第06讲 线框模型（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义 -2027年高考物理一轮复习电磁感应专题

第06讲 电磁感应——线框模型 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：线框穿越磁场的动力学问题 6 题型02：线框穿越磁场的能量问题 11 题型03：线框穿越磁场过程的动量问题 21 题型04：线框穿越磁场的电路问题 33 题型05：线框穿越磁场过程的图像问题 45 题型06：线框只在安培力作用下线框穿越磁场题型 85 题型07：线框在外力和安培力作用下线框穿越磁场题型 91 题型08：电磁感应中线框穿越交变磁场类问题 102 题型09：电磁感应中线框进出磁场的综合问题 129 巩固提升 139 1.考查形式：选择题、实验变式、计算题都可出，大题常作为次压轴；和单杆、双杆并列电磁感应三大核心模型。 2.主流题型 ①矩形线框匀速/加速穿过有界匀强磁场（进磁场、在磁场中、出磁场三个阶段） ②线框从高处下落穿过磁场（自由下落、有弹簧、有外力） ③线框绕轴转动（交变电流来源，和转动切割区分开） ④变式：不等宽磁场、斜磁场、线框电阻分布不均、线框部分边有电阻 3.高频考点：感应电流方向、安培力、运动分析、v-t图像、焦耳热、电荷量、进出磁场时间、临界速度。 4.命题陷阱：容易忽略“完全在磁场内时磁通量不变，无感应电流、不受安培力”；混淆进、出磁场的位移；忽略重力、摩擦力等外力。 5.核心特点：分阶段分析是线框模型的灵魂。 1.能把线框穿磁场拆成：进磁场、磁场内部、出磁场三阶段，判断有没有感应电流 2.会用法拉第电磁感应定律、楞次定律判断E、I、安培力方向大小 3.结合牛顿第二定律，分析线框运动：匀速、减速、加速、收尾速度 4.会求电荷量；能量守恒求焦耳热 5.会识别v-t图像、F-t、I-t图像 6.能处理下落类线框（重力+安培力）的收尾临界问题 知识点一：电磁感应中的动力学问题 1.两种状态及处理方法 1. 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析 2.电磁感应中的动力学临界问题的分析思路 (1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。 (2)基本思路是：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力―→合外力变化加速度变化―→速度变化―→临界状态―→列式求解。 知识点二：电磁感应中的能量问题 1.电磁感应过程中的能量转化 2.求解焦耳热Q的三种方法 焦耳定律 Q＝I2Rt，电流、电阻都不变时适用 功能关系 Q＝W克服安培力，任意情况都适用 能量转化 Q＝ΔE其他能的减少量，任意情况都适用 知识点三：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中电路知识的关系图 2.分析电磁感应电路问题的基本思路 3.电磁感应中电路问题的基本规律 (1)对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。 (2)对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体棒或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处，在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。 (3)对路端电压的理解：“电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。 知识点四：动量定理在电磁感应中的应用 在导体切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。 求解的物理量 应用示例 电荷量或速度 －BlΔt＝mv2－mv1，q＝Δt 位移 －BLΔt＝＝mv2－mv1 即＝m(v2－v1) 时间 －BlΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1 即－Blq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力) －＋F其他Δt＝mv2－mv1 即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力) 知识点五：线框穿越磁场 示意图 在安培力作用下穿越磁场（磁场宽度足够大） 在恒力F（包括重力mg）和安培力作用下穿越磁场（磁场宽度足够大） 动力学观点 以进入磁场时为例，设运动过程中某时刻的速度为v，加速度大小为a，则a＝，a与v方向相反，导线框做减速运动，v↓⇒a↓，即导线框做加速度减小的减速运动，最终匀速运动（全部进入磁场）或静止（导线框离开磁场过程的分析相同） 以进入磁场的过程为例，设运动过程中某时刻导线框的速度为v，加速度为a＝－。 （1）若进入磁场时＝，则导线框匀速运动； （2）若进入磁场时＞，则导线框做加速度减小的加速运动（直至匀速）； （3）若进入磁场时＜，则导线框做加速度减小的减速运动（直至匀速）（导线框离开磁场过程的分析相同） 能量观点 部分（或全部）动能转化为焦耳热：Q＝－ΔEk 力F做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和：WF＝ΔEk＋Q 动量观点 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量和除安培力之外恒力作用的时间： （1）求电荷量或速度：＝mv2－mv1，q＝； （2）求位移：＝mv末－mv0，即＝mv末－mv0； （3）求时间：①＋F其他·Δt＝mv2－mv1， 即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 一：解题策略（标准四步） 步骤1：划分阶段，判断有没有感应电流 步骤2：写出核心公式 步骤3：按需选择规律 步骤4：区分两类典型主线 ① 匀速穿磁场：外力/重力和安培力时刻平衡，进、出过程速度不变，热量好算 ② 无外力下落穿磁场：减速/加速趋近收尾速度；进磁场结束速度不一定等于出磁场初速度 二：高频易错点 1. 线框全部在磁场中：没有感应电流，不受安培力（最高频坑） 2. 进磁场和出磁场，ΔΦ大小一样，所以进、出过程电荷量相等；但热量不一定相等（速度变了） 3. 安培力方向：总是阻碍相对运动，进向上、出也向上（竖直下落模型） 4. 线框绕轴转动属于交变电流模型，不属于“平移穿过磁场”的线框平移模型，不要混在一起 5. 磁场宽度小于线框边长：阶段会变，不再是三段 三：速记背诵版 线框穿磁场分三段：进有、中无、出有； 安培力正比速度，阻碍进出； 求q用磁变，求热用能量； 变力过程想动量定理，匀速直接受力平衡。 题型01：线框穿越磁场的动力学问题 【典型例题1】（多选）M和N两水平线间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场高度为h，竖直平面内有质量为m、电阻为R的直角梯形线框，上下底水平且底边之比为5：1，梯形高为2h。该线框从AB到磁场上边界的距离为h的位置由静止下落，下落过程底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直。已知AB刚进入磁场时和AB刚穿出磁场时线框加速度为零，在整个运动过程中，说法正确的是（    ） A．AB边匀速穿过磁场 B．从AB边刚穿出到CD边刚要进入磁场的过程中，线框做匀速运动 C．CD边刚进入磁场时，线框的加速度为，方向竖直向上 D．从线框开始下落到AB边刚穿出磁场的过程中，线框产生的焦耳热和重力做功之比31：16 【答案】BC 【解析】A．设AB边长为L，整个线圈的电阻为R，则感应电动势为根据欧姆定律有 可知，当AB边刚进入磁场是匀速进入，满足然后在接下来的过程中，AB边仍在磁场中运动，则线圈切割磁感线的有效长度不断增加，即不可能做匀速直线运动，A错误； B．设AB边刚穿出磁场时的速度为，根据题意，在AB边刚穿出磁场时安培力等于重力，满足 同理CD边刚要进入磁场时，切割磁感线的有效长度为2L，满足在此过程中一直保持有效长度为2L，速度也不变，做匀速直线运动，B正确； C．CD边刚进入磁场时，有效切割长度为，即代入方向竖直向上，C正确； D．从线框开始下落到AB边刚穿出磁场的过程中，由能量守恒定律可知，线圈重力势能的减少量转化为线框的动能和线框产生的焦耳热，即重力做功大于焦耳热，D错误。故选BC。 【典型例题2】（多选）如图所示，在光滑斜面上固定有一质量为m、电阻为R、边长为l的正方形单匝线框abcd。线框右下方存在垂直于斜面向上的磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场宽度为L，且。现释放线框，使线框从图示位置由静止开始沿斜面向下运动，ab边始终与磁场边界平行。已知ab边在经过磁场上、下边界时的瞬时速度相同，重力加速度为g，斜面与水平方向的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．ab边经过磁场下边界时速度大小大于 B．线框释放时ab边距离磁场上边界的距离大于 C．线框穿过磁场产生的热量为 D．线框通过磁场的最小速度为 【答案】AB 【解析】A．ab边在经过磁场上、下边界时的瞬时速度相同，故线框进入磁场的过程减速，设ab边进入磁场瞬间速度大小为v，则有故，A正确； B．线框在磁场外运动的加速度设线框释放时ab边到磁场上边界的距离为s，则有 解得，B正确； C．对线框ab边刚到达磁场上边界到cd边刚到达磁场下边界整个过程，由功能关系有 分析可知线框穿出磁场时做减速运动，即所以线框通过磁场产生的热量大于，C错误； D．线框穿过磁场过程中不一定减速到匀速，故整个线框通过磁场的最小速度不一定为，D错误。 故选AB。 【典型例题3】如图所示，质量为m，边长为l，阻值为R且均匀分布的正方形金属框，位于光滑的水平面上。金属框的ab边与磁场左边界平行，运动方向与磁场左边界垂直。图甲和图乙中的磁场为匀强磁场，大小为B，方向垂直水平面向下。图丙中沿x正方向存在按B＝B0＋kx均匀增大的稳恒磁场（k是单位为T/m的已知常量，x为坐标值）。 （1）如图甲，给金属框一初速度v0，则金属框刚进磁场时，求ab边所受的安培力的大小； （2）如图乙，给金属框一变力F，使金属框从图示位置由静止开始做匀加速直线运动。在进入磁场的过程中，力F随时间的变化率为定值k。求金属框的加速度大小； （3）如图丙，给金属框一初速度v0，使金属框从图示位置开始向右运动，求停止运动时cd边的坐标值。 【答案】见解析 【解析】（1）金属框刚进磁场时，ab边切割磁感线产生的感应电动势大小为：E＝Blv0，金属框中的电流大小为：I＝，ab边所受的安培力大小为：FA＝IlB，联立得：FA＝ （2）金属框在进入磁场的过程中，某一时刻t速度大小为v，结合（1）结果，由牛顿第二定律得：F－＝ma，金属框从图示位置由静止开始做匀加速直线运动，则v＝at，得：F＝＋ma，又知力F随时间的变化率为定值k，则k＝，则金属框的加速度大小为：a＝ （3）当金属框的速度为v时，金属框中感应电动势的大小E＝Bablv－Bcdlv＝kl2v 金属框中的电流大小为：I＝ 金属框中所受安培力大小为：FA＝IlBab－IlBcd 微分：此时经过极短时间Δt，由动量定理得：－FAΔt＝mΔv，即＝mΔv 积分：∑vΔt＝m∑Δv，即＝0－mv0 得：x＝ 【变式训练1-1】（多选）如图甲所示，边长l的正方形金属线圈abcd随水平传送带一起以恒定速度v0运动，边界PQ与MN垂直传送带，其间存在竖直方向的匀强磁场。线圈在图示位置开始计时，直到ab边刚离开磁场，其速度与时间的关系如图乙所示，且在传送带上始终保持ab、cd边平行于磁场边界，重力加速度为g。则（　　） A．t1～t2时间内线圈所受安培力大于摩擦力 B．t1～t2和t2～t3时间内线圈所受摩擦力方向相反 C．边界PQ与MN的距离为 D．线圈与传送带间的动摩擦因数为 【答案】AC 【解析】A．线圈在图示位置开始计时，直到ab边刚离开磁场，则由图像可知，在ab边刚进入磁场时，时间内线圈做加速度减小的减速运动，故传送带对线圈的摩擦力方向与线圈运动方向相同；根据楞次定律可知，磁场对ab边的安培力阻碍线圈的运动，即安培力的方向与线圈运动方向相反，又加速度方向与线圈运动方向相反，故安培力大于摩擦力，A正确； B．时间内，线圈全部进入磁场，线圈只受摩擦力作用，此时线圈做匀加速直线运动，摩擦力方向与运动方向相同，故和时间内线圈所受摩擦力方向相同，B错误； C．时间内线圈ab边通过的位移大小为，设在时间内线圈的位移为x2，由运动学公式可得 故边界PQ与MN的距离为，C正确； D．线圈在时间内做匀加速直线运动，由图像可得线圈的加速度对线圈，根据牛顿第二定律有联立整理可得，D错误。故选AC。 【变式训练1-2】（多选）如图所示，竖直平面（纸面）两水平线间存在宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一质量为m、边长也为d的正方形线圈从磁场上方某处自由落下，时刻线圈的下边进入磁场，时刻线圈的上边进入磁场，时刻线圈上边离开磁场。已知线圈平面在下落过程中始终与磁场方向垂直，且线圈上、下边始终与磁场边界平行，不计空气阻力，则线圈下落过程中的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】B．0-t1时间内，线框做自由落体运动，根据速度公式得v=gt得t1时间内线框做匀加速运动，到达t1时速度达到最大，t3以后，线框做自由落体运动，再做匀加速运动。t1-t3时间内，线框在磁场中运动，下边切割磁感线产生感应电流，线框受安培力和重力作用，开始进入时，如果 有牛顿第二定律得 加速度方向向上，速度向下，线框做减速运动，随着速度的减小，加速度在减小，加速度减小到零时，速度达到最小，故B正确； CD．开始进入时，如果：有牛顿第二定律得加速度方向向下，速度向下，线框做加速运动，随着速度的增大加速度在减小，加速度减小到零时，速度达到最大，保持匀速，直至出磁场后做匀加速运动，故CD错误； A．开始进入时，如果线框做匀速运动，直至出磁场后做匀加速运动，故A正确；故选AB。 【变式训练1-3】如图1所示，在光滑绝缘的水平面内建立xOy坐标系，空间中0＜x＜5L的范围内存在竖直向下的磁场，任一时刻磁感应强度分布与y无关，随x按B＝kx的规律变化，k随时间的变化如图2所示，其中k0＝2 T/m，t0＝0.5 s。水平面上有一边长L＝1 m、质量m＝2 kg、总电阻R＝0.5 Ω的匀质正方形刚性导线框abcd，0～t0内锁定在图1所示的位置，t0时刻解除锁定，同时对线框施加向右的水平恒力F0＝4 N，使之开始沿x轴正方向运动，已知当ab边到达x＝3L时，线框开始做匀速运动。在线框ab边越过磁场右边界后瞬间，改施加变力，使之后线框在离开磁场的过程中其电流保持不变。线框在全过程中始终处于xOy平面内，其ab边与y轴始终保持平行，空气阻力不计。求： （1）0～t0内线框中电流I的大小及方向； （2）线框在磁场中匀速运动的速度大小v； （3）线框在匀速运动过程中，ab两端的电势差Uab随ab边的x坐标变化的关系式； （4）线框在穿出磁场的过程中产生的焦耳热Q。 【答案】见解析 【解析】（1）0～t0内感应电动势E1＝ 磁通变化量大小ΔΦ＝＝ 则此过程线框产生的感应电动势E1＝＝＝2 V 根据I1＝，解得I1＝4 A 此过程磁通量向里减小，由楞次定律和安培定则可知，线框中电流方向为顺时针方向； （2）匀速运动时E2＝ΔB·Lv＝k0L2v，I2＝＝2 A 根据平衡F安＝ΔB·I2L＝F0，解得v＝0.5 m/s （3）根据（2）解得I2＝2 A 线框ab边E0＝k0x·Lv， 根据Uab＝－E0，得Uab＝－x＋0.25(V)（3L≤x＜5L） （4）线框ab边越过磁场右边界后瞬间，电流发生突变I3＝＝8 A 穿出过程（cd边的x坐标4L≤x＜5L）：安培力随位置均匀变化的特点通过安培力做功的能量关系间接求解，有W克安＝，Q＝W克安 根据＝＝，解得Q＝72 J 题型02：线框穿越磁场的能量问题 【典型例题1】在光滑绝缘水平面上有如图所示两部分的磁场区域I和Ⅱ（俯视），分别存在着垂直纸面向内和垂直纸面向外的宽度均为L的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。边长为L的正方形单匝金属线框在水平向右的拉力F的作用下（图中未画出）以初速v0进入，且能保持全过程匀速穿过磁场区域，已知线框的电阻为R，则下列说法正确的是（　　） A．线框从整体处于I区到整体处于Ⅱ区的过程中穿过线框的磁通量变化量大小是0 B．全过程中线框受到水平拉力的最大值 C．全过程中线框产生的焦耳热 D．若线框无拉力F的作用恰好能穿过磁场区域，则分析可得 【答案】D 【解析】A．设磁场方向垂直纸面向里为磁通量正方向，则线框从整体处于I区到整体处于Ⅱ区的过程中穿过线框的磁通量变化量大小为故A错误； B．当线框左右两条边均切割磁感线时，所受安培力最大，由于线框匀速运动，受力平衡，即水平拉力最大，有联立，可得，B错误； C．线框进磁场、出磁场和线框在磁场中切割磁感线三段过程中的时间均为线框进磁场、出磁场产生的焦耳热为线框在磁场中切割磁感线产生的焦耳热为 全过程中线框产生的焦耳热，C错误； D．若线框无拉力F的作用恰好能穿过磁场区域，由动量定理得线框进磁场、出磁场和线框在磁场中切割磁感线三段过程中，根据电磁感应定律得解得，D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1：4，高为线框ABCD在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当AB边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是（　　） A．AB边刚进入磁场时，线框的速度为 B． AB边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为 C．DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为 D．从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】A．设AB边刚进入磁场时速度为v0，线框的电阻为R，AB=l，则CD=4l，根据动能定理 解得，A错误； B．AB边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，则此时安培力的大小为线框中感应电流的瞬时电功率为，B正确； D．AB刚进入磁场时加速度为0，则有设DC边刚进入磁场前匀速运动时速度为v1，线框切割磁感应线的有效长度为1.5l线框匀速运动时有联立解得从线框开始到CD边进入磁场前瞬间，根据能量守恒定律得联立解得，D正确； C．CD刚进入磁场瞬间，线框切割磁感应线的有效长度为2.5l，由闭合电路欧姆定律得由牛顿第二定律得解得，C错误；故选BD。 【典型例题3】（多选）如图所示，在竖直平面内有宽度为L的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各磁场边界平行且在水平面内，三个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，匀强磁场Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度的方向垂直于纸面向外，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为L，匀强磁场Ⅱ、Ⅲ依次相邻。一质量为m、边长为L的正方形单匝闭合导线框从匀强磁场Ⅰ上方某一位置静止释放，当导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界时恰好做匀速直线运动，速度大小为，此时回路中的电流为，在导线框下边达到匀强磁场Ⅲ的下边界前已经开始做匀速直线运动，速度大小为，此时回路中的电流为，已知从导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界运动到导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界所用的时间为。在运动过程中导线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始终平行，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．导线框中的电流之比 B．导线框运动的速度大小 C．导线框的电阻R为 D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中导线框中产生的热量为 【答案】ABD 【解析】A．开始时匀速运动，导线框中的电流恒定，根据平衡条件可得 同理最后导线框也做匀速直线运动，最后阶段导线框上下两边都受到安培力，根据右手定则和左手定则可知两安培力方向均竖直向上，根据平衡条件有 两式联立解得故A正确； B．开始阶段 最后阶段根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为 感应电流为 上下两边都受安培力作用，则 与以上各式联立可得故B正确； C．开始阶段导线框匀速运动的位移为2L，从导线框下边到达匀强磁场I上边界运动到导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界为匀速运动，匀速运动时间为，则速度 根据法拉第电磁感应定律得感应电动势为 又有 联立解得电阻故C错误； D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中，根据能量守律可得 又有， 代入上式解得故D正确。 故选ABD。 【典型例题4】（多选）如图所示，在匀强磁场的上方有一质量为m、半径为R的细导线做成的圆环，圆环的圆心与匀强磁场的上边界的距离为h。将圆环由静止释放，圆环刚进入磁场的瞬间和完全进入磁场的瞬间，速度均为v。已知匀强磁场的磁感应强度为B，导体圆环的电阻为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．圆环刚进入磁场的瞬间，速度 B．圆环进入磁场的过程中，电阻产生的热量为2mgR C．圆环进入磁场的过程中，通过导体横截面的电荷量为 D．圆环进入磁场的过程做的是匀速直线运动 【答案】ABC 【解析】A．圆环从图示位置开始运动到刚进入磁场时，下落的高度为h-R，根据自由落体运动的规律有 解得故A正确； B．圆环刚进入磁场的瞬间和完全进入磁场的瞬间，速度相等，根据功能关系可知重力做的功等于圆环电阻产生的热量，大小为2mgR，故B正确； C．圆环进入磁场的过程中，通过导体某个横截面的电荷量为故C正确； D．圆环进入磁场的过程中，受到的安培力为随有效长度L发生改变，圆环受力不能平衡，因此圆环不可能做匀速直线运动，故D错误。故选ABC。 【变式训练2-1】如图，光滑斜面的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，ab边的边长为l1，bc边的边长为l2，线框的质量为m，电阻为R，线框通过细棉线绕过光滑的滑轮与重物相连，重物质量为M，斜面上ef线（ef平行底边）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的边始终平行底边，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场前运动的加速度为 B．线框进入磁场时匀速运动的速度为 C．线框做匀速运动的总时间为 D．该匀速运动过程产生的焦耳热为 【答案】D 【解析】A．线框进入磁场前，由牛顿第二定律得解得线框进入磁场前运动的加速度为故A错误； B．由平衡条件又；；联立解得线框进入磁场时匀速运动的速度为故B错误； C．线框做匀速运动的总时间为故C错误； D．由能量守恒定律，该匀速运动过程中产生的焦耳热等于系统重力势能的减小量，则 故D正确。故选D。 【变式训练2-2】（多选) 如图所示，两水平虚线间存在垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为h的正方形导体框由虚线1上方无初速度释放，在释放瞬间边与虚线1平行且相距。已知导体框的质量为m，总电阻为，重力加速度为边与两虚线重合时的速度大小均为，忽略空气阻力，导体框在运动过程中不会发生转动，则（　　） A．两虚线的距离为 B．导体框在穿越磁场的过程中，产生的焦耳热为 C．导体框的边与虚线1重合时，其克服安培力做功的功率大小为 D．导体框从边与虚线1重合到边与虚线1重合时所用的时间为 【答案】AD 【解析】A．由题意，根据导体框进出磁场过程中运动的对称性可知，边刚好进入磁场和刚好离开磁场时的速度大小均为，设两虚线之间的距离为H，导体框全部位于磁场中时下落的加速度大小为g，根据运动学公式有解得故A正确； B．设导体框穿过磁场的过程中产生的焦耳热为Q，对导体框从开始下落到穿过磁场的过程，根据能量守恒定律有解得故B错误； C．导体框的边与虚线1重合时的速度大小为此时边产生的感应电动势大小为 导体框中的感应电流为，边所受的安培力大小为导体框的与虚线1重合时克服安培力做功的功率大小为整理得故C错误； D．设导体框通过磁场上边界所用时间为t，线框中的平均感应电流为，则由动量定理可得 根据电流的定义可知t时间内通过线框某一截面的电荷量为根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律综合分析可知联立解得故D正确。故选AD。 【变式训练2-3】（多选) 如图所示，一水平方向的匀强磁场，磁场区域的高度为h，磁感应强度为B。质量为m、电阻为R、粗细均匀的矩形线圈，ab＝L，bc＝h，该线圈从cd边离磁场上边界高度H＝处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，设cd边始终保持水平，则(　　) A．cd边刚进入磁场时速度大小v＝ B．cd边刚进入磁场时其两端电压Ucd＝ C．线圈穿过磁场的时间t＝ D．线圈穿过磁场过程中，回路中产生的热量Q＝2mgh 【答案】CD 【解析】由题意可知，线圈从开始运动到cd边进入磁场时做自由落体运动，故cd边刚进入磁场时速度大小满足v2＝2gH，解得v＝，故A错误；cd边刚进入磁场时其两端电压Ucd＝IR，IR＝BLv，解得Ucd＝，故B错误；cd边刚进入磁场时受安培力F＝BIL＝＝mg，所以线圈匀速穿过磁场，时间t＝＝，故C正确；回路中产生的热量等于重力势能的减少量，即Q＝2mgh，故D正确。 【变式训练2-4】（多选) 如图甲所示，质量为粗细均匀总电阻为R，边长为d的正方形金属框abcd由静止开始下落（计时开始），经过一段时间进入磁感应强度大小为的有界匀强磁场，磁场水平向里与金属框面（纸面）垂直，沿水平方向的上下边界1、2之间的距离为L；金属框的动量p与运动时间t的关系图像如图乙所示，当ab边离开边界2时，金属框已运动的时间为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．金属框在进入磁场之前运动的时间为1s B．金属框的电阻 C．整个运动过程中生成的热量为20J D．整个运动过程中安培力的冲量大小为4N·s 【答案】AC 【解析】A．由图像可知金属框在进入磁场之前运动的动量，由；得，A正确； B．由图像可知金属框在边界1、2之间匀速下降，即金属框中的感应电流为由图可知解得，B错误； C．由能量守恒定律得整个运动过程中生成的热量为解得，C正确； D．由动量定理得解得整个运动过程中安培力的冲量大小为，D错误；故选AC。 【变式训练2-5】（多选) 如图所示，两水平虚线1、2之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为h的正方形导体框由虚线1上方无初速释放，释放瞬间ab边与虚线平行且与虚线1的间距为h，导体框的质量为m、总电阻为r，重力加速度为g。已知cd边与两虚线重合时的速度大小均为，忽略空气阻力，导体框在整个下落过程中不会发生转动。则下列说法正确的是（　　） A．导体框的ab边与虚线1重合时，克服安培力做功的功率大小为 B．两虚线之间的距离为 C．导体框在穿过磁场的过程中，产生的焦耳热为3mgh D．导体框从ab边与虚线1重合到cd边与虚线1重合所用的时间为 【答案】BD 【解析】A．当导体框的ab边与虚线1重合时，速度为，由得则安培力 克服安培力做的功率为故A错误； B．线框进入磁场的过程中，由动能定理得其中则克服安培力做的功设两虚线间的距离为h，由题意可得当导体框的ab边与虚线2重合时，速度也为，由动能定理可得解得故B正确； C．导体框在穿过磁场的过程中，产生的焦耳热故C错误； D．对导体框从ab边与虚线1重合到cd边与虚线1重合的过程，由动量定理得其中所以联立解得故D正确。故选BD。 【变式训练2-6】（多选) 如图，质量为m=1kg的物块A和质量为M=2kg的正方形导线框C用轻绳跨过两个等高的光滑定滑轮相连，C正下方两虚线区域内有两个有界匀强磁场I和II，两磁场磁感应强度相等。线框边长与磁场宽度及磁场与磁场间距离都为d=0.6m，导体框总电阻为r=5。用手竖直向下拉住A，使C与磁场距离为d=0.6m，整个系统保持静止。放手后，线框向下运动，并可以匀速进入磁场I。g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场I的速度为2m/s B．磁场的磁感应强度为 C．磁场的磁感应强度为 D．线框穿越I、II两个磁场产生的焦耳热为24J 【答案】ABD 【解析】A．从释放A到线框开始进入磁场I，根据动能定理，可得解得故A正确； BC．依题意，线框匀速进入磁场I，受力分析，可得，解得故B正确；C错误； D．由分析可知，线框从进入磁场I到离开磁场II，一直做匀速直线运动，由能量守恒可知 解得故D正确。故选ABD。 题型03：线框穿越磁场过程的动量问题 【典型例题1】如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，那么线圈(　　) A.完全进入磁场中时的速度大于 B.完全进入磁场中时的速度等于 C.完全进入磁场中时的速度小于 D.以上情况均有可能 【答案】　B 【解析】　线圈进入磁场过程，由动量定理有－B1L·Δt1＝mv′－mv0 线圈离开磁场过程，同理－B2L·Δt2＝mv－mv′ 进出磁场时磁通量变化数值相同，故q0＝q q0＝1·Δt1，q＝2·Δt2 联立各式得v′－v0＝v－v′ 所以v′＝，故B正确。 【典型例题2】（多选）如图所示，光滑绝缘的水平面上存在一系列竖直向下宽度均为d的相同的匀强磁场，相邻两磁场的间距为d。一匝数n=20，边长为d的正方形金属线圈（dc边与磁场边界平行）以初速度v0从第一个磁场的左边界垂直进入磁场，结果线圈恰好能穿过完整的磁场的个数N=5。下列说法正确的是（　　） A. 线圈每经过一个磁场的动量变化量相等 B. 线圈每经过一个磁场的发热量相等 C. 线圈刚好离开第一个磁场的速度为 D. 增加线圈的匝数（增加的线圈材料、粗细与原来的相同），线圈仍以原来的速度进入磁场，穿过完整的磁场的个数仍为5 【答案】AD 【解析】A．线圈在磁场中的运动为先减速进入磁场，再减速出磁场，然后又减速进磁场，减速出磁场，以此类推。线圈在进入磁场或穿出磁场的过程中，速度变化量为，由动量定理有 闭合电路欧姆定律得 再由法拉第电磁感应定律有 因为每次进入磁场或穿出磁场时线圈中磁通量变化量 联立可解得 表明线圈在进入或穿出磁场的过程中速度的变化量相等，线圈每经过一个磁场的速度变化量相等，动量变化量相等，选项A正确； B．线圈依次经过各个磁场时，线圈所受安培力减小，线圈克服安培力做功减小，线圈内的发热量减小，选项B错误； C．根据上述分析 可求出 故线圈刚好离开第一个磁场的速度为 选项C错误； D．根据 线圈电阻 线圈质量 联立可推知N与n无关，故线圈仍能通过5个完整的磁场，选项D正确。 故选AD。 【变式训练3-1】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框在进和出磁场的两过程中动量变化量不相等 B．线框在进和出磁场的两过程中产生的焦耳热相等 C．线框在进和出磁场的两过程中安培力的冲量不相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【答案】D 【解析】AD．线框在进和出磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为 线框在进和出磁场的过程中磁通量变化量相同，线框在进和出磁场的过程中通过导线横截面的电荷量相等， 根据 线框在进和出的过程中通过导线横截面的电荷量相等，所以线框在进出磁场过程动量变化量相等，A错误，D正确； B．线框产生的焦耳热大小等于线框克服安培力所做的功，即 线框中的感应电流为 线框在进磁场的过程中的平均速度大于线框在出磁场的过程中的平均速度，则线框在进磁场过程中产生的焦耳热大于出磁场过程中产生的焦耳热，B错误； C．线框在进出磁场过程动量变化量相等，由可知，安培力冲量相等，C错误。 故选D。 【变式训练3-2】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【答案】D 【解析】A．根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，故A错误； B．甲线框刚进磁场区域时，合力为， 乙线框刚进磁场区域时，合力为， 可知； 故B错误； CD．假设甲乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有， 同理对乙有， 解得， 故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为， 即； 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练3-3】磁悬浮列车是一种现代轨道交通工具，如图为磁悬浮列车利用电磁阻尼减速进站的简化图。两条平行光滑绝缘导轨水平放置，间距为，导轨间有若干垂直于轨道平面、方向交替分布的匀强磁场，磁感应强度均为，每个磁场宽度均为，忽略磁场边缘效应。质量为、边长为的正方形金属框以初速度沿导轨进入匀强磁场，在磁场中通过的位移后速度减为零。已知金属框的电阻为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】线圈走过第一个L时速度减为v1，则由动量定理 其中 即 线圈走过第二个L时速度减为v2，由动量定理 其中 即 线圈走过第三个L时速度减为0，同理可知 联立可得 故选C。 【变式训练3-4】（多选）如图所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界匀强磁场。磁场区域的左侧，一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水平向右运动，线框经过位置Ⅱ，当运动到位置Ⅲ时速度恰为零，此时线框刚好有一半离开磁场区域。线框的边长小于磁场区域的宽度。若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量分别为q1、q2，线框经过位置Ⅱ时的速度为v。则下列说法正确的是(　　) A.q1＝q2 B.q1＝2q2 C.v＝1.0 m/s D.v＝1.5 m/s 【答案】　BD 【解析】　根据q＝＝可知，线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量q1＝2q2，故A错误，B正确；线圈从开始进入到位置Ⅱ，由动量定理－B1LΔt1＝mv－mv0，即－BLq1＝mv－mv0，同理线圈从位置Ⅱ到位置Ⅲ，由动量定理－B2LΔt2＝0－mv，即－BLq2＝0－mv，联立解得v＝v0＝1.5 m/s，故C错误，D正确。 【变式训练3-5】（多选）如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽L，高h，大小均为B。电梯后方固定一个N匝矩形线圈，线圈总电阻为R，高度为H，H＝3h，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为m，忽略一切阻力，重力加速度为g。若电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落，某时刻电梯下降3H时，速度为v，则(　　) A．下降3H时，线圈的电动势为E＝NBLv B．下落瞬间电梯加速度的大小为g C．若电梯与地面的距离足够高，电梯最终的速度为vm＝ D．下降3H过程所需要的时间为＋ 【答案】BD 【解析】下降3H时，上下两边均切割磁感线产生感应电动势，故线圈的电动势为E＝2NBLv，故A错误；下落瞬间，电梯速度为零，无感应电动势，安培力为零，则只受重力作用，加速度的大小为g，故B正确；若电梯与地面的距离足够高，最终安培力与重力平衡，电梯匀速运动，此时F＝2NImLB＝2NBL＝＝mg，解得vm＝，故C错误；下降3H过程，根据动量定理得mgt－t＝mv，其中3H＝t，解得t＝＋，故D正确。 【变式训练3-6】如图所示，空间存在一有水平边界的条形匀强磁场区域（边界有磁场），磁感应强度为B，磁场方向与竖直平面垂直（垂直纸面向里），边界间距为L。一边长也为L、电阻为R、质量为m的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终水平。时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置Ⅰ），导线框的初速度为竖直向上，当线框的下边恰好与磁场的上边界重合（图中位置Ⅱ）时导线框的速度刚好为零。然后线框又回到初始位置Ⅰ，此时线框的速度大小为v竖直向下。设重力加速度为g。求： （1）线框从位置Ⅰ开始向上运动时线框中感应电流的方向（用“顺时针方向”或“逆时针方向”表示），以及此时线框的加速度大小； （2）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）产生的焦耳热； （3）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）的时间。    【答案】（1）逆时针方向，；（2）；（3） 【解析】（1）据右手定则可得，线框中感应电流的方向为逆时针方向。线框在位置Ⅰ感应电动势 产生的感应电流 所受的安培力 合外力 解得 （2）据能量守恒可得 （3）对开始向上运动到下落回位置Ⅰ的整个过程，取向下为正方向，由动量定理 或 或 由于或或 所以 【变式训练3-7】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解析】（1）线框在没有进入磁场区域时，根据牛顿第二定律 根据运动学公式 联立可得线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离 （2）因为cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，可知线框的边长与Ⅰ区域的长度相等，根据平衡条件有又， cd边两端的电势差联立可得 （3）①若，在线框进入Ⅰ区域过程中，根据动量定理 其中，，联立可得 线框在Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理 根据 线框进入磁场过程中电荷量都相等，即联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 ②若，同理可得 根据动量定理 其中 结合， 联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 【变式训练3-8】一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。 （1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。 （2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 = 2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）金属框进入磁场过程中有 则金属框进入磁场过程中流过回路的电荷量为 则金属框完全穿过磁场区域的过程中流过回路的电荷量为 且有 联立有 （2）设金属框的初速度为v0，则金属框进入磁场时的末速度为v1，向右为正方向。由于导轨电阻可忽略，此时金属框上下部分被短路，故电路中的总电 再根据动量定理有解得 则在此过程中根据能量守恒有解得其中 此后线框完全进入磁场中，则线框左右两边均作为电源，且等效电路图如下    则此时回路的总电阻 设线框刚离开磁场时的速度为v2，再根据动量定理有 解得 v2= 0 则说明线框刚离开磁场时就停止运动了，则再根据能量守恒有 其中 则在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量 【变式训练3-9】如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。 （1）判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量； （2）求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向； （3）若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动） 【答案】（1）顺时针； （2）；向左 （3） 【解析】（1）根据楞次定律可知，线框A1B1C1D1中感应电流的方向：顺时针； 由法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律， 流过截面的电量 （2）线框A2B2C2D2受到安培力冲量的方向：向左； 设某时刻线框的电流为i，则 线框受到安培力的冲量 则 得 （3）根据两环对称性，设某时刻两线框电流i1和i2如图所示。 设回路A1EA2D2C2FC1B1中的电动势为E1，则 得 设回路ED1FB2中的电动势为E2，则 得 【或：对于A1B1C1D1：】 由于，线框A1B1C1D1所受安培力的合力方向向左，速度方向向左； 设线框A1B1C1D1获得速度大小为v，利用动量定理， 可得 解得 题型04：线框穿越磁场的电路问题 【典型例题1】如图所示，单匝矩形线圈ABCD在外力作用下向右匀速进入匀强磁场，则线圈进入磁场的过程中（　　） A．线圈中产生逆时针方向的感应电流 B．AB边产生的焦耳热比BC边多 C．AB边通过的电荷量比BC边少 D．A、B间的电压比B、C间的大 【答案】D 【解析】A．线圈进入磁场的过程中，磁通量增大，根据楞次定律可知，线圈中产生顺时针方向的感应电流，故A错误； B．线圈电流相等，BC边电阻大于AB边，根据可知，AB边产生的焦耳热比BC边少，故B错误； C．根据电流定义式可知，则AB边通过的电荷量与BC边的相同，故C错误； D．线圈向右匀速进入匀强磁场，AB边切割磁感线，相当于电源，A、B间的电压为路端电压，大于B、C间的电压，故D正确； 故选D。 【典型例题2】用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　) A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc 【答案】B 【解析】.线框进入磁场后切割磁感线，a、b产生的感应电动势是c、d电动势的一半，而不同的线框电阻不同．设a线框电阻为4r，b、c、d线框的电阻分别为6r、8r、6r.在线框进入磁场的过程中，MN两端的电压等于线框回路中的路端电压，根据线框长度和电阻的关系依据闭合电路欧姆定律，可知Ua＝BLv，Ub＝BLv，Uc＝B·2Lv＝BLv，Ud＝B·2Lv＝BLv，所以Ua＜Ub＜Ud＜Uc，故B对． 【典型例题3】如图所示，用一根漆包线绕成一个匝数为n匝，边长为L的正方形导线框abcd，形成一个闭合回路，导线框的总电阻为R，放在绝缘的光滑水平桌面上。现将导线框以垂直于边框ad的速度v，向左匀速拉入一边界与边框ad平行的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直桌面向下，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。在导线框拉入磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框中感应电流的方向为顺时针方向 B．导线框中产生的感应电动势大小为BLv C．导线框所受安培力的大小为 D．整个过程中，通过导线框的电荷量为 【答案】D 【解析】A．在导线框拉入磁场的过程中，磁场方向垂直桌面向下，穿过导线框的磁通量增加，根据楞次定律可知，导线框感应电流的方向为逆时针方向，故A错误； B．导线框中产生的感应电动势大小为 故B错误； C．导线框中感应电流大小为 导线框所受安培力的大小 故C错误； D．整个过程中，通过导线框的电荷量为 故D正确。 故选D。 【典型例题4】（多选）如图所示，光滑水平桌面被虚线分成左右两部分，右侧处于竖直向下的匀强磁场中。由相同材料制成的导线绕成边长相同的M、N两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，N的匝数是M的n倍。M、N分别在水平恒力F1、F2的作用下以相同速度垂直磁场边界匀速进入该磁场区域，下列说法正确的是（　　） A. 线圈M、N的电阻之比为1∶n B. 水平外力F1与F2的比值为1∶1 C. 通过线圈M、N某横截面的电荷之比为1∶1 D. 线圈M、N产生的焦耳热之比为1∶1 【答案】BD 【解析】 由题意可知，两个线圈的体积 相同，则 由题意可知，则，A项错误；设线圈边长为l，则，即，B项正确； 根据，推得，C项错误；由能量守恒定律有 相同，则，D项正确。 【典型例题5】（多选）如图所示，正方形导体线框放置在光滑绝缘斜面上，线框用平行斜面的细线系于点，斜面倾角为。线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化关系为，方向垂直于斜面向上，下列说法正确的是（　　） A．线框中的感应电流方向为 B．线框中的感应电流方向为 C．经过一段时间，线框可能沿斜面向上运动 D．安培力对线框做功的绝对值等于线框中产生的焦耳热 【答案】BC 【解析】AB．由于磁场垂直线圈平面向上在增强，根据楞次定律可以判断感应电流的方向为，A错误，B正确； C．用左手定则可判断边所受安培力方向沿斜面向上，由于磁场均匀增大，感应电流大小不变，安培力 安培力的大小随的增大而增大，当其大于重力沿斜面向下分力时，线圈将向上运动，C正确； D．线圈不动时，由于磁场变化产生感生电动势，回路中有感应电流产生焦耳热，此过程中安培力不做功；当线圈向上运动时，安培力对线圈做正功，消耗电能转化为线圈增加的机械能和焦耳热的和，属于电动机模型，D错误。 故选BC。 【典型例题6】（多选）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v水平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长为，每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空气阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为 B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为 C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热 D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能 【答案】BC 【解析】AB．根据右手定则，线框进入磁场时，感应电流沿顺时针方。线框此时切割磁感线产生的感应电动势为，导线框右边两端的电压为路端电压，即为 故A错误，B正确； C．根据功能关系可知线框克服安培力做的功全部转化为电能，线框为纯电阻电路，则又全部转化为线框中产生的焦耳热，则克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热。故C正确； D．线框离开磁场过程中，根据动能定理可知克服安培力做功与克服摩擦力、空气阻力做功之和等于线框和列车动能的减小量，故D错误。 故选BC。 【变式训练4-1】如图所示，边长为L的正方形单匝导线框abcd放在纸面内，在ad边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a点在纸面内沿顺时针方向匀速转动，经时间Δt第一次转到图中虚线位置。则在Δt内通过导线框横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　Δt时间内穿过导线框的磁通量变化量为ΔΦ＝BL2－BL2＝BL2，由法拉第电磁感应定律得E＝，平均感应电流，通过导线框横截面的电荷量q＝·Δt＝，故选B。 【变式训练4-2】如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长为l，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁场方向垂直纸面向里，且线框中磁场面积为线框面积的一半，磁感应强度变化规律为，已知重力加速度为g，则（　　） A．线框保持静止时，线框中的电流为顺时针方向 B．从时刻至线框开始运动，线框中的感应电动势大小为 C．线框开始运动的时刻为 D．从时刻至线框开始运动这段时间，线框产生的热量为 【答案】D 【解析】A．根据磁场变化规律可知，磁感应强度增大，穿过线圈的磁通量增大，根据楞次定律可知线框中的电流为逆时针方向，故A错误； B．从时刻至线框开始运动，线框中的感应电动势大小为 故B错误； C．设线框开始运动时刻为，线框开始运动时有 又 ， 解得 故C错误； D．从时刻至线框开始运动这段时间，线框产生的热量为 故D正确。 故选D。 【变式训练4-3】如图所示，正方形线圈MOO′N处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与水平面的夹角为30°，线圈的边长为L，电阻为R，匝数为n。线圈从竖直面绕OO′顺时针转至水平面的过程中，通过导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据法拉第电磁感应定律得＝n，又有＝，q＝·Δt，解得q＝n，又因为ΔΦ＝Φ2－Φ1，Φ2＝BL2sin 30°，Φ1＝－BL2cos 30°，解得q＝，故A正确。 【变式训练4-4】如图所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面内的正方形导体框abcd，现将导体框分别朝两个方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的过程中(　　) A.导体框中产生的感应电流方向相反 B.导体框ad边两端电势差大小之比为1∶3 C.导体框中产生的焦耳热之比为1∶3 D.通过导体框截面的电荷量之比为1∶3 【答案】C 【解析】根据楞次定律和安培定则可以判断两次将导体框拉出磁场的过程中产生的感应电流方向均为逆时针方向，选项A错误；设导体框的边长为l，以速度v拉导体框时，|Uad|＝Blv，当以3v拉出时，|Uad|＝Bl·3v＝Blv，因此两次拉出的过程中，ad边两端的电势差大小之比为1∶9，选项B错误；导体框移出磁场过程产生的焦耳热Q＝t＝·＝v出，故两次移出过程产生的焦耳热之比为Q1∶Q2＝1∶3，选项C正确；导体框移出磁场过程通过导体框截面的电荷量q＝It＝t＝，故两次移出过程通过导体框截面的电荷量之比为q1∶q2＝1∶1，选项D错误 【变式训练4-5】如图所示，单匝矩形线圈ABCD在外力作用下向右匀速进入匀强磁场，则线圈进入磁场的过程中（　　） A．线圈中产生逆时针方向的感应电流 B．AB边产生的焦耳热比BC边多 C．AB边通过的电荷量比BC边少 D．A、B间的电压比B、C间的大 【答案】D 【解析】A．线圈进入磁场的过程中，磁通量增大，根据楞次定律可知，线圈中产生顺时针方向的感应电流，故A错误； B．线圈电流相等，BC边电阻大于AB边，根据可知，AB边产生的焦耳热比BC边少，故B错误； C．根据电流定义式可知，则AB边通过的电荷量与BC边的相同，故C错误； D．线圈向右匀速进入匀强磁场，AB边切割磁感线，相当于电源，A、B间的电压为路端电压，大于B、C间的电压，故D正确； 故选D。 【变式训练4-6】如图6所示为有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.5 T，两边界间距s＝0.1 m，一边长L＝0.2 m的正方形线框abcd由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R＝0.4 Ω，现使线框以v＝2 m/s的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过程中线框a、b两点间的电势差Uab随时间t变化的图线是(　　) 【答案】　A 【解析】　ab边切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv＝0.2 V，线框中感应电流为I＝＝0.5 A，所以在0～5×10－2 s时间内，a、b两点间电势差为U1＝I·R＝0.15 V。在5×10－2～10×10－2 s时间内，a、b两点间电势差U2＝E＝0.2 V；在10×10－2～15×10－2 s时间内，a、b两点间电势差为U3＝I·R＝0.05 V，选项A正确。 【变式训练4-7】（多选）如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一高为a、总电阻为R的正三角形金属线框平行纸面向右匀速运动。在t＝0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t＝T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中(　　) A.线框中的感应电流方向为逆时针方向 B.t＝时刻，流过线框的电流大小为 C.若线框运动的速度越大，全过程线框产生的焦耳热越多 D.若线框运动的速度越大，全过程通过线框的电荷量越多 【答案】　AC 【解析】　根据右手定则，线框匀速进入磁场的过程中，线框中的感应电流方向为逆时针方向，故A正确；t＝时刻，电动势E＝B·a·v，其中v＝，则电流I＝＝，故B错误；运动速度越大，安培力越大，相同位移，克服安培力做功产生的热量越多，故C正确；由于q＝Δt＝Δt＝，电荷量多少与速度无关，故D错误。 【变式训练4-8】（多选）如图所示，空间等距分布垂直纸面向里的匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度大小，每一条形磁场区域宽度及相邻条形磁场区域间距均为。现有一个边长、质量、电阻的单匝正方形线框，以的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场，以下说法正确的是（　　） A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量 B．线框刚进入第一个磁场区域时，安培力大小为 C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热 D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域 【答案】ACD 【解析】A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量为 故A正确； B．线框刚进入第一个磁场区域时，产生的电动势为 线框受到的安培力大小为 故B错误； C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中，由于线框上下两边总是同时处在磁场中，则上下两边受到的安培力相互抵消，即线框竖直方向只受重力作用，可认为竖直方向做自由落体运动；水平方向在安培力作用下做减速运动，当水平方向的速度减为零时，线框开始竖直下落；则线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热为 故C正确； D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中，水平方向根据动量定理可得 又 联立解得 线框穿过1个完整磁场区域，有安培力作用的水平距离为，由于 可知线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域，故D正确。 故选ACD。 【变式训练4-9】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是 甲 乙 A.甲和乙都加速运动 B.甲和乙都减速运动 C.甲加速运动，乙减速运动 D.甲减速运动，乙加速运动 【答案】AB 【解析】根据题述，由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍，甲线圈导线的横截面积是乙的1/2，甲线圈导线长度为乙的2倍，根据电阻定律可知，甲线圈导线电阻为乙的4倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，进入磁场区域时速度相同，甲产生的感应电动势是乙的2倍，由闭合电路欧姆定律可知，甲线圈中电流是乙的1/2，甲线圈受到的安培力与乙相等，所以甲乙两线圈运动情况完全相同，选项AB正确CD错误。 【一题多解】定量分析。线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，由机械能守恒定律，mgh=mv2，解得v= 产生的感应电动势为E=nBlv， 两线圈材料相同，质量m相同，设材料密度为ρ0，横截面积为S，则m=×4nlS 线圈电阻R=ρ= 由闭合电路欧姆定律。I=E/R= 所受安培力F=nBIl= 由牛顿第二定律，mg-F=ma， 联立解得：a=g- 由此可知，线圈进入磁场后运动的加速度与线圈的匝数n、横截面积S无关，则甲乙两线圈进入磁场后，具有相同的加速度。当g＞时，甲和乙都做加速运动；当g＜时，甲和乙都做减速运动；当g=时，甲和乙都做匀速运动。选项AB正确CD错误。 【变式训练4-10】（多选）如图，两匀强磁场磁感应强度分别为B和2B，一半径为R，单位长度电阻为r的圆线圈开始时处于左侧磁场中，且与两侧磁场界线相切。现线圈以切点为轴，在纸面内以角速度ω顺时针方向匀速转动90°。则（　　） A．感应电流的方向为逆时针方向 B．转30°时线圈中感应电动势的值为 C．线圈所受安培力的最大值为 D．匀速转动90°过程中通过线圈的电量为 【答案】BD 【详解】A．根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向，故A错误； B．转时线圈切割磁感线的有效长度为 相对磁感应强度 感应电动势的值为，故B正确； C．线圈受到安培力的最大值时，切割磁感线的有效长度为 相对磁感应强度 等效电阻为 则感应电动势 感应电流 则最大安培力为，故C错误； D．匀速转动过程中通过线圈的电量为 线圈总电阻 ,故D正确。 故选BD。 题型05：线框穿越磁场过程的图像问题　 【典型例题1】如图所示，一个边长为的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，其左侧有一个用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度匀速通过整个匀强磁场区域，设电流顺时针方向为正。则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】线框开始进入磁场到运动L的过程中，只有边bc切割，感应电流大小不变，方向为逆时针（电流为负）；前进L后，边bc开始出磁场，边ad进入磁场，回路中的感应电动势为ad边产生的电动势减去bc边在磁场中的部分产生的电动势，随着线框的运动回路中电动势逐渐增大，电流逐渐增大，方向为正方向； 当再前进L时，边bc完全出磁场，ad边也开始出磁场，有效切割长度逐渐减小，电流逐渐减小，方向不变，仍为正方向。故选项B正确。 【典型例题2】如图所示，一个直角边长为的等腰直角三角形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个边长也为的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直，三角形的高与导线框的一条边垂直，的延长线平分导线框。在时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列关于感应电流的强度随时间变化关系的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，感应电流也逐渐增大，如图的位置Ⅰ；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界，切割磁感线的有效长度不变，感应电流不变，如图的位置Ⅰ→Ⅱ；当正方形线框下边离开磁场，上边尚未进入磁场过程中，穿过线圈的磁通量不变，感应电流为零。如图的位置Ⅱ→Ⅲ；当正方形线框下边继续离开磁场，上边也进入磁场过程中，上下两边线框切割磁感线产生的感应电动势方向相反，切割磁感线的有效长度增大，产生的感应电动势增大，感应电流增大，如图的位置Ⅲ→Ⅳ。从正方形线框上边完全进入到上边完全离开过程中，切割磁感线的有效长度不变，产生的感应电动势不变，感应电流不变。如图的位置。 故选C。 【典型例题3】如图所示，两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小分别为、，磁场方向分别为垂直纸面向外、向里，两磁场边界均与轴垂直且宽度均为，在轴方向足够长。现有一边长为的正方形导线框，从图示位置开始，在外力的作用下沿轴正方向匀速穿过磁场区域，在运动过程中，对角线始终与轴平行。线框中感应电动势的大小为、线框所受安培力的大小为。下列关于、随线框向右匀速运动距离的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】AB．线框右半部分进入左边磁场过程，在0~过程中，有效切割长度在随位移均匀增大，线圈在位置有效切割长度达到最大L，电动势达到最大值为E0，在~L过程中，左半部分也进入左边磁场，有效切割长度随位移均匀减小，到L位置时有效切割长度减小到零，电动势减小到零；在L~过程中，线框右半部分进入右方磁场，左半部分在左方磁场，两部分切割磁感线的有效切割长度都在增大，当到达位置时，有效切割长度都达到最大值L，由楞次定律知两磁场中两部分感应电流（电动势）对线圈来说方向相同，都为逆时针方向，故总电动势为3E0，故A错误，B正确； CD．设线圈有效切割长度为l，本题中也是各阶段计算安培力的等效长度，线圈受到的安培力大小 由于等效长度l在随位移变化，成线性关系，所以安培力与位移不成线性关系，故CD错误。 故选B。 【典型例题4】在智能物流园区的磁悬浮运输系统中，轨道上设有两个相邻的特殊磁场区域用于货物识别与定位，原理简化如图，在光滑水平面上建立轴，在轴上存在两个相邻的磁场区域：在（）区域内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里匀强磁场；在（）区域内存在磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小随线性变化，即满足（为常数，）；一个边长为、质量为、电阻为的正方形金属线框，以初速度从处开始向右匀速直线运动，线框的边始终与轴垂直，且线框平面始终与磁场方向垂直。忽略线框的自感效应。在穿过磁场的过程中，以初始位置为起点，规定逆时针方向时的电流和电动势方向为正，则以下关于线框中的感应电流、杆的电势差、杆的电势差、线框中感应电动势的四个图像描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A．当时，线框只有边切割磁感线，此时线框产生的感应电动势大小为 则此时线框中产生的感应电流大小为 根据右手定则可知，线框中的感应电流为逆时针方向（正方向）；当时，线框的边和边都切割磁感线，边切割磁感线产生的感应电动势大小为方向为顺时针（负方向） 边切割磁感线产生的感应电动势大小为，方向为顺时针（负方向） 所以此时线框产生的总电动势大小为 则此时电路中的感应电流大小为 方向为顺时针（负方向），故A错误； B．当时，线框的边和边都切割磁感线，边切割磁感线产生的感应电动势大小为 方向为顺时针（负方向），边切割磁感线产生的感应电动势大小为 方向为顺时针（负方向），所以此过程线框产生的总电动势大小为 方向为顺时针（负方向）；当范围内，线框只有边切割磁感线，则线框产生的感应电动势大小为 方向为逆时针（正方向）。故B正确； CD．由上面分析可知，当时，线框中的感应电动势为 此时 同理此时，故CD错误。 故选B。 【典型例题5】如图所示，在两平行虚线间的区域内存在着匀强磁场，闭合直角三角形线圈的边与磁场的边界虚线平行，而且边的长度恰好和两平行虚线之间的宽度相等。当线圈以速度匀速向右穿过该区域时，下列四个图像中的哪一个可以定性地表示线圈中感应电流随时间变化的规律（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，线圈进入磁场过程，磁通量增大，根据楞次定律结论增反减同可知，感应电流为逆时针方向，ac边切割磁感线的有效长度逐渐增大，根据，可知感应电流逐渐增大，线圈穿出磁场过程，磁通量减小，感应电流为顺时针方向，ab边和ac边切割磁感线的有效长度逐渐增大，根据，可知感应电流逐渐增大，综上所述，B选项与题目相符，故选B。 【典型例题6】如图所示，在y轴与直线之间区域有垂直纸面向外的匀强磁场，在直线与直线之间区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。现有一直径为L的圆形导线框，从图示位置开始，在外力F（未画出）的作用下沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。线框中感应电流（逆时针方向为正方向）与导线框移动的位移x的变化关系图像中正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设导线框匀速运动的速度为，导线框电阻为。 在过程，导线框进入左侧磁场，导线框的磁通量向外增大，根据楞次定律可知，感应电流为顺时针方向（负方向），导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据可知导线框的电流先增大后减小，其中最大电流为在过程，导线框从左侧磁场进入右侧磁场，导线框的磁通量从向外减小到向里增大，根据楞次定律可知，感应电流为逆时针方向（正方向），导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据可知导线框的电流先增大后减小，其中最大电流为 在过程，导线框离开右侧磁场，导线框的磁通量向里减小，根据楞次定律可知，感应电流为顺时针方向（负方向），导线框切割磁感线的有效长度先增大后减小，根据可知导线框的电流先增大后减小，其中最大电流为故选B。 【典型例题7】如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。 (1)画出下列三图所示时刻感应电流的方向。 (2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是　　　　。 【答案】　(1)①逆时针方向　②顺时针方向　③逆时针方向　(2)C 【解析】　(2)x在0~L内，由楞次定律判断知感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大；x在L~2L内，线框的左右两边都切割磁感线，均产生感应电动势，两个感应电动势串联，且均匀增大，感应电流方向沿顺时针方向，为负；x在2L~3L内，由楞次定律知，感应电流的方向沿逆时针方向，为正，线框的有效切割长度在均匀增大，由公式E＝Blv知，产生的感应电动势均匀增大，则感应电流均匀增大，而且感应电流变化情况与线框进入磁场的过程相同，故C正确，A、B、D错误。 【典型例题8】如图所示，半径为的半圆形闭合金属线框可绕圆心在纸面内逆时针匀速转动，过点的边界上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。初始时线框直径与虚线边界垂直。已知线框的电阻为，线框匀速转动的角速度为，从图示位置开始计时，以顺时针为感应电流的正方向，下列关于线圈中的感应电流随时间的变化关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示 在时间内，穿过线圈的磁通量向外增加，根据楞次定律可知，线圈中的感应电流方向为顺时针方向（正方向），线圈切割磁感线的有效长度为 则线圈转动切割磁感线产生的电动势为 线圈中的感应电流为 在时间内，整个线圈都在磁场中，线圈的感应电流为0； 在时间内，穿过线圈的磁通量向外减小，根据楞次定律可知，线圈中的感应电流方向为逆时针方向（负方向），线圈切割磁感线的有效长度为 则线圈转动切割磁感线产生的电动势为 线圈中的感应电流为 在时间内，整个线圈都在磁场外，线圈的感应电流为0。 故选D。 【典型例题9】（多选）水平桌面上放置一个形状如图所示的均匀导体框，匝数为1匝，其各短边长度相等，均为l，长边长度是短边的3倍，总电阻为R。桌面上有两个方向垂直于桌面并列的匀强磁场区域，边界平行、宽度均为l，磁感应强度大小均为B，左边磁场方向垂直于纸面向里，右边磁场方向垂直于纸面向外，其俯视图如图所示。规定电流顺时针为正方向，安培力水平向左为正方向，导体框刚进入磁场区域开始计时。当导体框以速度v匀速通过磁场区域时，感应电流i与时间t的关系及导体框所受的安培力F与时间t的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】AB．导体框各边标注字母，磁场依次记为Ⅰ、Ⅱ，如图所示 当ab边在磁场Ⅰ中时，根据法拉第电磁感应定律，有 电流为 根据右手定则可判断电流方向为逆时针。当ab边在磁场Ⅱ中，cd边和gh边在磁场Ⅰ中时，有 电流为 根据右手定则可判断电流方向为顺时针。当ef边在磁场Ⅰ中，cd边和gh边在磁场Ⅱ中时，有 电流为 根据右手定则可判断电流方向为逆时针。当ef边在磁场Ⅱ中，有 电流为 根据右手定则可判断电流方向为逆时针。综上所述，可得 电流方向，先逆时针再顺时针然后再逆时针。故A正确；B错误； CD．当ab边在磁场Ⅰ中时，安培力大小为 方向水平向左。当ab边在磁场Ⅱ中，cd边和gh边在磁场Ⅰ中时，有 方向水平向左。当ef边在磁场Ⅰ中，cd边和gh边在磁场Ⅱ中时，有 方向水平向左。当ef边在磁场Ⅱ中，有 方向水平向左。综上所述，可得 安培力方向均为水平向左。故C正确；D错误。 故选AC。 【变式训练5-1】如图所示，在边长为的正三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，一边长为的菱形单匝金属线框的底边与在同一直线上，菱形线框的。使线框沿平行于方向匀速穿过磁场区域。以边刚进磁场时为零时刻，规定导线框中感应电流沿顺时针方向时为正，则感应电流与时间的关系图线可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于线框边平行于磁场边界边，且菱形线框边长为，磁场边界边长为，当线框完全进入磁场的过程中，切割磁感线的有效长度始终为，根据几何关系可得，线框完全进入磁场的位置关系如图所示 该过程中产生恒定的电动势，即线框中电流恒定，根据楞次定律结合安培定则可知，该过程中产生的感应电流方向为顺时针方向；线框继续运动，当一半在磁场中一半在磁场外时，其位置关系如图所示 可知线框从完全进入磁场到运动至图示位置的过程中，切割磁感线的有效长度均匀增大至，而此后完全出磁场的过程中切割磁感线的有效长度又开始均匀减小至0，即从开始出磁场到完全出磁场的过程中，线圈中的感应电流先均匀增大后均匀减小至0，而根据楞次定律结合安培定则可知，该过程中线框中的感应电流方向始终为逆时针方向。 故选A。 【变式训练5-2】一个匀强磁场的边界是MN，MN左侧无磁场，右侧是范围足够大的匀强磁场区域，如图甲所示。现有一个金属线框沿ab方向以恒定速度从MN左侧垂直进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的I－t图像如图乙所示，则线框的可能形状是下列选项图中的（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】导体棒切割磁感线产生的感应电动势 设线框总电阻是R，则感应电流 由题图乙所示图像可知，感应电流先均匀变大，后均匀变小，且电流大小与时间之间为线性关系，由于B、v、R是定值，故线框的有效长度L应先变长，后变短，且L随时间均匀变化，即L与时间t之间为线性关系。 A．闭合圆环匀速进入磁场时，有效长度L先变大，后变小，但L随时间不是均匀变化，不符合题意，故A错误； B．正方形线框进入磁场时，有效长度L不变，感应电流不变，不符合题意，故B错误； C．梯形线框匀速进入磁场时，有效长度L先均匀增加，后不变，最后均匀减小，不符合题意，故C错误； D．三角形线框匀速进入磁场时，有效长度L先增加，后减小，且随时间均匀变化，故D正确。 故选D。 【变式训练5-3】如图所示，空间有一个边长为2L的等边三角形匀强磁场区域，现有一个底边长为L的直角三角形金属线框，电阻为R，高度与磁场区域相等，金属线框以速度v匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则下列关于线框中感应电流i随位移x变化的图线正确的是（开始时线框右端点与磁场区域左端点重合）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里增大，由楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向为正，设线框有效切割长度为l，则由几何关系有 由法拉第电磁感应定律有 由闭合电路欧姆定律知 当时 时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里增大，由楞次定律可知，线框中感应电流沿逆时针方向为正，由几何关系可得 当时，；时，穿过线框的磁通量垂直纸面向里减小，由楞次定律可知，线框中感应电流沿顺时针方向为负，当斜边刚出磁场时 之后，由几何关系可得 当时，，B图符合题意。 故选B。 【变式训练5-4】在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一导线框abcdef位于纸面内，线框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图。从t＝0时刻开始线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中电流的正方向。用i表示回路的电流，＝t，则以下i－t示意图中正确的是(　　) 【答案】　C 【解析】　由题意，画出线框在t时刻、2t时刻、3t时刻、4t时刻位置示意图，则t时刻 2t时刻 3t时刻 4t时刻 线框在0～t时间内，只有bc边切割磁感线，由右手定则知电流由c→b，回路产生顺时针方向的电流，电动势为负值，e1＝－Blv，线框在t～2t时间内，bc边切割右方磁场，产生由b→c的电动势，ed切割左方磁场，产生e→d的电动势，二者对回路来说等大反向，回路总电动势为零，e2＝0；线框在2t～3t时间内，ed切割右方磁场，产生d→e的电动势，fa切割左方磁场，产生f→a的电动势，二者对回路同向，e3＝2Blv＋Blv＝3Blv，为正方向；在3t～4t时间内，只有fa在右方磁场切割磁感线，产生a→f的电动势，回路是顺时针，电流e4＝－2Blv，结合闭合电路欧姆定律I＝知只有C图像满足，故A、B、D错误，C正确。 【变式训练5-5】如图所示，有界匀强磁场的宽度为，方向垂直纸面向里，边长为的等边三角形线圈位于纸面内。时刻，边与磁场边界垂直且点在磁场边界上。当线圈沿垂直于磁场边界的方向以速度匀速穿过磁场时，线圈中的感应电流随时间变化的图像可能是（　　）（取逆时针方向为感应电流的正方向） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】C．线框进入磁场的过程中，根据楞次定律判断，感应电流的方向为逆时针方向，即为正方向，线框离开磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，即为负方向，故C错误； D．线框匀速进入和离开磁场所用时间均为，线框完全进入磁场后运动的时间内磁通量不变化，线框中没有感应电流，故D错误； B．线框进入磁场过程中，设等边三角形线圈的顶角为，匀强磁场的磁感应强度为 在时间内，切割磁感线的有效长度为 根据法拉第电磁感应感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 联立各式得 即感应电流i是时间t的一次函数，故B错误； A．同理可得，在线框进入磁场的时间内，电流随时间均匀减小，但方向不变；当线框离开磁场的和时间段内，电流随时间均匀增大和均匀减少，但电流方向为负，故A正确； 故选A。 【变式训练5-6】如图所示，在区域Ⅰ、Ⅱ中分别有磁感应强度大小相等、垂直纸面但方向相反、宽度均为的匀强磁场区域。高为的正三角形线框efg从图示位置沿轴正方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，下列图像中能正确描述线框efg中感应电流与线框移动距离关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正三角形线框efg刚进入向里的磁场Ⅰ时，I的大小为零，之后随线框进入磁场距离的增大没利用楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为正方向，在进入过程中，ef和fg两边的有效切割长度变大，其有效长度为 感应电动势为 感应电流为 当线框efg前进a距离时，达到最大，即 在线圈刚进入向外的磁场区域Ⅱ瞬间，感应电流为零，之后随线框进入磁场距离的增大，利用楞次定律可知，efg线框中感应电流方向沿顺时针方向，即为负。进入过程边有效切割长度变大，在该过程中，结合之前的分析其电流的瞬时值为 当前进距离为2a时，其感应电流达到最大，结合之前的分析，其最大值为 在刚出向外的磁场区域Ⅱ瞬间，感应电流大小为零，之后随线框出磁场距离的增加，利用楞次定律可知，efg中感应电流方向沿逆时针方向，为正，有效切割长度变大，在该过程中，结合之前的分析其电流的瞬时值为 当前进距离为3a时，达到最大，其最大值为 故选B。 【变式训练5-7】两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图（a）所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t=0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图（b）所示（感应电流为顺时针方向时，感应电动势取正），下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度的方向垂直于纸面向里 B．磁感应强度的大小为0.5T C．导线框运动的速度大小为0.5m/s D．在t=0.4s至t=0.6s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1N 【答案】C 【解析】A．由题图（b）可知，导线框刚进入磁场时，感应电流为顺时针方向，由右手定则和楞次定律可知，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，故A错误； C．0.2~0.4s时间内线框没有产生感应电动势，则线框进入磁场的时间为0.2s，由于线框匀速运动，可得 故C正确； B．线框进入磁场时，感应电动势为0.01V，所以 故B错误； D．在t=0.4s至t=0.6s这段时间内，感应电动势为0.01V，则感应电流为 导线框所受安培力大小为 故D错误。 【变式训练5-8】如图所示，两个有界匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现用水平外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点。规定：电流沿逆时针方向时电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量为正，水平外力F向右为正。则下列关于线框中的感应电动势E、所受外力F、消耗的电功率P和通过线框的磁通量随时间变化的图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】D．进入磁场时磁通量随时间变化为 完全进入左边磁场后再运动0.5L时磁通量减为零，再运动0.5L磁通量变为反向的BL2，因此中间图像斜率是两端的2倍，故D错误； A．进入磁场时感应电动势 而运动到两磁场交接处时感应电动势 故A错误； BC．根据运动到两个磁场交接处时，回路中的电动势为刚进入磁场时的2倍，电流为刚进入磁场时的2倍，并且在两个磁场交接处时，左右两边都受到向左的安培力，因此在中间时，安培力是在两端时的4倍，根据P=Fv，则在中间安培力的功率也是两端的4倍，故C错误，B正确。 故选B。 【变式训练5-9】有边长为a的正方形均匀铜线框abcd，在铜线框的右侧有一边界为等腰直角三角形区域，该区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，两直角边的边长也为a，且磁场的下边界与线框的ad边处于同一水平面上，现线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场左边界的方向穿过磁场区域，如右图所示。设ab刚进入磁场为t＝0时刻，则在线圈穿越磁场区域的过程中，ab间的电势差Uab随时间t变化的图线是下图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当ab边刚进入时 电流方向为逆时针方向，所以b点电势高于a电势，ab边穿过磁场过程，切割磁场的有效长度均匀减少，故ab间的电势差均匀减少； 当cd边刚进入时，电流方向顺时针，仍是b点电势高于a电势 随后ab间的电势差也是均匀减少，故D正确。 故选D。 故选C。 【变式训练5-10】如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是(　　) 【答案】　D 【解析】由楞次定律判断可知，在导线框穿过磁场的过程中，A点的电势始终高于B点的电势，则UAB始终为正值。AB、DC两边切割磁感线时产生的感应电动势均为E＝Bav，导线框移动距离在0~a内时，AB切割磁感线，A、B两端的电压是路端电压，则UAB＝E＝Bav；导线框移动距离在a~2a内时，导线框完全在磁场中运动，穿过导线框的磁通量没有变化，不产生感应电流，则UAB＝E＝Bav；导线框移动距离在2a~3a内时，A、B两端的电压等于路端电压的，则UAB＝E＝Bav，故D正确。 【变式训练5-11】如图所示，间距为L的水平边界MN、PQ之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，一正方形线框位于磁场区域上方某一高度，线框的边长为L、ab边的电阻是dc边电阻的2倍，ad边、bc边的电阻不计。若线框由静止释放，t=0时刻dc边进入磁场，一段时间后ab边进入磁场并匀速穿过磁场，整个线框通过磁场区域的过程中，ab边与dc边保持水平，则下列关于a、b两点之间电势差Uab随时间t变化的图像肯定错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设dc边的电阻是r，ab边的电阻是2r，由于下落高度不确定，dc边进入磁场后，线框可能做匀速直线运动、加速度减小的加速直线运动或加速度减小的减速直线运动。dc边进入磁场时电动势 E=BLva、b两点之间的电势差 dc边出磁场后当线框的加速度为0后，线框做匀速运动，a、b两点之间的电势差 则BCD正确，A错误。 此题选择错误的，故选A。 【变式训练5-12】如图所示，宽度为的匀强磁场垂直于水平桌面，水平放置的等腰梯形金属框的上底和下底长度分别为L和2L，腰长为L，用相同材料粗细均匀的金属丝制成。现使其在外力的作用下，匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边。将右侧上底刚到达磁场左边界的位置记为，以逆时针方向为电流的正方向，下列四幅图中线框中电流I和上底两端的电势差随金属框向右移动距离x关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等腰梯形金属框的高为，对于此金属框进入磁场过程，即的过程，此过程有效切割磁感线的长度为 产生的感应电流为逆时针方向，电流为正方向。根据，， 其中：R为线框的总电阻，为线框的ab边的电阻。联立可得， 可知此过程I随x线性增大，方向为正方向，随x线性减小，且 对于此金属框出磁场过程，即的过程，此过程有效切割磁感线的长度为 产生的感应电流为顺时针方向，电流为负方向，a点电势高于b点的电势，即 根据，， 联立可得， 可知I与Uab均随x线性增大。 故选D。 【变式训练5-13】如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中，规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。以向下方向为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据法拉第电磁感应定律有 结合欧姆定律可知 bc段导线受到的安培力 B-t图像的斜率即为，由此可知0~3s内感应电流大小不变，根据楞次定律可判断电流方向为顺时针方向，由左手定则可判断出bc段导线受到的安培力则先向下后向上，大小则先减小后增大；同理3~6s内，电流方向为逆时针方向，bc段导线受到的安培力则先向下后向上，大小则先减小后增大。 故选A。 【变式训练5-14】如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D、方向竖直向下的有界匀强磁场，线框的边长L小于有界磁场的宽度D，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力、以Uab表示线框ab两点间的电势差、I表示通过线框的电流（规定逆时针为正，顺时针为负）、P表示拉力的功率，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设线框每边电阻为R，线框的边长为L，线框的速度为v。 ①线框进入磁场过程，产生的感应电动势为E=BLv线框中的电流为方向为逆时针方向（正方向）；拉力F大小为；a、b两点间的电势差为拉力的功率为 ②线框完全进入磁场过程Uab=E=BLv；  F=0；  I=0；  P=0 ③线框离开磁场过程，产生的感应电动势为E=BLv线框中的电流为方向为顺时针方向（负方向）；拉力F大小为，a、b两点间的电势差为拉力的功率为 故B正确，ACD错误。 【变式训练5-15】如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R的正方形导线框，在导线框右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—x（速度—位移）图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】线圈进入磁场时，设某时刻进入磁场的距离为x，此时线圈的速度为v，则由动量定理 其中 则 当完全进入磁场后，不受到安培力，所以做匀速直线运动，当出磁场时，速度v与位移x的关系与进入磁场相似。 故选B。 【变式训练5-16】如图1所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为的匀强磁场，正方形闭合导线框的边长为，放在桌面上，边与磁场边界平行，。让导线框在沿方向的恒力作用下穿过匀强磁场，导线框的图像如图2所示。以下判断正确的是（　　） A．时间内，导线框受到的安培力逐渐增大 B．时间内，对导线框做的功等于其动能的增加量 C．时间内，图中阴影部分的面积表示磁场的宽度 D．时间内，导线框产生的焦耳热大于 【答案】D 【解析】A．时刻，导线框开始进入磁场区域，减速运动，安培力大于恒力，加速度逐渐变小，安培力减小，故A错误； C．时刻，导线框全部进入磁场区域，时刻，导线框开始离开磁场区域，时间段图线和坐标轴围成的面积表示磁场的宽度，故C错误； B．时间内，由动能定理可得 故B错误； D．因为段的安培力大于恒力，位移是，故导线框产生的焦耳热大于，故D正确。 故选D。 【变式训练5-17】如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，下降过程中ab边始终与磁场边界平行，且ab边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。匀强磁场区域宽度也为L。ab边开始进入磁场时记为t1，cd边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小Uab、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图像可能正确的是(　　) 【答案】C 【解析】线框在磁场上方H处开始下落到ab边开始进入磁场过程中线框做匀加速运动；因线框ab边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动，可知线框直到cd边出磁场时也做匀速运动，选项A、B错误。线框ab边进入磁场的过程：E＝BLv，则Uab＝BLv；ab边出磁场后cd边在磁场中运动的过程：E＝BLv，则Uab＝BLv；线框进入磁场和出离磁场过程中电动势相同，均为E＝BLv，时间相同，则产生的热量相同，故选项C正确，D错误。 【变式训练5-18】（多选）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感应电流i，焦耳热Q以及a、b两点间电压大小u，ab边的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是(　　) 【答案】ACD 【解析】0~1 s内产生的感应电动势为e1＝＝2 V，由楞次定律可知，感应电流为逆时针(为负)，大小为i1＝＝2 A，同理可得，1~5 s内产生的感应电动势为e2＝nS＝1 V，由楞次定律可知，感应电流为顺时针(为正)，大小为i2＝＝1 A，A正确；a、b两点间的电压，0~1 s内大小为u1＝i1·＝0.5 V，1~5 s内大小为u2＝i2·＝0.25 V，B错误；ab边的安培力，0~1 s内大小为0≤F1＝nB1i1 L≤4 N，随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正；同理1~3 s内大小为0≤F2＝nB2i2 L≤2 N，随时间逐渐减小，由左手定则，方向为向上为负；同理3~5 s内大小为0≤F3＝nB3i2 L≤2 N，随时间逐渐增大，由左手定则，方向为向下为正，C正确；0~1 s内焦耳热0≤Q1＝rt≤4 J，随时间逐渐增加，1~5 s内焦耳热4 J≤Q2＝Q1m＋rt'≤8 J，随时间逐渐增加，D正确。 【变式训练5-19】（多选）如图甲所示，光滑绝缘的水平面上有一异形闭合导线框，其边长如图甲所示，L为已知量。导线框ab边紧贴匀强磁场的左侧虚线边界。现用一水平外力作用在导线框上，使其向右进入匀强磁场，其速度v随位移x的变化图像如图乙所示，当导线框的位移为2L时，整个导线框所受安培力的大小为2F0.已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于导线框平面向里，导线框不发生形变，且ab边始终与虚线平行，导线框总电阻为R。 (1)当导线框的位移为2L时，求导线框的速度v0的大小； (2)从开始至导线框完全进入磁场的过程中，求水平外力对导线框做的功W。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当导线框的位移为2L时，切割磁场的有效长度为2L，感应电动势 导线框中的电流 安培力 联立解得 （2）设安培力做功为W安，对全程应用动能定理 安培力做功可以分成3个阶段，位移为2L时，整个导线框所受安培力为2F0，位移为L时，导线框所受安培力为 安培力在此处发生突变为 全过程安培力随位移线性变化（只在L处安培力有突变），导线框所受安培力如图所示 根据图像所围面积即代表安培力做的功为 所以外力做的功为 【变式训练5-20】（多选）如图所示，abcd是位于竖直平面内用粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框，它的下方有一个垂直纸面向外的匀强磁场，MN、PQ为磁场的上下水平边界，两边界间的距离与正方形的边长均为L，线框从某一高度开始下落，恰好能匀速进入磁场。不计空气阻力，以bc边进入磁场时为起点，在线框通过磁场的过程中，线框中的感应电流i、bc两点间的电势差Ubc、线框所受的安培力F、线框产生的焦耳热Q分别随下落高度h的变化关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】设正方形线框每条边的电阻为R，进入磁场时速率为v。正方形线框进入磁场第一个L过程中，只有bc边切割磁感线，由右手定则可知，线框中电流方向为逆时针方向，设为正方向，大小为 i1＝b、c两点间的电势差为 正方形线框所受安培力为 F1＝Bi1L＝＝mg 由左手定则知方向向上。线框产生的焦耳热为 Q＝·4R·t＝×4R×＝h 由于v为定值，所以进入磁场过程，电流i、Ubc、F都恒定不变，Q随下降高度h均匀增大；正方形线框离开磁场过程中，线框所受安培力继续被重力平衡，所以速度还是v。ad边在切割磁感线，由右手定则可知，线框中电流方向为顺时针，与进入磁场过程方向相反，则为负值，其大小为 i2＝ 与i1等大反向。b、c两点间的电势差为 Ubc＝BLv 正方形线框所受安培力为 F2＝Bi2L＝＝mg 与F1相同。线框产生的焦耳热为 Q＝·4R·t＝×4R×＝（h－L） 随位移继续均匀增大。 故选ABD。 【变式训练5-21】（多选）在光滑绝缘的水平面上两相互平行的边界MN、PQ，边界内有竖直向下的匀强磁场。紧靠MN有一用均匀导线绕制的正方形金属板abcd，如图所示（俯视图）。已知线框边长为L，电阻为R，磁场磁感应强度大小为B、磁场宽度为2L。现给线框一初速度，线框刚好能穿过磁场区域。则从线框ab边刚进入磁场到cd边刚出磁场的过程中，ab边电压和线框所受安培力F随位移x变化的规律图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】AB．设线圈进入磁场任意的位置位移为x，此时的速度为v，则由动量定理 其中 可得 则进入时ab两端的电压为 设线圈完全进入磁场时的速度为v1，则进入磁场的过程 其中 出离磁场时 其中 联立，解得 线圈ab边开始进入磁场时 完全进入磁场的瞬间 完全进入磁场后在磁场中匀速运动L，此时 线圈的ab边刚出离磁场时 完全出离磁场后速度减为零，此时 故A错误；B正确； CD．线圈ab边开始进入磁场时安培力 则在进入过程中有 即安培力F与x成线性关系，递减。完全进入磁场的瞬间安培力 完全进入磁场后电流为零，故安培力为零。线圈的ab边刚要出离磁场时安培力 完全出离磁场时安培力减为零。故C正确；D错误。 故选BC。 【变式训练5-22】（多选）如图甲所示，由同种材料制成粗细均匀的矩形导体方框abcd固定在匀强磁场中，磁场方向垂直方框所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。以垂直于方框所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列关于线框中的感应电动势的大小E、感应电流I(以顺时针方向为正)、ab边的热功率P、ab边受到的安培力F(以向右为正)随时间t变化的图像中正确的是(　　) 【答案】　ACD 【解析】由法拉第电磁感应定律E=n=nS可知，在0~1 s和5~6 s两段时间内产生的感应电动势大小相等，且保持不变，而1~5 s时间内产生的感应电动势大小不变，但只有0~1 s和5~6 s两段时间的一半，A正确;ab边热功率由P=I2R可知，0~1 s和5~6 s两段时间内是1~5 s内的4倍，C正确;由楞次定律可得在0~1 s和5~6 s电流为逆时针负方向，且恒定不变，而1~5 s电流为顺时针正方向且恒定不变，B错误;由F安=IlB，可知ab边受到的安培力大小与磁感应强度成正比，再利用左手定则可知，D正确。 【变式训练5-23】（多选）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数，边长，线圈总电阻，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，电动势顺时针为正，则下列有关线圈的感应电流i、电动势e、焦耳热Q以及ab边的安培力F（取向下为正方向）随时间t的变化图像正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】AC．在0-1s内感应电动势 方向为逆时针方向（负方向）； 感应电流 方向为逆时针方向（负方向）； 在1-5s内感应电动势 方向为顺时针方向（正方向）； 感应电流 方向为顺时针方向（正方向），选项AC错误； B．在0-1s内安培力 在1-5s内安培力 选项B正确； D．0-1s内焦耳热 在1-5s内焦耳热 选项D正确。 故选CD。 【变式训练5-24】（多选）如图所示，边长为L的正方形区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，等腰直角三角形导线框ABC以速度v匀速进入磁场区域，且AB＝L，若从C点进入磁场开始计时，单位长度导线框的电阻相同，则B、C两点电势差UBC和BC边所受安培力FBC(规定FBC向上为正)随时间变化的图像正确的是(　 ) 【答案】BD 【解析】0～时间内导线切割磁感线的有效长度均匀增大，如图甲 由右手定则可知感应电流方向由C到B，即C点电势高，则UBC＜0，由感应电动势E＝Blv＝Bv2t，可知感应电动势随时间均匀增大，电阻不变，电路中电流均匀增大，|UBC|均匀增大；在～时间内导线切割磁感线的有效长度均匀减小，感应电动势均匀减小，感应电流均匀减小，|UBC|均匀减小，t＝时电路中感应电动势为零，如图乙； 此后由右手定则可知电流方向反向，电流先均匀变大再变小，UBC也是先变大再变小，如图丙、丁， A错误，B正确；0～时间内BC边受力FBC＝BIl＝t2，FBC­t 图像是开口向上的抛物线；在～时间内，BC边在磁场中的长度不变，由FBC＝BIL可知FBC的大小和方向随电流的大小和方向线性变化；在～时间内BC边在磁场中的长度及导线切割磁感线的有效长度都减小，则FBC＝BI(3L－vt)＝，FBC­t图像是开口向下的抛物线，C错误，D正确。 【变式训练5-25】（多选）如图所示，边长为的等边三角形金属框架处于垂直框架平面向外的有界匀强磁场中，顶点与磁场右侧边界重合。时起，用外力把框架从磁场中水平向右匀速拉出。若金属框架中产生的感应电动势大小为、框架的位移为，则下列关系图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】AB．感应电动势则E与x成正比，故A错误，B正确； CD．线框匀速运动F外=F安=BIL电流为电动势为E=BLv联立可得其中则有因为B、R、v一定，则F外∝x2故C错误，D正确。故选BD。 【变式训练5-26】（多选）如图所示的两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L．距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直．现用拉力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定电流沿逆时针方向时电动势E为正，拉力F向右为正．关于感应电动势E、线框中通过的电荷量q、拉力F和产生的热功率P随时间t变化的图像正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A．当线圈进入第一个磁场时，产生的感应电动势为E=BLv，E保持不变，根据楞次定律可知，感应电流是逆时针，而线圈开始进入第二个磁场时，两端同时切割磁感线，电动势应为E=2BLv根据楞次定律可知，感应电流是顺时针，，当线圈离开第二个磁场时，产生的感应电动势为 E=BLv根据楞次定律可知，感应电流是逆时针，故A正确； B．根据法拉第电磁感应定律得 ①根据闭合电路欧姆定律得 ②线框中通过的电荷量 ③由①②③式解得线框中通过的电荷量可知，线框中通过的电荷量与磁通量成正比。当线框运动L时开始进入磁场，磁通量开始增加，线框中通过的电荷量增大；当全部进入时达最大，线框中通过的电荷量最大；；此后向外的磁通量增加，总磁通减小，线框中通过的电荷量减小；；当运动到2.5L时，磁通量最小为0，线框中通过的电荷量也为0，故B错误； CD．拉力的功率P=Fv因速度不变，而在线框在第一个磁场时，电流为定值，拉力为定值，外力F的功率也为定值；两边分别在两个磁场中时，感应电动势为E=2BLv外力等于安培力， 外力的功率为拉力和功率都变为4倍；此后从第二个磁场中离开时，安培力应等于线框在第一个磁场中的安培力，外力的功率也等于在第一个磁场中的功率，故D正确，C错误；故选AD。 【变式训练5-27】（多选）如图所示，光滑水平绝缘桌面上直线边界右侧存在范围足够大的匀强磁场。正方形单匝导线框平放在桌面上，其对角线与垂直。现使线框获得一速度后向右运动。从c点进入磁场瞬间，在c点对线框施加水平向右的力F，使线框保持原速度做匀速直线运动。已知线框速度始终与垂直，线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流大小用表示，线框的位移用x表示，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设正方形线框的边长为l，电阻为R，当时，线框中的有效长度为 线框中的感应电动势为 线框中的感应电流大小为 线框受到的安培力为 由于线框匀速运动，因此线框受到的安培力与F相等，有 当时，线框中的有效长度为 线框中的感应电动势为 线框中的感应电流大小为 线框受到的安培力为 由于线框匀速运动，因此线框受到的安培力与F相等，有 综上所述，电流I的图像为关于成轴对称的两条线段，力F图像为关于成轴对称的两条抛物线。 故选AD。 【变式训练5-28】光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R、边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示。随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ 时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求： (1)t＝0时线框所受的安培力F； (2)t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ； (3)2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。 【答案】　(1)，方向水平向左(2)，方向垂直纸面向里　(3) 【解析】(1)由题图(b)可知，t＝0时线框切割磁感线产生的感应电动势为E＝2B0hv＋B0hv＝3B0hv，则感应电流大小为I＝＝，所受的安培力为F＝2B0h＋B0h＝，方向水平向左。 (2)在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度变化的斜率为k1＝＝－，则t＝1.2τ时Ⅰ区的磁感应强度为B1＝2B0＋k1(1.2τ－τ)＝B0，则t＝1.2τ时穿过线框的磁通量为Φ＝B1h·h－B0h·h＝，方向垂直纸面向里。 (3)2τ～3τ时间内，Ⅱ区磁感应强度线性减小到0，则有E′＝＝＝，感应电流大小为I′＝＝，则2τ～3τ时间内，线框中产生的热量为Q＝I′2Rt＝。 题型06： 线框只在安培力作用下线框穿越磁场题型 【典型例题1】如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（　　） A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1>W2 C．t1>t2，W1＜W2 D．t1>t2，W1>W2 【答案】B 【解析】设线框刚进入磁场是速度为v1，刚离开磁场时速度为v2，由动量定理得 ， 又 可得 线框进入磁场和离开磁场的过程都受向左的安培力作用而减速，进入过程平均速度大于离开过程平均速度，根据知t1＜t2 根据动能定理， 可知 故选B。 【典型例题2】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（   ）    A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【答案】D 【解析】A．线框进磁场的过程中由楞次定律知电流方向为逆时针方向，A错误； B．线框出磁场的过程中，根据E = Blv，联立有 由于线框出磁场过程中由左手定则可知线框受到的安培力向左，则v减小，线框做加速度减小的减速运动，B错误； C．由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q = FAL 其中线框进出磁场时均做减速运动，但其进磁场时的速度大，安培力大，产生的焦耳热多，C错误； D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量 其中，，则联立有 由于线框在进和出的两过程中线框的位移均为L，则线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确。 故选D。 【变式训练6-1】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【答案】D 【解析】A．根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，故A错误； B．甲线框刚进磁场区域时，合力为， 乙线框刚进磁场区域时，合力为，，可知；故B错误； CD．假设甲乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有， 同理对乙有， 解得， 故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为，，即； 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练6-2】如图所示，光滑水平面上存在竖直向下的匀强磁场，磁场左右边界相互平行，范围足够大，一正方形金属线框在水平面上以初速度v0进入磁场，穿过磁场过程中（　　） A．线框做直线运动 B．线框做匀变速曲线运动 C．线框进、出磁场动能的变化相等 D．线框进、出磁场速度的变化相等 【答案】D 【解析】解：将线框的初速度v0分解为垂直磁场边界方向的分速度vx和平行磁场边界方向的分速度vy。线框进、出磁场时，仅有平行于边界的边切割磁感线，感应电动势E＝BLvx，线框受到的安培力，由楞次定律可知安培力方向始终垂直边界向外。由于平行边界方向不受外力作用，vy保持不变。 AB、由于线框所受合外力（安培力）方向与速度方向不共线，线框做曲线运动；随着vx不断减小，安培力逐渐减小，线框的加速度逐渐变小，即线框做非匀变速曲线运动，故A错误，B错误； C、线框进入磁场阶段的水平分速度vx大于离开磁场阶段的水平分速度，在进、出磁场垂直方向上位移同为L的过程中，进入磁场时的平均安培力更大，克服安培力做功更多，根据动能定理可知进入磁场时动能的变化量更大，故C错误； D、规定垂直磁场边界向右为正方向。对线框进、出磁场的过程分别根据动量定理有，其中安培力的冲量大小。因为进、出磁场过程中垂直边界方向的位移大小均为Δx＝L，解得速度的变化量。由于平行边界方向分速度vy保持不变，即Δvy＝0，故线框进、出磁场速度的变化量相等，故D正确。 故选：D。 【变式训练6-3】如图所示，绝缘粗糙细杆abc在b处弯折，水平bc段足够长，在虚线AB的右侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电圆环（可视为点电荷）套在杆上从ab段某处由静止释放，忽略圆环经过弯折处的能量损失，圆环在运动过程中所带电荷量保持不变。下列关于圆环速度v随时间t变化的图像不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设圆环的质量为m，绝缘粗糙细直杆的动摩擦因数为μ。 当圆环从倾角为α的倾斜绝缘细直杆上下滑时，由牛顿第二定律可得mgsinα﹣μmgcosα＝ma，解得加速度a＝g（sinα﹣μcosα）。可知在圆环做初速度为零的匀加速直线运动，v﹣t图像为过原点的倾斜直线。 当圆环进入匀强磁场中后，圆环受洛伦兹力F洛＝qvB，方向由电荷正负决定。若圆环带正电，则受到竖直向上的洛伦兹力，当洛伦兹力等于其重力时，圆环所受合外力为零，在磁场中将做匀速直线运动，v﹣t图像为一条平行于时间轴的直线；若洛伦兹力大于重力，由牛顿第二定律可得μ（qvB﹣mg）＝ma1，可知小环将做加速度减小的减速运动，而随着速度的减小洛伦兹力也随之减小，当洛伦兹力减小到与重力大小相等时，圆环将做匀速直线运动；若洛伦兹力小于重力，由牛顿第二定律有μ（mg﹣qvB）＝ma2，可知圆环做减速运动，随着速度的减小，洛伦兹力减小，加速度增大，可知圆环做加速度增大的减速运动，直至速度减为零。 若圆环带负电，所受洛伦兹力竖直向下，由牛顿第二定律可得μ（mg+qvB）＝ma3，可知圆环做减速运动，随着速度的减小洛伦兹力减小，加速度减小，圆环做加速度减小的减速运动，直至速度减为零。 故ACD正确，B错误。 本题选不正确的，故选：B 【变式训练6-4】（多选）如图，光滑绝缘水平面上x＝0两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直方向的匀强磁场，宽度均为L，磁感应强度方向相反，大小分别为B、2B，x＝﹣3L和x＝3L处有固定挡板。同种材料制成、粗细均匀的正方形导体线框MNPQ，边长为L，质量为m，总电阻为R，以初速度v0从左侧进入磁场，沿x轴方向运动。线框平面始终与磁场方向垂直，MN边始终与磁场边界平行，线框与挡板的碰撞均为弹性碰撞。则（　　） A．MN首次进入磁场时线框的加速度大小a B．MN每次经过x＝1.5L时，电势差UNM：UPQ＝1：1 C．MN与右侧挡板首次碰撞后瞬间线框的速度大小v D．线框停止处，穿过线框的磁通量为0 【答案】AC 【解析】解：A、感应电动势E＝BLv0，感应电流 安培力 由牛顿第二定律得 代入v0得，故A正确； B、MN在x＝1.5L，即线框一半在Ⅱ区（2B向外）、一半无磁场，只有PQ边切割磁感线，电动EPQ＝2BLv线框为均匀正方形，四边电阻相等，每边电阻。PQ是电源，UPQ为路端电压（PN、NM、MQ三边总外阻3r）： MN是外电路一段导线，无切割， 比值|UMN|：|UPQ|＝1：3，故B错误； C、过程分析：从x＝﹣L到右侧挡板x＝3L MN从﹣L→0（完全在B磁场，位移L），取沿x轴正方向为正方向，动量定理﹣BL•Δt＝mv1﹣mv0，， MN从0→L，MN在2B、QP在B，两边反向切割，总电动势E＝2BLv+BLv＝3BLv，总安培力向左：F＝2BIL+BIL＝3BIL， 动量定理， MN从x＝L到x＝2L，PQ在2B，切割磁感线，电动势E＝2BLv，安培力向左：F＝2BIL，，动量定理﹣2BL•mv3﹣mv2，v3＝v2v0， x＝2L到x＝3L无磁场，匀速到挡板，弹性碰撞速度大小不变，故C正确； D、根据C选项分析可知，线框完整穿过Ⅰ、Ⅱ磁场，线框速度变化量为Δv，根据2026÷14＝14×144+10，因为144为偶数，可以判断出线框第145次从左侧进入磁场Ⅰ最终停止在磁场中，假设线框能完全进入磁场，此时速度变化量Δv′，也可由C选项直接判断出线框刚好停在磁场Ⅱ区域，穿过线圈的磁通量Φ＝2BL2，故D错误。 故选：AC。 【变式训练6-5】光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间的变化如图（b）所示，时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为和，一电阻为，边长为的刚性正方形金属框，平放在水平面上，边与磁场边界平行．时，线框边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度向右运动．在时刻，边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：    （1）时线框所受的安培力； （2）时穿过线框的磁通量； （3）时间内，线框中产生的热量。 【答案】（1），方向水平向左；（2）；（3） 【解析】（1）由图可知时线框切割磁感线的感应电动势为 则感应电流大小为 所受的安培力为，方向水平向左； （2）在时刻，边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，则时穿过线框的磁通量为，方向垂直纸面向里； （3）时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0，则有 感应电流大小为 则时间内，线框中产生的热量为 题型07：线框在外力和安培力作用下线框穿越磁场题型 【典型例题1】如图甲所示，斜面倾角θ＝37°，一宽为s＝0.5m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与面底边平行。在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底边重力势能为零，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图乙所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1kg，图乙中数据为已知量，sin37°＝0.6，则（　　） A．金属线框与斜面间的动摩擦因数0.75 B．金属线框在磁场中运动时ab两端的电压保持不变 C．金属线框的长度为0.25m D．金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间0.125s 【答案】D 【解析】解：A、根据功能关系，线框进入磁场前机械能的减少量等于克服摩擦力所做的功，即ΔE1＝μmgx1cosθ，结合图像数据可解得动摩擦因数μ＝0.5，故A错误； C、线框下滑x1过程中，其重力势能的减少量为ΔEp1＝mgx1sinθ。到达磁场边界时的动能Ek1＝E1﹣（E0﹣ΔEp1），结合动能公式，解得刚进入磁场时的速度v1＝1.2m/s。进入磁场过程中，机械能与位移的关系图像为一条倾斜直线，表明线框克服非保守力做功的功率恒定，即线框做匀速直线运动。由平衡条件可得mgsinθ＝μmgcosθ+FA。此过程中机械能的减少量ΔE2＝（μmgcosθ+ FA）L，联立解得金属线框的边长L＝0.15m，故C错误； B、金属线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量保持不变，回路中无感应电流，安培力为零，线框在重力与摩擦力作用下做匀加速直线运动。在此阶段，ab边切割磁感线，ab两端电压Uab＝BLv，由于速度v不断增大，因此ab两端电压也将不断增大，故B错误； D、金属线框从刚进入磁场到恰好完全进入磁场的过程做匀速直线运动，所用时间，代入数据解得t＝0.125s，故D正确。 故选：D。 【典型例题2】（多选) 如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F = kv＋b（k > 0，b > 0），且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F = 0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则（   ） A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为 【答案】BC 【解析】由题知gh段在磁场区域运动时，gh两端的电压随时间均匀增加，则说明gh在磁场中运动时做匀变速直线运动，设正方形金属框efgh运动的速度为v，有，，， 联立有 B．由于gh段在磁场区域运动时,正方形金属框efgh做匀变速直线运动，则有， 解得，故B正确； CD．gh在无磁场区域运动时，F = 0，正方形金属框efgh水平方向只受到安培力，有，， 根据动量定理有，累加叠加可得 gh段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh做匀变速直线运动有，结合ma = b 解得，，故C正确，D错误； A．由gh段在磁场区域运动时，正方形金属框efgh做匀变速直线运动，则有vmax = v0＋at 解得gh在任一磁场区域的运动时间，故A错误。 故选BC。 【典型例题3】（多选) 如图所示，光滑斜面倾角θ＝30°，间距为L的水平线GH和PQ间有垂直于斜面向上的匀强磁场Ⅰ，间距大于L的水平线PQ和MN间有垂直斜面向下的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B，边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从斜面上GH上方由静止释放，线框运动过程中ab边始终水平，线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的加速度恰好为零，线框ab边刚出磁场Ⅱ时线框的加速度也恰好为零，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量为 B．线框进磁场Ⅰ的过程可能做减速运动 C．线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ所用时间为 D．水平线PQ和MN间的距离为L 【答案】ACD 【解析】解：A.线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量 故A正确； B.若线框进磁场Ⅰ过程如果做减速运动，则线框ab边刚进磁场Ⅱ时一定做减速运动，故B错误； C.设线框ab边刚进磁场Ⅱ时线框的速度为v1，则有 解得 线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ的过程中，以沿斜面向下的方向为正方向，根据动量定理有 解得 故C正确； D，设线框ab边刚出磁场时线框的速度为v2，则有 解得 设水平线MN与PQ间的距离为s，从线框ab边刚进磁场Ⅱ到ab边刚出磁场Ⅱ过程应用动能定理有 解得 故D正确。 故选：ACD。 【变式训练7-1】由相同材料、粗细均匀的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的粗细不同，乙线圈的横截面积是甲的2倍，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。甲的下边开始进入磁场时以速度v做匀速运动，下列判断正确的是（　　） A．甲和乙进入磁场的瞬间，安培力之比为1：2 B．从释放甲、乙线圈到线圈上边界离开磁场，甲、乙用时相同 C．甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为1：1 D．甲和乙进入磁场的过程中产生的焦耳热之比为1：4 【答案】B 【解析】解：A、设正方形线圈的边长为L，由电阻定律可得线圈电阻为。已知两线圈匝数满足nA＝2nB，横截面积满足SB＝2SA，代入比例关系，解得两线圈电阻之比为RA＝4RB。两线圈从同一高度自由下落，到达磁场边界时具有相同的速度v。进入磁场瞬间，线圈所受安培力大小为，代入前述匝数与电阻的比例关系，可得FA＝FB，即安培力之比为1：1，故A错误； B、甲线圈进入磁场后以速度v做匀速运动，表明其重力与安培力平衡，即mg＝FA。由于两线圈质量相等，且已求得FA＝FB，因此乙线圈进入磁场时，其安培力也等于重力，故乙线圈同样以速度v匀速进入磁场。两线圈完全进入磁场后，均仅受重力作用，做加速度为g的匀加速直线运动，到达下边界时具有相同的速度，出磁场过程中的运动情况也完全相同。因此，两线圈在整个下落过程中的运动状态完全一致，所用时间相同，故B正确； C、线圈进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量公式为。代入匝数比nA：nB＝2：1与电阻比RA：RB＝4：1，解得电荷量之比qA：qB＝1：2，故C错误； D、甲、乙两线圈在进入磁场的过程中均做匀速直线运动，动能保持不变。根据能量守恒定律，系统机械能的减少量全部转化为焦耳热，即Q＝mgL。由于两线圈质量m相等，边长L相同，因此产生的焦耳热之比QA：QB＝1：1，故D错误。 故选：B。 【变式训练7-2】如图所示，空间存在间距为L的两足够大有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场的宽度也为L，磁场方向竖直向下，一矩形金属框abcd置于光滑绝缘水平台面上，已知ab＝3L，t＝0时刻bc边与磁场Ⅰ的左边界重合。现用水平恒力F向右拉动金属框，当bc边经过磁场Ⅱ的左边界时框开始做匀速运动。在金属框穿出磁场Ⅰ前的运动过程中，下列描述框的速度v、流过框中的电流i、通过框截面的电量q、框克服安培力做的功W随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．根据题意，首先分析bc边在磁场Ⅰ中时金属框的运动，在此过程中金属框受到的安培力为 可以看出金属框受到的安培力随着金属框速度的增大而增大，而金属框受到的安培力方向与金属框运动方向相反，则bc边在磁场Ⅰ中时金属框做加速度减小的加速运动；然后分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时金属框的运动，在此过程中金属框只受到恒力F，则金属框做匀加速直线运动；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时金属框的运动，根据题意可知在此过程中金属框做匀速直线运动。因此v﹣t图像应该一开始是一条弯曲的线且斜率不断减小，然后是一段斜率固定且为正的直线，最后是一段水平的直线，故A错误； B．由感应电动势公式以及欧姆定律可得电流 可知电流i与金属框速度以及磁场强度有关，i﹣t图像第一和第三阶段的图线趋势应与v﹣t图像一致，而第二阶段由于bc边不在磁场中，磁场强度B为零，则电流为零，故B错误； C．在前面选项分析的基础上，先分析bc边在磁场Ⅰ中时的情况，可知金属框做加速度减小的加速运动，则金属框中的电流不断增强且增速不断减慢，所以通过金属框截面的电量q不断增加且增速不断减慢，q﹣t图像应该是斜率不断减小的曲线；再分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时的情况，在此过程中bc边未切割磁感线，金属框中没有电流，则通过金属框截面的电量q不会增加，q﹣t图像应该是一条水平直线；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时的情况，此时金属框做匀速直线运动，电流保持不变，则通过金属框截面的电量q应匀速增加，此段时间内q﹣t图像应该是一条斜率固定且为正的直线。故C正确； D．金属框受到的安培力，分析bc边在磁场Ⅰ中时的情况，金属框受到的安培力不断增大且增速不断减小，则克服安培力做的功W也不断增加且增速不断减小，W﹣t图像应该是斜率不断减小的曲线；然后分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时的情况，在此过程中金属框不受安培力，此段时间内安培力做功为零，则W﹣t图像应该是一条与水平轴重合的线；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时的情况，金属框受到的安培力不变，则克服安培力做的功W匀速增加，W﹣t图像应该是一条斜率固定且为正的直线，结合以上分析可知此图像符合。故D错误。 故选：C。 【变式训练7-3】（多选）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为，速率恒为，宽为的区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为、质量为m、电阻为R的正方形线框置于传送带上，进入磁场前与传送带保持相对静止，线框边刚离开磁场区域时的速率恰为。若线框或边受到安培力，则其安培力大于。线框受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数，边始终平行于，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．线框速率的最小值为 B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为 C．线框穿过磁场区域的时间为 D．边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为 【答案】AD 【解析】A．在边进入磁场而边未进入磁场的过程中，线框受到沿传送带平面向上的安培力和沿传送带平面向下的重力分力。若线框相对传送带滑动，则滑动摩擦力为，而，故 已知线框受到的安培力，即 因此线框将相对传送带向上滑动，滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。线框在沿传送带平面的安培力、重力分力、摩擦力作用下做减速运动。在边进入磁场到边离开磁场的过程中，因线框速度小于传送带速度，故其所受滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。又因线框不受安培力，所以其在沿传送带平面的滑动摩擦力和重力分力作用下做匀加速直线运动。综上分析可知，当边刚进入磁场时，线框有最小速度。设线框加速度为，根据牛顿第二定律有 边离开磁场时速度恰好为，则有，联立解得，故A正确； B．在边进入磁场到边进入磁场的过程中，由动能定理有 则该过程产生的焦耳热 在边离开磁场到边离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热也为。因此，线框穿过磁场区域产生的焦耳热为，故B错误； C．设边进入磁场到边进入磁场的时间为，根据闭合电路欧姆定律得 根据动量定理有 设边进入磁场到边离开磁场的时间为，有 因为边离开磁场到边离开磁场所用时间也为，所以线框穿过磁场区域的总时间 联立解得，故C错误； D．边从进入到离开磁场区域的时间 该段时间内传送带移动的距离，故D正确。 故选AD。 【变式训练7-4】（多选）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】AC 【解析】设线圈的上边进入磁场时的速度为v，设线圈的质量M，物块的质量m，图中线圈进入磁场时线圈的加速度向下，则对线圈由牛顿第二定律可知 对滑块其中，即 线圈向上做减速运动，随速度的减小，向下的加速度减小；当加速度为零时，即线圈匀速运动的速度为 · A．若线圈进入磁场时的速度较小，则线圈进入磁场时做加速度减小的减速运动，线圈的速度和加速度都趋近于零，则图像A可能正确； B．因t=0时刻线圈就进入磁场，则进入磁场时线圈向上不可能做匀减速运动，则图像B不可能； CD．若线圈的质量等于物块的质量，且当线圈进入磁场时，且速度大于v0，线圈进入磁场做加速度减小的减速运动，完全进入磁场后线圈做匀速运动；当线圈出离磁场时，受向下的安培力又做加速度减小的减速运动，最终出离磁场时做匀速运动，则图像C有可能，D不可能。 故选AC。 【变式训练7-5】水平地面上固定有一倾角为30°的绝缘光滑斜面，其上有两个宽度分别为l1、 l2、的条形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，虚线为磁场边界，均与斜面底边平行，两区域磁场的磁感应强度大小相等、方向均垂直斜面向上，示意图如图所示。一质量为m、电阻为R的正方形细导线框abcd置于区域Ⅰ上方的斜面上， cd边与磁场边界平行。线框由静止开始下滑，依次穿过区域Ⅰ、区域Ⅱ。已知cd边进入Ⅰ到ab边离开Ⅰ的过程中，线框速度恒为v，cd边进入区域Ⅱ和ab边离开区域Ⅱ时的速度相同；区域Ⅰ、Ⅱ间的无磁场区域宽度大于线框边长，线框各边材料相同、粗细均匀；下滑过程线框形状不变且始终处于斜面内，cd边始终与磁场边界平行；重力加速度为。求： (1)初始时，cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ号区域时，cd边两端的电势差； (3)cd边进入区域Ⅱ和ab边离开区域Ⅱ的过程中，线框克服安培力做功的平均功率。 【答案】(1)(2)(3)若，则；若，则 【解析】（1）线框在没有进入磁场区域时，根据牛顿第二定律 根据运动学公式 联立可得线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离 （2）因为cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，可知线框的边长与Ⅰ区域的长度相等，根据平衡条件有又， cd边两端的电势差，联立可得 （3）①若，则线框在通过Ⅱ区域过程中可能一直做减速运动，也可能先减速后匀速，完全离开Ⅱ号区域时的速度不再恢复为刚进入时的速度，故该情况不符合题意。 ②若，在线框进入Ⅰ区域过程中，根据动量定理 其中，，，联立可得 线框在Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理 根据 线框进入磁场过程中电荷量都相等，即联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率，联立可得 ③若，同理可得 根据动量定理，其中 结合，，联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 【变式训练7-6】如图（a），线框位于倾斜角的斜面上，斜面上有一长度为的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为，已知线框边长，，总电阻，现对线框施加一沿斜面向上的力使之运动。斜面上动摩擦因数，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度取） （1）求外力大小；（2）求长度；（3）求回路产生的焦耳热。    【答案】（1）1.48N；（2）0.5m；（3）0.4J 【解析】（1）由图（b）可知在0~0.4s内线框做匀加速运动，加速度为 根据牛顿第二定律有 代入数据可得 （2）由图（b）可知线框cf匀速进入磁场，则有 其中 联立可得， （3）线框穿过磁场过程中回路产生的焦耳热等于过程中安培力做的功，即 【变式训练7-7】如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求： （1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小； （2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热； （3）磁场区域的水平宽度。 【答案】（1）ax = 20m/s2，ay = 10m/s2；（2）B = 0.2T，Q = 0.4J；（3）X = 1.1m 【解析】（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有max = Fcosθ 代入数据有ax = 20m/s2 在竖直方向有may = Fsinθ - mg，代入数据有ay = 10m/s2 （2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力竖直向下，ad边的上部分受到的安培力水平向右，bc边的上部分受到的安培力水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有Fsinθ - mg - BIL = 0 E = BLvy vy2 = 2ayL 联立有B = 0.2T 由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有Q = W安 = BILy y = L Fsinθ - mg = BIL，联立解得Q = 0.4J （3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为vy = ayt1 L = vyt2 t = t1 + t2 联立解得t = 0.3s 由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有 则磁场区域的水平宽度 X = x + L = 1.1m 题型08：电磁感应中线框穿越交变磁场类问题 【典型例题1】（多选）如图，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的边界P、Q、M水平，两磁场的方向相反，磁感应强度大小均为B，磁场Ⅰ的宽度为L，磁场Ⅱ的宽度大于L。边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd自距磁场边界P上方L处自由下落，当ab边刚进磁场Ⅱ时线框的加速度为零；当ab边刚出磁场Ⅱ时，线框的加速度也为零。重力加速度大小为g，线框运动过程中，磁场始终与线框平面垂直，ab边始终水平，下列说法正确的是（ ） A．线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中，通过线框截面的电荷量为 B．当线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的速度大小为 C．磁场Ⅱ的宽度为L＋ D．线框通过磁场过程中，线框中产生的焦耳热为4mgL＋ 【答案】AC 【解析】A、线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中，通过线框截面的电荷量q＝＝，故A正确； B、设线框ab边刚进磁场Ⅱ时速度为v1，根据题意，＝mg，解得v1＝，故B错误； C、设线框ab边刚出磁场Ⅱ时，线框的速度大小为v2，则＝mg，解得v2＝，设磁场Ⅱ的宽度为d，则d＝L＋＝L＋，故C正确； D、根据能量守恒，线框通过磁场过程中mg(3L＋d)＝Q＋，解得Q＝4mgL－，故D错误。 【典型例题2】如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平桌面（纸面）上，间距L＝0.5 m，OP右侧存在垂直纸面向里的磁场，以O点为原点，水平向右为x轴正方向，磁感应强度大小B随x变化的图像如图乙所示。边长cd为L＝0.5 m、边长bc为d＝0.8 m的矩形金属细框置于导轨上。现使细框以v0＝4 m/s的速度水平向右运动，cd边运动到x＝1.6 m处时，对细框施加水平向右的外力F使其匀速进入x≥1.6 m的磁场区域，cd边运动到x＝2.4 m处时撤去外力F。整个运动过程中细框始终与导轨接触良好。已知金属细框的质量为m＝0.2 kg，ab边和cd边的总电阻为R＝0.25 Ω，导轨电阻可忽略。在细框运动的过程中，求： （1）cd边运动到x1＝0.8 m处时，细框的速度大小； （2）撤去外力F前瞬间，F的瞬时功率； （3）撤去外力F后，细框运动的位移大小。 【答案】（1）cd边从x＝0运动到x1＝0.8 m的过程中，磁感强度大小B0＝0.5 T， cd边产生的平均电动势为＝ 由闭合电路欧姆定律得＝ 对cd边由动量定理得＝m(v1－v0)，解得：v1＝3 m/s （2）cd边从x1＝0.8 m运动到x2＝1.6 m的过程中， 同（1）可得cd边运动到x2＝1.6 m处时的速度大小为v2＝2 m/s 由图可得x3＝2.4 m处的磁感应强度大小B1＝0.9 T。 在撤去外力F前瞬间，金属细框匀速运动，由受力平衡得F＝ 撤去外力F前瞬间，F的瞬时功率为：P＝Fv2，解得：P＝3.24 W （3）撤去外力F后，ab、cd边所在位置处的磁感应强度大小始终相差ΔB＝0.4 T 回路中的感应电动势为：E＝ΔBLv 由闭合电路欧定律得：I＝ 金属细框所受的合外力大小为：F＝ΔBIL 对金属细框由动量定理可得－∑F·Δt＝0－mv2 可得撤去外力后，金属细框的位移大小为l＝·Δt＝2.5 m 【典型例题3】我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距处固定着两个长、宽、电阻为R的单匝线圈，＞。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长、宽的矩形匀强磁场，磁感强度为B。经调试，火车在轨道上运行时摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q1是第2个线圈产生的焦耳热Q2的3倍。求： (1)车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小； (2)求车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）对线圈，由法拉第电磁感应定律 ① 由闭合电路欧姆定律 ② ③ 联立①②③式解得 （2）设磁场刚穿过线圈Ⅰ时速度为v，由能量守恒有 ④ 磁场刚穿过线圈Ⅱ停止，同理有 ⑤ 又 ⑥ 匀速运动过程 ⑦ 联立④⑤⑥⑦式解得 【典型例题4】如图，绝缘、光滑斜面倾角θ=37°，在宽度均为d=0.4m的区域I、II内分别有垂直于斜面向上、向下的匀强磁场，磁感强度大小均为B=1T，MN为两磁场的分界线。质量m=0.06kg、总电阻R=0.5Ω的矩形线框abcd，边长分别为L=0.6m和d=0.4m。现使线框ab边与磁场边界平行，自斜面上端某处静止释放，线框恰能匀速进入区域I。（g取10m/s2） （1）求ab边在区域I内运动时，线框的速度大小v0和发热功率P； （2）求当ab边刚进入区域II时，线框的加速度a； （3）通过分析，描述ab边从MN运动到区域II下边界的过程中，线框运动的速度、加速度变化情况。 【答案】（1）0.5m/s；0.18W（2）18m/s2，方向沿斜面向上；（3）见解析 【解析】 （1）线框匀速进入区域I，所受安培力与重力沿斜面向下的分力相等，即 FA=BIL=mgsin 又根据E=BLv，I=可得 v0==m/s=0.5m/s I==A=0.6A P=I2R=0.62×0.5W=0.18W （2）ab边刚进入区域II时，线框的速度仍为v0=0.5m/s。ab、cd两条边同时切割磁感线，线框中的感应电动势为E’=2BLv，ab、cd两条边同时受到向上的安培力。线框一条边受到的安培力为 =2mgsin 根据牛顿第二定律有 ma=2-mgsinθ=3mgsin 所以，此时线框的加速度 a=3gsin=18m/s2 方向沿斜面向上 （3）ab边从MN运动到区域II下边界的过程中 ma=2-mgsin=-mgsin 加速度与运动方向相反，棒做减速运动，随着速度的减小，加速度也逐渐减小 【典型例题5】据英国2018年《每日邮报》5月2日报道，中国科学家一直在努力测试一种超高速列车——真空管道超高速列车，它将比现有高铁快3倍，速度达到1000km/h。其动力系统的简化模型如图1所示，图中粗实线表示固定在水平面上间距为L的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计，ab和cd是通过绝缘材料固定在列车底部的两根金属棒，长度均为L，电阻均为R并与导轨良好接触，始终与导轨保持垂直，两金属棒ab和cd间距为x，列车与金属棒的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计，列车启动完成后电源会自动关闭。 （1）启动时，若M接“+”、N接“-”，接通电源时判断列车运行方向，并简要说明理由； （2）求启动时列车加速度的最大值； （3）列车启动完成后电源会自动关闭，列车将保持匀速行驶，到站时为让列车减速，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均等于x。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试计算前方至少需要多少块这样的有界磁场才能使列车停下来。 【答案】（1）向右运动，理由：左手定则 ；（2）；（3），若为整数，则经过块即可；若不为整数，则经过的整数部分块即可 【解析】 (1)接通电源时列车向右运动，理由接电压正极，金属棒中电流方向由到，由到，根据左手定则，安培力方向向右，列车要向右运动； (2)刚开始通电时加速度最大，此时两金属棒并联，每根中电流为： 每根金属棒受安培力： 所以列车的加速度为： (3)列车减速时总有一边切割磁感线，设切割磁感线的平均速度为，平均感应电动势为： 平均感应电流为： 所受安培力为： 设每经过一块磁场时设列车速度变化为，列车前进时收到安培力的作用，由动量定理列车安培力的冲量等于列车动量的变化量，即有： 又由于： 解得： 若为整数，则经过块即可 若不为整数，则经过的整数部分块即可 【典型例题6】如图所示是磁动力电梯示意图，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面交替排列的匀强磁场B1和B2，B1＝B2＝1.0 T，B1和B2的方向相反，两磁场始终竖直向上做匀速运动，电梯轿厢固定在图示的金属框abcd内，并且与之绝缘．已知电梯载人时的总质量为4.95×103kg，所受阻力f＝500 N，金属框垂直轨道的边长ab＝2.0 m，两磁场的宽度均与金属框的边长ad相同，金属框整个回路的电阻R＝8.0×10－4Ω，g取10 m/s2.已知电梯正以v1＝10 m/s的速度匀速上升，求： (1)金属框中感应电流的大小及图示时刻感应电流的方向； (2)磁场向上运动速度v0的大小； ．【答案】(1)1.25×104A，电流的方向为adcb　(2)12.5 m/s 【解析】 (1)对abcd金属框由平衡条件，有而 解得 由右手定则可判断图时刻电流的方向为adcb； (2) 根据法拉第电磁感应定律得而解得． 点睛：本题是理论联系实际的问题，与磁悬浮列车模型类似，关键要注意磁场运动，线框相对于磁场向下运动，而且上下两边都切割磁感线，产生两个电动势，两个边都受安培力． 【变式训练8-1】箱式电梯目前已经在高层建筑中得到了广泛应用，为人们的生活带来了很大的便利。当然，我们也要关注箱式电梯存在的一些安全隐患。如图所示为某箱式货梯结构简图，当事故发生时，此结构可以减小事故所造成的损害。已知该货梯电梯箱长为L，宽为d，周围紧密缠绕有总电阻为R的n匝线圈（图中未画出），电梯箱空箱（含线圈，不含内部货物）总质量为M。电梯井内存在与电梯箱等宽的有界匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直线圈平面，在竖直方向上每隔距离L反向。重力加速度为g，忽略电梯箱所受空气、摩擦等阻力。则： （1）某次电梯载着质量为m的货物以速度v匀速向上运动，则外加动力装置提供的牵引功率为多大；（此时线圈未导通） （2）当电梯发生事故失去动力时，为减小事故损害，事故后电梯下落的速度不能超过u，则该电梯所能运载的物资质量不能超过多少。（事故发生时，线圈立即导通） 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）电梯匀速向上运动，则牵引力满足 则牵引力的牵引功率为 解得 （2）电梯以最大速度向下运动时，线圈切割磁感线产生电动势 则线圈内部电流为 线圈受到的安培力最大值为 为保证安全，则需满足 解得最大质量为 【变式训练8-2】如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车的底板上，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN。缓冲车的底部，安装有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L。假设缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，一切摩擦阻力不计。 (1)求线圈abcd中最大感应电动势的大小； (2)若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零（缓冲车厢未与滑块K接触），求此过程线圈abcd中通过的电荷量q和产生的焦耳热Q； (3)若缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，求此后缓冲车厢的速度v随位移x的变化规律（缓冲车厢未与滑块K接触）。 【答案】(1)nBLv0；(2)； ；(3) 【解析】 (1)缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，滑块相对磁场的速度大小为v0 ，此时线圈中产生的感应电动势最大，则 (2)由法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有，通过线圈的电荷量q=It，解得 由能量守恒定律有 (3)位移为x时线圈中通过的电荷量 由动量定理有， 解得 【变式训练8-3】光滑水平面上有一电阻为R、边长为L的正方形线框abcd，在它的右侧有两个宽度均为L、方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，磁场的理想边界I、II、III相互平行。某时刻线框以垂直于磁场边界的初速度v0进入匀强磁场，在合适的水平拉力F作用下匀速通过磁场区域，运动过程中线框的ab边的终平行于磁场边界。以磁场边界I为坐标原点，垂直于磁场边界向右为x轴正方向，如图所示。求线框通过磁场的过程中拉力F的大小随x变化的关系式。 【答案】 【解析】 在线框经过边界I的过程中，0≤x<L，对应的电路图如图甲所示。则 E1=BLv ab边所受安培力大小为 线框匀速运动，则 线框经过边界II的过程中，L≤x<2L，对应的电路图如图乙所示。则 ab、cd边所受安培力大小为 线框匀速运动，则 线框经过边界III的过程中，2L≤x<3L，对应的电路图如图丙所示。则 E4=BLv cd边所受安培力大小为 线框匀速运动，则 综合上述计算可得 【变式训练8-4】当下世界科技大国都在研发一种新技术，实现火箭回收利用，有效节约太空飞行成本，其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了4台电磁缓冲装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓火箭对地的冲击力。电磁缓冲装置的主要部件有两部分①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝矩形线圈abcd，指示灯连接在cd之间；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ和超导线圈（图中未画出），超导线圈能产生方向垂直于整个缓冲轨道平面的稳定匀强磁场。当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与火箭主体中的磁场相互作用，指示灯发光，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲。现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为v0，软着陆要求的速度为0；指示灯、线圈的ab边和cd边电阻均为R，其余电阻忽略不计；ab边长为L，火箭主体质量为m，匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。 (1)求缓冲滑块刚停止运动时，流过线圈的ab边的电流； (2)求缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体的加速度大小； (3)若火箭主体的速度大小从v0减到0的过程中，经历的时间为t，求该过程中每台电磁缓冲装置中线圈产生的焦耳热。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】 (1)ab边产生电动势，电路总电阻 解得 (2)由牛顿第二定律有 其中Fab=BIL，解得 (3)探测器速度从v0减速到0的过程中，根据动量定理可得 又 化简得 根据能量守恒定律，每个减速器得到热量 每个线圈得到的热量 【变式训练8-5】一实验小组想要探究电磁刹车的效果。在遥控小车底面安装宽为L、长为2.5L的N匝矩形线框，线框电阻为R，面积可认为与小车底面相同，其平面与水平地面平行，小车总质量为m。其俯视图如图甲所示，水平地面上的有界匀强磁场如图乙所示，小车在磁场外行驶的功率保持P不变，且在进入磁场前已达到最大速度，当车头刚要进入磁场时立即撤去牵引力，完全进入磁场时速度恰好为零。已知有界磁场PQ和MN间的距离为2.5L，磁感应强度大小为B。方向竖直向上，在行驶过程中小车受到地面阻力为f。求： （1）小车车头刚进入磁场时，线框的感应电动势E； （2）电磁刹车过程中线框产生的焦耳热Q； （3）若只改变小车功率，使小车穿出磁场边界MN时的速度恰好为零，假设小车两次与磁场作用时间相同，求小车的功率P′。 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 (1)设小车刚进入磁场时的速度为v0，此时小车的牵引力等于阻力，根据功率与速度关系可得： 产生的感应电动势为：E＝NBLv0 解得： (2)根据能量守恒定律：f·2.5L＋Q＝mv02， 联立可得：Q＝mv02－2.5fL＝－2.5fL (3)当功率为P时，设小车进入磁场时间为t，由动量定理可得：ft＋NBILt＝mv0， 而 以小车刚要进入磁场到恰好穿出磁场为研究过程，由动量定理可得： ft＋NBI′Lt＝mv0′ 而 解得: 所以: 根据功率速度关系可得： 【变式训练8-6】如图所示，条形磁场组方向水平向里，磁场边界与地面平行，磁场区域宽度为L＝0.1 m，磁场间距为2L，一正方形金属线框质量为m＝0.1 kg，边长也为L，总电阻为R＝0.02 Ω.现将金属线框置于磁场区域1上方某一高度h处自由释放，线框在经过磁场区域时bc边始终与磁场边界平行．当h＝2L时，bc边进入磁场时金属线框刚好能做匀速运动．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2. （1）求磁感应强度B的大小； （2）若h>2L，磁场不变，金属线框bc边每次出磁场时都刚好做匀速运动，求此情形中金属线框释放的高度h； （3）求在(2)情形中，金属线框经过前n个磁场区域过程中线框中产生的总焦耳热． 【答案】（1）1 T （2）0.3 m（3）0.3n J 【解析】 (1)当h=2L时，bc进入磁场时线框的速度 此时金属框刚好做匀速运动，则有： mg=BIL 又 联立解得 代入数据得： (2)当h＞2L时，bc边第一次进入磁场时金属线框的速度 即有 又已知金属框bc边每次出磁场时都刚好做匀速运动，经过的位移为L，设此时线框的速度为v′，则有 解得： 根据题意可知，为保证金属框bc边每次出磁场时都刚好做匀速运动，则应有 即有 (3)设金属线框在每次经过一个条形磁场过程中产生的热量为Q0，则根据能量守恒有： 代入解得： 则经过前n个磁场区域时线框上产生的总的焦耳热Q=nQ0=0.3nJ． 【变式训练8-7】某兴趣小组设计制作了一种磁悬浮列车模型，原理如图所示，PQ和MN是固定在水平地面上的两根足够长的平直导轨，导轨间分布着竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场和，二者方向相反．矩形金属框固定在实验车底部（车厢与金属框绝缘）．其中ad边宽度与磁场间隔相等，当磁场和同时以速度沿导轨向右匀速运动时，金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动．已知金属框垂直导轨的ab边长m、总电阻，列车与线框的总质量，T，悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力N． （1）求实验车所能达到的最大速率； （2）实验车达到的最大速率后,某时刻让磁场立即停止运动,实验车运动20s之后也停止运动，求实验车在这20s内的通过的距离； （3）假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动，当时间为时，发现实验车正在向右做匀加速直线运动，此时实验车的速度为，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间． 【答案】．(1)；(2)120m；(3)2s 【解析】 （1）实验车最大速率为时相对磁场的切割速率为， 则此时线框所受的磁场力大小为 此时线框所受的磁场力与阻力平衡，得：   （2）磁场停止运动后，线圈中的电动势： 线圈中的电流： 实验车所受的安培力： 根据动量定理，实验车停止运动的过程： 整理得： 而 解得： （3）根据题意分析可得，为实现实验车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为， 则t时刻金属线圈中的电动势   金属框中感应电流   又因为安培力 所以对试验车，由牛顿第二定律得  得  设从磁场运动到实验车起动需要时间为，则时刻金属线圈中的电动势 金属框中感应电流 又因为安培力 对实验车，由牛顿第二定律得： 即 得： 【变式训练8-8】如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点．如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆．运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R．其他电阻忽略不计，重力加速度为g． (1)如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面成θ=30°时，运输车恰好能无动力地匀速下滑．求运输车与导轨间的动摩擦因数μ； (2)在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力． ①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平向下的匀强磁场中，如图(d)．求刚接通电源时运输车的加速度的大小；（电源内阻不计，不考虑电磁感应现象） ②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反．求运输车以速度v0从如图(e)通过距离2D后的速度v． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 (1)分析运输车的受力，将运输车的重力分解，如图a所示： 设轨道对运输车的支持力为N1、N2，如图b所示： 由几何关系， 又， 运输车匀速运动mgsinθ=f1+f2 解得: (2)①运输车到站时，电路图如图（c）所示： 则 由闭合电路的欧姆定律又， 导体棒所受的安培力：； 运输车的加速度 解得： ②运输车进站时，电路如图d所示： 当车速为v时，由法拉第电磁感应定律：； 由闭合电路的欧姆定律 导体棒所受的安培力：； 运输车所受的合力： 选取一小段时间∆t，运输车速度的变化量为∆v，由动量定律： 即： 两边求和： 解得： 【变式训练8-9】如图所示，质量为m、边长为l的单匝正方形导线框aba′b′套在横截面为正方形但边长略小于l的N磁极上，其aa′边和bb′边处于磁极的夹缝间，磁极的夹缝间存在水平方向的磁感应强度大小为B的匀强磁场(可认为其他区域无磁场)，导线框由电阻率为ρ、横截面积为S的金属丝制成。导线框由静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平。磁场区域在竖直方向足够长，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)求导线框下落的最大速度vm； (2)求导线框下落的加速度大小为0.5g时，导线框的发热功率P； (3)若导线框从被释放至达到最大速度(vm)的过程中，下落的高度为h，求导线框在下落2h的过程中产生的焦耳热Q. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 （1）设导线框下落的速度为v时，导线框中产生的感应电动势为E，感应电流为I，导线框受到的竖直向上的安培力大小为F，有：E=2Blv； 其中： F=2BIl解得 可见，F随速度v增大而增大，当F等于导线框受到的重力时，达到最大速度vm， 则： 解得 （2）设当导线框下落的加速度为0.5g时，导线框中的电流为I1，此时导线框受到的安培力为F1，由牛顿第二定律： 其中F1=2BI1l 导线框的发热功率：P=I12R解得 （3）导线框的速度达到最大速度vm后将以速度vm做匀速直线运动，在导线框下落2h过程中，由能量守恒： 解得： 【变式训练8-10】涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图甲所示的车和轨道模型来模拟磁悬浮列车的涡流制动过程，模型车的车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为，宽的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为、方向竖直向下；将长大于，宽也为的单匝矩形线圈，等间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为，每个线圈的电阻为，导线粗细忽略不计。在某次实验中，当模型车的速度为时，启动电磁铁系统开始制动，电磁铁系统刚好滑过了个完整的线圈。已知模型车的总质量为，空气阻力不计，不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁的影响。求： （1）刹车过程中，线圈中产生的总热量； （2）电磁铁系统刚进入第（）个线圈时，模型车的加速度的大小； （3）某同学受到上述装置的启发，设计了进一步提高制动效果的方案如图乙所示，将电磁铁换成个相同的永磁铁并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反；且将线圈改为连续铺放，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘，若永磁铁激发的磁感应强度大小恒定为，模型车质量为，模型车开始减速的初速度为，试计算该方案中模型车的制动距离。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 （1）根据能量守恒定律 （2）设电磁铁系统刚进入第k个线圈时，速度为v 根据动量定理 根据法拉第电磁感应定律，有 根据闭合电路欧姆定律 根据法拉第电磁感应定律 根据闭合电路欧姆定律 线圈所受安培力为 根据牛顿第三定律，电磁铁系统所受力大小也为 根据牛顿第二定律 则 （3）当模型车的速度为时，每个线圈中产生的感应电动势为 每个线圈中的感应电流为 每个磁铁受到的阻力为 个磁铁受到的阻力为 由第（2）问同理可得 解得 【变式训练8-11】如图所示，足够长的斜面与水平面的夹角为，空间中自上而下依次分布着垂直斜面向下的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、……、n，相邻两个磁场的间距均为．一边长、质量、电阻的正方形导线框放在斜面的顶端，导线框的下边距离磁场Ⅰ的上边界为，导线框与斜面间的动摩擦因数.将导线框由静止释放，导线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动．已知重力加速度， ， ，求： （1）导线框进入磁场Ⅰ时的速度； （2）磁场Ⅰ的磁感应强度； （3）磁场区域n的磁感应强度与的函数关系． 【答案】(1)2 m/s　(2)5 T　(3) 【解析】 (1)线框从静止开始运动至刚进入磁场Ⅰ时，以线框为研究对象，由动能定理： (mgsin θ－μmgcos θ)·d0＝mv12－0 v1＝2 m/s (2)线框在磁场Ⅰ中做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律： E1＝B1Lv1 F1＝B1I1L mgsin θ－μmgcos θ－F1＝0 B1＝5 T (3)线框在相邻两个磁场之间加速的距离均为(d－L)＝d0，线框由静止开始运动至刚进入第n个磁场时，由动能定理：n(mgsin θ－μmgcos θ)·d0＝mvn2－0 又由上可得线框在第一个磁场Ⅰ中受到的安培力 线框在第n个磁场受到的安培力： 线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动，受到的安培力均相等：Fn＝F1 得: 【变式训练8-12】某种超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力．其推进原理可以简化为如图所示的模型：在水平面上相距b的两根平行直导轨间，有竖直方向等距离分布的方向相反的匀强磁场和，且，每个磁场分布区间的长都是a，相间排列，所有这些磁场都以速度向右匀速平动．这时跨在两导轨间的长为a宽为b的金属框MNQP（悬浮在导轨正上方）在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为R，运动中所受到的阻力恒为f，求： （1）列车在运动过程中金属框产生的最大电流； （2）列车能达到的最大速度； （3）在（2）情况下每秒钟磁场提供的总能量． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 （1）列车起动时金属框产生的电流最大，设为， 电动势为：E=2Bbv 则最大电流为：； （2）分析列车受力可得列车运动的加速度：，当列车速度增大时，安培力F变小，加速度变小，当时，列车速度达到最大，有： 即 ， 解得：； （3）由能的转化和守恒，磁场提供的能量一部分转化为电路中的电能进一步转变为回路的焦耳热，另一部分克服阻力f做功，单位时间内的焦耳热为：最大速度匀速运动时，磁场力等于阻力：， 可得阻力做功的功率为： ， 解得：． 【变式训练8-13】磁悬浮列车的运动原理如图所示，在水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有与导轨垂直且方向相反的匀强磁场B1和B2，B1和B2相互间隔，导轨上有金属框abcd．当磁场B1和B2同时以恒定速度沿导轨向右匀速运动时，金属框也会沿导轨向右运动．已知两导轨间距L1="0." 4 m，两种磁场的宽度均为L2，L2=ab，B1＝B2=B=1.0T．金属框的质量m="0.1" kg，电阻R=2.0Ω．设金属框受到的阻力与其速度成正比，即f=kv，比例系数k="0." 08 kg/s．求： （1）若金属框达到某一速度时，磁场停止运动，此后某时刻金属框的加速度大小为a=6.0m/s2，则此时金属框的速度v1多大？ （2）若磁场的运动速度始终为v0=5m/s，在线框加速的过程中，某时刻线框速度v′=2m/s，求此时线框的加速度a′的大小 （3）若磁场的运动速度始终为v0=5m/s，求金属框的最大速度v2为多大？此时装置消耗的功率为多大？ 【答案】（1）；（2）；（3），． 【解析】 试题分析：（1）磁场不动在安培力和阻力的作用下，金属框做减速运动．金属框的左右两边在方向相反的磁场中，产生的感应电动势方向相同． 感应电动势 感应电流 左右两边受到的安培力都为 根据牛顿第二定律 得此时金属框的速度 （2）根据楞次定律可知金属框与磁场同向运动，感应电动势 感应电流 左右两边受到的安培力都为 根据牛顿第二定律 解得此时金属框的加速度 （3）当金属框有最大速度时做匀速运动，所受合外力为零， 左右两边受到的安培力都为 最大速度 装置消耗的功率分克服阻力做功的功率和电功率两部分 克服阻力做功的功率 电功率 此时装置消耗的功率 考点：电磁感应现象的综合应用 【变式训练8-14】涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式，某研究所用制成的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程．如图所示，模型车的车厢下端安装有电磁铁系统，电磁铁系统能在其下方的水平轨道（间距为L1）中的长为L1、宽为L2的矩形区域内产生匀强磁场，该磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．将长大于L1、宽为L2的单匝矩形线圈等间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2．每个线圈的电阻为R，导线粗细忽略不计．在某次实验中，启动电磁系统开始制动后，电磁铁系统刚好完整滑过了n个线圈．已知模型车的总质量为m，空气阻力不计．求： (1)在电磁铁系统的磁场全部进入任意一个线圈的过程中,通过线圈的电荷量q； (2)在刹车过程中，线圈所产生的总电热Q； (3)电磁铁系统刚进入第k（k < n）个线圈时，线圈中的电功率P． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 (1)在电磁铁系统滑进线框正上方的过程中， 线框中的平均感应电动势 平均电流 流过线框的电荷量 (2)电磁铁系统在线框上方任一时刻以速度v运动时，均有一个L1边在磁场中切割磁感线运动，电磁铁会受该线框作用的阻力，大小等于线框所受的安培力F 则： 磁铁系统减速运动的瞬时加速度 经过极短的时间，速度减小，运动的位移，则： 所以 即有：，其中为开始刹车时的初速度 由能量守恒知，线框所产生的总电热 解得： (3)电磁铁刚穿出第(k-1)个磁场区域时，速度为，则： 得： 线框的电功率 解得： 【变式训练8-15】磁悬浮列车的制动方式有两种：电制动和机械制动，电制动是利用电磁阻尼的原理，机械制动是利用制压在轨道上产生摩擦阻力进行制动。对下面模型的研究有利于理解磁悬浮的制动方式。如图甲所示，有一节质量为m=50t的磁悬浮列车，车厢底部前端安装着一个匝数为N=50匝，边长为L=2m的正方形线圈，总电阻为R=64Ω，线圈可借助于控制模块来进行闭合或断开状态的转换。两平行轨道间距也L=2m，在ABCD刹车区域内铺设着励磁线圈，产生的磁场如图乙所示，每个单元为一边长为L的正方形，其间磁场可视为B=2T的匀强磁场。现列车以v0=360km/h速度进站，当线圈全部进入刹车区时，调节控制模块使列车底部线圈闭合，采用电制动的方式。当列车速度减为v1时，调节控制模块使列车底部线圈断开，转为机械制动的方式，所受阻力为车厢重力的0.05倍，机械制动20s，列车前部刚好到达CD处速度减为0，不计列车正常行驶时所受的阻力。求 （1）列车底部线圈全部进入刹车区域时的加速度； （2）列车刹车过程中产生的焦耳热； （3）列车刹车过程的总位移。 【答案】（1）5m/s2；（2）；（3）1900m 【解析】 （1）线圈进入磁场时，线圈切割磁感线，产生的电动势为 回路中电流为 因此线圈受到的安培力为 因此列车的加速度为 （2）机械制动过程 减速时的加速度 因此机械制动时的初速度为 由能量守恒得，列车刹车过程中才产生的焦耳热 （3）电制动过程：设时间内，线圈在安培力作用下速度从v变为，由动量定理得 即 因此有 机械制动过程的位移为 因此刹车的总位移为 题型09：电磁感应中线框进出磁场的综合问题 【典型例题1】如图甲，电阻R=0.2Ω的直角梯形金属框abcde放在绝缘水平地面上，ab、bc、cd、de的长度均为L=0.4m；边长L=0.4m的正方形区域MNHK内存在垂直地面向下B=0.5T的匀强磁场。金属框沿地面以恒定速度v=1.0m/s向右穿过磁场，从cd边刚进入磁场(t=0)到a离开磁场的时间内，e、d、N、H始终在一条直线上。 (1)求cd边刚进入磁场时通过金属框的电流强度； (2)通过分析和计算，在图乙中画出通过金属框的电流强度随时间变化的i-t图象(设逆时针方向为正方向)。 【答案】(1)1A；(2) 【解析】 （1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律，由 联立代入数据得 （2）金属框穿过磁场，分三个阶段，第一阶段：cd边从进入磁场到离开磁场（设从0到t1）；第二阶段：be从进入磁场到离开磁场（设从t1到t2）；第三阶段：a从进入磁场到离开磁场（设从t2到t3）。每个阶段的经历的时间均为 依题意，第一阶段，经历时间为0.4s 得 第二阶段，经历时间为0.4s 得 第二阶段，经历时间为0.4s 得 图像如图 【典型例题2】如图所示，空间分布着磁感应强度B=0.5T的水平方向匀强磁场，磁场区域的水平宽度d=0.4m，正方形线框PQMN的边长L= 0.4m，质量m=0.2 kg，电阻R=0.1Ω。静止在光滑绝缘水平板上“I”位置。现用一水平向右的恒力F=0.8N。从静止开始拉线框，当PQ边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，到达“II”位置时MN边刚好出磁场。求： （1）进入磁场时线框中感应电流I的大小和方向； （2）进入进场时线框的速度大小v和进入磁场前线框移动的距离x； （3）从“I”位置到“II”位置的过程中线框产生的焦耳热Q。 【答案】（1）4A，逆时针方向；（2）2m/s，0.5m；（3）0.64J 【解析】 （1）线框做匀速运动，安培力与拉力平衡即 BIL=F 代入数据解得I=4A 由右手定则可知进入磁场时电流方向为逆时针方向。 （2）由闭合电路欧姆定律得 根据法拉第电磁感应定律得 解得v=2m/s 没进磁场前，由牛顿第二定律得线框加速度为 由运动学公式得v2=2ax 解得x=0.5m （3）由功能关系可得Q=2FL解得Q=0.64J 【变式训练9-1】如图甲所示，一正方形单匝线框abcd 放在光滑绝缘水平面上，线框边长为、质量为、电阻为。该处空间存在一方向竖直向下的匀强磁场，其右边界 MN 平行于 ab，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，0~ 时间内随时间均匀变化，时间 后保持不变。求： （1）若线框保持静止，则在时间内产生的焦耳热； （2）若线框从时刻起，在一水平拉力作用下由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，经过时间线框cd边刚要离开边界MN。则在此过程中拉力做的功； （3）在（2）的情况下，线框在离开磁场的过程中，仍以加速度做匀加速直线运动，试求线框在离开磁场的过程中，水平拉力随时间变化的关系式。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）由于0~ 时间内磁感应强度随时间均匀变化， 所以线框内将产生恒定电动势和恒定电流，即 所以在时间内产生的焦耳热 （2）整个线框所受的安培力为零，所以线框的位移为 则在此过程中拉力做的功 （3）线框在离开磁场的过程中，ab边将受到安培力的作用；线框cd边刚要离开边界MN时开始计时，设线框的速度为，则有 线框ab边受到的安培力为 根据牛顿第二定律得 解得 【变式训练9-2】如图甲所示，在光滑绝缘水平面内有一长方形金属线框，ab边长为，线框质量、电阻，空间存在一有界匀强磁场，磁场的左边界如虚线所示，虚线右侧足够大区域存在磁场，磁场方向竖直向下。线框在水平向右的外力F作用下，以初速度匀加速进入磁场，外力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示。以线框右边刚进入磁场时开始计时，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； (3)若线框进入磁场过程中F做功为，求在此过程中线框产生的焦耳热Q。 【答案】(1)0.5T；(2)0.75C；(3)0.12J 【解析】 (1)由乙图可以看出，线框进入磁场后不受安培力，所以合力F１=0.2N，则线框的加速度为 t=0时刻，F0=0.3N，由 联立可得 (2)线框进入磁场过程中所用时间t=0.5s，有 则 由 联立可得 (3)由动能定理可得 【变式训练9-3】如图所示，水平虚线、之间是匀强磁场，磁场方向水平向里，磁场高度为。竖直平面内有一等腰梯形线框，线框的质量为，底边水平，其上下边长之比为，高为。现使线框边在磁场边界的上方高处由静止自由下落，当边刚进入磁场时加速度恰好为0，在边刚要进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，重力加速度为，求： (1)边刚进入磁场时的速度的大小； (2)在边刚要进入磁场前，线框做匀速运动的速度的大小； (3)从线框开始下落到边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】 (1)对线框自由下落过程，由得 (2)设边长为，线框电阻为，则边刚进入碰场时有 ，， 分析可知，当边出磁场而边未进磁场过程中线框可再次匀速运动且有效切割长度为 对线框再次匀速时有 解得 (3)从线框开始下落到边刚进磁场过程中由能量守恒有 解得 【变式训练9-4】如图所示，在光滑绝緣的水平面上，有一个用均匀导线围成的等边三角形线框abc，其边长为L，总电阻为R。边界MN的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。线框保持以恒定速度v0向右进入磁场，其中ab边总保持与MN平行。在线框进入磁场的过程中。求： （1）线框ab边刚进入磁场时a、b两点的电势差； （2）线框中产生的电动势E随时间变化的关系式（自ab边刚进入磁场时计时）； （3）在线框进入磁场的过程中，通过导线截面的总电量。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 (1) 线框ab边刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=BLv0，根据右手定则可知a端为高电势，根据闭合电路欧姆定律可得a、b两点的电势差为： (2) 线框在t时刻进入磁场的长度为：x=v0t 此时有效切割长度为： 线框产生的感应电动势为： (3) 线框进入磁场过程中，平均感应电动势为： 平均感应电流为： 根据电荷量的计算公式可得： 【变式训练9-5】如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，边长均为边长为。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，边离磁场上边界的距离为，线框由静止释放，从边进入磁场直到边进入磁场前，线框做匀速运动。在边离开磁场后，边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且边保持水平，重力加速度为。求： (1)线框边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是边刚进入磁场时的几倍； (2)若磁场上下边界间的距离，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少。 【答案】(1)4；(2)mg(H-13l) 【解析】 (1)bc边刚进入时，有 线框匀速运动，有 联立可得 边将离开磁场 线框匀速运动，有 联立可得 综上所述 即线框边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是边刚进入磁场时的4倍。 (2)bc边进入磁场前，根据动能定理，有 穿过磁场过程中能量守恒，有 联立可得 线框完全穿过磁场过程中产生的热量为mg(H-13l)。 【变式训练9-6】电磁滑道成为未来运动的一种设想，我们可以通过控制磁场强弱，实现对滑动速度的控制。为了方便研究，做出以下假设：如图甲所示，足够长的光滑斜面与水平面成θ角，虚线EF上方的整个区域存在如图乙规律变化且垂直导轨平面的匀强磁场，t=0时刻磁场方向垂直斜面向上（图中未画出）磁感应强度在0～t1时间内均匀变化，磁感应强度最大值为B0，t1时刻后稳定为-B0。0～t1时间内，单匝正方形闭合金属框ABCD在外力作用下静止在斜面上，金属框CD边与虚线EF的距离为d。t1时刻撤去外力，金属框将沿斜面下滑，金属框上边AB刚离开虚线EF时的速度为v1，已知金属框质量为m、边长为d，每条边电阻为R。求： （1）CD边刚过虚线EF时，AB两点间的电势差； （2）从t=0时刻到AB边经过虚线EF的过程中金属框产生的焦耳热； （3）从撤去外力到AB边经过虚线EF的总时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）CD边运动到EF的过程中由动能定理可知 AB边作为电源，AB两端的电压 解得 （2）从t=0时刻到AB边运动到EF的过程中，热量分为两部分 设t1时刻之后的过程中安培力做的功W，根据动能定理 由功能关系可知W=Q2 （3）AB边运动到EF的过程中分为两段， 第一段CD边运动到EF的过程，设运动时间为t2，由运动学公式可知 解得 第二阶段CD经过EF直至AB与EF重合，由动量定理可知 解得 1.如图所示， A、B是面积、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场区域，只是A区域比B区域离地面高，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处同时由静止开始释放顺利穿过磁场，两线圈下落时始终保持线圈平面与磁场垂直，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两线圈穿过磁场的过程中产生的热量相等 B．两线圈穿过磁场的过程中通过线圈横截面的电荷量不相等 C．两线圈落地时乙的速度较大 D．甲线圈运动时间较长，乙线圈先落地 【答案】D 【解析】A．由法拉第电磁感应定律，欧姆定律及安培力公式有，， 可得 由于乙进入磁场时的速度较大，则安培力较大，克服安培力做的功较多，即产生的焦耳热较多，故A错误； B．由电流定义式结合法拉第电磁感应定律有 可知通过线圈横截面的电荷量相等，故B错误； C．由于甲、乙减少的重力势能相同，甲穿过磁场的过程中产生的热量较少，由能量守恒定律可知，甲落地时速度较大，故C错误； D．线圈穿过磁场区域时受到的安培力为变力，设受到的平均安培力为，穿过磁场时间为，下落全过程时间为t，落地时的速度为v，则全过程由动量定理得 而， 所以 可见，下落过程中两线圈所受安培力的冲量相等，又因为甲落地的速度大于乙落地的速度，说明甲重力作用的时间更长，所以 即乙运动时间较短，先落地，故D正确。 故选D。 2.国产电动汽车采用电磁式动力回收装置，可将部分动能转化为电能并储存。如图所示为该装置的简化模型，“日”字形的金属线框放在光滑的水平面上，各边长均为l，ab、cd、ef边电阻均为R，其余部分电阻可忽略不计。线框以速度v进入宽度为l的匀强磁场，最终恰好穿出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，边界与ab边平行，则线框（　　） A．刚进磁场时，a端电势高于b端电势 B．刚进磁场时，a、b两点间电势差为 C．质量 D．穿越磁场过程中ab边产生的热量 【答案】C 【解析】A．由右手定则可知，线框刚进入磁场时b端电势高，且其等效电路为： 可知，a端电势低于b端，且，故AB均错误； C．由动量定理知，， 解得，故C正确； D．ab棒发热分两个阶段： （1）ab棒在磁场中运动，由动量定理，有， 解得 过程中产生的热量 （2）ab棒在磁场外运动过程中产生的热量 所以，故D错误。 故选C。 3.如图所示，有两个质量分别为和的正方形单匝导线框a、b，电阻均为，边长均为；它们分别系在一跨过两个轻质定滑轮的绝缘轻绳两端，在两导线框之间有一方向垂直纸面向里、宽度为2l的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。开始时，线框b的上边框与匀强磁场的下边界重合，线框a的下边框到匀强磁场的上边界的距离为l。现将系统由静止释放，线框a恰好匀速穿越磁场区域。不计滑轮摩擦和空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．线框a穿出磁场区域时的电流大小为0.3A B．线框b进入磁场过程中产生的热量等于线框a机械能的减少量 C．线框a穿越磁场区域时的速度大小为0.6m/s D．线框a进入磁场过程中安培力的冲量大于线框b进入磁场过程中安培力的冲量 【答案】C 【解析】A．设绳子的拉力为F，线框a匀速穿过磁场区域，则有 其中， 代入数据解得 A错误； B．根据能量守恒定律可知，线框b进入磁场过程中产生的热量等于线框a机械能的减少量减去线框b机械能的增加量，B错误； C．线框a匀速运动时，二者速度大小相等，则有 由欧姆定律可得 解得 C正确； D．安培力的冲量 结合 整理可得 由于两线框的电阻、长度均相同，故线框a进入磁场过程中安培力的冲量等于线框b进入磁场过程中安培力的冲量，D错误。 故选C。 4.如图，倾角为的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，其方向一个垂直于斜面向上，一个垂直于斜面向下，它们的宽度均为L，一个质量为m、边长也为L的正方形线框以速度v进入上部磁场恰好做匀速运动，ab边在下部磁场运动过程中再次出现匀速运动，重力加速度为g，则（　　） A．在ab进入上部磁场过程中的电流方向为abcba B．当ab边刚越过边界ff′时，线框的加速度为gsin C．当ab边进入下部磁场再次做匀速运动时，速度为 D．从ab边进入磁场到ab边进入下部磁场再次做匀速运动的过程中，减少的动能小于线框中产生的焦耳热 【答案】C 【解析】A．根据楞次定律可知，在进入上部磁场过程中的电流方向为adcba，A错误； B．当线圈在上半部分磁场中匀速运动时，有当ab边刚越过边界ff′时，由于线圈的ab边和cd边产生同方向电动势，则回路的电动势加倍，感应电流加倍，每个边受到的安培力加倍，则此时 4F安-mgsinθ=ma解得线框的加速度为a=3gsinθ， B错误； C．当ab边进入下部磁场再次做匀速运动时，有解得，C正确； D．由能量关系可知，从ab边进入磁场到ab边进入下部磁场再次做匀速运动的过程中，减少的动能与重力势能之和等于线框中产生的焦耳热，D错误。故选C。 5.如图所示，光滑绝缘水平台面上有两平行虚线，其间距为3L，两虚线间存在竖直向上的匀强磁场。一边长为L的单匝正方形导线框abcd，在磁场左侧平台上向右匀速运动，t＝0时刻导线框ab边进入磁场，t1时刻cd边进入磁场，t2时刻ab边离开磁场，t3时刻cd边离开磁场。已知导线框运动过程中ab边始终与虚线平行。下列说法正确的是（　　） A．导线框进入磁场和离开磁场的过程中，线圈内电流方向相同 B．0～t1时间内，导线框中的电流恒定 C．0～t1与t2～t3时间内，通过导线框的电荷量相等 D．0～t1与t2～t3时间内，导线框速度的变化量可能不相同 【答案】C 【解析】解：A、导线框进入磁场时，穿过线框的磁通量增大；离开磁场时，磁通量减小。依据楞次定律，这两种情形下线框内的感应电流方向相反，故A错误； B、在0～t1时段内，ab边切割磁感线，由右手定则判定感应电流方向从a流向b，再根据左手定则可知ab边所受安培力水平向左，线框做减速运动。线框产生的感应电动势逐渐减小，感应电流也随之减小，故B错误； C、在0～t1与t2～t3两段时间内，穿过线框的磁通量变化量相等，根据，可知通过线框横截面的电荷量相同，故C正确； D、在0～t1与t2～t3两段时间内，对线框分析，取向右为正方向，由动量定理得。因为电荷量q相等，所以速度变化量Δv也相等，故D错误。 故选：C。 6.（多选）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L的正方形单匝线圈abcd，在轨道间存在两个宽度均为L的匀强磁场，边界1、2间磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界2、3间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车（包含线圈）的质量为m，运动过程中列车关闭动力，当线圈的ab边运动到磁场边界1时的速度为，ab边穿过磁场边界2后，再向右运动速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，下列说法正确的是（　　） A．线圈ab边经过边界2时的速度大小为 B．线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度大小之比为4∶1 C．线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为 D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为 【答案】CD 【解析】A．设线圈ab边经过边界2时的速度大小为，则线圈ab边在边界1到边界2运动过程中，根据动量定理 其中 线圈ab边由边界2到停止过程，根据动量定理 其中 联立，解得，故A错误； B．线圈ab边刚进入磁场时，安培力为 ab边刚通过边界2时，安培力为 则线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的安培力之比为 根据牛顿第二定律可知，线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度之比为，故B错误； C．根据能量守恒可知，线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为，故C正确； D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，即线圈ab边由边界2到停止过程，因为 且 则，故D正确。 故选CD。 7.（多选）如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线的右侧存在磁感应强度的匀强磁场，的左侧有一质量的矩形线圈，边长，线圈电阻。时，用一恒定拉力拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间，线圈的边到达磁场边界，此时立即将拉力改为变力，又经过，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流随时间变化的图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　） A．恒定拉力大小为 B．线圈在第内的加速度大小为 C．线圈边长 D．在第内流过线圈的电荷量为 【答案】BD 【解析】A．由图乙知，在第1s末，线圈中感应电流，由 得 根据， 得，故A错误； B．由图像可知线圈做匀加速直线运动，在时，线圈的速度为，线圈在第2s的加速度 代入数据解得，故B正确； C．线圈的边长为 代入数据解得，故C错误； D．在第2s内流过线圈的电量为 代入数据解得，故D正确； 故选BD。 8.（多选）火箭的回收利用可有效削减航天发射成本，电磁缓冲是火箭回收的关键技术，电磁缓冲装置的结构如图。匝数为n、总电阻为R、边长为l的正方形闭合线圈abcd固定在火箭主体下部，主体外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，主体底端到缓冲槽底端的距离为H，且H＜l。槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为B的匀强磁场。某时刻主体（含线圈）以速度v0进入缓冲槽，缓冲槽保持静止于地面，此后主体（含线圈）在磁场内减速向下运动直至线圈的ab边落至缓冲槽底端时恰好静止。已知主体（含线圈）总质量为m，重力加速度为g，不计其他阻力。则（　　） A．缓冲槽刚静止时线圈中感应电流的大小为 B．缓冲槽刚静止时主体受到的安培力大小为 C．线圈相对缓冲槽下落高度h时速度减至，此过程所用时间为 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热Q为 【答案】AD 【解析】解：AB．线圈刚进入缓冲槽时速度为v0，此时产生的感应电动势为E＝nBlv0，根据闭合电路欧姆定律，线圈中感应电流的大小为，线圈受到的安培力大小为，故A正确，B错误。 C．设线圈在缓冲槽中下落过程某时刻速度为v，感应电流为I，经Δt，速度变化Δv，取向下为正方向，由动量定理有（mg﹣nBlI）Δt＝mΔv，对过程求和得；又通过线圈的电荷量，解得时间，故C错误。 9.（多选）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上建立一个直角坐标系，在坐标系的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直桌面向下、向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为1.0T，磁场边界线的方程为y=0.5sin2πx（m）（0≤x≤1.0m）。在水平桌面上静置一个长1m、宽0.5m的矩形单匝导线框abcd，其电阻R=1Ω，ab、dc边与x轴平行，在拉力F的作用下，线框从图示位置开始沿x轴正方向以大小为1m/s的速度匀速穿过整个磁场区域，下列说法正确的是（　　） A．bc边到达x=0.25m时，线框中的感应电流最大 B．拉力F的最大功率为1W C．整个过程中拉力F所做的功为 D．整个过程中线框产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】AB．线框匀速切割磁感线，当bc边到达x=0.75m时，前后两边都切割磁感线，产生的感应电动势最大，感应电流最大，为此时线框受到的安培力最大，由于线框匀速运动，所以拉力最大，拉力的功率最大，根据平衡条件有则拉力功率的最大值 故A错误，B正确； CD．线框穿过磁场区域的过程中，形成三段以正弦规律变化的感应电流，如图所示（规定逆时针方向为正） 三段感应电流的峰值分别为0.5A、1A、0.5A，三段感应电流的持续时间均为0.5s，整个过程产生的焦耳热 由于线圈匀速运动，根据功能关系，可得拉力F做的功等于整个过程中线框产生的焦耳热为J，故C错误，D正确。故选BD。 10.（多选）两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为，通过长为的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A. 与无关，与成反比 B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变 C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等 D. 调节、和，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变 【答案】ACD 【解析】本题考查电磁感应，能量守恒定律，主要考查灵活运用知识分析解决问题的能力..组合体做平抛运动，进入匀强磁场区域后水平方向切割磁感线的两段导体产生的感应电动势抵消，竖直方向切割磁感线产生感应电动势和感应电流，受到安培力作用，使其匀速通过磁场。由平抛运动规律，竖直方向速度v⊥=，产生的感应电动势E=BL v⊥=BL，由闭合电路欧姆定律，感应电流I=E/R=，所受安培力F=BIL=，匀速运动，F=mg，即=mg，B与v0无关，与H成反比，选项A正确。通过磁场的过程中，金属框中电流大小不变，方向改变，选项B错误；由于组合体匀速通过磁场，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等，选项C正确；只要组合体匀速通过磁场，由能量守恒定律，可知减少的重力势能等于产生的热量，选项D正确。 【名师点评】在电磁感应现象中，损失的机械能等于产生的焦耳热。 11.（多选）如图所示，光滑水平面上分布着垂直于水平面向下的平行边界匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，磁场Ⅱ的磁感应强度大小未知，磁场宽度均为，磁场Ⅰ和磁场Ⅱ的相近边界距离为。距磁场Ⅰ左边界处有一边长为、电阻为、质量为的单匝金属线框abcd，受到恒力的作用从静止开始运动，线框穿过磁场Ⅰ、Ⅱ过程中均匀速。不计一切摩擦阻力，运动过程中bc边始终平行于磁场边界，下列说法正确的是（　　） A．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为 B．线框穿过磁场Ⅰ产生的焦耳热与线框穿过磁场Ⅱ产生的焦耳热相等，都为 C．线框完全经过磁场Ⅰ、Ⅱ产生的总焦耳热为 D．线框从开始运动到bc边与磁场Ⅰ右边界重合时，通过线框横截面的电荷量为 【答案】BCD 【解析】A．线框从静止开始至bc边到达磁场Ⅰ左边界过程，有 得 线框ad边到达磁场Ⅰ右边界至bc边到达磁场Ⅱ左边界过程，有 得 因为线框匀速进入磁场Ⅰ、Ⅱ，所以， 得 故A错误； B．根据功能关系，可知线框穿过磁场Ⅰ产生的焦耳热与线框穿过磁场Ⅱ产生的焦耳热相等，都为 故B正确； C．线框完全经过磁场Ⅰ、Ⅱ产生的总焦耳热为 故C正确； D．线框从开始运动到bc边与磁场Ⅰ右边界重合时，通过线框横截面的电荷量为 故D正确。 故选BCD。 12.某兴趣小组设计了一种电磁阻尼装置，其简化模型如图所示。光滑水平面上方存在一宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小B＝0.5T，方向竖直向下。一轻弹簧右端固定，左端恰好位于磁场右边界。一上面固定着单匝矩形线框的小车以初速度v0＝4m/s向右运动，穿过磁场，并压缩弹簧。已知线框ad边足够长，ab边宽度也为L＝1m，线框右端与小车右端平齐，小车（含线框）总质量m＝0.5kg，线框电阻R＝0.5Ω。求： （1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度； （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值； （3）若仅将线框匝数增至n＝3，线框总电阻变为3R，其他条件不变，忽略线框匝数引起的小车总质量的变化，小车最终能否静止？若能，确定其静止位置；若不能，求其最终速度大小。 【答案】（1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为4m/s2。 （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值为2.25J。 （3）能静止，最终静止位置为ab边位于磁场右边界左侧处。 【解析】解：（1）线框刚进入磁场左边界时，其速度为v0＝4m/s，产生的感应电动势为E＝BLv0。 根据闭合电路欧姆定律，回路中的感应电流为，线框所受安培力大小为FA＝BIL。 依据牛顿第二定律FA＝ma，联立以上各式，解得小车的加速度大小为，代入数据可得a＝4m/s2。 （2）小车向右运动，当ab边穿过整个磁场区域时，规定向右为正方向，对小车应用动量定理有， 其中通过线框截面的电荷量为，联立可得，代入数据解得ab边刚出磁场右边界时小车的速度v1＝3m/s。 此后小车继续向右运动并压缩弹簧，由于线框ad边足够长，在此过程中ab边处于磁场右边界外侧， 而cd边尚未进入磁场左边界，穿过线框的磁通量保持不变（始终为Φ＝BL2），因此线框中无感应电流，不受安培力。 小车压缩弹簧的过程中仅有弹力做功，机械能守恒。当小车速度减为零时，弹簧的弹性势能达到最大，根据能量守恒定律有，代入数据解得弹性势能的最大值Epm＝2.25J。 （3）若仅将线框匝数增至n＝3，则线框总电阻为R总＝3R，解得R总＝1.5Ω。 在ab边第一次向右穿过磁场区域的过程中，对小车应用动量定理有， 其中电荷量为，联立可得，代入数据解得ab边刚出磁场右边界时小车的速度v2＝1m/s。 同理，小车压缩弹簧的过程机械能守恒，反弹后ab边再次回到磁场右边界时速度大小为v3＝1m/s，方向向左。 ab边向左进入磁场后，再次受到向右的安培力做减速运动，设小车向左最多能滑行的距离为x。 对向左滑行的过程应用动量定理，有，其中电荷量为。联立推导可得，代入数据解得。 由于L＝1m，说明小车在向左完全穿出磁场前速度已经减为零。此后线框不再产生感应电流，也不再受安培力，弹簧已恢复原长，故小车最终能够静止。 其最终静止位置为：ab边位于磁场右边界左侧处（或距离磁场左边界处）。 答：（1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为4m/s2。 （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值为2.25J。 （3）能静止，最终静止位置为ab边位于磁场右边界左侧处。 13.如图所示，足够长的光滑斜面与水平面的夹角为θ，虚线MN与斜面底端平行，虚线右侧有磁感应强度大小为B、方向垂直斜面向上的匀强磁场；在虚线MN的左侧有一结构为三个相同的正方形的金属框，正方形的边长为l，其中ab、cd、ef、gh都与虚线MN平行且电阻均为r，金属框的其他电阻不计，金属框的质量为m，初始ab边刚好在虚线MN处且金属框有一沿斜面向下的速度v0，当金属框刚好全部进入磁场时的速度为v，已知重力加速度为g，求： （1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小； （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量以及通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比； （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间。 【答案】（1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小为。 （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比为3：1：1：3。 （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间为。 【解析】解：（1）ab边刚进入磁场时，仅ab边切割磁感线产生感应电动势E1＝Blv0，此时ab边相当于电源，cd、ef、gh三条边并联构成外电路，等效外电阻。 根据闭合电路欧姆定律，流过ab边的电流大小，联立解得。 （2）将金属框进入磁场的全过程分为三段（每段位移均为l）。设各段时间间隔为Δt，对应产生的平均感应电动势，即。 规定沿斜面向上为感应电动势与电流的正方向。根据并联电路规律，三段过程中导轨间的平均电压分别为、、。 根据电荷量公式，逐段累加可得各边的净电荷量： ab边（全程切割）：； cd边（后两段切割）：； ef边（最后一段切割）：； gh边（全程不切割）：。 故通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量大小之比为3：1：1：3。 （3）在金属框进入磁场的全过程中，取运动方向为正方向，对金属框沿斜面方向应用动量定理，有mgsinθ•t﹣I安＝m（v﹣v0）。 其中安培力的总冲量I安为三段过程安培力冲量之和。根据： 第一段仅ab边受安培力，冲量； 第二段ab、cd边受安培力，冲量； 第三段ab、cd、ef边受安培力，冲量。 全过程安培力总冲量。 将I安代入动量定理方程，得，联立解得所经历的时间。 答：（1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小为。 （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比为3：1：1：3。 （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间为。 14.如图所示，光滑绝缘的水平面上有垂直水平面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度、两磁场区域之间的距离均为，磁场方向如图所示。边长为的正方形导线框位于水平面上，且边与磁场边界平行。某时刻线框以的初速度水平向右运动，穿过匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ。已知线框的质量为，电阻为，匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小均为。求： (1)线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，边所受安培力的大小 (2)线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小 (3)线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，产生的感应电动势大小为 由闭合电路欧姆定律得回路中感应电流的大小为 此时，边所受安培力的大小为 联立解得 （2）设线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小为。线框边刚进入区域Ⅰ到边刚离开区域Ⅰ的过程中，对线框由动量定理得 由法拉第电磁感应定律得其中 由闭合电路欧姆定律得 同理，线框边刚进入区域Ⅰ到边刚离开区域Ⅰ的过程中有，， 联立解得 （3）用和（2）中相同的方法计算可得线框离开磁场区域Ⅱ的速度大小为 由能量守恒定律得线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量为 解得 15.如图所示为某兴趣小组做电磁驱动和电磁阻尼实验的示意图。分界线PQ将水平面分成左右两部分，左侧平面粗糙，右侧平面光滑。左侧的驱动磁场为方向垂直平面、等间隔交替分布的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，每个磁场宽度均为L；右侧较远处的阻尼磁场为宽度也为L、方向垂直平面的匀强磁场。两个完全相同的正方形金属线框abcd和efgh的边长也均为L，质量均为m，线框abcd的ab边无电阻，其余各边电阻均为R，线框efgh的gh边无电阻，其余各边电阻均为R。线框abcd与分界线PQ左侧的动摩擦因数为。现使驱动磁场以稳定速度向右运动，线框abcd由静止开始运动，经过一段时间后线框做匀速运动，当ab边匀速运动到分界线时立即撤去驱动磁场，接着线框abcd继续运动完全越过分界线后，再与静止线框efgh发生正碰，碰后ab边和gh边粘在一起，组成“”型线框后向右运动进入阻尼磁场。设整个过程中线框的ab边和ef边始终与分界线平行，ab边和gh边碰后接触良好。不计两金属框形变，重力加速度为g。 (1)求线框abcd刚开始运动时加速度的大小； (2)求线框abcd在驱动磁场中匀速运动时的速度大小； (3)若线框abcd完全越过分界线的速度为v，要使“”型线框整体不穿出阻尼磁场，求阻尼磁场的磁感应强度的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）线框刚开始运动时速度为零，根据法拉第电磁感应定律有 根据欧姆定律有 设线框刚开始运动时的加速度，根据牛顿第二定律有 解得 （2）线框匀速运动时，安培力和摩擦力平衡，即 设线框速度为，回路电动势为 根据闭合电路欧姆定律得 安培力为 联立解得 （3）两线框碰撞，根据动量守恒定律得 当边进入阻尼磁场时，回路电阻为，设ab边和gh边粘在一起刚进入磁场时线框速度为，根据微元累加得 当边和边粘在一起后在磁场中运动过程中，回路电阻为，设组合体刚出磁场时线框速度为，根据微元累加得 当cd边在磁场中运动时，回路电阻为，临界条件为cd刚离开磁场时线框速度为0，根据微元累加得 联立解得阻尼磁场磁感应强度的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 电磁感应——线框模型 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：线框穿越磁场的动力学问题 6 题型02：线框穿越磁场的能量问题 9 题型03：线框穿越磁场过程的动量问题 14 题型04：线框穿越磁场的电路问题 18 题型05：线框穿越磁场过程的图像问题 25 题型06：线框只在安培力作用下线框穿越磁场题型 45 题型07：线框在外力和安培力作用下线框穿越磁场题型 48 题型08：电磁感应中线框穿越交变磁场类问题 53 题型09：电磁感应中线框进出磁场的综合问题 64 巩固提升 68 1.考查形式：选择题、实验变式、计算题都可出，大题常作为次压轴；和单杆、双杆并列电磁感应三大核心模型。 2.主流题型 ①矩形线框匀速/加速穿过有界匀强磁场（进磁场、在磁场中、出磁场三个阶段） ②线框从高处下落穿过磁场（自由下落、有弹簧、有外力） ③线框绕轴转动（交变电流来源，和转动切割区分开） ④变式：不等宽磁场、斜磁场、线框电阻分布不均、线框部分边有电阻 3.高频考点：感应电流方向、安培力、运动分析、v-t图像、焦耳热、电荷量、进出磁场时间、临界速度。 4.命题陷阱：容易忽略“完全在磁场内时磁通量不变，无感应电流、不受安培力”；混淆进、出磁场的位移；忽略重力、摩擦力等外力。 5.核心特点：分阶段分析是线框模型的灵魂。 1.能把线框穿磁场拆成：进磁场、磁场内部、出磁场三阶段，判断有没有感应电流 2.会用法拉第电磁感应定律、楞次定律判断E、I、安培力方向大小 3.结合牛顿第二定律，分析线框运动：匀速、减速、加速、收尾速度 4.会求电荷量；能量守恒求焦耳热 5.会识别v-t图像、F-t、I-t图像 6.能处理下落类线框（重力+安培力）的收尾临界问题 知识点一：电磁感应中的动力学问题 1.两种状态及处理方法 1. 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析 2.电磁感应中的动力学临界问题的分析思路 (1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。 (2)基本思路是：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力―→合外力变化加速度变化―→速度变化―→临界状态―→列式求解。 知识点二：电磁感应中的能量问题 1.电磁感应过程中的能量转化 2.求解焦耳热Q的三种方法 焦耳定律 Q＝I2Rt，电流、电阻都不变时适用 功能关系 Q＝W克服安培力，任意情况都适用 能量转化 Q＝ΔE其他能的减少量，任意情况都适用 知识点三：电磁感应中的电路问题 1.电磁感应中电路知识的关系图 2.分析电磁感应电路问题的基本思路 3.电磁感应中电路问题的基本规律 (1)对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。 (2)对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体棒或磁通量发生变化的线圈；除电源外其余部分是外电路。在外电路中，电流从高电势处流向低电势处，在内电路中，电流则从低电势处流向高电势处。 (3)对路端电压的理解：“电源”两端的电压为路端电压，不是电源的感应电动势。 知识点四：动量定理在电磁感应中的应用 在导体切割磁感线做变加速运动时，若牛顿运动定律和能量观点不能解决问题，可运用动量定理巧妙解决问题。 求解的物理量 应用示例 电荷量或速度 －BlΔt＝mv2－mv1，q＝Δt 位移 －BLΔt＝＝mv2－mv1 即＝m(v2－v1) 时间 －BlΔt＋F其他Δt＝mv2－mv1 即－Blq＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q、F其他(F其他为恒力) －＋F其他Δt＝mv2－mv1 即－＋F其他Δt＝mv2－mv1 已知位移x、F其他(F其他为恒力) 知识点五：线框穿越磁场 示意图 在安培力作用下穿越磁场（磁场宽度足够大） 在恒力F（包括重力mg）和安培力作用下穿越磁场（磁场宽度足够大） 动力学观点 以进入磁场时为例，设运动过程中某时刻的速度为v，加速度大小为a，则a＝，a与v方向相反，导线框做减速运动，v↓⇒a↓，即导线框做加速度减小的减速运动，最终匀速运动（全部进入磁场）或静止（导线框离开磁场过程的分析相同） 以进入磁场的过程为例，设运动过程中某时刻导线框的速度为v，加速度为a＝－。 （1）若进入磁场时＝，则导线框匀速运动； （2）若进入磁场时＞，则导线框做加速度减小的加速运动（直至匀速）； （3）若进入磁场时＜，则导线框做加速度减小的减速运动（直至匀速）（导线框离开磁场过程的分析相同） 能量观点 部分（或全部）动能转化为焦耳热：Q＝－ΔEk 力F做的功等于导线框的动能变化量与回路中产生的焦耳热之和：WF＝ΔEk＋Q 动量观点 动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量和除安培力之外恒力作用的时间： （1）求电荷量或速度：＝mv2－mv1，q＝； （2）求位移：＝mv末－mv0，即＝mv末－mv0； （3）求时间：①＋F其他·Δt＝mv2－mv1， 即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1 已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间； ②＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即＋F其他·Δt＝mv2－mv1 若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间 一：解题策略（标准四步） 步骤1：划分阶段，判断有没有感应电流 步骤2：写出核心公式 步骤3：按需选择规律 步骤4：区分两类典型主线 ① 匀速穿磁场：外力/重力和安培力时刻平衡，进、出过程速度不变，热量好算 ② 无外力下落穿磁场：减速/加速趋近收尾速度；进磁场结束速度不一定等于出磁场初速度 二：高频易错点 1. 线框全部在磁场中：没有感应电流，不受安培力（最高频坑） 2. 进磁场和出磁场，ΔΦ大小一样，所以进、出过程电荷量相等；但热量不一定相等（速度变了） 3. 安培力方向：总是阻碍相对运动，进向上、出也向上（竖直下落模型） 4. 线框绕轴转动属于交变电流模型，不属于“平移穿过磁场”的线框平移模型，不要混在一起 5. 磁场宽度小于线框边长：阶段会变，不再是三段 三：速记背诵版 线框穿磁场分三段：进有、中无、出有； 安培力正比速度，阻碍进出； 求q用磁变，求热用能量； 变力过程想动量定理，匀速直接受力平衡。 题型01：线框穿越磁场的动力学问题 【典型例题1】（多选）M和N两水平线间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场高度为h，竖直平面内有质量为m、电阻为R的直角梯形线框，上下底水平且底边之比为5：1，梯形高为2h。该线框从AB到磁场上边界的距离为h的位置由静止下落，下落过程底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直。已知AB刚进入磁场时和AB刚穿出磁场时线框加速度为零，在整个运动过程中，说法正确的是（    ） A．AB边匀速穿过磁场 B．从AB边刚穿出到CD边刚要进入磁场的过程中，线框做匀速运动 C．CD边刚进入磁场时，线框的加速度为，方向竖直向上 D．从线框开始下落到AB边刚穿出磁场的过程中，线框产生的焦耳热和重力做功之比31：16 【典型例题2】（多选）如图所示，在光滑斜面上固定有一质量为m、电阻为R、边长为l的正方形单匝线框abcd。线框右下方存在垂直于斜面向上的磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场宽度为L，且。现释放线框，使线框从图示位置由静止开始沿斜面向下运动，ab边始终与磁场边界平行。已知ab边在经过磁场上、下边界时的瞬时速度相同，重力加速度为g，斜面与水平方向的夹角为，则下列说法正确的是（　　） A．ab边经过磁场下边界时速度大小大于 B．线框释放时ab边距离磁场上边界的距离大于 C．线框穿过磁场产生的热量为 D．线框通过磁场的最小速度为 【典型例题3】如图所示，质量为m，边长为l，阻值为R且均匀分布的正方形金属框，位于光滑的水平面上。金属框的ab边与磁场左边界平行，运动方向与磁场左边界垂直。图甲和图乙中的磁场为匀强磁场，大小为B，方向垂直水平面向下。图丙中沿x正方向存在按B＝B0＋kx均匀增大的稳恒磁场（k是单位为T/m的已知常量，x为坐标值）。 （1）如图甲，给金属框一初速度v0，则金属框刚进磁场时，求ab边所受的安培力的大小； （2）如图乙，给金属框一变力F，使金属框从图示位置由静止开始做匀加速直线运动。在进入磁场的过程中，力F随时间的变化率为定值k。求金属框的加速度大小； （3）如图丙，给金属框一初速度v0，使金属框从图示位置开始向右运动，求停止运动时cd边的坐标值。 【变式训练1-1】（多选）如图甲所示，边长l的正方形金属线圈abcd随水平传送带一起以恒定速度v0运动，边界PQ与MN垂直传送带，其间存在竖直方向的匀强磁场。线圈在图示位置开始计时，直到ab边刚离开磁场，其速度与时间的关系如图乙所示，且在传送带上始终保持ab、cd边平行于磁场边界，重力加速度为g。则（　　） A．t1～t2时间内线圈所受安培力大于摩擦力 B．t1～t2和t2～t3时间内线圈所受摩擦力方向相反 C．边界PQ与MN的距离为 D．线圈与传送带间的动摩擦因数为 【变式训练1-2】（多选）如图所示，竖直平面（纸面）两水平线间存在宽度为d的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一质量为m、边长也为d的正方形线圈从磁场上方某处自由落下，时刻线圈的下边进入磁场，时刻线圈的上边进入磁场，时刻线圈上边离开磁场。已知线圈平面在下落过程中始终与磁场方向垂直，且线圈上、下边始终与磁场边界平行，不计空气阻力，则线圈下落过程中的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】如图1所示，在光滑绝缘的水平面内建立xOy坐标系，空间中0＜x＜5L的范围内存在竖直向下的磁场，任一时刻磁感应强度分布与y无关，随x按B＝kx的规律变化，k随时间的变化如图2所示，其中k0＝2 T/m，t0＝0.5 s。水平面上有一边长L＝1 m、质量m＝2 kg、总电阻R＝0.5 Ω的匀质正方形刚性导线框abcd，0～t0内锁定在图1所示的位置，t0时刻解除锁定，同时对线框施加向右的水平恒力F0＝4 N，使之开始沿x轴正方向运动，已知当ab边到达x＝3L时，线框开始做匀速运动。在线框ab边越过磁场右边界后瞬间，改施加变力，使之后线框在离开磁场的过程中其电流保持不变。线框在全过程中始终处于xOy平面内，其ab边与y轴始终保持平行，空气阻力不计。求： （1）0～t0内线框中电流I的大小及方向； （2）线框在磁场中匀速运动的速度大小v； （3）线框在匀速运动过程中，ab两端的电势差Uab随ab边的x坐标变化的关系式； （4）线框在穿出磁场的过程中产生的焦耳热Q。 题型02：线框穿越磁场的能量问题 【典型例题1】在光滑绝缘水平面上有如图所示两部分的磁场区域I和Ⅱ（俯视），分别存在着垂直纸面向内和垂直纸面向外的宽度均为L的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。边长为L的正方形单匝金属线框在水平向右的拉力F的作用下（图中未画出）以初速v0进入，且能保持全过程匀速穿过磁场区域，已知线框的电阻为R，则下列说法正确的是（　　） A．线框从整体处于I区到整体处于Ⅱ区的过程中穿过线框的磁通量变化量大小是0 B．全过程中线框受到水平拉力的最大值 C．全过程中线框产生的焦耳热 D．若线框无拉力F的作用恰好能穿过磁场区域，则分析可得 【典型例题2】（多选）如图所示，水平虚线、之间存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场区域的高度为h。竖直平面内有一质量为m的直角梯形线框，其底边水平，上、下边长之比为1：4，高为线框ABCD在磁场边界的下方h处，受到竖直向上的拉力作用，从静止开始运动（上升过程中底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直），当AB边刚进入磁场时，线框的加速度恰好为零，且在DC边刚进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动。重力加速度为g，下列正确的是（　　） A．AB边刚进入磁场时，线框的速度为 B． AB边刚进入磁场时，线框中感应电流的瞬时电功率为 C．DC边刚进入磁场时，线框加速度的大小为 D．从线框开始运动到DC边刚进入磁场的过程中，线框产生的焦耳热为 【典型例题3】（多选）如图所示，在竖直平面内有宽度为L的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，各磁场边界平行且在水平面内，三个区域内匀强磁场磁感应强度的大小均为B，匀强磁场Ⅰ、Ⅲ的磁感应强度的方向垂直于纸面向外，匀强磁场Ⅱ的磁感应强度的方向垂直于纸面向里，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ之间的距离为L，匀强磁场Ⅱ、Ⅲ依次相邻。一质量为m、边长为L的正方形单匝闭合导线框从匀强磁场Ⅰ上方某一位置静止释放，当导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界时恰好做匀速直线运动，速度大小为，此时回路中的电流为，在导线框下边达到匀强磁场Ⅲ的下边界前已经开始做匀速直线运动，速度大小为，此时回路中的电流为，已知从导线框下边到达匀强磁场Ⅰ上边界运动到导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界所用的时间为。在运动过程中导线框始终在竖直平面内且上下两边与各磁场边界始终平行，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．导线框中的电流之比 B．导线框运动的速度大小 C．导线框的电阻R为 D．从导线框下边到达匀强磁场Ⅱ上边界至导线框下边到达匀强磁场Ⅲ下边界过程中导线框中产生的热量为 【典型例题4】（多选）如图所示，在匀强磁场的上方有一质量为m、半径为R的细导线做成的圆环，圆环的圆心与匀强磁场的上边界的距离为h。将圆环由静止释放，圆环刚进入磁场的瞬间和完全进入磁场的瞬间，速度均为v。已知匀强磁场的磁感应强度为B，导体圆环的电阻为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．圆环刚进入磁场的瞬间，速度 B．圆环进入磁场的过程中，电阻产生的热量为2mgR C．圆环进入磁场的过程中，通过导体横截面的电荷量为 D．圆环进入磁场的过程做的是匀速直线运动 【变式训练2-1】如图，光滑斜面的倾角为θ，斜面上放置一矩形导体线框abcd，ab边的边长为l1，bc边的边长为l2，线框的质量为m，电阻为R，线框通过细棉线绕过光滑的滑轮与重物相连，重物质量为M，斜面上ef线（ef平行底边）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间是做匀速运动的，且线框的边始终平行底边，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场前运动的加速度为 B．线框进入磁场时匀速运动的速度为 C．线框做匀速运动的总时间为 D．该匀速运动过程产生的焦耳热为 【变式训练2-2】（多选) 如图所示，两水平虚线间存在垂直于纸面方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为h的正方形导体框由虚线1上方无初速度释放，在释放瞬间边与虚线1平行且相距。已知导体框的质量为m，总电阻为，重力加速度为边与两虚线重合时的速度大小均为，忽略空气阻力，导体框在运动过程中不会发生转动，则（　　） A．两虚线的距离为 B．导体框在穿越磁场的过程中，产生的焦耳热为 C．导体框的边与虚线1重合时，其克服安培力做功的功率大小为 D．导体框从边与虚线1重合到边与虚线1重合时所用的时间为 【变式训练2-3】（多选) 如图所示，一水平方向的匀强磁场，磁场区域的高度为h，磁感应强度为B。质量为m、电阻为R、粗细均匀的矩形线圈，ab＝L，bc＝h，该线圈从cd边离磁场上边界高度H＝处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，设cd边始终保持水平，则(　　) A．cd边刚进入磁场时速度大小v＝ B．cd边刚进入磁场时其两端电压Ucd＝ C．线圈穿过磁场的时间t＝ D．线圈穿过磁场过程中，回路中产生的热量Q＝2mgh 【变式训练2-4】（多选) 如图甲所示，质量为粗细均匀总电阻为R，边长为d的正方形金属框abcd由静止开始下落（计时开始），经过一段时间进入磁感应强度大小为的有界匀强磁场，磁场水平向里与金属框面（纸面）垂直，沿水平方向的上下边界1、2之间的距离为L；金属框的动量p与运动时间t的关系图像如图乙所示，当ab边离开边界2时，金属框已运动的时间为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．金属框在进入磁场之前运动的时间为1s B．金属框的电阻 C．整个运动过程中生成的热量为20J D．整个运动过程中安培力的冲量大小为4N·s 【变式训练2-5】（多选) 如图所示，两水平虚线1、2之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边长为h的正方形导体框由虚线1上方无初速释放，释放瞬间ab边与虚线平行且与虚线1的间距为h，导体框的质量为m、总电阻为r，重力加速度为g。已知cd边与两虚线重合时的速度大小均为，忽略空气阻力，导体框在整个下落过程中不会发生转动。则下列说法正确的是（　　） A．导体框的ab边与虚线1重合时，克服安培力做功的功率大小为 B．两虚线之间的距离为 C．导体框在穿过磁场的过程中，产生的焦耳热为3mgh D．导体框从ab边与虚线1重合到cd边与虚线1重合所用的时间为 【变式训练2-6】（多选) 如图，质量为m=1kg的物块A和质量为M=2kg的正方形导线框C用轻绳跨过两个等高的光滑定滑轮相连，C正下方两虚线区域内有两个有界匀强磁场I和II，两磁场磁感应强度相等。线框边长与磁场宽度及磁场与磁场间距离都为d=0.6m，导体框总电阻为r=5。用手竖直向下拉住A，使C与磁场距离为d=0.6m，整个系统保持静止。放手后，线框向下运动，并可以匀速进入磁场I。g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场I的速度为2m/s B．磁场的磁感应强度为 C．磁场的磁感应强度为 D．线框穿越I、II两个磁场产生的焦耳热为24J 题型03：线框穿越磁场过程的动量问题 【典型例题1】如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a(a<L)的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v<v0)，那么线圈(　　) A.完全进入磁场中时的速度大于 B.完全进入磁场中时的速度等于 C.完全进入磁场中时的速度小于 D.以上情况均有可能 【典型例题2】（多选）如图所示，光滑绝缘的水平面上存在一系列竖直向下宽度均为d的相同的匀强磁场，相邻两磁场的间距为d。一匝数n=20，边长为d的正方形金属线圈（dc边与磁场边界平行）以初速度v0从第一个磁场的左边界垂直进入磁场，结果线圈恰好能穿过完整的磁场的个数N=5。下列说法正确的是（　　） A. 线圈每经过一个磁场的动量变化量相等 B. 线圈每经过一个磁场的发热量相等 C. 线圈刚好离开第一个磁场的速度为 D. 增加线圈的匝数（增加的线圈材料、粗细与原来的相同），线圈仍以原来的速度进入磁场，穿过完整的磁场的个数仍为5 【变式训练3-1】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框在进和出磁场的两过程中动量变化量不相等 B．线框在进和出磁场的两过程中产生的焦耳热相等 C．线框在进和出磁场的两过程中安培力的冲量不相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【变式训练3-2】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【变式训练3-3】磁悬浮列车是一种现代轨道交通工具，如图为磁悬浮列车利用电磁阻尼减速进站的简化图。两条平行光滑绝缘导轨水平放置，间距为，导轨间有若干垂直于轨道平面、方向交替分布的匀强磁场，磁感应强度均为，每个磁场宽度均为，忽略磁场边缘效应。质量为、边长为的正方形金属框以初速度沿导轨进入匀强磁场，在磁场中通过的位移后速度减为零。已知金属框的电阻为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】（多选）如图所示，在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界匀强磁场。磁场区域的左侧，一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水平向右运动，线框经过位置Ⅱ，当运动到位置Ⅲ时速度恰为零，此时线框刚好有一半离开磁场区域。线框的边长小于磁场区域的宽度。若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量分别为q1、q2，线框经过位置Ⅱ时的速度为v。则下列说法正确的是(　　) A.q1＝q2 B.q1＝2q2 C.v＝1.0 m/s D.v＝1.5 m/s 【变式训练3-5】（多选）如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽L，高h，大小均为B。电梯后方固定一个N匝矩形线圈，线圈总电阻为R，高度为H，H＝3h，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为m，忽略一切阻力，重力加速度为g。若电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落，某时刻电梯下降3H时，速度为v，则(　　) A．下降3H时，线圈的电动势为E＝NBLv B．下落瞬间电梯加速度的大小为g C．若电梯与地面的距离足够高，电梯最终的速度为vm＝ D．下降3H过程所需要的时间为＋ 【变式训练3-6】如图所示，空间存在一有水平边界的条形匀强磁场区域（边界有磁场），磁感应强度为B，磁场方向与竖直平面垂直（垂直纸面向里），边界间距为L。一边长也为L、电阻为R、质量为m的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终水平。时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合（图中位置Ⅰ），导线框的初速度为竖直向上，当线框的下边恰好与磁场的上边界重合（图中位置Ⅱ）时导线框的速度刚好为零。然后线框又回到初始位置Ⅰ，此时线框的速度大小为v竖直向下。设重力加速度为g。求： （1）线框从位置Ⅰ开始向上运动时线框中感应电流的方向（用“顺时针方向”或“逆时针方向”表示），以及此时线框的加速度大小； （2）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）产生的焦耳热； （3）线框运动全过程（从位置Ⅰ开始又回到位置Ⅰ）的时间。    【变式训练3-7】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 【变式训练3-8】一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。 （1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。 （2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1 = 2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。 【变式训练3-9】如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。 （1）判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量； （2）求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向； （3）若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动） 题型04：线框穿越磁场的电路问题 【典型例题1】如图所示，单匝矩形线圈ABCD在外力作用下向右匀速进入匀强磁场，则线圈进入磁场的过程中（　　） A．线圈中产生逆时针方向的感应电流 B．AB边产生的焦耳热比BC边多 C．AB边通过的电荷量比BC边少 D．A、B间的电压比B、C间的大 【典型例题2】用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框、以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　) A．Ua＜Ub＜Uc＜Ud B．Ua＜Ub＜Ud＜Uc C．Ua＝Ub＝Uc＝Ud D．Ub＜Ua＜Ud＜Uc 【典型例题3】如图所示，用一根漆包线绕成一个匝数为n匝，边长为L的正方形导线框abcd，形成一个闭合回路，导线框的总电阻为R，放在绝缘的光滑水平桌面上。现将导线框以垂直于边框ad的速度v，向左匀速拉入一边界与边框ad平行的有界匀强磁场区域，磁场方向垂直桌面向下，磁感应强度为B，磁场宽度大于L。在导线框拉入磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框中感应电流的方向为顺时针方向 B．导线框中产生的感应电动势大小为BLv C．导线框所受安培力的大小为 D．整个过程中，通过导线框的电荷量为 【典型例题4】（多选）如图所示，光滑水平桌面被虚线分成左右两部分，右侧处于竖直向下的匀强磁场中。由相同材料制成的导线绕成边长相同的M、N两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，N的匝数是M的n倍。M、N分别在水平恒力F1、F2的作用下以相同速度垂直磁场边界匀速进入该磁场区域，下列说法正确的是（　　） A. 线圈M、N的电阻之比为1∶n B. 水平外力F1与F2的比值为1∶1 C. 通过线圈M、N某横截面的电荷之比为1∶1 D. 线圈M、N产生的焦耳热之比为1∶1 【典型例题5】（多选）如图所示，正方形导体线框放置在光滑绝缘斜面上，线框用平行斜面的细线系于点，斜面倾角为。线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化关系为，方向垂直于斜面向上，下列说法正确的是（　　） A．线框中的感应电流方向为 B．线框中的感应电流方向为 C．经过一段时间，线框可能沿斜面向上运动 D．安培力对线框做功的绝对值等于线框中产生的焦耳热 【典型例题6】（多选）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v水平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长为，每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空气阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为 B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为 C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热 D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能 【变式训练4-1】如图所示，边长为L的正方形单匝导线框abcd放在纸面内，在ad边左侧有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框的总电阻为R。现使导线框绕a点在纸面内沿顺时针方向匀速转动，经时间Δt第一次转到图中虚线位置。则在Δt内通过导线框横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【变式训练4-2】如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长为l，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁场方向垂直纸面向里，且线框中磁场面积为线框面积的一半，磁感应强度变化规律为，已知重力加速度为g，则（　　） A．线框保持静止时，线框中的电流为顺时针方向 B．从时刻至线框开始运动，线框中的感应电动势大小为 C．线框开始运动的时刻为 D．从时刻至线框开始运动这段时间，线框产生的热量为 【变式训练4-3】如图所示，正方形线圈MOO′N处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与水平面的夹角为30°，线圈的边长为L，电阻为R，匝数为n。线圈从竖直面绕OO′顺时针转至水平面的过程中，通过导线横截面的电荷量为(　　) A. B. C. D. 【变式训练4-4】如图所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面内的正方形导体框abcd，现将导体框分别朝两个方向以v、3v的速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的过程中(　　) A.导体框中产生的感应电流方向相反 B.导体框ad边两端电势差大小之比为1∶3 C.导体框中产生的焦耳热之比为1∶3 D.通过导体框截面的电荷量之比为1∶3 【变式训练4-5】如图所示，单匝矩形线圈ABCD在外力作用下向右匀速进入匀强磁场，则线圈进入磁场的过程中（　　） A．线圈中产生逆时针方向的感应电流 B．AB边产生的焦耳热比BC边多 C．AB边通过的电荷量比BC边少 D．A、B间的电压比B、C间的大 【变式训练4-6】如图6所示为有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.5 T，两边界间距s＝0.1 m，一边长L＝0.2 m的正方形线框abcd由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R＝0.4 Ω，现使线框以v＝2 m/s的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过程中线框a、b两点间的电势差Uab随时间t变化的图线是(　　) 【变式训练4-7】（多选）如图所示，在MN右侧区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一高为a、总电阻为R的正三角形金属线框平行纸面向右匀速运动。在t＝0时刻，线框底边恰好到达MN处；在t＝T时刻，线框恰好完全进入磁场。在线框匀速进入磁场的过程中(　　) A.线框中的感应电流方向为逆时针方向 B.t＝时刻，流过线框的电流大小为 C.若线框运动的速度越大，全过程线框产生的焦耳热越多 D.若线框运动的速度越大，全过程通过线框的电荷量越多 【变式训练4-8】（多选）如图所示，空间等距分布垂直纸面向里的匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度大小，每一条形磁场区域宽度及相邻条形磁场区域间距均为。现有一个边长、质量、电阻的单匝正方形线框，以的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场，以下说法正确的是（　　） A．线框进入第一个磁场区域过程中，通过线框的电荷量 B．线框刚进入第一个磁场区域时，安培力大小为 C．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热 D．线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中能穿过2个完整磁场区域 【变式训练4-9】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是 甲 乙 A.甲和乙都加速运动 B.甲和乙都减速运动 C.甲加速运动，乙减速运动 D.甲减速运动，乙加速运动 【变式训练4-10】（多选）如图，两匀强磁场磁感应强度分别为B和2B，一半径为R，单位长度电阻为r的圆线圈开始时处于左侧磁场中，且与两侧磁场界线相切。现线圈以切点为轴，在纸面内以角速度ω顺时针方向匀速转动90°。则（　　） A．感应电流的方向为逆时针方向 B．转30°时线圈中感应电动势的值为 C．线圈所受安培力的最大值为 D．匀速转动90°过程中通过线圈的电量为 题型05：线框穿越磁场过程的图像问题　 【典型例题1】如图所示，一个边长为的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，其左侧有一个用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度匀速通过整个匀强磁场区域，设电流顺时针方向为正。则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【典型例题2】如图所示，一个直角边长为的等腰直角三角形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个边长也为的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直，三角形的高与导线框的一条边垂直，的延长线平分导线框。在时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列关于感应电流的强度随时间变化关系的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】如图所示，两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度的大小分别为、，磁场方向分别为垂直纸面向外、向里，两磁场边界均与轴垂直且宽度均为，在轴方向足够长。现有一边长为的正方形导线框，从图示位置开始，在外力的作用下沿轴正方向匀速穿过磁场区域，在运动过程中，对角线始终与轴平行。线框中感应电动势的大小为、线框所受安培力的大小为。下列关于、随线框向右匀速运动距离的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】在智能物流园区的磁悬浮运输系统中，轨道上设有两个相邻的特殊磁场区域用于货物识别与定位，原理简化如图，在光滑水平面上建立轴，在轴上存在两个相邻的磁场区域：在（）区域内存在磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里匀强磁场；在（）区域内存在磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小随线性变化，即满足（为常数，）；一个边长为、质量为、电阻为的正方形金属线框，以初速度从处开始向右匀速直线运动，线框的边始终与轴垂直，且线框平面始终与磁场方向垂直。忽略线框的自感效应。在穿过磁场的过程中，以初始位置为起点，规定逆时针方向时的电流和电动势方向为正，则以下关于线框中的感应电流、杆的电势差、杆的电势差、线框中感应电动势的四个图像描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题5】如图所示，在两平行虚线间的区域内存在着匀强磁场，闭合直角三角形线圈的边与磁场的边界虚线平行，而且边的长度恰好和两平行虚线之间的宽度相等。当线圈以速度匀速向右穿过该区域时，下列四个图像中的哪一个可以定性地表示线圈中感应电流随时间变化的规律（　　） A． B． C． D． 【典型例题6】如图所示，在y轴与直线之间区域有垂直纸面向外的匀强磁场，在直线与直线之间区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。现有一直径为L的圆形导线框，从图示位置开始，在外力F（未画出）的作用下沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。线框中感应电流（逆时针方向为正方向）与导线框移动的位移x的变化关系图像中正确的（　　） A． B． C． D． 【典型例题7】如图所示，两个宽度均为L的匀强磁场垂直于光滑水平桌面，磁感应强度大小相等，方向相反，高为L、上底和下底长度分别为L和2L的等腰梯形金属线框水平放置，现使其匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边，从图示位置开始x＝0，以逆时针方向为电流的正方向。 (1)画出下列三图所示时刻感应电流的方向。 (2)下列四幅图中能够反映线框中电流I随金属框向右移动距离x关系的是　　　　。 【典型例题8】如图所示，半径为的半圆形闭合金属线框可绕圆心在纸面内逆时针匀速转动，过点的边界上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。初始时线框直径与虚线边界垂直。已知线框的电阻为，线框匀速转动的角速度为，从图示位置开始计时，以顺时针为感应电流的正方向，下列关于线圈中的感应电流随时间的变化关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题9】（多选）水平桌面上放置一个形状如图所示的均匀导体框，匝数为1匝，其各短边长度相等，均为l，长边长度是短边的3倍，总电阻为R。桌面上有两个方向垂直于桌面并列的匀强磁场区域，边界平行、宽度均为l，磁感应强度大小均为B，左边磁场方向垂直于纸面向里，右边磁场方向垂直于纸面向外，其俯视图如图所示。规定电流顺时针为正方向，安培力水平向左为正方向，导体框刚进入磁场区域开始计时。当导体框以速度v匀速通过磁场区域时，感应电流i与时间t的关系及导体框所受的安培力F与时间t的图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图所示，在边长为的正三角形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，一边长为的菱形单匝金属线框的底边与在同一直线上，菱形线框的。使线框沿平行于方向匀速穿过磁场区域。以边刚进磁场时为零时刻，规定导线框中感应电流沿顺时针方向时为正，则感应电流与时间的关系图线可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】一个匀强磁场的边界是MN，MN左侧无磁场，右侧是范围足够大的匀强磁场区域，如图甲所示。现有一个金属线框沿ab方向以恒定速度从MN左侧垂直进入匀强磁场区域，线框中的电流随时间变化的I－t图像如图乙所示，则线框的可能形状是下列选项图中的（　　） A．B．C． D． 【变式训练5-3】如图所示，空间有一个边长为2L的等边三角形匀强磁场区域，现有一个底边长为L的直角三角形金属线框，电阻为R，高度与磁场区域相等，金属线框以速度v匀速穿过磁场区域的过程中，规定逆时针方向的电流为正，则下列关于线框中感应电流i随位移x变化的图线正确的是（开始时线框右端点与磁场区域左端点重合）（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-4】在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，一导线框abcdef位于纸面内，线框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图。从t＝0时刻开始线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中电流的正方向。用i表示回路的电流，＝t，则以下i－t示意图中正确的是(　　) 【变式训练5-5】如图所示，有界匀强磁场的宽度为，方向垂直纸面向里，边长为的等边三角形线圈位于纸面内。时刻，边与磁场边界垂直且点在磁场边界上。当线圈沿垂直于磁场边界的方向以速度匀速穿过磁场时，线圈中的感应电流随时间变化的图像可能是（　　）（取逆时针方向为感应电流的正方向） A． B． C． D． 【变式训练5-6】如图所示，在区域Ⅰ、Ⅱ中分别有磁感应强度大小相等、垂直纸面但方向相反、宽度均为的匀强磁场区域。高为的正三角形线框efg从图示位置沿轴正方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，下列图像中能正确描述线框efg中感应电流与线框移动距离关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-7】两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图（a）所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t=0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图（b）所示（感应电流为顺时针方向时，感应电动势取正），下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度的方向垂直于纸面向里 B．磁感应强度的大小为0.5T C．导线框运动的速度大小为0.5m/s D．在t=0.4s至t=0.6s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1N 【变式训练5-8】如图所示，两个有界匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L。距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直。现用水平外力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点。规定：电流沿逆时针方向时电动势E为正，磁感线垂直纸面向里时磁通量为正，水平外力F向右为正。则下列关于线框中的感应电动势E、所受外力F、消耗的电功率P和通过线框的磁通量随时间变化的图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-9】有边长为a的正方形均匀铜线框abcd，在铜线框的右侧有一边界为等腰直角三角形区域，该区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，两直角边的边长也为a，且磁场的下边界与线框的ad边处于同一水平面上，现线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场左边界的方向穿过磁场区域，如右图所示。设ab刚进入磁场为t＝0时刻，则在线圈穿越磁场区域的过程中，ab间的电势差Uab随时间t变化的图线是下图中的（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-10】如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域，下列图中导线框中A、B两端电压UAB与导线框移动距离x的关系图像正确的是(　　) 【变式训练5-11】如图所示，间距为L的水平边界MN、PQ之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，一正方形线框位于磁场区域上方某一高度，线框的边长为L、ab边的电阻是dc边电阻的2倍，ad边、bc边的电阻不计。若线框由静止释放，t=0时刻dc边进入磁场，一段时间后ab边进入磁场并匀速穿过磁场，整个线框通过磁场区域的过程中，ab边与dc边保持水平，则下列关于a、b两点之间电势差Uab随时间t变化的图像肯定错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-12】如图所示，宽度为的匀强磁场垂直于水平桌面，水平放置的等腰梯形金属框的上底和下底长度分别为L和2L，腰长为L，用相同材料粗细均匀的金属丝制成。现使其在外力的作用下，匀速向右穿过磁场区域，速度垂直梯形底边。将右侧上底刚到达磁场左边界的位置记为，以逆时针方向为电流的正方向，下列四幅图中线框中电流I和上底两端的电势差随金属框向右移动距离x关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-13】如图甲所示，单匝矩形线圈abcd垂直固定在匀强磁场中，规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。以向下方向为安培力正方向，下列关于bc段导线受到的安培力F随时间变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-14】如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D、方向竖直向下的有界匀强磁场，线框的边长L小于有界磁场的宽度D，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力、以Uab表示线框ab两点间的电势差、I表示通过线框的电流（规定逆时针为正，顺时针为负）、P表示拉力的功率，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-15】如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为l、电阻为R的正方形导线框，在导线框右侧有一宽度为d（d＞l）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的左、右边框平行，磁场方向竖直向下。导线框以某一初速度向右运动并穿过磁场，在穿过磁场区域过程中，下列描述该过程的v—x（速度—位移）图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-16】如图1所示，光滑水平桌面上有竖直向下、宽度为的匀强磁场，正方形闭合导线框的边长为，放在桌面上，边与磁场边界平行，。让导线框在沿方向的恒力作用下穿过匀强磁场，导线框的图像如图2所示。以下判断正确的是（　　） A．时间内，导线框受到的安培力逐渐增大 B．时间内，对导线框做的功等于其动能的增加量 C．时间内，图中阴影部分的面积表示磁场的宽度 D．时间内，导线框产生的焦耳热大于 【变式训练5-17】如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，下降过程中ab边始终与磁场边界平行，且ab边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。匀强磁场区域宽度也为L。ab边开始进入磁场时记为t1，cd边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小Uab、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图像可能正确的是(　　) 【变式训练5-18】（多选）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数n＝10，边长ab＝1 m，线圈总电阻r＝1 Ω，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图甲所示的磁场方向与感应电流方向为正方向，则下列有关线圈的感应电流i，焦耳热Q以及a、b两点间电压大小u，ab边的安培力F(取向下为正方向)随时间t的变化图像正确的是(　　) 【变式训练5-19】（多选）如图甲所示，光滑绝缘的水平面上有一异形闭合导线框，其边长如图甲所示，L为已知量。导线框ab边紧贴匀强磁场的左侧虚线边界。现用一水平外力作用在导线框上，使其向右进入匀强磁场，其速度v随位移x的变化图像如图乙所示，当导线框的位移为2L时，整个导线框所受安培力的大小为2F0.已知匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于导线框平面向里，导线框不发生形变，且ab边始终与虚线平行，导线框总电阻为R。 (1)当导线框的位移为2L时，求导线框的速度v0的大小； (2)从开始至导线框完全进入磁场的过程中，求水平外力对导线框做的功W。 【变式训练5-20】（多选）如图所示，abcd是位于竖直平面内用粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框，它的下方有一个垂直纸面向外的匀强磁场，MN、PQ为磁场的上下水平边界，两边界间的距离与正方形的边长均为L，线框从某一高度开始下落，恰好能匀速进入磁场。不计空气阻力，以bc边进入磁场时为起点，在线框通过磁场的过程中，线框中的感应电流i、bc两点间的电势差Ubc、线框所受的安培力F、线框产生的焦耳热Q分别随下落高度h的变化关系可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-21】（多选）在光滑绝缘的水平面上两相互平行的边界MN、PQ，边界内有竖直向下的匀强磁场。紧靠MN有一用均匀导线绕制的正方形金属板abcd，如图所示（俯视图）。已知线框边长为L，电阻为R，磁场磁感应强度大小为B、磁场宽度为2L。现给线框一初速度，线框刚好能穿过磁场区域。则从线框ab边刚进入磁场到cd边刚出磁场的过程中，ab边电压和线框所受安培力F随位移x变化的规律图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-22】（多选）如图甲所示，由同种材料制成粗细均匀的矩形导体方框abcd固定在匀强磁场中，磁场方向垂直方框所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。以垂直于方框所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列关于线框中的感应电动势的大小E、感应电流I(以顺时针方向为正)、ab边的热功率P、ab边受到的安培力F(以向右为正)随时间t变化的图像中正确的是(　　) 【变式训练5-23】（多选）如图甲所示，正方形线圈abcd内有垂直于线圈的匀强磁场，已知线圈匝数，边长，线圈总电阻，线圈内磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示。设图示的磁场方向与感应电流方向为正方向，电动势顺时针为正，则下列有关线圈的感应电流i、电动势e、焦耳热Q以及ab边的安培力F（取向下为正方向）随时间t的变化图像正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式训练5-24】（多选）如图所示，边长为L的正方形区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，等腰直角三角形导线框ABC以速度v匀速进入磁场区域，且AB＝L，若从C点进入磁场开始计时，单位长度导线框的电阻相同，则B、C两点电势差UBC和BC边所受安培力FBC(规定FBC向上为正)随时间变化的图像正确的是(　 ) 【变式训练5-25】（多选）如图所示，边长为的等边三角形金属框架处于垂直框架平面向外的有界匀强磁场中，顶点与磁场右侧边界重合。时起，用外力把框架从磁场中水平向右匀速拉出。若金属框架中产生的感应电动势大小为、框架的位移为，则下列关系图中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-26】（多选）如图所示的两个有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L．距磁场区域的左侧L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直．现用拉力F使线框以速度v匀速穿过磁场区域，以初始位置为计时起点，规定电流沿逆时针方向时电动势E为正，拉力F向右为正．关于感应电动势E、线框中通过的电荷量q、拉力F和产生的热功率P随时间t变化的图像正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-27】（多选）如图所示，光滑水平绝缘桌面上直线边界右侧存在范围足够大的匀强磁场。正方形单匝导线框平放在桌面上，其对角线与垂直。现使线框获得一速度后向右运动。从c点进入磁场瞬间，在c点对线框施加水平向右的力F，使线框保持原速度做匀速直线运动。已知线框速度始终与垂直，线框进入磁场的过程中，线框中的感应电流大小用表示，线框的位移用x表示，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-28】光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为h，其俯视图如图(a)所示，两磁场磁感应强度随时间t的变化如图(b)所示，0～τ时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为2B0和B0，一电阻为R、边长为h的刚性正方形金属框abcd，平放在水平面上，ab、cd边与磁场边界平行。t＝0时，线框ab边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度v向右运动。在τ时刻，ab边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图(a)中的虚线框所示。随后在τ～2τ时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；2τ～3τ 时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求： (1)t＝0时线框所受的安培力F； (2)t＝1.2τ时穿过线框的磁通量Φ； (3)2τ～3τ时间内，线框中产生的热量Q。 题型06： 线框只在安培力作用下线框穿越磁场题型 【典型例题1】如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（　　） A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1>W2 C．t1>t2，W1＜W2 D．t1>t2，W1>W2 【典型例题2】如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（   ）    A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【变式训练6-1】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【变式训练6-2】如图所示，光滑水平面上存在竖直向下的匀强磁场，磁场左右边界相互平行，范围足够大，一正方形金属线框在水平面上以初速度v0进入磁场，穿过磁场过程中（　　） A．线框做直线运动 B．线框做匀变速曲线运动 C．线框进、出磁场动能的变化相等 D．线框进、出磁场速度的变化相等 【变式训练6-3】如图所示，绝缘粗糙细杆abc在b处弯折，水平bc段足够长，在虚线AB的右侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电圆环（可视为点电荷）套在杆上从ab段某处由静止释放，忽略圆环经过弯折处的能量损失，圆环在运动过程中所带电荷量保持不变。下列关于圆环速度v随时间t变化的图像不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-4】（多选）如图，光滑绝缘水平面上x＝0两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直方向的匀强磁场，宽度均为L，磁感应强度方向相反，大小分别为B、2B，x＝﹣3L和x＝3L处有固定挡板。同种材料制成、粗细均匀的正方形导体线框MNPQ，边长为L，质量为m，总电阻为R，以初速度v0从左侧进入磁场，沿x轴方向运动。线框平面始终与磁场方向垂直，MN边始终与磁场边界平行，线框与挡板的碰撞均为弹性碰撞。则（　　） A．MN首次进入磁场时线框的加速度大小a B．MN每次经过x＝1.5L时，电势差UNM：UPQ＝1：1 C．MN与右侧挡板首次碰撞后瞬间线框的速度大小v D．线框停止处，穿过线框的磁通量为0 【变式训练6-5】光滑绝缘的水平面上有垂直平面的匀强磁场，磁场被分成区域Ⅰ和Ⅱ，宽度均为，其俯视图如图（a）所示，两磁场磁感应强度随时间的变化如图（b）所示，时间内，两区域磁场恒定，方向相反，磁感应强度大小分别为和，一电阻为，边长为的刚性正方形金属框，平放在水平面上，边与磁场边界平行．时，线框边刚好跨过区域Ⅰ的左边界以速度向右运动．在时刻，边运动到距区域Ⅰ的左边界处，线框的速度近似为零，此时线框被固定，如图（a）中的虚线框所示。随后在时间内，Ⅰ区磁感应强度线性减小到0，Ⅱ区磁场保持不变；时间内，Ⅱ区磁感应强度也线性减小到0。求：    （1）时线框所受的安培力； （2）时穿过线框的磁通量； （3）时间内，线框中产生的热量。 题型07：线框在外力和安培力作用下线框穿越磁场题型 【典型例题1】如图甲所示，斜面倾角θ＝37°，一宽为s＝0.5m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与面底边平行。在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底边重力势能为零，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图乙所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1kg，图乙中数据为已知量，sin37°＝0.6，则（　　） A．金属线框与斜面间的动摩擦因数0.75 B．金属线框在磁场中运动时ab两端的电压保持不变 C．金属线框的长度为0.25m D．金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间0.125s 【典型例题2】（多选) 如图1所示，小明设计的一种玩具小车由边长为d的正方形金属框efgh做成，小车沿平直绝缘轨道向右运动，轨道内交替分布有边长均为d的正方形匀强磁场和无磁场区域，磁场区域的磁感应强度大小为B，方向竖直向上。gh段在磁场区域运动时，受到水平向右的拉力F = kv＋b（k > 0，b > 0），且gh两端的电压随时间均匀增加；当gh在无磁场区域运动时，F = 0。gh段速度大小v与运动路程s的关系如图2所示，图中为gh每次经过磁场区域左边界时速度大小，忽略摩擦力。则（   ） A．gh在任一磁场区域的运动时间为 B．金属框的总电阻为 C．小车质量为 D．小车的最大速率为 【典型例题3】（多选) 如图所示，光滑斜面倾角θ＝30°，间距为L的水平线GH和PQ间有垂直于斜面向上的匀强磁场Ⅰ，间距大于L的水平线PQ和MN间有垂直斜面向下的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B，边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从斜面上GH上方由静止释放，线框运动过程中ab边始终水平，线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的加速度恰好为零，线框ab边刚出磁场Ⅱ时线框的加速度也恰好为零，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量为 B．线框进磁场Ⅰ的过程可能做减速运动 C．线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ所用时间为 D．水平线PQ和MN间的距离为L 【变式训练7-1】由相同材料、粗细均匀的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的粗细不同，乙线圈的横截面积是甲的2倍，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。甲的下边开始进入磁场时以速度v做匀速运动，下列判断正确的是（　　） A．甲和乙进入磁场的瞬间，安培力之比为1：2 B．从释放甲、乙线圈到线圈上边界离开磁场，甲、乙用时相同 C．甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为1：1 D．甲和乙进入磁场的过程中产生的焦耳热之比为1：4 【变式训练7-2】如图所示，空间存在间距为L的两足够大有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场的宽度也为L，磁场方向竖直向下，一矩形金属框abcd置于光滑绝缘水平台面上，已知ab＝3L，t＝0时刻bc边与磁场Ⅰ的左边界重合。现用水平恒力F向右拉动金属框，当bc边经过磁场Ⅱ的左边界时框开始做匀速运动。在金属框穿出磁场Ⅰ前的运动过程中，下列描述框的速度v、流过框中的电流i、通过框截面的电量q、框克服安培力做的功W随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（多选）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为，速率恒为，宽为的区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为、质量为m、电阻为R的正方形线框置于传送带上，进入磁场前与传送带保持相对静止，线框边刚离开磁场区域时的速率恰为。若线框或边受到安培力，则其安培力大于。线框受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数，边始终平行于，重力加速度为g。下列选项正确的是（　　） A．线框速率的最小值为 B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为 C．线框穿过磁场区域的时间为 D．边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为 【变式训练7-4】（多选）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（　　） A．B．C．D． 【变式训练7-5】水平地面上固定有一倾角为30°的绝缘光滑斜面，其上有两个宽度分别为l1、 l2、的条形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，虚线为磁场边界，均与斜面底边平行，两区域磁场的磁感应强度大小相等、方向均垂直斜面向上，示意图如图所示。一质量为m、电阻为R的正方形细导线框abcd置于区域Ⅰ上方的斜面上， cd边与磁场边界平行。线框由静止开始下滑，依次穿过区域Ⅰ、区域Ⅱ。已知cd边进入Ⅰ到ab边离开Ⅰ的过程中，线框速度恒为v，cd边进入区域Ⅱ和ab边离开区域Ⅱ时的速度相同；区域Ⅰ、Ⅱ间的无磁场区域宽度大于线框边长，线框各边材料相同、粗细均匀；下滑过程线框形状不变且始终处于斜面内，cd边始终与磁场边界平行；重力加速度为。求： (1)初始时，cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ号区域时，cd边两端的电势差； (3)cd边进入区域Ⅱ和ab边离开区域Ⅱ的过程中，线框克服安培力做功的平均功率。 【变式训练7-6】如图（a），线框位于倾斜角的斜面上，斜面上有一长度为的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为，已知线框边长，，总电阻，现对线框施加一沿斜面向上的力使之运动。斜面上动摩擦因数，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度取） （1）求外力大小；（2）求长度；（3）求回路产生的焦耳热。    【变式训练7-7】如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求： （1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小； （2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热； （3）磁场区域的水平宽度。 题型08：电磁感应中线框穿越交变磁场类问题 【典型例题1】（多选）如图，匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的边界P、Q、M水平，两磁场的方向相反，磁感应强度大小均为B，磁场Ⅰ的宽度为L，磁场Ⅱ的宽度大于L。边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd自距磁场边界P上方L处自由下落，当ab边刚进磁场Ⅱ时线框的加速度为零；当ab边刚出磁场Ⅱ时，线框的加速度也为零。重力加速度大小为g，线框运动过程中，磁场始终与线框平面垂直，ab边始终水平，下列说法正确的是（ ） A．线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中，通过线框截面的电荷量为 B．当线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的速度大小为 C．磁场Ⅱ的宽度为L＋ D．线框通过磁场过程中，线框中产生的焦耳热为4mgL＋ 【典型例题2】如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平桌面（纸面）上，间距L＝0.5 m，OP右侧存在垂直纸面向里的磁场，以O点为原点，水平向右为x轴正方向，磁感应强度大小B随x变化的图像如图乙所示。边长cd为L＝0.5 m、边长bc为d＝0.8 m的矩形金属细框置于导轨上。现使细框以v0＝4 m/s的速度水平向右运动，cd边运动到x＝1.6 m处时，对细框施加水平向右的外力F使其匀速进入x≥1.6 m的磁场区域，cd边运动到x＝2.4 m处时撤去外力F。整个运动过程中细框始终与导轨接触良好。已知金属细框的质量为m＝0.2 kg，ab边和cd边的总电阻为R＝0.25 Ω，导轨电阻可忽略。在细框运动的过程中，求： （1）cd边运动到x1＝0.8 m处时，细框的速度大小； （2）撤去外力F前瞬间，F的瞬时功率； （3）撤去外力F后，细框运动的位移大小。 【典型例题3】我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距处固定着两个长、宽、电阻为R的单匝线圈，＞。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长、宽的矩形匀强磁场，磁感强度为B。经调试，火车在轨道上运行时摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q1是第2个线圈产生的焦耳热Q2的3倍。求： (1)车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小； (2)求车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。 【典型例题4】如图，绝缘、光滑斜面倾角θ=37°，在宽度均为d=0.4m的区域I、II内分别有垂直于斜面向上、向下的匀强磁场，磁感强度大小均为B=1T，MN为两磁场的分界线。质量m=0.06kg、总电阻R=0.5Ω的矩形线框abcd，边长分别为L=0.6m和d=0.4m。现使线框ab边与磁场边界平行，自斜面上端某处静止释放，线框恰能匀速进入区域I。（g取10m/s2） （1）求ab边在区域I内运动时，线框的速度大小v0和发热功率P； （2）求当ab边刚进入区域II时，线框的加速度a； （3）通过分析，描述ab边从MN运动到区域II下边界的过程中，线框运动的速度、加速度变化情况。 【典型例题5】据英国2018年《每日邮报》5月2日报道，中国科学家一直在努力测试一种超高速列车——真空管道超高速列车，它将比现有高铁快3倍，速度达到1000km/h。其动力系统的简化模型如图1所示，图中粗实线表示固定在水平面上间距为L的两条平行光滑金属导轨，电阻忽略不计，ab和cd是通过绝缘材料固定在列车底部的两根金属棒，长度均为L，电阻均为R并与导轨良好接触，始终与导轨保持垂直，两金属棒ab和cd间距为x，列车与金属棒的总质量为m。列车启动前，ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。为使列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计，列车启动完成后电源会自动关闭。 （1）启动时，若M接“+”、N接“-”，接通电源时判断列车运行方向，并简要说明理由； （2）求启动时列车加速度的最大值； （3）列车启动完成后电源会自动关闭，列车将保持匀速行驶，到站时为让列车减速，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽度和相邻磁场间距均等于x。若某时刻列车的速度为v0，此时ab、cd均在无磁场区域，试计算前方至少需要多少块这样的有界磁场才能使列车停下来。 【典型例题6】如图所示是磁动力电梯示意图，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面交替排列的匀强磁场B1和B2，B1＝B2＝1.0 T，B1和B2的方向相反，两磁场始终竖直向上做匀速运动，电梯轿厢固定在图示的金属框abcd内，并且与之绝缘．已知电梯载人时的总质量为4.95×103kg，所受阻力f＝500 N，金属框垂直轨道的边长ab＝2.0 m，两磁场的宽度均与金属框的边长ad相同，金属框整个回路的电阻R＝8.0×10－4Ω，g取10 m/s2.已知电梯正以v1＝10 m/s的速度匀速上升，求： (1)金属框中感应电流的大小及图示时刻感应电流的方向； (2)磁场向上运动速度v0的大小； ． 【变式训练8-1】箱式电梯目前已经在高层建筑中得到了广泛应用，为人们的生活带来了很大的便利。当然，我们也要关注箱式电梯存在的一些安全隐患。如图所示为某箱式货梯结构简图，当事故发生时，此结构可以减小事故所造成的损害。已知该货梯电梯箱长为L，宽为d，周围紧密缠绕有总电阻为R的n匝线圈（图中未画出），电梯箱空箱（含线圈，不含内部货物）总质量为M。电梯井内存在与电梯箱等宽的有界匀强磁场，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直线圈平面，在竖直方向上每隔距离L反向。重力加速度为g，忽略电梯箱所受空气、摩擦等阻力。则： （1）某次电梯载着质量为m的货物以速度v匀速向上运动，则外加动力装置提供的牵引功率为多大；（此时线圈未导通） （2）当电梯发生事故失去动力时，为减小事故损害，事故后电梯下落的速度不能超过u，则该电梯所能运载的物资质量不能超过多少。（事故发生时，线圈立即导通） 【变式训练8-2】如图所示，虚线框内为某种电磁缓冲车的结构示意图，其主要部件为缓冲滑块K和质量为m的缓冲车厢。在缓冲车的底板上，沿车的轴线固定着两个光滑水平绝缘导轨PQ、MN。缓冲车的底部，安装有电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，匝数为n，ab边长为L。假设缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，此后线圈与轨道的磁场作用力使缓冲车厢减速运动，从而实现缓冲，一切摩擦阻力不计。 (1)求线圈abcd中最大感应电动势的大小； (2)若缓冲车厢向前移动距离L后速度为零（缓冲车厢未与滑块K接触），求此过程线圈abcd中通过的电荷量q和产生的焦耳热Q； (3)若缓冲车以速度v0与障碍物C碰撞后，滑块K立即停下，求此后缓冲车厢的速度v随位移x的变化规律（缓冲车厢未与滑块K接触）。 【变式训练8-3】光滑水平面上有一电阻为R、边长为L的正方形线框abcd，在它的右侧有两个宽度均为L、方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，磁场的理想边界I、II、III相互平行。某时刻线框以垂直于磁场边界的初速度v0进入匀强磁场，在合适的水平拉力F作用下匀速通过磁场区域，运动过程中线框的ab边的终平行于磁场边界。以磁场边界I为坐标原点，垂直于磁场边界向右为x轴正方向，如图所示。求线框通过磁场的过程中拉力F的大小随x变化的关系式。 【变式训练8-4】当下世界科技大国都在研发一种新技术，实现火箭回收利用，有效节约太空飞行成本，其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了4台电磁缓冲装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓火箭对地的冲击力。电磁缓冲装置的主要部件有两部分①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝矩形线圈abcd，指示灯连接在cd之间；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ和超导线圈（图中未画出），超导线圈能产生方向垂直于整个缓冲轨道平面的稳定匀强磁场。当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与火箭主体中的磁场相互作用，指示灯发光，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲。现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为v0，软着陆要求的速度为0；指示灯、线圈的ab边和cd边电阻均为R，其余电阻忽略不计；ab边长为L，火箭主体质量为m，匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计。 (1)求缓冲滑块刚停止运动时，流过线圈的ab边的电流； (2)求缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体的加速度大小； (3)若火箭主体的速度大小从v0减到0的过程中，经历的时间为t，求该过程中每台电磁缓冲装置中线圈产生的焦耳热。 【变式训练8-5】一实验小组想要探究电磁刹车的效果。在遥控小车底面安装宽为L、长为2.5L的N匝矩形线框，线框电阻为R，面积可认为与小车底面相同，其平面与水平地面平行，小车总质量为m。其俯视图如图甲所示，水平地面上的有界匀强磁场如图乙所示，小车在磁场外行驶的功率保持P不变，且在进入磁场前已达到最大速度，当车头刚要进入磁场时立即撤去牵引力，完全进入磁场时速度恰好为零。已知有界磁场PQ和MN间的距离为2.5L，磁感应强度大小为B。方向竖直向上，在行驶过程中小车受到地面阻力为f。求： （1）小车车头刚进入磁场时，线框的感应电动势E； （2）电磁刹车过程中线框产生的焦耳热Q； （3）若只改变小车功率，使小车穿出磁场边界MN时的速度恰好为零，假设小车两次与磁场作用时间相同，求小车的功率P′。 【变式训练8-6】如图所示，条形磁场组方向水平向里，磁场边界与地面平行，磁场区域宽度为L＝0.1 m，磁场间距为2L，一正方形金属线框质量为m＝0.1 kg，边长也为L，总电阻为R＝0.02 Ω.现将金属线框置于磁场区域1上方某一高度h处自由释放，线框在经过磁场区域时bc边始终与磁场边界平行．当h＝2L时，bc边进入磁场时金属线框刚好能做匀速运动．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2. （1）求磁感应强度B的大小； （2）若h>2L，磁场不变，金属线框bc边每次出磁场时都刚好做匀速运动，求此情形中金属线框释放的高度h； （3）求在(2)情形中，金属线框经过前n个磁场区域过程中线框中产生的总焦耳热． 【变式训练8-7】某兴趣小组设计制作了一种磁悬浮列车模型，原理如图所示，PQ和MN是固定在水平地面上的两根足够长的平直导轨，导轨间分布着竖直（垂直纸面）方向等间距的匀强磁场和，二者方向相反．矩形金属框固定在实验车底部（车厢与金属框绝缘）．其中ad边宽度与磁场间隔相等，当磁场和同时以速度沿导轨向右匀速运动时，金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动．已知金属框垂直导轨的ab边长m、总电阻，列车与线框的总质量，T，悬浮状态下，实验车运动时受到恒定的阻力N． （1）求实验车所能达到的最大速率； （2）实验车达到的最大速率后,某时刻让磁场立即停止运动,实验车运动20s之后也停止运动，求实验车在这20s内的通过的距离； （3）假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动，当时间为时，发现实验车正在向右做匀加速直线运动，此时实验车的速度为，求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间． 【变式训练8-8】如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点．如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆．运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R．其他电阻忽略不计，重力加速度为g． (1)如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面成θ=30°时，运输车恰好能无动力地匀速下滑．求运输车与导轨间的动摩擦因数μ； (2)在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力． ①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平向下的匀强磁场中，如图(d)．求刚接通电源时运输车的加速度的大小；（电源内阻不计，不考虑电磁感应现象） ②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反．求运输车以速度v0从如图(e)通过距离2D后的速度v． 【变式训练8-9】如图所示，质量为m、边长为l的单匝正方形导线框aba′b′套在横截面为正方形但边长略小于l的N磁极上，其aa′边和bb′边处于磁极的夹缝间，磁极的夹缝间存在水平方向的磁感应强度大小为B的匀强磁场(可认为其他区域无磁场)，导线框由电阻率为ρ、横截面积为S的金属丝制成。导线框由静止开始释放，其平面在下落过程中保持水平。磁场区域在竖直方向足够长，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)求导线框下落的最大速度vm； (2)求导线框下落的加速度大小为0.5g时，导线框的发热功率P； (3)若导线框从被释放至达到最大速度(vm)的过程中，下落的高度为h，求导线框在下落2h的过程中产生的焦耳热Q. 【变式训练8-10】涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式。某研究所制成如图甲所示的车和轨道模型来模拟磁悬浮列车的涡流制动过程，模型车的车厢下端安装有电磁铁系统，能在长为，宽的矩形区域内产生竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为、方向竖直向下；将长大于，宽也为的单匝矩形线圈，等间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为，每个线圈的电阻为，导线粗细忽略不计。在某次实验中，当模型车的速度为时，启动电磁铁系统开始制动，电磁铁系统刚好滑过了个完整的线圈。已知模型车的总质量为，空气阻力不计，不考虑磁感应强度的变化引起的电磁感应现象以及线圈激发的磁场对电磁铁的影响。求： （1）刹车过程中，线圈中产生的总热量； （2）电磁铁系统刚进入第（）个线圈时，模型车的加速度的大小； （3）某同学受到上述装置的启发，设计了进一步提高制动效果的方案如图乙所示，将电磁铁换成个相同的永磁铁并在一起的永磁铁组，两个相邻的磁铁磁极的极性相反；且将线圈改为连续铺放，相邻线圈紧密接触但彼此绝缘，若永磁铁激发的磁感应强度大小恒定为，模型车质量为，模型车开始减速的初速度为，试计算该方案中模型车的制动距离。 【变式训练8-11】如图所示，足够长的斜面与水平面的夹角为，空间中自上而下依次分布着垂直斜面向下的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、……、n，相邻两个磁场的间距均为．一边长、质量、电阻的正方形导线框放在斜面的顶端，导线框的下边距离磁场Ⅰ的上边界为，导线框与斜面间的动摩擦因数.将导线框由静止释放，导线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动．已知重力加速度， ， ，求： （1）导线框进入磁场Ⅰ时的速度； （2）磁场Ⅰ的磁感应强度； （3）磁场区域n的磁感应强度与的函数关系． 【变式训练8-12】某种超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力．其推进原理可以简化为如图所示的模型：在水平面上相距b的两根平行直导轨间，有竖直方向等距离分布的方向相反的匀强磁场和，且，每个磁场分布区间的长都是a，相间排列，所有这些磁场都以速度向右匀速平动．这时跨在两导轨间的长为a宽为b的金属框MNQP（悬浮在导轨正上方）在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为R，运动中所受到的阻力恒为f，求： （1）列车在运动过程中金属框产生的最大电流； （2）列车能达到的最大速度； （3）在（2）情况下每秒钟磁场提供的总能量． 【变式训练8-13】磁悬浮列车的运动原理如图所示，在水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有与导轨垂直且方向相反的匀强磁场B1和B2，B1和B2相互间隔，导轨上有金属框abcd．当磁场B1和B2同时以恒定速度沿导轨向右匀速运动时，金属框也会沿导轨向右运动．已知两导轨间距L1="0." 4 m，两种磁场的宽度均为L2，L2=ab，B1＝B2=B=1.0T．金属框的质量m="0.1" kg，电阻R=2.0Ω．设金属框受到的阻力与其速度成正比，即f=kv，比例系数k="0." 08 kg/s．求： （1）若金属框达到某一速度时，磁场停止运动，此后某时刻金属框的加速度大小为a=6.0m/s2，则此时金属框的速度v1多大？ （2）若磁场的运动速度始终为v0=5m/s，在线框加速的过程中，某时刻线框速度v′=2m/s，求此时线框的加速度a′的大小 （3）若磁场的运动速度始终为v0=5m/s，求金属框的最大速度v2为多大？此时装置消耗的功率为多大？ 【变式训练8-14】涡流制动是磁悬浮列车在高速运行时进行制动的一种方式，某研究所用制成的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程．如图所示，模型车的车厢下端安装有电磁铁系统，电磁铁系统能在其下方的水平轨道（间距为L1）中的长为L1、宽为L2的矩形区域内产生匀强磁场，该磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向下．将长大于L1、宽为L2的单匝矩形线圈等间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为L2．每个线圈的电阻为R，导线粗细忽略不计．在某次实验中，启动电磁系统开始制动后，电磁铁系统刚好完整滑过了n个线圈．已知模型车的总质量为m，空气阻力不计．求： (1)在电磁铁系统的磁场全部进入任意一个线圈的过程中,通过线圈的电荷量q； (2)在刹车过程中，线圈所产生的总电热Q； (3)电磁铁系统刚进入第k（k < n）个线圈时，线圈中的电功率P． 【变式训练8-15】磁悬浮列车的制动方式有两种：电制动和机械制动，电制动是利用电磁阻尼的原理，机械制动是利用制压在轨道上产生摩擦阻力进行制动。对下面模型的研究有利于理解磁悬浮的制动方式。如图甲所示，有一节质量为m=50t的磁悬浮列车，车厢底部前端安装着一个匝数为N=50匝，边长为L=2m的正方形线圈，总电阻为R=64Ω，线圈可借助于控制模块来进行闭合或断开状态的转换。两平行轨道间距也L=2m，在ABCD刹车区域内铺设着励磁线圈，产生的磁场如图乙所示，每个单元为一边长为L的正方形，其间磁场可视为B=2T的匀强磁场。现列车以v0=360km/h速度进站，当线圈全部进入刹车区时，调节控制模块使列车底部线圈闭合，采用电制动的方式。当列车速度减为v1时，调节控制模块使列车底部线圈断开，转为机械制动的方式，所受阻力为车厢重力的0.05倍，机械制动20s，列车前部刚好到达CD处速度减为0，不计列车正常行驶时所受的阻力。求 （1）列车底部线圈全部进入刹车区域时的加速度； （2）列车刹车过程中产生的焦耳热； （3）列车刹车过程的总位移。 题型09：电磁感应中线框进出磁场的综合问题 【典型例题1】如图甲，电阻R=0.2Ω的直角梯形金属框abcde放在绝缘水平地面上，ab、bc、cd、de的长度均为L=0.4m；边长L=0.4m的正方形区域MNHK内存在垂直地面向下B=0.5T的匀强磁场。金属框沿地面以恒定速度v=1.0m/s向右穿过磁场，从cd边刚进入磁场(t=0)到a离开磁场的时间内，e、d、N、H始终在一条直线上。 (1)求cd边刚进入磁场时通过金属框的电流强度； (2)通过分析和计算，在图乙中画出通过金属框的电流强度随时间变化的i-t图象(设逆时针方向为正方向)。 【典型例题2】如图所示，空间分布着磁感应强度B=0.5T的水平方向匀强磁场，磁场区域的水平宽度d=0.4m，正方形线框PQMN的边长L= 0.4m，质量m=0.2 kg，电阻R=0.1Ω。静止在光滑绝缘水平板上“I”位置。现用一水平向右的恒力F=0.8N。从静止开始拉线框，当PQ边刚进入磁场时，线框恰好做匀速直线运动，到达“II”位置时MN边刚好出磁场。求： （1）进入磁场时线框中感应电流I的大小和方向； （2）进入进场时线框的速度大小v和进入磁场前线框移动的距离x； （3）从“I”位置到“II”位置的过程中线框产生的焦耳热Q。 【变式训练9-1】如图甲所示，一正方形单匝线框abcd 放在光滑绝缘水平面上，线框边长为、质量为、电阻为。该处空间存在一方向竖直向下的匀强磁场，其右边界 MN 平行于 ab，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，0~ 时间内随时间均匀变化，时间 后保持不变。求： （1）若线框保持静止，则在时间内产生的焦耳热； （2）若线框从时刻起，在一水平拉力作用下由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为，经过时间线框cd边刚要离开边界MN。则在此过程中拉力做的功； （3）在（2）的情况下，线框在离开磁场的过程中，仍以加速度做匀加速直线运动，试求线框在离开磁场的过程中，水平拉力随时间变化的关系式。 【变式训练9-2】如图甲所示，在光滑绝缘水平面内有一长方形金属线框，ab边长为，线框质量、电阻，空间存在一有界匀强磁场，磁场的左边界如虚线所示，虚线右侧足够大区域存在磁场，磁场方向竖直向下。线框在水平向右的外力F作用下，以初速度匀加速进入磁场，外力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示。以线框右边刚进入磁场时开始计时，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； (3)若线框进入磁场过程中F做功为，求在此过程中线框产生的焦耳热Q。 【变式训练9-3】如图所示，水平虚线、之间是匀强磁场，磁场方向水平向里，磁场高度为。竖直平面内有一等腰梯形线框，线框的质量为，底边水平，其上下边长之比为，高为。现使线框边在磁场边界的上方高处由静止自由下落，当边刚进入磁场时加速度恰好为0，在边刚要进入磁场前的一段时间内，线框做匀速运动，重力加速度为，求： (1)边刚进入磁场时的速度的大小； (2)在边刚要进入磁场前，线框做匀速运动的速度的大小； (3)从线框开始下落到边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量。 【变式训练9-4】如图所示，在光滑绝緣的水平面上，有一个用均匀导线围成的等边三角形线框abc，其边长为L，总电阻为R。边界MN的右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。线框保持以恒定速度v0向右进入磁场，其中ab边总保持与MN平行。在线框进入磁场的过程中。求： （1）线框ab边刚进入磁场时a、b两点的电势差； （2）线框中产生的电动势E随时间变化的关系式（自ab边刚进入磁场时计时）； （3）在线框进入磁场的过程中，通过导线截面的总电量。 【变式训练9-5】如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，边长均为边长为。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，边离磁场上边界的距离为，线框由静止释放，从边进入磁场直到边进入磁场前，线框做匀速运动。在边离开磁场后，边离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且边保持水平，重力加速度为。求： (1)线框边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是边刚进入磁场时的几倍； (2)若磁场上下边界间的距离，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少。 【变式训练9-6】电磁滑道成为未来运动的一种设想，我们可以通过控制磁场强弱，实现对滑动速度的控制。为了方便研究，做出以下假设：如图甲所示，足够长的光滑斜面与水平面成θ角，虚线EF上方的整个区域存在如图乙规律变化且垂直导轨平面的匀强磁场，t=0时刻磁场方向垂直斜面向上（图中未画出）磁感应强度在0～t1时间内均匀变化，磁感应强度最大值为B0，t1时刻后稳定为-B0。0～t1时间内，单匝正方形闭合金属框ABCD在外力作用下静止在斜面上，金属框CD边与虚线EF的距离为d。t1时刻撤去外力，金属框将沿斜面下滑，金属框上边AB刚离开虚线EF时的速度为v1，已知金属框质量为m、边长为d，每条边电阻为R。求： （1）CD边刚过虚线EF时，AB两点间的电势差； （2）从t=0时刻到AB边经过虚线EF的过程中金属框产生的焦耳热； （3）从撤去外力到AB边经过虚线EF的总时间。 1.如图所示， A、B是面积、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场区域，只是A区域比B区域离地面高，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处同时由静止开始释放顺利穿过磁场，两线圈下落时始终保持线圈平面与磁场垂直，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．两线圈穿过磁场的过程中产生的热量相等 B．两线圈穿过磁场的过程中通过线圈横截面的电荷量不相等 C．两线圈落地时乙的速度较大 D．甲线圈运动时间较长，乙线圈先落地 2.国产电动汽车采用电磁式动力回收装置，可将部分动能转化为电能并储存。如图所示为该装置的简化模型，“日”字形的金属线框放在光滑的水平面上，各边长均为l，ab、cd、ef边电阻均为R，其余部分电阻可忽略不计。线框以速度v进入宽度为l的匀强磁场，最终恰好穿出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，边界与ab边平行，则线框（　　） A．刚进磁场时，a端电势高于b端电势 B．刚进磁场时，a、b两点间电势差为 C．质量 D．穿越磁场过程中ab边产生的热量 3.如图所示，有两个质量分别为和的正方形单匝导线框a、b，电阻均为，边长均为；它们分别系在一跨过两个轻质定滑轮的绝缘轻绳两端，在两导线框之间有一方向垂直纸面向里、宽度为2l的匀强磁场区域，磁感应强度大小为。开始时，线框b的上边框与匀强磁场的下边界重合，线框a的下边框到匀强磁场的上边界的距离为l。现将系统由静止释放，线框a恰好匀速穿越磁场区域。不计滑轮摩擦和空气阻力，重力加速度。则下列说法正确的是（　　） A．线框a穿出磁场区域时的电流大小为0.3A B．线框b进入磁场过程中产生的热量等于线框a机械能的减少量 C．线框a穿越磁场区域时的速度大小为0.6m/s D．线框a进入磁场过程中安培力的冲量大于线框b进入磁场过程中安培力的冲量 4.如图，倾角为的光滑斜面上存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，其方向一个垂直于斜面向上，一个垂直于斜面向下，它们的宽度均为L，一个质量为m、边长也为L的正方形线框以速度v进入上部磁场恰好做匀速运动，ab边在下部磁场运动过程中再次出现匀速运动，重力加速度为g，则（　　） A．在ab进入上部磁场过程中的电流方向为abcba B．当ab边刚越过边界ff′时，线框的加速度为gsin C．当ab边进入下部磁场再次做匀速运动时，速度为 D．从ab边进入磁场到ab边进入下部磁场再次做匀速运动的过程中，减少的动能小于线框中产生的焦耳热 5.如图所示，光滑绝缘水平台面上有两平行虚线，其间距为3L，两虚线间存在竖直向上的匀强磁场。一边长为L的单匝正方形导线框abcd，在磁场左侧平台上向右匀速运动，t＝0时刻导线框ab边进入磁场，t1时刻cd边进入磁场，t2时刻ab边离开磁场，t3时刻cd边离开磁场。已知导线框运动过程中ab边始终与虚线平行。下列说法正确的是（　　） A．导线框进入磁场和离开磁场的过程中，线圈内电流方向相同 B．0～t1时间内，导线框中的电流恒定 C．0～t1与t2～t3时间内，通过导线框的电荷量相等 D．0～t1与t2～t3时间内，导线框速度的变化量可能不相同 6.（多选）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L的正方形单匝线圈abcd，在轨道间存在两个宽度均为L的匀强磁场，边界1、2间磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界2、3间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车（包含线圈）的质量为m，运动过程中列车关闭动力，当线圈的ab边运动到磁场边界1时的速度为，ab边穿过磁场边界2后，再向右运动速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，下列说法正确的是（　　） A．线圈ab边经过边界2时的速度大小为 B．线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度大小之比为4∶1 C．线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为 D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为 7.（多选）如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线的右侧存在磁感应强度的匀强磁场，的左侧有一质量的矩形线圈，边长，线圈电阻。时，用一恒定拉力拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间，线圈的边到达磁场边界，此时立即将拉力改为变力，又经过，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流随时间变化的图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　） A．恒定拉力大小为 B．线圈在第内的加速度大小为 C．线圈边长 D．在第内流过线圈的电荷量为 8.（多选）火箭的回收利用可有效削减航天发射成本，电磁缓冲是火箭回收的关键技术，电磁缓冲装置的结构如图。匝数为n、总电阻为R、边长为l的正方形闭合线圈abcd固定在火箭主体下部，主体外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，主体底端到缓冲槽底端的距离为H，且H＜l。槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为B的匀强磁场。某时刻主体（含线圈）以速度v0进入缓冲槽，缓冲槽保持静止于地面，此后主体（含线圈）在磁场内减速向下运动直至线圈的ab边落至缓冲槽底端时恰好静止。已知主体（含线圈）总质量为m，重力加速度为g，不计其他阻力。则（　　） A．缓冲槽刚静止时线圈中感应电流的大小为 B．缓冲槽刚静止时主体受到的安培力大小为 C．线圈相对缓冲槽下落高度h时速度减至，此过程所用时间为 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热Q为 9.（多选）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上建立一个直角坐标系，在坐标系的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直桌面向下、向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为1.0T，磁场边界线的方程为y=0.5sin2πx（m）（0≤x≤1.0m）。在水平桌面上静置一个长1m、宽0.5m的矩形单匝导线框abcd，其电阻R=1Ω，ab、dc边与x轴平行，在拉力F的作用下，线框从图示位置开始沿x轴正方向以大小为1m/s的速度匀速穿过整个磁场区域，下列说法正确的是（　　） A．bc边到达x=0.25m时，线框中的感应电流最大 B．拉力F的最大功率为1W C．整个过程中拉力F所做的功为 D．整个过程中线框产生的焦耳热为 10.（多选）两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为，通过长为的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A. 与无关，与成反比 B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变 C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等 D. 调节、和，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变 11.（多选）如图所示，光滑水平面上分布着垂直于水平面向下的平行边界匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁场Ⅰ的磁感应强度大小为，磁场Ⅱ的磁感应强度大小未知，磁场宽度均为，磁场Ⅰ和磁场Ⅱ的相近边界距离为。距磁场Ⅰ左边界处有一边长为、电阻为、质量为的单匝金属线框abcd，受到恒力的作用从静止开始运动，线框穿过磁场Ⅰ、Ⅱ过程中均匀速。不计一切摩擦阻力，运动过程中bc边始终平行于磁场边界，下列说法正确的是（　　） A．磁场Ⅱ的磁感应强度大小为 B．线框穿过磁场Ⅰ产生的焦耳热与线框穿过磁场Ⅱ产生的焦耳热相等，都为 C．线框完全经过磁场Ⅰ、Ⅱ产生的总焦耳热为 D．线框从开始运动到bc边与磁场Ⅰ右边界重合时，通过线框横截面的电荷量为 12.某兴趣小组设计了一种电磁阻尼装置，其简化模型如图所示。光滑水平面上方存在一宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小B＝0.5T，方向竖直向下。一轻弹簧右端固定，左端恰好位于磁场右边界。一上面固定着单匝矩形线框的小车以初速度v0＝4m/s向右运动，穿过磁场，并压缩弹簧。已知线框ad边足够长，ab边宽度也为L＝1m，线框右端与小车右端平齐，小车（含线框）总质量m＝0.5kg，线框电阻R＝0.5Ω。求： （1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度； （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值； （3）若仅将线框匝数增至n＝3，线框总电阻变为3R，其他条件不变，忽略线框匝数引起的小车总质量的变化，小车最终能否静止？若能，确定其静止位置；若不能，求其最终速度大小。 13.如图所示，足够长的光滑斜面与水平面的夹角为θ，虚线MN与斜面底端平行，虚线右侧有磁感应强度大小为B、方向垂直斜面向上的匀强磁场；在虚线MN的左侧有一结构为三个相同的正方形的金属框，正方形的边长为l，其中ab、cd、ef、gh都与虚线MN平行且电阻均为r，金属框的其他电阻不计，金属框的质量为m，初始ab边刚好在虚线MN处且金属框有一沿斜面向下的速度v0，当金属框刚好全部进入磁场时的速度为v，已知重力加速度为g，求： （1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小； （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量以及通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比； （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间。 14.如图所示，光滑绝缘的水平面上有垂直水平面的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场区域Ⅰ和Ⅱ的宽度、两磁场区域之间的距离均为，磁场方向如图所示。边长为的正方形导线框位于水平面上，且边与磁场边界平行。某时刻线框以的初速度水平向右运动，穿过匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ。已知线框的质量为，电阻为，匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ的磁感应强度大小均为。求： (1)线框边进入磁场区域Ⅰ瞬间，边所受安培力的大小 (2)线框边进入磁场区域Ⅱ瞬间，线框的速度大小 (3)线框穿过区域Ⅰ和Ⅱ过程中产生的热量。 15.如图所示为某兴趣小组做电磁驱动和电磁阻尼实验的示意图。分界线PQ将水平面分成左右两部分，左侧平面粗糙，右侧平面光滑。左侧的驱动磁场为方向垂直平面、等间隔交替分布的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，每个磁场宽度均为L；右侧较远处的阻尼磁场为宽度也为L、方向垂直平面的匀强磁场。两个完全相同的正方形金属线框abcd和efgh的边长也均为L，质量均为m，线框abcd的ab边无电阻，其余各边电阻均为R，线框efgh的gh边无电阻，其余各边电阻均为R。线框abcd与分界线PQ左侧的动摩擦因数为。现使驱动磁场以稳定速度向右运动，线框abcd由静止开始运动，经过一段时间后线框做匀速运动，当ab边匀速运动到分界线时立即撤去驱动磁场，接着线框abcd继续运动完全越过分界线后，再与静止线框efgh发生正碰，碰后ab边和gh边粘在一起，组成“”型线框后向右运动进入阻尼磁场。设整个过程中线框的ab边和ef边始终与分界线平行，ab边和gh边碰后接触良好。不计两金属框形变，重力加速度为g。 (1)求线框abcd刚开始运动时加速度的大小； (2)求线框abcd在驱动磁场中匀速运动时的速度大小； (3)若线框abcd完全越过分界线的速度为v，要使“”型线框整体不穿出阻尼磁场，求阻尼磁场的磁感应强度的最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $