第07讲 电磁感应力学模型功和能模型 （思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）讲义 -2027届高考物理一轮复习电磁感应专题

第07讲 电磁感应中的力学模型和功能模型 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：单杆的动力学问题 6 （一）单杆在水平面上的动力学问题 6 （一）单杆在竖直平面上的动力学问题 13 （三）单杆在斜面上的动力学问题 17 题型02：双杆的动力学问题 25 （一）双杆在水平竖直方向上的动力学问题 25 （一）双杆在斜面上的动力学问题 28 题型03：线框的动力学问题 32 （一）线框在水平面上的动力学问题 32 （二）线框在竖直平面上的动力学问题 36 （一）线框在斜面的动力学问题 39 题型04：单杆的能量问题 41 题型05：双杆的能量问题 60 题型06：线框的能量问题 67 1. 分值与题型：以计算题为主（12–20分），偶尔多选；常和单杆、双杆、线框模型融合，是电磁感应压轴高频考点。 2. 命题热点 ①力学角度：安培力作为变力，结合牛顿第二定律、动态分析（加速度、速度变化）、动量定理/动量守恒（双杆、无外力、导轨光滑）。 ②功能角度：克服安培力做功 = 回路焦耳热；重力、拉力、安培力做功和动能变化关系。 ③常见情景：导轨+导体棒、线框进出磁场；有恒力拉动、初速度释放、双杆互感。 3. 命题趋势：不再单一考动力学或者单一考能量，力学分析判断运动性质 + 功能关系求热量、位移、速度综合设问；重视动量定理的应用（变安培力冲量）。 4. 易错坑点：分不清什么时候用牛顿、什么时候用动量、什么时候用能量；误以为安培力做功直接等于动能变化；忽略摩擦力、重力势能变化。 1. 分清两类模型适用条件： ①力学模型：求瞬时加速度、速度动态变化、时间、电荷量、末速度（优先动量） ②功能模型：求焦耳热、做功、位移、最大速度（能量优先） 2. 会推导核心公式 3. 能独立做动态运动判断：变加速（a减小的加速/减速）、匀速、静止。 4. 掌握动量定理在安培力冲量的用法： 5. 能量链条记牢：外力做功、重力做功 → 一部分变导体棒动能，一部分被安培力做功转化为焦耳热。 6. 规范书写大题步骤，能识别综合题中什么时候切换力学/功能思路。 知识点一：电磁感应中动力学问题 1.两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析 2.力学对象和电学对象的相互关系 3.动态分析的基本思路 解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大或最小的条件．具体思路如下： 4.“四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下： 知识点二：电磁感应的能量问题 1.电磁感应中的能量转化 其他形式的能量 电能焦耳热或其他形式的能量 2.求解焦耳热Q的三种方法 3.解题的一般步骤 能量转化问题的分析程序：先电后力再能量 4.常见的功能关系 做功情况 能量变化 重力做功 重力势能发生变化 弹簧弹力做功 弹性势能发生变化 合外力做功 动能发生变化 除重力和系统内弹力以外的其他力做功 机械能发生变化 滑动摩擦力做功 有内能产生 静电力做功 电势能发生变化 安培力做正功 电能转化为其他形式的能 克服安培力做功（动生型电磁感应） 其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 一：力学模型（动力学+动量） 适用场景：问加速度、运动过程、时间、电荷量、双杆共速、变力作用一段时间后的速度 1. 第一步：受力分析 → 标出安培力、拉力、重力、摩擦力 2. 第二步：列牛顿第二定律 3. 第三步：动态判断：v变→F_安变→a变，判断是a减小加速还是a减小减速，直到a=0达到匀速。 4. 第四步：涉及时间、变安培力冲量，不用牛顿，直接动量定理： 双杆光滑、合外力为零 → 动量守恒 二：功能模型（能量） 适用场景：求焦耳热、外力做功、运动最大速度、有摩擦力的能量损耗 1. 核心结论：克服安培力做功等于回路产生的总焦耳热 2. 能量守恒 3. 匀速状态 4. 分配：多电阻串联，焦耳热按电阻正比分配 三：综合题通用四步流程（大题万能） 1. 读题定情景：单杆/双杆/线框，有没有外力、摩擦、重力 2. 看问题选工具： ①瞬时a、运动变化 → 牛顿动力学 ②时间、q、一段时间后的速度、双杆共速 → 动量定理/动量守恒 ③求热量、做功、能量损失 → 能量守恒 3. 写出电磁感应基础式 4. 联立方程，代入求解，检验方向 四：速记口诀 受力看安培，动态判快慢； 求时求电量，动量来登场； 想求焦耳热，能量守恒上； 匀速合力零，功率相对等。 题型01：单杆的动力学问题 （一）单杆在水平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，水平面内有两电阻不计的平行光滑导轨，间距为，导轨左端连接电阻，与导轨垂直且接触良好的导体棒质量为，接入轨道间的电阻也为，整个空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。设导体棒横截面积为，单位体积内的自由电子数为，电子电荷量为，给导体棒初速度，下列说法正确的是（　　） A．导体棒的最大加速度为 B．导体棒的最大位移是 C．整个运动过程中，导体棒的发热量为 D．导体棒运动过程中，其中的电子沿导体棒运动的速率与导体棒的速率之比为 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的两根光滑，电阻不计的平行金属导轨固定在水平桌面上，导轨的端点A、B间用阻值为的电阻相连，两导轨间的距离。磁场垂直于导轨平面，磁感应强度与时间的关系为，一电阻为质量为的金属杆时刻在外力作用下以恒定的加速度从端由静止开始向导轨的另一端滑动，在滑动过程中时刻保持与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（　　） A．感应电流的方向由A经过电阻指向B B．时刻导体棒所受外力 C．时刻感应电动势的大小 D．若时刻以后磁感应强度及作用在导体上的外力不再改变，则金属杆能达到的最大速度 【典型例题3】（多选）如图所示，水平绝缘地面上固定一足够长的光滑U形导轨，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将质量为的金属棒垂直放置在导轨上，在垂直于棒的恒定拉力作用下，金属棒由静止开始向右运动，当金属棒的速度大小为时，金属棒的加速度大小为；当金属棒的速度大小为时，金属棒的加速度大小为。已知金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，电路中除金属棒以外的电阻均不计，下列说法正确的是（    ） A． B．金属棒的最大速度为 C．金属棒的最大加速度为 D．当金属棒的速度大小为时撤去拉力，金属棒的减速距离为 【典型例题4】如图为某种“电磁弹射”装置的简化原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根光滑的平行长直导轨水平放置，一根导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L，导体棒的质量为m，电阻为R。开关S接1，导轨与恒流源相连，回路中的电流恒定为I，导体棒由静止开始做匀加速运动，一段时间后速度增大为v。此时，将开关S接2，导轨与定值电阻R0相连，导体棒开始做减速运动直至停止。不计导轨电阻及空气阻力。 (1)开关S接1后，求导体棒受到安培力的大小FA及其加速运动的时间t； (2)开关S接2后，求导体棒速度为0.5v时加速度的大小a； (3)求导体棒在加速运动阶段及减速运动阶段产生的焦耳热Q1和Q2. 【典型例题5】如图（a），磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式。磁场很强的钕磁铁长条安装在轨道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧。简化为图（b）的模型，相距为l、水平放置的导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等效为一根金属杆AB，过山车的质量为m。不计轨道摩擦和空气阻力。 (1)求水平磁力刹车减速的加速度a大小随速度v变化的关系式； (2)试比较用磁力刹车和用摩擦力刹车的区别； (3)若过山车进入水平磁力刹车轨道开始减速时，速度为30m/s，刹车产生的加速度大小为15m/s2.过山车的速度v随位移x的变化规律满足：（设水平轨道起点x=0）。在图（c）中画出水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线，并求出过山车在水平轨道上减速到10m/s时滑行的距离。 【变式训练1-1-1】如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框的电阻不计，开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　) A.ef将减速向右运动，但不是匀减速运动 B.ef将匀减速向右运动，最后停止 C.ef将匀速向右运动 D.ef将往返运动 【变式训练1-1-2】如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.30m，导轨电阻忽略不计，其间连接有固定电阻R=0.40Ω，导轨上停放一质量m=0.10kg、电阻r=0.20Ω长度也为L=0.30m的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度B=0.50T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，用一外力F沿水平方向拉金属杆ab，使之由静止开始运动，电压传感器可将R两端的电压U即时采集并输入电脑，获得电压U随时间t变化的关系如图乙所示，下列说法不正确的是（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．第2s末外力的瞬时功率为0.35W C．如果水平外力从静止开始拉动杆2s所做的功为0.35J，则金属杆上产生的焦耳热为0.15J D．如果水平外力从静止开始拉动杆2s所做的功为0.35J，则金属杆上产生的焦耳热为0.05J 【变式训练1-1-3】（多选）如图甲所示粗糙U形导线框固定在水平面上，右端放有一金属棒PQ，整个装置处于竖直方向的磁场中，磁感应强度B按图乙规律变化，规定竖直向上为正方向，整个过程金属棒保持静止。则(　 ) A．t0时刻回路没有感应电流 B．在t0～2t0时间内，流过金属棒的感应电流方向是从Q到P C．在0～t0时间内，金属棒PQ所受安培力方向水平向右 D．2t0时刻金属棒PQ所受摩擦力方向水平向右 【变式训练1-1-4】（多选）如图所示，电阻R、电容器C与固定在同一水平面上的光滑平行导轨相连，导轨间有竖直向下的匀强磁场。一导体棒垂直放在导轨上且与导轨接触良好，导体棒与导轨电阻不计。现让导体棒获得一初速度v0从位置A向右滑动并经过B、C两位置，在导体棒向右滑动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.R中的电流从a到b B.导体棒向右做匀速滑动 C.电容器的带电荷量逐渐变小 D.在BC段滑动时导体棒动能的减少量等于电阻R上产生的热量 【变式训练1-1-5】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【变式训练1-1-6】（多选）质量为1 kg、阻值为0.8 Ω的导体棒b静止在AB右侧导轨上。t＝0时刻起，b在大小为0.6 N、方向水平向右的恒力F作用下由静止开始运动。已知两棒始终与导轨垂直且接触良好，且a始终未越过虚线AB，导轨电阻均不计。下列说法正确的是(　　) A.t＝0时刻，b的加速度大小为0.3 m/s2 B.a的最大加速度为0.24 m/s2 C.导体棒a消耗电功率的最大值为1.152 W D.a、b加速度相等时，二者速度之比大于1∶4 【变式训练1-1-7】（多选）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定放置在足够高的水平台面上，导轨间距L＝1 m。质量为m＝1 kg、电阻为r＝2 Ω的直导体棒放在导轨上，且始终与导轨垂直，导体棒通过一根轻质细绳绕过定滑轮与一质量也为m＝1 kg的重物相连。导轨左端与阻值为R＝2 Ω的电阻相连，导轨电阻不计，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝2 T。在t＝0时刻，由静止释放导体棒和重物，直导体棒由静止开始向右做直线运动(轻质细绳始终与导轨共面且平行)，g取10 m/s2。下列说法中正确的是(　 ) A．重物向下做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动 B．当导体棒速度v＝8 m/s时，导体棒加速度a＝2 m/s2 C．导体棒最终做匀速直线运动的速度为v＝10 m/s D．导体棒最终做匀速直线运动的速度为v＝12 m/s 【变式训练1-1-8】（多选）在如图2所示的甲、乙、丙图中，MN、PQ是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。导体棒ab垂直放在导轨上，导轨都处于垂直水平面向下的匀强磁场中，导体棒和导轨间的摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器C原来不带电。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙图中导体棒ab在磁场中的运动状态是(　　) 图2 A.甲图中，棒ab最终做匀速运动 B.乙图中，棒ab匀减速运动直到最终静止 C.丙图中，棒ab最终做匀速运动 D.甲、乙、丙图中，棒ab最终都静止 【变式训练1-1-9】（多选）如图，两固定的足够长平行光滑导轨，由水平段和弧形段在处相切构成，导轨的间距为，区域内存在方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场，间距也为。现将多根长度也为的相同导体棒，依次从弧形轨道上高为的处由静止释放（释放前棒均未接触导轨），释放第根棒时，第根棒刚好穿出磁场。已知每根棒的质量均为，电阻均为，重力加速度大小为，且与导轨垂直，导轨电阻不计，棒与导轨接触良好。则（　　） A．第3根棒刚进入磁场时的加速度大小为 B．第3根棒刚穿出磁场时的速度大小为 C．第根棒刚进入磁场时，第1根棒的热功率为 D．从开始到第根棒刚穿出磁场过程中，回路产生的焦耳热小于 【变式训练1-1-10】（多选）如图，质量为M的U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，间距为L的ab和dc边平行，都与bc边垂直。ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略。一根电阻为R、质量为m的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行。 (1)若导体棒MN在外力作用下保持静止，求最终稳定状态时金属框的速度大小； (2)若导体棒不受外力作用，求最终稳定状态时电路中的电动势。 【变式训练1-1-11】如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。 (1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I; (2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a; (3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。 【变式训练1-1-12】如图所示，水平绝缘桌面上固定有间距为L的平行光滑长导轨，左端接有一个不带电的电容器，电容为C(不会被击穿)，在PQ虚线的左侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属杆ab静置在导轨上，与虚线PQ的距离是d，金属杆在水平向右恒力F的作用下，开始向右运动，不计导轨与金属杆的电阻，金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好， (1)判断金属杆的运动性质； (2)求金属杆ab运动到达虚线PQ的时间。 （1） 单杆在竖直平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，MN和PQ是两根相互平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。从S刚闭合开始，金属杆可能（　　） A．做加速度不变的减速运动 B．做加速度变大的减速运动 C．做加速度变大的加速运动 D．做加速度变小的加速运动 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，固定在竖直平面内，两根导轨上端用导线连接一个电容器，电容器的电容为C，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放，金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好，已知重力加速度为g，金属导轨和金属棒电阻均不计，则当金属棒运动稳定后，有(　　) A.金属棒做匀加速运动，加速度大小为 B.金属棒受到的安培力大小为 C.通过金属棒的电流大小为 D.电容器所带的电荷量保持不变 【典型例题】如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U－I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度为g。为了方便计算，取I0＝，Um＝。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。 (1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1； (2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2。 【变式训练1-2-1】如图所示，空间中有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，导轨间距为L，导轨足够长且电阻不计。质量为m的金属杆ab与导轨垂直且接触良好，金属杆ab电阻为R，重力加速度为g。开始时，开关S断开，金属杆ab由静止自由下落，经过一段时间后再闭合开关S。当开关S闭合后，下列说法正确的是（　　） A．a点电势高于b点电势 B．导体棒做加速度增大的加速运动 C．安培力做正功，机械能转化为电能 D．当下落高度为时闭合开关，则金属杆ab会立刻做减速运动 【变式训练1-2-2】如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的感应电流逐渐增大 B. 导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C. 通过回路中某横截面上的电荷量为 D. 导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 【变式训练1-2-3】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，电阻不计，导轨间距为，顶端接一阻值为的电阻。矩形匀强磁场I的高为，匀强磁场II足够高，两磁场的间距也为，磁感应强度大小均为、方向均垂直纸面向里。一质量为、电阻也为的金属棒置于导轨上，与导轨垂直且接触良好。将金属棒由静止释放，运动距离为时进入匀强磁场I。已知金属棒进入磁场I和II时的速度相等，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场I时其两端的电压为 B．金属棒在磁场II中运动的最大速度为 C．金属棒穿过磁场I的过程中，金属棒产生的热量为 D．金属棒在磁场I中运动的时间为 【变式训练1-2-4】如图所示，竖直平面内固定有两根间距为L且足够长的光滑平行金属导轨ab、cd。在导轨间一水平线ef的下方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，电容值为C的电容器与开关S并联接在两导轨之间。现闭合S，将电阻为R的导体棒MN从ef上方某一高度处平行于ef由静止释放，MN沿导轨下滑，刚进入ef时加速度为。在MN经过ef下方某位置（图中未画出）时，MN所受的安培力为其刚进入ef时的2倍，此时通过S的电流增大到且瞬间断开。S断开后，对MN施加一竖直方向的外力，经过一段时间，MN的功率变为其刚进入ef时的16倍，之后功率保持不变。若整个过程中MN与导轨保持良好接触，导轨电阻与空气阻力均忽略不计。求： (1)导体棒MN的质量m； (2)导体棒MN静止下滑时距ef的高度h； (3)当MN功率保持不变时，外力在t时间内的冲量大小。 （三）单杆在斜面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U型金属导轨，导轨间距为L，导轨底端接阻值为R的定值电阻。质量为m、阻值也为R的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，达到最大速度2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g，则杆在磁场中沿导轨加速下滑的距离为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）如图，两根足够长的光滑平行金属直导轨与水平面夹角倾斜放置，下端连接一阻值的电阻，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度大小为的匀强磁场中。现将一质量的金属棒从导轨上端由静止释放，经过一段时间后做匀速运动。在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好（、为接触点），已知金属棒接入电路阻值为，导轨间距为，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。则（    ） A．金属棒运动过程中电流方向由指向 B．静止释放时金属棒的加速度大小为 C．金属棒做匀速运动的速度大小为 D．金属棒做匀速运动之前合力的冲量大于 【典型例题3】（多选）如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，间距为L＝1 m，质量为m的金属杆ab垂直放置在轨道上且与轨道接触良好，其阻值忽略不计。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T。P、M间接有阻值为R1的定值电阻，Q、N间接电阻箱R。现从静止释放ab，改变电阻箱的阻值R，测得最大速度为vm，得到与的关系如图乙所示。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.金属杆中感应电流方向为由a到b B.金属杆所受的安培力的方向沿轨道向上 C.金属杆的质量为1 kg D.定值电阻的阻值为1 Ω 【典型例题4】（多选）某电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距为，倾角为，导轨上端串接一个阻值为的电阻，下端接有电容为的电容器。在导轨间长为的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为，质量为的金属棒水平置于导轨上，用绝缘绳索（平行导轨）通过定滑轮与拉杆相连，金属棒向上运动时，闭合，断开，向下运动时，断开，闭合。棒的初始位置在磁场下方某位置处，一位健身者用大小为的恒力竖直向下拉动杆，棒运动过程中始终保持与导轨垂直，进入磁场时恰好匀速上升，棒到达磁场处时，撤去拉力，恰好能减速运动到磁场上边界，紧接着棒a从磁场上边界由静止开始下滑，此时电容器电量为零，下滑过程中，拉力始终为零。不计其它电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 棒a向上进入磁场时的速度大小为 B. 棒a减速向上运动的时间为 C. 棒a在磁场中下滑时做加速度减小的加速运动 D. 棒a向下离开磁场时的速度大小为 【典型例题5】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。导轨和ab杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和ab杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 【典型例题6】如图甲所示，粗细均匀的无限长光滑平行导轨固定在倾角的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁场边界EF上方位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的图像如图乙所示，其中OM、NP段为曲线，其它段为直线。已知磁感应强度，导轨间距，导体棒的质量均为，导体棒电阻均为，导轨电阻不计，g取。求： (1)的大小并直接写出ab棒在整个运动过程中加速度的最大值； (2)从到导体棒cd位移大小； (3)导体棒ab进入磁场后，通过导体棒ab的电荷量。 【变式训练1-3-1】如图所示，间距为L的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒ab从金属导轨上某处由静止释放，开始运动时间后做匀速运动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）    A．导体棒ab先做匀加速运动，后做匀速运动 B．导体棒稳定的速度大小 C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R产生的焦耳热 D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为 【变式训练1-3-2】如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m、电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.金属棒将做匀加速运动 B.释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcos α C.金属棒的最大速度大小为 D.金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多 【变式训练1-3-3】（多选）如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　) A．拉力F是恒力 B．拉力F随时间t均匀增加 C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2 【变式训练1-3-4】（多选）如图甲所示，平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻，平行导轨间距L＝1 m，定值电阻R＝3 Ω，虚线OO′下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r＝1 Ω、m＝0.1 kg的金属棒ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，金属棒下滑过程中的v－t图像如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流为0.5 A D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10－2 J 【变式训练1-3-5】（多选）如图所示，平行光滑金属导轨ab、cd间距为L=1.5 m，与水平面间的夹角θ=37°，导轨上端接有电阻R=0.8 Ω。一导体棒PQ垂直导轨放置且与导轨接触良好，导体棒质量为m=2 kg，连入电路的电阻为r=0.2 Ω，PQ上方导轨间有一矩形磁场区域，磁场面积为S=0.5 m2，磁场方向垂直导轨平面向下，矩形磁场区域内的磁感应强度大小B1随时间t变化的图像如图乙所示，PQ棒下方包括PQ所在处的轨道间充满垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2=2 T，导轨足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，导体棒从静止释放后，下列说法中正确的是(　　) A.刚释放时，导体棒的加速度为6 m/s2 B.导体棒的加速度为6 m/s2时，其下滑速度大小为1 m/s C.导体棒稳定下滑时速度大小为2 m/s D.导体棒稳定下滑时，R两端电压为3.2 V 【变式训练1-3-6】（多选）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ互相平行，间距为L，上端接入阻值为R的定值电阻，构成U形平面，与水平面的夹角为θ(0°＜θ＜90°)，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，金属棒ab的质量为m，接入电路的电阻为r。则金属棒ab沿导轨下滑过程中(　 ) A．最大加速度为gsin θ B．当金属棒ab下滑速度为v时，其两端电压为BLv C．所受安培力不会大于mgsin θ D．下滑速度大小一定小于mgsin θ 【变式训练1-3-7】如图所示，AME、HDG为两条足够长的光滑平行金属导轨。导轨倾斜部分倾角θ=30°，置于垂直倾斜导轨平面向下、磁感应强度大小为2T的匀强磁场中，距离MD足够远处放置一质量为20g、内阻不计的导体棒ab。导轨水平部分通过导线分别连接有电容C=5000μF的电容器和R=2Ω的电阻，导轨G端接有一单刀双掷开关。t=0时刻开关接1，对导体棒施加一个沿导轨向上、功率恒定的牵引力F，使导体棒从静止开始沿导轨向上运动，t=4s时达到最大速度2m/s，0~4s内电阻R上产生的热量为8.5J。t=6s时撤去牵引力，同时断开开关；t=6.4s时，开关接2。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，导轨间距L=0.5m，重力加速度g=10m/s2 ，则（　　） A．0~6s内导体棒先做匀加速运动后做匀速运动 B．整个过程中牵引力做功为13.2J C．导体棒沿轨道向上运动的最远距离为6m D．t=7s时，导体棒的速度大小为2.4m/s 【变式训练1-3-8】如图所示，质量的导体棒ab垂直放在相距为的足够长的平行光滑金属导轨上，导体棒在电路中电阻为，导轨平面与水平面的夹角，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。图的平行金属板长度为，间距为，带负电的粒子沿板方向以速度进入金属板。不计粒子重力和粒子间的相互作用。（金属导轨电阻不计，，g取） （1）开关S接1时，导轨与，内阻的电源连接。此时导体棒恰好静止在导轨上，求磁感应强度B的大小； （2）开关S接2时，导轨与定值电阻连接。静止释放导体棒，当导体棒运动状态稳定时，将平行金属板接到的两端，所有粒子恰好均能被金属板的下板收集，求粒子的比荷； （3）在（2）中，若导体棒从静止释放至达到最大速度的过程中，电阻产生的热量，求此过程中流过R的电荷量q。 【变式训练1-3-9】够长的两平行金属导轨、所构成的斜面与水平面的夹角为，两导轨间距为，两导轨顶端接一阻值为的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一根质量为，电阻的导体棒垂直放置于导轨上，现给导体棒施加一沿斜面向上的恒力，使导体棒由静止开始向上运动，经过一段时间后导体棒达到稳定状态，其速度为。已知从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳，取，试求： （1） 导体棒速度为时的加速度 （2） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的位移 （3） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的时间 【变式训练1-3-10】如图所示，足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ。导轨上端与阻值为R的电阻和电容为C的电容器相接，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上，一质量为m、电阻为R、长度为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，金属棒ab始终与导轨接触良好。现将开关S闭合，金属棒由静止开始运动。已知重力加速度为g。 (1)求金属棒沿导轨匀速滑行时的速度大小v； (2)金属棒沿导轨匀速运动后，将开关S断开并开始计时，求此后金属棒的速度大小v′随时间t变化的关系。 【变式训练1-3-11】如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流．金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g.求下滑到底端的过程中，求金属棒： (1)末速度的大小v. (2)通过的电流大小I. (3)通过的电荷量Q. 【变式训练1-3-12】如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面．质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置．在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力． (1)求ab开始运动时的加速度a； (2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况； (3)分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短． 【变式训练1-3-13】如图4，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： 图4 (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。 【变式训练1-3-14】如图7甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态，对应过程的v－t图像如图乙所示，(稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动)取g＝10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： 图7 (1)运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 题型02：双杆的动力学问题 （一）双杆在水平竖直方向上的动力学问题 【典型例题1】（多选）如图，两条电阻不计的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，其左端接一电池，右侧部分处于竖直向下的匀强磁场中。阻值恒定的金属杆在水平向右平行导轨的恒力F作用下，从无磁场区域的a处由静止开始运动，到达磁场中b位置时开始反向运动。金属杆在整个运动过程中，始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触。则金属杆在第一次往、返运动中，下列说法正确的是（　　） A．金属杆在磁场中受到的安培力始终向左 B．金属杆进入磁场后做加速度增大的减速运动 C．金属杆恰好能够回到a处 D．金属杆能回到无磁场区，但不能回到a处 【典型例题2】某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： (1)此时金属棒PQ的加速度是多少？ (2)此时金属棒MN、PQ的速度各是多少？ (3)金属棒MN和PQ的最大速度差是多少？ 【变式训练2-1-1】（多选）一空间有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B＝0.5T的匀强磁场，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，导体棒ab、cd长度均为0.2m，电阻均为0.1，重力均为0.1N。现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨垂直且接触良好），此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是（　　） A．经过cd的电流方向为从c到d B．ab受到的拉力大小为2N C．ab向上运动的速度大小为2m/s D．在2s内，拉力做功有0.6J的其他形式的能转化为电能 【变式训练2-1-2】（多选）如图所示，两条足够长的光滑平行导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L＝1 m，电阻不计，两导体棒a、b静置于导轨上，导体棒a的电阻不计，b棒的阻值为R＝1 Ω，单刀双掷开关1接在电容为C＝0.5 F的电容器上，初始状态，电容器不带电。电容器的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B1＝1 T，电容器左侧有垂直纸面向外的匀强磁场B2＝0.5 T，导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连，已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m＝1 kg。现将开关S接1位置，释放重物A，同时开始计时；t1＝0.25 s时断开开关S，t2＝0.45 s时将开关S接2位置，导体棒b开始运动；t3时刻两导体棒的加速度大小相等。重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　 ) A．t1时刻导体棒a的速度为v1＝1 m/s B．t2时刻导体棒a的速度为v2＝3 m/s C．t3时刻导体棒a的加速度为 m/s2 D．t3时刻回路消耗的热功率为25 W 【变式训练2-1-3】（多选）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，两根足够长水平金属直轨道平行放置，轨道间距L＝0.5 m。将质量均为m＝0.5 kg、长度均为L、电阻均为R＝0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ＝0.4。现用外力F使金属棒b保持静止，对金属棒a施加大小为F0＝6 N，水平向右的恒力，当金属棒a匀速运动时，撤去固定金属棒b的外力F，在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s B.金属棒a匀速运动时，其两端的电势差为4 V C.撤去外力F后，a、b两金属棒的速度差不断增大 D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动 【变式训练2-1-4】如图所示，电阻不计的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直部分粗糙，水平部分光滑，水平及竖直部分均足够长。整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为μ。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R。t = 0时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做加速度为a的匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求拉力F随时间t变化的关系式； （2）求导体棒Q所达到的最大速度vm及下滑的总时间； （3）若在导体棒Q停止下滑的同时撤去拉力F，导体棒P继续运动多远距离时，导体棒Q又开始下滑？ （1） 双杆在斜面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【典型例题2】（多选）如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面夹角为，两导轨间距为0.4m，导轨电阻不计。导轨所在空间被分成足够长的区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为MN，区域I中分布有垂直斜面向下的匀强磁场，区域II中分布有垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁场感应度大小均为。在区域I中，将质量，电阻的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域II中将质量，电阻的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域II的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取，则（　　） A．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同的速度运动 B．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同大小的加速度运动 C．当cd的速度大小为5m/s时，ab刚要开始滑动 D．当cd的速度大小为2.5m/s时，ab刚要开始滑动 【典型例题3】如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。 （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。 【变式训练2-2-1】如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【变式训练2-2-2】（多选）如图，两条足够长的平行金属导轨间距，与水平面的夹角，处于磁感应强度、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为、，电阻均为。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度。已知当a棒中产生的焦耳热时，其速度，a上方和b下方都足够长，下列说法正确的是（　　） A．此时b棒的速度大小为 B．此时a棒的加速度大小为 C．a棒从静止释放到速度达到所用的时间为 D．a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动 【变式训练2-2-3】（多选） 如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A. 回路中的电流方向为abcda B. ab中电流趋于 C. ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D. 两棒产生的电动势始终相等 【变式训练2-2-4】如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与EFGH组成两组足够长的平行导轨，其中EFEF组成的面与水平面夹角为θ=30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与EF之间的距离为2L，GHG'H'水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ=0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 【变式训练2-2-5】如图所示，倾角=30°的斜面上有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=0.5m，底端接有电容C=2000μF的电容器。质量m=20g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B=2T。现用一沿导轨方向向上的恒力F1=0.54N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v=5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向下，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求： (1)导体棒运动到B处时，电容器C上的电荷量； (2)t的大小； (3)F的大小。 题型03：线框的动力学问题 （一）线框在水平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示为某精密电子器件防撞装置，电子器件T和滑轨固定在一起，总质量为，滑轨内置匀强磁场的磁感应强度为B。受撞滑块K套在，滑轨内，滑块K上嵌有闭合线圈，线圈总电阻为R，匝数为n，边长为L，滑块K（含线圈）质量为，设T、K一起在光滑水平面上以速度向左运动，K与固定在水平面上的障碍物C相撞后速度立即变为零。不计滑块与滑轨间的摩擦作用，大于滑轨长度，对于碰撞后到电子器件T停下的过程（线圈边与器件T未接触），下列说法正确的是（　　） A. 线圈中感应电流方向为abcda B. 线圈受到的最大安培力为 C. 电子器件T做匀减速直线运动 D. 通过线圈某一横截面电荷量 【典型例题2】（多选）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1 m，电阻不计。质量为1 kg、长为1 m、电阻为1 Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2 T，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1 kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度v1＝2 m/s，CD的速度为v2且v2>v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．B2的方向向上 B．B2的方向向下 C．v2＝5 m/s D．v2＝3 m/s 【典型例题3】（多选）光滑水平面上有两个相邻互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场方向为垂直纸面，两磁场的磁感应强度大小相等方向相反，如图所示，磁场宽度均为，有一边长也为L的正方形闭合线框，从磁场外以速度进入磁场，当线框边进入磁场I时施加向右的水平恒力，边进入磁场I过程线框做匀速运动，进入磁场Ⅱ区域某位置后线框又做匀速运动，已知线框的质量，以下说法正确的是（　　） A．线框边刚进入磁场Ⅱ时加速度大小为 B．线框第二次匀速运动的速度大小为0.5 m/s C．线框边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时间为0.3 s D．线框边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时整个线框产生的内能为0.375 J 【变式训练3-1-1】如图所示，水平面上静止放置一个单匝正方形线框，边长为0.2 m，总电阻为4 Ω。线框有一半处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度的大小与时间的关系为B=(3+2t) T，若线框在t=0到t=5 s一直处于静止状态，则在t=2.5 s时刻，线框所受摩擦力的大小和方向分别为(　　) A.0.016 N、向右 B.0.032 N、向右 C.0.016 N、向左 D.0.032 N、向左 【变式训练3-12-】如图所示，边长为L、电阻为R的正方形金属线框静止在光滑绝缘的水平桌面上，其右侧有一宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B，方向竖直向下，磁场边界与金属线框AB边平行，而且。现金属线框在一恒力F作用下向右运动，并通过磁场区域。以v表示线框运动的速度，从线框AB边进入磁场开始计时，到线框CD边离开磁场计时结束，则这段时间内，下列线框的速度随时间变化的关系图中，不可能的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1-3】（多选）如图所示，在粗糙绝缘的水平面内，存在一竖直向下的磁场区域，磁感强度B沿水平向右的方向均匀增加，分布规律为B=kx，其中k为正的常数。有一个长为L、宽为h、质量为m、电阻为R的不变形的矩形金属线框，在运动过程中始终位于磁场区域内。当它在该平面内运动时，将受到大小恒为f的阻力作用，则（　　） A．若磁场区域以速度v水平向左匀速运动，线圈可能静止不动 B．若磁场区域以速度v水平向左匀速运动，线圈由静止释放，则此后线圈运动的最大速度可能为 C．若让线圈在水平外力F的作用下从静止开始向右做加速度为a的匀加速直线运动，则F与时间t的关系为 D．若零时刻磁场区域由静止开始水平向左做匀加速直线运动，同时线圈由静止释放，足够长的时间后，t时刻磁场区域的速度为vt，则此刻线圈的速度 【变式训练3-1-4（多选）如图所示，光滑水平桌面被虚线分成左右两部分，右侧处于竖直向下的匀强磁场中。由相同材料制成的导线绕成边长相同的M、N两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，N的匝数是M的n倍。M、N分别在水平恒力F1、F2的作用下以相同速度垂直磁场边界匀速进入该磁场区域，下列说法正确的是（　　） A. 线圈M、N的电阻之比为1∶n B. 水平外力F1与F2的比值为1∶1 C. 通过线圈M、N某横截面的电荷之比为1∶1 D. 线圈M、N产生的焦耳热之比为1∶1 【变式训练3-1-5】如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框，置于始终竖直向下的匀强磁场中，边与磁场边界平行，边中点位于磁场边界。导体框的质量，电阻、边长。磁感应强度B随时间t连续变化，内图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。 （1）求时边受到的安培力大小F； （2）画出图(b)中内图像（无需写出计算过程）； （3）从开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，求ad边离开磁场时的速度大小。 （二）线框在竖直平面上的动力学问题 【典型例题1】两个用材料和横截面积都相同的细导线做成的刚性闭合线框，分别用不可伸长的细线悬挂起来，如图所示。两个线框均有一半面积处在磁感应强度随时间均匀变化的匀强磁场中，两线框平面均始终垂直于磁场方向。某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，此时正方形线框所受细线的拉力也为零。若已知圆形线框的半径为，则正方形线框的边长为（　　） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）如图6所示，相距为d的两水平线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，正方形线框abcd边长为L(L<d)、质量为m、电阻为R。将线框在磁场上方高h处由静止释放，ab边刚进入磁场和穿出磁场时的速度恰好相等，重力加速度为g，则在线框全部穿过磁场的过程中(　　) 图6 A.ab边刚进入磁场时ab两端的电势差为BL B.感应电流所做功为mgd C.感应电流所做功为2mgd D.线框最小速度为v＝ 【典型例题3】（多选）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为d的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为B，每个磁场分布区间的长度都是l，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为d、长为l、总电阻为R的导线框MNPQ（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A. 磁场平动的速度方向竖直向上 B. 磁场平动的速度方向竖直向下 C. 导线框和电梯轿厢的总质量为 D. 当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为 【变式训练3-2-1】（多选）如图，空间某区域内存在沿水平方向的匀强磁场，一正方形闭合金属线框自磁场上方某处自由释放后穿过磁场，整个过程线框平面始终竖直．线框边长小于磁场区域上下宽度。若不计空气阻力，以线框刚进入磁场时为计时起点，下列描述线框所受安培力F随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式训练3-2-2】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　 ) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 【变式训练3-2-3】（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ） A. 线圈电阻为 B. I越大，表明m越大 C. v越大，则E越小 D. 【变式训练3-2-4】如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L＝0.2 m、回路电阻R＝1.6 × 10 － 3 Ω、质量m＝0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ＝45°角、大小为4 N 的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g＝10 m/s2，求： (1)ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热； (3)磁场区域的水平宽度。 【变式训练3-2-5】如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6m，高0.5m，大小均为0.5T。电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8Ω，高度为1.5m，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2400kg，g取10m/s2，忽略摩擦阻力。当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时，求∶ （1）电梯下落速度达到2.5m/s时，线圈内产生的感应电流大小； （2）电梯可达到的最大速度； （3）若电梯下落4.5m，达到最大速度的，此过程所用时间。 （1） 线框在斜面的动力学问题 【典型例题1】（多选）如图所示为一个倾角为，足够长、宽度大于的绝缘斜面，垂直于斜面两边的虚线的上方存在垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个边长为、质量为的单匝正方形导体框的边恰好与重合，时刻导体框以速度大小为沿斜面向上进入磁场区域，一段时间后，导体框的边第一次与重合，此时导体框的速度大小为，最后导体框的边向下到达时，导体框恰好匀速滑出磁场。已知导体框电阻为，斜面对导体框的摩擦力大小恒定不变为，运动过程中，导体框的边始终与平行，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．导体框边刚进入磁场时，其加速度大小为 B．导体框进入磁场的过程所用的时间为 C．导体框向上进入磁场和向下穿出磁场两个过程中，所用的时间相同 D．导体框从进入到穿出磁场过程中产生的总热量为 【典型例题2】如图8(a)，固定的绝缘斜面MNPQ倾角θ＝37°，虚线OO1与底边MN平行，且虚线OO1下方分布有垂直于斜面向上(设为正方向)的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像如图(b)。质量m＝3.0×10－2 kg、边长L＝2.0×10－1 m、电阻R＝2.0×10－3 Ω粗细均匀的正方形导线框abcd置于斜面上，一半处在OO1的下方，另一半处在OO1的上方，ab与OO1平行。已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： 图8 (1)导线框与斜面间的动摩擦因数μ的大小； (2)导线框从t＝0到恰好滑动的这段时间，导线框产生的焦耳热Q。 【变式训练3-3-1】如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与斜面平行。距线框cd边为L0的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L2。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为L1(L1<L2)、质量为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，试求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q。 【变式训练3-3-2】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 题型04：单杆的能量问题 【典型例题1】如图甲所示，间距的两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面上，右端连接的定值电阻，导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量的金属棒垂直导轨放置，在水平拉力F的作用下由静止开始沿导轨向左加速运动，当金属棒的速度时撤去拉力F，撤去拉力F之前金属棒的图像如图乙所示，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与导轨的电阻不计。则（    ） A．撤去拉力F前金属棒的加速度逐渐减小 B．撤去F后，通过金属棒的电荷量为1.8C C．撤去F之前，金属棒克服安培力做的功为0.2J D．整个运动过程中，电阻R产生的热量为2J 【典型例题2】(多选)如图甲所示，左侧接有定值电阻R＝2 Ω的水平粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，导轨间距L＝1 m。一质量m＝2 kg，阻值r＝2 Ω的金属棒在水平拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v－x图像如图乙所示，若金属棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.2，则从起点发生x＝1 m位移的过程中(g＝10 m/s2)(　　) A.金属棒克服安培力做的功W1＝0.25 J B.金属棒克服摩擦力做的功W2＝5 J C.整个系统产生的总热量Q＝4.25 J D.拉力做的功W＝9.25 J 【典型例题3】(多选)如图所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计。初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1=，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。则下列说法正确的是(　　) A.初始时刻导体棒受到的安培力大小F= B.初始时刻导体棒加速度的大小a=2g+ C.导体棒往复运动，最终静止时弹簧处于压缩状态 D.导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q=m+ 【典型例题4】(多选)如图所示，两根相距为的平行光滑金属导轨倾斜放置，处于垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中，两导轨顶端与电容器相连，质量为、长度为的金属杆垂直导轨放置，金属杆与导轨接触良好。开始时电容器不带电，金属杆被锁定在距倾斜导轨底端处。已知两导轨倾角均为，电容器电容为，重力加速度为，不计一切电阻。现解除锁定，下列说法正确的是（　　） A．金属杆下滑过程中做加速度减小的变加速直线运动 B．若增大电容器电容，金属杆下滑时间变短 C．金属杆下滑到导轨底端时电容器极板间电压 D．金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能 【典型例题5】(多选)如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨MAC、NBD水平放置，MA、NB间距L=0.4m，AC、BD的延长线相交于点E且，E点到直线AB的距离d=6m，M、N两端与阻值的电阻相连.虚线右侧存在方向与导轨平面垂直向下的匀强磁场，磁感应强度B=1T，一根长度也为L=0.4m，质量为m=0.6kg电阻不计的金属棒，在外力作用下从AB处以初速度沿导轨水平向右运动，棒与导轨接触良好，运动过程中电阻R上消耗的电功率不变.则 A.电路中的电流 B.金属棒向右运动过程中克服安培力做的功 C.金属棒向右运动过程中外力做功的平均功率 D.金属棒向右运动过程中在电阻中流过的电量 【典型例题6】如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【典型例题7】在研究电磁感应现象时，某同学设计了一种实验装置，模拟物体在变化磁场中的运动以及由此产生的电流。如图所示，光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨间距L=0.25m，左端连接R=0.2Ω的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度的B-t图如图乙所示，质量为m=0.5kg，电阻r=0.3Ω的金属棒与质量也为m的物块通过光滑定滑轮由绳相连，绳始终处于绷紧状态，PQ、MN到右端卡环距离分别为25m和15m，t=0时刻由PQ位置静止释放金属棒，棒与导轨始终接触良好，滑至导轨右端被卡环卡住不动，金属导轨、卡环的电阻均不计，g取10m/s²。求： (1)金属棒进入磁场时的速度； (2)金属棒进入磁场时通过导体棒的感应电流； (3)在0-8s时间内电路中产生的焦耳热。 【典型例题8】如图，光滑平行金属导轨、水平部分固定在水平平台上，圆弧部分在竖直面内，足够长的光滑平行金属导轨、固定在水平面上，导轨间距均为L，点与点高度差为，水平距离也为，导轨、左端接阻值为R的定值电阻，水平部分处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，平行金属导轨、完全处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为。质量为的导体棒放在金属导轨、上，质量为m的金属棒从距离导轨水平部分高度为处由静止释放，从处飞出后恰好落在P、Q端，并沿金属导轨、向右滑行，金属棒落到导轨、上时，竖直方向分速度完全损失，水平分速度不变，最终a、b两金属棒恰好不相碰，重力加速度大小为，不计导轨电阻，一切摩擦及空气阻力。a、b两金属棒接入电路的电阻均为R，运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求： (1)导体棒a刚进入磁场时的加速度大小； (2)平行金属导轨、水平部分长度d； (3)通过导体棒b中的电量及整个过程金属棒a产生的焦耳热。 【变式训练4-1】如图所示，导体框位于竖直平面内，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小B=2.0T，水平导体棒MN可沿两侧足够长的光滑导轨下滑而不分离，导体棒MN质量m=0.1kg，接入电路的电阻r=1.0Ω；导轨宽度L=1.0m，定值电阻R=3.0Ω，装置的其余部分电阻可忽略不计。将导体棒MN无初速度释放，导体棒下滑h=2.0m高度时速度达到最大，重力加速度g=10m/s2。则导体棒（　　） A．下滑的最大速度为4m/s B．从释放到下滑h高度所经历时间为1s C．从释放到下滑h高度过程中，电阻R产生的热量为1.95J D．从释放到下滑h高度过程中，通过电阻R的电荷量为1C 【变式训练4-2】如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的感应电流逐渐增大 B. 导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C. 通过回路中某横截面上的电荷量为 D. 导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 【变式训练4-3】（多选）如图1所示，两根光滑长直导轨AM和AN在A点连接，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。一根长直金属杆垂直AM放置，开始时与A点相距L，杆与A点之间的导轨上连接一阻值为R的电阻。时刻，在水平外力作用下，杆沿平行AM方向以初速度水平向右运动，位移为L时到达PQ，杆速度倒数与位移x间的关系如图2所示，不计其余电阻。则（　　） A．前一半时间内的平均感应电动势比后一半时间内的平均感应电动势小 B．位移时，速度大小为 C．运动到PQ过程中，通过电阻的电量为 D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为 【变式训练4-4】（多选）如图4甲所示，平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻，平行导轨间距L＝1 m，定值电阻R＝3 Ω，虚线OO′下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r＝1 Ω、m＝0.1 kg的金属棒ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，金属棒下滑过程中的v－t图像如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) 图4 A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流为0.5 A D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10－2 J 【变式训练4-5】如图所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为R0，一部分弯曲成直径为d的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好．圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感强度为B0导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小．设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，此圆圈从初始的直径d到完全消失所需时间t为 A. B. C. D. 【变式训练4-6】（多选）如图甲所示，足够长导轨与水平面的夹角，导轨间距，其下端连接一个阻值的定值电阻，两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。一质量为的导体棒垂直于导轨放置，导体棒与导轨间的动摩擦因数。现将导体棒由静止释放，对应过程的图像如图乙所示，内为曲线、后为直线。运动过程中，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力和导体棒、导轨电阻，取，下列说法正确的是（    ） A．导体棒的加速度大小为时，导体棒的速度大小为 B．导体棒的质量为 C．内，通过定值电阻的电荷量为 D．内，系统产生的焦耳热为 【变式训练4-7】（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在倾角为的绝缘斜面上，导轨间距为，导轨下端连接一个阻值为的定值电阻，空间有一磁感应强度大小为、方向垂直导轨所在斜面向上的匀强磁场。一个轻弹簧的劲度系数为，下端固定在斜面上，弹簧上端与质量为、长为、电阻也为的导体杆相连，杆与导轨垂直且接触良好，弹簧与导轨平行。导体杆中点系一轻细线，细线平行斜面，绕过一个光滑定滑轮后悬挂一个质量也为的物块。初始时用手托着物块，导体杆保持静止，细线伸直，但无拉力。重力加速度大小为，弹簧始终在弹性限度内，释放物块后，下列说法正确的是（    ） A．释放物块瞬间，导体杆的加速度大小为 B．运动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，导体杆的加速度为零 C．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 D．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 【变式训练4-8】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 金属杆经过的速度为 B. 在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C. 金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D. 若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 【变式训练4-9】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【变式训练4-10】（多选）如图甲所示为一倾角的粗糙平行导轨，其上方水平放置一导体棒MN、下方接有规格为“5V，1A”的小灯泡。导轨上某区域存在一矩形匀强磁场，磁场水平宽度恰等于导轨间距，磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小按图乙所示规律变化。现将导体棒从时刻由静止释放，时恰好进入磁场区域做匀速直线运动，直到时刻离开磁场，小灯泡在时间内始终正常发光。已知导轨间距、导体棒MN的长度均为，导体棒MN与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取，，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场沿导轨方向的长度 B． C．导体棒MN的电阻 D．内，整个装置产生的焦耳热与摩擦产生的热量之比为 【变式训练4-11】（多选）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。重力加速度为g，则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　) A.流过定值电阻的电流方向是N→Q B.通过金属棒的电荷量为 C.克服安培力做的功为mgh D.金属棒产生的焦耳热为(mgh－μmgd) 【变式训练4-12】（多选）如图甲，水平面上两根足够长的粗糙金属导轨平行固定放置，间距为L＝1.0 m，一端通过导线与阻值为R＝0.5 Ω的电阻连接；导轨上放一质量为m＝0.5 kg 的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计，匀强磁场竖直向下。用与导轨平行的拉力F作用在金属杆上，使杆运动，当改变拉力的大小时，相对应稳定时的速度v也会变化，已知v和F的关系如图乙所示。重力加速度取g＝10 m/s2，则(　 ) A．金属杆受到的拉力与速度成正比 B．该磁场的磁感应强度为B＝0.25 T C．图线在横轴的截距表示金属杆与导轨间的阻力大小 D．导轨与金属杆之间的动摩擦因数为μ＝0.4 【变式训练4-13】（多选）如图，顶角为60°的V形光滑导轨POQ倾斜固定，导轨平面倾角为30°。一绝缘轻弹簧上端固定于O点，下端连接质量为m的导体棒ab，已知弹簧原长为L，劲度系数为k，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r。空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。弹簧处于原长时，ab由静止释放，运动过程中，ab始终保持水平且与导轨接触良好，弹簧始终在角∠POQ平分线OO′上。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．ab下滑过程中a端电势比b端高 B．ab加速下滑过程中导体棒的电流恒定 C．ab下滑距离L过程中通过导体棒中间横截面的电荷量大小为 D．ab从开始释放到最终静止过程中整个回路产生的热量等于 【变式训练4-14】（多选）如图所示，是固定在水平面上的光滑的形导轨，、两导轨平行且间距为，两导轨间有长为、宽为的矩形匀强磁场，磁感应强度大小为，方向竖直向下。一质量为、长度为、阻值为的金属棒与导轨接触良好，静止在磁场右端，现用水平向左的恒力拉动金属棒，已知金属棒离开磁场前的速度已经达到最大，导轨段的电阻为，其余部分电阻不计，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒做匀速运动的速率为 B．金属棒离开磁场前两端电压为 C．金属棒穿过磁场过程中通过的电荷量为 D．金属棒穿过磁场过程中，金属棒上产生的热量为 【变式训练4-15】（多选）如图5(a)，两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接有一阻值为R的电阻。将一质量为m、阻值为R、长度也为L的金属棒通过绝缘细绳悬挂在距离导轨底端h高度处。空间中存在方向垂直于导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化，如图(b)所示。已知在t0时刻，细绳刚好断开，金属棒开始向下运动，下落高度为d时达到最大速度(d<h)。金属棒始终与轨道垂直且保持良好接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.金属棒下落的最大速度为 B.金属棒运动过程中机械能守恒 C.细绳断裂前电路的总功率为 D.细绳断裂后至金属棒达到最大速度的过程中，电路中产生的总热量为 【变式训练4-16】（多选）如图所示，水平导体棒ab的质量，长L=1m、电阻，其两个端点分别搭接在竖直平行正对放置的两光滑金属圆环上，两圆环半径均为r=1m、电阻不计。阻值的电阻用导线与圆环相连接，理想交流电压表V接在电阻R两端。整个空间有磁感应强度大小为B=1T、方向竖直向下的匀强磁场。导体棒ab在外力F作用下以速率两圆环的中心轴匀速转动。t=0时，导体棒ab在圆环最低点。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的电流 B. 电压表的示数为 C. 从t=0到0. 5πs的过程中通过R的电量为2C D. 从t=0到0. 5πs的过程中外力F做功为 【变式训练4-17】光滑的水平长直轨道放在磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于水平面向下，轨道宽L=0.5m；当开关与a接通时，电源可提供大小稳定为2A的电流，棒中电流方向由Q流向P；开关与b接通时，电阻R=0.05Ω。一导体棒PQ长为0.5m，质量m=0.2kg、电阻r=0.05Ω静止在导轨上，不计其他电阻，它与导轨接触良好，且在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。开关开始接a，当棒的位移x1=18m时开关瞬间与a断开、与b接通，棒继续运动一段距离后停下来，导轨足够长。求： (1)当开关与a接通时，棒PQ加速度的大小及棒在运动全过程中的最大速度v是多少； (2)当开关与b接通后，棒运动的位移x2大小； (3)运动全过程中棒PQ产生的焦耳热Q是多少。 【变式训练4-18】如图所示，水平面内固定一“”形光滑足够长的金属框架，三角形区域为边长的等边三角形，平行区域间距也为，在点处有一小缺口，使部分与框架其余部分绝缘。框架所在的空间内，从左至右依次分布有三个竖直向下的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个磁场的磁感应强度大小均为，Ⅱ区域宽度为，Ⅲ区域宽度为、Ⅱ区域间距忽略不计，Ⅱ、Ⅲ区域间距未知。现有两完全相同的金属杆、，质量均为，杆上单位长度的电阻均为，杆最初静止于磁场的左侧，杆在水平拉力作用下从点开始向右做速度大小为的匀速直线运动，杆经过后撤去外力。已知杆通过缺口前后速度不变，杆出Ⅲ区域时的速度大小为，杆出Ⅲ区域的过程中杆在Ⅱ区域的位移大于3.5l，金属框架的电阻不计，两杆与导轨始终接触良好，且间如果发生碰撞为弹性碰撞，求： （1）杆向右运动位移为时，流经杆的电流大小； （2）整个运动过程中系统所产生的热量。 【变式训练4-19】如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距为L=1m，R1和R2是并联在导轨一端的电阻，且R1=12Ω、R2=6Ω，ab是垂直导轨放置的质量为m=1kg的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零时刻开始，对ab施加一个大小为F=0.75N，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的v-t图像，其中O点为坐标原点，其坐标为（0，0），AO是图像在O点的切线，AB是图像的渐近线。除R1、R2以外，其余部分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知当棒的位移为20m时，其速度达到了最大速度1m/s。求（结果可以保留分数） （1）导体棒ab运动中受的摩擦力f的大小和磁感应强度B的大小； （2）在导体棒ab的位移为20m过程中R2电阻上产生的焦耳热； （3）若在导体棒ab的位移为20m时立即将恒定拉力F撤掉，此后导体棒ab滑行到停止的过程中流过R1的电量为C，求摩擦力在导体棒ab整个运动过程的平均功率。 【变式训练4-20】如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态，对应过程的v－t图像如图乙所示，(稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动)取g＝10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： (1)运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 【变式训练4-21】够长的两平行金属导轨、所构成的斜面与水平面的夹角为，两导轨间距为，两导轨顶端接一阻值为的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一根质量为，电阻的导体棒垂直放置于导轨上，现给导体棒施加一沿斜面向上的恒力，使导体棒由静止开始向上运动，经过一段时间后导体棒达到稳定状态，其速度为。已知从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳，取，试求： （4） 导体棒速度为时的加速度 （5） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的位移 （6） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的时间 【变式训练4-22】如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 【变式训练4-23】如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B = kt（SI），k为常数（k > 0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t = 0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。 （1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向； （2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式； （3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 【变式训练4-24】如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。 (2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。 【变式训练4-25】如图1，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差的水平面上．以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标轴，圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场，如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场，如图3所示；磁场和的方向均竖直向上，在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间金属棒恰好滑到圆弧导轨底端。已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。 （1）若金属棒能离开右段磁场区域，离开时的速度为v，求：金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q； （2）若金属棒滑行到位置时停下来，求：金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q； （3）通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置。 【变式训练4-26】如图，水平面内固定有平行长直金属导轨ab、cd和金属圆环；金属杆MN垂直导轨静止放置，金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好。水平导轨区域、圆环区域有等大反向的匀强磁场。OP绕O点逆时针匀速转动；闭合K，待MN匀速运动后，使OP停止转动并保持静止。已知磁感应强度大小为B，MN质量为m，OP的角速度为ω，OP长度、MN长度和平行导轨间距均为L，MN和OP的电阻阻值均为r，忽略其余电阻和一切摩擦，求： （1）闭合K瞬间MN所受安培力大小和方向； （2）MN匀速运动时的速度大小； （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，MN产生的焦耳热。 【变式训练4-27】如图所示，长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上，两者平行且相距l，M、P连线垂直于导轨，定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r，M、P间连接一阻值为的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。零时刻，金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度大小为g。 (1)金属杆在导轨上运动时，回路的感应电动势； (2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时，回路的热功率； (3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。 【变式训练4-28】某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a=0.8 m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m=1 kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0=12 V、内阻r=0.1 Ω，限流电阻R1=0.3 Ω，飞轮每根辐条电阻R=0.9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感线圈L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。 (1)开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U=8 V， ①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I; ②求物块匀速上升的速度v。 (2)开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等， ①求可调电阻R2的阻值; ②求磁感应强度B的大小。 【变式训练4-29】如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距L=0.5 m，长为3d，d=1.0 m，导轨及所在平面与水平面的夹角均为θ=37°，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘粗糙涂层(涂层不导电)，其余部分光滑。匀强磁场的磁感应强度大小为B=4.0 T，方向垂直于导轨平面向上。质量m=0.2 kg的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，接在两导轨间的电阻R=8.0 Ω，导体棒接入回路的电阻r=2.0 Ω，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求: (1)导体棒匀速运动的速度大小; (2)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ; (3)在整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q。 【变式训练4-30】某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈、组成。小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙，其中，每个线圈的圆心角为，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以的角速度保持匀速转动，以线圈的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周。 （1）不同时间线圈受到的安培力大小； （2）流过线圈的电流有效值； （3）装置K消耗的平均电功率。 题型05：双杆的能量问题 【典型例题1】（多选）如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B．质量均为m的金属棒a、b垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为的初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨的电阻不计，则下列说法正确的是（    ） A．开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 B．当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 C．最终通过金属棒b的电荷量为 D．最终金属棒a中产生的焦耳热为 【典型例题2】如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近 af位置以初速度向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度（未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： (1)导体棒I到达bg时速度的大小； (2)导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小； (3)导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热。 【典型例题3】（多选）如图所示，光滑平行导轨由倾角的倾斜部分和水平部分构成，两部分在处平滑连接且连接处绝缘，导轨间距，倾斜部分有垂直导轨平面向上的匀强磁场I，磁感应强度大小，水平部分虚线1、2间存在竖直向上的匀强磁场II，磁感应强度大小。倾斜导轨上端A、间接有电容的电容器，水平轨道上静止两导体棒在磁场外，在磁场II中。某时刻将导体棒在导轨，上、距底面高处由静止释放，导体棒沿斜面下滑至底端进入水平轨道，与导体棒发生弹性碰撞，碰后立即取走导体棒，导体棒离开磁场II时速度为未发生碰撞。三导体棒的质量，导体棒电阻不计，导体棒的电阻分别为，长度均为，三导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．导体棒到达底端所经历的时间为 B．进入II的瞬间，两端的电压为 C．导体棒在磁场内产生的焦耳热为 D．初始时刻导体棒距离磁场II左边界1的最小距离为 【典型例题4】如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【变式训练5-1】（多选）如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属直导轨固定，导轨间距为，所在平面与水平面的夹角为，导轨间存在垂直于导轨平面、方向相反的匀强磁场，其磁感应强度的大小分别为、。、是垂直于导轨，间距为的磁场边界。将质量分别为、的金属棒、垂直导轨放置，棒与的间距也为，两棒接入导轨之间的电阻均为，其他电阻不计。现同时将两棒由静止释放，两棒与导轨始终垂直且接触良好。时刻棒经过，棒恰好经过进入磁场，时刻棒经过。棒运动的图像如图乙所示，中间图线平行于横轴，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A． B．棒刚进入磁场时的速度大小 C．时间内，棒上产生的焦耳热为 D．时刻，、两棒的距离为 【变式训练5-2】（多选）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A. 回路中的电流方向为abcda B. ab中电流趋于 C. ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D. 两棒产生的电动势始终相等 【变式训练5-3】（多选）如图所示，两平行金属轨道间距为L，与水平方向夹角为，轨道电阻不计，垂直轨道放置两根质量分别为m和的金属棒，有效阻值分别为R和，金属棒与轨道间的动摩擦因数均为。整个装置处在垂直轨道向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。给a棒一个沿轨道向下的初速度，同时b棒由静止释放，两金属棒与轨道间接触始终良好。已知金属棒间的距离足够大，，，下列说法正确的是（　　） A. a棒的加速度先减小后增大，两棒间距一直减小 B. b棒开始运动时的加速度大小为 C. 整个过程中a棒产生的焦耳热为 D. 两棒间距的变化量为 【变式训练5-4】如图所示，倾角为的两根足够长的平行金属导轨间距为，导轨顶端接有一阻值为的定值电阻。垂直导轨的虚线下方空间存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为。导体棒和中间通过轻质绝缘细杆组成“工”字形框架后垂直放置在导轨上，导体棒距离虚线的初始距离为。已知导体棒的质量为，导体棒的质量为，两导体棒的长度均为，阻值均为，跟导轨之间的动摩擦因数均为，绝缘轻质细杆的长度为，重力加速度取，导轨电阻不计。现给“工”字形框架一个沿导轨向下的初速度，框架运动过程中不翻转且与导轨接触良好。求： (1)导体棒进入磁场瞬间受到的安培力大小； (2)框架进入磁场的过程中，通过定值电阻的电荷量； (3)从导体棒进入磁场到框架停止运动的过程中定值电阻上产生的热量。 【变式训练5-5】（多选）如图所示，电阻不计且足够长的平行导轨abcd-a'b'c'd'由四部分组成，ab、a'b'部分是半径为R的四分之一竖直圆弧，bc-b'c'、cd-c'd'、d'a-d'a'部分在同一水平面上，bc-b'c'宽2L，cd-c'd'宽L。导轨区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。质量为m、电阻为r、长度为2L的完全相同的金属棒M、N两端套在导轨上，N在d'a-d'a'上静止并锁定。现将M从圆心O等高处a-a'由静止释放，M到达最低点b-b'时对轨道的压力为2mg，并在此刻同时解除对N的锁定。M下落后续始终在bc-b'c'上运动，N始终在cd-c'd'上运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，经过足够长的时间，求∶ (1)M在下滑过程中，N产生的焦耳热QN； (2)M、N最终速度的大小vM、vN。 【变式训练5-6】（多选）如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近 af位置以初速度向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度（未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： (1)导体棒I到达bg时速度的大小； (2)导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小； (3)导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热。 【变式训练5-7】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨放在绝缘水平面上，导轨宽度为L，虚线右侧匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，虚线左侧匀强磁场的磁感应强度为2B，方向竖直向上，虚线两侧分别垂直导轨静止放置两根导体棒P、Q，长均为L，质量均为m，电阻均为R。现给Q向右的初速度，运动中P、Q与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨的电阻，求： (1)P开始运动的加速度大小； (2)Q最终稳定时的速度大小； (3)P从开始运动到稳定时通过的电荷量和产生的焦耳热。 【变式训练5-8】（多选）如图所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，导轨间距L＝1 m。导轨平面与水平面的夹角θ＝37°，匀强磁场的磁感应强度大小B＝2 T，ab、cd两金属棒放在导轨上与导轨垂直并处于静止状态，两金属棒的长度均为L＝1 m，电阻均为R＝5 Ω，质量均为0.5 kg，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s2。若使金属棒ab以v1＝1 m/s的速度沿导轨向下匀速运动，则金属棒cd恰好要滑动；现使金属棒ab从静止开始向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度的大小a＝8 m/s2，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒与导轨间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)金属棒与导轨间的动摩擦因数μ； (2)从静止开始，金属棒ab向上加速运动多长时间，金属棒cd刚好要滑动； (3)已知金属棒ab向上匀加速运动至金属棒cd刚好要滑动的过程中，拉力对金属棒ab所做的功W＝234.4 J。则此过程中，金属棒cd中通过的电荷量及产生的焦耳热。 【变式训练5-9】（多选）如图14甲所示，足够长的带绝缘皮的柔软导线跨过光滑轻质滑轮悬挂两条水平金属棒MN、PQ，棒长均为l＝0.50 m，电阻值均为R＝1.0 Ω.MN质量m1＝0.10 kg, PQ质量m2＝0.20 kg，整个装置处于磁感应强度B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向水平且垂直于MN和PQ.t＝0时刻，对金属棒MN施加一个竖直向下的外力F，使之由静止开始向下运动，运动过程中电路中的电流I随时间t变化的关系如图乙所示．电路中其他部分电阻忽略不计， g取10 m/s2.(结果保留两位有效数字) 图14 (1)求2.0 s末金属棒MN瞬时速度的大小； (2)求4.0 s末力F的瞬时功率； (3)已知0～3.0 s时间内MN上产生的热量为0.36 J，试计算F对金属棒MN所做的功． 【变式训练5-10】（多选）如图所示，两光滑的平行金属导轨间距为L＝0.5m，与水平面成θ＝30°角。区域ABCD、CDFE内分别有宽度为d＝0.2m垂直导轨平面向上和向下的匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.6T．细金属棒P1、P2质量均为m＝0.1kg，电阻均为r＝0.3Ω，用长为d的轻质绝缘细杆垂直P1、P2将其固定，并使P1、P2垂直导轨放置在导轨平面上与其接触良好，导轨电阻不计。用平行于导轨的拉力F将P1、P2以恒定速度v＝2m/s向上穿过两磁场区域，g取10m/s2．求： （1）金属棒P1在ABCD磁场中运动时，拉力F的大小； （2）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，拉力F的最大功率； （3）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，电路中产生的热量。 题型06：线框的能量问题 【典型例题1】图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(　　) A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【典型例题2】（多选）如图6所示，相距为d的两水平线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，正方形线框abcd边长为L(L<d)、质量为m、电阻为R。将线框在磁场上方高h处由静止释放，ab边刚进入磁场和穿出磁场时的速度恰好相等，重力加速度为g，则在线框全部穿过磁场的过程中(　　) 图6 A.ab边刚进入磁场时ab两端的电势差为BL B.感应电流所做功为mgd C.感应电流所做功为2mgd D.线框最小速度为v＝ 【典型例题3】（多选） 列车进站时，其刹车原理可简化如图，在车身下方固定一单匝矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车刚好停止。下列说法正确的是（　　） A. 列车进站过程中电流方向为abcda B. 列车ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为 C. 列车从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的焦耳热 D. 列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小 【典型例题4】一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。 （1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。 （2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。 【典型例题5】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 【典型例题6】研究小组设计了一磁悬浮电梯，简化模型如图所示，不计电阻、间距为 l、足够长的光滑平行导轨固定在竖直平面内，导轨间存在着垂直于轨道平面、磁感应强度大小相等、磁场方向相反的匀强磁场，每个磁场区域均为边长为l的正方形。在质量为m、边长为l、总电阻为R、匝数为N的正方形金属线圈EFGH中通入电流后静止在导轨上，线圈与导轨之间绝缘，此时线圈的发热功率为P0，重力加速度为g。 (1)(3分)求匀强磁场的磁感应强度大小； (2)(4分)若增大通入的电流后，线圈的发热功率为P1(P1>P0)，求线圈开始向上运动瞬间的加速度大小； (3)(8分)若线圈中不通入电流，线圈由图中位置静止释放，下落5l时达到最大速度，求该过程中线圈产生的焦耳热。 【变式训练6-1】如图甲所示，地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l，从bc边距离地面高为h处将其由静止释放，已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中，导线框的v－t图像如图乙所示。重力加速度为g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是(　　) A.t1～ t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大 B. 磁场的高度d可以用v－t图中阴影部分的面积表示 C.导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量 D. 导线框产生的焦耳热大于mgl 【变式训练6-2】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【变式训练6-3】（多选）如图所示，现让正方形金属导线框，在光滑绝缘水平面以v0=2m/s的初速度进入一匀强磁场区域，线框在磁场中变速运动一段时间后便以1m/s以匀速直线运动，已知正方形金属导线框的质量为0.2kg，边长为1m，总电阻为1Ω,下列说法正确的是（ ） A．正方形导线框变速运动的位移为2m B．正方形导线框从MN边进入磁场的过程中，通过线框某横截面的电荷量为C C．正方形导线框从MN边刚进入磁场时，线框的加速度为 D．正方形导线框从MN边进入磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为0.2J 【变式训练6-4】（多选）如图，水平面上有两根固定的光滑平行金属导轨，导轨左侧接了一个阻值为R的定值电阻，两根导轨间距为L，一个质量为m，总电阻为2R，直径为L的均匀金属圆环放置在导轨之间，与两根导轨良好接触，整个空间存在磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场，某时刻开始，给圆环一个向右的初速度v0，导轨足够长，下列说法正确的是（　　） A．圆环运动初始时刻，流过电阻R的电流方向为a→b，大小为 B．圆环运动的整个过程中，流过电阻的电荷量为 C．圆环运动过程的总位移大小为 D．整个过程中，电阻上产生的焦耳热为 【变式训练6-5】（多选）如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、质量为m、电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置(在左边磁场中的长度为L、在右边磁场中的长度为2L)时，线框的速度为v，则下列说法正确的是(　　) A．此时线框中电流方向为逆时针，电功率为 B．此过程中通过线框横截面的电荷量为 C．此时线框的加速度大小为 D．此过程中线框克服安培力做的功为mv2 【变式训练6-6】（多选）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-7】列车进站时，其刹车原理可简化如图所示，在车身下方固定一N匝闭合矩形线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头的线框刚进入磁场的速度为v0，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。线框cd边刚进入磁场时，列车刚好停止。求： (1)车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向及列车的加速度大小a。 (2)列车从进站到停下来的过程中线框产生的热量Q。 【变式训练6-8】如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与cd垂直且与斜面平行。距线框cd边为L0的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L2。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为L1(L1<L2)、质量为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q。 【变式训练6-9】如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，ab、bc边长均为2l，gf边长为l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，bc边离磁场上边界的距离为l，线框由静止释放，从bc边进入磁场到gf边进入磁场前，线框做匀速运动。在gf边离开磁场后，ah、ed边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且bc、gf边保持水平，重力加速度为g。 (1)线框ah、ed边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？ (2)若磁场上下边界间的距离为H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？ 【变式训练6-10】如图所示，用粗细均匀的导线制成的一只单匝圆形金属圈，现被一根绝缘丝线悬挂在竖直平面内处于静止状态，已知金属圈的质量为m＝0.1 kg，半径为r＝0.1 m，导线单位长度的阻值为ρ＝0.1 Ω/m，金属圈的上半部分处在一方向垂直圈面向里的有界匀强磁场中，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。金属圈下半部分在磁场外。已知从t＝0时刻起，测得经过10 s丝线刚好被拉断。重力加速度g取10 m/s2。求： (1)金属圈中感应电流的大小及方向； (2)丝线所能承受的最大拉力F； (3)在丝线断前的10 s时间内金属圈中产生的焦耳热Q(保留2位有效数字)。 【变式训练6-11】如图(a)，固定的绝缘斜面MNPQ倾角θ＝37°，虚线OO1与底边MN平行，且虚线OO1下方分布有垂直于斜面向上(设为正方向)的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像如图(b)。质量m＝3.0×10－2 kg、边长L＝2.0×10－1 m、电阻R＝2.0×10－3 Ω粗细均匀的正方形导线框abcd置于斜面上，一半处在OO1的下方，另一半处在OO1的上方，ab与OO1平行。已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)导线框与斜面间的动摩擦因数μ的大小； (2)导线框从t＝0到恰好滑动的这段时间，导线框产生的焦耳热Q。 【变式训练6-12】如图（a），线框位于倾斜角的斜面上，斜面上有一长度为的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为，已知线框边长，，总电阻，现对线框施加一沿斜面向上的力使之运动。斜面上动摩擦因数，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度取） （1）求外力大小； （2）求长度； （3）求回路产生的焦耳热。    【变式训练6-13】如图4(a)所示，斜面倾角为37°，一宽为d＝0.43 m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与斜面底边平行。在斜面上由静止释放一长方形金属线框，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底部为零势能面，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图(b)所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1 kg，电阻为R＝0.06 Ω，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求金属线框与斜面间的动摩擦因数μ； (2)求金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间t； (3)求金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率Pm。 【变式训练6-14】某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成团合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。 导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零：在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中， （1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L； （2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系； （3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W； （4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。 【变式训练6-15】小红在查阅资料时看到了嫦娥五号月球着落装置设计，她也利用所学知识设计了一个地面着落回收的电磁缓冲装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓返回舱和地面间的冲击力。如图甲所示，在返回舱的底盘安装有均匀对称的4台电磁缓冲装置，电磁缓冲结构示意图如图乙所示。在缓冲装置的底板上，沿竖直方向固定着两个光滑绝缘导轨PQ、MN。导轨内侧，安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=5T。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R=100Ω，匝数为n=200匝，ab边长为L=40cm。假设整个返回舱以速度v0=10m/s与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，从而实现缓冲。返回舱质量为m=2×103kg，地球表面的重力加速度取g=10m/s2，一切摩擦阻力不计，缓冲装置质量忽略不计。 （1）求滑块K的线圈中最大感应电流的大小； （2）若缓冲装置向下移动距离H=80cm后速度减为v=6m/s，则此过程中每个缓冲装置的线圈abcd中通过的电荷量和产生的焦耳热各是多少？ （3）若要使缓冲滑块K和返回舱不相碰，且缓冲时间为t=1.5s，则缓冲装置中的光滑导轨PQ和MN长度至少多大？（结果保留三位有效数字） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 电磁感应中的力学模型和功能模型 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：单杆的动力学问题 6 （一）单杆在水平面上的动力学问题 6 （一）单杆在竖直平面上的动力学问题 24 （三）单杆在斜面上的动力学问题 32 题型02：双杆的动力学问题 52 （一）双杆在水平竖直方向上的动力学问题 52 （一）双杆在斜面上的动力学问题 58 题型03：线框的动力学问题 68 （一）线框在水平面上的动力学问题 68 （二）线框在竖直平面上的动力学问题 75 （一）线框在斜面的动力学问题 82 题型04：单杆的能量问题 88 题型05：双杆的能量问题 131 题型06：线框的能量问题 150 1. 分值与题型：以计算题为主（12–20分），偶尔多选；常和单杆、双杆、线框模型融合，是电磁感应压轴高频考点。 2. 命题热点 ①力学角度：安培力作为变力，结合牛顿第二定律、动态分析（加速度、速度变化）、动量定理/动量守恒（双杆、无外力、导轨光滑）。 ②功能角度：克服安培力做功 = 回路焦耳热；重力、拉力、安培力做功和动能变化关系。 ③常见情景：导轨+导体棒、线框进出磁场；有恒力拉动、初速度释放、双杆互感。 3. 命题趋势：不再单一考动力学或者单一考能量，力学分析判断运动性质 + 功能关系求热量、位移、速度综合设问；重视动量定理的应用（变安培力冲量）。 4. 易错坑点：分不清什么时候用牛顿、什么时候用动量、什么时候用能量；误以为安培力做功直接等于动能变化；忽略摩擦力、重力势能变化。 1. 分清两类模型适用条件： ①力学模型：求瞬时加速度、速度动态变化、时间、电荷量、末速度（优先动量） ②功能模型：求焦耳热、做功、位移、最大速度（能量优先） 2. 会推导核心公式 3. 能独立做动态运动判断：变加速（a减小的加速/减速）、匀速、静止。 4. 掌握动量定理在安培力冲量的用法： 5. 能量链条记牢：外力做功、重力做功 → 一部分变导体棒动能，一部分被安培力做功转化为焦耳热。 6. 规范书写大题步骤，能识别综合题中什么时候切换力学/功能思路。 知识点一：电磁感应中动力学问题 1.两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析 2.力学对象和电学对象的相互关系 3.动态分析的基本思路 解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大或最小的条件．具体思路如下： 4.“四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下： 知识点二：电磁感应的能量问题 1.电磁感应中的能量转化 其他形式的能量 电能焦耳热或其他形式的能量 2.求解焦耳热Q的三种方法 3.解题的一般步骤 能量转化问题的分析程序：先电后力再能量 4.常见的功能关系 做功情况 能量变化 重力做功 重力势能发生变化 弹簧弹力做功 弹性势能发生变化 合外力做功 动能发生变化 除重力和系统内弹力以外的其他力做功 机械能发生变化 滑动摩擦力做功 有内能产生 静电力做功 电势能发生变化 安培力做正功 电能转化为其他形式的能 克服安培力做功（动生型电磁感应） 其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能 一：力学模型（动力学+动量） 适用场景：问加速度、运动过程、时间、电荷量、双杆共速、变力作用一段时间后的速度 1. 第一步：受力分析 → 标出安培力、拉力、重力、摩擦力 2. 第二步：列牛顿第二定律 3. 第三步：动态判断：v变→F_安变→a变，判断是a减小加速还是a减小减速，直到a=0达到匀速。 4. 第四步：涉及时间、变安培力冲量，不用牛顿，直接动量定理： 双杆光滑、合外力为零 → 动量守恒 二：功能模型（能量） 适用场景：求焦耳热、外力做功、运动最大速度、有摩擦力的能量损耗 1. 核心结论：克服安培力做功等于回路产生的总焦耳热 2. 能量守恒 3. 匀速状态 4. 分配：多电阻串联，焦耳热按电阻正比分配 三：综合题通用四步流程（大题万能） 1. 读题定情景：单杆/双杆/线框，有没有外力、摩擦、重力 2. 看问题选工具： ①瞬时a、运动变化 → 牛顿动力学 ②时间、q、一段时间后的速度、双杆共速 → 动量定理/动量守恒 ③求热量、做功、能量损失 → 能量守恒 3. 写出电磁感应基础式 4. 联立方程，代入求解，检验方向 四：速记口诀 受力看安培，动态判快慢； 求时求电量，动量来登场； 想求焦耳热，能量守恒上； 匀速合力零，功率相对等。 题型01：单杆的动力学问题 （一）单杆在水平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，水平面内有两电阻不计的平行光滑导轨，间距为，导轨左端连接电阻，与导轨垂直且接触良好的导体棒质量为，接入轨道间的电阻也为，整个空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为。设导体棒横截面积为，单位体积内的自由电子数为，电子电荷量为，给导体棒初速度，下列说法正确的是（　　） A．导体棒的最大加速度为 B．导体棒的最大位移是 C．整个运动过程中，导体棒的发热量为 D．导体棒运动过程中，其中的电子沿导体棒运动的速率与导体棒的速率之比为 【答案】B 【解析】A．根据题意可知，导体棒开始运动时加速度最大，感应电动势为 此时，感应电流为 由牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．根据题意，由动量定理有 又有 联立解得，故B正确； C．由能量守恒定律可知，整个回路整个过程的发热量为 则导体棒的发热量为，故C错误； D．设导体棒运动过程中的速率为，电子沿导体棒运动的速率为，则有 由电流微观表达式有 整理可得，故D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的两根光滑，电阻不计的平行金属导轨固定在水平桌面上，导轨的端点A、B间用阻值为的电阻相连，两导轨间的距离。磁场垂直于导轨平面，磁感应强度与时间的关系为，一电阻为质量为的金属杆时刻在外力作用下以恒定的加速度从端由静止开始向导轨的另一端滑动，在滑动过程中时刻保持与导轨垂直且接触良好。下列说法正确的是（　　） A．感应电流的方向由A经过电阻指向B B．时刻导体棒所受外力 C．时刻感应电动势的大小 D．若时刻以后磁感应强度及作用在导体上的外力不再改变，则金属杆能达到的最大速度 【答案】ACD 【解析】C根据楞次定律可知感生电流方向为逆时针，根据右手定则可知动生电动势产生的感应电流为逆时针，所以感应电流的方向由A经过R电阻指向B，A项正确；t0时刻棒的位移为，速度大小为，t0时刻磁感应强度大小为，感生电动势大小为，动生电动势 t0时刻感应电动势的大小 感应电流大小为，根据牛顿第二定律可得，解得，B项错误，C项正确；若t0时刻以后磁感应强度及作用在导体上的外力不再改变，即，当金属杆的速度最大时，加速度为零，即 可得，解得金属杆能达到的最大速度为，D项正确。 【典型例题3】（多选）如图所示，水平绝缘地面上固定一足够长的光滑U形导轨，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将质量为的金属棒垂直放置在导轨上，在垂直于棒的恒定拉力作用下，金属棒由静止开始向右运动，当金属棒的速度大小为时，金属棒的加速度大小为；当金属棒的速度大小为时，金属棒的加速度大小为。已知金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，电路中除金属棒以外的电阻均不计，下列说法正确的是（    ） A． B．金属棒的最大速度为 C．金属棒的最大加速度为 D．当金属棒的速度大小为时撤去拉力，金属棒的减速距离为 【答案】AD 【解析】A．设匀强磁场的磁感应强度大小为B，金属棒的电阻为R，导轨间距为L，当金属棒的速度大小为时，则有，， 此时金属棒的加速度大小为，由牛顿第二定律得 同理当金属棒的速度大小为时，金属棒的加速度大小为，有 联立解得， 故A正确； B．设金属棒的最大速度为，则有 解得 故B错误； C．当金属棒的速度为0时，金属棒的加速度最大，最大值为 故C错误； D．当金属棒的速度大小为时撤去拉力，撤去拉力后根据动量定理有 其中 联立解得 故D正确。 故选AD。 【典型例题4】如图为某种“电磁弹射”装置的简化原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根光滑的平行长直导轨水平放置，一根导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知磁场的磁感应强度大小为B，导轨间距为L，导体棒的质量为m，电阻为R。开关S接1，导轨与恒流源相连，回路中的电流恒定为I，导体棒由静止开始做匀加速运动，一段时间后速度增大为v。此时，将开关S接2，导轨与定值电阻R0相连，导体棒开始做减速运动直至停止。不计导轨电阻及空气阻力。 (1)开关S接1后，求导体棒受到安培力的大小FA及其加速运动的时间t； (2)开关S接2后，求导体棒速度为0.5v时加速度的大小a； (3)求导体棒在加速运动阶段及减速运动阶段产生的焦耳热Q1和Q2. 【答案】(1)， (2) (3)， 【解析】（1）开关S接1后，导体棒受到安培力的大小 根据牛顿第二定律有 得 导体棒做匀加速直线运动的时间 得 （2）开关S接2后，当导体棒速度为0.5v时，导体棒的感应电动势 回路中的感应电流 导体棒受到的安培力 根据牛顿第二定律，导体棒加速度的大小 （3）开关S接1后，导体棒产生的焦耳热 开关S接2后，电路产生的焦耳热 其中导体棒产生的焦耳热 【典型例题5】如图（a），磁力刹车是为保证过山车在最后进站前的安全而设计的一种刹车形式。磁场很强的钕磁铁长条安装在轨道上，刹车金属片安装在过山车底部或两侧。简化为图（b）的模型，相距为l、水平放置的导轨处于磁感应强度大小为B、方向竖直的匀强磁场中，整个回路中的等效电阻为R，将过山车上的刹车金属片等效为一根金属杆AB，过山车的质量为m。不计轨道摩擦和空气阻力。 (1)求水平磁力刹车减速的加速度a大小随速度v变化的关系式； (2)试比较用磁力刹车和用摩擦力刹车的区别； (3)若过山车进入水平磁力刹车轨道开始减速时，速度为30m/s，刹车产生的加速度大小为15m/s2.过山车的速度v随位移x的变化规律满足：（设水平轨道起点x=0）。在图（c）中画出水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线，并求出过山车在水平轨道上减速到10m/s时滑行的距离。 【答案】(1)；(2)见解析；(3) ，x=40m 【解析】(1)金属杆AB在磁场中切割磁感线运动，产生感应电动势 根据牛顿第二定律 可得 (2)磁力刹车：速度越大，减速的加速度越大。【当速度减到一定程度时，加速度过小，不足以阻止列车。依赖于磁性的基本属性，除电磁铁外，使用永磁体的刹车不需要电力。】摩擦力刹车：摩擦力恒定，与速度无关。存在不稳定性，比如下雨天刹车打滑等。 (3)水平磁力刹车减速的加速度大小随速度变化的图线如图所示 由金属杆减速的加速度 从图（c）中可得斜率 代入 可得 x=40m 【变式训练1-1-1】如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框的电阻不计，开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　) A.ef将减速向右运动，但不是匀减速运动 B.ef将匀减速向右运动，最后停止 C.ef将匀速向右运动 D.ef将往返运动 【答案】　A 【解析】　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，最终停止运动，故A正确，B、C、D错误。 【变式训练1-1-2】如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.30m，导轨电阻忽略不计，其间连接有固定电阻R=0.40Ω，导轨上停放一质量m=0.10kg、电阻r=0.20Ω长度也为L=0.30m的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度B=0.50T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，用一外力F沿水平方向拉金属杆ab，使之由静止开始运动，电压传感器可将R两端的电压U即时采集并输入电脑，获得电压U随时间t变化的关系如图乙所示，下列说法不正确的是（　　） A．金属杆做匀加速直线运动 B．第2s末外力的瞬时功率为0.35W C．如果水平外力从静止开始拉动杆2s所做的功为0.35J，则金属杆上产生的焦耳热为0.15J D．如果水平外力从静止开始拉动杆2s所做的功为0.35J，则金属杆上产生的焦耳热为0.05J 【答案】C 【解析】A．由闭合电路欧姆定律可知 由于表达式中的变量只有v，结合图乙可知导体杆的速度随时间均匀变化，即金属杆做匀加速直线运动，故A正确，不符合题意； B．由图乙知时解得金属杆此时的速度由图线的斜率再由可得金属杆的加速度再由牛顿第二定律可得此时的外力故此时拉力的功率故B正确，不符合题意； CD．由能量守恒可知回路中产生热量等于外力所做功与杆获得的动能的差值则杆中产生的热量故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。故选C 【变式训练1-1-3】（多选）如图甲所示粗糙U形导线框固定在水平面上，右端放有一金属棒PQ，整个装置处于竖直方向的磁场中，磁感应强度B按图乙规律变化，规定竖直向上为正方向，整个过程金属棒保持静止。则(　 ) A．t0时刻回路没有感应电流 B．在t0～2t0时间内，流过金属棒的感应电流方向是从Q到P C．在0～t0时间内，金属棒PQ所受安培力方向水平向右 D．2t0时刻金属棒PQ所受摩擦力方向水平向右 【答案】CD 【解析】t0时刻回路的磁通量为零，但是磁通量的变化率不为零，则回路有感应电流，A错误；在t0～2t0时间内，回路的磁通量向下增加，根据楞次定律可知，流过金属棒的感应电流方向是从P到Q，B错误；在0～t0时间内，回路的磁通量向上减小，则金属棒中有从P到Q的感应电流，由左手定则可知，PQ所受安培力方向水平向右，C正确；根据楞次定律可知，2t0时刻金属棒PQ中的感应电流从P到Q，则安培力方向水平向左，由平衡条件可知，所受摩擦力方向水平向右，D正确。 【变式训练1-1-4】（多选）如图所示，电阻R、电容器C与固定在同一水平面上的光滑平行导轨相连，导轨间有竖直向下的匀强磁场。一导体棒垂直放在导轨上且与导轨接触良好，导体棒与导轨电阻不计。现让导体棒获得一初速度v0从位置A向右滑动并经过B、C两位置，在导体棒向右滑动的过程中，下列说法正确的是(　　) A.R中的电流从a到b B.导体棒向右做匀速滑动 C.电容器的带电荷量逐渐变小 D.在BC段滑动时导体棒动能的减少量等于电阻R上产生的热量 【答案】　AC 【解析】根据右手定则可知导体棒的感应电流为逆时针方向，则电阻R中的电流从a到b，故A正确； 导体棒受到的安培力F＝ILB＝，由牛顿第二定律得＝ma，导体棒的加速度a＝，导体棒受安培力作用而做减速运动，随着速度v的减小，加速度a减小，故B错误；根据Q＝CU可知电容器的带电荷量Q＝CBLv，随着速度v的减小，电容器的带电荷量逐渐变小，故C正确；导体棒运动过程中，根据能量守恒定律可知导体棒动能的减少量和电容器储存的电能减小量之和等于电阻R产生的热量，故D错误。 【变式训练1-1-5】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【答案】AB 【解析】A．设加速阶段的位移与减速阶段的位移相等为，根据 可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得 解得A正确； B．由解得 金属棒加速的过程中，由位移公式可得 可得加速时间为 B正确； C．金属棒在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，加速过程中，安培力逐渐增大，加速度不变，因此拉力逐渐增大，当撤去拉力的瞬间，拉力最大，由牛顿第二定律可得 其中 联立解得C错误； D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理可知，合外力的功 可得 因此加速过程中拉力做的功大于，D错误。 故选AB。 【变式训练1-1-6】（多选）质量为1 kg、阻值为0.8 Ω的导体棒b静止在AB右侧导轨上。t＝0时刻起，b在大小为0.6 N、方向水平向右的恒力F作用下由静止开始运动。已知两棒始终与导轨垂直且接触良好，且a始终未越过虚线AB，导轨电阻均不计。下列说法正确的是(　　) A.t＝0时刻，b的加速度大小为0.3 m/s2 B.a的最大加速度为0.24 m/s2 C.导体棒a消耗电功率的最大值为1.152 W D.a、b加速度相等时，二者速度之比大于1∶4 【答案】　BCD 【解析】初始时，两导体棒的速度均为0，回路中的感应电动势为0，导体棒所受安培力也为0，则由牛顿第二定律有a0＝，可得导体棒b的加速度a0＝0.6 m/s2，故A错误。设某时刻导体棒a的速度为v1、导体棒b的速度为v2，由法拉第电磁感应定律可得，回路中的感应电动势E＝L(B2v2－B1v1)，则回路中的电流I＝，导体棒a所受的安培力FA1＝B1IL，导体棒b所受的安培力FA2＝B2IL，由牛顿第二定律可得，导体棒a的加速度a1＝，导体棒b的加速度a2＝，随着导体棒速度差的增大，导体棒a的加速度逐渐增大、导体棒b的加速度逐渐减小，直到两棒的加速度恒定，即B2v2－B1v1恒定，取稳定后一小段时间t0，则有B2v2－B1v1＝B2(v2＋a2t0)－B1(v1＋a1t0)，代入数据可得2a2－a1＝0，又两导体棒质量相等，即2F－2FA2＝FA1，由于两导体棒中电流时刻相等，且两导体棒长度相等，则有FA2＝2FA1，联立可得，导体棒a的加速度为0.24 m/s2，导体棒b的加速度为0.12 m/s2，故B正确。稳定时回路中的电流I＝2.4 A，为回路中的最大电流，则导体棒a消耗电功率的最大值为P＝I2Ra＝1.152 W，故C正确。作出a、b加速度随时间变化的关系图像，如图所示 图线与坐标横轴围成的面积表示对应时间内导体棒速度的变化量，结合面积关系可知，a、b加速度相等时，二者速度之比大于1∶4，故D正确。 【变式训练1-1-7】（多选）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定放置在足够高的水平台面上，导轨间距L＝1 m。质量为m＝1 kg、电阻为r＝2 Ω的直导体棒放在导轨上，且始终与导轨垂直，导体棒通过一根轻质细绳绕过定滑轮与一质量也为m＝1 kg的重物相连。导轨左端与阻值为R＝2 Ω的电阻相连，导轨电阻不计，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B＝2 T。在t＝0时刻，由静止释放导体棒和重物，直导体棒由静止开始向右做直线运动(轻质细绳始终与导轨共面且平行)，g取10 m/s2。下列说法中正确的是(　 ) A．重物向下做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动 B．当导体棒速度v＝8 m/s时，导体棒加速度a＝2 m/s2 C．导体棒最终做匀速直线运动的速度为v＝10 m/s D．导体棒最终做匀速直线运动的速度为v＝12 m/s 【答案】AC 【解析】对重物和导体棒整体受力分析有mg－BIL＝2ma，根据闭合电路欧姆定律有I＝，可知随着速度的增大，重物的加速度减小，所以重物向下做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动，故A正确；当导体棒速度v＝8 m/s时，根据以上分析可知mg－＝2ma，解得a＝1 m/s2，故B错误；导体棒最终做匀速直线运动时有mg－＝0，解得v′＝10 m/s，故C正确，D错误。 【变式训练1-1-8】（多选）在如图2所示的甲、乙、丙图中，MN、PQ是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。导体棒ab垂直放在导轨上，导轨都处于垂直水平面向下的匀强磁场中，导体棒和导轨间的摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器C原来不带电。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙图中导体棒ab在磁场中的运动状态是(　　) 图2 A.甲图中，棒ab最终做匀速运动 B.乙图中，棒ab匀减速运动直到最终静止 C.丙图中，棒ab最终做匀速运动 D.甲、乙、丙图中，棒ab最终都静止 【答案】　AC 【解析】甲图中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动，故A正确；乙图中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，ab棒速度减小，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止，又由于I＝，F＝IlB，由于速度减小，则产生感应电流减小，导体棒所受安培力减小，根据牛顿第二定律可知导体棒的加速度减小，所以乙图中，棒ab做加速度减小的减速运动，最终静止，故B错误；丙图中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，故C正确；由以上分析可知，甲、乙、丙图中，只有图乙中棒ab最终静止，故D错误。 能关系：WF＝mv2＋E电。 【变式训练1-1-9】（多选）如图，两固定的足够长平行光滑导轨，由水平段和弧形段在处相切构成，导轨的间距为，区域内存在方向竖直向下、磁感应强度为的匀强磁场，间距也为。现将多根长度也为的相同导体棒，依次从弧形轨道上高为的处由静止释放（释放前棒均未接触导轨），释放第根棒时，第根棒刚好穿出磁场。已知每根棒的质量均为，电阻均为，重力加速度大小为，且与导轨垂直，导轨电阻不计，棒与导轨接触良好。则（　　） A．第3根棒刚进入磁场时的加速度大小为 B．第3根棒刚穿出磁场时的速度大小为 C．第根棒刚进入磁场时，第1根棒的热功率为 D．从开始到第根棒刚穿出磁场过程中，回路产生的焦耳热小于 【答案】BC 【解析】A．第3根棒刚进入磁场时速度为，由动能定理可知 可得 棒产生的感应电动势为 此时第1、2根棒并联，电阻为，第3根棒等效于电源，电路中总电阻为 联立解得电路中电流为 由牛顿第二定律 解得故A错误； B． 由A项分析可知，第三根棒穿过磁场时回路中的总电阻为 根据 可得 流过第三根棒的电量为 第三根杆穿过磁场的过程，由动量定理可得 解得故B正确； C．第n根棒刚进入磁场时，前根棒并联电阻为 电路总电阻为 电路总电流 第一根棒中电流 解得 第1根棒的热功率为故C正确； D．根据前面分析知 则第2根杆穿过磁场的过程 故通过导体棒的电量为 设第2根杆穿越磁场后获得的速度为v，对于第2根杆穿越磁场的过程应用动量定理 又因为 联立可得 若所有金属杆离开磁场时的速度都与第2根杆离开磁场时速度相同，则回路产生的焦耳热为 本题中各个金属杆离开磁场的速度不同，离开磁场的速度越来越小，故从释放第1根棒到第n根棒刚穿出磁场的过程中，回路产生的焦耳热大于，因为 故回路产生的焦耳热大于 ，故D错误。 故选BC。 【变式训练1-1-10】（多选）如图，质量为M的U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，间距为L的ab和dc边平行，都与bc边垂直。ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略。一根电阻为R、质量为m的导体棒MN置于金属框上，用水平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，MN与金属框保持良好接触，且与bc边保持平行。 (1)若导体棒MN在外力作用下保持静止，求最终稳定状态时金属框的速度大小； (2)若导体棒不受外力作用，求最终稳定状态时电路中的电动势。 【答案】：(1)　(2) 【解析】(1)由题意知，金属框做加速度减小的加速运动，稳定状态时做匀速直线运动，根据受力平衡有F安＝F 导体棒的感应电动势为E＝BLv 导体棒的感应电流为I＝ 安培力为F安＝BIL 联立解得v＝。 (2)导体棒、金属框最终以相同的加速度做匀加速直线运动，速度差一定，对整体由牛顿第二定律有F＝(m＋M)a 对导体棒受力分析有BIL＝ma，E＝IR 联立解得E＝。 【变式训练1-1-11】如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。 (1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I; (2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a; (3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。 【答案】　(1)　(2)　(3)见解析图 【解析】　(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压为U= 闭合开关瞬间，通过导体棒的电流为I= 联立解得I=。 (2)闭合开关瞬间，对导体棒由牛顿第二定律有 ILB=ma 结合(1)问解得a=。 (3)由(2)中结论可知，随着电容器放电，电容器所带电荷量不断减少，导体棒的加速度不断减小，当电容器两极板间的电压与导体棒产生的感应电动势相等，即回路中电流减为0时，导体棒不受安培力作用，加速度为0，此后导体棒做匀速运动，其v-t图线如图所示。 棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计)如图3，运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流 图3 由F－IlB＝ma，I＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BlΔv 联立可得F－＝ma，其中＝a 则可得a＝ 所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动 功能关系：WF＝mv2＋E电。 【变式训练1-1-12】如图所示，水平绝缘桌面上固定有间距为L的平行光滑长导轨，左端接有一个不带电的电容器，电容为C(不会被击穿)，在PQ虚线的左侧有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的金属杆ab静置在导轨上，与虚线PQ的距离是d，金属杆在水平向右恒力F的作用下，开始向右运动，不计导轨与金属杆的电阻，金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好， (1)判断金属杆的运动性质； (2)求金属杆ab运动到达虚线PQ的时间。 【答案】　(1)匀加速直线运动　(2) 【解析】(1)金属杆向右运动，切割磁感线产生感应电动势E，给电容器充电，设在Δt的时间里，电容器充电的电荷量为Δq，则Δq＝CE＝CBLΔv，则充电电流为i＝＝CBL＝CBLa，对金属杆由牛顿第二定律有F－BLi＝ma，得a＝，故金属杆做初速度为零的匀加速直线运动 (2)由x＝at2，得t＝。 棒的初速度为零，拉力F恒定(棒和水平导轨电阻忽略不计，摩擦力不计) 如图所示，运动过程分析:棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流 由F-IlB=ma，I=，ΔQ=CΔU，ΔU=ΔE=BlΔv 联立可得F-=ma，其中=a 则可得a= 所以棒做加速度恒定的匀加速直线运动 功能关系:WF=mv2+E电。 （1） 单杆在竖直平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，MN和PQ是两根相互平行、竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计。ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，金属杆具有一定的质量和电阻。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合。从S刚闭合开始，金属杆可能（　　） A．做加速度不变的减速运动 B．做加速度变大的减速运动 C．做加速度变大的加速运动 D．做加速度变小的加速运动 【答案】D 【解析】设开关S闭合瞬间，金属杆速度为，根据公式则有 ，， 解得竖直向上的安培力表达式为 若，则金属杆一直做匀速直线运动，速度始终不变，加速度为0； AB．若，则有 可知金属杆先做加速度减小的减速运动，最后做匀速直线运动，故AB错误； CD．若，则有 可知金属杆先做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动，故C错误，D正确。 故选D。 【典型例题2】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨间距为L，固定在竖直平面内，两根导轨上端用导线连接一个电容器，电容器的电容为C，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现将质量为m、长度也为L的金属棒ab紧贴导轨由静止释放，金属棒沿着导轨下滑过程中始终保持水平且与导轨接触良好，已知重力加速度为g，金属导轨和金属棒电阻均不计，则当金属棒运动稳定后，有(　　) A.金属棒做匀加速运动，加速度大小为 B.金属棒受到的安培力大小为 C.通过金属棒的电流大小为 D.电容器所带的电荷量保持不变 【答案】AC 【解析】由题可知金属棒ab受到的安培力为FA=ILB=LB，又Q=CU=CBLv所以==CBLa，所以安培力FA=CB2L2a，对金属棒ab，由牛顿第二定律可得mg-FA=ma，解得a=，加速度恒定不变，所以金属棒ab做匀加速运动，A正确;安培力FA=CB2L2a=，B错误;根据安培力的计算可知ILB=CB2L2a，解得I=CBLa=CBL，C正确;经过时间t电容器所带的电荷量为q=CU=CBLv=CBLat=，所以电容器所带的电荷量随时间逐渐增大，D错误。 【典型例题】如图(a)所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U－I图像如图(b)所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度为g。为了方便计算，取I0＝，Um＝。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。 (1)闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1； (2)断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2。 【答案】(1)　(2) 【解析】　(1)闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则 mg＝I1LB 由法拉第电磁感应定律得E1＝BLv1 由闭合电路欧姆定律得I1＝ 解得v1＝。 (2)由第(1)问得I1＝ 由于I0<I1 则断开开关S后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z两端的电压恒为Um＝ 此时定值电阻两端的电压为UR＝BLv2－Um 回路中的电流为I2＝I1 又由欧姆定律得I2＝ 解得v2＝。 【变式训练1-2-1】如图所示，空间中有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的光滑金属导轨，导轨间距为L，导轨足够长且电阻不计。质量为m的金属杆ab与导轨垂直且接触良好，金属杆ab电阻为R，重力加速度为g。开始时，开关S断开，金属杆ab由静止自由下落，经过一段时间后再闭合开关S。当开关S闭合后，下列说法正确的是（　　） A．a点电势高于b点电势 B．导体棒做加速度增大的加速运动 C．安培力做正功，机械能转化为电能 D．当下落高度为时闭合开关，则金属杆ab会立刻做减速运动 【答案】D 【解析】A．根据右手定则可知，a点电势低于b点电势，选项A错误； B．导体棒受向上的安培力和向下的重力，若安培力大于重力，则加速度向上，则向下做减速运动，加速度为 则做加速度减小的减速运动；若安培力等于重力，则金属棒做匀速运动； 若安培力小于重力，则加速度向下，则向下做加速运动，加速度为 则做加速度减小的加速运动，选项B错误； C．安培力方向向上，则安培力做负功，机械能转化为电能，选项C错误； D．当下落高度为时闭合开关，此时安培力 则金属杆ab会立刻做减速运动，选项D正确。 故选D。 【变式训练1-2-2】如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的感应电流逐渐增大 B. 导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C. 通过回路中某横截面上的电荷量为 D. 导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 【答案】C 【解析】 设导体棒与两导轨间的长度为l，则导体棒切割磁感线在电路中产生电流的感应电动势 ，根据闭合电路欧姆定律可知 因为v、r、B恒定，则I恒定，导体棒中的感应电流大小保持恒定不变，A项错误；导体棒运动过程重力做正功WG，克服拉力F做功WF，安培力做负功，克服安培力做功转化为焦耳热Q，由动能定理得，则机械能的减少量 即导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能大于金属棒产生的焦耳热，B项错误；由于 ，C项正确；导体棒受到重力、拉力F和安培力作用，根据共点力平衡知识可知，解得拉力 其中 解得，D项错误。 【变式训练1-2-3】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，电阻不计，导轨间距为，顶端接一阻值为的电阻。矩形匀强磁场I的高为，匀强磁场II足够高，两磁场的间距也为，磁感应强度大小均为、方向均垂直纸面向里。一质量为、电阻也为的金属棒置于导轨上，与导轨垂直且接触良好。将金属棒由静止释放，运动距离为时进入匀强磁场I。已知金属棒进入磁场I和II时的速度相等，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．金属棒刚进入磁场I时其两端的电压为 B．金属棒在磁场II中运动的最大速度为 C．金属棒穿过磁场I的过程中，金属棒产生的热量为 D．金属棒在磁场I中运动的时间为 【答案】ACD 【解析】A．根据自由落体运动规律可知，金属棒刚进入磁场I时速度大小 则此时金属棒两端的电压 故A正确； B．由题意可知，金属棒进入磁场I和II时的速度相等，金属棒在磁场I和II之间加速，则金属棒进入磁场I时做减速运动，故金属棒进入磁场Ⅱ时，做减速运动，由牛顿第二定律有 因为 整理得 即金属棒先做加速度减小的减速运动，再做匀速运动，因此金属棒在磁场II中运动的最大速度仍为，即最大速度为，故B错误； C．从金属棒开始下落到，到进入磁场II的过程，由能量守恒有 联立解得 故金属棒穿过磁场I的过程中，金属棒产生的热量 故C正确； D．金属棒离开磁场Ⅰ时的速度为，金属棒从离开磁场Ⅰ到刚进入磁场Ⅱ过程中有 金属棒穿过磁场Ⅰ的过程中通过的电荷量 根据动量定理 联立解得 故D正确。 故选ACD。 【变式训练1-2-4】如图所示，竖直平面内固定有两根间距为L且足够长的光滑平行金属导轨ab、cd。在导轨间一水平线ef的下方存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，电容值为C的电容器与开关S并联接在两导轨之间。现闭合S，将电阻为R的导体棒MN从ef上方某一高度处平行于ef由静止释放，MN沿导轨下滑，刚进入ef时加速度为。在MN经过ef下方某位置（图中未画出）时，MN所受的安培力为其刚进入ef时的2倍，此时通过S的电流增大到且瞬间断开。S断开后，对MN施加一竖直方向的外力，经过一段时间，MN的功率变为其刚进入ef时的16倍，之后功率保持不变。若整个过程中MN与导轨保持良好接触，导轨电阻与空气阻力均忽略不计。求： (1)导体棒MN的质量m； (2)导体棒MN静止下滑时距ef的高度h； (3)当MN功率保持不变时，外力在t时间内的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）S断开时，MN棒所受安培力 当MN刚进入ef时，由牛顿第二定律可得   解得 （2）设MN进入ef时，MN的速度大小为，S断开瞬间，MN的速度大小为，由法拉第电磁感应定律， 由闭合电路欧姆定律， 由已知及安培力公式 MN由静止下落至ef过程，由运动学公式   解得 （3）MN进入ef时，R的功率为 R的功率保持不变，说明回路中电流大小始终为I，其两端电压和功率为，   由已知 联立接得 S断开，R功率保持不变后，若某时刻MN的速度为v，由闭合电路欧姆定律 设经过Δt，MN速度增量为Δv，由于保持不变，因此 对电容器C由定义式 可得 电流定义 导体的加速度 解得 Δt由于MN的加速度a为定值，可知此时外力为恒力，设为F，对MN由牛顿第二定律可得 外力在t时间内的冲量大小 （三）单杆在斜面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U型金属导轨，导轨间距为L，导轨底端接阻值为R的定值电阻。质量为m、阻值也为R的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，达到最大速度2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g，则杆在磁场中沿导轨加速下滑的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】杆在磁场中匀速运动时速度最大，有 解得 对杆在磁场中的加速运动应用动量定理，得 又 联立解得 故选C。 【典型例题2】（多选）如图，两根足够长的光滑平行金属直导轨与水平面夹角倾斜放置，下端连接一阻值的电阻，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度大小为的匀强磁场中。现将一质量的金属棒从导轨上端由静止释放，经过一段时间后做匀速运动。在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好（、为接触点），已知金属棒接入电路阻值为，导轨间距为，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。则（    ） A．金属棒运动过程中电流方向由指向 B．静止释放时金属棒的加速度大小为 C．金属棒做匀速运动的速度大小为 D．金属棒做匀速运动之前合力的冲量大于 【答案】BD 【解析】A．根据右手定则判断，金属棒运动过程中电流方向由b指向a，故A错误； B．静止释放时金属棒的加速度大小为 故B正确； C．金属棒做匀速直线运动时，得 根据欧姆定律及法拉第电磁感应定律有， 联立解得 故C错误； D．根据动量定理可知 故D正确。 故选BD。 【典型例题3】（多选）如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，间距为L＝1 m，质量为m的金属杆ab垂直放置在轨道上且与轨道接触良好，其阻值忽略不计。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T。P、M间接有阻值为R1的定值电阻，Q、N间接电阻箱R。现从静止释放ab，改变电阻箱的阻值R，测得最大速度为vm，得到与的关系如图乙所示。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，则(　　) A.金属杆中感应电流方向为由a到b B.金属杆所受的安培力的方向沿轨道向上 C.金属杆的质量为1 kg D.定值电阻的阻值为1 Ω 【答案】BD 【解析】根据右手定则判断，金属杆中感应电流方向为由b到a，故A错误；由左手定则可知，金属杆所受的安培力沿轨道向上，故B正确；总电阻为R总＝，通过ab的电流为I＝，当达到最大速度时，金属杆受力平衡，则有mgsin θ＝ILB＝(R1＋R)，变形得＝·＋，由图像得＝k＝s·m－1·Ω，＝b＝0.5 s·m－1，解得m＝0.1 kg，R1＝1 Ω，故C错误，D正确。 【典型例题4】（多选）某电磁健身器的简化装置如图所示，两根平行金属导轨相距为，倾角为，导轨上端串接一个阻值为的电阻，下端接有电容为的电容器。在导轨间长为的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为，质量为的金属棒水平置于导轨上，用绝缘绳索（平行导轨）通过定滑轮与拉杆相连，金属棒向上运动时，闭合，断开，向下运动时，断开，闭合。棒的初始位置在磁场下方某位置处，一位健身者用大小为的恒力竖直向下拉动杆，棒运动过程中始终保持与导轨垂直，进入磁场时恰好匀速上升，棒到达磁场处时，撤去拉力，恰好能减速运动到磁场上边界，紧接着棒a从磁场上边界由静止开始下滑，此时电容器电量为零，下滑过程中，拉力始终为零。不计其它电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量，金属棒与导轨接触良好，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 棒a向上进入磁场时的速度大小为 B. 棒a减速向上运动的时间为 C. 棒a在磁场中下滑时做加速度减小的加速运动 D. 棒a向下离开磁场时的速度大小为 【答案】ABD 【解析】【详解】A．棒进入磁场时有 又 联立解得 A选项正确； B．减速过程，由动量定理得 又 联立解得 B选项正确 C．导体棒向下运动的过程中，时间内电容器电荷量的变化量 按定义有： 对棒有 联立可得 可知棒做初速度为零的匀加速运动，选项错误； D．导体棒向下出磁场时的速度为，由运动学公式 解得 选项正确。 故选ABD。 【典型例题5】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。导轨和ab杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和ab杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 【答案】(1)见解析图　(2)　gsin θ－　(3) 【解析】(1)由右手定则可知，ab杆中电流方向为a→b。如图所示 ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上。 (2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv， 此时电路中的电流I＝＝， ab杆受到安培力F安＝BIL＝， 根据牛顿第二定律，有 mgsin θ－F安＝mgsin θ－＝ma， 解得a＝gsin θ－。 (3)当a＝0时，ab杆有最大速度vm， 由平衡条件得mgsin θ＝， 解得vm＝。 【典型例题6】如图甲所示，粗细均匀的无限长光滑平行导轨固定在倾角的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁场边界EF上方位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的图像如图乙所示，其中OM、NP段为曲线，其它段为直线。已知磁感应强度，导轨间距，导体棒的质量均为，导体棒电阻均为，导轨电阻不计，g取。求： (1)的大小并直接写出ab棒在整个运动过程中加速度的最大值； (2)从到导体棒cd位移大小； (3)导体棒ab进入磁场后，通过导体棒ab的电荷量。 【答案】(1) (2) (3)0.45C 【解析】（1）设2s前cd达到匀速直线运动时的速度为，cd棒受平衡力 代入题中数据，解得 因为 联立解得 ab棒在整个运动过程中加速度的最大值 （2）cd棒在0~2s的运动过程，以的方向为正方向，由动量定理得 因为 因为 联立解得 （3）ab棒先做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 2s时ab棒刚好进入磁场，其速度大小 设ab棒进入磁场后经过时间与cd棒速度相 等，一起做匀加速直线运动，以的方向为 正方向，则对cd棒有 以沿斜面向下的方向为正方向，对ab棒有 因为 联立解得 【变式训练1-3-1】如图所示，间距为L的两倾斜且平行的金属导轨固定在绝缘的水平面上，金属导轨与水平面之间的夹角为θ，电阻不计，空间存在垂直于金属导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，导轨上端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒ab从金属导轨上某处由静止释放，开始运动时间后做匀速运动，速度大小为v，且此阶段通过定值电阻R的电量为q。已知导轨平面光滑，导体棒的电阻为r，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）    A．导体棒ab先做匀加速运动，后做匀速运动 B．导体棒稳定的速度大小 C．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R产生的焦耳热 D．导体棒从释放到其速度稳定的过程中，位移大小为 【答案】D 【解析】A．导体棒ab在加速阶段，根据牛顿第二定律可得 其中 解得 由于速度是增加的，所以加速度是减小的，导体棒不可能做匀加速运动，故A错误； B．导体棒稳定时的加速度为零，则有 解得 故B错误； C．根据能量守恒定律可知，导体棒从释放到其速度稳定的过程中，其机械能的减少量等于电阻R与导体棒产生的焦耳热之和，故C错误； D．根据电荷量的计算公式可得 解得 故D正确。 故选D。 【变式训练1-3-2】如图所示，一宽度为L的光滑导轨与水平面成α角，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上，导轨上端连有一阻值为R的电阻，导轨电阻不计。一质量为m、电阻也为R的金属棒从导轨顶端由静止释放，设导轨足够长，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.金属棒将做匀加速运动 B.释放的瞬间金属棒的加速度大小为gcos α C.金属棒的最大速度大小为 D.金属棒下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量越来越多 【答案】　C 【解析】　对金属棒，根据牛顿第二定律，有mgsin α－ILB＝ma，根据闭合电路欧姆定律，有I＝，由此可知，金属棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故A错误；释放的瞬间金属棒所受安培力为零，所以加速度大小为a＝gsin α，故B错误；当金属棒的加速度为零时，此时速度最大，有mgsin α＝ImLB＝，解得vm＝，故C正确；金属棒下滑过程中通过定值电阻R的电荷量为q＝·Δt，又有＝＝＝，所以q＝，由此可知，下滑相等距离的时间内通过定值电阻R的电荷量相等，故D错误。 【变式训练1-3-3】（多选）如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　) A．拉力F是恒力 B．拉力F随时间t均匀增加 C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2 【答案】　BCD 【解析】　t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，电路中的感应电流I＝，金属杆所受的安培力大小为F安＝BIl＝，由牛顿第二定律F－mgsin 37°－F安＝ma得F＝ma＋mgsin 37°＋，F与t是一次函数关系，选项A错误，B正确；t＝0时，F最小，代入数据可求得a＝2 m/s2，选项D正确；t＝2 s时，代入数据解得F＝12 N，选项C正确。 【变式训练1-3-4】（多选）如图甲所示，平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻，平行导轨间距L＝1 m，定值电阻R＝3 Ω，虚线OO′下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r＝1 Ω、m＝0.1 kg的金属棒ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，金属棒下滑过程中的v－t图像如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流为0.5 A D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10－2 J 【答案】　BD 【解析】　由图乙知ab进磁场前的加速度为a＝＝5 m/s2，由mgsin 37°－Ff＝ma，解得Ff＝0.1 N，A错误；ab进磁场后做匀速运动，有mgsin 37°＝Ff＋ILB，回路中电流I＝，解得B＝2 T，B正确；金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流I＝＝0.25 A，C错误；金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝1.875×10－2 J，D正确。 【变式训练1-3-5】（多选）如图所示，平行光滑金属导轨ab、cd间距为L=1.5 m，与水平面间的夹角θ=37°，导轨上端接有电阻R=0.8 Ω。一导体棒PQ垂直导轨放置且与导轨接触良好，导体棒质量为m=2 kg，连入电路的电阻为r=0.2 Ω，PQ上方导轨间有一矩形磁场区域，磁场面积为S=0.5 m2，磁场方向垂直导轨平面向下，矩形磁场区域内的磁感应强度大小B1随时间t变化的图像如图乙所示，PQ棒下方包括PQ所在处的轨道间充满垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B2=2 T，导轨足够长且电阻不计，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，导体棒从静止释放后，下列说法中正确的是(　　) A.刚释放时，导体棒的加速度为6 m/s2 B.导体棒的加速度为6 m/s2时，其下滑速度大小为1 m/s C.导体棒稳定下滑时速度大小为2 m/s D.导体棒稳定下滑时，R两端电压为3.2 V 【答案】　CD 【解析】导体棒从静止刚释放时，感应电动势为E=S=4×0.5 V=2 V，根据楞次定律和左手定则知，安培力方向沿导轨向下，根据牛顿第二定律mgsin 37°+LB2=ma，解得a=9 m/s2，故A错误;导体棒的加速度为6 m/s2时，由牛顿第二定律有LB2+mgsin 37°=ma1，解得下滑速度大小为v1= m/s，故B错误;导体棒稳定后匀速下滑时，有LB2=mgsin 37°，可得v=2 m/s，故C正确;导体棒稳定匀速下滑时，电路中的电流为I==4 A，则R两端电压为U=IR=3.2 V，故D正确。 【变式训练1-3-6】（多选）如图所示，两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ互相平行，间距为L，上端接入阻值为R的定值电阻，构成U形平面，与水平面的夹角为θ(0°＜θ＜90°)，磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且接触良好，金属棒ab的质量为m，接入电路的电阻为r。则金属棒ab沿导轨下滑过程中(　 ) A．最大加速度为gsin θ B．当金属棒ab下滑速度为v时，其两端电压为BLv C．所受安培力不会大于mgsin θ D．下滑速度大小一定小于mgsin θ 【答案】AC 【解析】　对金属棒ab，根据牛顿第二定律可得mgsin θ－F安＝ma，由题可知，开始滑动时，金属棒ab所受安培力为零，此时加速度最大，为gsin θ，故A正确；由法拉第电磁感应定律可得，当金属棒ab下滑速度为v时，产生的感应电动势为BLv，则金属棒ab两端电压为BLv，故B错误；金属棒ab沿导轨下滑时，所受安培力增大，则加速度减小，当加速度为零时，所受安培力达到最大，为mgsin θ，故C正确；当金属棒ab所受安培力等于mgsin θ时，金属棒ab做匀速运动，此时速度最大，则有mgsin θ＝，解得vm＝，故D错误。 【变式训练1-3-7】如图所示，AME、HDG为两条足够长的光滑平行金属导轨。导轨倾斜部分倾角θ=30°，置于垂直倾斜导轨平面向下、磁感应强度大小为2T的匀强磁场中，距离MD足够远处放置一质量为20g、内阻不计的导体棒ab。导轨水平部分通过导线分别连接有电容C=5000μF的电容器和R=2Ω的电阻，导轨G端接有一单刀双掷开关。t=0时刻开关接1，对导体棒施加一个沿导轨向上、功率恒定的牵引力F，使导体棒从静止开始沿导轨向上运动，t=4s时达到最大速度2m/s，0~4s内电阻R上产生的热量为8.5J。t=6s时撤去牵引力，同时断开开关；t=6.4s时，开关接2。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计，导轨间距L=0.5m，重力加速度g=10m/s2 ，则（　　） A．0~6s内导体棒先做匀加速运动后做匀速运动 B．整个过程中牵引力做功为13.2J C．导体棒沿轨道向上运动的最远距离为6m D．t=7s时，导体棒的速度大小为2.4m/s 【答案】BD 【解析】A．根据牛顿第二定律可得 又 ， 可得 由于牵引力功率恒定，所以0~6s内导体棒先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动，故A错误； B．由题意可知t=4s时达到最大速度2m/s，则有 解得牵引力的功率为 则整个过程中牵引力做功为 故B正确； C．t=6s时撤去牵引力，同时断开开关，此时导体棒的加速度大小为 t=6.4s时，开关接2，此时导体棒的速度为 可知此时导体棒的速度刚好为0；设0~4s内导体棒向上运动的距离为，根据功能关系可得 解得 从4~6s内导体棒向上运动的距离为 从6~6.4s内导体棒向上运动的距离为 则导体棒沿轨道向上运动的最远距离为 故C错误； D．导体棒从t=6.4s时，开始向下运动，且导体棒与电容器构成回路，设导体棒的加速度为，则有 又 联立可得 则t=7s时，导体棒的速度大小为 故D正确。 故选BD。 【变式训练1-3-8】如图所示，质量的导体棒ab垂直放在相距为的足够长的平行光滑金属导轨上，导体棒在电路中电阻为，导轨平面与水平面的夹角，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。图的平行金属板长度为，间距为，带负电的粒子沿板方向以速度进入金属板。不计粒子重力和粒子间的相互作用。（金属导轨电阻不计，，g取） （1）开关S接1时，导轨与，内阻的电源连接。此时导体棒恰好静止在导轨上，求磁感应强度B的大小； （2）开关S接2时，导轨与定值电阻连接。静止释放导体棒，当导体棒运动状态稳定时，将平行金属板接到的两端，所有粒子恰好均能被金属板的下板收集，求粒子的比荷； （3）在（2）中，若导体棒从静止释放至达到最大速度的过程中，电阻产生的热量，求此过程中流过R的电荷量q。 【答案】（1）1T；（2）；（3） 【解析】（1）开关S接1时，导体棒中的电流 导体棒静止时受沿斜面向上的安培力，则 解得 （2）开关S接2时，导轨与定值电阻连接。静止释放导体棒，当导体棒运动状态稳定时 两金属板间的电压 若使得所有粒子恰好均能被金属板的下板收集，则 ，， 联立解得 （3）导体棒从静止释放至达到最大速度时 解得 由能量关系 串联电路中，电流处处相等，产热量之比为电阻值比，所以 解得 此过程中流过R0的电荷量 【变式训练1-3-9】够长的两平行金属导轨、所构成的斜面与水平面的夹角为，两导轨间距为，两导轨顶端接一阻值为的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一根质量为，电阻的导体棒垂直放置于导轨上，现给导体棒施加一沿斜面向上的恒力，使导体棒由静止开始向上运动，经过一段时间后导体棒达到稳定状态，其速度为。已知从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳，取，试求： （1） 导体棒速度为时的加速度 （2） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的位移 （3） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的时间 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律：， 由闭合电路欧姆定律 ， ，联立得 设恒力为，当导体棒匀速运动时，由平衡条件得： 代入数据联立解得 导体棒速度为时 根据牛顿第二定律： 解得 （2）从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳 ,, 根据功能关系 克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热 从导体棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得 ( 又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得 联立解得 （3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，在此过程中， 通过回路某一横截面的电荷量 ， 得 代入数据解得 在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得 ( 代入数据解得 【变式训练1-3-10】如图所示，足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面间的夹角为θ。导轨上端与阻值为R的电阻和电容为C的电容器相接，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上，一质量为m、电阻为R、长度为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，金属棒ab始终与导轨接触良好。现将开关S闭合，金属棒由静止开始运动。已知重力加速度为g。 (1)求金属棒沿导轨匀速滑行时的速度大小v； (2)金属棒沿导轨匀速运动后，将开关S断开并开始计时，求此后金属棒的速度大小v′随时间t变化的关系。 【答案】　(1) (2)v′＝＋t 【解析】(1)金属棒沿导轨匀速滑行时，设电流为I，根据平衡条件可得mgsin θ＝BIL，又I＝， 联立解得v＝ (2)设时间Δt内金属棒增大的感应电动势 ΔE＝BL·Δv 电容器增加的电压ΔU＝＝ 根据ΔE＝ΔU，＝a 求得电路中电流I′＝BLCa 对金属棒根据牛顿第二定律有 mgsin θ－BI′L＝ma，解得a＝ 金属棒做匀加速直线运动，速度大小随时间变化的关系v′＝v＋at＝＋t。 【变式训练1-3-11】如图所示，两条平行的光滑金属导轨所在平面与水平面的夹角为θ，间距为d.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的金属棒被固定在导轨上，距底端的距离为s，导轨与外接电源相连，使金属棒通有电流．金属棒被松开后，以加速度a沿导轨匀加速下滑，金属棒中的电流始终保持恒定，重力加速度为g.求下滑到底端的过程中，求金属棒： (1)末速度的大小v. (2)通过的电流大小I. (3)通过的电荷量Q. 【答案】　(1)　(2) (3) 【解析】　(1)金属棒做匀加速直线运动，有v2＝2as，解得v＝. (2)安培力F安＝IdB，金属棒所受合力F＝mgsin θ－F安 由牛顿第二定律F＝ma 解得I＝ (3)运动时间t＝，电荷量Q＝It 解得Q＝ 【变式训练1-3-12】如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面．质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置．在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力． (1)求ab开始运动时的加速度a； (2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况； (3)分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短． 【答案】]　见解析 【解析】　(1)利用楞次定律，对初始状态的ab受力分析得： mgsin θ＋BIL＝ma 对回路分析 I＝＝ 联立①②式得 a＝gsin θ＋. (2)上滑过程： 由第(1)问中的分析可知，上滑过程加速度大小表达式为： a上＝gsin θ＋ 上滑过程，a上与v反向，做减速运动．利用③式，v减小则a上减小，可知，杆上滑时做加速度逐渐减小的减速运动． 下滑过程： 由牛顿第二定律，对ab受力分析得： mgsin θ－＝ma下 a下＝gsin θ－ 因a下与v同向，ab做加速运动．由⑤式得v增加，a下减小，可知，杆下滑时做加速度减小的加速运动． (3)设P点是上滑与下滑过程中经过的同一点P，由能量转化与守恒可知： mv＝mv＋QR QR为ab从P滑到最高点到再回到P点过程中R上产生的焦耳热． 由QR>0所以vP上>vP下 同理可推得ab上滑通过某一位置的速度大于下滑通过同一位置的速度，进而可推得上>下 由s＝上t上＝下t下得 t上<t下 即ab上滑时间比下滑时间短． 【变式训练1-3-13】如图4，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： 图4 (1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。 【答案】　(1)Q＝CBLv　(2)v＝ 【解析】　(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv 平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E 设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝，联立可得Q＝CBLv。 (2)设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为I，金属棒受到的磁场力方向沿导轨向上，大小为F＝ILB＝CB2L2a 金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨斜面向上，大小为Ff＝μFN，式中FN＝mgcos θ，金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsin θ－F－Ff＝ma 联立上式可得a＝ 则金属棒做初速度为零的匀加速度运动，t时刻金属棒的速度大小为 v＝at＝。 【变式训练1-3-14】如图7甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态，对应过程的v－t图像如图乙所示，(稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动)取g＝10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： 图7 (1)运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 【答案】　(1)b端　5 N　(2)1.47 J 【解析】　(1)由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高 当金属棒匀速运动时，由平衡条件得F＝mgsin 37°＋F安 其中F安＝ILB＝ 由乙图可知v＝1.0 m/s 联立解得F＝5 N。 (2)从金属棒开始运动到稳定状态，由功能关系可得(F－mgsin 37°)s＝Q＋mv2 两电阻产生的焦耳热与阻值成正比，故金属棒上产生的焦耳热为Qr＝Q 联立解得Qr＝1.47 J。 题型02：双杆的动力学问题 （一）双杆在水平竖直方向上的动力学问题 【典型例题1】（多选）如图，两条电阻不计的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，其左端接一电池，右侧部分处于竖直向下的匀强磁场中。阻值恒定的金属杆在水平向右平行导轨的恒力F作用下，从无磁场区域的a处由静止开始运动，到达磁场中b位置时开始反向运动。金属杆在整个运动过程中，始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触。则金属杆在第一次往、返运动中，下列说法正确的是（　　） A．金属杆在磁场中受到的安培力始终向左 B．金属杆进入磁场后做加速度增大的减速运动 C．金属杆恰好能够回到a处 D．金属杆能回到无磁场区，但不能回到a处 【答案】AD 【解析】AB．根据左手定则可知电源产生的电流受磁场的安培力向左，金属杆到达磁场中b位置时能反向运动，说明由电源电流产生的安培力F源安大于恒力F。金属杆刚进入磁场后因切割磁感线产生的感应电动势方向与电源方向相同，可知电流中电流增加，安培力向左且大于恒力F可知导体棒必定向右做减速运动，根据 随速度减小，则加速度减小，即导体棒向右做加速度减小的减速运动，直到速度减为零后反向运动；反向运动开始时，因切割磁感线产生的感应电动势方向与电源方向相反，安培力方向向左，则加速度 随速度增加，加速度减小，直到出离磁场边界；即整个过程中金属杆在磁场中受到的安培力始终向左，金属杆进入磁场后向右做加速度减小的减速运动，选项A正确，B错误； CD．金属杆从进入磁场到回到磁场左边界过程中，恒力F做功为零，电源提供的能量一部分要产生焦耳热，可知导体杆回到磁场左边界时的速度小于进入磁场时的速度，可知金属杆能回到无磁场区，但不能回到a处，选项C错误，D正确。 故选AD。 【典型例题2】某物理小组想出了一种理想化的“隔空”加速系统，该系统通过利用其中一个金属棒在磁场中运动产生感应电流从而使另一个金属棒获得速度，这样就避免了直接对其进行加速时所带来的磨损和接触性损伤，该加速系统可以建模抽象为在足够长的固定水平平行导轨上放有两个金属棒MN和PQ，磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁场与导轨所在水平面垂直，方向竖直向下，导轨电阻很小，可忽略不计。如图为模型俯视图，导轨间的距离L＝1.0 m，每根金属棒质量均为m＝1.0 kg，电阻都为R＝5.0 Ω，可在导轨上无摩擦滑动，滑动过程中金属棒与导轨保持垂直且接触良好，在t＝0时刻，两金属棒都处于静止状态，现有一与导轨平行、大小为F＝2.0 N恒力作用于金属棒MN上，使金属棒MN在导轨上滑动，经过t＝10 s，金属棒MN的加速度a＝1.6 m/s2，求： (1)此时金属棒PQ的加速度是多少？ (2)此时金属棒MN、PQ的速度各是多少？ (3)金属棒MN和PQ的最大速度差是多少？ 【答案】　(1)0.4 m/s2　(2)18 m/s　2 m/s (3)40 m/s 【解析】(1)恒力作用于MN棒，使其在导轨上向右加速运动，切割磁感线产生感应电流，根据右手定则知电流方向为M→N，电流流经PQ，根据左手定则知MN所受安培力水平向左，PQ受到的安培力水平向右，它们都做加速运动，对MN由牛顿第二定律得F－BIL＝ma，对PQ由牛顿第二定律得 BIL＝ma′，联立解得a′＝0.4 m/s2。 (2)设某时刻MN速度为v1，PQ速度为v2，根据法拉第电磁感应定律有I＝ 在t＝10 s时，对MN由牛顿第二定律得F－BIL＝ma，整理得F－＝ma 代入数据得v1－v2＝16 m/s 由于作用于两棒的安培力等大反向，所以作用于两棒系统的合力为水平恒力F，对系统由动量定理得Ft＝(mv1＋mv2)－0，代入数据得v1＋v2＝20 m/s 联立解得v1＝18 m/s，v2＝2 m/s。 (3)MN棒做加速度减小的加速运动，PQ棒做加速度增大的加速运动，最终有共同加速度，设两金属棒的共同加速度为a共，对系统有F＝2ma共，对PQ棒有BImL＝ma共，其中Im＝＝ 联立解得Δvm＝40 m/s。 【变式训练2-1-1】（多选）一空间有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B＝0.5T的匀强磁场，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如图所示，导体棒ab、cd长度均为0.2m，电阻均为0.1，重力均为0.1N。现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升（导体棒ab、cd与导轨垂直且接触良好），此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是（　　） A．经过cd的电流方向为从c到d B．ab受到的拉力大小为2N C．ab向上运动的速度大小为2m/s D．在2s内，拉力做功有0.6J的其他形式的能转化为电能 【答案】AC 【解析】A．对ab棒，由右手定则可知，电流方向由b到a，故经过cd的电流方向为从c到d，A正确； B．导体棒ab匀速上升，cd棒静止，受力均平衡，对于两棒组成的整体，合力为零，根据平衡条件可得ab棒受到的拉力 F＝2mg＝0.2N 故B错误； C．cd棒受到向下的重力G和向上的安培力F安，由平衡条件得F安＝G 即BIL＝G 又I＝ 联立解得v＝＝2m/s故C正确； D．在2s内，电路产生的电能Q＝t＝t＝×2J＝0.4J 则在2s内，拉力做功，有0.4J的其他形式的能转化为电能，故D错误。 故选AC。 【变式训练2-1-2】（多选）如图所示，两条足够长的光滑平行导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L＝1 m，电阻不计，两导体棒a、b静置于导轨上，导体棒a的电阻不计，b棒的阻值为R＝1 Ω，单刀双掷开关1接在电容为C＝0.5 F的电容器上，初始状态，电容器不带电。电容器的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B1＝1 T，电容器左侧有垂直纸面向外的匀强磁场B2＝0.5 T，导体棒a通过细线跨过光滑定滑轮与竖直悬挂的重物A相连，已知重物A、两导体棒a、b三者的质量均为m＝1 kg。现将开关S接1位置，释放重物A，同时开始计时；t1＝0.25 s时断开开关S，t2＝0.45 s时将开关S接2位置，导体棒b开始运动；t3时刻两导体棒的加速度大小相等。重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　 ) A．t1时刻导体棒a的速度为v1＝1 m/s B．t2时刻导体棒a的速度为v2＝3 m/s C．t3时刻导体棒a的加速度为 m/s2 D．t3时刻回路消耗的热功率为25 W 【答案】AD 【解析】对导体棒a和重物A，根据牛顿第二定律得mg－B1iL＝2ma1，根据i＝，ΔQ＝CΔU，ΔU＝B1LΔv，联立解得a1＝＝4 m/s2，t1时刻导体棒a的速度v1＝a1t1＝1 m/s，故A正确；断开开关S后，不受安培力，则有mg＝2ma2，t2时刻导体棒a的速度为v2＝v1＋a2(t2－t1)＝2 m/s，故B错误；开关S接2位置，设t3时刻导体棒a的加速度为a3，mg－B1IL＝2ma3，t3时刻导体棒b的加速度为a3，B2IL＝ma3，解得a3＝2.5 m/s2，I＝5 A，t3时刻回路消耗的热功率为P＝I2R＝25 W，故C错误，D正确。 【变式训练2-1-3】（多选）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，两根足够长水平金属直轨道平行放置，轨道间距L＝0.5 m。将质量均为m＝0.5 kg、长度均为L、电阻均为R＝0.5 Ω的金属棒a、b垂直轨道放置，金属棒与直轨道间动摩擦因数均为μ＝0.4。现用外力F使金属棒b保持静止，对金属棒a施加大小为F0＝6 N，水平向右的恒力，当金属棒a匀速运动时，撤去固定金属棒b的外力F，在运动过程中，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨电阻不计，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.金属棒a匀速运动时的速度大小为4 m/s B.金属棒a匀速运动时，其两端的电势差为4 V C.撤去外力F后，a、b两金属棒的速度差不断增大 D.最终金属棒b以大小为2 m/s2的加速度运动 【答案】　AD 【解析】当加速度a＝0时，金属棒a做匀速运动，此时有I＝，又F0＝μmg＋BIL，联立解得v＝4 m/s，故A正确；金属棒a匀速运动时，切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv＝4 V，由于两金属棒阻值相等，则金属棒a两端的电势差大小为U＝＝2 V，故B错误；撤去外力F后，对a、b由牛顿第二定律可得F安－μmg＝mab，F0－μmg－F安＝maa，最终两金属棒加速度相同，有F安＝3 N，aa＝ab＝2 m/s2，故D正确；又F安＝，解得Δv＝3 m/s，即最终两棒的速度差保持不变，故C错误。 【变式训练2-1-4】如图所示，电阻不计的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直部分粗糙，水平部分光滑，水平及竖直部分均足够长。整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为μ。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R。t = 0时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做加速度为a的匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求拉力F随时间t变化的关系式； （2）求导体棒Q所达到的最大速度vm及下滑的总时间； （3）若在导体棒Q停止下滑的同时撤去拉力F，导体棒P继续运动多远距离时，导体棒Q又开始下滑？ 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】(1)导体棒P做匀加速直线运动，t时刻速度 感应电动势 由于导体棒Q在竖直轨道上滑动时不切割磁感线，不产生电动势，回路电流 两导体棒所受安培力大小均为 对导体棒P，由牛顿第二定律有 可得 (2)导体棒Q受到的安培力水平向右，水平方向受力平衡，设弹力为FN，有 竖直方向，设t时刻加速度为a2，根据牛顿第二定律有 可得 设t1时刻a2减小到0，此时导体棒Q的速度达到最大有 如图所示，a2 − t图线与时间轴所围的面积等于Q下滑过程速度的变化量。 根据图像有 可知 导体棒Q的速度达到最大后，做加速度逐渐增大的减速运动。设t2时刻导体棒Q停止下滑。由a2 − t图根据对称性可知 (3)导体棒Q停止下滑时，导体棒P的速度 设导体棒P的速度减到v3时，导体棒Q又开始下滑，此时棒Q所受安培力 滑动摩擦力等于重力，该过程导体棒P继续运动的距离为d。有 可得 撤去外力后的一小段时间Δt（Δt→0），导体棒P发生位移Δx，速度变化量为Δv，由动量定理有 则棒P速度从v2减到v3，求和有可得 （1） 双杆在斜面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为，导体棒用绝缘细线栓连，处于水平状态，在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出）。磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒接入电路的电阻分别为R和。剪断细线，经t时间达到最大速度。已知导体棒质量为，导体棒质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，与速度大小之比为1∶1 B．的最大速度为 C．在0到t时间内，流过的电荷量为 D．在0到t时间内，上滑的距离为 【答案】B 【解析】A．对导体棒组成的系统进行受力分析，可知合外力为零系统动量守恒，有 即在任意时刻，与速度大小之比为 故A错误； B．未剪断细线时，有 导体棒达到最大速度时，有 又 根据导体棒切割磁感线产生电动势，可得 又联立，解得故B正确； C．根据动量定理，可得 又联立，解得故C错误； D．设在0到t时间内，上滑的距离为x，则cd下滑的距离为2x，有 联立，解得故D错误。 故选B。 【典型例题2】（多选）如图所示，两根足够长的平行金属导轨与水平面夹角为，两导轨间距为0.4m，导轨电阻不计。导轨所在空间被分成足够长的区域I和II，两区域的边界与斜面的交线为MN，区域I中分布有垂直斜面向下的匀强磁场，区域II中分布有垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁场感应度大小均为。在区域I中，将质量，电阻的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域II中将质量，电阻的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域II的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取，则（　　） A．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同的速度运动 B．经过足够长的时间后，ab和cd最终以相同大小的加速度运动 C．当cd的速度大小为5m/s时，ab刚要开始滑动 D．当cd的速度大小为2.5m/s时，ab刚要开始滑动 【答案】BC 【解析】CD．由题意可知，开始金属条与金属导轨间的最大静摩擦力 方向沿着金属导轨向上；开始金属棒加速下滑，根据右手定则可知，产生的感应电流从到，根据左手定则可知金属条所受安培力沿着金属导轨向上，随着金属棒速度增大，感应电流变大，金属条所受安培力变大，当安培力等于时，金属条刚要开始滑动，此时 解得 金属棒产生的感应电动势 则金属棒的速度 故C正确，D错误； AB．金属条开始运动后，产生的感应电流与金属棒产生的感应电流相反，由于金属棒有较大的速度，所以金属棒产生的感应电流大于金属条产生的感应电流，设当电流为时，满足 解得 此时金属条和金属棒的加速度相等，此后金属条和金属棒的速度差恒定，产生的感应电流大小不变，金属条和金属棒以相同大小的加速度运动，故B正确，A错误。 故选BC。 【典型例题3】如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为。 （1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小； （2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小； （3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）a导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a棒的安培力相等时做匀速运动，由法拉第电磁感应定律可得 有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得 ， a棒受力平衡可得 联立记得 （2）由右手定则可知导体棒b中电流向里，b棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电流不变，则b棒牛顿第二定律可得 解得 （3）释放b棒后a棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a棒动量定理 b棒受到向下的安培力，对b棒动量定理 联立解得 此过程流过b棒的电荷量为q，则有 由法拉第电磁感应定律可得 联立b棒动量定理可得 【变式训练2-2-1】如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【答案】C 【解析】解：AB、若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，ab棒做切割磁感线运动，产生感应电流，受到沿导轨向上的安培力而减速。cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，当两棒速度相同时，不再产生感应电流，因两棒受到的滑动摩擦力大小f＝mgsinθ，两棒的合外力均为零，所以最终两棒分别以大小相等的速度匀速运动，故AB错误； CD、若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，ab棒沿导轨向下做加速运动，产生感应电流，cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，开始阶段，ab棒的加速度大于cd棒的加速度，两棒的速度差增大，回路总的电动势增大，感应电流增大，两棒受到的安培力增大，则ab棒的合外力减小，加速度减小。cd棒的合外力增大，加速度增大，当两棒的加速度相同时，速度差不变，产生的感应电流不变，两棒受到的安培力不变，加速度不变，所以最终两棒速度不同而加速度相同，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练2-2-2】（多选）如图，两条足够长的平行金属导轨间距，与水平面的夹角，处于磁感应强度、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。导轨上的a、b两根导体棒质量分别为、，电阻均为。现将a、b棒由静止释放，同时用大小为2N的恒力F沿平行导轨方向向上拉a棒。导轨光滑且电阻忽略不计，运动过程中两棒始终与导轨垂直且接触良好，取重力加速度。已知当a棒中产生的焦耳热时，其速度，a上方和b下方都足够长，下列说法正确的是（　　） A．此时b棒的速度大小为 B．此时a棒的加速度大小为 C．a棒从静止释放到速度达到所用的时间为 D．a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动 【答案】ABD 【解析】A．根据题意，设a、b棒受到的安培力大小为，则对a、b棒由牛顿第二定律分别有 代入数据解得 a、b棒由静止释放，则有 即解得故A正确； B．设此电路产生的感应电动势为E，电流为I，则有 联立式子解得故B正确； C．根据题意，设此过程a，b棒位移分别为，，结合上述分析可得 根据能量守恒有 对a棒根据动量定理有 其中安培力的冲量 联立代入数据可解得故C错误； D．根据题意可知，由于 且a上方和b下方都足够长，则a、b两棒最后同时向上和向下做匀速直线运动，故D正确。 故选ABD。 【变式训练2-2-3】（多选） 如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A. 回路中的电流方向为abcda B. ab中电流趋于 C. ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D. 两棒产生的电动势始终相等 【答案】AB 【解析】导体棒ab和cd同时由静止释放，速度为v时，ab产生的感应电动势E1=2BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为a→b；cd产生的感应电动势E2=BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为c→d，两导体棒产生的感应电动势；所以回路中的电流方向为abcda，A正确；当导体棒所受安培力沿导轨方向的分力等于重力沿导轨方向的分力时，导体棒匀速运动，电流趋于最大值。设ab导体棒中电流趋于I，ab所受安培力F=2BLI，由Fcos30°=2mgsin30°，解得I=，B正确；导体棒速度为v时回路中总感应电动势E=E1+E2=3BLv，导体棒中电流I=E/2R=,对导体棒ab，所受安培力F1=，由牛顿第二定律2mgsin30°-F1cos30°=2ma1，解得a1=g/2-；对导体棒cd，由所受安培力F2=，由牛顿第二定律mgsin30°-F2cos30°=ma2，解得a2=g/2-；由此可知，ab和cd加速度大小始终相等，C错误；由于ab和cd加速度大小始终相等，可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，由E=BLv可知两导体棒产生的感应电动势始终不相等，D错误。 【变式训练2-2-4】如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与EFGH组成两组足够长的平行导轨，其中EFEF组成的面与水平面夹角为θ=30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与EF之间的距离为2L，GHG'H'水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ=0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】（1）CD棒达到的最大速度，根据平衡条件有 根据闭合电路欧姆定律有 由此可得 （2）对AB，根据共点力平衡有 根据闭合电路欧姆定律有 由此可得 AB两端的电压为 （3）对导体棒AB分析 对导体棒CD分析 由以上两式可得 始终成立，因而任意时刻 研究CD棒，最终 ， 可解得 【变式训练2-2-5】如图所示，倾角=30°的斜面上有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=0.5m，底端接有电容C=2000μF的电容器。质量m=20g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B=2T。现用一沿导轨方向向上的恒力F1=0.54N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v=5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向下，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求： (1)导体棒运动到B处时，电容器C上的电荷量； (2)t的大小； (3)F的大小。 【答案】(1)1×10-2C；(2) 0.25s；(3) 0.45N 【解析】(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压为 U=Bdv=5V 此时电容器的带电荷量 q=CU=1×10-2C (2)棒在F1作用下运动，根据牛顿第二定律可得 F1-mgsinα-BId=ma1 又有 联立解得=20m/s2 则解得=0.25s (3)若导体棒运动到P处后返回，从B→P：向沿导轨向上减速运动，电容器C放电，有 可得 从P→A：向沿导轨向下加速运动，电容器C充电，有 可得 因此棒在F2作用下一直做匀变速直线运动，其加速度 方向沿导轨向下 又有 将相关数据代入解得F2=0.45N 题型03：线框的动力学问题 （一）线框在水平面上的动力学问题 【典型例题1】如图所示为某精密电子器件防撞装置，电子器件T和滑轨固定在一起，总质量为，滑轨内置匀强磁场的磁感应强度为B。受撞滑块K套在，滑轨内，滑块K上嵌有闭合线圈，线圈总电阻为R，匝数为n，边长为L，滑块K（含线圈）质量为，设T、K一起在光滑水平面上以速度向左运动，K与固定在水平面上的障碍物C相撞后速度立即变为零。不计滑块与滑轨间的摩擦作用，大于滑轨长度，对于碰撞后到电子器件T停下的过程（线圈边与器件T未接触），下列说法正确的是（　　） A. 线圈中感应电流方向为abcda B. 线圈受到的最大安培力为 C. 电子器件T做匀减速直线运动 D. 通过线圈某一横截面电荷量 【答案】B 【解析】 根据安培右手定则可知线圈中感应电流方向为adcba，A项错误； 产生的感应电动势为E＝nBLv0,根据闭合电路欧姆定律 受到的安培力为F＝nBIL 联立可得线圈受到的最大安培力为F＝，B项正确； 根据牛顿第二定律可得F＝ma 即 可知电子器件T做加速度减小的减速直线运动，C项错误； 对T根据动量定理，其中 联立可得通过线圈某一横截面电荷量为，D项错误 【典型例题2】（多选）足够长U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1 m，电阻不计。质量为1 kg、长为1 m、电阻为1 Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2 T，方向向下。用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1 kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面。如图所示，某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行。MN的速度v1＝2 m/s，CD的速度为v2且v2>v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2。重力加速度大小取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．B2的方向向上 B．B2的方向向下 C．v2＝5 m/s D．v2＝3 m/s 【答案】 　BD 【解析】 　导轨的速度大于导体棒的速度，因此对导体棒受力分析可知导体棒受到向右的摩擦力以及向左的安培力，摩擦力大小为Ff＝μmg＝2 N，导体棒所受安培力大小为F1＝Ff＝2 N，由左手定则可知闭合回路的电流方向为N→M→D→C→N，导轨受到向左的摩擦力、向右的拉力和向右的安培力，安培力大小为F2＝Ff－m0g＝1 N，由左手定则可知B2的方向向下，A错误，B正确；对导体棒分析F1＝B1IL，对导轨分析F2＝B2IL，电路中的电流为I＝，联立解得v2＝3 m/s，C错误，D正确。 【典型例题3】（多选）光滑水平面上有两个相邻互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场方向为垂直纸面，两磁场的磁感应强度大小相等方向相反，如图所示，磁场宽度均为，有一边长也为L的正方形闭合线框，从磁场外以速度进入磁场，当线框边进入磁场I时施加向右的水平恒力，边进入磁场I过程线框做匀速运动，进入磁场Ⅱ区域某位置后线框又做匀速运动，已知线框的质量，以下说法正确的是（　　） A．线框边刚进入磁场Ⅱ时加速度大小为 B．线框第二次匀速运动的速度大小为0.5 m/s C．线框边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时间为0.3 s D．线框边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时整个线框产生的内能为0.375 J 【答案】BC 【解析】 A．线框边在进入磁场Ⅰ的过程中，F与安培力平衡，即即    线框边刚进入磁场Ⅱ时，ab和cd边同时切割磁感线，且同时受到向左的安培力，有     设线框边刚进入磁场Ⅱ时加速度大小为a，由牛顿第二定律有    解得   故A错误； B．设线框第二次匀速运动的速度大小为v，由平衡条件得解得故B正确； C．线框边在磁场Ⅰ中运动时间为设线框边在磁场Ⅱ中运动时间为，此过程中线框中的平均感应电流为，对线框根据动量定理有根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律综合有解得所以线框边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时间为故C正确； D．设线框边在磁场I、Ⅱ中运动时整个线框产生的内能为Q，由功能关系得 解得故D错误。故选BC。 【变式训练3-1-1】如图所示，水平面上静止放置一个单匝正方形线框，边长为0.2 m，总电阻为4 Ω。线框有一半处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度的大小与时间的关系为B=(3+2t) T，若线框在t=0到t=5 s一直处于静止状态，则在t=2.5 s时刻，线框所受摩擦力的大小和方向分别为(　　) A.0.016 N、向右 B.0.032 N、向右 C.0.016 N、向左 D.0.032 N、向左 【答案】A 【解析】由法拉第电磁感应定律得闭合回路感应电动势大小为E==0.04 V，感应电流大小为I==0.01 A，t=2.5 s时刻的磁感应强度大小为B=8 T，安培力大小为F=IlB=0.016 N，线框静止，所以摩擦力大小为0.016 N。由楞次定律得，线框所受安培力向左，所以摩擦力向右，故A正确。 【变式训练3-12-】如图所示，边长为L、电阻为R的正方形金属线框静止在光滑绝缘的水平桌面上，其右侧有一宽度为d的匀强磁场，磁感应强度为B，方向竖直向下，磁场边界与金属线框AB边平行，而且。现金属线框在一恒力F作用下向右运动，并通过磁场区域。以v表示线框运动的速度，从线框AB边进入磁场开始计时，到线框CD边离开磁场计时结束，则这段时间内，下列线框的速度随时间变化的关系图中，不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．A选项表示的是若线框进入磁场时，所受到的安培力水平向左，大小等于恒力F，即 ；结合线框做匀速直线运动，当线框全部进入磁场后，其在恒力F作用下做匀加速直线运动，当线框的AB边离开磁场后，线圈中又产生感应电流，线框受到向左的安培力作用，此时速度比刚进入磁场时速度大，故安培力比刚进入磁场时的安培力大，即根据牛顿第二定律 线框做减速运动，由于速度在减小，线框中产生的电动势减小，感应电流减小，故线框做加速度减小的减速运动，此时线框可能一直减速通过磁场，也可能先减速再匀速通过磁场，但无论哪种情况，穿出磁场的最小速度都不小于刚进入磁场时的速度，若匀速离开磁场，离开时的速度与进入时速度大小相等，故A是可能的； B．B选项表示的是线框进入磁场时所受安培力小于恒力F，即做加速度减小的加速运动，当安培力等于恒力F时做匀速直线运动，线框全部进入磁场后做匀加速运动，但是穿出磁场的最小速度小于线框匀速运动时的速度是不可能的，故B是不可能的； C．C选项表示的是线框进入磁场时所受的安培力小于恒力F，一直做加速度减小的加速运动，进入磁场后做匀加速直线运动，当线框的右边框离开磁场时安培力仍比恒力F小，线框继续做加速度减小的加速运动，直至离开磁场，故C是可能的； D．D选项表示的是线框进入磁场时所受的安培力大于恒力F，线框做加速度减小的减速运动，进入磁场后做匀加速直线运动，然后又做加速度减小的减速运动，直至离开磁场，故D是可能的。本题选不可能的，故选B。 【变式训练3-1-3】（多选）如图所示，在粗糙绝缘的水平面内，存在一竖直向下的磁场区域，磁感强度B沿水平向右的方向均匀增加，分布规律为B=kx，其中k为正的常数。有一个长为L、宽为h、质量为m、电阻为R的不变形的矩形金属线框，在运动过程中始终位于磁场区域内。当它在该平面内运动时，将受到大小恒为f的阻力作用，则（　　） A．若磁场区域以速度v水平向左匀速运动，线圈可能静止不动 B．若磁场区域以速度v水平向左匀速运动，线圈由静止释放，则此后线圈运动的最大速度可能为 C．若让线圈在水平外力F的作用下从静止开始向右做加速度为a的匀加速直线运动，则F与时间t的关系为 D．若零时刻磁场区域由静止开始水平向左做匀加速直线运动，同时线圈由静止释放，足够长的时间后，t时刻磁场区域的速度为vt，则此刻线圈的速度 【答案】ABD 【解析】A．设线圈的右边导线所在位置的磁感应强度为B1，左边导线所在位置的磁感应强度为B2，则 线圈所受的安培力大小为 若安培力小于最大静摩擦力，则线圈静止不动，故A正确； B．若安培力大于最大静摩擦力，线圈将加速向左运动，最终匀速运动，则 解得 故B正确； C．若让线圈在水平外力F的作用下从静止开始向右做加速度为a的匀加速直线运动，则 所以F与时间t的关系为 故C错误； D．若零时刻磁场区域由静止开始水平向左做匀加速直线运动，同时线圈由静止释放，足够长的时间后，线圈的加速度与磁场的加速度相同，即， 解得 故D正确。 故选ABD。 【变式训练3-1-4（多选）如图所示，光滑水平桌面被虚线分成左右两部分，右侧处于竖直向下的匀强磁场中。由相同材料制成的导线绕成边长相同的M、N两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，N的匝数是M的n倍。M、N分别在水平恒力F1、F2的作用下以相同速度垂直磁场边界匀速进入该磁场区域，下列说法正确的是（　　） A. 线圈M、N的电阻之比为1∶n B. 水平外力F1与F2的比值为1∶1 C. 通过线圈M、N某横截面的电荷之比为1∶1 D. 线圈M、N产生的焦耳热之比为1∶1 【答案】BD 【解析】由题意可知，两个线圈的体积 相同，则 由题意可知，则，A项错误；设线圈边长为l，则，即，B项正确； 根据，推得，C项错误；由能量守恒定律有 相同，则，D项正确。 【变式训练3-1-5】如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框，置于始终竖直向下的匀强磁场中，边与磁场边界平行，边中点位于磁场边界。导体框的质量，电阻、边长。磁感应强度B随时间t连续变化，内图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。 （1）求时边受到的安培力大小F； （2）画出图(b)中内图像（无需写出计算过程）； （3）从开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，求ad边离开磁场时的速度大小。 【答案】（1）0.015N （2） （3）0.01m/s 【解析】（1）由法拉第电磁感应定律 由闭合电路欧姆定律可知，内线框中的感应电流大小为 由图（b）可知，时磁感应强度大小为 所以此时导线框的安培力大小为 （2）内线框内的感应电流大小为，根据楞次定律及安培定则可知感应电流方向为顺时针，由图（c）可知内的感应电流大小为 方向为逆时针，根据欧姆定律可知内的感应电动势大小为 由法拉第电磁感应定律 可知内磁感应强度的变化率为 解得时磁感应强度大小为 方向垂直于纸面向里，故的磁场随时间变化图为 （3）由动量定理可知 其中 联立解得经过磁场边界的速度大小为 （二）线框在竖直平面上的动力学问题 【典型例题1】两个用材料和横截面积都相同的细导线做成的刚性闭合线框，分别用不可伸长的细线悬挂起来，如图所示。两个线框均有一半面积处在磁感应强度随时间均匀变化的匀强磁场中，两线框平面均始终垂直于磁场方向。某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，此时正方形线框所受细线的拉力也为零。若已知圆形线框的半径为，则正方形线框的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设细导线单位长度质量、单位长度电阻分别为，由于磁感应强度随时间均匀变化，即相同，某时刻圆形线框所受细线的拉力为零，则圆形线框自身重力与安培力等大反向，即有，因为，圆形线框有效长度为，又因为，，联立以上得 设正方形线框边长为，同理，对正方形线框有联立以上解得，C项正确 【典型例题2】（多选）如图6所示，相距为d的两水平线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，正方形线框abcd边长为L(L<d)、质量为m、电阻为R。将线框在磁场上方高h处由静止释放，ab边刚进入磁场和穿出磁场时的速度恰好相等，重力加速度为g，则在线框全部穿过磁场的过程中(　　) 图6 A.ab边刚进入磁场时ab两端的电势差为BL B.感应电流所做功为mgd C.感应电流所做功为2mgd D.线框最小速度为v＝ 【答案】 CD 【解析】 　线圈自由下落过程，有mgh＝mv，ab边刚进入磁场时，有E＝BLv0，U＝BLv0，解得U＝，故A错误；根据能量守恒定律可知，从ab边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场的过程，动能变化为0，重力势能转化为线框产生的热量，则Q＝mgd，ab边刚进入磁场时速度为v0，ab边刚离开磁场时速度也为v0，所以从ab边刚穿出磁场到cd边离开磁场的过程，线框产生的热量与从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程产生的热量相等，所以线圈从ab边进入磁场到cd边离开磁场的过程，产生的热量等于感应电流做的功，有Q′＝W＝2mgd，故B错误，C正确；因为进磁场时要减速，即此时的安培力大于重力，速度减小，安培力也减小，线框全部进入磁场将做加速运动，所以全部进入磁场的瞬间速度最小，设线圈的最小速度为v，从ab边刚进入磁场到线框完全进入过程，由能量守恒定律，有mv－mv2＝W安－mgL，又mv＝mgh，W安＝mgd，联立解得线圈的最小速度为v＝，故D正确。 【典型例题3】（多选）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为d的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为B，每个磁场分布区间的长度都是l，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为d、长为l、总电阻为R的导线框MNPQ（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为g，下列说法中正确的是（　　） A. 磁场平动的速度方向竖直向上 B. 磁场平动的速度方向竖直向下 C. 导线框和电梯轿厢的总质量为 D. 当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为 【答案】ACD 【解析】．轿厢悬停或者竖直向上做匀速运动时，均需要竖直向上的安培力，由楞次定律的“阻碍作用”可知，磁场相对轿厢的运动方向均为竖直向上，即速度v1和v2的方向都是竖直向上，故A正确，B错误；设导线框和电梯轿厢的总质量为m。轿厢悬停时，导线框中的电流大小为，由平衡条件有，解得，故C正确； 当磁场平动速度为v1时，轿厢悬停，则 当磁场平动速度为v2时，线框向上运动，当其加速度为零时，达到最大速度，则， 则，当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为，故D正确。 【变式训练3-2-1】（多选）如图，空间某区域内存在沿水平方向的匀强磁场，一正方形闭合金属线框自磁场上方某处自由释放后穿过磁场，整个过程线框平面始终竖直．线框边长小于磁场区域上下宽度。若不计空气阻力，以线框刚进入磁场时为计时起点，下列描述线框所受安培力F随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】BCD 【解析】A．进入磁场前，线框受重力作用加速下落，进入与离开磁场时都受到向上的安培力作用． 若进入磁场时安培力大于重力，线框做加速度减小的减速运动，安培力随速度减小而减小，某时刻安培力等于重力，线框做匀速运动，由平衡可得此时速度达到完全进入后只受重力，线框加速，刚要离开时的速度大于完全进入时的速度，故安培力大于重力，做减速运动，速度减小，安培力也减小，故A错误； B．若线框进入磁场时安培力恰好等于重力，进入过程中安培力不变，完全进入后只受重力，线框加速，离开磁场时安培力大于重力，速度减小，安培力也减小，故B正确； C．若进入时安培力大于重力，由可知，线框做加速度减小的减速运动，安培力随速度的减小而减小，完全进入后只受重力，线框加速，离开磁场时安培力大于重力，速度减小，进入过程与离开过程安培力变化情况可能完全相同，故C正确； D．若进入磁场时安培力小于重力，由可知线框做加速度减小的加速运动，进入过程安培力不断增大，完全进入后线框加速运动，若离开磁场时安培力大于重力，线框做加速度减小的减速运动，安培力随速度的减小而减小，故D正确。故选BCD。 【变式训练3-2-2】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　 ) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 【答案】AB 【解析】由题意知，两线圈体积相同，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝，甲受到的安培力F甲＝＝，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确。 【变式训练3-2-3】（多选）如图是一种精确测量质量的装置原理示意图，竖直平面内，质量恒为M的称重框架由托盘和矩形线圈组成。线圈的一边始终处于垂直线圈平面的匀强磁场中，磁感应强度不变。测量分两个步骤，步骤①：托盘内放置待测物块，其质量用m表示，线圈中通大小为I的电流，使称重框架受力平衡；步骤②：线圈处于断开状态，取下物块，保持线圈不动，磁场以速率v匀速向下运动，测得线圈中感应电动势为E。利用上述测量结果可得出m的值，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ） A. 线圈电阻为 B. I越大，表明m越大 C. v越大，则E越小 D. 【答案】BD 【解析】A．根据题意电动势E是线圈断开时切割磁感线产生的感应电动势，I为线圈闭合时通入的电流，故不是线圈的电阻； 故A错误； B．根据平衡条件有① 故可知I越大，m越大； 故B正确； C．根据公式有② 故可知v越大，E越大； 故C错误； D．联立①②可得 故D正确。 故选BD。 【变式训练3-2-4】如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L＝0.2 m、回路电阻R＝1.6 × 10 － 3 Ω、质量m＝0.2 kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ＝45°角、大小为4 N 的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g＝10 m/s2，求： (1)ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热； (3)磁场区域的水平宽度。 【答案】(1)20 m/s2　10 m/s2　(2)0.2 T　0.4 J　(3)1.1 m 【解析】(1)ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有max＝Fcos θ 代入数据有ax＝20 m/s2 在竖直方向有may＝Fsin θ－mg 代入数据有ay＝10 m/s2。 (2)根据题意，从ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的一部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线，但ad和bc边的切割磁感线部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流方向为adcba，则ab边受到的安培力竖直向下，ad边受到的安培力水平向右，bc边受到的安培力水平向左，则ad边和bc边受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力等于ab边受到的竖直向下的安培力。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有Fsin θ－mg－BIL＝0，E＝BLvy，I＝，vy2＝2ayL 联立有B＝0.2 T 由题知，dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有Q＝W安＝BILy y＝L，Fsin θ－mg＝BIL 联立解得Q＝0.4 J。 (3)线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为t＝t1＋t2，vy＝ayt1，L＝vyt2 联立解得t＝0.3 s 由(2)分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有 x＝axt2＝×20×0.32 m＝0.9 m 则磁场区域的水平宽度s＝x＋L＝1.1 m。 【变式训练3-2-5】如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6m，高0.5m，大小均为0.5T。电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8Ω，高度为1.5m，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2400kg，g取10m/s2，忽略摩擦阻力。当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时，求∶ （1）电梯下落速度达到2.5m/s时，线圈内产生的感应电流大小； （2）电梯可达到的最大速度； （3）若电梯下落4.5m，达到最大速度的，此过程所用时间。 【答案】（1）50A；（2）7.5m/s；（3）1.2s 【解析】（1）电梯下落时，线圈上下两边均切割磁感线产生感应电动势由欧姆定律，可得此时线圈内产生的感应电流大小为代入数据得I1=50A （2）当电梯达到最大速度时，电梯所受重力与安培力平衡，有又有 联立得代入数据得 （3）在电梯下落过程中，电梯所受安培力不断变化，取Δt为时间微元，则此时安培力可视为恒力，由动量定理，得而代入上式，有即 将电梯下落的各段时间累加，可得解得 而代入数据得t=1.2s （1） 线框在斜面的动力学问题 【典型例题1】（多选）如图所示为一个倾角为，足够长、宽度大于的绝缘斜面，垂直于斜面两边的虚线的上方存在垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为。一个边长为、质量为的单匝正方形导体框的边恰好与重合，时刻导体框以速度大小为沿斜面向上进入磁场区域，一段时间后，导体框的边第一次与重合，此时导体框的速度大小为，最后导体框的边向下到达时，导体框恰好匀速滑出磁场。已知导体框电阻为，斜面对导体框的摩擦力大小恒定不变为，运动过程中，导体框的边始终与平行，重力加速度为。下列说法正确的是（    ） A．导体框边刚进入磁场时，其加速度大小为 B．导体框进入磁场的过程所用的时间为 C．导体框向上进入磁场和向下穿出磁场两个过程中，所用的时间相同 D．导体框从进入到穿出磁场过程中产生的总热量为 【答案】AB 【解析】 A．边刚进入磁场时，加速度大小 而 联立解得，故A正确； B．导体框进入磁场的过程，由动量定理有 而 解得，故B正确； C．导体框在进入磁场时的平均速度大于穿出磁场的平均速度，所用时间不同，故C错误； D．导体框进入磁场的过程，设克服安培力做的功为，由能量守恒有 穿出磁场的过程设克服安培力做的功为，则 由题意知，导体框产生的总热量为克服摩擦力做的功与克服安培力做的功之和 上滑过程 下滑过程 联立解得 由于导体框在磁场中运动了一段距离，该过程克服摩擦阻力做功，故导体框从进入到穿出磁场过程中产生的总热量大于，故D错误。 故选AB。 【典型例题2】如图8(a)，固定的绝缘斜面MNPQ倾角θ＝37°，虚线OO1与底边MN平行，且虚线OO1下方分布有垂直于斜面向上(设为正方向)的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像如图(b)。质量m＝3.0×10－2 kg、边长L＝2.0×10－1 m、电阻R＝2.0×10－3 Ω粗细均匀的正方形导线框abcd置于斜面上，一半处在OO1的下方，另一半处在OO1的上方，ab与OO1平行。已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： 图8 (1)导线框与斜面间的动摩擦因数μ的大小； (2)导线框从t＝0到恰好滑动的这段时间，导线框产生的焦耳热Q。 【答案】 　(1)0.75　(2)3.6×10－2 J 【解析】 　(1)已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，则有mgsin θ＝μmgcos θ 解得动摩擦因数μ的大小为μ＝0.75。 (2)设导线框经t时间恰好滑动，此时磁场的磁感应强度为B，则有B＝t 当导线框受到的摩擦力方向向下且为最大静摩擦力时，导线框恰好滑动，此时有 ILB＝mgsin θ＋μmgcos θ 导线框中感应电流为I＝ 感应电动势为E＝＝S＝· 由题图(b)可知＝0.1 T/s 由焦耳定律可得Q＝I2Rt 联立以上各式并代入数据解得Q＝3.6×10－2 J。 【变式训练3-3-1】如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与斜面平行。距线框cd边为L0的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L2。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为L1(L1<L2)、质量为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，试求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q。 【答案】(1)　(2)mg(2L2＋L1) 【解析】　(1)导线框匀速进入磁场时，受力平衡，受力情况如图所示。根据平衡条件有 FT＝F安＋mgsin θ 其中F安＝IL1B I＝ E＝BL1v 导线框与木块通过细线相连，线框匀速进入磁场时，木块匀速下降，根据平衡条件有FT＝mg 对导线框和木块构成的系统，进入磁场前二者一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mg－mgsin θ＝2ma 根据运动学方程可得进入磁场时速度v＝ 联立以上各式求解可得B＝。 (2)线框恰好匀速进入和离开匀强磁场，导线框通过匀强磁场过程中，线框和木块组成的系统减少的重力势能转化为电路中产生的焦耳热，根据能量守恒定律得 Q＝mg(2L2＋L1)－mg(2L2＋L1)sin θ 所以导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q＝mg(2L2＋L1)。 【变式训练3-3-2】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解析】（1）线框在没有进入磁场区域时，根据牛顿第二定律 根据运动学公式 联立可得线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离 （2）因为cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，可知线框的边长与Ⅰ区域的长度相等，根据平衡条件有 又， cd边两端的电势差 联立可得 （3）①若，在线框进入Ⅰ区域过程中，根据动量定理 其中，， 联立可得 线框在Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理 根据 线框进入磁场过程中电荷量都相等，即 联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 ②若，同理可得 根据动量定理 其中 结合， 联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 确，C错误；根据前面分析可知aab＝acd，故可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度大小不同，故产生的感应电动势不相等，故D错误。 题型04：单杆的能量问题 【典型例题1】如图甲所示，间距的两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面上，右端连接的定值电阻，导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量的金属棒垂直导轨放置，在水平拉力F的作用下由静止开始沿导轨向左加速运动，当金属棒的速度时撤去拉力F，撤去拉力F之前金属棒的图像如图乙所示，运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与导轨的电阻不计。则（    ） A．撤去拉力F前金属棒的加速度逐渐减小 B．撤去F后，通过金属棒的电荷量为1.8C C．撤去F之前，金属棒克服安培力做的功为0.2J D．整个运动过程中，电阻R产生的热量为2J 【答案】C 【解析】A．由图像可知 v=kx 则 则即a=kv 则随速度的增加，加速度增加，即撤去拉力F前金属棒的加速度逐渐增加，选项A错误； B．撤去F后，由动量定理 解得通过金属棒的电荷量为选项B错误； C．撤去F之前，由图像可知v=x，金属棒克服安培力 安培力与位移成正比，可知安培力做的功为选项C正确； D．撤去F后电阻上产生的热量 撤去F之前产生的热量 则整个运动过程中，电阻R产生的热量 Q=0.2J+2J=2.2J 选项D错误。 故选C。 【典型例题2】(多选)如图甲所示，左侧接有定值电阻R＝2 Ω的水平粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B＝1 T，导轨间距L＝1 m。一质量m＝2 kg，阻值r＝2 Ω的金属棒在水平拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v－x图像如图乙所示，若金属棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.2，则从起点发生x＝1 m位移的过程中(g＝10 m/s2)(　　) A.金属棒克服安培力做的功W1＝0.25 J B.金属棒克服摩擦力做的功W2＝5 J C.整个系统产生的总热量Q＝4.25 J D.拉力做的功W＝9.25 J 【答案】　AC 【解析】　由v－x图像得v＝2x，金属棒所受的安培力FA＝＝，代入数据得FA＝0.5x N，则知FA与x是线性关系。当x＝0时，安培力FA1＝0；当x＝1 m时，安培力FA2＝0.5 N，则从起点发生x＝1 m位移的过程中，安培力做功为WA＝－x＝－0.25 J，即金属棒克服安培力做的功为W1＝0.25 J，故A正确；金属棒克服摩擦力做的功为W2＝μmgx＝0.2×2×10×1 J＝4 J，故B错误；克服安培力做功等于产生的电热，克服摩擦力做功等于产生的摩擦热，则整个系统产生的总热量Q＝W1＋W2＝4.25 J，故C正确；根据动能定理得WF－W2＋WA＝mv2，代入数据解得WF＝8.25 J，故D错误。 【典型例题3】(多选)如图所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平面、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电阻忽略不计。初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1=，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。则下列说法正确的是(　　) A.初始时刻导体棒受到的安培力大小F= B.初始时刻导体棒加速度的大小a=2g+ C.导体棒往复运动，最终静止时弹簧处于压缩状态 D.导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q=m+ 【答案】BC 【解析】导体棒的初速度为v0，初始时刻产生的感应电动势为E=BLv0，感应电流为I==，所以导体棒受到的安培力为F=ILB=，故A错误;初始时刻，弹簧处于伸长状态，棒受到重力、向下的安培力和弹簧的弹力，所以mg+kx1+F=ma，可得a=2g+，故B正确;导体棒往复运动直到最终静止时，棒受到重力和弹簧的弹力，受力平衡，弹簧处于压缩状态，且mg=kx2，可得x2=x1=，由此可知，弹簧的弹性势能不变，根据能量守恒定律可得mg(x1+x2)+m=Q，解得Q=m+，所以电阻R上产生的焦耳热为QR=Q=(m+)，故C正确，D错误。 【典型例题4】(多选)如图所示，两根相距为的平行光滑金属导轨倾斜放置，处于垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为的匀强磁场中，两导轨顶端与电容器相连，质量为、长度为的金属杆垂直导轨放置，金属杆与导轨接触良好。开始时电容器不带电，金属杆被锁定在距倾斜导轨底端处。已知两导轨倾角均为，电容器电容为，重力加速度为，不计一切电阻。现解除锁定，下列说法正确的是（　　） A．金属杆下滑过程中做加速度减小的变加速直线运动 B．若增大电容器电容，金属杆下滑时间变短 C．金属杆下滑到导轨底端时电容器极板间电压 D．金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能 【答案】CD 【解析】A．t时刻电容器两端的电压为：U=E=BLv 棒沿导轨下滑时，根据牛顿第二定律有：mgsinθ-F=ma 又棒所受的安培力为：F=BIL 电路中电流为： 联立以上三式得： 式中各量均不变，说明加速度不变，可知导体棒做匀加速直线运动，故A错误； B．若增大电容器电容，加速度减小，则根据 可知金属杆下滑时间变长，故B错误； C．金属杆下滑到导轨底端时的速度 电容器极板间电压故C正确； D．金属杆下滑到导轨底端时电容器储存的电能故D正确。 故选CD。 【典型例题5】(多选)如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨MAC、NBD水平放置，MA、NB间距L=0.4m，AC、BD的延长线相交于点E且，E点到直线AB的距离d=6m，M、N两端与阻值的电阻相连.虚线右侧存在方向与导轨平面垂直向下的匀强磁场，磁感应强度B=1T，一根长度也为L=0.4m，质量为m=0.6kg电阻不计的金属棒，在外力作用下从AB处以初速度沿导轨水平向右运动，棒与导轨接触良好，运动过程中电阻R上消耗的电功率不变.则 A.电路中的电流 B.金属棒向右运动过程中克服安培力做的功 C.金属棒向右运动过程中外力做功的平均功率 D.金属棒向右运动过程中在电阻中流过的电量 【答案】.AD 【解析】金属棒开始运动时产生感应电动势，电路中的，A符合题意；金属棒向右运动距离为时，金属棒接入电路的有效长度为，由几何关系可得， 此时金属棒所受安培力为，作出图像，由图像可得运动过程中克服安培力所做的功为，B不符合题意；金属棒运动，过程所用时间为，，解得 设金属棒运动到的速度为，由于电阻R上消耗的电功率不变 则有，，由动能定理可得，解得 代入数据解得，C不符合题意；根据 由图可知，解得C,D符合题意. 【典型例题6】如图，平行光滑金属导轨被固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，右端连接阻值为R的定值电阻。水平导轨上足够长的矩形区域MNPQ存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。某装置从MQ左侧沿导轨水平向右发射第1根导体棒，导体棒以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定；从原位置再发射第2根相同的导体棒，导体棒仍以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，以此类推，直到发射第n根相同的导体棒进入磁场。已知导体棒的质量为m，电阻为R，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好（发射前导体棒与导轨不接触），不计空气阻力、导轨的电阻，忽略回路中的电流对原磁场的影响。 求： (1)第1根导体棒刚进入磁场时，所受安培力的功率； (2)第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，其横截面上通过的电荷量； (3)从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3)，n = 1，2，3，… 【解析】（1）第1根导体棒刚进入磁场时产生的感应电动势为E = BLv0 则此时回路的电流为 此时导体棒受到的安培力F安 = BIL 此时导体棒受安培力的功率 （2）第2根导体棒从进入磁场到速度减为0的过程中，根据动量定理有 其中 解得 （3）由于每根导体棒均以初速度v0进入磁场，速度减为0时被锁定，则根据能量守恒，每根导体棒进入磁场后产生的总热量均为 第1根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第2根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第3根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 第n根导体棒进入磁场到速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的热量 则从第1根导体棒进入磁场到第n根导体棒速度减为0的过程中，导轨右端定值电阻R上产生的总热量QR = QR1＋QR2＋QR3＋…＋QRn 联立解得 ，n = 1，2，3， 【典型例题7】在研究电磁感应现象时，某同学设计了一种实验装置，模拟物体在变化磁场中的运动以及由此产生的电流。如图所示，光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨间距L=0.25m，左端连接R=0.2Ω的电阻，右端连接一对金属卡环，导轨间MN右侧（含MN）存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度的B-t图如图乙所示，质量为m=0.5kg，电阻r=0.3Ω的金属棒与质量也为m的物块通过光滑定滑轮由绳相连，绳始终处于绷紧状态，PQ、MN到右端卡环距离分别为25m和15m，t=0时刻由PQ位置静止释放金属棒，棒与导轨始终接触良好，滑至导轨右端被卡环卡住不动，金属导轨、卡环的电阻均不计，g取10m/s²。求： (1)金属棒进入磁场时的速度； (2)金属棒进入磁场时通过导体棒的感应电流； (3)在0-8s时间内电路中产生的焦耳热。 【答案】(1)10m/s (2)10A (3)131.25J 【解析】（1）设棒到达MN时的速度为v，物块下落的高度为 这个过程中棒和物块组成的系统机械能守恒 解得 （2）设这个过程所用时间为t1，由运动学公式 解得 由图乙可知此时磁感应强度B=2T 根据闭合电路欧姆定律可得 （3）金属棒进入磁场时,受到的安培力大小为 解得 物块的重力 所以金属棒匀速运动。匀速运动的时间为 此过程中产生的热 解得 4s~6s时间内，感应电动势大小为 此过程中产生的热 以后磁感应强度为零，回路中的电流为零，产生的热为零，所以在0-8s时间内电路中产生的焦耳热 【典型例题8】如图，光滑平行金属导轨、水平部分固定在水平平台上，圆弧部分在竖直面内，足够长的光滑平行金属导轨、固定在水平面上，导轨间距均为L，点与点高度差为，水平距离也为，导轨、左端接阻值为R的定值电阻，水平部分处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，平行金属导轨、完全处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，两磁场的磁感应强度大小均为。质量为的导体棒放在金属导轨、上，质量为m的金属棒从距离导轨水平部分高度为处由静止释放，从处飞出后恰好落在P、Q端，并沿金属导轨、向右滑行，金属棒落到导轨、上时，竖直方向分速度完全损失，水平分速度不变，最终a、b两金属棒恰好不相碰，重力加速度大小为，不计导轨电阻，一切摩擦及空气阻力。a、b两金属棒接入电路的电阻均为R，运动过程中始终与导轨垂直并接触良好。求： (1)导体棒a刚进入磁场时的加速度大小； (2)平行金属导轨、水平部分长度d； (3)通过导体棒b中的电量及整个过程金属棒a产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）设金属棒a刚进入磁场时的速度大小为，根据动能定理有解得 金属棒进入磁场的瞬间，金属棒a中感应电动势感应电流 根据牛顿第二定律有解得 （2）设金属棒a从、飞出时的速度为，飞出后做平抛运动，则有， 解得 金属棒a在金属导轨、水平部分运动过程中，根据动量定理有 根据电流的定义式有 该过程感应电动势的平均值 感应电流的平均值又 解得 （3）金属棒落到金属导轨、上向右滑行时的初速度大小为，金属棒a、b组成的系统动量守恒，设最后的共同速度为，根据动量守恒定律有 解得 对金属棒进行分析，根据动量定理有 根据电流的定义式有解得 金属棒在导轨、上运动时产生的焦耳热解得 金属棒在导轨上运动时产生的焦耳热解得 因此金属棒中产生的焦耳热 【变式训练4-1】如图所示，导体框位于竖直平面内，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小B=2.0T，水平导体棒MN可沿两侧足够长的光滑导轨下滑而不分离，导体棒MN质量m=0.1kg，接入电路的电阻r=1.0Ω；导轨宽度L=1.0m，定值电阻R=3.0Ω，装置的其余部分电阻可忽略不计。将导体棒MN无初速度释放，导体棒下滑h=2.0m高度时速度达到最大，重力加速度g=10m/s2。则导体棒（　　） A．下滑的最大速度为4m/s B．从释放到下滑h高度所经历时间为1s C．从释放到下滑h高度过程中，电阻R产生的热量为1.95J D．从释放到下滑h高度过程中，通过电阻R的电荷量为1C 【答案】D 【解析】A．导体棒速度最大时，安培力等于重力，即 其中 联立得 代入数据得，故A错误； C．由动能定理可知 解得 所以全电路电阻上的焦耳热 所以电阻R上产生的热量，故C错误； D．导体下落h的过程中，通过导线横截面的电量 其中，， 联立，解得，故D正确； B．导体棒下落h的过程中，设经历时间为t，根据动量定理得 其中 代入数据解得，故B错误。 故选D。 【变式训练4-2】如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的感应电流逐渐增大 B. 导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C. 通过回路中某横截面上的电荷量为 D. 导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 【答案】C 【解析】 设导体棒与两导轨间的长度为l，则导体棒切割磁感线在电路中产生电流的感应电动势 ，根据闭合电路欧姆定律可知 因为v、r、B恒定，则I恒定，导体棒中的感应电流大小保持恒定不变，A项错误；导体棒运动过程重力做正功WG，克服拉力F做功WF，安培力做负功，克服安培力做功转化为焦耳热Q，由动能定理得，则机械能的减少量 即导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能大于金属棒产生的焦耳热，B项错误；由于 ，C项正确；导体棒受到重力、拉力F和安培力作用，根据共点力平衡知识可知，解得拉力 其中 解得，D项错误。 【变式训练4-3】（多选）如图1所示，两根光滑长直导轨AM和AN在A点连接，处于磁感应强度为B的匀强磁场中。一根长直金属杆垂直AM放置，开始时与A点相距L，杆与A点之间的导轨上连接一阻值为R的电阻。时刻，在水平外力作用下，杆沿平行AM方向以初速度水平向右运动，位移为L时到达PQ，杆速度倒数与位移x间的关系如图2所示，不计其余电阻。则（　　） A．前一半时间内的平均感应电动势比后一半时间内的平均感应电动势小 B．位移时，速度大小为 C．运动到PQ过程中，通过电阻的电量为 D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为 【答案】CD 【解析】A．由图像可知图线方程 故 所以为一定值，故A错误； B．由可知，当时，，故B错误； C．电流 为一定值，根据图像速度倒数与位移x所围面积为时间，故可得运动到PQ所用时间 通过电阻的电量为，故C正确； D．运动到PQ过程中，电阻上产生的热量为，故D正确。 故选CD。 【变式训练4-4】（多选）如图4甲所示，平行金属导轨及所在平面与水平面成37°角。不计金属导轨电阻，平行导轨间距L＝1 m，定值电阻R＝3 Ω，虚线OO′下方有垂直于导轨平面的匀强磁场。将电阻r＝1 Ω、m＝0.1 kg的金属棒ab从OO′上方某处垂直导轨由静止释放，金属棒下滑过程中的v－t图像如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　) 图4 A.金属棒下滑过程中受到的摩擦力为0.2 N B.匀强磁场的磁感应强度大小为2 T C.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流为0.5 A D.金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量为1.875×10－2 J 【答案】BD 【解析】由图乙知ab进磁场前的加速度为a＝＝5 m/s2，由mgsin 37°－Ff＝ma，解得Ff＝0.1 N，A错误；ab进磁场后做匀速运动，有mgsin 37°＝Ff＋ILB，回路中电流I＝，解得B＝2 T，B正确；金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R中电流I＝＝0.25 A，C错误；金属棒在磁场中下滑0.1 s过程中电阻R产生的热量Q＝I2Rt＝1.875×10－2 J，D正确。 【变式训练4-5】如图所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为R0，一部分弯曲成直径为d的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好．圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感强度为B0导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小．设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，此圆圈从初始的直径d到完全消失所需时间t为 A. B. C. D. 【答案】.B 【解析】设在恒力F的作用下，A端△t时间内向右移动微小的量△x，则相应圆半径减小△r，则有：△x=2π△r，在△t时间内F做的功等于回路中电功， ， △S可认为由于半径减小微小量△r而引起的面积的变化，有：△S=2πr∙△r 而回路中的电阻R=R02πr，代入得，F∙2π△r= 解得： 显然△t与圆面积变化△S成正比，所以由面积πr02变化为零，所经历的时间t为： 解得： ，故B正确，ACD错误．故选B． 【变式训练4-6】（多选）如图甲所示，足够长导轨与水平面的夹角，导轨间距，其下端连接一个阻值的定值电阻，两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。一质量为的导体棒垂直于导轨放置，导体棒与导轨间的动摩擦因数。现将导体棒由静止释放，对应过程的图像如图乙所示，内为曲线、后为直线。运动过程中，导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计空气阻力和导体棒、导轨电阻，取，下列说法正确的是（    ） A．导体棒的加速度大小为时，导体棒的速度大小为 B．导体棒的质量为 C．内，通过定值电阻的电荷量为 D．内，系统产生的焦耳热为 【答案】CD 【解析】B．对导体棒受力分析，由牛顿第二定律得 过程中导体棒达到最大速度，则 此时 代人上式解得，故B错误； A．将，代入方程 得，故A错误； C．前8s内，，故C正确； D．前6s内由动能定理得 系统产生的焦耳热，故D正确。 故选CD。 【变式训练4-7】（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在倾角为的绝缘斜面上，导轨间距为，导轨下端连接一个阻值为的定值电阻，空间有一磁感应强度大小为、方向垂直导轨所在斜面向上的匀强磁场。一个轻弹簧的劲度系数为，下端固定在斜面上，弹簧上端与质量为、长为、电阻也为的导体杆相连，杆与导轨垂直且接触良好，弹簧与导轨平行。导体杆中点系一轻细线，细线平行斜面，绕过一个光滑定滑轮后悬挂一个质量也为的物块。初始时用手托着物块，导体杆保持静止，细线伸直，但无拉力。重力加速度大小为，弹簧始终在弹性限度内，释放物块后，下列说法正确的是（    ） A．释放物块瞬间，导体杆的加速度大小为 B．运动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，导体杆的加速度为零 C．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 D．导体杆最终将保持静止，在此过程中电阻上产生的焦耳热为 【答案】AC 【解析】A．初始时，弹簧被压缩，弹力大小 释放物块瞬间，安培力为零，对杆和物块分析有 解得 故A正确； B．导体棒运动动过程中，弹簧的伸长量第一次为时，速度不为零，此时导体棒所受的合外力为其所受的安培力，根据牛顿第二定律可知 加速度不为零，故B错误； CD．由于电磁感应消耗能量，杆最终速度为零，安培力为零，细线拉力为 弹簧处于伸长状态，对导体杆有 可得 解得 弹簧弹性势能不变，对物块、导体杆、弹簧整个系统，由能量守恒可得 解得 则电阻r上产生的焦耳热 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式训练4-8】（多选）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨段与段粗糙，其余部分光滑，右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度沿导轨向右经过进入磁场，最终恰好停在处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为，。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A. 金属杆经过的速度为 B. 在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C. 金属杆经过与区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D. 若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 【答案】CD 【解析】A．设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线有 E = BLv， 金属杆在AA1B1B区域运动的过程中根据动量定理有 则 由于，则上面方程左右两边累计求和，可得则 设金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C区域运动的过程中有 解得综上有 则金属杆经过BB1的速度大于，故A错误； B．在整个过程中，根据能量守恒有 则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为故B错误； C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量为 则金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域滑行距离均为，金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确； D．根据A选项可得，金属杆以初速度在磁场中运动有 金属杆的初速度加倍，设此时金属杆在BB1C1C区域运动的时间为，全过程对金属棒分析得 联立整理得 分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过BB1C1C区域的速度比第一次大，故，可得 可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D正确。 故选CD。 【变式训练4-9】（多选）如图，间距为L的两根金属导轨平行放置并固定在绝缘水平桌面上，左端接有一定值电阻R，导轨所在平面存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为m的金属棒置于导轨上，在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，一段时间后撤去水平拉力，金属棒最终停在导轨上。已知金属棒在运动过程中，最大速度为v，加速阶段的位移与减速阶段的位移相等，金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计摩擦及金属棒与导轨的电阻，则（　　） A．加速过程中通过金属棒的电荷量为 B．金属棒加速的时间为 C．加速过程中拉力的最大值为 D．加速过程中拉力做的功为 【答案】AB 【解析】A．设加速阶段的位移与减速阶段的位移相等为，根据 可知加速过程中通过金属棒的电荷量等于减速过程中通过金属棒的电荷量，则减速过程由动量定理可得 解得A正确； B．由解得 金属棒加速的过程中，由位移公式可得 可得加速时间为B正确； C．金属棒在水平拉力作用下从静止开始做匀加速直线运动，加速过程中，安培力逐渐增大，加速度不变，因此拉力逐渐增大，当撤去拉力的瞬间，拉力最大，由牛顿第二定律可得 其中 联立解得C错误； D．加速过程中拉力对金属棒做正功，安培力对金属棒做负功，由动能定理可知，合外力的功 可得 因此加速过程中拉力做的功大于，D错误。故选AB。 【变式训练4-10】（多选）如图甲所示为一倾角的粗糙平行导轨，其上方水平放置一导体棒MN、下方接有规格为“5V，1A”的小灯泡。导轨上某区域存在一矩形匀强磁场，磁场水平宽度恰等于导轨间距，磁场方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小按图乙所示规律变化。现将导体棒从时刻由静止释放，时恰好进入磁场区域做匀速直线运动，直到时刻离开磁场，小灯泡在时间内始终正常发光。已知导轨间距、导体棒MN的长度均为，导体棒MN与导轨间的动摩擦因数，重力加速度取，，则下列说法中正确的是（　　） A．磁场沿导轨方向的长度 B． C．导体棒MN的电阻 D．内，整个装置产生的焦耳热与摩擦产生的热量之比为 【答案】ABD 【解析】A．由题意，在内小灯泡电压为5V、电流为1A，导体棒进入磁场前加速度大小为 回路中电流由磁场变化产生，感应电动势 在0.5s时，导体棒以的速度进入磁场做匀速直线运动，切割磁感线产生感应电动势 小灯泡均正常发光，则有 解得，A正确； B．导体棒在磁场中运动的时间 故，B正确； C．导体棒分得电压为1V，电阻，C错误； D．内，整个装置产生的焦耳热 导体棒在磁场中匀速运动时有 解得 故摩擦产生的热量 比值，D正确。 故选ABD。 【变式训练4-11】（多选）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。重力加速度为g，则金属棒穿过磁场区域的过程中(　　) A.流过定值电阻的电流方向是N→Q B.通过金属棒的电荷量为 C.克服安培力做的功为mgh D.金属棒产生的焦耳热为(mgh－μmgd) 【答案】BD 【解析】金属棒下滑到底端时速度向右，磁场方向竖直向上，根据右手定则可知流过定值电阻的电流方向是Q→N，故A错误；根据法拉第电磁感应定律可知，通过金属棒的电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝，故B正确；根据动能定理有mgh－μmgd－W安＝0，则克服安培力所做的功为W安＝mgh－μmgd，电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，所以金属棒产生的焦耳热为QR＝(mgh－μmgd)，选项C错误，D正确。 【变式训练4-12】（多选）如图甲，水平面上两根足够长的粗糙金属导轨平行固定放置，间距为L＝1.0 m，一端通过导线与阻值为R＝0.5 Ω的电阻连接；导轨上放一质量为m＝0.5 kg 的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计，匀强磁场竖直向下。用与导轨平行的拉力F作用在金属杆上，使杆运动，当改变拉力的大小时，相对应稳定时的速度v也会变化，已知v和F的关系如图乙所示。重力加速度取g＝10 m/s2，则(　 ) A．金属杆受到的拉力与速度成正比 B．该磁场的磁感应强度为B＝0.25 T C．图线在横轴的截距表示金属杆与导轨间的阻力大小 D．导轨与金属杆之间的动摩擦因数为μ＝0.4 【答案】CD 【解析】当杆的运动达到稳定时，根据受力平衡可得F＝F安＋f，又F安＝BIL＝BL＝BL＝，联立可得F＝＋f，可知金属杆受到的拉力与速度不成正比关系，当v＝0时，F＝f，即图线在横轴的截距表示金属杆与导轨间的阻力大小，由图像可得f＝2 N＝μmg，解得μ＝0.4，故A错误，C、D正确；根据F＝＋f，可得v＝F－f，可知v ­F图像的斜率为k＝＝＝2，解得该磁场的磁感应强度为B＝＝ T＝0.5 T，故B错误。 【变式训练4-13】（多选）如图，顶角为60°的V形光滑导轨POQ倾斜固定，导轨平面倾角为30°。一绝缘轻弹簧上端固定于O点，下端连接质量为m的导体棒ab，已知弹簧原长为L，劲度系数为k，导轨和导体棒单位长度的电阻均为r。空间存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。弹簧处于原长时，ab由静止释放，运动过程中，ab始终保持水平且与导轨接触良好，弹簧始终在角∠POQ平分线OO′上。重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．ab下滑过程中a端电势比b端高 B．ab加速下滑过程中导体棒的电流恒定 C．ab下滑距离L过程中通过导体棒中间横截面的电荷量大小为 D．ab从开始释放到最终静止过程中整个回路产生的热量等于 【答案】AC 【解析】A．导体棒向下运动过程中，根据右手定则，可判断棒中电流方向由b指向a，由于导体棒相当于电源，所以a端电势比b端高，故A正确； B．设导体棒到O点的距离为时，电路中的电阻为 若导体棒的电流恒定，即 不变，其中， 即 不变，即导体棒做匀速运动时，导体棒的电流恒定，所以ab加速下滑过程中导体棒的电流改变，故B错误； C．ab下滑距离L过程中，此时 根据法拉第电磁感应定律可得 又，，， 联立，解得，故C正确； D．导体棒最终静止时，速度为0，不产生感应电流，导体中不受安培力，则有 解得 根据能量守恒，有 解得，故D错误。 故选AC。 【变式训练4-14】（多选）如图所示，是固定在水平面上的光滑的形导轨，、两导轨平行且间距为，两导轨间有长为、宽为的矩形匀强磁场，磁感应强度大小为，方向竖直向下。一质量为、长度为、阻值为的金属棒与导轨接触良好，静止在磁场右端，现用水平向左的恒力拉动金属棒，已知金属棒离开磁场前的速度已经达到最大，导轨段的电阻为，其余部分电阻不计，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒做匀速运动的速率为 B．金属棒离开磁场前两端电压为 C．金属棒穿过磁场过程中通过的电荷量为 D．金属棒穿过磁场过程中，金属棒上产生的热量为 【答案】AD 【解析】A．金属棒做匀速运动时，受力平衡，则 其中 解得，故A正确； B．金属棒离开磁场前两端电压为，故B错误； C．根据，故C错误； D．根据动能定理可得，解得 则金属棒上产生的热量为，故D正确。 故选AD。 【变式训练4-15】（多选）如图5(a)，两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接有一阻值为R的电阻。将一质量为m、阻值为R、长度也为L的金属棒通过绝缘细绳悬挂在距离导轨底端h高度处。空间中存在方向垂直于导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化，如图(b)所示。已知在t0时刻，细绳刚好断开，金属棒开始向下运动，下落高度为d时达到最大速度(d<h)。金属棒始终与轨道垂直且保持良好接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) 图5 A.金属棒下落的最大速度为 B.金属棒运动过程中机械能守恒 C.细绳断裂前电路的总功率为 D.细绳断裂后至金属棒达到最大速度的过程中，电路中产生的总热量为 【答案】　AC 【解析】金属棒在下落的运动中，受重力和安培力的作用，由静止开始做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零时，金属棒的速度最大，此时重力与安培力大小相等，则有F安＝ILB0＝mg，其中I＝，解得vm＝，A正确；金属棒运动过程中有重力做正功，安培力做负功，机械能不守恒，B错误；细绳断裂前，由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势大小为E＝＝·hL＝，由电功率公式，可得电路的总功率为P＝＝，C正确；金属棒向下运动到达到最大速度的过程中，由能量守恒定律可得mgd＝mv＋Q，则电路中产生的总热量为Q＝mgd－mv＝mgd－，D错误。 【变式训练4-16】（多选）如图所示，水平导体棒ab的质量，长L=1m、电阻，其两个端点分别搭接在竖直平行正对放置的两光滑金属圆环上，两圆环半径均为r=1m、电阻不计。阻值的电阻用导线与圆环相连接，理想交流电压表V接在电阻R两端。整个空间有磁感应强度大小为B=1T、方向竖直向下的匀强磁场。导体棒ab在外力F作用下以速率两圆环的中心轴匀速转动。t=0时，导体棒ab在圆环最低点。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 导体棒中的电流 B. 电压表的示数为 C. 从t=0到0. 5πs的过程中通过R的电量为2C D. 从t=0到0. 5πs的过程中外力F做功为 【答案】AC 【解析】导体棒ab在圆环最低点时，速度v垂直与磁感线，有效切割速度最大，感应电动势为最大值 感应电流最大值为 设经过时间t导体棒速度与磁感线夹角为 此时导体棒有效切割速度为 在导体棒中电流随时间变化规律为故A正确； 电压表示数为电阻R两端电压有效值，则 故B错误； 导体棒圆周运动的周期为 0.5πs等于周期的四分之一，则在0~0.5π s时间内通过R的电量为 故C正确； 根据能量守恒定律可知，从t=0到0.5πs的过程中外力F做功等于导体棒增加的重力势能与电路产生的焦耳热之和，电流的有效值为 则焦耳热为 导体棒增加的重力势能为 则外力做功为 故D错误。 【变式训练4-17】光滑的水平长直轨道放在磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场中，磁场方向垂直于水平面向下，轨道宽L=0.5m；当开关与a接通时，电源可提供大小稳定为2A的电流，棒中电流方向由Q流向P；开关与b接通时，电阻R=0.05Ω。一导体棒PQ长为0.5m，质量m=0.2kg、电阻r=0.05Ω静止在导轨上，不计其他电阻，它与导轨接触良好，且在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。开关开始接a，当棒的位移x1=18m时开关瞬间与a断开、与b接通，棒继续运动一段距离后停下来，导轨足够长。求： (1)当开关与a接通时，棒PQ加速度的大小及棒在运动全过程中的最大速度v是多少； (2)当开关与b接通后，棒运动的位移x2大小； (3)运动全过程中棒PQ产生的焦耳热Q是多少。 【答案】(1)a=1m/s2，v=6m/s (2)x2=12m (3)Q=3J 【解析】（1）开关接a时，电流大小方向始终不变，PQ一直做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 棒匀加速位移x1=18m，有最大速度v，则有 解得 （2）开关接b时，在安培力作用下，棒做减速运动，设向右为正方向，由动量定理 根据闭合电路欧姆定律 根据法拉第电磁感应定律 解得 （3）开关先接a一段时间t1，再接到b端一段时间t2。 第一段，棒做匀加速直线运动则有， 第二段，由能量守恒得 运动全过程中棒PQ产生的焦耳热 解得 【变式训练4-18】如图所示，水平面内固定一“”形光滑足够长的金属框架，三角形区域为边长的等边三角形，平行区域间距也为，在点处有一小缺口，使部分与框架其余部分绝缘。框架所在的空间内，从左至右依次分布有三个竖直向下的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，三个磁场的磁感应强度大小均为，Ⅱ区域宽度为，Ⅲ区域宽度为、Ⅱ区域间距忽略不计，Ⅱ、Ⅲ区域间距未知。现有两完全相同的金属杆、，质量均为，杆上单位长度的电阻均为，杆最初静止于磁场的左侧，杆在水平拉力作用下从点开始向右做速度大小为的匀速直线运动，杆经过后撤去外力。已知杆通过缺口前后速度不变，杆出Ⅲ区域时的速度大小为，杆出Ⅲ区域的过程中杆在Ⅱ区域的位移大于3.5l，金属框架的电阻不计，两杆与导轨始终接触良好，且间如果发生碰撞为弹性碰撞，求： （1）杆向右运动位移为时，流经杆的电流大小； （2）整个运动过程中系统所产生的热量。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）杆a向右切割磁感线产生的电动势为 由闭合电路欧姆定律可得流经杆a的电流大小为 （2）当a向右的位移为x时，切割的有效长度为 安培力大小为 由于aI区域中匀速，所以 即外力F正比与位移x，所以整个运动过程中外力所做的功为 假设b出Ш区域的过程中，a还未出I区域，对a、b组成的系统动量守恒 解得 在此过程中，a做加速度减小的减速运动，所以此过程对a有 b做加速度减小的加速运动，所以此过程对b有 已知b在此过程中的位移为l，则在此过程中a的位移一定小于5l，所以假设成立在此过程中对b由动量定理得 由上式可得 b出Ш区域后，假设a也能出Ш区域，并设其出Ш区域的速度大小为，对a由动量定理得 因为，所以 已知，所以 所以 即a能出Ш区域，假设成立，并且a出Ш区域后速度大于b出Ш区域后的速度，所以之后还会发生碰撞。现在先解a出Ш区域时的速度 即 将代入上式解得 因为a、b质量相等，并且它们之间的碰撞为弹性碰撞，所以碰后两者交换速度，故最终有， 对于整个过程，由能量守恒得 代入数据解得 【变式训练4-19】如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距为L=1m，R1和R2是并联在导轨一端的电阻，且R1=12Ω、R2=6Ω，ab是垂直导轨放置的质量为m=1kg的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零时刻开始，对ab施加一个大小为F=0.75N，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的v-t图像，其中O点为坐标原点，其坐标为（0，0），AO是图像在O点的切线，AB是图像的渐近线。除R1、R2以外，其余部分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知当棒的位移为20m时，其速度达到了最大速度1m/s。求（结果可以保留分数） （1）导体棒ab运动中受的摩擦力f的大小和磁感应强度B的大小； （2）在导体棒ab的位移为20m过程中R2电阻上产生的焦耳热； （3）若在导体棒ab的位移为20m时立即将恒定拉力F撤掉，此后导体棒ab滑行到停止的过程中流过R1的电量为C，求摩擦力在导体棒ab整个运动过程的平均功率。 【答案】（1）0.5N；1T；（2）3J；（3）0.44W 【解析】（1）由图乙得初始瞬间的加速度为 则由牛顿第二定律可知F-f=ma 代入解得f=0.5N 最终导体棒匀速运动，速度v=1m/s，设此时受到的安培力为F安，由平衡条件得F-f-F安=0 而安培力 电路总电阻 联立代入数据解得B=1T （2）对棒由能量守恒定律有 （3）从开始到运动x1=20m内，由动量定理有 Ft1-F安t1-ft1=mv-0 所以t1=24s 从撤去外力到停止运动，由动量定理有 -F′安×t2-f×t2=0-mv 那么F′安×t2=BLq2 qR1=I1t2=C qR2=I2t2=C 所以 q2=qR1+qR2=C 所以t2=1sx2=2m 所以 【变式训练4-20】如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态，对应过程的v－t图像如图乙所示，(稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动)取g＝10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： (1)运动过程中a、b哪端电势高，并计算恒力F的大小； (2)从金属杆开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 【答案】　(1)b端　5 N　(2)1.47 J 【解析】　(1)由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高 当金属棒匀速运动时，由平衡条件得 F＝mgsin 37°＋F安 其中F安＝ILB＝ 由乙图可知v＝1.0 m/s 联立解得F＝5 N。 (2)从金属棒开始运动到稳定状态，由功能关系可得(F－mgsin 37°)s＝Q＋mv2 两电阻产生的焦耳热与阻值成正比，故金属棒上产生的焦耳热为Qr＝Q 联立解得Qr＝1.47 J。 【变式训练4-21】够长的两平行金属导轨、所构成的斜面与水平面的夹角为，两导轨间距为，两导轨顶端接一阻值为的电阻，导轨所在的空间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为。一根质量为，电阻的导体棒垂直放置于导轨上，现给导体棒施加一沿斜面向上的恒力，使导体棒由静止开始向上运动，经过一段时间后导体棒达到稳定状态，其速度为。已知从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳，取，试求： （4） 导体棒速度为时的加速度 （5） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的位移 （6） 导体棒从静止开始到刚好达到稳定状态过程中的时间 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据法拉第电磁感应定律：， 由闭合电路欧姆定律 ， ，联立得 设恒力为，当导体棒匀速运动时，由平衡条件得： 代入数据联立解得 导体棒速度为时 根据牛顿第二定律： 解得 （2）从静止开始到刚好达到稳定状态过程中导体棒上电阻产生的焦耳 ,, 根据功能关系 克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热 从导体棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得 ( 又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得 联立解得 （3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，在此过程中， 通过回路某一横截面的电荷量 ， 得 代入数据解得 在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得 ( 代入数据解得 【变式训练4-22】如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）求棒所受安培力的最大值和最小值。 （2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）当OA运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，，此时感应电流最大，CD棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 故CD棒所受的安培力最大为 当OA运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD棒受到的安培力最小 故CD棒所受的安培力最小为 （2）当CD棒受到的安培力最小时根据平衡条件得 当CD棒受到的安培力最大时根据平衡条件得 联立解得 撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得 解得 【变式训练4-23】如图所示，一“U”型金属导轨固定在竖直平面内，一电阻不计，质量为m的金属棒ab垂直于导轨，并静置于绝缘固定支架上。边长为L的正方形cdef区域内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场。支架上方的导轨间，存在竖直向下的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小B随时间的变化关系均为B = kt（SI），k为常数（k > 0）。支架上方的导轨足够长，两边导轨单位长度的电阻均为r，下方导轨的总电阻为R。t = 0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，整个运动过程中ab与两边导轨接触良好。已知ab与导轨间动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。不计空气阻力，两磁场互不影响。 （1）求通过面积Scdef的磁通量大小随时间t变化的关系式，以及感应电动势的大小，并写出ab中电流的方向； （2）求ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式； （3）求经过多长时间，对ab所施加的拉力达到最大值，并求此最大值。 【答案】（1）kL2·t，kL2，从a流向b；（2）；（3） 【解析】（1）通过面积的磁通量大小随时间t变化的关系式为 根据法拉第电磁感应定律得 由楞次定律可知ab中的电流从a流向b。 （2）根据左手定则可知ab受到的安培力方向垂直导轨面向里，大小为F安=BIL 其中B=kt 设金属棒向上运动的位移为x，则根据运动学公式 所以导轨上方的电阻为 由闭合电路欧姆定律得 联立得ab所受安培力的大小随时间t变化的关系式为 （3）由题知t = 0时，对ab施加竖直向上的拉力，恰使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，则对ab受力分析由牛顿第二定律 其中 联立可得 整理有 根据均值不等式可知，当时，F有最大值，故解得F的最大值为 【变式训练4-24】如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装置处于竖直方向且磁感应强度为B的匀强磁场中。 (1)开关S闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求金属棒速度v的大小。 (2)当金属棒速度为v时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）开关S闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则 由闭合电路欧姆定律 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 联立可得，恒定的外力为 在加速阶段，外力的功率为 定值电阻的功率为 若时，即 化简可得金属棒速度v的大小为 （2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有 当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力不断减小，而拉力的功率 定值电阻功率 当时有 可得 根据 可得此时电容器两端电压为 从开关断开到此刻外力所做的功为 其中 联立可得 【变式训练4-25】如图1，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差的水平面上．以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标轴，圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场，如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场，如图3所示；磁场和的方向均竖直向上，在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间金属棒恰好滑到圆弧导轨底端。已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。 （1）若金属棒能离开右段磁场区域，离开时的速度为v，求：金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q； （2）若金属棒滑行到位置时停下来，求：金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q； （3）通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置。 【答案】（1）；（2）；（3）x=0 【知识点】作用的导体棒在导轨上运动的电动势、安培力、电流、路端电压、计算导轨切割磁感线电路中产生的热量、求导体棒运动过程中通过其截面的电量 【解析】（1）由图2可知，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热为 金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律有 金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q2，根据能量守恒定律有： 所以金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热为 （2）根据图3，x=x1（x1＜x0）处磁场的磁感应强度为． 设金属棒在水平轨道上滑行时间为Δt，由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律Δt时间内的平均感应电动势为 所以通过金属棒电荷量为 （3）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，有 金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大；刚进入水平轨道时，金属棒的速度为 所以水平轨道上滑行过程中的最大电流为 若金属棒自由下落高度，经历时间 显然t0＞t，所以 综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大。 【变式训练4-26】如图，水平面内固定有平行长直金属导轨ab、cd和金属圆环；金属杆MN垂直导轨静止放置，金属杆OP一端在圆环圆心O处，另一端与圆环接触良好。水平导轨区域、圆环区域有等大反向的匀强磁场。OP绕O点逆时针匀速转动；闭合K，待MN匀速运动后，使OP停止转动并保持静止。已知磁感应强度大小为B，MN质量为m，OP的角速度为ω，OP长度、MN长度和平行导轨间距均为L，MN和OP的电阻阻值均为r，忽略其余电阻和一切摩擦，求： （1）闭合K瞬间MN所受安培力大小和方向； （2）MN匀速运动时的速度大小； （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，MN产生的焦耳热。 【答案】（1），方向水平向左；（2）；（3） 【解析】（1）当OP绕O点逆时针匀速转动时，由右手定则可知O点电势高，OP切割磁感线产生感应电动势为 闭合K瞬间，由闭合电路欧姆定律可知，通过MN的电流大小为 方向由M到N。则有MN所受安培力大小为 由左手定则可知，安培力方向水平向左。 （2）闭合K后，则有MN向左做加速运动，速度逐渐增大，MN切割磁感线产生感应电动势，则感应电流方向与原电流方向相反，减弱原电流，可知MN受安培力逐渐减小，做加速度减小的加速运动，当MN中电流减小到零时，安培力是零，加速度是零，MN的速度达到最大，设为，此时做匀速直线运动，则有MN切割磁感线产生感应电动势与OP产生的感应电动势大小相等，可知 解得 （3）从OP停止转动到MN停止运动的过程，由能量守恒定律可知，电路中产生的焦耳热为 MN产生的焦耳热为 【变式训练4-27】如图所示，长度均为s的两根光滑金属直导轨MN和PQ固定在水平绝缘桌面上，两者平行且相距l，M、P连线垂直于导轨，定滑轮位于N、Q连线中点正上方h处。MN和PQ单位长度的电阻均为r，M、P间连接一阻值为的电阻。空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。过定滑轮的不可伸长绝缘轻绳拉动质量为m、电阻不计的金属杆沿导轨向右做匀速直线运动，速度大小为v。零时刻，金属杆位于M、P连线处。金属杆在导轨上时与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度大小为g。 (1)金属杆在导轨上运动时，回路的感应电动势； (2)金属杆在导轨上与M、P连线相距d时，回路的热功率； (3)金属杆在导轨上保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）金属杆在导轨上运动时，切割磁感线，产生感应电动势 （2）金属杆运动距离d时，电路中的总电阻为 故此时回路中的总的热功率为 （3）设金属杆保持速度大小v做匀速直线运动的最大路程为，此时刚好将要脱离导轨，此时绳子拉力为T，与水平方向的夹角为 ，对金属杆根据受力平衡可知， 根据位置关系有 同时有， 联立解得 【变式训练4-28】某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长a=0.8 m的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量m=1 kg的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势E0=12 V、内阻r=0.1 Ω，限流电阻R1=0.3 Ω，飞轮每根辐条电阻R=0.9 Ω，电路中还有可调电阻R2(待求)和电感线圈L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。 (1)开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数U=8 V， ①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I; ②求物块匀速上升的速度v。 (2)开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等， ①求可调电阻R2的阻值; ②求磁感应强度B的大小。 【答案】(1)①垂直纸面向外　10 A　②5 m/s (2)①0.2 Ω　②2.5 T 【解析】　(1)①根据题意可知，飞轮逆时针转动，根据电路特点可知，三根辐条中的电流均沿辐条指向圆心，如图所示，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外 由于电压表示数U=8 V，则电源内阻与限流电阻的总分压为U总=E-U=4 V 根据欧姆定律得I==10 A。 ②根据能量守恒定律有UIt=I2·t+mgvt 代入数据解得v=5 m/s。 (2)①根据题意可知，物块匀速下降的速度v'=v=5 m/s，且稳定时每根辐条中的电流与(1)中的相同，则根据能量守恒定律有 mgv't=I2·t+I2R2t 代入数据解得R2=0.2 Ω。 ②稳定时，物块重力的功率等于三根辐条克服安培力做功的总功率，则有 mgv'=3B·a· 代入数据解得B=2.5 T。 【变式训练4-29】如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距L=0.5 m，长为3d，d=1.0 m，导轨及所在平面与水平面的夹角均为θ=37°，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘粗糙涂层(涂层不导电)，其余部分光滑。匀强磁场的磁感应强度大小为B=4.0 T，方向垂直于导轨平面向上。质量m=0.2 kg的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，接在两导轨间的电阻R=8.0 Ω，导体棒接入回路的电阻r=2.0 Ω，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求: (1)导体棒匀速运动的速度大小; (2)导体棒与涂层间的动摩擦因数μ; (3)在整个运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q。 【答案】(1)3 m/s　(2)0.75　(3)1.2 J 【解析】　(1)导体棒在导轨光滑段做匀速运动时产生的感应电动势 E=BLv，I= 导体棒匀速运动时有BIL=mgsin θ 解得v=3 m/s。 (2)在导轨绝缘涂层段运动时导体棒受力平衡，有 mgsin θ=μmgcos θ 解得μ=0.75。 (3)对导体棒的整个运动过程，由动能定理可得 mg·3dsin θ-μmgdcos θ+W安=mv2 有Q总 =-W安，解得Q总=1.5 J 则电阻R产生的焦耳热Q=Q总=1.2 J。 【变式训练4-30】某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小齿轮、链条、阻力装置K及绝缘圆盘等组成。K由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈、组成。小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连接。K的结构参数见图乙，其中，每个线圈的圆心角为，圆心在转轴轴线上，电阻为R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以的角速度保持匀速转动，以线圈的ab边某次进入磁场时为计时起点，求K转动一周。 （1）不同时间线圈受到的安培力大小； （2）流过线圈的电流有效值； （3）装置K消耗的平均电功率。 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】（1）由题意知大齿轮以的角速度保持匀速转动，大小齿轮线速度相等，则 ， 可得小齿轮转动的角速度为 转动周期为 以线圈ab边某次进入磁场时为计时起点，到cd边进入磁场，经历的时间为 这段时间内线圈产生的电动势为 电流为 受到的安培力大小 当ab边和cd边均进入磁场后到ab边离开磁场，经历的时间为 由于M1线圈磁通量不变，无感应电流，安培力大小为0； 当M1线圈ab边离开磁场到cd边离开磁场，经历的时间为 此时的安培力大小由前面分析可知 方向与进入时相反； 当M1线圈cd边离开磁场到ab边进入磁场，经历的时间为同理可知安培力为0。 （2）根据（1）可知设流过线圈的电流有效值为I，则根据有效值定义有 其中， 联立解得 （3）根据题意可知流过线圈和的电流有效值相同，则在一个周期内装置K消耗的平均电功率为 题型05：双杆的能量问题 【典型例题1】（多选）如图所示，两足够长且间距为L的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨处在垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B．质量均为m的金属棒a、b垂直放在导轨上，给金属棒a水平向右、大小为的初速度，同时给金属棒b水平向左、大小为的初速度，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的有效电阻均为R，导轨的电阻不计，则下列说法正确的是（    ） A．开始运动的一瞬间，金属棒a的加速度大小为 B．当金属棒b的速度为零时，金属棒a的速度大小为 C．最终通过金属棒b的电荷量为 D．最终金属棒a中产生的焦耳热为 【答案】BD 【解析】A．开始运动的一瞬间，电路中的电流 此时金属棒a的加速度大小为故A错误； B．由于a、b组成的系统合外力总是为零，因此系统动量守恒，设b的速度为零时a的速度大小为，则 解得故B正确： C．设最终的共同速度为v，则解得 对金属棒b研究，根据动量定理可得解得故C错误； D．设金属棒a中产生的焦耳热为Q，则解得 故D正确。 故选BD。 【典型例题2】如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近 af位置以初速度向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度（未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： (1)导体棒I到达bg时速度的大小； (2)导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小； (3)导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据电容的定义式有 在bg左侧运动过程中，对Ⅰ棒进行分析，切割磁感线的感应电动势 根据动量定理有 根据电流的定义式有解得 （2）Ⅰ棒在bc、gh段运动过程中，对Ⅰ棒进行分析，根据动量定理有 对Ⅱ棒进行分析，根据动量定理有 Ⅰ、Ⅱ棒稳定时有解得， （3）Ⅰ棒在bc、gh段运动过程中，设Ⅰ棒产生的产生的焦耳热为Q1，Ⅱ棒产生的产生的焦耳热为Q2，由于回路电路相等，则有 根据能量守恒定律有 解得 【典型例题3】（多选）如图所示，光滑平行导轨由倾角的倾斜部分和水平部分构成，两部分在处平滑连接且连接处绝缘，导轨间距，倾斜部分有垂直导轨平面向上的匀强磁场I，磁感应强度大小，水平部分虚线1、2间存在竖直向上的匀强磁场II，磁感应强度大小。倾斜导轨上端A、间接有电容的电容器，水平轨道上静止两导体棒在磁场外，在磁场II中。某时刻将导体棒在导轨，上、距底面高处由静止释放，导体棒沿斜面下滑至底端进入水平轨道，与导体棒发生弹性碰撞，碰后立即取走导体棒，导体棒离开磁场II时速度为未发生碰撞。三导体棒的质量，导体棒电阻不计，导体棒的电阻分别为，长度均为，三导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．导体棒到达底端所经历的时间为 B．进入II的瞬间，两端的电压为 C．导体棒在磁场内产生的焦耳热为 D．初始时刻导体棒距离磁场II左边界1的最小距离为 【答案】AC 【解析】A．导体棒到达之前，设在极短的时间内，导体棒速度变化量为中的电流为，根据牛顿第二定律有 又，，联立解得 即到达底端之前做初速度为零、加速度大小为的匀加速直线运动，根据几何关系可得位移根据解得，故A正确； B．到达底端的速度 因、质量相等，所以进入水平轨道后与发生弹性碰撞交换速度，则进入时的速度等于到达底端的速度，即，根据法拉第电磁感应定律有 又，联立解得，故B错误； C．进入后，组成的系统动量守恒，则有 根据能量守恒有 又导体棒产生的热量解得，故C正确； D．当出磁场时，也刚好出磁场，此时到边界1的距离最小，设最小距离为，则整个过程流过闭合回路的电荷有 又，联立解得 对用动量定理 又联立解得，故D错误。故选AC。 【典型例题4】如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求； (1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小； (2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量； (3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）P棒到达轨道最低点时速度大小设为，根据机械能守恒定律有 解得 P棒到达轨道最低点进入磁场时切割磁场产生感应电动势 感应电流 Q棒受到的安培力 解得Q棒的加速度 （2）设Q棒第一次稳定运动时的速度为，P棒的速度为。当稳定时感应电流为零，则两杆产生的感应电动势相等 解得 从Q棒开始运动到第一次速度达到稳定过程中，根据动量定理，对P棒有 对Q棒有 又通过P棒的电荷量 联立解得，， （3）从P棒进入导轨Ⅱ运动后，两棒切割磁场的长度相等，当速度稳定时，两棒的速度相同，设稳定速度为v。系统所受外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 P棒进入导轨Ⅱ运动后，接入电路的阻值变为，故P棒产生的热量 联立解得 【变式训练5-1】（多选）如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属直导轨固定，导轨间距为，所在平面与水平面的夹角为，导轨间存在垂直于导轨平面、方向相反的匀强磁场，其磁感应强度的大小分别为、。、是垂直于导轨，间距为的磁场边界。将质量分别为、的金属棒、垂直导轨放置，棒与的间距也为，两棒接入导轨之间的电阻均为，其他电阻不计。现同时将两棒由静止释放，两棒与导轨始终垂直且接触良好。时刻棒经过，棒恰好经过进入磁场，时刻棒经过。棒运动的图像如图乙所示，中间图线平行于横轴，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A． B．棒刚进入磁场时的速度大小 C．时间内，棒上产生的焦耳热为 D．时刻，、两棒的距离为 【答案】AB 【解析】BC．对a棒从开始到刚进入磁场过程根据机械能守恒可得 解得 时间内，根据能量守恒可得 由于两棒接入导轨之间的电阻相等，故a棒上产生的焦耳热为 联立解得 故B正确，C错误； A．设初始时两棒间的距离为，根据题意，时刻a棒经过，b棒恰好经过进入磁场，在时间内a棒先做匀加速运动，进入磁场后做匀速运动，b棒一直做加速度大小为的匀加速运动，对a棒有 对b棒有 联立解得 设b棒刚好经过进入磁场时的速度为，由运动学公式得 解得 根据图像可知，a棒在时间内做匀速运动，受力分析可知a棒在两区域磁场中时受到的安培力相等，由于a棒经过后的一段时间后仍做匀速运动，故可知该段时间内电路中的电流不变，故该段时间内两棒均做匀速运动，根据题意可知两棒切割磁感线产生的感应电动势相互叠加，为 此时a棒受到的安培力为 时间内对a棒受到的安培力为 又，联立解得故A正确； D．b棒在磁感应强度为B的磁场中运动的时间为 该段时间a棒运动的位移为 故时刻两棒间距离为，故D错误。 故选AB。 【变式训练5-2】（多选）如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　） A. 回路中的电流方向为abcda B. ab中电流趋于 C. ab与cd加速度大小之比始终为2︰1 D. 两棒产生的电动势始终相等 【答案】AB 【解析】导体棒ab和cd同时由静止释放，速度为v时，ab产生的感应电动势E1=2BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为a→b；cd产生的感应电动势E2=BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为c→d，两导体棒产生的感应电动势；所以回路中的电流方向为abcda，A正确；当导体棒所受安培力沿导轨方向的分力等于重力沿导轨方向的分力时，导体棒匀速运动，电流趋于最大值。设ab导体棒中电流趋于I，ab所受安培力F=2BLI，由Fcos30°=2mgsin30°，解得I=，B正确；导体棒速度为v时回路中总感应电动势E=E1+E2=3BLv，导体棒中电流I=E/2R=,对导体棒ab，所受安培力F1=，由牛顿第二定律2mgsin30°-F1cos30°=2ma1，解得a1=g/2-；对导体棒cd，由所受安培力F2=，由牛顿第二定律mgsin30°-F2cos30°=ma2，解得a2=g/2-；由此可知，ab和cd加速度大小始终相等，C错误；由于ab和cd加速度大小始终相等，可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，由E=BLv可知两导体棒产生的感应电动势始终不相等，D错误。 【变式训练5-3】（多选）如图所示，两平行金属轨道间距为L，与水平方向夹角为，轨道电阻不计，垂直轨道放置两根质量分别为m和的金属棒，有效阻值分别为R和，金属棒与轨道间的动摩擦因数均为。整个装置处在垂直轨道向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。给a棒一个沿轨道向下的初速度，同时b棒由静止释放，两金属棒与轨道间接触始终良好。已知金属棒间的距离足够大，，，下列说法正确的是（　　） A. a棒的加速度先减小后增大，两棒间距一直减小 B. b棒开始运动时的加速度大小为 C. 整个过程中a棒产生的焦耳热为 D. 两棒间距的变化量为 【答案】BD 【解析】A．根据题意可知对棒有 则棒的合力均为其所受的安培力，a棒的初速度沿轨道向下，由右手定则可知电流为逆时针方向，由左手定则可知，a棒受到沿轨道向上的安培力而做减速运动，b棒受到沿轨道向下的安培力而做加速运动，而 可知减小，当时加速度为零，之后两棒做匀速运动，根据牛顿第二定律可知，a棒先做加速度减小的减速运动后做匀速运动，两棒间的距离先减小后不变，故A错误； B．开始时a棒切割磁感线产生的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律可知，回路中的电流 金属棒b受到的安培力 根据牛顿第二定律有 解得故B正确； C．两棒组成的系统沿轨道方向所受合力为零，则两棒组成的系统动量守恒，最终达到共同速度v，根据动量守恒定律有 设整个过程产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律有 根据串联电路特点可知a棒产生的焦耳热为 解得故C错误； D．根据法拉第电磁感应定律可知回路产生的平均感应电动势为 根据闭合电路欧姆定律可知，回路中的平均电流为 对b棒应用动量定理有 联立解得故D正确。 故选BD。 【变式训练5-4】如图所示，倾角为的两根足够长的平行金属导轨间距为，导轨顶端接有一阻值为的定值电阻。垂直导轨的虚线下方空间存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度大小为。导体棒和中间通过轻质绝缘细杆组成“工”字形框架后垂直放置在导轨上，导体棒距离虚线的初始距离为。已知导体棒的质量为，导体棒的质量为，两导体棒的长度均为，阻值均为，跟导轨之间的动摩擦因数均为，绝缘轻质细杆的长度为，重力加速度取，导轨电阻不计。现给“工”字形框架一个沿导轨向下的初速度，框架运动过程中不翻转且与导轨接触良好。求： (1)导体棒进入磁场瞬间受到的安培力大小； (2)框架进入磁场的过程中，通过定值电阻的电荷量； (3)从导体棒进入磁场到框架停止运动的过程中定值电阻上产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）框架沿导轨向下运动进入磁场区域前，对框架受力分析有 故框架进入磁场前受力平衡，做匀速运动，框架会以的速度进入磁场，导体棒进入磁场瞬间，产生的电动势为 此时导体棒和定值电阻为负载，回路中的电阻为 此时通过导体棒的电流为 导体棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为解得 （2）框架进入磁场的过程中，导体棒切割磁感线产生的感应电动势为 该过程中通过定值电阻的平均电流为 设框架进入磁场的时间为，则通过定值电阻的电荷量为整理得 又因为解得 （3）线框架进入磁场的过程中，通过导体棒的平均电流为 导体棒受到的平均安培力为 设导体棒经过虚线时的速度为，由动量定理可知 解得 根据能量转化可知，该过程中电路中产生的焦耳热为解得 根据串并联电路规律可知定值电阻上产生的焦耳热为 解得 当导体棒进入磁场后，两导体棒切割磁感线产生电动势，回路的总电阻为 最终两导体棒停止运动，该过程中回路产生的热量解得 根据串并联电路规律可知定值电阻上产生的焦耳热为解得 所以最终定值电阻上产生的热量为 【变式训练5-5】（多选）如图所示，电阻不计且足够长的平行导轨abcd-a'b'c'd'由四部分组成，ab、a'b'部分是半径为R的四分之一竖直圆弧，bc-b'c'、cd-c'd'、d'a-d'a'部分在同一水平面上，bc-b'c'宽2L，cd-c'd'宽L。导轨区域内有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。质量为m、电阻为r、长度为2L的完全相同的金属棒M、N两端套在导轨上，N在d'a-d'a'上静止并锁定。现将M从圆心O等高处a-a'由静止释放，M到达最低点b-b'时对轨道的压力为2mg，并在此刻同时解除对N的锁定。M下落后续始终在bc-b'c'上运动，N始终在cd-c'd'上运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，经过足够长的时间，求∶ (1)M在下滑过程中，N产生的焦耳热QN； (2)M、N最终速度的大小vM、vN。 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）设到达时速度为，由牛顿第二定律有 因为 解得 从到，依能量守恒 因为 联立解得 （2）到达时，解除锁定，减速，加速，最后二者分别做匀速运动。产生的电动势大小相等，切割磁感线的有效长度为，则有 对减速过程，依动量定理，以右为正，有 对加速过程，所受安培力的平行导轨分量为合外力，依动量定理，以右为正，有 联立解得， 【变式训练5-6】（多选）如图所示，两段足够长但不等宽的光滑平行金属导轨水平放置，b、g两点各有绝缘材料（长度忽略不计）平滑连接导轨，ac、fh段间距为l，de、jk段间距为2l。整个空间处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨af端接有电容的电容器（初始不带电），导体棒Ⅱ静止于de、jk段。导体棒I、Ⅱ的质量分别为m、2m，电阻分别为R、2R，长度分别为l、2l，导体棒I从靠近 af位置以初速度向右运动，到达bg左侧前已达到稳定速度（未知）。两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力忽略不计。求： (1)导体棒I到达bg时速度的大小； (2)导体棒I在bc、gh段水平导轨上运动的过程中，导体棒I达到稳定时的速度 的大小； (3)导体棒I在bc、gh段运动过程中，导体棒I上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据电容的定义式有 在bg左侧运动过程中，对Ⅰ棒进行分析，切割磁感线的感应电动势 根据动量定理有 根据电流的定义式有解得 （2）Ⅰ棒在bc、gh段运动过程中，对Ⅰ棒进行分析，根据动量定理有 对Ⅱ棒进行分析，根据动量定理有 Ⅰ、Ⅱ棒稳定时有解得， （3）Ⅰ棒在bc、gh段运动过程中，设Ⅰ棒产生的产生的焦耳热为Q1，Ⅱ棒产生的产生的焦耳热为Q2，由于回路电路相等，则有 根据能量守恒定律有 解得 【变式训练5-7】（多选）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨放在绝缘水平面上，导轨宽度为L，虚线右侧匀强磁场的磁感应强度为B，方向竖直向下，虚线左侧匀强磁场的磁感应强度为2B，方向竖直向上，虚线两侧分别垂直导轨静止放置两根导体棒P、Q，长均为L，质量均为m，电阻均为R。现给Q向右的初速度，运动中P、Q与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨的电阻，求： (1)P开始运动的加速度大小； (2)Q最终稳定时的速度大小； (3)P从开始运动到稳定时通过的电荷量和产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）Q开始运动时产生的感应电动势 P、Q构成的回路中的感应电流 对P进行分析，由牛顿第二定律有 解得 （2）设Q最终速度为，P最终速度为，当时回路的电流为0，P，Q稳定时均做匀速直线运动，此时有 对Q进行分析，根据动量定理有 对P进行分析，根据动量定理有 解得， （3）对Q进行分析，根据动量定理有 根据电流的定义式有 解得 P、Q的电阻均为，通过的电流与时间均相同，则P、Q产生的热量也相同，根据能量守恒定律有 解得棒P产生的焦耳热 【变式训练5-8】（多选）如图所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，处在与导轨平面垂直的匀强磁场中，导轨间距L＝1 m。导轨平面与水平面的夹角θ＝37°，匀强磁场的磁感应强度大小B＝2 T，ab、cd两金属棒放在导轨上与导轨垂直并处于静止状态，两金属棒的长度均为L＝1 m，电阻均为R＝5 Ω，质量均为0.5 kg，导轨电阻不计，重力加速度g取10 m/s2。若使金属棒ab以v1＝1 m/s的速度沿导轨向下匀速运动，则金属棒cd恰好要滑动；现使金属棒ab从静止开始向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度的大小a＝8 m/s2，金属棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒与导轨间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)金属棒与导轨间的动摩擦因数μ； (2)从静止开始，金属棒ab向上加速运动多长时间，金属棒cd刚好要滑动； (3)已知金属棒ab向上匀加速运动至金属棒cd刚好要滑动的过程中，拉力对金属棒ab所做的功W＝234.4 J。则此过程中，金属棒cd中通过的电荷量及产生的焦耳热。 【答案】　(1)0.85　(2)2 s　(3)3.2 C　34 J 【解析】　(1)根据题意，金属棒ab以v1＝1 m/s的速度沿导轨向下匀速运动，则金属棒cd恰好要滑动，设金属棒cd所受安培力大小为F安′，则对金属棒cd根据平衡条件有F安′＋mgsin 37°＝μmgcos 37° 其中F安′＝BIL，I＝，E＝BLv1 联立解得μ＝0.85。 (2)设金属棒ab向上运动的速度达到v2时，金属棒cd刚要开始运动，此时金属棒cd所受安培力为F安，则根据平衡条件有F安＝mgsin θ＋μmgcos θ 其中F安＝BI′L，I′＝，E′＝BLv2 联立解得v2＝16 m/s 则金属棒ab向上运动的时间为t＝＝ s＝2 s。 (3)金属棒ab加速到金属棒cd刚好要开始滑动时的位移为x＝＝ m＝16 m 则通过金属棒cd的电荷量q＝t＝t＝t＝，代入数据解得q＝3.2 C 设金属棒cd中产生的焦耳热为Q，根据功能关系可得W＝mgxsin θ＋μmgcos θ·x＋2Q＋mv22 代入数据解得Q＝34 J。 【变式训练5-9】（多选）如图14甲所示，足够长的带绝缘皮的柔软导线跨过光滑轻质滑轮悬挂两条水平金属棒MN、PQ，棒长均为l＝0.50 m，电阻值均为R＝1.0 Ω.MN质量m1＝0.10 kg, PQ质量m2＝0.20 kg，整个装置处于磁感应强度B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向水平且垂直于MN和PQ.t＝0时刻，对金属棒MN施加一个竖直向下的外力F，使之由静止开始向下运动，运动过程中电路中的电流I随时间t变化的关系如图乙所示．电路中其他部分电阻忽略不计， g取10 m/s2.(结果保留两位有效数字) 图14 (1)求2.0 s末金属棒MN瞬时速度的大小； (2)求4.0 s末力F的瞬时功率； (3)已知0～3.0 s时间内MN上产生的热量为0.36 J，试计算F对金属棒MN所做的功． 【答案】(1)0.80 m/s　(2)3.1 W　(3)2.7 J 【解析】(1)由题知两棒反向切割磁感线，产生的电动势为E＝2Blv 由闭合电路欧姆定律可知，电路中的电流为I＝， 由题图乙可得，t＝2.0 s时， I＝0.4 A，代入数据解得v＝0.80 m/s (2)由I＝可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学规律得 v＝at 联立解得金属棒的加速度大小a＝0.40 m/s2 对整体进行受力分析，根据牛顿第二定律得 F＋m1g－m2g－2F安＝(m1＋m2)a 又F安＝BIl 由题图乙可得t＝4.0 s时，I＝0.8 A， 代入数据解得：F安＝0.4 N，F＝1.92 N 由速度与电流的关系可知，t＝4.0 s时，v＝1.6 m/s， 根据P＝Fv，解得P≈3.1 W (3)MN与PQ串联，可知电路中产生的总热量为 Q总＝2×0.36 J＝0.72 J 根据能量守恒定律有 W＝(m2－m1)gh＋(m1＋m2)v′2＋Q总 又h＝，v′＝at2 联立可得F对金属棒所做的功W≈2.7 J. 【变式训练5-10】（多选）如图所示，两光滑的平行金属导轨间距为L＝0.5m，与水平面成θ＝30°角。区域ABCD、CDFE内分别有宽度为d＝0.2m垂直导轨平面向上和向下的匀强磁场，磁感应强度均为B＝0.6T．细金属棒P1、P2质量均为m＝0.1kg，电阻均为r＝0.3Ω，用长为d的轻质绝缘细杆垂直P1、P2将其固定，并使P1、P2垂直导轨放置在导轨平面上与其接触良好，导轨电阻不计。用平行于导轨的拉力F将P1、P2以恒定速度v＝2m/s向上穿过两磁场区域，g取10m/s2．求： （1）金属棒P1在ABCD磁场中运动时，拉力F的大小； （2）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，拉力F的最大功率； （3）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，电路中产生的热量。 【答案】（1）金属棒P1在ABCD磁场中运动时，拉力F的大小是1.3N； （2）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，拉力F的最大功率是4.4W； （3）从金属棒P1进入磁场到P2离开磁场的过程中，电路中产生的热量是0.36J。 【解析】（1）P1棒在磁场中运动时产生的电动势为：E＝BLv 代入数据解得：E＝0.6V 回路中的感应电流为：I＝ 得：I＝1A 由平衡条件得：F1＝2mgsinθ+BIL 得：F1＝1.3N （2）当P1、P2两棒均在磁场中运动时，拉力F的功率最大，拉力为： F2＝2mgsinθ+4BIL 得：F2＝2.2N 拉力F的最大功率为：P＝F2v 解得：P＝4.4W。 （3）由焦耳定律得电路中产生的热量为： Q＝I2（2r）+（2I）2（2r） 解得：Q＝0.36J。 题型06：线框的能量问题 【典型例题1】图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出。线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是(　　) A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【答案】D 【解析】线框进磁场的过程中由楞次定律知，电流方向为逆时针方向，A错误；线框出磁场的过程中，根据E＝BLv，I＝，FA＝ILB，FA＝ma，联立有FA＝＝ma，由左手定则可知线框受到的安培力向左，则线框做加速度减小的减速运动，B错误；由能量守恒定律得线框产生的焦耳热Q＝AL，而线框进、出磁场时均做减速运动，但其进磁场时的速度大，受到的平均安培力大，产生的焦耳热多，C错误；线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量q＝t，其中I＝，＝BL，则联立有q＝x，由于线框在进和出的过程中线框的位移均为L，则线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等，故D正确 【典型例题2】（多选）如图6所示，相距为d的两水平线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，正方形线框abcd边长为L(L<d)、质量为m、电阻为R。将线框在磁场上方高h处由静止释放，ab边刚进入磁场和穿出磁场时的速度恰好相等，重力加速度为g，则在线框全部穿过磁场的过程中(　　) 图6 A.ab边刚进入磁场时ab两端的电势差为BL B.感应电流所做功为mgd C.感应电流所做功为2mgd D.线框最小速度为v＝ 【答案】CD 【解析】线圈自由下落过程，有mgh＝mv，ab边刚进入磁场时，有E＝BLv0，U＝BLv0，解得U＝，故A错误；根据能量守恒定律可知，从ab边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场的过程，动能变化为0，重力势能转化为线框产生的热量，则Q＝mgd，ab边刚进入磁场时速度为v0，ab边刚离开磁场时速度也为v0，所以从ab边刚穿出磁场到cd边离开磁场的过程，线框产生的热量与从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程产生的热量相等，所以线圈从ab边进入磁场到cd边离开磁场的过程，产生的热量等于感应电流做的功，有Q′＝W＝2mgd，故B错误，C正确；因为进磁场时要减速，即此时的安培力大于重力，速度减小，安培力也减小，线框全部进入磁场将做加速运动，所以全部进入磁场的瞬间速度最小，设线圈的最小速度为v，从ab边刚进入磁场到线框完全进入过程，由能量守恒定律，有mv－mv2＝W安－mgL，又mv＝mgh，W安＝mgd，联立解得线圈的最小速度为v＝，故D正确。 【典型例题3】（多选） 列车进站时，其刹车原理可简化如图，在车身下方固定一单匝矩形线框，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为v0，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬间，列车刚好停止。下列说法正确的是（　　） A. 列车进站过程中电流方向为abcda B. 列车ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为 C. 列车从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的焦耳热 D. 列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小 【答案】ACD 【解析】列车进站时，ab边切割磁感线产生感应电流，则根据右手定则判断可知，列车进站过程中电流方向为abcda，故A正确；根据法拉第电磁感应定律可得，列车ab边进入磁场瞬间，感应电动势为 则列车ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为 故B错误；根据能量的转化和守恒可知，列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的焦耳热与列车和导轨及空气阻力摩擦产生的热量之和，即减少的动能大于线框产生的焦耳热，故C正确；列车ab边进入磁场瞬间，根据牛顿第二定律有 解得，列车的加速度大小为，故D正确。 【典型例题4】一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。 （1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小。 （2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。 【答案】见解析 【解析】（1）设导线框进入磁场时速度为v0，导线框完全进入时速度为v1， 对导线框进入磁场过程中某时刻速度vi，导线框中产生的感应电动势e=BLvi， 感应电流，i=e/4R0, 所受安培力F=BiL， 联立解得：F= 取时间微元△t，由动量定理，- F△t=m△v， 即 - △t=m△v， 方程两侧求和，-Σ△t=Σm△v， 注意到Σvi△t=L，Σ△v= v1- v0， 化简得 =m（v0-v1） ① 导线框完全在匀强磁场中运动，导线框中磁通量不变，不产生感应电流，做匀速直线运动。 导线框出磁场过程，取时间微元△t，由动量定理，- F△t=m△v， 即 - △t=m△v， 方程两侧求和，-Σ△t=Σm△v， 注意到Σvi△t=L，Σ△v=-v1， 化简得 =m（v1 -） ② ①②两式消去v1，得v0= （2）导线框进入磁场区域过程，右侧边切割磁感线产生感应电动势，由于导轨电阻可忽略，此时金属框上下部分被短路，其电路可以简化如下。 故电路中的外电路电阻为=,总电阻R总=R0+= 设导线框进入磁场时速度为v，导线框完全进入时速度为v1， 对导线框进入磁场过程中某时刻速度vi，导线框中产生的感应电动势e=Blvi， 感应电流，i=e/R总， 所受安培力F=Bil， 联立解得：F= 取时间微元△t，由动量定理，- F△t=m△v， 即 - △t=m△v， 方程两侧求和，-Σ△t=Σm△v， 注意到Σvi△t=l，Σ△v= v1- v， 化简得 =m（v-v1） ① 解得：v1=v-= 在这个过程中线框动能减小△Ek1=-= 由能量守恒定律可知整个电路电阻产生的热量Q=△Ek1= 设此过程中R1中产生的热量为Q1，由于R1=2R，根据串并联电路规律和焦耳定律可知，导线框右边电阻产生的热量为4.5Q1，左边电阻产生的热量为2Q1，整个电路电阻产生的热量为Q=Q1+4.5Q1+2Q1=7.5 Q1. 解得：Q1= 导线框完全在磁场区域运动，导线框可以视为内阻为0.5R的电源，回路总电阻R总=2.5R， 导线框做减速运动，设导线框开始出磁场时速度为v2， 对导线框进入磁场过程中某时刻速度vi，导线框中产生的感应电动势e=Blvi， 感应电流，i=e/R总， 所受安培力F=Bil， 联立解得：F= 取时间微元△t，由动量定理，- F△t=m△v， 即 - △t=m△v， 方程两侧求和，-Σ△t=Σm△v， 注意到Σvi△t=L，Σ△v= v2- v1， 化简得 =m（v1-v2） ① 解得：v2=v1-=0，则说明线框右侧将离开磁场时就停止运动了。 在这个过程中线框动能减小△Ek2== 由能量守恒定律可知整个电路电阻产生的热量Q’=△Ek1= 设此过程中R1中产生的热量为Q2，则导线框电阻产生的热量为Q2，整个电路电阻产生的热量为Q’=1.25 Q2. 解得：Q2.= 整个运动过程中，R1产生的热量为Q= Q1+ Q2 ==+= 【典型例题5】光滑斜面倾角为θ=30°，Ⅰ区域与Ⅱ区域均存在垂直斜面向外的匀强磁场，两区磁感应强度大小相等，均为B。正方形线框abcd质量为m，总电阻为R，同种材料制成且粗细均匀，Ⅰ区域长为L1，Ⅱ区域长为L2，两区域间无磁场的区域长度大于线框长度。线框从某一位置释放，cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，当cd边进入Ⅱ区域时的速度和ab边离开Ⅱ区域时的速度一致，则： (1)求线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离； (2)求cd边进入Ⅰ区域时cd边两端的电势差； (3)求线框进入Ⅱ区域到完全离开过程中克服安培力做功的平均功率。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【解析】（1）线框在没有进入磁场区域时，根据牛顿第二定律 根据运动学公式 联立可得线框释放点cd边与Ⅰ区域上边缘的距离 （2）因为cd边进入Ⅰ区域时速度为v，且直到ab边离开Ⅰ区域时速度均为v，可知线框的边长与Ⅰ区域的长度相等，根据平衡条件有 又， cd边两端的电势差 联立可得 （3）①若，在线框进入Ⅰ区域过程中，根据动量定理 其中，， 联立可得 线框在Ⅱ区域运动过程中，根据动量定理 根据 线框进入磁场过程中电荷量都相等，即 联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 ②若，同理可得 根据动量定理 其中 结合， 联立可得 根据能量守恒定律 克服安培力做功的平均功率 联立可得 【典型例题6】研究小组设计了一磁悬浮电梯，简化模型如图所示，不计电阻、间距为 l、足够长的光滑平行导轨固定在竖直平面内，导轨间存在着垂直于轨道平面、磁感应强度大小相等、磁场方向相反的匀强磁场，每个磁场区域均为边长为l的正方形。在质量为m、边长为l、总电阻为R、匝数为N的正方形金属线圈EFGH中通入电流后静止在导轨上，线圈与导轨之间绝缘，此时线圈的发热功率为P0，重力加速度为g。 (1)(3分)求匀强磁场的磁感应强度大小； (2)(4分)若增大通入的电流后，线圈的发热功率为P1(P1>P0)，求线圈开始向上运动瞬间的加速度大小； (3)(8分)若线圈中不通入电流，线圈由图中位置静止释放，下落5l时达到最大速度，求该过程中线圈产生的焦耳热。 【答案】　(1)　(2)g(－1)　(3)5mgl－ 【解析】　(1)线圈通入电流后静止在导轨上，根据平衡条件有 2NBI0l＝mg 此时线圈的发热功率P0＝R 则有B＝ (2)若增大通入的电流后，线圈的发热功率 P1＝R 根据牛顿第二定律有2NBI1l－mg＝ma 解得a＝－g＝g(－1) (3)若线圈中不通入电流，线圈静止释放，线圈速度增大，感应电动势增大，感应电流增大，磁场对线圈的安培力增大，线圈做加速度减小的加速运动，当加速度为0时，线圈速度达到最大，此时感应电动势为 Emax＝2NBlvmax 感应电流的最大值为Imax＝ 根据平衡条件有2NBImaxl＝mg 结合上述解得vmax＝ 由于线圈由图中位置静止释放，下落5l时达到最大速度，则由能量守恒定律有 mg·5l＝Q＋m 解得Q＝5mgl－。 【变式训练6-1】如图甲所示，地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场，质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l，从bc边距离地面高为h处将其由静止释放，已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中，导线框的v－t图像如图乙所示。重力加速度为g，不计空气阻力，以下有关这一过程的判断正确的是(　　) A.t1～ t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大 B. 磁场的高度d可以用v－t图中阴影部分的面积表示 C.导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量 D. 导线框产生的焦耳热大于mgl 【答案】D 【解析】由题图乙可知，在0～t1时间内，导线框自由落体，t1～t2时间内导线框切割磁感线进入磁场，做加速度减小的减速运动，电流减小，则安培力在减小，A错误；在t1～t2时间段内，导线框切割磁感线，距离为l，完全进入后又做加速运动直到落地，所以磁场高度d为t1～t3时间内的位移，B错误；安培力做负功，所以重力势能减少量等于动能增加量和安培力做功的和，C错误；t1～t2时间内，F安>mg，克服安培力做的功大于重力做功，所以在下降过程中导线框产生的焦耳热大于mgl，D正确。 【变式训练6-2】如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为，宽均为L，电阻分别为R和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（    ） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【答案】D 【解析】A．根据楞次定律，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，故A错误； B．甲线框刚进磁场区域时，合力为， 乙线框刚进磁场区域时，合力，可知；故B错误； CD．假设甲乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有， 同理对乙有， 解得， 故甲恰好完全出磁场区域，乙完全出磁场区域时，速度大小不为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为，即； 故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练6-3】（多选）如图所示，现让正方形金属导线框，在光滑绝缘水平面以v0=2m/s的初速度进入一匀强磁场区域，线框在磁场中变速运动一段时间后便以1m/s以匀速直线运动，已知正方形金属导线框的质量为0.2kg，边长为1m，总电阻为1Ω,下列说法正确的是（ ） A．正方形导线框变速运动的位移为2m B．正方形导线框从MN边进入磁场的过程中，通过线框某横截面的电荷量为C C．正方形导线框从MN边刚进入磁场时，线框的加速度为 D．正方形导线框从MN边进入磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为0.2J 【答案】BC 【解析】磁通量变化，线框中产生感应电流，就会受到安培力的作用，从而速度改变；当线框完全进入磁场时，磁通量不变，速度就不变，所以正方形导线框变速运动的位移为1m，A错误；框进入磁场过程中，取水平向右为正，根据动量定理可得，解得，正方形导线框全部进入磁场了便匀速运动，即当时，，代入解得T，通过线框截面的电量为,解得C，所以B正确；线框进入磁场过程中，安培力为，其中，，所以选项C 正确。根据能量守恒可得，减少的动能全部转化为焦耳热，则有,代入数据，可得，D错误。 【变式训练6-4】（多选）如图，水平面上有两根固定的光滑平行金属导轨，导轨左侧接了一个阻值为R的定值电阻，两根导轨间距为L，一个质量为m，总电阻为2R，直径为L的均匀金属圆环放置在导轨之间，与两根导轨良好接触，整个空间存在磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场，某时刻开始，给圆环一个向右的初速度v0，导轨足够长，下列说法正确的是（　　） A．圆环运动初始时刻，流过电阻R的电流方向为a→b，大小为 B．圆环运动的整个过程中，流过电阻的电荷量为 C．圆环运动过程的总位移大小为 D．整个过程中，电阻上产生的焦耳热为 【答案】BCD 【解析】A．两个半圆弧均切割磁感线，等效长度为L，等效电路图如图所示，相当于两个相同的电源并联，每一个半圆弧产生的电动势，总电动势也为，每一个半圆弧的内阻，总内阻，整个电路的总电阻 根据闭合电路欧姆定律，有，圆环的左右两个半圆弧均切割磁感线，效果一样，根据右手定则，可判断通过定值电阻的电流方向为a→b，故A错误； B．对整个圆环受安培阻力做变加速直线运动最后停下来，根据动量定理有，解得，故B正确； C．对圆环减速的过程有，联立解得圆环运动过程的总位移大小为，故C正确； D．对整个电路，根据能量守恒定律有，其中，故D正确。 故选BCD。 【变式训练6-5】（多选）如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、质量为m、电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置(在左边磁场中的长度为L、在右边磁场中的长度为2L)时，线框的速度为v，则下列说法正确的是(　　) A．此时线框中电流方向为逆时针，电功率为 B．此过程中通过线框横截面的电荷量为 C．此时线框的加速度大小为 D．此过程中线框克服安培力做的功为mv2 【答案】AD 【解析】根据右手定则可知，线框中电流方向为逆时针，线框产生的电动势为E＝3BL＋2BL＝BLv，线框中电流为I＝＝， 则电功率为P＝EI＝，故A正确； 此过程中线框中磁通量的变化为ΔΦ＝2B·3L2－(2BL2－3B·2L2)＝10BL2，此过程中通过线框横截面的电荷量为q＝Δt＝Δt＝Δt＝＝，故B错误；线框受到的安培力大小为F＝3BIL＋2BIL＝，此时线框的加速度大小为a＝＝，故C错误； 由动能定理得－W克安＝m()2－mv2，可得此过程中线框克服安培力做的功为mv2，故D正确。 【变式训练6-6】（多选）如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设线圈的上边进入磁场时的速度为v，设线圈的质量M，物块的质量m，图中线圈进入磁场时线圈的加速度向下，则对线圈由牛顿第二定律可知 对滑块其中即 线圈向上做减速运动，随速度的减小，向下的加速度减小；当加速度为零时，即线圈匀速运动的速度为 A．若线圈进入磁场时的速度较小，则线圈进入磁场时做加速度减小的减速运动，线圈的速度和加速度都趋近于零，则图像A可能正确； B．因t=0时刻线圈就进入磁场，则进入磁场时线圈向上不可能做匀减速运动，则图像B不可能； CD．若线圈的质量等于物块的质量，且当线圈进入磁场时，且速度大于v0，线圈进入磁场做加速度减小的减速运动，完全进入磁场后线圈做匀速运动；当线圈出离磁场时，受向下的安培力又做加速度减小的减速运动，最终出离磁场时做匀速运动，则图像C有可能，D不可能。 故选AC。 【变式训练6-7】列车进站时，其刹车原理可简化如图所示，在车身下方固定一N匝闭合矩形线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的大小为B。车头的线框刚进入磁场的速度为v0，列车停止前所受铁轨阻力及空气阻力的合力恒为f。线框cd边刚进入磁场时，列车刚好停止。求： (1)车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向及列车的加速度大小a。 (2)列车从进站到停下来的过程中线框产生的热量Q。 【答案】(1)a→b， (2) 【解析】（1）根据楞次定律结合安培定则可知，线框中电流的方向为顺时针（俯视），即车头进入磁场瞬间，判断线框ab边产生的感应电流的方向为a→b。 列车车头进入磁场瞬间产生的感应电动势的大小为                             根据闭合电路的欧姆定律可知，回路中产生的感应电流的大小为 车头进入磁场瞬间所受安培力的大小为                                 由牛顿第二定律，则有                                  联立解得列车的加速度大小为 （2）在列车从进入磁场到停止的过程中，克服安培所做的功在数值上等于线框产生的热量，则由能量守恒有 解得 【变式训练6-8】如图所示，粗细均匀的正方形导线框abcd放在倾角为θ＝30°的绝缘光滑斜面上，通过轻质细线绕过光滑的定滑轮与木块相连，细线和线框共面、与cd垂直且与斜面平行。距线框cd边为L0的MNQP区域存在着垂直于斜面、大小相等、方向相反的两个匀强磁场，EF为两个磁场的分界线，ME＝EP＝L2。现将木块由静止释放后，木块下降，线框沿斜面上滑，恰好匀速进入和离开匀强磁场。已知线框边长为L1(L1<L2)、质量为m、电阻大小为R，木块质量也为m，重力加速度为g，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q。 【答案】　(1)　(2)mg(2L2＋L1) 【解析】　(1)导线框匀速进入磁场时，受力平衡，受力情况如图所示。 根据平衡条件有 FT＝F安＋mgsin θ 其中F安＝BIL1，I＝，E＝BL1v 导线框与木块通过细线相连，线框匀速进入磁场时，木块匀速下降，根据平衡条件有FT＝mg 对导线框和木块构成的系统，进入磁场前二者一起做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 mg－mgsin θ＝2ma，根据运动学公式可得进入磁场时速度v＝ 联立以上各式可得B＝ (2)导线框恰好匀速进入和离开匀强磁场，导线框通过匀强磁场过程中，线框和木块组成的系统减少的重力势能转化为电路中产生的焦耳热，根据能量守恒定律得Q＝mg(2L2＋L1)－mg(2L2＋L1)sin θ，所以导线框通过匀强磁场过程中线框中产生的焦耳热Q＝mg(2L2＋L1)。 【变式训练6-9】如图所示，“凹”字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一平面内，ab、bc边长均为2l，gf边长为l。匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。开始时，bc边离磁场上边界的距离为l，线框由静止释放，从bc边进入磁场到gf边进入磁场前，线框做匀速运动。在gf边离开磁场后，ah、ed边离开磁场之前，线框又做匀速运动。线框在下落过程中始终处于竖直平面内，且bc、gf边保持水平，重力加速度为g。 (1)线框ah、ed边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？ (2)若磁场上下边界间的距离为H，则线框完全穿过磁场过程中产生的热量为多少？ 【答案】(1)4　(2)mg(H－13l) 【解析】(1)设bc边刚进入磁场时速度为v1，有E1＝2Blv1，I1＝，F1＝2BI1l 线框做匀速运动，有F1＝mg 联立可得v1＝ 设ah、ed边将离开磁场时速度为v2，有 E2＝Blv2，I2＝，F2＝I2lB 线框做匀速运动，有F2＝mg 联立可得v2＝， 综上所述＝4。 (2)bc边进入磁场前，根据动能定理，有 mgl＝mv12 穿过磁场过程中，根据能量守恒定律，有 mg(H＋2l)＋mv12＝mv22＋Q 联立可得Q＝mg(H－13l)。 【变式训练6-10】如图所示，用粗细均匀的导线制成的一只单匝圆形金属圈，现被一根绝缘丝线悬挂在竖直平面内处于静止状态，已知金属圈的质量为m＝0.1 kg，半径为r＝0.1 m，导线单位长度的阻值为ρ＝0.1 Ω/m，金属圈的上半部分处在一方向垂直圈面向里的有界匀强磁场中，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。金属圈下半部分在磁场外。已知从t＝0时刻起，测得经过10 s丝线刚好被拉断。重力加速度g取10 m/s2。求： (1)金属圈中感应电流的大小及方向； (2)丝线所能承受的最大拉力F； (3)在丝线断前的10 s时间内金属圈中产生的焦耳热Q(保留2位有效数字)。 【答案】　(1)0.2 A，方向为逆时针　(2)1.32 N (3)0.025 J 【解析】　(1)由楞次定律及安培定则可知，金属圈中电流方向为逆时针方向， 由题图乙知，磁感应强度的变化率＝0.8 T/s 金属圈的电阻为R＝2πrρ 由法拉第电磁感应定律得，金属圈产生的感应电动势为E＝＝· 金属圈中感应电流为I＝联立解得I＝0.2 A。 (2)由题图乙知，磁感应强度B＝·t＝0.8t T 金属圈受到的安培力F安＝I·2rB 丝线所受拉力FT＝F安＋mg 经过t＝10 s丝线刚好被拉断，则 丝线所能承受的最大拉力F＝1.32 N。 (3)金属圈内产生的焦耳热Q＝I2Rt 联立解得Q≈0.025 J。 【变式训练6-11】如图(a)，固定的绝缘斜面MNPQ倾角θ＝37°，虚线OO1与底边MN平行，且虚线OO1下方分布有垂直于斜面向上(设为正方向)的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的图像如图(b)。质量m＝3.0×10－2 kg、边长L＝2.0×10－1 m、电阻R＝2.0×10－3 Ω粗细均匀的正方形导线框abcd置于斜面上，一半处在OO1的下方，另一半处在OO1的上方，ab与OO1平行。已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)导线框与斜面间的动摩擦因数μ的大小； (2)导线框从t＝0到恰好滑动的这段时间，导线框产生的焦耳热Q。 【答案】　(1)0.75　(2)3.6×10－2 J 【解析】　(1)已知t＝0时，导线框恰好静止在斜面上，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，则有mgsin θ＝μmgcos θ 解得动摩擦因数μ的大小为μ＝0.75。 (2)设导线框经t时间恰好滑动，此时磁场的磁感应强度为B，则有B＝t 当导线框受到的摩擦力方向向下且为最大静摩擦力时，导线框恰好滑动，此时有 ILB＝mgsin θ＋μmgcos θ 导线框中感应电流为I＝ 感应电动势为E＝＝S＝· 由题图(b)可知＝0.1 T/s 由焦耳定律可得Q＝I2Rt 联立以上各式并代入数据解得Q＝3.6×10－2 J。 【变式训练6-12】如图（a），线框位于倾斜角的斜面上，斜面上有一长度为的单匝矩形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向上，大小为，已知线框边长，，总电阻，现对线框施加一沿斜面向上的力使之运动。斜面上动摩擦因数，线框速度随时间变化如图（b）所示。（重力加速度取） （1）求外力大小； （2）求长度； （3）求回路产生的焦耳热。    【答案】（1）1.48N；（2）0.5m；（3）0.4J 【解析】（1）由图（b）可知在0~0.4s内线框做匀加速运动，加速度为 根据牛顿第二定律有 代入数据可得 （2）由图（b）可知线框cf匀速进入磁场，则有 其中 联立可得， （3）线框穿过磁场过程中回路产生的焦耳热等于过程中安培力做的功，即 【变式训练6-13】如图4(a)所示，斜面倾角为37°，一宽为d＝0.43 m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与斜面底边平行。在斜面上由静止释放一长方形金属线框，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底部为零势能面，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图(b)所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1 kg，电阻为R＝0.06 Ω，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求金属线框与斜面间的动摩擦因数μ； (2)求金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间t； (3)求金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率Pm。 【答案】见解析 【解析】　(1)由能量守恒定律可知，线框减少的机械能等于克服摩擦力所做的功，则 ΔE1＝Wf1＝μmgcos 37°x1 其中x1＝0.36 m，ΔE1＝(0.900－0.756) J＝0.144 J 可解得μ＝0.5 (2)金属线框进入磁场的过程中，减少的机械能等于克服摩擦力和安培力所做的功，机械能仍均匀减少，因此安培力也为恒力，线框做匀速运动 v＝2ax1，其中a＝gsin 37°－μgcos 37°＝2 m/s2 可解得线框刚进磁场时的速度大小为v1＝1.2 m/s ΔE2＝Wf2＋WA＝(Ff＋FA)x2 其中ΔE2＝(0.756－0.666) J＝0.09 J，Ff＋FA＝mgsin 37°＝0.6 N，x2为线框的侧边长，即线框进入磁场过程运动的距离，可求出x2＝0.15 m t＝＝ s＝0.125 s (3)线框刚出磁场时速度最大，线框内的焦耳热功率最大Pm＝ 由v＝v＋2a(d－x2)可求得v2＝1.6 m/s 根据线框匀速进入磁场时，FA＋μmgcos 37°＝mgsin 37°，可求出FA＝0.2 N，又因为FA＝，可求出B2L2＝0.01 T2·m2 将v2、B2L2的值代入，可求出Pm＝＝0.43 W。 答案　(1)0.5　(2)0.125 s　(3)0.43 W 【变式训练6-14】某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成团合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。 导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零：在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中， （1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L； （2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系； （3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W； （4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。 【答案】（1）3Mg；；（2）E=（v0-2gt）； （3）； （4）装置A可回收的能量包括导电杆和火箭的动能和重力势能。 【解析】（1）导电杆所受安培力F=B1Id=kI·I·=3Mg 由动能定理，-FL+MgL=0-解得：L=。 （2）火箭与导电杆下落做匀减速运动，由F-Mg=Ma，解得加速度大小为a=2g。 在时刻t，导电杆的速度v=v0-at=v0-2gt， 导电杆切割磁感线产生的感应电动势E=B2dv=2kI·d·（v0-2gt）=（v0-2gt） （3）根据题述导电杆中电流恒定为I，则有U-E=IR， 解得装置A输出电压U=IR+ v0-t= 装置A输出的电功率P=UI= I2R+ 3Mgv0-6Mg2t 由v0-2gt0=0解得总下落时间t0= 令I2R+ 3Mgv0=P0，画出输出的电功率P随时间t变化图像，如图。 电功率P随时间t变化图像与横轴所围面积等于输出的能量W， 所以W==（I2R+ 3Mgv0）= （4）若R的阻值视为零，装置A可回收的能量包括导电杆和火箭的动能和重力势能； 动能为EK=，重力势能为为Ep=Mg·=， 可回收的总能量为W回= EK+ Ep=+= 【变式训练6-15】小红在查阅资料时看到了嫦娥五号月球着落装置设计，她也利用所学知识设计了一个地面着落回收的电磁缓冲装置，其工作原理是利用电磁阻尼作用减缓返回舱和地面间的冲击力。如图甲所示，在返回舱的底盘安装有均匀对称的4台电磁缓冲装置，电磁缓冲结构示意图如图乙所示。在缓冲装置的底板上，沿竖直方向固定着两个光滑绝缘导轨PQ、MN。导轨内侧，安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=5T。导轨内的缓冲滑块K由高强度绝缘材料制成，滑块K上绕有闭合矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R=100Ω，匝数为n=200匝，ab边长为L=40cm。假设整个返回舱以速度v0=10m/s与地面碰撞后，滑块K立即停下，此后在线圈与轨道的磁场作用下使舱体减速，从而实现缓冲。返回舱质量为m=2×103kg，地球表面的重力加速度取g=10m/s2，一切摩擦阻力不计，缓冲装置质量忽略不计。 （1）求滑块K的线圈中最大感应电流的大小； （2）若缓冲装置向下移动距离H=80cm后速度减为v=6m/s，则此过程中每个缓冲装置的线圈abcd中通过的电荷量和产生的焦耳热各是多少？ （3）若要使缓冲滑块K和返回舱不相碰，且缓冲时间为t=1.5s，则缓冲装置中的光滑导轨PQ和MN长度至少多大？（结果保留三位有效数字） 【答案】（1）40A；（2）3.2C，；（3）7.81m 【解析】（1）滑块与地面碰撞后瞬间速度为零，此时返回舱速度为v0且最大，则滑块K中的感应电动势最大，为 根据闭合电路的欧姆定律可得滑块K的线圈中最大感应电流的大小为 将已知量代入可解得 （2）此过程中通过每个缓冲装置的线圈abcd中的电荷量为 平均电流为 平均感应电动势为 联立以上各式解得 将已知量代入可得q=3.2C 根据能量守恒定律可知，此过程中每个缓冲装置的线圈abcd中产生的焦耳热为 将已知量代入可得 （3）根据感应电动势公式、欧姆定律及安培力公式可得，每台减速装置受到的安培力平均值为 电流平均值为 而电动势平均值为 因为有4台减速装置，以向上的方向为正方向，根据动量定理得 若缓冲装置中的光滑导轨PQ和MN长度至少为d，则 联立解得 将已知量代入可得 1 学科网（北京）股份有限公司 $