第1章 丰富的图形世界 单元复习（9大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年北师大版数学七年级上册易错题重难点培优讲义

第1章 丰富的图形世界 知识点1：生活中的立体图形 类别 常见几何体 主要特征 柱体 圆柱、棱柱 两个底面平行且全等，侧面是曲面或长方形 锥体 圆锥、棱锥 一个底面，侧面交于一个顶点 球体 球 表面是曲面，无平面 　　按其面是否为平面，又可分为多面体（棱柱、棱锥）和旋转体（圆柱、圆锥、球）。 知识点2：点、线、面、体 　　1.体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点。 　　2.点动成线、线动成面、面动成体。 　　3.面有平的面和曲的面，线有直的线和曲的线。 知识点3：棱柱、棱锥的顶点、面、棱 几何体 顶点数 面数 棱数 n棱柱 n棱锥 　　记忆时抓住"棱柱上下两个底面相同"这一特点，由底面边数推出其余各量。 知识点4：正方体的展开图 　　1.正方体展开图共11种，可归为"一四一、二三一、二二二、三三"四类。 　　2.相对面判定：同行或同列中相隔一个的两个面相对；"Z字形"两端的面相对。 3.含"田"字或"凹"字的图形不能折成正方体。 知识点5：其他几何体的展开图 几何体 侧面展开图 圆柱 长方形（长等于底面周长，宽等于高） 圆锥 扇形（半径等于母线长，弧长等于底面周长） n棱柱 n个长方形加两个n边形 知识点6：截一个几何体 　　1.用平面截几何体，截面的形状由截的方向和角度决定。 　　2.正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，但不可能是七边形。 　　3.圆柱的截面可能是圆、椭圆、长方形；圆锥的截面可能是圆、椭圆、三角形。 知识点7：从三个方向看几何体 　　1.三个方向：从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）。 　　2.主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。 　　3.看得见的轮廓线画实线，被遮挡的画虚线。 知识点8：由视图确定小正方体的个数 　　1.俯视图确定底面的形状，主视图、左视图确定每一列的层数。 　　2.求最少个数时，各位置取满足视图要求的最小层数；求最多个数时取最大层数。 　　3.常用"标数法"：在俯视图的每个小正方形内标出该位置的小正方体个数，再检验两个视图。 知识点9：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 立体图形分类 把棱柱与圆柱混为一类 按底面形状区分棱柱与圆柱 展开图 凭直觉判断相对面 用相隔一格或Z字形判定 截面 认为正方体可截出七边形 正方体最多截出六边形 三视图 把左视图与俯视图的长宽弄反 牢记长对正、高平齐、宽相等 【易错题型】 【题型1】正方体展开图相对面的判断 　　1.易错点总结 　　判断相对面时最容易把相邻面当成相对面，尤其是拐角处的两个面；遇到"田"字型或"凹"字型展开图，误以为能折成正方体；折叠后空间位置想象出错，把前后、左右关系颠倒。 　　2.纠错技巧 　　先在展开图上用"相隔一格"找相对面：同一行或同一列中隔着一个面的两个面必相对；剩下不好判断的，用"Z字形"补足，Z字两端的面相对。判断能否折叠时，先排除含"田""凹"的图形，再按"一四一、二三一、二二二、三三"四类核对；最后可把其中一个面定为"前面"，按折叠方向逐个推出其余各面的位置来验证。 【例题1】.（26-27七年级上·甘肃白银·期中）小明同学把做最好的自己当作人生目标，并将它写在如图所示的一个盒子的展示图上，若将它折成正方体盒子，当朝上一面的字是做时，则朝下一面的字是（     ） A．好 B．自 C．的 D．己 【答案】C 【详解】解：由题意可得“做”与“的”相对，“最”与“己”相对，“好”与“自”相对． ∵朝上一面是“做”时， ∴朝下一面是“的”． 【变式题1-1】.（26-27六年级上·山东济南·期中）一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 【答案】D 【分析】根据展开图中，面隔一相对的原则，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得前与锦相对． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）正方体表面的展开图如图所示，将它折叠成正方体后，与“3”面相对的面的数字是______． 【答案】5 【详解】解：与“3”面相对的面的数字是“5”． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·山东济南·期中）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“未”字一面的相对面上的字是________． 【答案】照 【分析】在正方体中，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此特点可得答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，“未”字一面的相对面上的字是照． 【基础题型】 【题型2】生活中的立体图形识别与分类 　　解题技巧： 先看底面：有两个平行且全等的底面就是柱体，只有一个底面且侧面交于一点就是锥体，表面全是曲面没有平面就是球。再区分棱与圆：底面是多边形叫棱柱、棱锥，底面是圆叫圆柱、圆锥。遇到实物（包装盒、金字塔、笔筒），先抽象出它的底面形状，再归入对应类别。 【例题2】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．物体可抽象成球体，不合题意； B．物体可抽象成圆柱，符合题意； C．物体可抽象成圆台，不合题意； D．物体可抽象成圆锥，不合题意． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图，这是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（     ） A．球 B．圆柱 C．棱柱 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成圆锥． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 【答案】B 【详解】解：茶叶桶可以看成圆柱． 故选：B． 【点睛】圆柱的主要特征是：有两个大小相等、相互平行的圆形（底面），以及连接两个底面的一个曲面（侧面）． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的识别，解题的关键是熟练地掌握立体图形的相关知识．根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球，正方体，圆锥，圆柱 故选：． 【题型3】点、线、面、体及其关系 　　解题技巧： 抓住"点动成线、线动成面、面动成体"这条主线判断变化过程：笔尖写字是点动成线，车轮转动是线动成面，长方形绕轴旋转是面动成体。反推时看运动前后增加了几何维度。题目若问"旋转得到什么几何体"，先看旋转轴的位置和平面图形的形状，再确定得到的立体图形。 【例题3】.（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：雨刷可看作一条线，其运动时扫过的区域为面，属于线动成面的实际应用． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【答案】D 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、B中，秒针、雨刷均可看作线段，运动后扫过平面区域，属于线动成面，不符合题意． C中，直角三角尺可看作平面图形，绕直角边旋转一周形成立体图形，属于面动成体，不符合题意． D中，圆规笔尖可看作点，画圆弧时点的运动轨迹为线，属于点动成线，符合题意． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】从点与线的运动关系入手，将返回舱抽象为几何点进行判断． 【详解】解：将返回舱抽象为一个点，其飞行划过的轨迹为线，体现点动成线的数学原理． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）旋转一扇门，门运动的痕迹，这种现象用数学原理解释为________． 【答案】面动成体 【详解】解：门可以看作一个平面，当门旋转时，这个平面在空中运动，形成了一个立体的空间，也就是一个体， 所以“旋转一扇门，门在空中运动的痕迹”解释为面动成体． 【题型4】棱柱、棱锥的顶点、面、棱计数 　　解题技巧： 先数底面边数n，再套公式：n棱柱有个顶点、个面、条棱；n棱锥有个顶点、个面、条棱。已知顶点数、面数或棱数反求n时，把已知量代回对应公式解方程，例如"12个面的棱柱"即n+2=12，n=10。 【例题4】.（26-27七年级上·四川成都·期中）若一个棱柱有10个顶点，则它的面的个数为（     ） A．5 B．7 C．10 D．15 【答案】B 【分析】因为棱柱的顶点数与底面边数存在固定对应关系，所以先通过已知的顶点数10，结合棱柱顶点数的计算公式，确定该棱柱的底面边数．因为棱柱的面数由侧面个数与两个底面组成，所以在确定底面边数后，结合棱柱面数的构成规则，推导面的个数． 【详解】∵n棱柱的上下两个底面都是n边形，总顶点数为．且棱柱有10个顶点， ∴， 解得， 这是一个五棱柱． ∵n棱柱的面数规律是：有n个侧面，再加上下2个底面，总面数为， ∴代入，得总面数为． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）一个直棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则关于此棱柱说法正确的是(     ) A．它的底面是十边形 B．它有15条侧棱 C．它有5个面 D．它的每条侧棱长 【答案】D 【详解】解：∵直棱柱顶点数为底面边数的2倍， ∴底面边数为，即该棱柱为五棱柱． ∵直棱柱侧棱数等于底面边数，所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）一个棱柱有18条棱，则这个棱柱共有______个面，侧棱有______条． 【答案】 8 6 【分析】根据棱柱的棱的构成规律，由总棱数确定棱柱的底面边数，再结合棱柱的面、侧棱与底面边数的关系计算对应数值． 【详解】解：∵棱柱的棱分为上底面棱、下底面棱、侧棱三类，上底面棱数、下底面棱数、侧棱数三者相等，均等于底面多边形的边数； ∴总棱数为3倍的底面边数， 已知总棱数为18，可得底面边数为，即该棱柱为六棱柱； ∵棱柱的面由n个侧面和上、下2个底面组成， ∴六棱柱的总面数为， ∵棱柱的侧棱数与底面边数相等， ∴六棱柱的侧棱数为6． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 (2)18；32；48 (3)十二 (4)棱柱的面数顶点数棱数 【分析】（1）根据多面体特征直接填写即可； （2）根据（1）中的表格总结出规律，进而作答即可； （3）根据（2）中总结的规律列方程求解即可； （4）直接根据（2）中总结的规律作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：对于棱柱，规律为：面数，顶点数，棱数； 当时：面数 ，顶点数，棱数； （3）解：已知棱柱棱数为，令，解得，因此该棱柱为十二棱柱； （4）解：由（2）可知棱柱的面数顶点数棱数． 【题型5】几何体的展开图识别 　　解题技巧： 先数面的个数和形状：侧面是几个长方形、底面是几边形，就能确定是几棱柱；出现两个相同的多边形加若干个长方形，基本是棱柱，出现一个多边形加若干个三角形，是棱锥。圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，抓住"扇形对应圆锥、长方形对应圆柱"这一对应关系快速判断。 【例题5】.（26-27七年级上·河北张家口·期中）如图是某个几何体表面的展开图，则这个几何体可能为（     ） A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．棱柱 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，该展开图由一个圆和一个扇形组成． 圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆， 这个几何体是圆锥． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·山东济南·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是______________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2) 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱； （2）解：底面圆的面积， 圆柱的体积． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体（正方体、圆锥、棱锥、圆柱）的展开图特征，逐项判断平面图形能否折叠成对应的立体图形． 【详解】A．正方体展开图中不能出现“田”字形，该图形含有“田”字结构，不能折成正方体，故该选项错误； B．圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成，该图形有两个圆，不能折成圆锥，故该选项错误； C．四棱锥由一个四边形底面和四个三角形侧面组成，该图形只有四个三角形，缺少底面，不能折成四棱锥，故该选项错误； D．圆柱的展开图由一个长方形侧面和两个圆形底面组成，该图形符合圆柱展开图特征，能折成圆柱，故该选项正确. 故答案为D． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，然后可知该几何体是三棱柱，进而问题可求解． 【详解】解：由几何体的展开图可知有两个三角形和三个矩形所构成的平面图，可知该几何体是三棱柱． 【提升题型】 【题型6】正方体展开图的折叠判断 　　解题技巧： 先把展开图按"一四一、二三一、二二二、三三"归类，判断它是否属于11种标准展开图；再用"相隔一格""Z字形"确定相对面，用"相邻面公共顶点"确定相邻关系。若题目给出折叠后的立体图，就选定一个面为基准，按"相邻必共边、相对不相邻"逐面核对图案方向，注意图案的朝向会随折叠旋转。 【例题6】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）要制作一个无盖的正方体纸盒，则下列图形折叠后能围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，B，D折叠后不能围成无盖的正方体纸盒，不符合题意； C折叠后能围成无盖的正方体纸盒． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）下列四个图形中，经过折叠可以围成一个无盖正方体盒子的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图的特征，无盖正方体展开图由个小正方形组成，折叠后不能有面重叠，且需围成五个面． 【详解】解：A、中间正方形作底面，四周四个正方形折起作侧面，能围成无盖正方体； B、五个正方形排成一行，折叠后侧面重叠且无底面，不能围成； C、含有“田”字格结构，折叠时面会重叠，不能围成； D、折叠后会有两个面重叠，不能围成无盖正方体． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体的11种展开图的模型即可求解． 【详解】解：由正方体展开图可知，剪掉的小正方形③不能折叠成正方体． 【变式题6-3】.（26-27六年级上·山东烟台·期中）如图，将一个无盖正方体盒子表面展开后可以得到图1，现在图2中的①②③④位置补上一个正方形，恰好能围成一个正方体的方法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图包含：一四一型，二三一型，三三型，二二二型，据此分析即可． 【详解】解：若补上①或②，符合二三一型， 若补上④，符合三三型， 若补上③，不属于正方体展开图的任何类型． 综上可知，恰好能围成一个正方体的方法有3种． 【题型7】由展开图求几何体的表面积与体积 　　解题技巧： 先从展开图读出几何体的底面边长（或半径）与高，这是所有计算的起点；再分别算底面积和侧面积，表面积等于侧面积加两个底面积（锥体只加一个）。圆柱侧面积用底面周长乘高，体积用；若给出的是长方体，就用长、宽、高直接算。注意展开图上标注的尺寸要和几何体的棱一一对应，避免把底面周长当成一条边长。 【例题7】.（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵直六棱柱有6个相同的长方形侧面，侧面的两边长分别为和， ∴所有侧面的面积之和为. 【变式题7-1】.（26-27六年级上·山东青岛·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 【答案】(1)三棱柱，9，6 (2)④ (3) 【分析】（1）根据三棱柱的形体特征作答即可； （2）根据截三棱柱所得的截面形状进行判断作答即可； （3）根据三棱柱侧面积为3个长方形的面积和，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图，该几何体是三棱柱，它有9条棱，有6个顶点； （2）解：∵三棱柱有5个面， ∴用一个平面去截该三棱柱，截面形状可以是三角形，长方形，五边形，不可能是六边形， 故④符合题意； （3）解：， 答：该几何体所有侧面面积之和为． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中“边沿线”剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记写好四个面： (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为________； (2)直接写出这个盒子的容积为________（盒子厚度忽略不计）； (3)请在图2中补充一个长方形，并在补充的长方形中标注数字⑤，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖（画出一种情况的示意图即可）． 【答案】(1)和； (2)； (3)补充长方形⑤如图所示． 【详解】（1）解：由图中各边的关系可得盒子底面相邻两边的长分别为和； （2）解：由图可得盒子的高为， 这个盒子的容积； （3）略 【变式题7-3】.（26-27七年级上·江西南昌·期中）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 【答案】(1)正方，12，864 (2)长方体纸盒的表面积是，容积是 【分析】（1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出容积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积和容积． 【详解】（1）解：由题意，该长方体纸盒的底面是正方形，底面边长为：， 该长方体纸盒的容积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： ； ∴长方体纸盒的表面积为，容积为． 【题型8】截一个几何体与截面形状判断 　　解题技巧： 截面的形状取决于平面与几何体相交的面数：与几个面相交，截面就是几边形。因此判断"能否截出七边形"，只需数该几何体有几个面，正方体只有6个面，最多截出六边形。判断具体形状时，先确定截的方向（横截、竖截、斜截），横截圆柱得圆，竖截圆柱得长方形，斜截圆柱得椭圆，再对照选项。 【例题8】.（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面不可能是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查用一个平面截一个几何体，根据球的截面只有圆，即可得出答案． 【详解】球的截面只能为圆，不可能为三角形， 故B选项符合题意． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截长方体、圆柱、三棱柱，都能得到截面是长方形， 用一个平面去截圆锥、球体，都不能得到截面是长方形， 则能得到截面是长方形的几何体有①②③． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东济南·期中）一个透明的正方体水箱里装了一些水，小华不断改变水箱的倾斜方式，观察水面形状．下列哪种形状他一定观察不到（     ） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】长方形，三角形，圆，五边形，长方形 【分析】本题考查了一个几何体的截面问题．理解截面的定义，通过观察平面与几何体的相交情况，准确识别截面的形状，需熟悉常见几何体（如正方体、圆锥、棱柱、圆柱等）不同截取方式下的截面特征是解题的关键．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．当截面的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．据此求解即可． 【详解】解：由图可知： 各个几何体的截面的形状分别为长方形，三角形，圆，五边形，长方形． 【题型9】从三个方向看几何体 　　解题技巧： 画三视图时抓住"长对正、高平齐、宽相等"：主视图反映左右和上下，左视图反映前后和上下，俯视图反映左右和前后。先数清每一列的最高层数画主视图，再数每一行的最高层数画左视图，最后按底面布局画俯视图。看得见的轮廓用实线，被挡住的用虚线，同一位置有多个小正方体时只画最外层的轮廓。 【例题9】.（26-27七年级上·江西抚州·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． 请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； 【答案】如图： 【详解】略 【变式题9-1】.（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）从正面、左面、上面，观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】分别从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如下： 【分析】分别从正面、左面、上面三个方向观察几何体，确定每个方向看到的正方形的分布与层数，对应在网格中画出形状图． 【详解】略 【变式题9-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图所示的是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于几何体表面积计算，可采用三个方向看的方法，分别统计从正面看、从左面看、从上面看中看到的小正方形面的数量，再结合前后、左右、上下六个方向的面数对应关系，计算总外露面数．单个小正方形面的面积为棱长的平方，用总外露面数乘以单个面的面积，即可得到几何体的表面积． （2）画从三个方向看到的形状图时，先明确每个方向的列数与每列的层数：从正面看到的图形关注从正面看的列数和每列小立方块的层数，从左面看到的图形关注从左面看的列数和每列层数，从上面看到的图形关注从上面看的行列分布，再对应画出方格内的正方形组合． 【详解】（1）解：每个小正方形面的面积为，我们通过从三个方向看到的形状图的方法统计露在外部的总面数（包含底部）： 从正面看能看到5个小正方形面，从背面看同理也有5个； 从左面看能看到4个小正方形面，从右面看同理也有4个； 从上面看能看到5个小正方形面，底部同理也有5个； 总面数为 个， ∴总表面积． （2）解：从正面看：共3列，从左到右的正方形数量依次为3、1、1，即最左列竖排3个正方形，中间、最右列各在最下方画1个正方形． 从左面看：共2列，从左到右的正方形数量依次为3、1，即左列竖排3个正方形，右列在最下方画1个正方形． 从上面看：共3列，从左到右的正方形数量依次为1、2、1，即最左列在从下往上数第二行画1个正方形，中间列在从下往上数第一、二行各画1个正方形，最右列在从下往上数第二行画1个正方形． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·四川成都·期中）如图，在平整的地面上，用6个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积． 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： (2) 【分析】（1）根据从正面、左面、上面看的意义，画图即可； （2）按照前后，左右，上下的方法，确定图形的面数，求和后乘以一个正方形的面积即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：前后共（个），左右共（个），上面有4个， ∴这个几何体喷漆的面积是：． 【培优题型】 【题型10】由两个视图确定小正方体的个数 　　解题技巧： 用"标数法"：先在俯视图的每个格子上标出该位置的小正方体个数，标数要同时满足主视图（每列最大值）和左视图（每行最大值）的要求。求最少时，在满足两个视图的前提下各格取尽可能小的数（通常为1）；求最多时取尽可能大的数。算完后回代检验，确认没有某一列的层数超出视图给出的高度。 【例题10】.（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)如果再添加一些相同的小正方体木块，并保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体木块． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)4 【分析】（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2，据此可画出图形． （2）从正面看和从上面看到的形状图不变，添加的位置不能添加在小正方体个数最多的上面． 【详解】（1）略 （2）解：根据从正面看和从上面看到的形状图不变，如图： 最多可以再添加个小正方体． 【变式题10-1】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）用相同的小立方块搭一个几何体．从正面看到的几何体的形状图如图1所示；从上面看到的几何体的形状图如图2所示，其中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数．请解答下列问题： (1)______，______，______； (2)这个几何体最多由______个小立方块搭成； (3)当，时，在图3中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)3；1；1 (2)11 (3) 【分析】（1）根据从正面看，a列有3个小正方体，判断a值；b，c列有一个小正方体，从而判定b、c的值； （2）当时，最多； （3）根据从上面看的图形，结合小正方体的数目画出即可． 【详解】（1）解：由从正面、上面看到的形状图，以及从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数可知， ，； （2）解：如图所示： 最多时正方体的个数为（个）； （3）略 【变式题10-2】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下，问： (1)它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块； (2)画出最多、最少时的左视图．（各画一种） 【答案】(1)它最多要小立方块，最少要小立方块 (2)最多、最少时的左视图如下： 【详解】（1）解：如果所需的立方块最少，根据主视图和俯视图可得这个几何体共列，最左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，最右边一列有个正方体， ∴最少要小立方块共个， 如果所需的立方块最多，根据主视图和俯视图可得，最左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，最右边一列有个正方体， ∴最多要小立方块共个． （2）略 【变式题10-3】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）【问题背景】用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，在从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． (1)a，b，c各表示几？_______________，_______________，_______________． (2)这个几何体最少由_______________个小立方块搭成；最多由_______________个小立方块搭成，并画出最多时的从左面看到的形状． 【答案】(1)或，， (2)，， 最多时的左视图如图所示： 【分析】（1）由从正面和上面看到的形状图分析即可得出结果； （2）由主视图可得， 左边一列最高层数为，中间一列最高层数为，右边一列最高层数为，由此分析即可得出结果． 【详解】（1）解：由从正面和上面看到的形状图可得或，，： （2）解：由主视图可得， 左边一列最高层数为，中间一列最高层数为，右边一列最高层数为， ∴，， 要使小立方块最少，左边一列中只需要有一个位置为层，其余为层，左边列最少个数为：（个），故这个几何体最少由个小立方块搭成； 要使小立方块最多，左边一列中所有位置均可得到最大高度层，左边列最多个数为（个），故这个几何体最多由个小立方块搭成， 图略． 【题型11】七巧板与图形拼摆探究 　　解题技巧： 先认清七巧板的七块基本图形：两个大三角形、一个中三角形、两个小三角形、一个正方形、一个平行四边形，各块面积之间有固定的倍数关系。拼图时从大块入手确定整体轮廓，再用小块填补边角；判断能否拼成某图形，可比较面积总和与目标图形面积是否一致，再用"边对齐、角互补"核对拼缝，必要时通过平移、旋转、翻折调整方向。 【例题11】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 【变式题11-1】.（2025·湖南·模拟预测）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质与面积计算，以及七巧板中各部分图形的面积关系．先求出大正方形的面积，再根据七巧板的组成及各部分面积关系，求出阴影部分正方形的面积． 【详解】解：∵ 大正方形边长为， ∴ 大正方形面积为． 七巧板中，阴影部分正方形的面积是大正方形面积的， ∴ 阴影部分面积为． 故答案为：． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【答案】 解：如图，拼成一个长方形 【分析】此题考查七巧板拼图，正方形的性质，矩形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键． 【详解】略 【题型12】展开图的设计与补全 　　解题技巧： 　　补全展开图时，先用"缺几个面、缺什么形状"盘点：长方体需要6个面、两个底面加四个侧面，缺的那块必须是能与已有面拼成完整盒子的长方形。补完后按"相隔一格"检查相对面是否成对，再虚拟折叠一遍，确认没有重叠、没有缺口。设计包装盒类问题，还要让长、宽、高的尺寸与已知棱长总和、容积条件相符。 【例题12】.（26-27六年级上·山东烟台·期中）综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．请解答下列问题： (1)下面不可能是长方体展开图的是__________；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作无盖长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的容积为__________； (3)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 请通过计算，判断哪种方案制作的长方体纸盒的容积最大． 【答案】(1)④ (2)108立方厘米 (3)方案2制作的长方体纸盒的容积最大 【分析】（1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算长方体纸盒的容积． （3）分别根据三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为3厘米， 底面边长厘米， 长方体纸盒的容积立方厘米： （3）解：方案1：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以长方体纸盒的高（厘米）， 底面长（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案2：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）； 方案3：由题意，长方体纸盒底面宽是2厘米， 所以底面长（厘米）， 纸盒的高（厘米）， 容积（立方厘米）， 因为， 所以方案2制作的长方体纸盒的容积最大． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是___________．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据正方体四类展开图的特征判断，①是型、③是型，符合正方体展开图，其余折叠后面重叠，不能围成正方体． （2）①用原正方形边长减去两边剪去的，得到底面边长，再用正方形周长公式边长乘4算出底面周长．②长方体高为，长由减去两个得到，宽由算出，代入体积公式长宽高求得体积． 【详解】（1）解：正方体展开图有“”、“”、“”、“”四种类型， 图①是型，图③是型，②④⑤折叠后会出现面重叠，不能围成正方体． 所以属于正方体表面展开图的是． （2）解：①∵原正方形纸板边长为，四角剪去边长的小正方形 ∴底面正方形边长为 底面周长为 答：无盖长方体纸盒底面周长是； ②由题意可知，长方体纸盒的高是， 长方体的长为 长方体的宽为 长方体体积=长×宽×高 答：有盖长方体纸盒体积是． 【变式题12-2】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 (1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 (2)①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为多少？（写出计算过程） 【答案】(1)①③ (2)①40； ②纸板边长，剪去两个边长小正方形和两个小长方形，折成有盖长方体． 所以长方体的高为， 长方体的长为 长方体的宽为 长方体体积为． 【分析】（1）根据无盖正方体5个面的展开特征，判断①③能折叠成无盖正方体． （2）①先求出底面边长，再根据正方形的周长公式求解即可； ②求出长方体的长，宽，高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：无盖正方体一共有5个面．图①和图③折叠后可以拼成无盖正方体；图②的五个正方形折叠时，下方两个正方形会折到同一个侧面位置，发生面的重叠，因此不能折成无盖正方体． （2）解：①纸板边长，四角剪去边长的小正方形，折成无盖长方体． 底面正方形边长为， 底面周长为． ②略 【变式题12-3】.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是______．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． (3)【拓展探究】若将长、宽、高分别为8，6，4的有盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，直接写出该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3) 【分析】（1）根据正方体表面展开图求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据题意得到尽量剪开最长的边，然后画出图形列式求解即可． 【详解】（1）解：在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是①③； （2）解：①该长方体纸盒的底面周长为； ②长方体纸盒的长为，宽为， ∴该长方体的体积为； （3）解：∵要求该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值， ∴尽量剪开最长的边， 如图， ∴， ∴该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值为． 同步练习 一、单选题 1．如图是商代国宝四羊方尊，它是一尊正方形对称器物，其四个角各有一个向外突出的羊头．下列关于它从正面、左面、上面看到的形状图，说法正确的是（     ） A．从正面看与从左面看的形状图相同 B．从正面看与从上面看的形状图相同 C．从左面看与从上面看的形状图相同 D．从正面，左面，上面看的形状图都相同 【答案】A 【详解】解：由图形可知，从正面看和从左面看的形状图相同． 2．下列几何体中，属于柱体的是（     ） ①圆柱  ②圆锥  ③长方体  ④球  ⑤三棱柱 A．①②③④⑤ B．①⑤ C．①③⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】明确柱体的定义和包含的类别，逐一判断即可． 【详解】解：柱体的核心特征是存在两个互相平行且全等的底面，所有母线互相平行，可以分为棱柱和圆柱： 棱柱的底面为多边形，侧面是平行四边形，圆柱的底面为圆形，侧面是曲面，由此逐一判断如下． ①圆柱属于柱体； ②圆锥不属于柱体； ③长方体属于柱体； ④球不属于柱体； ⑤三棱柱属于柱体． 综上，属于柱体的有①③⑤． 3．下列展开图中，折叠起来能形成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征解答即可； 【详解】解：A选项：折叠后“佛”和“山”位置相反，排除； B选项：爱心面、“佛”面、“山”面两两相邻，图案朝向也和目标正方体完全一致，正确； C选项：展开图结构无法构成正方体，排除； D选项：折叠后“佛”和“山”中间隔了“迎”，二者是相对面，不可能同时出现在相邻的可视面中，不符合原图，排除． 二、填空题 4．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是________．（只需写一个） 【答案】正方体（答案不唯一） 【详解】解：∵当平面斜向截取正方体的一个顶角时，得到的截面形状为三角形， ∴这个几何体可能是正方体． 5．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有________条． 【答案】18 【详解】解：由图知侧棱有6条，则是一个六棱柱， ∴共有条棱． 6．如图，是由一些完全相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的搭法有________种． 【答案】7 【详解】解：由主视图和俯视图可得： 左列只能有1个正方体，右列的一行必有4个，另一行最少1个，最多４个， 所以最多有7种搭法． 三、解答题 7．如图，是一个直角梯形．（保留） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 【答案】(1)这个立体图形的体积是立方厘米 (2)这个立体图形的体积是立方厘米 【分析】（1）立体图形的体积等于高为厘米的圆柱体积高为厘米的圆锥体积，底面半径均为厘米； （2）立体图形的体积等于高为厘米的圆柱体积高为厘米的圆锥体积，底面半径均为厘米． 【详解】（1）解： （立方厘米）． 答：这个立体图形的体积是立方厘米． （2）解： （立方厘米）． 答：这个立体图形的体积是立方厘米． 8．如图，用6个小正方体搭成的几何体 (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)如果保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加_________个同样的小正方体． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）从正看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边数，第1列上下各有一个小正方形，第2列下面一层有一个小正方形，第3列上下各有一个正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数，上下层各有一个小正方形，第二列下面一层有一个小正方形；从上面看，左边有一个正方形，中间有2个正方形，右边有一个正方形，据此画图即可． （2）根据题意可知在从上面看到的图形中间一列的凸出来的正方体两边各加一个正方体，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：保持从正面和从左面看的图形都不变， 可以在这个几何体的第2列凸出来的正方体左面和右面分别加一个正方形， 在保持从正面和从左面看的图形都不变的情况下，最多可以再添加2个同样的小正方体． 9．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)需要喷漆的面积是 (3)所需丝带的长为 【分析】（1）根据棱柱的概念求解即可； （2）求出侧面积，即可求解喷漆的面积； （3）两个底面共有12条棱，侧面共有6条棱，将两类棱的总长度相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，该几何体是六棱柱，共有8个面； （2）解：， 答：需要喷漆的面积是； （3）解：（）， 答：所需丝带的长为． 10．如图为一个几何体从正面和从上面看到的形状图： (1)这个几何体的名称为________； (2)若从正面看到的是长为、宽为的长方形；从上面看到的是三条边长均为的三角形（如图所示），求这个几何体的侧面积和所有棱长的和． 【答案】(1)三棱柱； (2)这个几何体的侧面积为，所有棱长的和为 【详解】（1）略； （2）解：由图可知：三棱柱的高为7，底面边长都是4， ∴几何体的侧面积为， 所有棱长的和为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 丰富的图形世界 知识点1：生活中的立体图形 类别 常见几何体 主要特征 柱体 圆柱、棱柱 两个底面平行且全等，侧面是曲面或长方形 锥体 圆锥、棱锥 一个底面，侧面交于一个顶点 球体 球 表面是曲面，无平面 　　按其面是否为平面，又可分为多面体（棱柱、棱锥）和旋转体（圆柱、圆锥、球）。 知识点2：点、线、面、体 　　1.体由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点。 　　2.点动成线、线动成面、面动成体。 　　3.面有平的面和曲的面，线有直的线和曲的线。 知识点3：棱柱、棱锥的顶点、面、棱 几何体 顶点数 面数 棱数 n棱柱 n棱锥 　　记忆时抓住"棱柱上下两个底面相同"这一特点，由底面边数推出其余各量。 知识点4：正方体的展开图 　　1.正方体展开图共11种，可归为"一四一、二三一、二二二、三三"四类。 　　2.相对面判定：同行或同列中相隔一个的两个面相对；"Z字形"两端的面相对。 3.含"田"字或"凹"字的图形不能折成正方体。 知识点5：其他几何体的展开图 几何体 侧面展开图 圆柱 长方形（长等于底面周长，宽等于高） 圆锥 扇形（半径等于母线长，弧长等于底面周长） n棱柱 n个长方形加两个n边形 知识点6：截一个几何体 　　1.用平面截几何体，截面的形状由截的方向和角度决定。 　　2.正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，但不可能是七边形。 　　3.圆柱的截面可能是圆、椭圆、长方形；圆锥的截面可能是圆、椭圆、三角形。 知识点7：从三个方向看几何体 　　1.三个方向：从正面看（主视图）、从左面看（左视图）、从上面看（俯视图）。 　　2.主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。 　　3.看得见的轮廓线画实线，被遮挡的画虚线。 知识点8：由视图确定小正方体的个数 　　1.俯视图确定底面的形状，主视图、左视图确定每一列的层数。 　　2.求最少个数时，各位置取满足视图要求的最小层数；求最多个数时取最大层数。 　　3.常用"标数法"：在俯视图的每个小正方形内标出该位置的小正方体个数，再检验两个视图。 知识点9：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 立体图形分类 把棱柱与圆柱混为一类 按底面形状区分棱柱与圆柱 展开图 凭直觉判断相对面 用相隔一格或Z字形判定 截面 认为正方体可截出七边形 正方体最多截出六边形 三视图 把左视图与俯视图的长宽弄反 牢记长对正、高平齐、宽相等 【易错题型】 【题型1】正方体展开图相对面的判断 　　1.易错点总结 　　判断相对面时最容易把相邻面当成相对面，尤其是拐角处的两个面；遇到"田"字型或"凹"字型展开图，误以为能折成正方体；折叠后空间位置想象出错，把前后、左右关系颠倒。 　　2.纠错技巧 　　先在展开图上用"相隔一格"找相对面：同一行或同一列中隔着一个面的两个面必相对；剩下不好判断的，用"Z字形"补足，Z字两端的面相对。判断能否折叠时，先排除含"田""凹"的图形，再按"一四一、二三一、二二二、三三"四类核对；最后可把其中一个面定为"前面"，按折叠方向逐个推出其余各面的位置来验证。 【例题1】.（26-27七年级上·甘肃白银·期中）小明同学把做最好的自己当作人生目标，并将它写在如图所示的一个盒子的展示图上，若将它折成正方体盒子，当朝上一面的字是做时，则朝下一面的字是（     ） A．好 B．自 C．的 D．己 【变式题1-1】.（26-27六年级上·山东济南·期中）一个正方体的每个面上都有一个汉字，它的平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“前”相对的字是（     ） A．祝 B．你 C．程 D．锦 【变式题1-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）正方体表面的展开图如图所示，将它折叠成正方体后，与“3”面相对的面的数字是______． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·山东济南·期中）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“未”字一面的相对面上的字是________． 【基础题型】 【题型2】生活中的立体图形识别与分类 　　解题技巧： 先看底面：有两个平行且全等的底面就是柱体，只有一个底面且侧面交于一点就是锥体，表面全是曲面没有平面就是球。再区分棱与圆：底面是多边形叫棱柱、棱锥，底面是圆叫圆柱、圆锥。遇到实物（包装盒、金字塔、笔筒），先抽象出它的底面形状，再归入对应类别。 【例题2】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图，这是常见的一种“斗笠”，用数学的眼光可将“斗笠”近似地看成（     ） A．球 B．圆柱 C．棱柱 D．圆锥 【变式题2-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 【变式题2-3】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）下列实物抽象出的立体图形从左至右依次是（    ）             A．圆锥，正方体，球，圆柱 B．球，长方体，圆锥，圆柱 C．球，正方体，圆锥，圆柱 D．圆锥，正方体，圆柱，长方体 【题型3】点、线、面、体及其关系 　　解题技巧： 抓住"点动成线、线动成面、面动成体"这条主线判断变化过程：笔尖写字是点动成线，车轮转动是线动成面，长方形绕轴旋转是面动成体。反推时看运动前后增加了几何维度。题目若问"旋转得到什么几何体"，先看旋转轴的位置和平面图形的形状，再确定得到的立体图形。 【例题3】.（26-27七年级上·河北石家庄·期中）下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于下列哪个选项的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【变式题3-1】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列现象中，能说明“点动成线”的是（     ） A．钟面上秒针绕中心旋转一周 B．汽车雨刷在挡风玻璃上摆动 C．直角三角尺绕直角边旋转一周 D．用圆规画圆弧 【变式题3-2】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【变式题3-3】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）旋转一扇门，门运动的痕迹，这种现象用数学原理解释为________． 【题型4】棱柱、棱锥的顶点、面、棱计数 　　解题技巧： 先数底面边数n，再套公式：n棱柱有个顶点、个面、条棱；n棱锥有个顶点、个面、条棱。已知顶点数、面数或棱数反求n时，把已知量代回对应公式解方程，例如"12个面的棱柱"即n+2=12，n=10。 【例题4】.（26-27七年级上·四川成都·期中）若一个棱柱有10个顶点，则它的面的个数为（     ） A．5 B．7 C．10 D．15 【变式题4-1】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）一个直棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则关于此棱柱说法正确的是(     ) A．它的底面是十边形 B．它有15条侧棱 C．它有5个面 D．它的每条侧棱长 【变式题4-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）一个棱柱有18条棱，则这个棱柱共有______个面，侧棱有______条． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）观察下列几何体，回答问题． 图形与名称 顶点数 6 ______ 10 12 棱数 9 12 ______ ______ 面数 5 ______ ______ 8 (1)补全上表； (2)根据上表中的规律，十六棱柱共有______个面，共有______个顶点，共有______条棱； (3)若某个棱柱有36条棱，则这个棱柱为______棱柱； (4)棱柱的面数、棱数与顶点数之间存在怎样的数量关系？ 【题型5】几何体的展开图识别 　　解题技巧： 先数面的个数和形状：侧面是几个长方形、底面是几边形，就能确定是几棱柱；出现两个相同的多边形加若干个长方形，基本是棱柱，出现一个多边形加若干个三角形，是棱锥。圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，抓住"扇形对应圆锥、长方形对应圆柱"这一对应关系快速判断。 【例题5】.（26-27七年级上·河北张家口·期中）如图是某个几何体表面的展开图，则这个几何体可能为（     ） A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．棱柱 【变式题5-1】.（26-27七年级上·山东济南·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图． (1)该几何体的名称是______________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的体积．（结果保留π） 【变式题5-2】.（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型6】正方体展开图的折叠判断 　　解题技巧： 先把展开图按"一四一、二三一、二二二、三三"归类，判断它是否属于11种标准展开图；再用"相隔一格""Z字形"确定相对面，用"相邻面公共顶点"确定相邻关系。若题目给出折叠后的立体图，就选定一个面为基准，按"相邻必共边、相对不相邻"逐面核对图案方向，注意图案的朝向会随折叠旋转。 【例题6】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）要制作一个无盖的正方体纸盒，则下列图形折叠后能围成的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）下列四个图形中，经过折叠可以围成一个无盖正方体盒子的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式题6-3】.（26-27六年级上·山东烟台·期中）如图，将一个无盖正方体盒子表面展开后可以得到图1，现在图2中的①②③④位置补上一个正方形，恰好能围成一个正方体的方法有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【题型7】由展开图求几何体的表面积与体积 　　解题技巧： 先从展开图读出几何体的底面边长（或半径）与高，这是所有计算的起点；再分别算底面积和侧面积，表面积等于侧面积加两个底面积（锥体只加一个）。圆柱侧面积用底面周长乘高，体积用；若给出的是长方体，就用长、宽、高直接算。注意展开图上标注的尺寸要和几何体的棱一一对应，避免把底面周长当成一条边长。 【例题7】.（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27六年级上·山东青岛·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图（长度单位：）． (1)请写出这个包装盒的几何体名称：________；它有________条棱，有________个顶点； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状不可能是________（填序号）：①三角形；②长方形；③五边形；④六边形． (3)求该几何体所有侧面面积之和． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）综合与实践： 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中“边沿线”剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记写好四个面： (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为________； (2)直接写出这个盒子的容积为________（盒子厚度忽略不计）； (3)请在图2中补充一个长方形，并在补充的长方形中标注数字⑤，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖（画出一种情况的示意图即可）． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·江西南昌·期中）某综合与实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你通过动手操作完成以下任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)动手操作一：根据图1所示方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个边长为的小正方形，再沿虚线折起来． 若，则该长方体纸盒的底面是________形，其边长为________；该长方体纸盒的容积为________； 拓展延伸： (2)动手操作二：根据图2所示方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角分别剪去两个边长为的小正方形和两个宽为的小长方形，再沿虚线折起． 若，该长方体纸盒的表面积是多少？容积是多少？ 【题型8】截一个几何体与截面形状判断 　　解题技巧： 截面的形状取决于平面与几何体相交的面数：与几个面相交，截面就是几边形。因此判断"能否截出七边形"，只需数该几何体有几个面，正方体只有6个面，最多截出六边形。判断具体形状时，先确定截的方向（横截、竖截、斜截），横截圆柱得圆，竖截圆柱得长方形，斜截圆柱得椭圆，再对照选项。 【例题8】.（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面不可能是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山东济南·期中）一个透明的正方体水箱里装了一些水，小华不断改变水箱的倾斜方式，观察水面形状．下列哪种形状他一定观察不到（     ） A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何体的截面分别是什么形状？ 【题型9】从三个方向看几何体 　　解题技巧： 画三视图时抓住"长对正、高平齐、宽相等"：主视图反映左右和上下，左视图反映前后和上下，俯视图反映左右和前后。先数清每一列的最高层数画主视图，再数每一行的最高层数画左视图，最后按底面布局画俯视图。看得见的轮廓用实线，被挡住的用虚线，同一位置有多个小正方体时只画最外层的轮廓。 【例题9】.（26-27七年级上·江西抚州·期中）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． 请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； 【变式题9-1】.（26-27七年级上·甘肃张掖·期中）从正面、左面、上面，观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图所示的是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【变式题9-3】.（26-27七年级上·四川成都·期中）如图，在平整的地面上，用6个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积． 【培优题型】 【题型10】由两个视图确定小正方体的个数 　　解题技巧： 用"标数法"：先在俯视图的每个格子上标出该位置的小正方体个数，标数要同时满足主视图（每列最大值）和左视图（每行最大值）的要求。求最少时，在满足两个视图的前提下各格取尽可能小的数（通常为1）；求最多时取尽可能大的数。算完后回代检验，确认没有某一列的层数超出视图给出的高度。 【例题10】.（26-27七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体从上面看到的图形，图中所示数字为该位置小正方体的个数． (1)请画出这个几何体从正面看和从左面看得到的形状图； (2)如果再添加一些相同的小正方体木块，并保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体木块． 【变式题10-1】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）用相同的小立方块搭一个几何体．从正面看到的几何体的形状图如图1所示；从上面看到的几何体的形状图如图2所示，其中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数．请解答下列问题： (1)______，______，______； (2)这个几何体最多由______个小立方块搭成； (3)当，时，在图3中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）用小立方块搭成的几何体，主视图和俯视图如下，问： (1)它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块； (2)画出最多、最少时的左视图．（各画一种） 【变式题10-3】.（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）【问题背景】用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如图所示，在从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数． (1)a，b，c各表示几？_______________，_______________，_______________． (2)这个几何体最少由_______________个小立方块搭成；最多由_______________个小立方块搭成，并画出最多时的从左面看到的形状． 【题型11】七巧板与图形拼摆探究 　　解题技巧： 先认清七巧板的七块基本图形：两个大三角形、一个中三角形、两个小三角形、一个正方形、一个平行四边形，各块面积之间有固定的倍数关系。拼图时从大块入手确定整体轮廓，再用小块填补边角；判断能否拼成某图形，可比较面积总和与目标图形面积是否一致，再用"边对齐、角互补"核对拼缝，必要时通过平移、旋转、翻折调整方向。 【例题11】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【变式题11-1】.（2025·湖南·模拟预测）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．如图，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，将其拼成了“小天鹅”的形状．已知阴影部分是由七巧板中的1个正方形组成，则图中阴影部分的面积为____ 【变式题11-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）七巧板是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．下面的图是小明同学由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形（如图①）的边长为2，则拼成的“小天鹅”图案（如图②）阴影部分的面积为________． 【变式题11-3】.（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【题型12】展开图的设计与补全 　　解题技巧： 　　补全展开图时，先用"缺几个面、缺什么形状"盘点：长方体需要6个面、两个底面加四个侧面，缺的那块必须是能与已有面拼成完整盒子的长方形。补完后按"相隔一格"检查相对面是否成对，再虚拟折叠一遍，确认没有重叠、没有缺口。设计包装盒类问题，还要让长、宽、高的尺寸与已知棱长总和、容积条件相符。 【例题12】.（26-27六年级上·山东烟台·期中）综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动．请解答下列问题： (1)下面不可能是长方体展开图的是__________；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作无盖长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为3厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的容积为__________； (3)用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 请通过计算，判断哪种方案制作的长方体纸盒的容积最大． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·甘肃兰州·期中）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是___________．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． 【变式题12-2】.（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 (1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 (2)①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为多少？（写出计算过程） 【变式题12-3】.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）【问题情境】 某综合实践小组在学习了“展开与折叠”后，开展了“制作长方体纸盒”的实践活动． 【问题解决】 (1)在图1所展示的图形中，属于正方体表面展开图的是______．（只填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同的长方体纸盒（图2为无盖的长方体纸盒，图3为有盖的长方体纸盒）． ①制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体纸盒的底面周长； ②制作一个如图3所示的有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小且边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．求该长方体的体积． (3)【拓展探究】若将长、宽、高分别为8，6，4的有盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，直接写出该长方体纸盒表面展开图的周长的最大值． 同步练习 一、单选题 1．如图是商代国宝四羊方尊，它是一尊正方形对称器物，其四个角各有一个向外突出的羊头．下列关于它从正面、左面、上面看到的形状图，说法正确的是（     ） A．从正面看与从左面看的形状图相同 B．从正面看与从上面看的形状图相同 C．从左面看与从上面看的形状图相同 D．从正面，左面，上面看的形状图都相同 2．下列几何体中，属于柱体的是（     ） ①圆柱  ②圆锥  ③长方体  ④球  ⑤三棱柱 A．①②③④⑤ B．①⑤ C．①③⑤ D．①②④ 3．下列展开图中，折叠起来能形成如图所示的正方体的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是________．（只需写一个） 5．如图是某直棱柱的侧面展开图，则该直棱柱的棱共有________条． 6．如图，是由一些完全相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的搭法有________种． 三、解答题 7．如图，是一个直角梯形．（保留） (1)将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个立体图形，求这个立体图形的体积． (2)如果将梯形以所在直线为轴旋转一周可以得到一个新的立体图形，它的体积是多少？ 8．如图，用6个小正方体搭成的几何体 (1)请在虚线方格中画出从正面、左面、上面看到的该几何体的形状图； (2)如果保持从正面和从左面看的图形都不变，最多可以再添加_________个同样的小正方体． 9．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_________棱柱，共有_________个面； (2)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？ (3)若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 10．如图为一个几何体从正面和从上面看到的形状图： (1)这个几何体的名称为________； (2)若从正面看到的是长为、宽为的长方形；从上面看到的是三条边长均为的三角形（如图所示），求这个几何体的侧面积和所有棱长的和． 学科网（北京）股份有限公司 $