为 B．点电势低于点电势 C．线框中产生的感应电动势 D．线框中、两点间的电势差为 【典型例题6】嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。 (1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0； (2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab的电流I0； (3)求船舱匀速运动时的速度大小v； (4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。 【变式训练1-1】将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为，小圆面积均为，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小，和均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图甲，光滑平行导轨水平放置，电阻不计。两导轨间距，导体棒放在导轨上，并与导轨垂直。每根棒在导轨间部分的电阻均为，质量均为，用长为的绝缘丝线将两棒系住整个装置处在竖直方向的磁场中，取向上为正方向。时刻，丝线刚好伸直且没有拉力，丝线最大能承受的拉力，磁场从此时刻开始按如图乙所示规律变化。不计感应电流磁场的影响，在整个研究过程中导体棒没有碰撞。则下列说法正确的是（　　） A. 的时间内电路中电流为顺时针方向，以后电流为逆时针方向 B. 的时间内，电路中感应电流的大小为 C. 的时间内丝线所受到的拉力先变大后变小 D. 在时两导体棒均以的加速度在运动 【变式训练1-4】如图甲所示，在虚线所示的区域有垂直纸面向里的磁场，磁场变化规律如图乙所示，面积为S的n匝金属线框处在磁场中。线框与电阻R相连，若金属框的电阻为，下列说法正确的是（　　） A．线框面积将有扩大趋势 B．流过电阻R的感应电流方向由b到a C．a、b间的电压为 D．a、b间的电压为 【变式训练1-5】如图所示半径为R的虚线圆内，存在垂直纸面向里磁感应强度大小为（）的有界匀强磁场。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。长度为2R的导体棒ac与虚线圆交于a、b两点，其中b为ac的中点。则（　　） A．a点的电势比b点高 B．b、c两点的电势相等 C．a、b两点间的电动势大小为 D．a、c两点间的电动势大小为 【变式训练1-6】如图所示，匝数n=100匝、面积、电阻r=1Ω的圆形线圈固定在磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律为，其中，ω=5rad/s。定值电阻R=9Ω，电表均为理想交流电表，二极管为理想二极管，下列说法正确的是（　　） A．线圈产生的电动势最大值为V B．电流表的示数为A C．电压表的示数为V D．定值电阻R的电功率为W 【变式训练1-7】如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀的增大到2B，在此过程中，线圈中产生的感应电动势为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-8】如图，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在与半圆轨道所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于(　　) A. B. C. D.2 【变式训练1-9】（多选）如图甲所示，轻质细线吊着一质量、边长、匝数的正方形线圈，线圈总电阻。在线圈的中间位置以下区域分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A. 内穿过线圈磁通量的变化量为 B. 线圈中产生的感应电流的大小为 C. 时轻质细线的拉力大小为 D. 内线圈产生的焦耳热为 【变式训练1-10】（多选）如图甲所示，一单匝带缺口（缺口很小）的刚性金属圆环固定在水平面内，圆环阻值，缺口两端引出两根导线，与阻值的定值电阻构成闭合回路，圆环内的磁通量变化如图乙所示，规定磁通量方向向里为正，不计导线的电阻，下列说法正确的是（　　） A．0~1s内圆环中的感应电流方向沿顺时针方向 B．0~1s和1~2s内感应电流方向相同 C．2~4s内，电阻R两端电压 D．0~1s内圆环有扩张趋势，且感应电流大小为0.2A 【变式训练1-11】（多选）在如图甲所示的电路中，电阻，圆形金属线圈半径为，线圈导线的电阻也为R，半径为的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场。磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横，轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计。时闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是（　　） A．电容器下极板带正电 B．线圈中产生的感应电动势的大小为 C．稳定后线圈两端的电压为 D．时间内流过R1的电量为 【变式训练1-12】（多选）如图所示，A、B两闭合线圈为同样导线绕成，A有10匝，B有20匝，两圆线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内。当磁场随时间均匀减弱时(　　) A.A中无感应电流 B.A、B中均有恒定的感应电流 C.A、B中感应电动势之比为2∶1 D.A、B中感应电流之比为1∶2 【变式训练1-13】（多选）如图1所示，在平面内存在一以O为圆心、半径为r的圆形区域，其中存在一方向垂直平面的匀强磁场，磁感应强度B随时间变化如图2所示，周期为。变化的磁场在空间产生感生电场，电场线为一系列以O为圆心的同心圆，在同一电场线上，电场强度大小相同。在同一平面内，有以O为圆心的半径为的导电圆环I，与磁场边界相切的半径为的导电圆环Ⅱ，电阻均为R，圆心O对圆环Ⅱ上P、Q两点的张角；另有一可视为无限长的直导线CD。导电圆环间绝缘，且不计相互影响，则（　 ） A. 圆环I中电流的有效值为 B. 时刻直导线CD电动势为 C. 时刻圆环Ⅱ中电流为 D. 时刻圆环Ⅱ上PQ间电动势为 【变式训练1-14】（多选）如图所示，一实验小组利用传感器测量通电螺线管的磁场随时间变化的实验规律，测得螺线管的匝数为n=30匝、横截面积S=20 cm2，螺线管电阻r=1 Ω，与螺线管串联的外电阻R=5 Ω。穿过螺线管的磁场的方向如图甲所示，磁感应强度按图乙所示的规律变化(以磁场方向向左为正方向)，则t=4 s时(　　) A.通过R的电流方向为N→M B.通过R的电流为1 mA C.R的电功率为2×10-5 W D.螺线管两端M、N间的电势差UMN=10 mV 【变式训练1-15】（多选）在如图甲所示的电路中，电阻2R1＝R2＝2R，单匝、圆形金属线圈的半径为r1，电阻为R，半径为r2(r2<r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，其余导线的电阻不计。闭合开关S，在t0时刻，电路中的电流已稳定。下列说法正确的是(　　) A．流过电阻R1的电流方向自下向上 B．稳定后电阻R1两端的电压为 C．稳定后M、N两点间的电压为 D．0～t0时间内，电阻R2上产生的焦耳热为 【变式训练1-16】（多选）如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k＞0)。回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝。闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则(　　) A.R2两端的电压为 B.电容器的a极板带正电 C.滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍 D.正方形导线框中的感应电动势为kL2 【变式训练1-17】（多选）如图甲所示的电路中，螺线管线圈的匝数为n、横截面积为S0、电阻为R，定值电阻的阻值为4R，电动机绕线电阻为R，穿过螺线管线圈磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示(取向上为正方向)。在0~t0时间内电动机不转动，t0~2t0时间内电动机正常转动且螺线管线圈中的电流变为0~t0时间内螺线管线圈中的电流的2.4倍。下列说法正确的是(　　) A.0~t0时间内C点电势高于A点电势 B.0~t0时间内流过螺线管线圈的电流为 C.在t0~2t0时间内电动机两端的电压为 D.在t0~2t0时间内流过电动机的电流为 【变式训练1-18】一粗细均匀、总电阻为R、边长为L的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。求在时间段内： (1)该线圈中产生的电热Q； (2)通过该线圈截面的电量q。 【变式训练1-19】如图甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d=0.5m，电阻不计，左端通过导线与阻值R=2Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值RL=4Ω的小灯泡L连接．在CDFE矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，CE长l=2m，有一阻值r=2Ω的金属棒PQ放置在靠近磁场边界CD处．CDFE区域内磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．在t=0至t=4s内，金属棒PQ保持静止，在t=4s时使金属棒PQ以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动．已知从t=0开始到金属棒运动到磁场边界EF处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求： （1）通过小灯泡的电流； （2）金属棒PQ在磁场区域中运动的速度大小． 【变式训练1-20】在学校举办的高楼落蛋活动中，为保证鸡蛋从高处落地后能完好无损，小明设计了如图甲所示的装置．装置下端安装了一个横截面(俯视)如图乙所示的磁体，其内、外分别为圆柱形和圆筒形，两者固定在一起，且两者间存在沿径向向外的磁场，不考虑磁体在其他区域产生的磁场．圆筒形磁体与两条平行金属导轨AH和BG固定在一起，CDFE是一个金属线框，DF、CE被约束在导轨的凹槽内，可沿导轨无摩擦地滑动，线框CD的正中间接有一个半径为r(r略大于圆柱形磁体的半径)、匝数为N、总电阻为R的线圈，EF之间接有一只装有鸡蛋的铝盒，铝盒的电阻也为R.导轨上方固定有一根绝缘细棒HG.细棒与铝盒间连接了一根劲度系数为k的轻质绝缘弹簧．小明将该装置置于距离水平地面高h(h远大于装置自身高度)处，并保持导轨竖直，待铝盒静止后将弹簧锁定，此时线圈恰好位于磁体上边界处．现由静止释放装置，整个装置竖直落到水平地面上后弹簧立即解除锁定，且磁体连同两导轨和绝缘棒HG的速度立即变为零．已知线框CDFE(含线圈、铝盒、鸡蛋)的总质量为m，线框第一次运动到最低点时弹簧的形变量是装置刚落地时的两倍，此时EF仍未进入磁场，线圈所在处的磁感应强度大小均为B，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，除线圈和铝盒外，线框其他部分的电阻不计，忽略空气阻力．求： (1)落地时线圈切割磁感线产生的感应电动势E以及线圈中感应电流的方向(俯视)； (2)从落地到线框最终静止的过程中，回路产生的总焦耳热Q； (3)从落地到线框第一次运动到最低点的过程中，通过回路某截面的电荷量q. 【变式训练1-21】如图所示，与为间距的平行导轨，导轨的上部分水平长度，下部分足够长且处于倾角的绝缘斜面上，水平导轨的左端接一阻值的电阻，水平部分处于竖直方向的匀强磁场中，时刻开始，磁感应强度从0开始均匀增大；倾斜部分处于垂直导轨平面向上的、磁感应强度的匀强磁场中。在时将一质量、电阻的金属棒静止放在倾斜导轨部分的上端，金属棒恰好不上滑，金属棒与两导轨间的动摩擦因数处处相同，均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在时磁感应强度不再变化，此时给金属棒一个沿斜面向下的拉力F使金属棒从静止开始运动，拉力F的大小与金属棒运动的速度大小的关系式为，其中k为定值。已知金属棒运动后测得电阻R两端的电压随时间均匀增大，金属棒在运动过程中与两导轨接触良好且始终与导轨垂直，不计导轨的电阻，重力加速度g取，，。 (1)取磁感应强度竖直向上为正方向，请描绘出随时间变化的图线（需要写出关键坐标点与计算过程）； (2)求时拉力的大小F； (3)求到时间内通过金属棒的电荷量。 【变式训练1-22】如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2 Ω，导轨间距L＝0.6 m。在右侧导轨所在斜面的矩形区域M1M2P2P1内分布有垂直斜面向上的磁场，磁场上下边界M1P1、M2P2的距离d＝0.2 m，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，在右侧导轨斜面上与M1P1距离s＝0.1 m处，有一根阻值r＝2 Ω的金属棒ab垂直于导轨由静止释放，恰好独立匀速通过整个磁场区域，重力加速度g取10 m/s2，导轨电阻不计。求： (1)ab在磁场中运动的速度大小v； (2)在t1＝0.1 s时刻和t2＝0.25 s时刻电阻R1的电功率之比。 题型02：动生电动势的电路问题 （一）导体棒平动切割磁感线 【典型例题1】如图所示，间距为L且足够长的金属导轨固定在水平面上，导轨电阻忽略不计，竖直向下的匀强磁场范围足够大，磁感应强度为B。导轨左端用导线连接阻值为R的定值电阻，阻值为R的导体棒垂直于导轨放置，与导轨接触良好。导体棒从导轨的最左端以速度v匀速向右运动的过程中（   ） A．回路中的电流逐渐变大 B．回路中电流方向沿顺时针（俯视） C．导体棒两端的电压大小为 D．导体R的发热功率先变大后变小 【典型例题2】如图所示abcd水平放置的平行“׆”形光滑金属导轨，间距为l，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨电阻不计， 已知金属杆MN倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r，保持金属杆以速度v沿平行于cd的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）。则（　　） A．金属杆中电流从M端流向N端 B．电路中感应电流的大小为 C．金属杆所受安培力的大小为 D．电路中感应电动势的大小为 【典型例题3】两个固定的同心金属圆环中间部分存在与圆面垂直的磁感强度为B的匀强磁场如图所示，一长度为的金属棒MN，处在如图所示位置时与两圆的交点分别为，其中将金属棒平均分成了四等份，已知大圆环的总电阻为，小圆环和金属棒的总电阻均为，当金属棒以速度v经过如图所示位置时，下列说法正确的是（　　） A．金属棒产生的总感应电动势为 B．金属棒产生的总感应电动势为 C．金属棒MP上产生的感应电流大小为 D．金属棒MP上产生的感应电流大小为 【典型例题4】如图，两条固定的光滑平行金属导轨，所在平面与水平面夹角为，间距为l，导轨电阻忽略不计，两端各接一个阻值为2R的定值电阻，形成闭合回路：质量为m的金属棒垂直导轨放置，并与导轨接触良好，接入导轨之间的电阻为R；劲度系数为k的两个完全相同的绝缘轻质弹簧与导轨平行，一端固定，另一端均与金属棒中间位置相连，弹簧的弹性势能与形变量x的关系为；将金属棒移至导轨中间位置时，两弹簧刚好处于原长状态；整个装置处于垂直导轨所在平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。将金属棒从导轨中间位置向上移动距离a后静止释放，金属棒沿导轨向下运动到最远处，用时为t，最远处与导轨中间位置距离为b，弹簧形变始终在弹性限度内。此过程中（   ） A．金属棒所受安培力冲量大小为 B．每个弹簧对金属棒施加的冲量大小为 C．每个定值电阻产生的热量为 D．金属棒的平均输出功率为 【典型例题5】（多选）一端开有小口的水平单匝圆环线圈固定在竖直向上的均匀磁场中，其磁感应强度大小随时间的变化规律为，线圈的面积，线圈与水平固定的光滑导轨连接，导轨左侧接有小灯泡L，小灯泡L的参数为“24V，5A”。一导体棒垂直导轨静止放置，导体棒的质量m=2kg，接入导轨间的长度l=1m，接入电路的电阻r=2Ω，导体棒处于竖直向下、磁感应强度大小的匀强磁场中。不计导轨和线圈的电阻，灯泡电阻恒定，导轨足够长，从t=0时刻开始，下列说法正确的是（　　） A. 灯泡一直正常发光 B. 电路中的热功率先减小后不变 C. 导体棒最终将静止 D. 从开始运动至达到稳定状态过程中，通过导体棒的电荷量q=3C 【典型例题6】（多选）如图所示，间距的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上，斜面倾角。区域I、Ⅱ分别以PQ、MN为边界，均存在垂直于斜面向上的磁场，I区中磁感应强度从0开始随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场，磁感应强度，PQ与MN之间为无磁场区域。质量、电阻的导体棒垂直于导轨放置，从两磁场之间的无磁场区域由静止释放，经过进入Ⅱ区恰好匀速下滑。运动中棒与导轨始终保持良好接触，导轨足够长且电阻不计。重力加速度，。则下列说法正确的是（　　） A．进入Ⅱ区后，导体棒中的电流 B．无磁场区域的面积至少为 C．前2s导体棒产生的焦耳热 D．若I区磁场面积为，则I区的磁感应强度随时间变化的表达式为 【典型例题7】如图所示，平行长直金属导轨水平放置，间距L＝0.4 m，导轨左端接有阻值R＝1 Ω的电阻，导体棒垂直放置在导轨上，且接触良好，导体棒及导轨的电阻均不计。导轨间正方形区域Oabc内有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.5 T，ac连线与导轨垂直，长度也为L。若使导体棒在导轨上始终以速度v＝2 m/s做直线运动，以O为原点、Ob为x轴建立一维坐标系Ox。求： (1)导体棒进入磁场区域时，回路中感应电流的最大值Im； (2)导体棒通过磁场区域时，电流i与位置坐标x的关系式。 【典型例题8】某研发小组设计了一个臂力测试仪．装置的简化原理图如图甲所示，两平行金属导轨竖直放置，两者间距为，在M、N间和间分别接一个阻值为的电阻，在两导轨间矩形区域内有垂直导轨平面向里、宽为的磁场，磁场变化如图丙所示，已知，。一质量为、长为、电阻也为R的导体棒垂直放置在导轨上，导体棒与弹簧相连，弹簧下端固定，弹簧伸至原长后其顶端恰好与在同一条直线上。测试者利用臂力将导体棒向下压至某位置后释放，导体棒向上运动经过HG时，会与HG处的压力传感器发生撞击（图乙为装置的侧视图），压力传感器可以显示撞击力的大小，以此来反映臂力的大小。 （1）为测试其电特性，进行如下实验：磁场区域内的磁感应强度如图丙所示，求时间内流过的电流I的大小和方向； （2）为测试其力特性，在这段时间内进行如下实验：设某次测试中，将弹簧压缩至位置后释放，与间的竖直距离为，当导体棒进入磁场的瞬间，加速度为，导体棒运动到HG时压力传感器示数恰好为0．已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的平方成正比，导体棒运动中与导轨始终保持接触良好且导轨电阻不计，重力加速度，求： ①导体棒出磁场时弹簧的弹性势能； ②导体棒向上运动过程中产生的焦耳热。    【变式训练2-1-1】如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论不正确的是（　　） A．感应电流方向不变 B．CD段直线始终不受安培力 C．感应电动势最大值E=Bav D．感应电动势平均值 【变式训练2-1-2】两条相互平行的、足够长的光滑金属导轨放在绝缘水平面上，距离为L，电阻不计。导轨内有垂直水平面向里的匀强磁场，导轨左侧接电容器C、电阻R1和R2，如图5－2－23所示。垂直导轨且与导轨接触良好的金属杆(电阻不计)以一定的速度向右匀速运动，某时刻开始做匀减速运动至速度为零后反向做匀加速运动。则在此过程中 A．R1中无电流通过 B．R1中电流从e流向a C．R2中电流一直从a流向b D．R2中电流先从b流向a，后从a流向b 【变式训练2-1-3】如图甲所示，电阻不计、间距为1 m的光滑平行金属导轨竖直放置，上端连接阻值为的定值电阻，虚线下方存在方向垂直于导轨平面向里、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场。现将质量为0.1 kg、电阻为的金属杆从上方某处由静止释放，金属杆下落过程中始终水平且与导轨接触良好，其加速度与下落时间的关系图像如图乙所示。取重力加速度大小，下列说法正确的是（　　） A．金属杆进入磁场后端的电势较高 B．金属杆释放位置到的距离为0.1 m C．金属杆在磁场中稳定时的速度大小为1 m/s D．图像在横轴上、下方围成的面积之比为1∶1 【变式训练2-1-4】国家重大科技基础设施“稳态强磁场实验装置”实现重大突破，创造场强45.22万高斯的稳态强磁场。如图所示，两光滑导轨放置在绝缘水平面上，其中一根导轨沿x轴放置，另一根导轨由、、段组成，其中、段与x轴的夹角相等，段与x轴的夹角小于段与x轴的夹角，a端和沿x轴放置的导轨上的O点间用导线连接一定值电阻，导体棒垂直x轴水平向右以速度v做匀速运动，经过坐标原点时取，空间中有垂直水平面方向的匀强磁场，导轨和导体棒电阻均不计，则运动过程中通过导体棒的电流I、导体棒所受安培力大小F、导体棒克服安培力做功的功率P和定值电阻两端的电压U随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1-5】图甲为工程师设计的传送带测速装置，图乙为其简化原理图，该测速装置固定有间距为L、长度为d的平行金属电极，电极间存在着磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和阻值为R的电阻，测速装置上的绝缘橡胶带嵌有间距均为d的平行细金属条，金属条阻值为r且与电极接触良好，橡胶带运动时磁场中始终有且仅有一根金属条，不计金属电极和其余导线的电阻，电压表可视为理想电表。下列说法正确的是（ ） A. 当金属条经过磁场区域时，受到的安培力方向与运动方向相同 B. 当电压表的读数为U时，传送带的速度大小为 C. 若将该电压表改装为传送带速度表，则速度表刻度均匀分布 D. 当金属条通过磁场区域时的速度为v时，电路的总发热功率为 【变式训练2-1-6】如图所示，两根等高光滑的圆弧轨道，与等高，半径为、间距为，轨道电阻不计。在轨道右侧连有一阻值为的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为，现有一根长度为、电阻为的金属棒，在外力的作用下以初速度从沿轨道做匀速圆周运动至处，则该过程中（　　） A．金属棒经过最低位置处时，通过金属棒的电流方向为 B．金属棒经过最低位置处时，电路中的电流最小 C．电阻上产生的热量为 D．外力做的功为 【变式训练2-1-7】（多选）如图所示，分布于全空间的匀强磁场垂直于纸面向里，其磁感应强度大小为B＝2 T。宽度为L＝0.8 m的两导轨间接一阻值为R＝0.2 Ω的电阻，电阻为2R的金属棒AC长为2L并垂直于导轨(导轨电阻不计)放置，A端刚好位于导轨，中点D与另一导轨接触。当金属棒以速度v＝0.5 m/s向左匀速运动时，下列说法正确的是(　 ) A．流过电阻R的电流为2 A B．A、D两点的电势差为UAD＝0.4 V C．A、C两点的电势差为UAC＝－1.6 V D．A、C两点的电势差为UAC＝－1.2 V 【变式训练2-1-8】（多选）如图所示，间距为L的平行光滑金属导轨水平固定，定值电阻大小为R，电容器的电容大小为C。质量为m的金属棒始终与导轨接触良好并保持垂直，整个装置处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，金属导轨和金属棒的电阻均不计。开关S开始处于闭合状态，对金属棒施加水平向右的恒定拉力，使其从静止开始运动，经时间t金属棒达到最大速度，此时断开开关S，改变水平拉力大小，使金属棒保持速度匀速运动。整个过程中电容器始终未击穿，下列说法正确的是（    ） A．开关断开前水平拉力大小为 B．开关断开前金属棒运动的位移为 C．开关断开后，当外力的功率为定值电阻功率的3倍时，电容器两端的电压为 D．从开关断开到外力功率为定值电阻功率的3倍时，外力做的功为 【变式训练2-1-9】（多选）如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻和相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面。有一导体棒ab，质量为，导体棒的电阻与固定电阻和的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为。此时（　　） A．电阻消耗的热功率为 B．电阻消耗的热功率为 C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为 D．整个装置消耗的机械功率为 【变式训练2-1-10】（多选）如图所示，相距L的两平行光滑金属导轨MN、PQ间接有两定值电阻R1和R2，它们的阻值均为R。导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有一根质量为m、电阻也为R的金属棒，在恒力F的作用下由静止开始运动，运动距离x时恰好达到稳定速度v。在运动过程中，金属棒与导轨始终接触良好，则在金属棒由静止开始运动到速度达到稳定的过程中（　　） A．金属棒上产生的焦耳热为 B．电阻R1上产生的焦耳热为 C．通过金属棒的电荷量为 D．通过电阻R1的电荷量为 【变式训练2-1-11】（多选）矩形线框PQMN固定在一绝缘斜面上，PQ长为L，PN长为4L，其中长边由单位长度电阻为r0的均匀金属条制成，短边MN电阻忽略不计，两个短边上分别连接理想电压表和理想电流表。磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直斜面向上，一与长边材料、粗细完全相同的金属杆与线框接触良好，在沿导轨向上的外力作用下，以速度v从线框底端匀速滑到顶端。已知斜面倾角为θ，不计一切摩擦。则下列说法中正确的是（　　） A．金属杆上滑过程中电流表的示数先变大后变小 B．作用于金属杆的外力一直变大 C．金属杆运动到长边正中间时，电压表示数为 D．当金属杆向上运动到距线框底端3.5L的位置时，金属杆QM、PN上消耗的总电功率最大 【变式训练2-1-12】（多选）如图所示，竖直光滑导轨上端接入一定值电阻R，C1和C2分别是半径为a的圆形磁场区域与边长为2a的正方形磁场区，区域内的磁场方向分别为垂直于导轨平面向外与竖直向上，区域C1中磁场的磁感应强度随时间按变化，C2中磁场的磁感应强度恒为B2，一质量为m电阻为r的金属杆AB穿过C2的中心垂直跨放在两导轨上，且与导轨接触良好，并恰能保持静止，已知棒与导轨间动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则（　　） A．通过金属杆的电流方向为从A到B B．回路中电流大小 C．定值电阻的阻值为 D．整个电路的热功率 【变式训练2-1-13】如图，由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd，宽ad=L，固定在水平面内且处于方向竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动，滑动过程中PQ始终与ab垂直，且与线框接触良好，不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中，求： (1)PQ切割磁感线产生的电动势； (2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压； (3)线框消耗的最大电功率。 【变式训练2-1-14】在同一水平面上的光滑平行导轨P、Q相距l＝1 m，导轨左端接有如图所示的电路。其中水平放置的平行板电容器两极板M、N相距d＝10 mm，定值电阻R1＝R2＝12 Ω，R3＝2 Ω，金属棒ab的电阻r＝2 Ω，其他电阻不计。磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间的质量m＝1×10－14 kg、电荷量 q＝－1×10－14 C的微粒恰好静止不动。取g＝10 m/s2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定。试求： (1)匀强磁场的方向； (2)ab两端的路端电压； (3)金属棒ab运动的速度。 【变式训练2-1-15】把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触．当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求： （1）棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN； （2）圆环和金属棒上消耗的总热功率． 【变式训练2-1-16】如图甲所示，某光滑轨道由区域Ⅰ与区域Ⅱ两部分共同组成，轨道电阻不计(注：b棒只有以中心为对称点，距离对称点0.5 m的部分有电阻，a棒电阻均匀分布)，区域Ⅰ：一质量为m＝1 kg、长度为L＝1 m的金属棒a从高度为h＝0.2 m的地方静止下落后，进入轨道ABCD区域中，AB处有一小段绝缘材料，在离边界AB足够远的地方有一质量为m＝0.5 kg、长度为L＝3 m的金属棒b.在轨道ABCD区域内存在匀强磁场B1，磁感应强度为1 T，轨道BC与AD距离为d＝1 m．当金属棒a进入轨道ABCD上后，使b加速，当b棒速度稳定后，进入轨道CD的右侧区域Ⅱ.金属棒a与b的电阻均为1 Ω； 区域Ⅱ：如图乙为区域Ⅱ的俯视图，CD边界的左侧有一段绝缘处，在区域Ⅱ的下侧与右侧有电阻R1与R2相连，当金属棒b进入后，给予一外力F使金属棒b做匀速运动，当金属棒运动至EF边界时从区域Ⅱ掉落结束运动．已知电阻R1＝R2＝2 Ω，竖直向下匀强磁场B2＝2 T，当b棒运动2 m后抵达EF位置． (1)求当a棒刚好进入轨道区域Ⅰ时，b棒两端的电压U； (2)求b棒进入区域Ⅱ时的速度及在区域Ⅰ中通过金属棒b的电荷量； (3)记CD处为0位移，求金属棒b从CD至EF的过程中外力F与位移x的关系． 【变式训练2-1-17】间距为L的两平行金属导轨由倾斜部分和水平部分（足够长）平滑连接而成，倾斜部分导轨与水平面间夹角为θ，导轨上端接有两个电阻a和b，阻值均为R。空间分布着如图所示的匀强磁场，倾斜导轨的磁场方向垂直导轨平面ACDE向上，磁感应强度大小为B。水平区域GF边界右侧磁场方向竖直向上，磁感应强度大小为2B，DEFG为无场区域。现有一质量m、长度L、电阻为的细金属棒与导轨垂直放置并由静止释放，释放处离水平导轨的高度为h。开始时电键S闭合，当棒运动到GF边界时将电键断开。已知金属棒在到达ED边界前速度已达到稳定。不计一切摩擦阻力及导轨的电阻，重力加速度为g。求： (1)金属棒运动过程中的最大速度vm； (2)金属棒在整个运动过程中的最大加速度am的大小及方向； (3)在整个运动过程中电阻b上产生的焦耳热。 【变式训练2-1-18】电磁感应现象的发现，对电磁理论的研究和生活的电气化有着广泛而深刻的影响。电磁感应制动技术目前主要应用于商用车、新能源汽车、工业机械及轨道交通等领域。如图，现有一光滑金属导轨CDE和FGH固定置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为，其中导轨CD、FG段水平，DE、GH段弯曲，且形状为抛物线。导轨间距，CF之间连接着开关和定值电阻。现将一质量、长度、内阻的导体棒放置于DG处，且以水平向右的初速度分两次抛出，当开关断开时第一次抛出，发现导体棒恰好贴着导轨运动且两者之间无挤压，到达EH位置时速度大小为；当开关闭合时第二次抛出，该导体棒到达EH位置时速度大小为。已知导轨无电阻，重力加速度g取，以上过程导体棒始终保持水平且与导轨接触良好，不计空气阻力。求开关闭合后： (1)导体棒运动到EH时，导体棒的水平方向速度大小及其两端的电势差大小； (2)导体棒运动到EH过程中，导体棒中产生的焦耳热； (3)导体棒运动到EH过程中，通过导体棒的总电荷量。 （二）线框平动切割磁感线 【典型例题1】粗细均匀的电阻丝围成的正方形闭合线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以相同速率沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框上a、b两点间的电势差绝对值最大的是(　　) 【典型例题2】国产电动汽车采用电磁式动力回收装置，可将部分动能转化为电能并储存。如图所示为该装置的简化模型，“日”字形的金属线框放在光滑的水平面上，各边长均为l，ab、cd、ef边电阻均为R，其余部分电阻可忽略不计。线框以速度v进入宽度为l的匀强磁场，最终恰好穿出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，边界与ab边平行，则线框（　　） A．刚进磁场时，a端电势高于b端电势 B．刚进磁场时，a、b两点间电势差为 C．质量 D．穿越磁场过程中ab边产生的热量 【典型例题3】（多选）如图所示，纸面内存在相邻的两匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为d，区域Ⅰ内磁场方向垂直纸面向外，区域Ⅱ内磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小均为B。纸面内有一直径为d、总阻值为R的圆形闭合金属线圈，线圈在外力作用下以速度v0匀速通过两磁场区域。线圈不偏转，速度v0的方向与磁场边界始终垂直，下列说法正确的是(　　) A.线圈内的电流方向始终为顺时针方向 B.线圈内电流的最大值为 C.线圈受到的最大安培力为 D.线圈从区域Ⅰ进入到区域Ⅱ的过程，通过线圈某截面的电荷量为 【典型例题4】（多选）如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为I，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小B与I成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为IH，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压UH满足：UH＝k，式中k为霍尔系数，d为霍尔元件两侧面间的距离。电阻R远大于RL，霍尔元件的电阻可以忽略，则(　　) A．霍尔元件前表面的电势低于后表面 B．若电源的正负极对调，电压表将反偏 C．IH与I成正比 D．电压表的示数与RL消耗的电功率成正比 【变式训练2-2-1】电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动，每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为，磁场中，边长为、总电阻为的单匝正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。如乙图，某时刻永磁铁相对线框竖直向上运动时，其速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．线圈中感应电流的方向为顺时针方向 B．线圈中电流的大小等于 C．线圈受到的安培力大小为 D．线圈受到的安培力大小为 【变式训练2-2-2】用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　) A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc 【变式训练2-2-3】某工厂为了检验正方形线圈的合格率，将线圈放在传送带上，传送带所在空间中加上竖直向下的匀强磁场，磁场边界PQ与MN平行且与线圈速度方向成45°，磁感应强度为B。如图所示，线圈与传送带一起以恒定速度v向右运动，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ。线圈进入磁场过程中线圈恰好不打滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知线圈质量为m，匝数为N，边长为L，总电阻为R，且磁场宽度大于L。下列说法错误的是（　　） A．线圈进入磁场过程中，电流方向为ADCBA B．在线圈进入磁场的过程中，线圈对传送带的摩擦力始终沿AC所在直线方向，且最大值为 C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为 D．在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为2N的线圈进入磁场过程相对皮带会打滑 【变式训练2-2-4】如图，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框abcd，现将导体框分别朝两个方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框分别从两个方向移出磁场的两个过程中(　 ) A．导体框中产生的感应电流方向相反 B．导体框ad边两端电势差之比为1∶3 C．导体框中产生的焦耳热之比为1∶3 D．通过导体框截面的电荷量之比为1∶3 【变式训练2-2-5】（多选）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v水平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长为，每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空气阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为 B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为 C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热 D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能 【变式训练2-2-6】（多选）如图所示，空间等距分布垂直纸面向里的匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度大小，每一条形磁场区域宽度及相邻条形磁场区域间距均为。现有一个边长、质量、电阻的单匝正方形线框，以的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场，以下说法正确的是（　　） A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量 B．线框刚进入第一个磁场区域时，安培力大小为 C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热 D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域 【变式训练2-2-7】（多选）将材料相同、粗细不同的导线绕成边长相同的Ⅰ、Ⅱ两个正方形闭合线圈，Ⅰ线圈的匝数是Ⅱ的2倍，两线圈质量相等．现将两线圈在竖直平面内从同一高度同时以初速度v0竖直向上抛出，一段时间后进入方向垂直于纸面向外的匀强磁场区域，磁场的下边界水平，如图所示．已知线圈在运动过程中某条对角线始终与下边界垂直，且线圈平面始终在竖直平面内，空气阻力不计．在线圈进入磁场的过程中，下列说法正确的是(　　) A．通过Ⅰ、Ⅱ线圈导线截面的电荷量之比为1∶1 B．通过Ⅰ、Ⅱ线圈导线截面的电荷量之比为1∶2 C．Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的焦耳热之比为1∶2 D．Ⅰ、Ⅱ线圈中产生的焦耳热之比为1∶1 【变式训练2-2-8】（多选）电磁驱动技术现已广泛应用于生产、生活和军事中，如图所示为一电磁驱动模型，水平面内，连续排列的边长为L的正方形区域内存在竖直方向的匀强磁场，相邻区域的磁感应强度方向相反，大小均为B.质量为m、总电阻为R的矩形金属线框处于匀强磁场中，边长为L.当匀强磁场水平向右以速度v匀速运动时，金属线框能达到的最大速度为。线框达到最大速度后做匀速直线运动，线框运动中受到的阻力恒定，则下列说法正确的是（　　） A．图示位置时，线框ab边中感应电流方向从a到b B．线框运动中受到的阻力大小为 C．线框匀速运动后，受到安培力所做的功等于回路中产生的焦耳热 D．线框匀速运动后，外界每秒提供给线框的总能量为 【变式训练2-2-9】一条水平传送带匀速转动，速度大小为，方向如图所示。竖直虚线边界I、II、III、IV、V之间存在如图所示的匀强磁场，水平间距已在图中标出。边界I、II间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里；边界II、III间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外；边界IV、V间磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外。磁场区域的下边界水平，如图所示。其中磁感应强度为的磁场区域下边界与传动带的距离为。传送带左侧有一质量为、边长为、电阻为的正方形金属线框。最初线框左侧与边界I重合，初速度大小也为，方向水平向右。已知线框经过边界II的过程中，与传送带间刚好不发生相对滑动，最大静摩擦力认为与滑动摩擦力相等，重力加速度为。求： (1)线框穿过边界II的过程中受到安培力的大小； (2)从最初到线框刚好完全通过边界III的过程中，线框中产生的电热； (3)线框通过边界IV的过程中，传送带对线框支持力的冲量； (4)若线框能与传送带无相对滑动的通过边界V，线框与传送带间的动摩擦因数的最大值（结果可以保留分数） （3） 导体棒转动切割的电路问题 【典型例题1】如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B，金属棒MN以角速度ω绕过O点的竖直轴PQ沿顺时针（从上往下看）旋转。已知。则（    ） A．M点电势低于O点电势 B．N点电势低于M点电势 C．MN两点的电势差为 D．NM两点的电势差为 【典型例题2】如图所示，边长为L的正方形单匝导线框abcd放在纸面内，在ad边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a点在纸面内沿顺时针方向匀速转动，经时间Δt第一次转到图中虚线位置。则在Δt内通过导线框横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【典型例题3】半径分别为r和的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一根长为、电阻为R的均匀金属棒置于圆导轨上，的延长线通过圆导轨中心O，在两导轨之间接阻值分别为、的两定值电阻，装置的俯视图如图所示。整个装置位于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下。金属棒在水平外力作用下以角速度绕圆心O顺时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触，不跟电阻相碰，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是（    ） A．金属棒中电流从N流向M B．金属棒转动产生的电动势为 C．电阻中电流为 D．水平外力做功的功率为 【典型例题4】某同学设计了一种带有闪烁灯的自行车车轮，以增强夜间骑车的安全性。如图所示为自行车后车轮，已知金属车轮半径为r＝0.6 m，金属轮轴半径可以忽略，有绝缘辐条连接轮轴与车轮(辐条未画出)。车轮与轮轴之间对称地接有4根相同的金属条，每根金属条中间都串接一个LED灯，LED灯可视为纯电阻，每个LED灯的阻值恒为R＝0.45 Ω，不计其他电阻。车轮旁的车架上固定有一特殊磁铁，能在车轮与轮轴之间形成一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度大小B＝0.5 T的扇形匀强磁场区域，扇形对应的圆心角θ＝30°。使自行车沿平直路面匀速前进，已知车轮转动的角速度为ω＝20 rad/s，不计车轮厚度，忽略磁场的边缘效应，取π＝3.0，则下列说法正确的是(　　) A.车轮转动一周过程中，LED灯亮的总时间为0.075 s B.金属条ab进入磁场时，ab上电流的方向是a→b C.金属条ab进入磁场时，ab上电流大小是2 A D.车轮转动一周，LED灯产生的总焦耳热为0.54 J 【典型例题5】（多选) 如图所示，光滑圆弧形导轨的半径分别为、，点为两个圆弧的圆心，之间用导线连接电阻R。轻质金属棒通过铰链固定在O点，另一端连接质量为m、中心有孔的金属小球C，金属球套在导轨PQ上；金属棒初始位置水平，金属球、金属棒与导轨接触良好。在过圆心O的水平线下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知重力加速度为g，金属棒粗细均匀，总电阻为，金属球与导轨电阻不计。现将金属球由静止释放，当其运动到O点正下方D点时，金属球的速度大小为v，则（　　） A．金属球运动到D点时，金属棒OA两点间的感应电动势为零 B．金属球运动到D点时，电阻R两端的电压为 C．该过程中，通过电阻的电荷量为 D．该过程中，电阻上产生的焦耳热为 【典型例题6】（多选) 如图，过P点的虚线上方存在方向垂直于纸面的匀强磁场。一金属圆环在纸面内以P点为轴沿顺时针方向匀速转动，O为圆环的圆心，OP为圆环的半径。则（   ） A．圆环中感应电流始终绕O逆时针流动 B．OP与虚线平行时圆环中感应电流最大 C．圆环中感应电流变化的周期与环转动周期相同 D．圆环在磁场内且OP与虚线垂直时环中感应电流最大 【典型例题7】（多选) 如图所示，半径分别为和的同心圆形光滑导轨固定在同一水平面上，一长为、电阻为的直导体棒置于圆导轨上面，的延长线通过圆导轨的中心，直径左侧的半圆环区域内存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为，方向垂直水平面向上。在内圆导轨的点和外圆导轨的点之间接有定值电阻、，，。直导体棒在水平外力作用下以较大角速度绕匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触，其他电阻忽略不计。以下说法正确的是（　　） A．外电路两端电压的有效值为 B．导体棒转动一周外力做功的平均功率为 C．导体棒转动一周流过的电荷量为 D．导体棒转动一周上产生的焦耳热为 【典型例题8】如图，金属轨道和， 和 平行放置于水平面上，间距为 ，其中和 段轨道粗糙且与导体棒间的动摩擦因数，和两端用绝缘材料连接，和段轨道光滑且足够长。左侧某位置放置一根可自由滑动的导体棒，电阻为，质量为；右侧某位置放置导体棒（事先被锁定），电阻为，质量为，导体棒和都与轨道垂直，整个水平轨道处于竖直向下磁感应强度的匀强磁场中。半径的金属圆环，金属圆环水平放置，点为圆环中心，处于竖直向下磁感应强度 的匀强磁场中，电阻为的金属棒，在外力作用下，沿图示方向俯视为顺时针绕过点的竖直轴以一定角速度匀速转动，端与金属圆环良好接触，金属圆环与导轨 用导线连接，点用导线与导轨连接。不计所有导轨、连接导线、金属环和接触的电阻，取。问： (1)比较金属棒两端电势的高低？要使导体棒能向右运动，则金属棒转动的角速度最小值为多少？ (2)某时刻棒跨过线进入右侧的磁场区开始计时，同时对棒施加恒力，棒从静止开始运动，经 刚好达到匀速运动状态，则此时棒与线的距离为多少？ (3)若棒获得 的速度跨过线进入右侧磁场区的同时，解除棒的锁定，此后不与相撞，经足够长时间后，求棒产生的热量为多少？ 【变式训练2-3-1】如图，有一硬质导线Oabc，其中是半径为R的半圆弧，b为圆弧的中点，直线段Oa长为R且垂直于直径ac。该导线在纸面内绕O点逆时针转动，导线始终在垂直纸面向里的匀强磁场中。则O、a、b、c各点电势关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3-2】半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r、电阻为R的均匀直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆轨道中心O。装置的俯视图如图所示，整个装置位于一匀强磁场内，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在两导轨之间接阻值为R的定值电阻和电容为C的电容器。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动。在转动过程中始终与导轨保持良好接触，导轨电阻不计。下列说法正确的是(　　) A.导体棒中电流由A流向B B.电容器所带电荷量为CBωr2 C.电容器的M板带负电 D.导体棒两端电压为Bω2r 【变式训练2-3-3】如图所示，为固定在水平面上的半径为l、圆心为O的金属半圆弧导轨，间用导线连接一电阻M。金属棒一端固定在O点，另一端P绕过O点的轴，在水平面内以角速度为逆时针匀速转动，该过程棒与圆弧良好接触。整个空间分布着竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，已知金属棒由同种材料制成且粗细均匀，棒长为、总电阻为，M阻值为r，其余电阻忽略不计。当棒转到图中所示的位置时，棒与圆弧的接触处记为Q点，则（   ） A．通过M的电流方向为 B．通过M的电流大小为 C．两点间电压为 D．两点间电压为 【变式训练2-3-4】如图所示，半径为L的导电圆环（电阻不计）绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内（两条虚线之间）分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R0相连，定值电阻R0的另一端通过导线接在圆环的中心轴上，在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是（　　） A．金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后，辐条中电流的大小不变，方向改变 B．定值电阻R0两端的电压为BL2ω C．通过定值电阻R0的电流为 D．圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量为 【变式训练2-3-5】如图所示，半径为的金属圆环，接有电阻均为的三根导电辐条、、，绕垂直于圆环平面、通过圆心的轴以角速度匀速转动，圆环上辐条互成角。圆环内，在圆心角为的扇形区域内存在垂直圆环平面向下磁感应强度为的匀强磁场，圆环及其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 B．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 C．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 D．当辐条在磁场中转动时，辐条上的热功率为 【变式训练2-3-6】将一均匀导线围成一闭合的环状扇形线框MNPQ，其中，，圆弧MN和PQ的圆心均为O点，O点为直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B。从时刻开始让导线框以O点为圆心，以恒定的角速度沿逆时针方向做匀速圆周运动，规定沿QMNP方向的电流为正，则导线框中的电流随时间的变化规律描绘正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3-7】边界的右侧区域内，存在着磁感应强度大小为，方向垂直光滑水平桌面向下的匀强磁场。边长为的正三角形金属线框粗细均匀，三边阻值相等，顶点刚好位于边界上，现使线框围绕过点且垂直于桌面的转轴以角速度逆时针匀速转动，如图所示，则在边开始转入磁场的瞬间，、两点间的电势差为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3-8】一根长为L、下端固定的导体棒OA处于匀强磁场中。磁场的方向竖直向上，大小为B。若该导体棒以角速度ω绕竖直轴旋转，旋转方向如图所示。则导体棒中的电动势（　　） A．大小为， B．大小为， C．大小为， D．大小为， 【变式训练2-3-9】法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触，圆盘电阻为r，外电路电阻为R，下列说法正确的是（　　） A．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则回路电流也变为原来的2倍 B．若从上往下看，圆盘顺时针转动，电阻R两端a，b电势关系为 C．圆盘转动转动过程中，克服安培力做功等于电阻R上生成的焦耳热 D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍 【变式训练2-3-10】（多选) 下面是一种电动汽车能量回收系统简化结构图。行驶过程，电动机驱动车轮转动。制动过程，电动机用作发电机给电池充电，进行能量回收，这种方式叫“再生制动”。某电动汽车4个车轮都采用轮毂电机驱动，轮毂电机内由固定在转子上的强磁铁形成方向交替的等宽辐向磁场，可视为线圈处于方向交替的匀强磁场中，磁感应强度大小为。正方形线圈固定在定子上，边长与磁场宽度相等均为，每组线圈匝数均为，每个轮毂上有组线圈，4个车轮上的线圈串联后通过换向器（未画出）与动力电池连接。已知某次开始制动时线圈相对磁场速率为，回路总电阻为，下列说法正确的有（　   ） A．行驶过程，断开，闭合 B．制动过程，断开，闭合 C．开始制动时，全部线圈产生的总电动势为 D．开始制动时，每组线圈受到的安培力为 【变式训练2-3-11】（多选) 如图所示，导线圆环总电阻为2R，半径为d，垂直磁场固定于磁感应强度为B的匀强磁场中，此磁场的左边界正好与圆环直径重合，电阻为R的直金属棒ab以恒定的角速度ω绕过环心O的轴匀速转动，a、b端正好与圆环保持良好接触。以下说法正确的是(　　) A．图示位置处杆O点电势高于b点电势 B．a、b两点的电势差Uab＝Bd2ω C．转动过程中金属棒与圆环上消耗的电功率之比2∶1 D．棒转动一圈时金属棒上产生的热量为 【变式训练2-3-12】（多选) 某风速实验装置由如图甲、乙所示的风杯组系统和电磁信号产生系统两部分组成。风杯固定在竖直转轴的顶端，风杯中心到转轴距离为2L，风推动风杯绕竖直转轴顺时针匀速转动。电磁信号产生器由圆形匀强磁场和固定于转轴上的导体棒OA组成，磁场半径为L，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导体棒OA长为1.5L，电阻为r。导体棒每转一周，A端与弹性簧片接触一次，接触时产生的电流强度恒为I。图中电阻为R，其余电阻不计。下列说法正确的是（　　） A．流过电阻R的电流为正弦式交流电 B．当导体棒与弹性簧片接触时，OA两点的电压大小为Ir C．当导体棒与弹性簧片接触时，O点电势低于A点电势 D．风杯的速率 【变式训练2-3-13】（多选) 如图甲所示，一长为L的导体棒，绕水平圆轨道的圆心O顺时针匀速转动，角速度为ω，电阻为r，在圆轨道空间存在有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。半径小于的区域内磁场竖直向上，半径大于的区域磁场竖直向下，俯视如图乙所示，导线一端Q与圆心O相连，另一端P与圆轨道连接给电阻R供电，其余电阻不计，则(　　) A.电阻R两端的电压为 B.电阻R中的电流方向向下 C.电阻R中的电流大小为 D.导体棒所受的安培力做功的功率为 【变式训练2-3-14】（多选) 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第Ⅰ象限和第Ⅳ象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小也为B的匀强磁场。一半径为L、电阻为R、圆心角为60°的扇形闭合线圈在纸面内绕O点逆时针匀速转动，角速度为ω，t＝0时，半径OA与x轴重合，下列说法正确的是（   ） A．线圈转动一周的过程中产生的感应电流的有效值为 B．时刻，感应电动势的大小为 C．时刻，感应电流的大小为 D．时刻，感应电流的方向为A→O→C→A 【变式训练2-3-15】（多选) 一个圆形金属框和三根相同的导体棒焊接成如图所示的形状，金属框的阻值忽略不计，导体棒的阻值均为r，长度均为R，且互成，以O为圆心、R为半径的扇形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，使金属框绕O点以角速度逆时针匀速转动，下列说法正确的是（　　） A．棒内的电流方向一直为从O指向A B．当棒在磁场中时，两点间的电势差为 C．棒内的最大电流为 D．每转一周，三根导体棒所产总热量为 【变式训练2-3-16】（多选) 如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒，一端与圆环接触良好，另一端固定在竖直导电转轴上，随轴以角速度匀速转动。在电刷和圆环的A点间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，金属棒接入电路的电阻为R，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．金属棒产生的电动势为 B．电阻R两端的电压为 C．电容器所带的电荷量为 D．微粒的电荷量与质量之比为 【变式训练2-3-17】（多选) 如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其它电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 【变式训练2-3-18】（多选) 如图所示，一金属棒AC在匀强磁场中绕平行于磁感应强度方向的轴(过O点)匀速转动，OA＝2OC＝2L，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，金属棒转动的角速度为 ω、电阻为r，内、外两金属圆环分别与C、A良好接触并各引出一接线柱与外电阻R相接(没画出)，两金属环圆心皆为O且电阻均不计，则(　　) A．金属棒中有从A到C的感应电流 B．外电阻R中的电流为I＝ C．当r＝R时，外电阻消耗功率最小 D．金属棒AC间电压为 【变式训练2-3-19】（多选) 如图所示，在以水平线段AD为直径的半圆形区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。现有一个闭合导线框ACD由细软弹性电阻丝制成），端点A、D固定。在竖直面内，将导线与圆周的接触点C点以恒定角速度（相对圆心O）从A点沿圆弧移动至D点，使导线框上产生感应电流。设导线框的电阻恒为，圆的半径为，从A点开始计时，下列说法正确的是（　　） A．导线框中感应电流的方向先逆时针，后顺时针 B．在C从A点移动到D的过程中，穿过ACD回路的磁通量与时间的关系为 C．在C从A点移动到图中位置的过程中，通过导线截面的电荷量为 D．若以AD为轴，保持，将导线框以恒定的角速度转，回路中的电动势逐渐减小 【变式训练2-3-20】如图所示，固定金属圆环内存在方向垂直圆环向下的匀强磁场，在外力作用下金属棒Ob可绕着圆心O沿逆时针方向匀速转动。从圆心和圆环边缘用细导线连接足够长的两光滑平行金属导轨，导轨与水平面的夹角，导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，将金属棒cd垂直导轨轻轻放在导轨上，cd棒恰好保持静止。已知圆环内的磁场和导轨间的磁场的磁感应强度大小均为，圆环半径和金属棒Ob的长度均为，导轨宽度和金属棒cd的长度均为，金属棒cd的质量，Ob棒的电阻，cd棒的电阻，其余电阻不计，重力加速度大小。求： (1)金属棒cd的电功率P； (2)Ob棒转动的角速度。 【变式训练2-3-21】如图所示，半径为的水平金属圆盘绕过中心的竖直轴以角速度匀速转动，圆盘处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。是间距为的足够长、水平光滑平行金属导轨，导轨处在竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。导轨的端用导线通过电刷与圆盘边缘相连，、之间连接电容为的电容器和单刀双掷开关，且的接线柱1通过电刷与圆盘中心相连。在导轨上间隔一定距离垂直于导轨放置着两根金属棒、，质量分别为和，电阻值分别为和，不计其他电阻，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。 (1)将S掷于1，稳定后，求电容器所带的电荷量； (2)当电容器所带电荷量为时，将从1掷于2， i．求、棒稳定后的速度大小； ii．为使、棒不相碰，求两棒初始距离的最小值。 【变式训练2-3-22】某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势、内阻、限流电阻、飞轮每根辐条电阻，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。 （1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数。 ①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I； ②求物块匀速上升的速度v。 （2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等， ①求可调电阻R2的阻值； ②求磁感应强度B的大小。 （四）线框转动切割磁感线 【典型例题1】如图所示，边长为1m、电阻为0.04Ω的刚性正方形线框 abcd 放在与强磁场中，线框平面与磁场B垂直。若线框固定不动，磁感应强度以均匀增大时，线框的发热功率为P；若磁感应强度恒为0.2T，线框以某一角速度绕其中心轴匀速转动时，线框的发热功率为2P，则ab边所受最大的安培力为（　　） A． N B． C．1N D． 【典型例题2】（多选) 如图甲所示，发电机的矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，从时刻开始，通过矩形线圈的磁通量随时间变化的规律如图乙所示，已知线圈的匝数，线圈的电阻，线圈与外电路连接的定值电阻，电压表为理想交流电表。则下列说法正确的是（　　） A．交流电频率为 B．时刻线圈平面位于中性面 C．线圈转动过程中产生的最大感应电流为 D．电压表的示数约为 【变式训练2-4-1】（多选）如图，长为2L、宽为L的矩形金属线框abcd放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于线框平面向上。当金属框绕对称轴ef以角速度逆时针匀速转动时，下面说法正确的是（　　） A．线圈中没有感应电流 B．线圈中感应电流的方向为a→b→c→d→a C．ad两点的电势差 D．ad两点的电势差 【变式训练2-4-2】（多选）在一小型交流发电机中，矩形金属线圈的面积为，匝数为，线圈总电阻为，在磁感应强度为的匀强磁场中，绕轴（从上往下看逆时针转动）以角速度匀速转动，从如图甲所示的位置作为计时的起点，产生的感应电动势随时间的变化关系如图乙所示，矩形线圈与阻值为的电阻构成闭合电路，下列说法中正确的是（　　） A．在时间内，穿过线圈的磁通量的变化量大小为 B．在时间内，通过电阻电流方向先向上然后向下 C．时刻穿过线圈的磁通量的变化率大小为 D．在时间内，通过电阻的电荷量为 题型03：通过导体的电量问题 【典型例题1】（多选）如图，两匀强磁场磁感应强度分别为和，一半径为，单位长度电阻为的圆线圈开始时处于左侧磁场中，且与两侧磁场界线相切。现线圈以切点为轴，在纸面内以角速度顺时针方向匀速转动。则（　　） A．感应电流的方向为顺时针方向 B．转时线圈中感应电动势的值为 C．线圈所受安培力的最大值 D．匀速转动过程中通过线圈的电量为 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨ab和cd固定在同一水平面内，间距为L。导轨间有竖直向上的匀强磁场B，另有一直径为d的金属圆盘绕中心轴O以角速度顺时针匀速转动，圆盘区域有垂直圆盘向下的匀强磁场B。导轨b端通过电刷与圆盘边缘e点连接，导轨d端与圆盘金属转轴连接。现将质量为m的金属杆MN垂直于导轨由静止释放。下列结论正确的是（　　） A．金属杆最终做匀速直线运动 B．刚释放时金属杆的加速度最大 C．金属杆运动过程中的最大速度为 D．整个运动过程通过金属杆的总电量为 【变式训练3-1】一粗细均匀、总电阻为、边长为的正方形单匝闭合金属线圈，静置于与线圈平面垂直的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度随时间变化的关系如图所示，其中、为已知量。整个过程中，线圈无形变。下列说法正确的是（　　） A．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 B．在时间内，该线圈中产生的感应电动势为 C．在时间内，该线圈中产生的焦耳热为 D．在时间内，通过该线圈某截面的电量为 【变式训练3-2】用一根横截面积为S、电阻率为的粗细均匀的硬质细导线做成半径为的圆环，固定在水平桌面上，为圆环的直径，在的左侧存在匀强磁场，方向垂直圆环所在的平面，磁感应强度随时间的变化规律为，在磁感应强度由减小到0的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．圆环有收缩的趋势 B．圆环有向右运动的趋势 C．圆环在磁场中的部分产生的焦耳热为 D．通过圆环横截面的电量为 【变式训练3-3】如图所示，直角三角形金属框abc电阻为R，ab边长为L，bc边长为L。金属框绕ab边以角速度逆时针转动，空间中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场。下列说法正确的是（　　） A．若磁场方向平行ab边向上，金属框中没有感应电流，bc间电势差也为0 B．若磁场方向垂直纸面向里，图示时刻金属框中的感应电流最大 C．若磁场方向垂直纸面向里，从图示时刻开始至金属框转过的过程中，流经金属框的电量为 D．若磁场方向垂直纸面向里，从图示时刻开始至金属框转过的过程中，金属框中产生的焦耳热为 【变式训练3-4】如图所示，正方形线圈MOO′N处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与水平面的夹角为30°，线圈的边长为L，电阻为R，匝数为n。线圈从竖直面绕OO′顺时针转至水平面的过程中，通过导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【变式训练3-5】如图所示，在磁感应强度的匀强磁场中，有一个半径的金属圆环。圆环所在的平面与磁感线垂直，OA是一个金属棒，它沿着顺时针方向以20rad/s的角速度绕圆心O匀速转动。A端始终与圆环相接触，OA棒的电阻，图中定值电阻，，电容器的电容，圆环和导线的电阻忽略不计，则（　　） A．电容器下极板带正电 B．电路消耗的电功率是 C．电容器的带电荷量是 D．若金属棒在转动过程中突然停止不动，则此后通过的电量是 【变式训练3-6】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【变式训练3-7】（多选）如图，两条相同的光滑金属导轨平行放置，间距为L，右侧的半圆导轨处于竖直面内，磁感应强度大小为B且竖直向上的匀强磁场只存在于水平导轨区域。水平导轨上静置ab、cd两根材料相同、粗细均匀的实心金属棒，两棒长度均为L、质量分别为2m和m。现给金属棒ab一个向右的初速度，一段时间后，在金属棒cd进入半圆导轨前两棒均已达到匀速运动。已知金属棒cd恰能运动到半圆导轨的最高点，cd棒离开导轨前两棒与导轨始终垂直且接触良好，两棒之间未发生碰撞。导轨电阻不计，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两棒在水平导轨匀速运动时的速度均为 B．金属棒cd离开水平导轨前，ab棒上产生的焦耳热为 C．金属棒cd离开水平导轨前，通过其横截面的电量为 D．金属棒cd离开半圆导轨至未落到水平导轨前其产生的感应电动势始终为 【变式训练3-8】（多选）如图所示在空间直角坐标系中有一等腰直角三角形线框，其中一条直角边与z轴重合，另一条直角边在xOy平面内，线框总电阻为r，直角边长为l，当线框在外力作用下绕着z轴以角速度匀速转动时，线框上的P点先后经过x轴和y轴，整个装置处于沿y轴方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，则下列判断正确的是（  ） A．当线框经过y轴时，P、Q两点电势差为 B．当线框经过x轴时，OP两点间的电势差 C．线框由x轴位置转到y轴位置的过程中，通过线框截面的电量为 D．线框在转动一圈的过程中外力做功为 【变式训练3-9】（多选）如图甲所示，圆形金属框内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，长为L的导体棒ab绕固定于圆心的a端以角速度ω顺时针匀速转动；两竖直平行金属导轨MN、PQ间距为L，上端分别用导线与圆形金属框和a端相连，M、P间接有定值电阻R；长为L的导体棒cd与MN、PQ垂直且接触良好，cd始终处于垂直纸面向外的“”形磁场中，磁感应强度大小随时间的变化规律如图乙所示。0时刻cd棒从磁场的上边界以的速度开始向下匀速运动，t0时刻锁定cd棒。已知Rab=Rcd=R，其他电阻不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．0~t0通过MP的电流大小为 B．cd棒的质量为 C．t0~2t0通过MP间电阻的电量为 D．t0~2t0回路消耗的总功率为 【变式训练3-10】如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求 （1）平台静止时弹簧的伸长量； （2）时，每个线圈所受到安培力F的大小； （3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q； （4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。 题型04：电磁感应中的含电容电路 【典型例题1】如图，两根相距L的平行光滑金属导轨水平放置，一端与电容为C的电容器相连。在导轨之间x>0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，磁感应强度B=kx，其方向与导轨平面垂直。一根质量为m的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在水平外力作用下从x=0处以速度v沿导轨向右匀速运动，所有电阻不计。求∶ （1）金属棒在x=x1处时电容器所带的电荷量Q1； （2）电路中的电流i； （3）金属棒在x=x2处时电容器储存的电能。 【典型例题2】如图甲所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，间距为，定值电阻，电容器电容为，磁感应强度大小的匀强磁场垂直于导轨平面向上。有一质量为、电阻不计的导体棒与导轨垂直放置且接触良好，仅闭合，在水平外力作用下运动。电阻两端电压随时间变化的规律如图乙所示，重力加速度为。 (1)求的加速度大小； (2)求从开始运动内通过的电荷量； (3)若开始时断开，闭合后，导体棒受到大小为导体棒重力一半的水平拉力作用，试分析导体棒的运动状态。 【典型例题3】如图所示，有两光滑平行金属导轨，倾斜部分和水平部分平滑连接，、段用特殊材料制成，光滑不导电，导轨的间距，左侧接的定值电阻，右侧接电容的电容器，区域、区域均存在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度的匀强磁场，区域长。金属杆、的长度均为，质量均为，的电阻为，的电阻不计。金属杆从距水平部分的高度处由静止滑下，金属杆静止在区域，金属杆与金属杆发生弹性碰撞后进入区域，最终稳定运动。求： （1）金属杆刚进入区域时通过电阻的电流； （2）金属杆刚离开区域时的速度的大小； （3）金属杆稳定运动时的速度的大小； （4）整个运动过程中金属杆上产生的焦耳热。 【变式训练4-1】如图所示，中间开有小孔O、O′，间距为3d的两正对金属板M、N水平放置，分别用导线与间距为L的平行金属导轨连接，导轨两端接入阻值均为R的两定值电阻，导轨电阻不计。导轨所在部分区域存在匀强有界磁场I、Ⅱ，两磁场相邻，宽度均为d，磁感应强度大小均为B，其中磁场I方向垂直纸面向外，磁场Ⅱ方向垂直纸面向里。阻值为R的金属杆ab与导轨垂直且接触良好，杆ab在外力作用下以速度v0向右始终匀速运动。某时刻杆ab进入磁场I，同时一带电量为+q的小球以一定速度自小孔O竖直向下射入两板间，杆ab在磁场I中运动时，小球恰好能匀速下落；杆ab从磁场I右边界离开时，小球恰好从孔O′离开，忽略极板间充放电时间。重力加速度为g。 （1）求杆ab在磁场I中运动时通过每个电阻R的电流； （2）求小球的质量m和小球从O点射入两板间的初速度大小； （3）将磁场I和Ⅱ的磁感应强度均增大到原来的k倍，杆ab进入磁场I的速度v0和小球从O点射入两板间的初速度均不变，发现小球一直竖直向下运动且从O′孔离开时的速度与其初速度相等，求k值。 【变式训练4-2】如图所示，一光滑的平行导轨固定在同一水平面内，导轨间距为L=2m。两导轨各通过一间距不计的绝缘隔层cd将其分成两段，导轨左端分别接有阻值为R=2.0Ω的电阻和电容为C=0.1F的电容器。一质量为m=1.0kg，阻值不计的金属棒放置在导轨上，整个装置置于竖直向下、磁感应强度为B=1T的匀强磁场中。棒在水平向右的外力F作用下，由静止开始以a=2m/s2的加速度做匀加速直线运动。当棒运动到绝缘层处撤去外力，其位移x=16cm。假设导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，电容器储存的电能公式，求： （1）当棒运动到绝缘层处时，电容器储存的电能UC； （2）棒在匀加速运动过程中，外力F与时间的关系； （3）当棒运动到绝缘层处撤去外力F前，通过导体棒的电荷量q。 【变式训练4-3】电磁弹射在电磁炮、航天器、舰载机等需要超高速的领域中有着广泛的应用， 图 1 所示为电磁弹射的示意图。为了研究问题的方便，将其简化为如图 2 所示的模型（俯视图）。发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为 L 且相互平行的金属导轨，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。发射导轨的左端为充电电路，已知电源的电动势为 E，电容器的电容为 C。子弹载体被简化为一根质量为 m、长度也为 L 的金属导体棒，其电阻为 r。金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上。忽略一切摩擦阻力以及导轨和导线的电阻。 (1)发射前，将开关 S 接 a，先对电容器进行充电。 a．求电容器充电结束时所带的电荷量 Q； b．充电过程中电容器两极板间的电压 u 随电容器所带电荷量 q 发生变化。请在图 3 中画出u-q 图象；并借助图象求出稳定后电容器储存的能量 E0。 (2)电容器充电结束后，将开关接 b，电容器通过导体棒放电，导体棒由静止开始运动， 导体棒离开轨道时发射结束。电容器所释放的能量不能完全转化为金属导体棒的动能，将导体棒离开轨道时的动能与电容器所释放能量的比值定义为能量转化效率。若某次发射结束时，电容器的电量减小为充电结束时的一半，不计放电电流带来的磁场影响。 a．求这次发射过程中的能量转化效率η； b．导体棒在运动过程中由于克服非静电力做功会产生反电动势，求这次发射过程中克服非静电力所做的功。 【变式训练4-4】如图所示，有一电阻不计的光滑平行金属导轨AB、CD，固定在一倾角为的斜面上，有一个电容为C的未充电电容器连接在导轨A、C两点间，磁感应强度为B0的匀强磁场垂直斜面向下，另一光滑U形金属导体框MNPQ放置于光滑水平面上并恰好与导轨AB、CD的底部B、D相接触（不相连）， B、D处为平滑绝缘弯头，长度很短，金属导轨AB、CD与导体框MNPQ的宽度均为d，U形导体框的长度为L，水平面存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度也为B0。现有一长度为d的导体棒EF垂直放置于导轨AB、CD的某处并从静止开始滑下，无摩擦地滑过绝缘连接弯头，滑上水平放置的U形金属导体框MNPQ，当导体棒EF滑到U形金属导体框长度的一半时，棒与U形金属导体框恰好相对静止，电容器始终未被击穿。已知棒EF的质量为m，电阻为R，U形金属导体框的质量为2m，它只在NP部分有电阻，大小为2R，求： (1)导体棒EF滑上U形金属导体框过程中，通过U形金属框MNPQ的电荷量及电流方向； (2)导体棒EF从金属导轨AB、CD滑下时所处的高度。 【变式训练4-5】电磁炮是利用磁场对通电导体的作用使炮弹加速的，其原理示意图如图所示。图中直流电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，两根固定的平行金属导轨间距为d，长度为L，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），炮弹可视为质量为m，电阻为R的金属棒，垂直放在两导轨间的最左端并处于静止状态，开关S接1，使电容器充电，电压充到为时将开关S接至2，开始向右加速运动。当炮弹离开导轨前达到最大速度，在沿导轨运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，该装置的电感及摩擦可以忽略。试求 (1)直流电源的a端为正极还是负极； (2)电容器电压刚充到时电源的电流i； (3)整个过程安培力对炮弹所做的功W； (4)若已知电容器储存的电能为（U为电容器的电压），试求电容器放电过程产生的焦耳热损失Q（电磁辐射可以忽略）。 【变式训练4-6】如图（a）所示，距离为L的两根足够长光滑平行金属导轨倾斜放置，导轨与水平面夹角为。质量为m，电阻为r的金属棒垂直放置于导轨上，导轨所在平面内有垂直于导轨斜向上的匀强磁场。导轨的P、M两端接在外电路上，电阻R的阻值为，电容器的电容为C，电容器的耐压值足够大。在开关闭合、断开的状态下将金属棒由静止释放（运动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好），金属棒的图像如图（b）所示。导轨电阻不计，重力加速度为g。 (1)求磁场的磁感应强度大小； (2)在开关闭合、断开的状态下，当导体棒加速下滑的距离为x时电阻R产生的焦耳热为Q，则此时金属棒的速度、加速度分别是多少？ (3)现将开关断开，闭合，由静止释放金属棒后，金属棒做什么运动？ 【变式训练4-7】如图所示，足够长的光滑平行导轨与水平面的倾角，导轨上端用电键可以分别连接电源、电阻和电容。质量、长度、电阻可以忽略的金属杆ab垂直导轨放置，整个导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度为。已知电源的电动势E=30V，定值电阻R=8.0Ω，电容，不计导轨的电阻和空气阻力，，，重力加速度。 (1)当开关打到，释放金属杆ab，恰好能处于静止状态，求电源的内阻； (2)当开关打到，释放金属杆ab，求金属杆能达到的最大速度； (3)当开关打到，释放金属杆ab，求5s末金属杆速度的大小。 【变式训练4-8】如图a所示，水平放置的两块金属平行板a和b，板长均为L，板间距离为d。两个金属板用导线ABCD、EFGH和一个半径为r的金属环相连。金属环内部存在垂直于金属环平面的磁场。图b所示是磁感应强度B随时间t作周期性变化的图线。（规定磁场垂直于纸面向外为正） （1）求在0~内金属环中感应电动势的大小，并在图c中画出电压Uab随时间变化的图线； （2）若t＝0时刻，某电子从a、b金属板间中央O点水平射入，已知电子质量为m，电荷量为-e，初速度大小等于。为确保电子能够从金属板间射出，求两金属板间距d应满足什么条件； （3）若在t＝0时刻，某电子从a、b金属板间左端O点沿中轴线OO′水平射入电场，运动过程中始终没有和金属板相碰，最终由O′点水平射出电场。求该电子的初速度v应该满足什么条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $